第七章 相交线与平行线 利用平行线的性质求角度数 专项练 2025-2026学年人教版数学七年级下册

第七章 相交线与平行线 利用平行线的性质求角度数 典型题型归纳 专项练 2025-2026学年下学期初中数学人教版（2024）七年级下册 一、单选题 1．如图， ，则的度数为(   ) A． B． C． D． 2．如图，，点E是上一点，平分，平分，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．如图，直线，若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 4．如图是一张长条形纸片，其中，将纸片沿EF折叠，A、D两点分别与、对应，若∠1＝∠2，则的度数为（　　） A．72° B．36° C．60° D．65° 5．如图，将三角尺与直尺贴在一起，使三角尺的直角顶点C（∠ACB=90°）在直尺的一边上，若∠1=60°，则∠2的度数等于（  ） A．75° B．60° C．45° D．30° 6．如图，已知，一副三角板按如图放置，，则为（    ）    A． B． C． D． 7．如图，直线直线n，点A在直线n上，点B在直线m上，连接，过点A作，交直线m于点C．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 8．如图，直线被射线所截，，若°，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 9．如图，已知，，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C．若还知道，则能得到 D．若连接，则一定平行于 二、填空题 10．如图， ，，则_______． 11．如图，，将一副直角三角板如图摆放，，．对于结论：①；②；③；④．正确的结论有_________．（填写序号） 12．如图，两面平面镜，形成，从上一点射出的一条光线经平面镜上一点反射，反射光线恰好与平行，已知．若，则______°． 13．如图所示，，直线分别交、于点、．平分，平分，．则______． 14．如图，把一张长方形的纸按如图所示折叠，，两点分别落在点，处，若，则的度数为________．    三、解答题 15．如图，在中，点、在边上，点在边上，点在上，与的延长线交于点，，． (1)判定和的位置关系，并说明理由． (2)若，且，求的度数． 16．如图，平分，试说明．请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据． 解：∵平分， ∴（①________________） ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴②________________（内错角相等，两直线平行）， ∴（③________________）， ∵（已知）， ∴（④________________） ∴（⑤________________）． 17．完成下面的证明过程，并在括号里填写推理的依据． 如图，点、分别在线段、上，点在线段的延长线上．，，，，求证：． 证明：，（已知） ______（等量代换） ______（______） ，（已知） （______） ______（______） （已证） （______） 18．2025年央视春晚上，一群穿着花棉袄的机器人科技感爆棚．这个《秧》节目中的机器人名为，将传统文化与尖端技术融为一体，展现了极高的艺术表现力，更体现了中国在机器人技术领域的重大突破． [提出问题]（1）图1是练习时的侧面示意图，上身与地面垂直，脚面呈水平状态，若，求的度数？ [分析问题]构造辅助平行线是解决几何问题的核心技巧，化散为聚，实现角度的转移与转化，是初中几何从看图说话迈向逻辑构造的关键一步． [解决问题]以下是学习小组的解题过程，请把证明过程补充完整． 解：如图2，过点作，过点作， 则． _____ ， （理由是：____________________） （理由是：____________________） ，_____， _____ [迁移应用]（2）如图3是一款手推车的平面示意图，．若，求的度数． 19．如图，，被直线所截，且． (1)与平行吗？为什么？ (2)若平分，，求的度数． 20．如图，，与交于点． (1)若，求的度数； (2)若，，试判断与的位置关系，并说明理由． 21．在学习完《平行线的证明》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，杨老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关．如图1，从点O照射到抛物线上的光线OB，OC等反射以后沿着与平行的方向射出．图中如果，，则______， ______； (2)一种路灯的示意图如图2所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成的锐角的度数． 22．已知在直角三角尺中，． (1)将两个直角三角尺按如图1所示的方式放置，三角尺的直角顶点C与三角尺的直角顶点D重合，，则的度数是______ ． (2)如图2，直线，三角尺的顶点C在直线上，顶点A在直线上，若，求的度数． (3)如图3，直线，三角尺的顶点C在直线上，顶点A在直线上，请直接写出与之间的数量关系． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 A B D C D B C C D 1．A 解：如图，， ∴， ∵ ∴． 2．B 本题考查角平分线的定义、平行线的性质，设，先根据角平分线求得，，进而求得，然后利用平行线的性质求解即可． 解：设， ∵平分， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B 3．D 过的顶点作直线平行于直线，借助平行线的传递性得到平行于，再利用平行线的性质得到相等的角，将转化为与的和，进而通过角的差求出的度数． 解：如图，过的顶点作直线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 4．C 先根据折叠性质用含∠2的式子表示，再根据平行线的性质得∠2=∠3，然后根据三角形内角和定理求出∠2，最后根据平行线性质得出答案． 如图，根据折叠，可得， ∴． ∵， ∴∠2=∠3， ∴∠1=∠2=∠3， ∴， 解得∠2=60°． ∵， ∴． 故选：C． 本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理等，根据三角形内角和定理列出关于∠2的方程是解题的关键． 5．D 由平行线的性质及互余关系即可求得． 如图， ∵∠1=60°，CD∥EF， ∴∠DCB=∠2， ∵∠ACB=90°， ∴∠DCB=90°﹣∠1=30°． ∴∠2=30°． 故选D． 本题考查了平行线的性质，互余关系，掌握平行线的性质是解题的关键． 6．