25.3 实际问题与一元二次方程-【教材笔记】2026-2027学年九年级上册数学课前预习笔记（人教版·新教材）

25.3 实际问题与一元二次方程 新知解读， 同一元一次方程、二元一次方程（组)一样，一元二次方程也是刻画某些问 题中等量关系的数学模型，运用一元二次方程可以解决很多问题 例①是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样 的三角形有多少个？ 解：若存在这样的三角形，设其三边长依次为x,x+1,x+2,其中x为 正整数， 列一元二次方程解决实际问题的一 般步骤：审、设、列、解、验、答 由勾股定理，得 x2+(x+1)2=(x+2)2 解方程，得 〉检验时，要注意双检验： 名=3，不符合题意，金去鲜柔存整女 因此，三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分 别为3,4,5. 例2用一根长为40m的细绳，能否围成一个面积为96m2的矩形区域？ 如果能围成，这样的矩形是否唯一？ 分析：假设细绳能围成面积为962的矩形区域，则矩形的周长就是细绳的 长度.设矩形一边长为xm,由周长为40m,可用含x的式子表示出该边的邻边 长，再利用面积列方程求解， 解：设矩形的一边长为xm,由矩形的周长为40m,可得此边的邻边长为 (20-x)m;再由矩形的面积为96m2,得 x(20-x)=96. 解方程，得 >等量关系为“长×宽=矩形的面积” x=12,x2=8. 因此，用一根长为40m的细绳可以围成面积为 方程有两个根，是 962的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分 否表示可以围成两个满 足条件的矩形区域？ 别为8m,12m. 不可以，因为方程的两个根分别对应 可围成满足条件的矩形区域的长和宽 第二十五章一元二次方程 21 思考 对于例2中的问题，设矩形的两邻边长的方法有多种.例如： (1)可设一边长为xm,那么其邻边长为96m; 等量关系为“2×（长+宽）=矩形的周长”x (2)可设一边长为(10+x)m,那么其邻边长为(10-x)m, 等量关系为“长×宽=矩形的面积” 能根据以上设两邻边长的方法列方程求解例2吗？比较这些设法，说说 它们各自的特点. 练习 1.怎样用一根长为40m的细绳围成一个面积为75m2的矩形区域？能围成 一个面积为101m2的矩形区域吗？如果能，说明围法；如果不能，说明 理由起喜是彩名奇不器为密得.民5款方5世的 D 4 2.如图，矩形ABCD的两条邻边AD=1,CD=4,AB 上是否存在点E,使得∠DEC为直角？ A E B 2.存在.当点E满足AE=2-√3或2+√3时，∠DEC是直角. (第2题) 接下来，我们进一步探究如何运用一元二次方程解决现实生活中的问题， Q探究1 一轮指一个传染周期← 某种传染病的传染速度很快.如果开始有1个人被传染，经过两轮传染 后共有121个人被传染，那么每轮传染中平均1个人传染了多少个人？ 分析：设每轮传染中平均1个人传染了x个人。 开始有1个人被传染，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x个人，用代 数式表示，第一轮后共有(1+x)个人被传染；第二轮传染中，这些人中的每个人 又传染了x个人，用代数式表示，第二轮后共有[1+x+x(1+x】个人被传染 列方程 传播问题中的数量关系：传来源+第一轮被传染的人数+ 第二轮被传染的人数=两轮传染后被传染的总人数。 1+x+x(1+x)=121. 解方程，得 通过探究本题，谈 谈你对类似的传播问题 =10,x2=-12(不合题意，舍去)： 中数量关系的认识」 因此，每轮传染中平均1个人传染了10个人 22 教材笔记数学九年级上册BJ 思考 按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人被传染？由此体会 阻断病毒传播的必要性.经过三轮传染后共有121×10+121=1331（个）人被传染 ®探究2 成本的年下降率前一年成本-本年成本 前一年成本 两年前生产1t甲种食品的成本是10000元，生产1t乙种食品的成本是 12000元.随着生产技术的进步，现在生产1t甲种食品的成本是6000元， 生产1t乙种食品的成本是7200元.哪种食品成本的年平均下降率较大？ 成本的年下降额=前一年成本一本年成本《 分析：容易求出，甲种食品成本的年平均下降额为(10000-6000)÷2= 2000(元)，乙种食品成本的年平均下降额为(12000-7200)÷2=2400（元）.显 然，乙种食品成本的年平均下降额较大.但年平均下降额（元)不等同于年平均 下降率（百分数). 设甲种食品成本的年平均下降率为x,则一年后甲种食品成本为10000(1-x) 元，两年后甲种食品成本为10000(1-x)2元，于是有 10000(1-x)2=6000.平均增长率（下降率）问题： a为起始量，b为终止量，平均增长率公式 解方程，得 为a(1+x)”=b(x为平均增长率，n为增长的次 数).平均下降率公式为a(1-x”=b(x为平均下 为≈0.2252≈1.775.降率，n为下降的次数)】 根据问题的实际意义，甲种食品成本的年平均下降 率约为22.5%. 因为根据问题的实际意义，成本的年下降 为什么选择22.5% 率应是小于1的正数，所以应选取225%.下作为答案？ 请计算乙种食品成本的年平均下降率，并比较两种 食品成本的年平均下降率.→由方程12000(1-x}=7200,得乙种药品成本年平均 曾思考 下降率约为22.5%.两种药品成本的年平均下降率相等. 经过计算，你能得出什么结论？成本下降额大的食品，它的成本下降率 一定大吗？应怎样全面比较几个对象的变化情况？ )两种药品成本的年平均下降率一样大.