9.3 电场及电场强度 讲义 -2025-2026学年高二上学期物理人教版必修第三册

本讲义聚焦电场及电场强度核心知识点，从电场定义、性质出发，区分试探电荷与场源电荷，明确电场强度的定义、公式、矢量性和固有性，通过电场线描述电场，结合常见电场分布，构建从概念到计算及叠加的完整学习支架。 资料通过典例和微元法、对称法等特殊方法培养科学思维，如点电荷场强叠加问题强化模型建构与推理。课中辅助教师引导分析，课后助力学生练习巩固，查漏补缺，提升解决实际问题能力。

9-3 电场及电场强度 1.电场 1.定义 电场是在电荷周围存在着的由自由电荷产生的一种传递电荷间相互作用的特殊物质. 2.基本性质 对放入其中的电荷（不管是静止的还是运动的）有力的作用，这种力叫电场力.电场具有能量. 2.试探电荷与场源电荷 1.试探电荷（检验电荷）： 用来检验电场是否存在及其强弱分布情况的电荷，也叫检验电荷. 4.场源电荷 被检验的电场是由电荷Q激发的，则电荷Q被称为场源电荷、源电荷. 3.电场强度 1. 物理意义 电场强度是描述电场强弱及方向的物理量，反映了电场力的特性. 2.定义 在电场中放一个检验电荷，它所受到的电场力跟它所带电量的比值叫做这个位置上的电场强度，简称场强. 定义式： 单位：：N/C或V/m. 方向：电场线切线方向、正电荷受力方向（负电荷受力反方向）. 3.电场强度的特点 矢量性：正电荷在电场中某点所受电场力的方向为该点场强的方向. 固有性：某点的电场强度E是唯一的，其大小和方向与放入该点的电荷q无关. 4.电场线 1.电场线的意义 形象地描述电场而引入的假想曲线，规定电场线上每点的场强方向沿该点的切线方向 注意： ①电场线是假想曲线，不是实际存在的线. ②没有电场线通过的位置不一定就没有电场存在. ③电场线并不是带电粒子在电场中的运动轨迹. 2.电场线的特点 ①电场线上每点的切线方向就是该点电场强度的方向。 ②电场线的疏密反映电场强度的大小(疏弱、密强)。 ③电场线始于正电荷或无穷远，止于负电荷或无穷远。 ④任意两条电场线不相交、不相切、不闭合。 5.常见电场的电场线分布 1. 正点电荷 图样：发散状（光芒万丈） 特点： 1.越靠近点电荷，电场线越密， E越大 2.以场源电荷为圆心，圆周上的各点，E大小相同，方向不同 2. 负点电荷 图样：会聚状（万箭穿心） 1.越靠近点电荷，电场线越密， E越大 2.以场源电荷为圆心，圆周上的各点，E大小相同，方向不同 3. 等量同号电荷 图样：势不两立（相斥状） 1.电荷连线的中点处电场强度E=0 2.电荷连线的中垂线上各点的电场强度与中垂线共线 3.关于中点O对称的各点，E等大反向，EC=ED。 3. 等量异号电荷 图样：手拉手（相吸状） 1.电荷的连线上的电场的方向由正电荷指向负电荷 2.电荷连线的中垂线与该处的电场的方向处处垂直 3.关于中点O对称的各点，E等大同向，EC=ED。 4.匀强电场 定义：电场中各点场强的大小相等、方向相同的电场就叫匀强电场. 图样：等间距（平行状） 电场线是间隔相等的平行直线. 电场强度处处大小相等，方向相同。 常见的匀强电场：两等大、正对的，带等量异种电荷的平行金属板间的电场中，除边缘附近外，就是匀强电场. 1.计算电场强度的3种方式 关系 公式 适用条件 特点 定义式 E＝ 任何电场 某点的场强为确定值，大小及方向与F及q无关 决定式 E＝k 真空中的点电荷的电场 某点的场强E由场源电荷Q和距离r决定 关系式 E＝ 匀强电场 d是沿电场方向的距离 2.电线的应用 (1)判断电场力的方向----正电荷的受力方向为电场线切线方向，负电荷反之。 (2)判断电场强度的大小(定性)----电场线越密电场强度大、电场力越大、加速度越大。 (3)判断电势的高低与电势降低的快慢----沿电场线的方向电势逐渐降低，且降低最快。 (4)判断等势面的疏密----电场越强的地方，等差等势面越密集。 3.电场线与带电粒子运动轨迹的关系 1.直线运动 只受电场力，且粒子初速度为0或者与电场线方向相同 2.曲线运动 1.先利用合外力指向运动轨迹凹侧来判断受力方向 2.在根据电性判断电场线方向。正电荷受力为电场线方向，负电荷为电场线反方向。 1.点电荷电场强度的叠加 叠加原理： 如果场源是多个点电荷，实际场强等于各个点电荷产生场强的矢量和。 