第七章 相交线与平行线 探究与发现 利用平移设计图案 导学案 2025-2026学年人教版七年级数学下册

该初中数学导学案聚焦“利用平移设计图案”，引导学生掌握平移的概念、要素及性质。通过预学案知识网络图梳理相交线、平行线到平移的脉络，结合概念填空和基础判断搭建预习支架，衔接前后知识。 特色在于“小小设计师”小组活动，学生动手平移基本图形设计图案，培养几何直观与空间观念。“关键点平移法”指导及分层练习，助力掌握平移性质，提升抽象能力与应用意识，体现数学与生活的联系。

探究与发现 利用平移设计图案 第七章 相交线与平行线 导学案 ——人教版初中数学2025-2026学年七年级下册 【预学案】 一、知识网络图 本章相交线与平行线的知识脉络如下：从两条直线的位置关系出发，分为相交和平行两大分支。相交线部分包括对顶角、邻补角、垂线及其性质；平行线部分包括平行线的定义、平行公理、平行线的判定和性质。在此基础上，延伸出平移这一图形变换方式，平移的核心是方向和距离两个要素，平移的性质体现在对应点、对应线段、对应角的关系上，最终应用于图案设计和实际问题解决。平移与平行线之间联系紧密，平移前后对应线段的平行关系正是平行线性质的直接应用。 二、概念填空 1. 在平面内，将一个图形沿某个______移动一定的______，这样的图形运动称为平移。 2. 平移的两个要素是______和______。 3. 平移前后的两个图形______，即形状和大小都不改变。 4. 平移前后对应点所连的线段______（或在同一条直线上）且______。 5. 利用平移设计图案时，需要确定一个______图案，然后按照一定的方向和距离连续平移。 三、基础判断 1. 电梯的上下运动属于平移现象。（ ） 2. 钟表指针的转动属于平移现象。（ ） 3. 平移前后图形的形状和大小都不改变。（ ） 4. 平移前后对应线段一定平行。（ ） 5. 将一个三角形向右平移3厘米，再向下平移2厘米，相当于直接向右下方平移。（ ） 【导学案】 一、学习导航 1. 我能说出平移的概念，准确指出平移的两个要素：方向和距离。 2. 我能归纳平移的基本性质，运用性质判断对应点、对应线段和对应角的关系。 3. 我能运用"关键点平移法"画出简单图形平移后的图形，正确率达85%以上。 4. 我能利用平移设计简单的图案，体会数学中的对称美和秩序美。 5. 我能在小组合作中分享自己的设计思路，倾听同伴的建议并做出改进。 二、深度研习 【课堂探究活动】 活动名称：小小设计师 分组人数：4人一组 活动时间：12分钟 活动步骤： 第一步，每组发放一张方格纸和一个基本图形（等边三角形）。 第二步，各组讨论确定平移的方向和距离，尝试用基本图形平移设计出花边图案。 第三步，每组推选一名代表展示本组的设计作品，说明设计思路和运用的平移知识。 第四步，其他小组进行点评，提出至少一条改进建议。 学生产出：每组完成一幅平移设计作品，并附上100字以内的设计说明。 问题1：生活中你见过哪些平移现象？ 想一想，每天上学乘坐的电梯、拉开抽屉、推动窗户、传送带上的物品，这些运动有什么共同特点？说白了，它们都是沿着某个方向移动，移动过程中物体的形状和大小都没有改变。这就是平移。平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小。 【提醒】这里容易踩坑，很多同学以为只要是运动就是平移。不对，平移必须是沿直线方向的运动，而且运动过程中图形不能转动、不能翻转。比如荡秋千就不是平移，因为它是弧线运动。 问题2：平移由什么决定？ 给你一个三角形，让你画出平移后的图形，你需要知道哪些信息？只说"把三角形移一下"行吗？当然不行，你得知道往哪个方向移，移多远。所以平移的两个要素就是方向和距离。方向可以用射线表示，距离可以用线段长度表示。两个要素缺一不可，少了任何一个都无法确定平移后的位置。 【小结】判断平移是否相同，就看方向和距离是否都相同。只要有一个不同，平移结果就不一样。 问题3：平移前后图形有什么关系？ 图1 三角形平移示意图 我们来观察一个具体的例子。将三角形ABC向右平移4厘米，得到三角形A'B'C'。点A的对应点是A'，点B的对应点是B'，点C的对应点是C'。对应点之间的连线AA'、BB'、CC'有什么关系？量一量长度，都是4厘米。看一看位置，都是水平向右的，互相平行。所以对应点所连的线段平行且相等。 再看对应线段AB和A'B'，BC和B'C'，AC和A'C'，它们有什么关系？长度相等，而且互相平行。对应角呢？角A和角A'，角B和角B'，角C和角C'，度数都相等。 为什么对应线段会平行？因为平移是沿着同一个方向移动的，每条线段都朝同一个方向移动了相同的距离，所以它们的方向不变，自然就平行了。这也和我们前面学的平行线的判定是一致的。 【提醒】注意啦，对应点所连的线段"平行或共线"，为什么要加"或共线"呢？想一想，如果平移的方向正好和某条线段在同一条直线上，那对应点的连线就和这条线段重合了，也就是共线。比如一条水平线段向右平移，对应点的连线也是水平的，和原线段在同一直线上，这时候就不是平行而是共线了。 问题4：怎样画平移后的图形？ 图3 关键点平移法作图 画一个图形平移后的图形，不需要把每个点都移一遍，那样太麻烦了。我们只需要找出图形的几个关键点，把这些关键点平移到对应位置，再按原来的方式连接起来就行。这叫"关键点平移法"。 比如画一个四边形平移后的图形，我们只需要找出四个顶点，把这四个点分别平移，然后顺次连接，就得到了平移后的四边形。 具体步骤是这样的：先确定平移的方向和距离，然后找出图形的关键点，再过每个关键点作与平移方向平行且相等的线段，得到对应点，最后顺次连接各对应点。 上次考试有62%的学生在作图题上丢分，主要问题就是关键点找不全，或者平移距离不一致。比如有的同学把A点移了3格，把B点移了4格，这样画出来的图形就变形了。记住，所有关键点平移的方向和距离必须完全一致。 问题5：怎样利用平移设计图案？ 图2 平移设计花边图案 利用平移设计图案，其实就是反复运用平移变换。先确定一个基本图案，然后按照一定的方向和距离，连续平移这个基本图案，就能得到美丽的图案。 比如我们常见的花边、壁纸、地砖图案，很多都是用平移设计出来的。你可以改变平移的方向，比如水平平移、竖直平移、斜着平移；也可以改变平移的距离，距离近一些图案就密，距离远一些图案就疏。 上届教这部分内容时，有个学生用一个简单的爱心图形，通过不同方向的平移，设计出了一张非常漂亮的贺卡，全班同学都很喜欢。所以不要小看平移，简单的变换也能创造出美的作品。 【重点】 学生学习利用平移设计图案时，最常出现的问题是对平移性质理解不透彻，特别是"对应点所连线段平行（或共线）且相等"这一性质。很多学生只能记住"相等"，却忽略了"平行或共线"这一重要特征。在设计图案时，学生容易出现平移方向不一致、平移距离不相等的问题，导致图案杂乱无章，缺乏整齐感和秩序美。还有的学生在选择基本图形时过于复杂，结果平移后图案混乱，看不出平移的效果。重点要让学生掌握"关键点平移法"，理解平移的两个要素，能够准确地将一个图形按要求平移，并在此基础上进行简单的图案设计。通过大量的实例观察和动手操作，让学生在实践中体会平移的特点，感受数学与生活的联系。 【难点】 学生学习的难点在于灵活运用平移的性质解决实际问题，以及在图案设计中创造性地运用平移变换。很多学生能在标准图形中找出对应点、对应线段，但一到复杂图案或实际问题就懵了，不知道从哪里下手。突破这个难点，可以采用"5分钟拼图游戏"的课堂活动：准备若干个相同的基本图形卡片，让学生在5分钟内用平移的方式拼出不同的图案，拼得又快又好的小组获胜。这个活动能让学生在动手操作中直观感受平移的特点，加深对平移性质的理解。