25.1 一元二次方程的概念-【教材笔记】2026-2027学年九年级上册数学课前预习笔记（人教版·新教材）

第仁十五章一元二次方程 方程是现实问题中含有未知数的等量关系的数学表达，我们已经学习过利用 一元一次方程解决现实生活中具有等量关系的问题，下面再来考虑一个更为复杂 的问题。 这个相等的比（约等于0.618）也叫作黄金比，它在实际生活中具有广 泛的应用，比如，古希腊的许多矩形建筑中，宽与长的比都等于黄金比 在设计人体雕像时，使雕像的腰部以上与腰部以下的身长比，等于腰部以下 与全身的身长比，可以增加视觉美感.如果某人体雕像全身长为5m,按照上述 比例，雕像腰部以下为多长？ 在比例里，两个外项的积等于两个内 项的积，这叫作比例的基本性质 雕像腰部以上的身长AC与腰部以下的身长BC满足如下等量关系：， AC:BC=BC:5,BC2 =5AC.-------- 设雕像腰部以下的身长BC为xm,根据上述等量关系，就可以列出方程 x2=5(5-x),整理得x2+5x-25=0.解这个方程就可以得出雕像腰部以下的身长. 与一元一次方程相比较，上述方程也只含有一个未知数，但未知数的最高次 数是2，这样的方程就是本章要学习的一元二次方程.在本章中，我们将探究一 元二次方程的解法、根与系数的关系，并运用一元二次方程解决一些实际问题， 增强模型观念.学习本章后，你对方程的认识将会得到进一步提升， 5-x CH x2+5x-25=0 雪#之行 25.1一元二次方程的概急 新知解读 章引言中的方程 x2+5x-25=0 ① 只含有一个未知数x,x的最高次数是2.像这样的方程有丰富的背景、广泛 的应用，可以帮助我们解决很多实际问题.看如下一些问题. 问题1如图25.1-1，有一块矩形铁皮，长100cm,宽50cm.在它的四角 各切去一个同样大小的正方形铁皮，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无 盖方盒（图25.1-2).如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm,那么矩形铁 皮各角应切去边长为多少的正方形铁皮？》为了制作无盖方金，在柜形铁皮 各角切去的正方形应大小相同 图25.1-1 图25.1-2 设各角切去的正方形铁皮的边长为xcm,则盒底的长为(100-2x)cm,宽为 (50-2x)cm.根据方盒的底面积为3600cm2,可列得方程 (100-2x)(50-2x)=3600. 方程②中未知数的个戴是1， 最高次数是2. 整理并化简，得 x2-75x+350=0. ② 方程②中未知数的个 数和最高次数各是多少？ 由方程②可以得出各角所切正方形铁皮的边长 问题2要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛 1场).根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，组织 者应邀请多少支球队参赛？ 设应邀请x支球队参赛，每支球队要与 其他(x-)球队各赛1场，则此次邀请赛共 为什么需进行x-1)场？ 需进行2x-》场，所以可列得方程 因为每两支球队之间都要比赛一场， xx-10=28 如A队对B队的比赛与B队对A队 的比赛是同一场，不能重复算. 2 教材笔记数学九年级上册RJ 整理并化简，得 方程③中未知数的个 x2-x-56=0. ③ 数和最高次数各是多少？ 由方程③可以得出应邀请的球队数 方程③中未知数的个数 思考 是1，最高次数是2 (1)都只含有一个未知数； 方程①②③有什么共同点？ （2)方程的两边都是整式： (3)未知数的最高次数都是2 般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未 知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程(quadratic equation with one unknown). >特点：方程左边是关于未知数的二次整式，一殷 按未知数降幂的顺序排列，方程右边为0 一元二次方程的一般形式是 为什么规定a≠0？ ax2+bx+c=0(a≠0) 其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次如果a=0,那么方程am2+bx+c=0的二 次项为0，不符合一元二次方程的概 项，b是一次项系数；c是常数项 念，所以规定a0这一限制条件. 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解， 一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根. 注意项和项的系数是 两个不同的概念 例1将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出它 的二次项系数、一次项系数和常数项 将一元二次方程化为一般形式的步 骤如下， 去分母 解：去括号，得 去括号 3x2-3x=5x+10 移项 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0.)勿遗漏系数的特号 合并同类项 它的二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10 瓯习v使素玩产家资密货我县 1.把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、 确定一元二次方程的各项和各项系数时，《 一次项系数和常数项： 注意不要遗漏前面的符号 (1)5x2-1=4x; （2)4x2=81;(2)4x2-81=0,4,0,-81 1.15x24x-10,5,-4,-1. (3)4x(x+2)=25; (4)(3x-2)(x+1)=5x-2. (3)4x+8x-25=0,4,8,-25. （(4)3x2-4x=0,3, -4.0 2.根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的 一般形式： （1)4个完全相同的正方形面积之和是25，求正方形的边长； 2.（1）设正方形的边长为x.根据题意，得4x2=25,其一般形式为4x2-25=0 第二十五章一元二次方程3 (2)设矩形的长为x,则矩形的宽为x-2.根据题意， 得x（x-2)=100,,其一般形式为x2-2x-100=0. （2)一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长； (3)把长为1m的木条分成两段，使较短一段的长与木条全长的积，等于 较长一段长的平方，求较短一段的长 : (3)设较短一段的长为xm,则较长一段的长为（1-x)m.根据题意， 得x×1=（1-x)2,其一般形式为x2-3x+1=0. 习题25.1d 复习巩固 1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系 数和常数项： 1.(1)4x+5x-81=0,4,5,-81. (2)4+70,1,20 (1)4x2+5x=81; （3)2x2-5x+3=0,2,-5,3. (2)xx+2=0: (4)x2-2=0,1,0,-2 (3)(2x-3)(x-1)=0; (4)(3x-2)(x+1)=x(2x+1). 2.根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形 式：2.（1)π㎡2=2元，其一殷形式为π2-2m=0. (1)一个圆的面积是2π，求半径r; （2)。xx-3)=9,其一殷形式为x2-3x-18=0 (2)一个直角三角形的两条直角边的长相差3，面积为9，求较长直角边的长x; (3)一个直角三角形的一条直角边长是另一条直角边长的2倍，斜边长为5， (3)设较短直角边的长为x,则较长直角边的长为2x 求较短直角边的长.根据题意，得+2x=25,其一般形式为52-25=0 3.下列哪些数是一元二次方程x2+x-12=0的根？为什么？ -4,3.- -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4. 判断一个数是不是一元二次方程的解的方法：将一个数代入一元二次方程，若能使方 程左右两边相等，则这个数是一元二次方程的解；否则不是 综合运用 4.南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中记载了这样一个问题：直田积 (矩形面积)八百六十四步，只云阔不及长一十二步（宽比长少一十二步)，问 阔及长各几步.根据此问题列方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般 形式 4.设长为x步，则宽为（x-12)步.根据题意， 得x（x-12)=864,其一般形式为x2-12x-864-0 拓广探索 5.如果2是方程x2-c=0的一个根，求解如下问题：(2)把c=4代入原方程，得 1)常数c是多少？5（1）把2代入方程X-0， x2-4=0,.x2=4,根据平方根 的意义，得x=士2，.这个方 (2)此方程是否有其他根？如果有，求出这个根.程有其他根，这个根是=-2 4 教材笔记数学九年级上册BJ