合成法则： 2.非点电荷电场强度的叠加 1.微元法 求解均匀带电圆环、带电直杆等在某点产生的场强问题，可应用微元法。 将带电体分成许多电荷元，每个电荷元可看成点电荷，先求每个电荷元的场强，再结合对称性和场强叠加原理求出合场强。 2.补偿法 当所给带电体不是一个完整的规则物体时(例如有缺口的带电圆环、半球面等)，通过补偿使其成为规则形状，求出规则物体的场强，再减去补偿部分产生的场强，从而得到不规则物体的场强。 3.对称法 形状规则电荷均匀分布的带电体形成的电场具有对称性。 如果能够求出其中一点处的电场强度，根据对称性特点，即可求出对称处的电场强度。 示例1. 如图所示，均匀带电的球壳在O点产生的场强，等效为弧BC产生的场强，等效为弧的中点M在O点产生的场强方向． 示例2. 带电均匀的圆板，在相互对称的位置产生的场强，大小相等、反向相反。 4.等效法 将复杂的电场情景变换为简单的电场情景，利用等效法处理，关键是确定等效电荷及其位置。 例如：一个点电荷＋q与一个无限大薄金属板形成的电场，等效为两个等量异种点电荷形成的电场，如图甲、乙所示． 1.电场、电场强度的理解及特点 典例1.（2025.南阳期末）关于电场，下列说法中正确的是（　　） A．电场并不是客观存在的物质，描述电场的电场线是客观存在的 B．电场对放入其中的电荷有力的作用 C．电场中某点的场强方向就是该点所放电荷受到的静电力方向 D．由E知，若q减半，则该处的电场强度变为原来的2倍 【解答】解：A、电场是客观存在的物质，而描述电场的电场线并不是客观存在的，故A错误。 B、电场的基本性质是：电场对放入其中的电荷有力的作用，故B正确。 C、电场中某点的场强方向就是该点正电荷受到的电场力的方向，或该点负电荷受到的电场力的反方向，故C错误。 D、电场强度的定义式E是比值定义，E与F、q不存在正反比关系，故D错误。故选：B。 典例2.（2024•盐城期末）有关电场强度的理解，下述说法正确的是（　　） A．由E可知，电场强度E跟放入的电荷Q所受的电场力成正比 B．当电场中存在试探电荷时，电荷周围才出现电场这种特殊的物质，才存在电场强度 C．由E可知，在离点电荷很近，r接近于零，电场强度达无穷大 D．电场强度是反映电场本身特性的物理量，与是否存在试探电荷无关 【解答】解：A：电场强度E可以根据定义式来测量，电场强度就等于每单位正电荷所受的力，但场强与试探电荷无关，是由电场本身决定的，故A错误； BD：电场强度是由电场本身决定的，是电场的一种性质，与试探电荷是否存在无关，故B错误，D正确； C：库仑力属于强相互作用，是一种远程力，点电荷电场的决定式，也不适用于r接近0的情况。故C错误。故选：D。 2.电场强度的常规计算 典例1.（2025•韩城市月考）在真空中O点放一个电荷Q＝+1.0×10﹣9C，直线MN通过O点，OM的距离r＝30cm，M点放一个点电荷q＝﹣1.0×10﹣10C，如图所示． （1）求q在M点受到的作用力． （2）求M点的场强． （3）拿走q后M点的场强是多大？ （4）M，N两点的场强哪点大？ 【解答】解：（1）q在M点受到的作用力FN＝1×10﹣8N． （2）根据点电荷的场强公式知，M点的场强N/C＝100N/C． （3）电场强度的大小与放入电场中的检验电荷无关，拿走q后M点的场强不变，仍然为100N/C． （4）根据E知，离场源电荷越远，电场强度越弱，可知M点的场强大． 典例2.（2024•西湖区模拟）如图所示，真空中O点有一点电荷，在它产生的电场中有a、b两点，a点的场强大小为Ea，方向与ab连线成60°角，b点的场强大小为Eb，方向与ab连线成30°角。关于a、b两点场强大小Ea、Eb的关系，以下结论正确的是（　　） A． B． C． D．Ea＝3Eb 【解答】解：根据几何关系，有：aO：bO＝1： 根据点电荷的场强公式E＝k得：E∝，有：Ea＝3Eb．故ABC错误，D正确。故选：D。 典例3.（2023•重庆）真空中固定有两个点电荷，负电荷Q1位于坐标原点处，正电荷Q2位于x轴上，Q2的电荷量大小为Q1的8倍。若这两点电荷在x轴正半轴的x＝x0处产生的合电场强度为0，则Q1、Q2相距（　　） A．x0 B．（21）x0 C．2x0 D．（21）x0 【解答】解：设Q1＝﹣Q，Q2＝8Q，Q1与Q2相距L， 两点电荷在x轴正半轴的x＝x0处产生的合电场强度为0，由于Q1＜Q2，故该处距离Q1近，距离Q2远，故Q2应放在x轴负半轴，该处合场强为零，则两点电荷在该处场强大小相等，方向相反，故有： ，故B正确，ACD错误。故选：B。 3.电场强度叠加 典例1.（多选）（2023•杭州模拟）甲、乙、丙、丁四图中的各圆环大小相同，所带电荷量已在图中标出，且电荷均匀分布，各圆环间彼此绝缘。下列关于坐标原点O处电场强度的说法中正确的是（　　） A．图甲与图丙场强相同 B．图乙与图丁场强相同 C．四图中O处电场强度的大小关系为E乙＞E丙＝E甲＞E丁 D．乙、丙两图中O处电场强度的大小关系为E乙E丙 【解答】解：设带电圆环在O点产生的场强大小为E，带正电的圆环电场方向由圆环指向O点且与x轴夹角为45°，带负电的圆环电场方向由O点指向圆环且与x轴夹角为45°。甲图中原点O处电场强度大小为E；根据矢量的合成可知乙图中坐标原点O处电场强度大小等于E；丙图中原点O处电场强度大小为E；丁图中坐标原点O处电场强度为0。综合以上分析，甲图和丙图方向相反，图乙与图丁电场不同，且E乙＞E丙＝E甲＞E丁，故AB错误；CD正确； 故选：CD。 巩固1.（多选）（2018•包头模拟）如图所示，在水平向右、大小为E的匀强电场中，在O点固定以电荷量为Q的正电荷，A、B、C、D为以O为圆心、半径为r的同一圆周上的四点，B、D连线与电场线平行，A、C连线与电场线垂直。则（　　） A．A点的场强大小为 B．B点的场强大小为E+k C．D点的场强大小不可能为0 D．A、C两点的场强相同 【解答】解：A、Q电荷在A电场强度E1＝k，方向和E方向垂直，A点的场强为E1和E的矢量和，EA，故A正确； B、Q电荷在B电场强度E2＝k，方向和E方向相同，B点的场强为E2和E的矢量和，EB＝E+k，故B正确； C、Q电荷在D点电场强度方向向左，和E电场方向相反，所以D点的合电场强可能为0，故C错误； D、Q电荷在A电场强度和Q电荷在C的电场强度方向相反，所以A、C两点的合电场强方向不可能相同，故D错误。故选：AB。 拓展1.（2024•四川模拟）如图所示，边长为L的正六边形ABCDEF的5条边上分别放置5根长度也为L的相同绝缘细棒。每根细棒均匀带上正电。现将电荷量为+Q的点电荷置于BC中点，此时正六边形几何中心O点的场强为零。若移走+Q及AB边上的细棒，则O点强度大小为（k为静电力常量）（不考虑绝缘棒及+Q之间的相互影响）（　　） A． B． C． D． 【解答】解：每根细棒均匀带上正电，现将电荷量为+Q的点电荷置于BC中点，此时正六边形几何中心O点的场强为零； 由此可知，+Q的点电荷在O点的电场强度大小为E 那么每根细棒在O点的电场强度大小也为E； 因此+Q及AB边上的细棒在O点的合电场强度大小E合； 其方向如图所示： 若移走+Q及AB边上的细棒，那么其余棒在O点的电场强度大小为E′合；方向与图中方向相反，故ABC错误，D正确；故选：D。 4.多个点电荷场强叠加 典例1.（2013•新课标Ⅱ）如图，在光滑绝缘水平面上，三个带电小球a、b和c分别位于边长为l的正三角形的三个顶点上；a、b带正电，电荷量均为q，c带负电。整个系统置于方向水平的匀强电场中。已知静电力常量为k。若三个小球均处于静止状态，则匀强电场场强的大小为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设c电荷带电量为Q，以c电荷为研究对象受力分析， 根据平衡条件得a、b对c的合力与匀强电场对c的力等值反向，即：2cos30°＝E•Q 所以匀强电场场强的大小为。故选：B。 典例2.（2015•山东）直角坐标系xOy中，M、N两点位于x轴上，G、H两点坐标如图。M、N两点各固定一负点电荷，一电量为Q的正点电荷置于O点时，G点处的电场强度恰好为零。静电力常量用k表示。若将该正点电荷移到G点，则H点处场强的大小和方向分别为（　　） A．，沿y轴正向 B．，沿y轴负向 C．，沿y轴正向 D．，沿y轴负向 【解答】解：G点处的电场强度恰好为零，说明负电荷在G点产生的合场强与正电荷在G点产生的场强大小相等方向相反， 根据点电荷的场强公式可得，正电荷在G点的场强为，负电荷在G点的合场强也为， 当正点电荷移到G点时，正电荷与H点的距离为2a，正电荷在H点产生的场强为，方向沿y轴正向， 由于GH对称，所以负电荷在G点和H点产生的场强大小相等方向相反，大小为，方向沿y轴负向， 所以H点处场合强的大小为，方向沿y轴负向，所以B正确；故选：B。 巩固1.（2023•湖南）如图，真空中有三个点电荷固定在同一直线上，电荷量分别为Q1、Q2和Q3，P点和三个点电荷的连线与点电荷所在直线的夹角分别为90°、60°和30°。若P点处的电场强度为零，q＞0，则三个点电荷的电荷量可能为（　　） A．Q1＝q，Q2q，Q3＝q B．Q1＝﹣q，Q2q，Q3＝﹣4q C．Q1＝﹣q，Q2q，Q3＝﹣q D．Q1＝q，Q2q，Q3＝4q 【解答】解：AB、若三个点电荷同时带正电或者负电，则P点的场强不可能为零，故AB错误； C、设P和Q1间的距离为r，则Q1和Q3在P点处的场强大小为： ,解得：E 根据点电荷的场强公式可得Q2在P点处产生的场强大小为：，则P点的场强不为零，故C错误； D、同理可得，Q1和Q3在P点处的场强大小为： ,解得：E 根据题意可知Q2产生的场强大小为：，则P点处的场强为零，故D正确；故选：D。 巩固2.（2021•湖南）如图，在（a，0）位置放置电荷量为q的正点电荷，在（0，a）位置放置电荷量为q的负点电荷，在距P（a，a）为a的某点处放置正点电荷Q，使得P点的电场强度为零。则Q的位置及电荷量分别为（　　） A．（0，2a），q B．（0，2a），2q C．（2a，0），q D．（2a，0），2q 【解答】解：根据点电荷的场强公式及平行四边形定则，可以求出点电荷+q与﹣q在P点的合场强的大小为：E合＝2cos45°，方向与﹣x方向成45°角指向左上方。那么+Q在P点产生的场强与E合大小相等，方向相反。再根据点电荷的场强公式有：E合，代入解得：Q＝2，Q在P点产生电场的方向应与+x方向成45°。结合题意+Q应在y轴上的（0，2a）位置，故ACD错误，B正确。故选：B。 拓展1.（2024•济南期末）中华人民共和国国旗的设计图中每一颗五角星都是边长相等的共面十边形。如图所示abcdefghij也是一个边长相等的共面十边形，若在e点固定电荷量为Q的正电荷，i点固定电荷量为Q的负电荷。下列说法正确的是（　　） A．a、c两点的电场强度相同 B．b、g两点的电场强度相同 C．b点的电场强度比d点的电场强度小 D．f点的电场强度比j点的电场强度小 【解答】解：A、根据等量异种电荷的电场分布及电场的矢量叠加可知ac两点的电场强度大小相等，方向不同，所以ac两点的电场强度不相同，故A错误； B、b到ei连线的距离大于g到ei连线的距离，根据电场线分布可知b点电场求得小于g点电场强度，故B错误； C、d点离ie连线距离较近，根据等量异种电荷的电场分布及电场的矢量叠加可知b点的电场强度比d点的电场强度小，故C正确； D、根据对称性可知正电荷在f点的电场强度E+f和负电荷在j点的电场强度E﹣j大小相等，又ej＞if，则负电荷在f点的电场强度E﹣f大于正电荷在j点的电场强度E+j，由几何关系可知，E+f和E﹣f间的夹角为θ1＝180°﹣36°＝144°，E﹣j和E+j间的夹角为θ2＝180°﹣18°＝162°，根据矢量叠加原理可知，E+f和E﹣f的矢量和大于E﹣j和E+j的矢量和，即f点的电场强度大于j点的电场强度，故D错误；故选：C。 拓展2.（多选）（2025•湖北）如图所示，在xOy平面内有一以O点为中心的正五边形，顶点到O点的距离为R。在正五边形的顶点上顺时针方向依次固定电荷量为q、2q、3q、4q、5q的正点电荷，且电荷量为3q的电荷在y轴正半轴上。静电力常量为k，则O点处的电场强度（　　） A．方向沿x轴负方向 B．方向与x轴负方向成18°夹角斜向下 C．大小为（cos54°+cos18°） D．大小为（2cos54°+cos18°） 【解答】解：法一：点电荷在O点产生的场强方向如图所示 由几何关系可知θ1＝18°，θ2＝54°，将5个场强沿x、y轴分解可得： Ex＝E1cos54°+E2cos18°﹣E4cos18°﹣E5cos54°（2cos54°+cos18°） Ey＝E1sin54°+E5sin54°﹣E4sin18°﹣E2sin18°﹣E3（sin54°﹣sin18°）＝0 根据场强叠加原理可知O点电场强度方向沿x轴负方向，大小为（2cos54°+cos18°），故AD正确，BC错误。 法二：AB、将各处电荷进行等效，如图所示： 根据均匀带电圆环在其内部中点的合场强为零，则五个点中3q的电荷在O点产生的合场强为零。 根据等量异种电荷中垂线电场线的分布特点可知，O点的电场强度方向沿x轴负方向，故A正确、B错误； CD、根据图丙可知，﹣q的电荷与y轴正方向的夹角为：72°，﹣2q的电荷与y轴负方向夹角为：36° 根据电场强度的叠加可知，O点场强大小为E（2cos54°+cos18°），故C错误、D正确。故选：AD。 5.常见的电场线分布及特点 典例1.（2025•吉林期末）用电场线能很直观、很方便地比较电场中各点的电场强弱和方向。图甲是等量异种点电荷形成的电场的电场线，图乙是该静电场中的一些点，O是电荷连线的中点，E、F是连线中垂线上相对O对称的两点，B、C和A、D分别相对O点左右对称。则下列说法正确的是（　　） A．B、C两点电场强度大小相等，方向相同 B．A、D两点电场强度大小相等，方向相反 C．E、O、F三点相比较，O点电场强度最小 D．B、O、C三点相比较，O点电场强度最大 【解答】解A.根据对称性可知，B、C两点电场强度大小相等，方向相同，均水平向右，故A正确； B.根据对称性可知，A、D两点电场强度大小相等，方向相同，均水平向左，故B错误； C.在中垂线上，O点电场强度最大，所以E、O、F三点比较，O点场强最大，故C错误； D.根据电场线的疏密程度表示场强大小，由图可知B、O、C三点，O点电场线最稀疏，则O点场强最小，故D错误；故选：A。 典例2.（多选）（2024•秀英区模拟）某电场的电场线分布如图所示，则（　　） A．电荷P带负电 B．电荷P带正电 C．正试探电荷在c点受到的电场力大于在d点受到的电场力 D．a点的电场强度大于b点的电场强度 【解答】解：A、电场线从正电荷出发，由电场线分布可知，电荷P带正电，故A错误，B正确； C、因c点的电场线较d点密集，可知c点的场强较大，正试探电荷在c点受到的电场力大于在d点受到的电场力，故C正确； D、a点的电场线比b点较稀疏，则a点的电场强度小于b点的电场强度。故D错误；故选：BC。 巩固1.（多选）（2023•铁岭期末）如图所示，两个带等量正电荷的小球A、B（可视为点电荷），被固定在光滑绝缘的水平面上。P、N是小球A、B的连线的水平中垂线，且PO＝ON．现将一个电荷量很小的带负电的小球C（可视为质点），由P点静止释放，在小球C向N点运动的过程中，下列关于小球C的速度图象中，可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：在AB的垂直平分线上，从无穷远处到O点电场强度先变大后变小，到O点变为零，负电荷受力沿垂直平分线运动，电荷的加速度先变大后变小，速度不断增大，在O点加速度变为零，速度达到最大，由速度与时间的图象的斜率先变大后变小，由O点到无穷远，速度变化情况与另一侧速度的变化情况具有对称性。如果PN足够远，则B正确，如果PN很近，则A正确，CD错误。故选：AB。 巩固2.（2022•苏州模拟）如图所示，一试探电荷进入真空中等量的同种点电荷所形成的电场中，A、B、C是试探电荷运动轨迹上的三个点，下列说法正确的是（　　） A．试探电荷一定从A点到B点再到C点 B．试探电荷在B点的加速度小于在C点的加速度 C．当试探电荷从A点到B点再到C点时，速度先增大再减小 D．试探电荷一定带负电 【解答】解：A、试探电荷可能从A点到B点再到C点，也可能从C点到B点再到A点，根据题意无法判断试探电荷的运动方向，故A错误； B、电场线的疏密程度表示场强的大小，C点的电场线比B点密集，故C点的场强大于B点的场强，试探电荷在B点的电场力小于在C点的电场力，在B点的加速度小于在C点的加速度，故B正确； D、由曲线运动的条件可知，点电荷对试探电荷的电场力一定指向曲线的凹侧，则试探电荷受到斥力作用，试探电荷带正电，故D错误。 C、当试探电荷从A点到B点再到C点时，电场力与速度的夹角先是钝角后是锐角，先做负功后做正功，动能先减小后增大，速度先减小后增大，故C错误；故选：B。 6.特殊法求强电场强度 一、微元法 （2022•苏州模拟）如图，水平面上有一水平均匀带电圆环，带电量为+Q，其圆心为O点。有一带电量q，质量为m的小球，在电场力和重力作用下恰能静止在O点正下方的P点。OP间距为L，P与圆环边缘上任一点的连线与PO间的夹角为θ。静电力常量为k，则带电圆环在P点处的场强大小为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：AB．如下图所示： 选取圆环上某一小微元，所带电荷量为ΔQ，根据点电荷场强公式可知 该微元在P点的场强大小为: 由于整个圆环上所有带电微元在P点的场强在水平方向的合场强为零，故带电圆环在P点处的场强大小为: 故A错误，B正确； CD．小球恰能静止在P点，由平衡条件:E合q＝mg,解得: 即带电圆环在P点处的场强大小为，故CD错误。故选：B。 二.、对称法 典例1.（2024•徐州期中）如图所示，一固定的均匀带电圆环，圆心为O，带电量为Q。MN为垂直于圆环的轴线，M、N两点距圆心均为r。在圆心正下方2r的位置固定一电量为+q的小带电体。在M点放置不同电量的试探电荷，试探电荷均可保持静止。不计试探电荷的重力，静电力常量为k。则N点的电场强度大小为（　　） A．0 B． C． D． 【解答】解：在M点放置不同电量的试探电荷，试探电荷均可保持静止，即M点场强为零。 电量为+q的小带电体在M处产生电场强度为，方向向上。 根据电场的叠加原理，带电圆环与小球在M处产生电场强度大小相等，方向相反，所以带电圆环在M处产生的电场强度大小，方向向下 根据对称性可以知道带电圆环在N处产生的电场强，方向向上 电量为+q的小带电体在N处产生电场强度为，方向向上 所N点处场强的大小为，故ABC错误，D正确；故选：D。 典例2.（2024•河北）如图，真空中有两个电荷量均为q（q＞0）的点电荷，分别固定在正三角形ABC的顶点B、C。M为三角形ABC的中心，沿AM的中垂线对称放置一根与三角形共面的均匀带电细杆，电荷量为。已知正三角形ABC的边长为a，M点的电场强度为0，静电力常量为k。顶点A处的电场强度大小为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：M点的电场强度为零，说明两个点电荷在M点处的场强和带电细杆在M点的场强大小相等且方向相反，设均匀细杆在M点的电场强度为E0，根据库仑定律和几何关系可得： ，方向竖直向下 根据对称性可知，均匀细杆在A点的场强大小为E0，方向竖直向上，则A处的场强大小为： ，故D正确，ABC错误；故选：D。 巩固1.（2022•青浦区期中）AB是长为L的均匀带电绝缘细杆，P1、P2是位于AB所在直线上的两点，位置如图所示。AB上电荷产生的静电场在P1处的场强大小为E1，在P2处的场强大小为E2，若将绝缘细杆的右半边截掉并移走（左半边电荷量、位置不变），则P2处的场强大小变为（　　） A．E2+E1 B．E2﹣E1 C． D． 【解答】解：若将绝缘细杆的右半边截掉并移走（左半边电量、位置不变），由上分析可知，这截掉的一半细杆在P1点产生的场强大小为E1，根据对称性可知，它在P2点产生的场强大小也为E1，所以截掉后P2处的场强大小为E'＝E2﹣E1．故B正确，ACD错误。故选：B。 拓展1.（2024•辽宁模拟）如图所示，一半径为r的薄圆盘上均匀分布着正电荷，在垂直于圆盘且过圆心c的水平轴线上有b、d两个点，b、d到c的距离均为r，三角形abd为竖直面内的正三角形，在a点有一个点电荷，b点场强大小为E、方向垂直bd向上，k为静电力常量，则下列说法正确的是（　　） A．a点的点电荷带正电 B．a点的点电荷的带电量为 C．圆盘上电荷在d点产生的场强大小为 D．将a点的点电荷沿ca方向远离圆盘，则该点电荷具有的电势能减小 【解答】解：A、a点点电荷在b点产生的场强与圆盘在b点产生的场强叠加后场强大小为E，垂直cb向上，分析可得圆盘上电荷在b点产生的场强沿cb向左，则a点点电荷在b点产生的场强大小为 ，方向沿ba方向，因此a点点电荷带负电，故A错误； B、设a点点电荷电量为q，根据点电荷电场强度公式有 ，解得 q，故B正确； C、圆盘上电荷在d点产生的场强大小为 ，故C错误； D、将a点点电荷沿ca方向远离圆盘，点电荷克服电场力做功，具有的电势能增大，故D错误。故选：B。 三、等效法 典例1.