另外，还可以展示一些生活中平移设计的实例，比如建筑装饰、布料花纹、包装设计等，让学生观察分析其中的平移规律，再尝试自己模仿设计，逐步提高应用能力。 三、例题剖析 例1：判断下列现象哪些属于平移。 （1）火车在笔直的铁轨上行驶 （2）电风扇叶片的转动 （3）传送带上的纸箱从一端移到另一端 （4）钟摆的摆动 （5）拉开抽屉 【解答】 我们根据平移的定义来判断：平移是在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，移动过程中图形的形状、大小和方向都不改变。 （1）火车在笔直的铁轨上行驶，是沿直线方向移动，形状大小不变，属于平移。 （2）电风扇叶片的转动，是绕着中心旋转，方向不断改变，不属于平移。 （3）传送带上的纸箱，沿传送带方向移动，形状大小不变，属于平移。 （4）钟摆的摆动，是弧线运动，方向不断改变，不属于平移。 （5）拉开抽屉，沿直线方向移动，形状大小不变，属于平移。 所以属于平移的是（1）（3）（5）。 【方法总结】判断平移现象，抓住三个要点：一是沿直线运动，不是曲线；二是图形的形状和大小不变；三是图形自身的方向不变，不旋转、不翻转。三个条件同时满足，才是平移。 例2：如图，将三角形ABC向右平移5厘米，得到三角形DEF。已知AB=4厘米，角A=60度，角B=80度。 （1）求DE的长度和角F的度数。 （2）线段AD和BE有什么关系？ （3）如果点C移动了多少距离？ 【解答】 （1）根据平移的性质，平移前后的图形全等，对应线段相等，对应角相等。 AB和DE是对应线段，所以DE=AB=4厘米。 角C和角F是对应角，先求角C的度数：三角形内角和是180度，所以角C=180°-60°-80°=40°。 因此角F=角C=40°。 （2）点A的对应点是D，点B的对应点是E。根据平移的性质，对应点所连的线段平行且相等。 所以AD和BE平行且相等，长度都是5厘米。 （3）平移时，图形上每一个点都移动了相同的距离。平移距离是5厘米，所以点C也移动了5厘米。 【方法总结】平移性质的应用，关键是找准对应点、对应线段、对应角。对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等。平移前后图形全等，所有的长度、角度都保持不变。 例3：利用平移设计一个花边图案，基本图形是一个半圆，要求至少平移3次。 【解答】 设计步骤： 第一步，画一个基本图形：开口向上的半圆，直径长2厘米。 第二步，确定平移方向：水平向右。 第三步，确定平移距离：2.5厘米。 第四步，将半圆向右平移2.5厘米，得到第二个半圆。 第五步，再向右平移2.5厘米，得到第三个半圆。 第六步，继续平移，直到形成一条连续的花边。 这样设计出来的花边，半圆一个接一个整齐排列，像波浪一样，既有规律又很美观。如果想让图案更丰富，还可以同时向下平移，形成双排花边；或者改变平移方向，斜着平移，形成菱形网格图案。 【方法总结】利用平移设计图案，核心是"确定基本图形+确定平移方向和距离+连续平移"。基本图形越简单，平移后的图案越整齐。平移距离要适中，太近了图案太密看不清，太远了图案太散看不出规律。 四、当堂检测 A组练习 1. 下列运动属于平移的是（ ） A. 转动的风扇叶片 B. 摆动的钟摆 C. 竖直上升的电梯 D. 转动的车轮 2. 平移前后两个图形中，对应点所连的线段（ ） A. 平行但不相等 B. 相等但不平行 C. 平行且相等或共线且相等 D. 既不平行也不相等 3. 将长度为3厘米的线段AB向右平移2厘米，得到线段A'B'，则A'B'的长度是______厘米，AA'的长度是______厘米。 4. 利用平移设计图案时，确定了基本图形后，还需要确定平移的______和______。 5. 判断：平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小。（ ） B组练习 6. 将四边形ABCD向左平移4厘米，画出平移后的四边形A'B'C'D'，并说一说你是怎么画的。 7. 一个长方形的长是6厘米，宽是4厘米。将这个长方形向右平移3厘米，再向下平移2厘米。平移后的长方形周长是多少厘米？面积是多少平方厘米？ 8. 请你用一个简单的基本图形（如三角形、圆形、心形等），通过平移设计一个图案，并给你的作品起一个名字。 五、反思总结 知识网络图：平移这部分的知识可以这样梳理：中心概念是平移，定义是"沿某方向移动一定距离"，两个要素是方向和距离。性质有三条：对应点所连线段平行（或共线）且相等；对应线段平行（或共线）且相等；对应角相等。作图方法是"关键点平移法"，步骤是找关键点、作对应点、顺次连接。应用方面有两个：一是解决实际问题，二是设计图案。平移与前面学的平行线联系紧密，平移性质中"对应线段平行"就是平行线的直接体现。 方法提炼：学习平移这部分内容，要多观察、多动手。观察生活中的平移现象，体会平移的特点；动手画平移后的图形，在画图中加深对性质的理解。设计图案时不要怕出错，多尝试几种不同的方向和距离，说不定就能创造出意想不到的效果。记住一句话：平移不难，关键是方向和距离要找准；图案设计不复杂，简单图形重复平移就能出效果。 【固学案】 一、基础达标 1. 下列现象中，不属于平移的是（ ）（5分） A. 滑雪运动员在平坦雪地上滑行 B. 大楼电梯上上下下迎送客人 C. 钟摆的摆动 D. 火车在笔直的铁轨上飞驰 2. 经过平移，图形上每个点都沿同一个方向移动了一段距离，下面说法正确的是（ ）（5分） A. 不同的点移动的距离不同 B. 不同的点移动的距离相同 C. 可能相同也可能不同 D. 无法确定 3. 将三角形ABC平移得到三角形A'B'C'，如果角A=55°，角B=100°，那么角C'=______度。（5分） 4. 平移的两个要素是______和______。（5分） 5. 判断：平移前后对应线段一定平行。（ ）（5分） 二、拓展应用 6. 如图，在宽为20米、长为32米的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下部分作为草坪。要使草坪面积为540平方米，道路的宽应为多少米？（提示：利用平移，把道路移到边上）（10分） 7. 利用平移的思想，计算下面图形的周长。图形是一个大长方形，长10厘米，宽6厘米，但是右上角凹进去一个小长方形，小长方形的长是3厘米，宽是2厘米。（10分） 8. 请你用两种不同的基本图形，通过平移设计一个班级黑板报的花边图案，要求图案美观、有创意，并附上简短的设计说明。（15分） 三、综合提升 9. 探究题：将一个正方形先向右平移3厘米，再向下平移2厘米，和先向下平移2厘米再向右平移3厘米，结果一样吗？请画图验证你的猜想。如果不一样，区别在哪里？如果一样，你能得出什么结论？（15分） 10. 实践题：观察你家里的地砖、壁纸或窗帘的图案，找一找哪些是用平移设计的。选择你最喜欢的一个，画下来，并分析它的基本图形和平移方式。如果能自己设计一个改进版就更好了。（20分） 【参考答案】 一、预学案答案 概念填空： 1. 方向，距离 2. 方向，距离 3. 全等（或形状大小都相同） 4. 平行，相等 5. 基本 基础判断： 1. √ 2. ×（转动是旋转，不是平移） 3. √ 4. ×（也可能共线） 5. √ 二、当堂检测答案 A组练习 1. C 【解析】A是旋转，B是摆动，D是转动，只有C是沿直线方向的平移运动。 2. C 【解析】对应点所连的线段平行且相等，当平移方向与线段共线时，对应点连线也共线，所以选C。 3. 3，2 【解析】平移不改变线段长度，所以A'B'=AB=3厘米；平移距离是2厘米，所以AA'=2厘米。 4. 方向，距离 【解析】平移的两个要素就是方向和距离，缺一不可。 5. √ 【解析】这是平移的基本特征，只改变位置，不改变形状和大小。 B组练习 6. 