B 根据平行线的性质和判定求解即可． ∵ ∴ ∵ ∴ ∴． 故选：B． 本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行内错角相等是解题的关键． 7．C 根据两直线平行，同旁内角互补得出，结合已知条件即可求出∠2的度数． 解：如图所示， ∵直线直线n， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 本题考查了平行线的性质和垂线的定义，熟知：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． 8．C 由对顶角相等及平行线的性质即可求得结果． 解：∵， ∴； ∵， ∴， ∴， 故选：C．    本题考查了平行线的性质、对顶角的性质，掌握这两个性质是关键． 9．D 根据垂线的定义可得，则可证明得到，据此可判断A、B；若，则可推出，得到，根据现有条件无法得到平行于，据此可得答案． 解：∵，， ∴， ∴，故A说法正确，不符合题意； ∴，故B说法正确，不符合题意； 若，则， ∴， ∴，故C说法正确，不符合题意； 根据现有条件无法得到平行于，故D说法错误，符合题意． 10．/230度 过点作，利用平行线的性质进行求解． 解：如图，过点作， ∵， ∴， ∴， ∴． 注意掌握“铅笔头”模型． 11．①②③ 本题主要考查平行线的性质，三角板中角度的计算，掌握平行线的性质是解题的关键．根据平角的性质可判定①；根据，平行线的判定方法可判定②；如图所示，延长交于点，根据平行线的性质等腰直角三角形的性质可判定③；根据可判定④；由此即可求解． 解：根据题意，，， ∴，，， ∵，， ∴，故结论①正确； ∵，， ∴， ∴， ∴，故结论②正确； 如图所示，延长交于点，    在，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴在中，， ∴，故结论③正确； 由结论③正确可知，且， ∵， ∴，故结论④错误； 综上所述，正确的有①②③． 故答案为：①②③． 12．70 本题考查了平行线的性质，由平行线的性质得出，，求出，最后再由计算即可得出答案， 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：70． 13．30 先根据角平分线的定义求得，再利用平行线的性质求得，然后利用角平分线的定义求解即可． 解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴． 14．/度 本题考查了角的计算以及翻折变换，根据折叠的性质可得出，再根据，由平角的定义即可得出的度数． 解：、两点落在，处， ， ， ． 故答案为：． 15．(1)，理由见解析； (2)． 本题考查平行线的判定与性质． （1）先根据平行线的判定可得，根据平行线的性质得，等量代换得到，即可得和的位置关系； （2）由平行线的性质得到，，根据角的和差得出，再根据，即可得的度数． （1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 16．见解析 本题主要考查角平分线定义，平行线的判定和性质，结合图形，熟练掌握运用平行线的判定和性质是解题关键．根据角平分线定义得出，根据平行线的判定得出，根据补角的性质得出，最后根据平行线的判定得出答案即可． 解：平分， （① 角平分线的定义 ）， （已知）， （等量代换）， ②（内错角相等，两直线平行）， （③ 两直线平行，同旁内角互补 ）， （已知）， （④同角的补角相等）, ∴（⑤同位角相等，两直线平行）． 17．2；；同位角相等，两直线平行；同角的补角相等；；内错角相等，两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是熟练运用同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等判定定理，以及平行公理的推论． 先由已知角相等推出，再由同角的补角相等推出，最后根据平行公理的推论得到． 证明：（已知）， （等量代换）． （同位角相等，两直线平行）． （已知）， （同角的补角相等）． （内错角相等，两直线平行）． （已证）， （如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 故答案为：2；；同位角相等，两直线平行；同角的补角相等；；内错角相等，两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 18．（1）60；平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；；105；（2） （1）根据题意，对每个步骤填写结论和依据； （2）过点作，根据平行线的性质得，，再根据即可求解． 解：（1）补全过程如下： 如图2，过点作，过点作， 则． ， ， ， （理由是：平行于同一直线的两直线平行） （理由是：两直线平行，内错角相等） ， ， ； （2）如图3，过点作， ， ， ， ， ． 19．(1)平行，见解析 (2) （1）方法不唯一，证明即可判定． （2）先证明，根据平角定义计算的度数． （1）解：与平行．理由如下： ，， ， ． （2）解：， ； 平分， ， ， ． 20．(1) (2)，理由见解析 本题考查了垂直的定义，平行线的判定方法及性质等； （1）由同位角相等，两直线平行得，由两直线平行，同位角相等得，即可求解； （2）由两直线平行，同位角相等得，由平行线的性质得，即可得证； 掌握平行线的判定方法及性质是解题的关键． （1）解：， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： ， ， ， ， ， 由（1）可知，， ， ． 21．(1)， (2) 本题主要考查了平行线的判定与性质、角的和差等知识点，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）直接根据平行线的性质求解即可； （2）如图：过E点作，易得，则，进而得到，最后根据平行线的性质求解即可． （1）解：由题意可得：，，， ∴，， ∴ 故答案为：，． （2）解：由题意可得：， 如图：过E点作， ， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴． 22．(1) (2) (3) （1）根据“两直线平行，内错角相等”，即可获得答案； （2）首先根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得，结合，，即可获得答案； （3）延长到点，根据“两直线平行，同位角相等”可得，结合，即可证明结论． （1）解：∵，， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 如图，延长到点， ∵， ∴， ∵， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $