25.2 降次—解一元二次方程-【教材笔记】2026-2027学年九年级上册数学课前预习笔记（人教版·新教材）

25.2 降次一解一元二次方程 新知解读 与解一元一次方程类似，解一元二次方程也是把它逐步转化为“x=m”的 形式.与一元一次方程不同，一元二次方程是二次的，因此解一元二次方程需要 “降次”，即把二次方程转化为一次方程.本节我们研究如何通过“降次”解一元 二次方程 “降次”的依据是 25.2.1配方法 平方根的意义 先来看一个简单的一元二次方程 x2=4. 根据平方根的意义，得 x=±2， 即 为=2，x2=-2 一般地，对于方程 将一个正实数开方 )的结果有“正、负” x2=p, 两种情况 (1)当卫>0时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根：=√p, 龙2=-Vp; 不能认为只有一个根 (2)当p=0时，方程有两个相等的实数根：=2=0； (3)当p<0时，因为对任意实数x,都有x2≥0，所以方程无实数根 ®探究 表明x2=p有实数根的前提条件是p≥0 对照上面解方程x2=4的过程，你认为应怎样解方程(x+3)2=5? 在解方程x2=4时，由方程x2=4得x=±2.由此想到：由方程 (x+32=5, ① 得 )将x+3看成一个整体 x+3=tV5, 即 x+3=V5,或x+3=-5 ② 第二十五章一元二次方程 5 于是，方程(x+3)2=5的两个根为 =-3+5,2=-3-5. 在上面的解法中，由方程①得到②，实质上是根据平方根的意义，把一个一 元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程①转化为我们会 解的方程了. 》降次是解一元二次方程的基本策略 例1解下列方程： （1)4x2-3=0; (2)(x+2)2-9=0. 解：(1)移项，并将二次项系数化为1，得 x2-3 4 由此可得 点拨：用直接开平方法解方 √3 程时，要先将方程化成左边 x=士 2 是含未知数的完全平方式， 右边是常数的形式 即 5 5 x=- (2)移项，得 (x+2)2=9. 由此可得 x+2=±3， →降次后，一元二次方程转化 为两个一元一次方程 x+2=3,或x+2=-3, 即 1=1,x2=-5 练习 解下列方程： (1)x2-9=0;(1)x1=3,x2=-3. (2)2x2-8=0;(2)x1=2,x2=-2. (3)9x2-5=33)x=22 22.(4)(x+62-9=0(4)x=-3,x9 (5)3(x-1)2-6=0; (6)x2-4x+4=5. (5)x=1+V2,2=1-2 (6)=2+5,2=2-5 6 教材笔记数学九年级上册RJ 解方程(x+3)2=5时，因为它的左边是含有x的完全平方式，右边是非负数， 所以可以直接降次解方程.对于任意一个一元二次方程，能否都转化为这种可以 直接降次的形式再求解呢？ 能，任意一个一元二次方程都能转化为 (x+n)2=p的形式，从而直接开平方降次求解 Q探究 怎样解方程x2+6x+4=0? 要把方程x2+6x+4=0转化为像(x+3)2=5这种形式的方程，关键是将方程 的左边转化为一个完全平方式.为此，对方程x2+6x+4=0移项，得 x2+6x=-4. ->(a±b)2=a2±2ab+b2.其中形如a2±2ab+b2 的式子能化成完全平方式 由a2+2ab+b2=(a+b)2,将上述方程两边同时加 为什么在方程 即9，方程左边就可以配成x2+2mx+m2形式的 x2+6x=-4的两边加 9?加其他数行吗？ 在方程的两边同时加9可 完全平方式，即 以将方程左边配成完全平 >不行 x2+6x+9=-4+9,方式，从而运用直接开平 方法求解 0 左边写成完全平方形式，得 配方是为了利用 (x+3)2=5. 开方实现降次，把一 解这个方程，得 个一元二次方程转化 成两个一元一次方程 x=-3+V5,2=-3-5. 来解 可以验证，-3±√5是方程x2+6x+4=0的两个根 像上面那样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫作配 方法 例2解下列方程： (1)x2-8x+1=0; (2)2x2+1=3x; (3)3x2-6x+4=0. 分析：（1)方程的二次项系数为1，可直接运用配方法. (2)方程的二次项系数为2，为了便于配方，可把二次项系数化为1.为此， 方程的两边都除以2. (3)与(2)类似，方程的两边都除以3后再配方. 解：(1)移项，得 x2-8x=-1. 第二十五章一元二次方程 7 配方，得 x2-8x+42=-1+42, (x-4)2=15. 由此可得 x-4=±15， =4+V15,为2=4-15. (2)移项，得 含未知数的项移到等号左边 〉常数项移到等号右边 2x2-3x=-1. 二次项系数化为1，得 x2_31 2 -2 配方，得 += 配完全平方式的方法： (1)当二次项系数为1时，在 方程的两边都加上一次项系数 由此可得 一半的平方； x-341 (2)当二次项系数不为1时， -4±4 通常先将方程两边同除以二次 项系数，化二次项系数为1后 x=1,为=2 1 再配方， (3)移项，得 》这两步顺序 3可调换 3x2-6x=-4. 二次项系数化为1，得 》当二次项系戴不是1时，通 常先将二次项系裁化为1 x2-2x=- 4 3 配方，得 x2-2x+12= 4 +12, 3 -= 因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，（x-1)2都是非负数，上 8 教材笔记数学九年级上册RJ 式都不成立，所以原方程无实数根.〉注意一无二次方程不一定有解 一般地，一元二次方程可以通过配方转化为 (x+n)2=p 的形式 (1)当p>0时，方程有两个不相等的实数根 x=-n+Vp,x2=-n-√p; (2)当p=0时，方程有两个相等的实数根 为=x2=-n; (3)当p<0时，因为对任意实数x,都有(x+n)2≥0，所以方程无实数根， 练习 1.填空： (1)x2+10x+25=(x+52;(2)x2-12x+36=(x-6; 25 3+5xt4xt2:（427 5 x+9=(x-32 3 2.解下列方程： 2.（1)x1=-9,x2=-1. =1-2 (2)=}+反， 7 2 (1)x2+10x+9=0; (2)x2-x- =05 (3)=-1+2 ，-1-V27 3 (4)=， 4+4,。44 (3)3x2+6x-4=0; (4）4x2-6x-3=0; : (5)x2+4x-9=2x-11; (6)x(x+4)=8x+4. (5)无实数根， (6)x=2+2√2,2=2-2√2 25.2.2 公式法 Q探究 任何一个一元二次方程都可以化成一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0). 能否用配方法得出它的解呢？ 我们根据用配方法解一元二次方程的经验解决这个问题. 第二十五章一元二次方程 9 移项，得 ax2+bx=-c. 二次项系数化为1，得 x2+0x=-c b a a 配方，得 2a/ a \2a 即 b2b2-4ac x+ ① 4a2 因为a≠0，所以4a2>0.式子b2-4ac的值有以下三种情况： (1)当-4ac>0时，，4ac>0,由①得 4a2 b b2-4ac x+ 2a 2a 方程有两个不相等的实数根 =b+你-4c,6h-4C 2a 2a 不能说成方程只有 刀一个实数根 (2)当b2-4ac=0时， -4ac=0,由①可知，方程有两个相等的实数根 4a2 X=h=- b 2a (3)当b2-4ac<0时， 2-4c<0,由①可知 4a2 x+ <0,而x取任何实数 2a 都不能使 /2 b x+2 <0成立，因此方程无实数根 可以发现，式子b2-4ac可以判别一元二次方程的根的情况，因此把它叫 作一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，通常用希腊字母“△”表示，即 4=b2-4ac. 10教材笔记数学九年级上册RJ 息归纳 由上可知，对于方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当4>0时，方程有两个不 相等的实数根；当=0时，方程有两个相等的实数根；当4<0时，方程无 实数根. 当△≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根可写为 x=-b±vB2-4ac 2a 的形式，这个式子叫作一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式. 求根公式表达了用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0的结果 解一个具体的一元二次方程时，把各系数代入求根公式，可以直接得出方程的根， 这种解一元二次方程的方法叫作公式法：→公式法适用于所有的一元二次方程 例3用公式法解下列方程： (1)x2-4x-7=0; (2)2x2-2W2x+1=0; (3)5x2-3x=x+1; （4)x2+17=8x. )不要漏掉符号 0 解：（1)因为a=1,b=-4,c=-7,所以 确定a,b,c的 4=b2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44>0. 值时，要注意它们的 符号 方程有两个不相等的实数根 x=-b±VB2-4ac -(-4)±√44 =2±1， 2a 2×1 即 用公式法解一元二次方程的 x=2+1L,为2=2-√1. 一般步骤： (1)把方程化为一般形式， (2)因为a=2,b=-2W2,c=1,所以 确定a,b,c的值（注意符号）： (2)求出4=b2-4ac的值； 4=b2-4ac=(-22)2-4×2×1=0.(3)根据求根公式求解. 方程有两个相等的实数根 b-2W2√2 为=龙2=- 2a2×22 (3)方程化为5x2-4x-1=0,此时a=5,b=-4,c=-1,所以 4=b2-4ac=(-4)2-4×5×(-1)=36>0. 方程有两个不相等的实数根 第二十五章一元二次方程 11 x=-b±VB2-4ac -(-4)±√364±6 2a 2×5 10 即 6=1= 5 (4)方程化为x2-8x+17=0,此时a=1,b=-8,c=17,所以 =b2-4ac=(-8)2-4×1×17=-4<0. 方程无实数根.>应用根的判别式，不解方程即可判断一元 二次方程根的情况 回到本章引言中列出的一元二次方程 x2+5x-25=0. 用公式法解这个方程，得 x=-5±V5-4x1x(-25-5±55 2×1 2 即 =+5=5 如果结果保留小数点后两位，那么：≈3.09,2≈-8.09 关于这两个根，只有：≈3.09符合问题的实际意义，因此雕像腰部以下身 长约为3.09m. 练习 。。。。。。。。。 。。。。。。。。。 用公式法解下列方程： (2)=1,5-1 （1)x1=-3,x2=2. 2 (1)x2+x-6=0; （2)x-5x-0(4)-0, 3 (3)无实数根. 4 (3)3x2-6x+4=0; (4)2x2-3x=0; (5)x=3,2=-V5 （6=-14 2,s-1-14 2 (5)x2+4x+8=4x+11; (6)x(2x-4)=5-8x. 25.2.3因式分解法 一元二次方程一般可以用公式法来解，但对于像x2=4这样的方程，根据平 方根的意义求解较为简便.下面，我们继续讨论对于解某些一元二次方程较为简 便的方法.先看下面的问题， 12教材笔记数学九年级上册RJ 问题根据物理学规律，如果把一个物体从地 面以10m/s的速度竖直上抛，那么物体经过xs后 的离地高度（单位：m)约为 10x-5x2. 根据上述规律，物体经过多少秒落回地面？ 之竖直上抛运动中，物体离上抛 设物体经过xs落回地面，这时它离地面的高度 点的距高为h=W-282.其 为0m,即 中vx为初速度，x为时间，g 为重力加速度，g≈9.8m/s2 10x-5x2=0. 将方程的左边分解因式，得 x(10-5x)=0. 这个方程的左边是两个一次因式的乘积，右边是 0 0.我们知道，如果两个因式的积为0，那么这两个因 如果ab=0,那 么a=0,或b=0. 式中至少有一个等于0；反之，如果两个因式中任何 一个为0，那么它们的积也等于0.所以 x=0,或10-5x=0. 因此，方程10x-5x2=0的两个根是 =0,x2=2. 对于这两个根，：=0表示物体抛离地面的时刻，即在0s时物体被抛出，此 刻物体的高度是0m；而x2=2表示物体在抛离地面2s时落回地面. 》通过因式分解，转化为每个一次因 食思考 式等于0，得到两个一次方程. 解方程10x-5x2=0时，二次方程是如何降为一次的？ 可以发现，在上述解法中，由10x-5x2=0到x=0或10-5x=0的过程，不 是用开平方降次，而是先分解因式，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式， 再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫作 因式分解法。心因式分解法只适用子都 常用的方法有提公因式法、公式法 分一元二次方程 (平方差公式、完全平方公式) 例4解下列方程： (1)x(x-2)+x-2=0; (2)5x2-2x-1=x2-2x+3 4 4 第二十五章一元二次方程13 解：（1)左边分解因式，得 (x-2)(x+1)=0. 于是 用提公因式x-2的方 法分解因式 x-2=0,或x+1=0, 即 x1=2,x2=-1. 因式分解法解一元 (2)移项、合并同类项，得 二次方程速记口诀： 右化零，左分解， 4x2-1=0. 两因式，各求解. 左边分解因式，得 )用平方差公 (2x+1)(2x-1)=0. 式分解因式 于是 2x+1=0,或2x-1=0, 即 =1x=1 26=2 g思考 学习了配方法、公式法、因式分解法等求解一元二次方程的方法后，你 能说说它们各自的特点吗？ 配方法要先配方，再开方，进而降次；通过配方法可以推出求根公式，公式 法直接利用求根公式解方程；因式分解法要先将方程一边化为两个一次因式相乘， 另一边为0，再分别使各一次因式等于0. 配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法只在解某些一元二次 方程时比较简便.总之，解一元二次方程的基本思路是：先将二次方程化为两个 一次方程，即降次，再分别解两个一次方程. 练习 易酷：在方程的右边没有化为0前， 1.解下列方程：不能把左边进行因式分解 (2)x=0,x22W3 (1)x2+x=0; (1)x=0,x2-1. (3)x1=x2=1. (2)-23x=0:4)x=号=号 2 3）3x2-6x=-35(5)x,=,21（4）4x2-81=05(6)x1=1,x22 (5)3x(2x+1)=4x+2; 2(6)(x-42=(5-2x2 14 教材笔记数学九年级上册RJ 2.如图，把小圆形场地的半径增加5m,得到大圆形场地， 大圆形场地与小圆形场地的面积比为9：4，求小圆形场 地的半径2设小圆形场地的半径为rm,则大圃形场地的羊径为 (r+5)m.根据题意，得9元r24π(r+5},即9r2-4(r+5)》2, 解得=-2（不合题意，舍去），2=10.因此，小圆形场 (第2题) 地的半径为10m. 25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 由一元二次方程的解法可知，当△≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根可 由系数a,6c确定.由求根公式x=-b±-4ac 可知，通过对系数a,b,c 2a 进行有限次加、减、乘、除、乘方、开方等运算，可以得到方程的根.求根公式 反映了一元二次方程的根与系数的关系，这种关系还有其他表现形式吗？ 思考 观察求根公式x=-b±VB-4ac 它有什么特点？由此考虑一元二次方 2a 程的两个根与系数的关系，你能获得什么启发？ 整体上看，两个根分别是“m+n”和“m一n”的形式，而且式子“n”中 含有根号.这种形式的式子相加可以消去“n”,相乘可以去掉“n”中的根号， 从而使形式简洁， 因为 与-b+么c=力-G 2a 2a 所以 +xb+vbi-4acb-1B-4ac2b b 2a 2a 2a a -b+Vb2-4ac.-b-Vb2-4ac(-b)2-(b2-4ac) X2= 2a 2a 4a2 a 由此得出，一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，x2与其系数a,b,c有 第二十五章一元二次方程 15 如下关系： 0 b +为=a,为=9 这种表示方式中， 交换，2的位置， 上述关系还可以用如下方法得出 不影响它们的和、积 我们知道，如果一元二次方程ax2+bx+c=0的 的值.随着后续的学 习，研究一元n次方 左边可以分解因式为a(x-:)(x-2),那么方程 程的根与系数的关系 ax2+bx+c=0的两个根为：和2.反过来，如果一元 时，我们会认识到这 种表示更具一般性。 