（2024•临渭区期末）经过探究，某同学发现：点电荷和无限大的接地金属平板间的电场（如图甲所示），与等量异种点电荷之间的电场分布（如图乙所示）完全相同，图丙中固定于O点的正点电荷q到金属板MN的距离OA为L，AB是以点电荷q为圆心、L为半径的圆上的一条直径，静电力常量为k，则B点电场强度的大小是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：两个异号点电荷电荷量的大小均为q，它们之间的距离为2L，乙图上+q右侧L处的场强大小为：E＝kk 根据题意可知，B点的电场强度大小与乙图上+q右侧L处的场强大小相等，即为，故A正确，BCD错误； 巩固1.（2025•大同模拟）如图所示，xOy平面是无穷大导体的表面，该导体充满z＜0的空间，z＞0的空间为真空。将电量为q的点电荷置于z轴上z＝h处，则在平面xOy上会产生感应电荷。空间任意一点处的电场皆是由点电荷和导体表面上的感应电荷共同激发的。已知静电平衡时导体内部场强处处为零，则在z轴上z处的场强大小为（k为静电力常量）（　　） A．k B．k C．k D．k 【解答】解：在z轴上处，合场强为零，该点场强为q和导体近端感应电荷产生电场的场强的矢量和； q在处产生的场强为：； 由于导体远端离处很远，影响可以忽略不计，故导体在处产生场强近似等于近端在处产生的场强； 处场强为：0＝E1+E2，故； 根据对称性，导体近端在处产生的场强为； 电荷q在处产生的场强为：；故处的合场强为：，故选：D。 巩固2.（多选）（2025•固始县开学）如图所示，带负电的点电荷旁有一接地的大金属板，A为金属板内一点，B为金属板左侧外表面上一点，下列对金属板上的感应电荷分别在A点和B点产生的场强方向的判断正确的是（　　） A．感应电荷在A点的场强沿E1方向 B．感应电荷在A点的场强沿E2方向 C．感应电荷在B点的场强可能沿E3方向 D．感应电荷在B点的场强可能沿E4方向 【解答】解：AB、金属内部场强为0，点电荷在A点场强方向为E1，感应电荷的场强与E1大小相等，方向相反二者叠加后才能为0，所以感应电荷在A点的场强沿E2方向，故A错误．B正确． CD、B点十分靠近金属板，可认为是在金属板表面上，那么B点合场强方向应垂直金属板向外，而源电荷引起的分场强指向负电荷，合场强分解，一个方向指向负电荷，一个方向则可能为题目所给的E3方向，故C正确，D错误．故选：BC。 四、补偿法 典例1.（2023•山东模拟）已知均匀带电球体在球的外部产生的电场与一个位于球心的、电荷量相等的点电荷产生的电场相同。如图所示，半径为R的球体上均匀分布着电荷量为Q的电荷，在过球心O的直线上有A、B两个点，O和B、B和A间的距离均为R．现以OB为直径在球内挖一球形空腔，若静电力常量为k，球的体积公式为Vπr3，则A点处场强的大小为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意知，半径为R的均匀带电体在A点产生场强为： 同理割出的小球半径为，因为电荷平均分布，其带电荷量 则其在A点产生的场强： 所以剩余空腔部分电荷在A点产生的场强 所以：ACD错误，B正确。故选：B。 巩固1.（2024•长沙校期末）均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。如图所示，在半球面AB上均匀分布正电荷，总电荷量为q，球面半径为R，CD为通过半球顶点与球心O的轴线，在轴线上有M、N两点，OM＝ON＝2R。已知M点的场强大小为E，则N点的场强大小为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设半球面AB有一相对于球心O对称的相同半球面，则整个球面在球外空间形成的电场，可以相当于将电荷量为2q的电荷放在O处，则等效电荷在M、N点所产生的电场大小均为： 由于半球面AB在M点的场强大小为E，则右侧填补的半球面在M点产生的电场强度为: 根据对称性可知，半球面AB在N点的场强大小与右侧填补的半球面在M点产生的场强大小相等，即N点的场强大小为:，故A正确，BCD错误。故选：A。 拓展1.（多选）（2022•湖北二模）如图所示，半径为2r的均匀带电球体电荷量为Q，过球心O的x轴上有一点P，已知P到O点的距离为3r，现若挖去图中半径均为r的两个小球，且剩余部分的电荷分布不变，静电力常量为k，则下列分析中正确的是（　　） A．