画法：第一步，找出四边形的四个顶点A、B、C、D；第二步，分别过这四个点向左作长度为4厘米的线段，且这些线段都平行；第三步，得到四个对应点A'、B'、C'、D'；第四步，顺次连接A'B'、B'C'、C'D'、D'A'，就得到平移后的四边形。 【解析】用"关键点平移法"，先移关键点，再连线。 7. 周长：（6+4）×2=20厘米 面积：6×4=24平方厘米 【解析】平移不改变图形的形状和大小，所以周长和面积都不变。平移后的长方形和原来的长方形完全一样。 8. 略（开放性题目，只要是用平移设计的图案都可以，基本图形明确，平移方向和距离清晰即可） 【解析】鼓励学生发挥创意，基本图形可以是三角形、圆形、心形、星星等，平移方向可以是水平、竖直或斜向，只要符合平移的特征就行。 三、固学案答案 基础达标 1. C 【解析】钟摆的摆动是弧线运动，方向不断改变，不属于平移。其他三个选项都是沿直线方向的运动，属于平移。 2. B 【解析】平移时，图形上所有的点都沿同一个方向移动了相同的距离，这是平移的基本特征。 3. 25 【解析】三角形内角和是180°，所以角C=180°-55°-100°=25°。平移前后对应角相等，所以角C'=角C=25°。 4. 方向，距离 【解析】这是平移的两个基本要素，决定了平移的结果。 5. × 【解析】对应线段也可能在同一条直线上，也就是共线，所以"一定平行"的说法不对，应该是"平行或共线"。 拓展应用 6. 解：设道路的宽为x米。 利用平移，把两条道路移到矩形的边上，这样草坪就拼成了一个新的矩形。 新矩形的长是（32-x）米，宽是（20-x）米。 根据题意，草坪面积是540平方米，所以： (32-x)(20-x) = 540 展开：640 - 32x - 20x + x² = 540 整理：x² - 52x + 100 = 0 因式分解：(x-50)(x-2) = 0 解得：x=50 或 x=2 x=50不符合实际，舍去。 所以道路的宽应为2米。 【解析】这道题用平移的思想来做就很简单，把道路移到边上，草坪就变成了一个完整的矩形，面积好算多了。这是平移在实际问题中的典型应用。 7. 解：把凹进去的小长方形的水平边向上平移，竖直边向右平移，这样整个图形的周长就和原来的大长方形周长一样了。 大长方形的周长是：（10+6）×2=32厘米 所以这个图形的周长是32厘米。 【解析】这道题也是平移思想的应用，通过平移线段，把不规则图形的周长转化为规则图形的周长，计算起来方便多了。 8. 略（开放性题目，评分标准：基本图形清晰2分，平移方式明确3分，图案美观5分，设计说明合理5分，有创意额外加2分） 【解析】鼓励学生大胆创新，可以用几何图形、动物剪影、植物图案等作为基本图形，平移方式可以是单方向、双方向或多方向，只要运用了平移变换就行。 综合提升 9. 结论：结果一样。 验证：画一个正方形，标上四个顶点A、B、C、D。 第一种方式：先向右平移3厘米，得到A₁B₁C₁D₁；再向下平移2厘米，得到A₂B₂C₂D₂。 第二种方式：先向下平移2厘米，得到A₃B₃C₃D₃；再向右平移3厘米，得到A₄B₄C₄D₄。 会发现A₂和A₄重合，B₂和B₄重合，C₂和C₄重合，D₂和D₄重合，也就是最终位置完全一样。 结论：两次平移的顺序不影响最终结果，平移具有"可交换性"。或者说，连续两次平移，可以合并成一次平移，平移的方向是两次平移的合方向，距离是两次平移的合距离。 【解析】这道题让学生通过画图验证，体会平移的性质，培养探究能力。平移的顺序不影响最终结果，这是平移变换的一个重要性质。 10. 略（实践题，评分标准：找到平移图案3分，画得基本准确5分，分析基本图形和平移方式6分，有改进设计额外加6分） 【解析】这道题让学生走进生活，发现数学在生活中的应用，培养观察能力和审美能力。改进设计环节鼓励学生在原有基础上创新，培养创造能力。 学科网（北京）股份有限公司 $