二次方程ax2+bx+c=0的两个根为：和x2,那么 ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2), 注意：根与系数的关系 即 的使用前提是一元二 次方程有根，即=b2 ax2+bx+c=ax2-a(x+x2)x+axx2. 4ac≥0. 由此可得 -a(x1+x2)=b,ax1x2=C. 因此 两根之和等于一次项系数与 b C)两根之积等于常数项与 二次项系裁的比的相反最 X1+X2=一 ,Xx2= 三次项系数的比 例51 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根，2的和 与积： (1)x2-6x-15=0; (2)3x2+7x-9=0; (3)5x-1=4x2. 解：（1)x+2=-(-6)=6,x2=-15. 7 (2)+x2=- 29=-3. 3 (3)方程化为4r2-5x+1=0,所以x+6=-5_,5,=1 4 拓展：（1)若一元二次方程x2+px+g=0的两个根为x1,2,则x+x2p, x29;（2)以实数1，为两根，且二次项系数为1的一元二次方程 练习 是x2-(x1+x2x+xx2=0. 不解方程，求下列方程两个根，2的和与积： (2)xt3w3 4 (1)x2-3x=15; (2)3x2+2=1-4x; 1x1x2-3,xx2=-15. (3)5x2-1=4x2-x; (4)2x2-x+2=3x+1.（4)x+2,2 （3)x1+x2=-1,xx2=-1 16 教材笔记数学九年级上册RJ 习题25.2d 复习巩固 1.解下列方程： （136-1=011)=名8 (2)4=49:2)子 (3)(x+5)2=25; (4)x2+2x+1=4. （3)x1=0,x2=-10. （4)x1=1,x2=-3 2.填空： 1 (1)x2+6x+9=(x+32; (2)x2-x+4=(x-2P; （4x2+员=- 1 (3)4x2-4x+1=(2x+1_2; 5 3.用配方法解下列方程： (2)x号 3 1 3.（1)x1=-2,x2=-8. 2 1.145 (1)x2+10x+16=0; 3 (3)-1+26 (2)x-x-40 （4)x= 8+ 8 1V145 (3)3r+6x-5=0;-1-26 (4)4x2-x-9=0.x2 88 4.利用一元二次方程根的判别式判断下列方程的根的情况： （1)2r-3-;-0:招餐高数豫个（2)16r-24+9=0:等物年精国 (2)方程有两个 （4)方程有两个 (3)x2-4W2x+9=0; （4)3x2+10=2x2+8x.不相等的实数根 （3)方程无实数根 5.用公式法解下列方程： (2)5=2+5 2-5 5.（1)x1=3,x2=-4. 2，= 2 (1)x2+x-12=0; (2)x2-2x-1=0: (3)x=-2+V6,2=-2-V6 (3)x(x-4)=2-8x; (4)x2+2W5x+10=0. (4)方程无实数根. 6.用因式分解法解下列方程： 6.（1)x1=x2=2 (2)x1=6,x2=-6. (1)3x2-12x=-12; (2)4x2-144=0; (3)=1, 2 (4)x1=-2,x23 4 (3)3x(x-1)=2(x-1); (4)(2x-1)2=(3-x)2. 易酷：方程两边不可同除以(x-1),否则会漏掉x=1这个根 第二十五章一元二次方程 17 7.求下列方程两个根，的和与积： 7.（1)x1+x2=3,xx2-8. (2)xx=- 5’2=-1. (1)x2-3x+2=10; (2)5x2+x-5=0; (3）x1+x2=4,x1x2=-6 (3)x2+x=5x+6; (4)7x2-5=x+8. 13 xX2=- > 综合运用 8.一个直角三角形的两条直角边的长相差5，面积是7，求斜边的长 8.设较长的直角边的长为x,则较短的直角边的长为x-5.根据题意，得二xx-5)=7.解 得x=7,=-2(不合题意，舍去).∴.x5=7-5=2.∴斜边的长为√72+22=√53 9.用适当方法解下列方程： 9.（1)x=3V2,x2=-3W2. (2)x1=2+2V3,x2=2-25 (1)3x2=54; (2)x2-4x=8; (3)x=1,3 1 (4)x1=2,23 (3)3x2-1=2x;>造合用公式法 （4)x2-6x+9=(5-2x2>适合用因 式分解法 10.无论p取何值，方程(x-3)(x-2)-p2=0总有两个不相等的实数根吗？如果 有，求出这两个根；如果没有，说明理由. 10.方程总有两个不相等的实数根.理由：去括号，得x2-5x+6-p2=0 .4-(-5}-4×1×(6-p2)=25-24+4p2=1+4p2.p2≥0，.1+4p>0, 即>0，∴.方程总有两个不相等的实数根， 拓广探索 拓展：与一元二次方程a+bx+c=0的两个根x,x,有关的代数式的常见变形： (1）X+x=(x+x22-2x2: (2)(-x尸=（玉+x2-4x (3)1+1=+五 x x2 xx2 )x1十X2= 623,x 2 11.已知方程2x2-6x+3=0的两个根为x,2,求下列式子的值： (1)1+1 （2)x+x号. 为x2 11)1+1-+=3-2 (2)+号=(5+3尸-26=32-2x =6. 名书xx23 2 2 18 教材笔记数学九年级上册RJ 12.（(1)因为x3-8x2+19x-12=(x-1)(x-3)(x-4),所以1,3,4是一元三次方 程x3-8x2+19x-12=0的三个根，计算1+3+4,1×3+3×4+4×1,1×3×4 的值，它们与一元三次方程x3-8x2+19x-12=0的系数有什么关系？ 12.（1)1+3+4-8,其值等于一元三次方程的二次项系数与三次项系数的比的相反 数；1×3+3×4+4×1=19，其值等于一元三次方程的一次项系数与三次项系数的比： 1×3×412,其值等于一元三次方程的常数项与三次项系数的比的相反数， (2)如果一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0有三个实数根，，，那么 ax3+bx2+cx+d可以化为a(x-)(x-2)(x-3).由此你能发现，x2, x3与一元三次方程的系数a,b,c,d之间的关系吗？ b (2)x+2+x3=-,xx2+x23+53=,xx2西=- a a 0 ★阅读与思考大 一元二次方程与黄金分割数 本章引言中有一个关于人体雕像身长比例的问题，可以将其一般化：如 图1，在线段AB上找一个点C,它把线段AB分 1-x B 为不相等的两段AC和CB,其中AC<CB,且使 图1 AC:CB=CB:AB. 设AB=1可以使方程简单，且 不失一般性.若设AB=a,则对 0 入应的结果为x=51。 一些有关线段成 2 a 为简单起见，设AB=1,CB=x,则AC=1-x, 比例的问题，往往可 转化为利用一元二次 代入AC:CB=CB:AB,得(1-x):x=x:1,即x2+x 方程求解的问题，再 1=0.解方程，得x=1±5. 根据问题的实际意义， 通过求解方程，获得 2 问题的答案 取x= 5-1≈0.618，这个值就是上面问题中所求 长度的比. 人们把5-1这个数叫作黄金分制数，如果把一条线 段分为两部分，使其中较短一段与较长一段的长度比是黄 金分割数，那么较长一段与整个线段的长度比也是黄金分 割数. 图2 第二十五章一元二次方程19 黄金分割数在很多优美的图案中都有体现.如在常见的正五角星（图2） 中存在黄金分割数.随着后面“相似”内容的学习，通过解一元二次方程， 可以证明--Y2·再如，观察劈鹅螺外完的截面（图3 可以看出其轮廓形如黄金螺线（图4），而黄金螺线恰恰是通过黄金分割数得 到的. 证明时需要考虑正五角星内角的度 裁及相应三角函裁（后面要学习的 内容)的值 图3 图4 长期以来，很多人认为黄金分割数是一个很特别的数，早在古希腊时期， 《原本》中就有关于“内外比”的记载，即我们所说的黄金分割数.在古希腊 以及文艺复兴时期的许多艺术设计中，都能发现黄金分割数的“身影”.因此， 黄金分割数也常被视作一种数学眼光下的美的标准，例如，一些名画和雕塑 中人的腰部以上与以下身长之比大都接近黄金分割数，就可以增加美感. 这种优选法叫作黄金分割法，也叫作0.618法< 优选法中有一种0.618法应用了黄金分割数.优选法是 一种具有广泛应用价值的数学方法，著名数学家华罗庚曾 为普及它作出重要贡献.1985年6月12日，华罗庚去世前 几小时，仍在进行题为《理论数学及其应用》的学术报告 (图5)，报告主要内容即优选法，华罗庚曾说过，他要工作 图5 到人生的最后一刻，他践行了自己的诺言， 同学们可以查阅资料，进一步了解黄金分割数及其应用. 20 教材笔记数学九年级上册RJ