挖去两小球前，两个小球在P点产生的电场强度相同 B．挖去两小球前，整个大球在P点产生的电场强度大小为k C．挖去两小球后，P点电场强度方向与挖去前相同 D．挖去两小球后，剩余部分在P点产生的电场强度大小为 【解答】解：A．两小球分别在x轴上下两侧，电性相同，它们在P点产生的场强分别斜向上和斜向下，与x轴夹角相等，方向不同，故A错误； B．大球所带电荷均匀分布整个球体，它在外部产生的电场可等效为所有电荷集中在球心O点在外部产生的电场，由库仑定律F，故B正确； C．大球在P点产生的电场沿x轴方向，两小球在P点的合场强也沿x轴方向，且小于大球在P点的场强，由场强叠加原理可知，挖去两小球后，P点场强方向不变，故C正确； D．设两小球的球心到P点的距离为l，有几何关系lr,球体积公式为VπR3 小球半径是大球半径的一半，故小球体积是大球体积的八分之一，故小球所带电荷量为q 两小球在P点场强均为E＝kk，合场强为E1 剩余部分在P点的场强为E2＝k，故D正确。故选：BCD。 7.静电场中的平衡类 典例1.（2024•密云区期末）如图用一条绝缘轻绳悬挂一个带正电小球，小球质量为1.0×10﹣3kg，所带电荷量为2.0×10﹣8C．现加水平方向的匀强电场，平衡时绝缘绳与竖直方向夹角为30°．求： （1）小球受到的电场力大小； （2）匀强电场的电场强度大小。 【解答】解：（1）小球受到重力、绳子拉力和电场力，受力如图所示， 根据共点力平衡可得电场力：F＝mgtan30°； （2）根据电场强度的定义式可得：EN/C。 巩固1.（多选）（2022•杭州模拟）如图所示的装置静止在水平向右的匀强电场中，细绳与竖直方向的夹角为θ，绝缘轻质弹簧与竖直方向的夹角为φ，A和B两球均可视为质点，小球A质量为m且带电，小球B质量为2m且不带电，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　） A．小球A一定带负电 B．一定有φ＞θ C．剪断细绳瞬间、小球B的加速度大小为 D．从与B相连处剪断弹簧瞬间，小球B的加速度大小为gsinθ 【解答】解：由整体法可以得到系统在水平和竖直方向上的平衡方程，分别是Tsinθ＝qE，Tcosθ＝3mg，可以得知电场力应该是水平向右的，电场强度也是向右的，所以A一定带正电，故A错误 由整体法得到的方程可以知道tanθ，再对A单独受力分析可以得到A在水平和竖直方向的方程分别是Fsinφ＝qE，Fcosφ＝mg，因此可以知道tanφ，因此可以得知θ＜φ，故B正确 当剪断细绳后，由于弹簧弹力不能瞬间发生变化，所以B物体此时所受到的合力与绳子拉力T等大反向，合力为，因此B此时的加速度为，故C错误 当剪断弹簧之后，弹簧弹力瞬间消失，此时绳子弹力是可以瞬间发生变化的，小球B将做单摆运动，沿着切线方向的分力2mgsinθ来提供加速度，因此小球B此时的加速度大小为gsinθ，故D正确故选：BD。 拓展1.（2022•杭州模拟）如图，电量为Q的正点电荷A固定不动，若要使电量为q、质量可变的正点电荷B在A左上方离其距离为R，连线与竖直成θ＝60°角处静止，则需在竖直平面内加一个匀强电场，场强为E，重力加速度为g，静电力常量为k。求： （1）所加电场E的方向如何时可使E最小，最小场强E的大小是多少； （2）在电场E最小的情况下，点电荷B的质量m多大； （3）若所加匀强电场斜向右上方30°，且电荷B仍静止，E′应为多大。 【解答】解：（1）对正点电荷B受力分析可知，AB之间的库仑力大小F，且方向一定，即F为恒力。重力、电场力qE、库仑力F三力平衡，力的矢量三角形如下图 因B的重力大小可变，方向不变，故当电场力qE与重力的作用线垂直时，电场力最小，则有： qEmin＝Fsin60° 解得最小场强E的大小为：Emin，方向水平向右。 （2）在电场E最小的情况下，满足： cos60° 解得： （3）若所加匀强电场斜向右上方30°，且电荷B仍静止，受力分析可知 解得： 答：（1）所加电场E的方向为水平向右时，可使E最小，最小场强E的大小是； （2）在电场E最小的情况下，点电荷B的质量m为； （3）若所加匀强电场斜向右上方30°，且电荷B仍静止，E′应为。 、 页 2 学科网（北京）股份有限公司 $