空间向量 知识清单-2027届高三数学一轮复习

空间向量 1、有向线段：具有方向的线段叫做有向线段. 2、平面向量与空间向量 空间向量 平面向量(a=(x,)、b=(x,) (a=(x,”)、i=(w,y) 定义 既有大小又有方向的量 在空间中，具有大小和方向的量 向量的模 向量的大小叫做向量的长度（或称模）. 零向量 大小是0，方向是任意的， 单位向量 大小是1，方向是与a相同或相反，非零向量a的单位向量士 a 相等向量 方向相同且模相等的向量。 相反向量 方向相反且模相等的向量. 共线向量 (或平行 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量， 向量) 共面向量 平行于同一个平面的向量. a+b a A 加法： a 减法： a-6 线性运算 三角形法则 平行四边形法则 三角形法则 数乘：ka,k为正数，负数，零 线性运算 ①交换律：a+i-i+a,a.b=i.a 运算律、 数量积运 ②结合律：(a+i+c=a+(6+c.2um=(a,(a-b=a.b,2∈R: 算律 ③分配律：(+)a=Aa+ua,k(a+i=ka+ki,(a+i-c=ac+b.c 空间向量基本定理： 平面向量基本定理： 如果三个向量a,方.c不共面，那么 如果e、e,是同一平面内的两个 不共线向量，那么对于这一平面内的任 对空间任一向量p,存在一个唯一的有序实 基本定理 一向量4有且只有一对实数1、2，使 数组，”，列，使户=xa+b+zc这不共 a=e+e2其中、e,叫做表示 面的三个向量a,方，c叫做空间的一个基 这一平面内所有向量的一组基底 底。 坐标运算 a+i=(x+x,乃+) a+i=(s+x,4+y,+2) a-=(x-x,片-y) a-i=(x1-x,y-y,3-) ai=x西+yy2 ab= la+ a2+2+z a=(x,y)=(,y) a=(,)=(x,) 设A(x1,y),B2,),则 设A1,y,z),B(x2,y2,z),则 AB=(x3-x,y3-) AB=(x3-x,2-,2-1). 数量积 a.B allblcos0 a.allblcos0 (或内) a-6 ab (a与b的 C0s0= COs0=_ labl lallbl 夹角记为 xx3+3 x1x2+y1y3+2122 0) Vx+功V2+ V+y2+2Vx2+为2+ 投影(a a在i上的投影为acos6= 与b的夹 a在b上的投影向量为acos6 6 角记为) 1b1 al6a=b-五=上=1=元 平行与垂 allbe a=Abxy=xy x2y222 直 a1iea.b=0一xx+y=0 a1i⊙a-i=0一xx+yy+3=0 3、空间向量的共线向量定理 对任意两个空间向量a,bb≠0)，a/i的充要条件是存在实数，使得a=石 推论1：（三点共线的充要条件）空间中一点P位于直线AB上的充要条件是存在实数使 AP=1AB,或对空间任一点0，有OP=OA+1AB 推论2：（三点共线的充要条件）设P、A、B是平面内的三点，则对空间任一点O,都存在唯 一的有序实数组，)，使OP=xOA+yOB当且仅当x十y=1时，P、A、B三点共线 4、空间向量的共面向量定理 若两个向量a,b不共线，那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一有序实数组 x,y),使得p=xa+yb 推论1：（四点共面的充要条件）空间中一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数 对x,y使MP=xMA+yMB,或对空间任一点O,有OP=OM+xMA+MB 推论2：（四点共面的充要条件）设P、A、B、M是不共线的四点，则对空间任一点O,都存 在唯一的有序实数组k,y,),使OP=xOA+yOB+zOM当且仅当x十y十z=1时，P、 A、B、M四点共面. 5、用向量来刻画空间直线、平面的平行、垂直关系 设4、山分别是直线1，的方向向量，h、22分别是平面a,的法向量，则 1/l2台山1∥2台3元∈R,使得41=u2 li/a台山1⊥h台4n1=0 c/B台h∥n,台入∈R,使得n,=入n2 1Lh台41⊥u2台山4=0 11⊥a台u,∥h台32∈R,使得u=入n a⊥B台h1⊥n2台n·n2=0. 6、利用空间向量求距离 (1)点P到直线1的距离 设AP=4,u是直线1的单位方向向量，则向量AP在直线1上 的投影向量AQ=(a)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得 IP9上VAPP-AOP 提醒：点到直线的距离还可以用以下两种方式求解： ①dAP|sn0,其中0为向量AP与直线l方向向量的夹角， ②d= AP·2, 其中为1的方向向量。 A (2)点P到平面c的距离 若平面的法向量为n,平面a内一点为A,则平面a外一点P到平 面a的距离为d=AP.n 如图所示 n (3)线面距离、面面距离都可以转化为点到平面的距离. 7、空间角 (1)异面直线所成的角 设异面直线h,12所成的角为0，其方向向量分别是u,v,则cos0=cos<u,v>= (2)直线与平面所成的角 如图，直线AB与平面c相交于点B,设直线AB与平面所成的角为0，直线AB的方向 向量为u,平面a的法向量为n,则sin0=cos<u,n>=」 (3)平面与平面的夹角 平面a与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大 于90的二面角称为平面α与平面β的夹角. 若平面a,的法向量分别是h和2，则平面α与平面邮的夹角即为向量2和n,的夹角或 其补角，设平面a与平面邹的夹角为6，则cos0=|cos<h,n,>= 8、三角形的“几心” 重心一中线 性质1、0是△ABC的重心台OA+OB+OC=0 F 性质2、A0=(AB+AC),AD=(AB+AC) B 性质3、AO:OD= 垂心 高线 性质1：0为垂心台OA.OB=OB.OC=OC.OA F D 内心（内切圆的圆心） 性质1：0为内心台aOA+bOB+cOC=d (a,b,c分别为△ABC的边BC,AC,AB) B D 外心（外接圆的圆心） A 性质1：0为△ABC的外心台OA=OB=OC N