26.1 二次函数的概念-【教材笔记】2026-2027学年九年级上册数学课前预习笔记（人教版·新教材）

第仁十六章二次函数 函数是描述现实世界中变量关系和变化规律的数学模型，我们已经学习过利 用一次函数表示一个变量随另一个变量均匀变化的关系，下面再来看一些变量之 间的更为复杂的关系 用长为40m的细绳围成一个矩形区域，矩形区域的面积y(单位：m2)会随 矩形一边长x(单位：m)的变化而变化，y与x之间有什么关系？见32页① 再看章前图，从喷头喷出的水珠，在空中经过的路线是一条曲线.在这条 曲线的各个位置上，水珠的竖直高度y与它距离喷头的水平距离x之间有什么 关系？ 》美比思想 回答上述问题就要用到二次函数.像学习一次函数一样，本章我们首先讨论 什么样的函数是二次函数，然后讨论二次函数的图象和性质，由此加深对一元二 次方程的认识，最后运用二次函数分析和解决某些实际问题.通过上述过程，进 一步体会函数在描述现实世界中变量关系和变化规律时的作用： 26.1二次函数的抵念 新知解读， 在现实世界中，变量之间的关系多种多样.作为描述变量之间关系的函数， 其种类也很丰富 我们先来分析本章引言中的矩形区域问题 显然，矩形的一边长x和面积y都是变量，而且对于x的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，即y是x的函数.根据矩形面积公式，它们之间的 关系可以表示为y=x(20-x),即 y=-x2+20x. ① 这是一个不同于一次函数的新函数 再来看几个问题 〉单循环比赛 问题1n支球队参加比赛，每两队之间进行1场比赛.比赛的场次数m与 球队数n之间有什么关系？ 每支球队都要与其他(-1)支球队各比赛1场，由于甲队对乙队的比赛与乙 队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数m= 。n(n-1),即 m- ② ②式表示比赛的场次数m与球队数n之间的关系，其中m和n都是变量， 而且对于n的每一个确定的值，m都有唯一确定的值与其对应，即m是n的函数， 问题2某种产品现在的年产量是20t,计划今后两年增加产量.如果每年 都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y(单位：t)将由x的 值确院，y与x之间的关系应怨样表小？后鑫复名老幸后岛性 这种产品的原产量是20t,一年后的产量是20(1+x)t,再经过一年后的产量 是20(1+x)(1+x)t,即两年后的产量y=20(1+x)2,即 y=20x2+40x+20. ③ ③式表示了两年后的产量y与每年的计划增产倍数x之间的关系，其中x和 y都是变量，而且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，即y 是x的函数 32教材笔记数学九年级上册RJ 思考 观察函数①②③，它们有什么共同点？ 若a=0,b≠0，则函数为一次函数 y=bx+c;若a=0,b=0,则y=c是一 个常数函数 上述问题中，函数都是用自变量的二次式表示的.？一般地，形如 y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0) 的函数，叫作二次函数(quadratic function).其中x是自变量，a,b,c分别是函数 解析式的二次项系数、一次项系数和常数项， 例（1)一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S关于半径r的函 数解析式. (2)一种产品某年的销售量为8万件，由于其他新产品的出现，后两年的 年销售量有所下降，年平均下降率是x,写出两年后产品的年销售量y(单位： 万件)关于x的函数解析式. 解：（1)圆柱表面积是其底面积与侧面积的和，所以S=2r2+2r·r,即 S=4元r2 (2)一年后产品的年销售量为8(1-x)万件，两年后的年销售量为 8(1-x)(1-x)万件，所以y=81-x)2,即 y=8x2-16x+8. 练习d 化为一般形式 1.写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项 后再判断 (1)y=8x2-16x+8;1.(1)8,-16,8.（2)y=x2;(2)1,0,0. (3)y=-2+5x(3)-75,0 （4)y=2(x-1)2-5.(4)2,-4,-3. 2 2.如图，矩形绿地的两边长各增加xm,扩 充后的绿地面积为ym.写出y关于x 的函数解析式.2.y=x2+50x+600. 3.提出一个问题，使其中变量之间的关系可 以用一个二次函数来表示 3.略 30m (第2题) 第二十六章 二次函数 33 习题26.10 复习巩固 1.某商场一月份的销售额为50万元，二、三月份每月销售额的平均增长率为x, 写出三月份的销售额y(单位：万元)关于x的函数解析式.1.y=50(1+x 2.设人民币一年期定期储蓄的年利率是x,一年到期后，银行将本金和利息自动 按一年期定期储蓄转存.如果本金是30000元，写出两年后的本息之和y(单 位：元)关于年利率x的函数解析式.2.y=30000(1+x2 综合运用 3.如图，一面圆形的镜子，其周边镶有宽为5cm的边框.已知镜 面的价格是每平方米180元，边框的价格是每平方米100元， 求这面镜子的价格y(单位：元)关于镜子半径x(单位：m) 的函数解析式.3.y=180元x2+10元x+0.25元 (第3题) 拓广探索 4.如图，钢球从斜面顶端由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增 加1.5m/s vo=0 m/s =vo+1.5t=1.5t (1)写出钢球滚动的距离l(单位：m)关于滚动的时间t (第4题) (单位：s)的函数解析式.（提示：本题中，距离=平均 应×时间4可=2其中，的是开始时的速度，y是1s时的速度 4.（1)1=0.752 (2)如果斜面的长是3，钢球从斜面顶端滚到底端要用多长时间？ (2)根据题意，得0.75=3，解得t=2,t=-2(会去)，因此，钢球从斜面顶端 滚到底鶉要用2S 34 教材笔记数学九年级上册RJ