成本下降额大的食品，其 练习 成本下降率不一定大，成本下降额表示绝对支化量：成本下降率 …表票相好变花登，满者兼顾子能全面比较对象的变花联沉 1.某种植物的主千长出若千数目的支千干，每个支千又长出与这些支千同样 数目的小分支.如果主干、支干和小分支的总数是91，那么每个支千长 出多少个小分支？1.每个支千长出9个小分支 : 第二十五章一元二次方程 23 2.青山村所种水稻2020年平均每公顷产15000kg,2022年平均每公顷产 18000kg.求水稻每公顷产量的年平均增长率（结果写成a%的形式，其 中a保留小数点后两位).2.9.54% 回到本章第一节中的排球邀请赛问题，通过“设应邀请x支球队参赛”，并 根据“每两支球队之间比赛1场”，列得方程x2-x-56=0. 解方程，得x=8,2=-7(不合题意，舍去) 因此，比赛组织者应邀请8支球队参赛】 下面再来看一种有关比赛球队数量与场数的问题。 Q探究3 若干支球队进行主客场双循环比赛，有人说，我算出总场数正好是300， 他算得对吗？为什么？ 0 由总场数为 分析：双循环比赛是指所有参赛球队彼此间进行两场 n(n-1)可知，其必 比赛.如果有n支球队参赛，那么比赛的总场数为n(n-1) 为两个连续正整数 )因为至少有2支队伍才能进行比赛， 所以n≥2，且n为正整数 的乘积，如2,6， 假设这个人算得对，即n支球队进行主客场双循环比 12,20,…,240, 赛的总场数为300，那么 拓展：若参赛队伍数为n 272,306,… (n≥2)，则单循环比赛中 n(n-1)=300. 每队比赛场数为n-1,比赛 解方程，得 总场表为n- .双循环比 1±√1201 2 n= 2 赛中每队比赛场数为2(n-1), 比赛总场数为n(n-1)】 由于1201不是完全平方数，所以n不可能为整数. 因此，总场数不可能为300，这个人算得不对。 练习影过n边形的一个原点有(m3】条对角线，”超形共有 n-3》条对角线 月…2… →单循环比赛 1.n个人参加聚会，每两人都握1次手，所有人共握手10次，共有多少人？ 有 5人 2.一个凸多边形共有20条对角线，它是几边形？是否存在有18条对角线的 多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，说明理由 2八边形。不存在理由：假设有18条对角线的n边形，那么”-3》8，解得 3±3V17 2 2 :不可能为整数.因此，不存在有18条对角线的多边形 24 教材笔记数学九年级上册BJ 习题25.3d 复习巩固 1.两个数的和是26，积是168，求这两个数.1.这两个数分别是12,14 2.一个直角三角形的两条直角边的和是14，面积是24.求这两条直角边的长 2.这两条直角边的长分别是6,8 3.某足球联赛采用双循环赛制，如果赛季结束后共比赛90场，那么共有多少支 球队参加比赛？3.设共有”支球队参加比赛，根据题意，得nm)90,解得 n1=10,n2=-9(不合题意，舍去).因此，共有10支球队参加比赛 4.2019年我国快递业务量是635.2亿件，2021年增至1083.0亿件，这两年的年 平均增长率是多少（结果写成a%的形式，其中a保留小数点后一位）？ 4.改这两年的年平均增长率是x.根据题意，得635.2(1+x)=1083.0,解得x1≈0.3057， x2≈-2.3057（舍去）.因此，这两年的年平均增长率约是30.6% 综合运用 菱形的面积等于其对角线乘积的一半← 5.一个菱形的两条对角线长之和是10，面积是12.求这个菱形的周长.5.4√13 6.如图，要为长22cm,宽29cm的照片配相框，要求相框的四条边 宽度相等，并且相框边的面积是照片面积的四分之一，相框边的 宽度应是多少厘米（结果保留小数点后一位）？ 6.设相框边的宽度是xcm根据题意，得22x29 =(22+2x(29+2x)-22×29 4 解得x1≈1.5，x2≈-27.0（舍去）.因此，相框边的宽度约是1.5cm (第6题)》 7.一个直角三角形的三边长均为正整数，斜边的长比一直角边的长大1，比另一 直角边的长大8，这样的直角三角形存在吗？如果存在，有多少个？ 7.存在，有1个.假设这样的直角三角形存在，设斜边的长为x,则两直角边的长分 别为x-1,x-8,那么（x-1)2+(x-8)2=x2,解得x1=5(会去)，2=13.因此，这个 直角三角形的斜边长为13，另外两条直角边长分别为5,12.即这样的直角三角形 存在，有1个 拓广探索 8.如图，要设计一幅宽20cm,长30cm的图案，其中有两横两竖 的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2.如果要使彩条所占面积 是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度（结果保留小 (第8题)》 数点后一位)？ 8.设横、竖彩条的宽度分别是3xcm,2xcm.根据题意，得30×20-(30-2×2x)(20-2×3x) ×30×20,解得x1≈10.2（舍去），x2≈0.61，则3×0.61≈1.8(cm),2×0.61≈1.2(cm) 4 因此，应设计横、竖彩条的宽度分别为1.8cm,1.2cm 第二十五章一元二次方程25 9.如图，线段AB的长为1，点C,D,E在线段AB上 AE D C ⊙ (第9题) (1)若AC2=BC·AB,求线段AC的长； (2)在（1)的条件下，若AD=CD·AC,求线段AD的长； (3)在(1)(2)的条件下，若AE2=DE·AD,求线段AE的长. 上面各题的结果反映了什么规律？ 9(1)线段AC的长为5- (2)线段AD的长为 (3)线段AE的长为 V5-13 21 规律：每次得到的线段长度都是前一次的5-1倍，这是黄金分到比 2 26教材笔记数学九年级上册RJ