精品解析：陕西省西安市雁塔区高新逸翠园中学2025-2026学年八年级 下学期第二次大练习数学试卷

2025-2026学年陕西省西安市雁塔区高新逸翠园中学八年级（下）第二次大练习数学试卷 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：选项A，左边是多项式，右边是两个整式的乘积，且等式成立，符合因式分解的定义； 选项B，等式右边为，不是几个整式乘积的形式，不符合要求； 选项C，变形是从整式乘积得到多项式，属于整式乘法，不是因式分解，不符合要求； 选项D，等式右边的不是整式，不符合因式分解的要求． 2. 如图，甲、乙、丙、丁四人手中各有一张圆形卡片，则卡片中的式子不是分式的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的概念，熟练掌握分式的概念是解决本题的关键． 根据分式的概念，即“如果A，B（B不等于零）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式”，由此判断选项即可． 【详解】解：甲：满足分式的概念，是分式； 乙：中分子与分母都不含有字母，不是分式； 丙：满足分式的概念，是分式； 丁：满足分式的概念，是分式． 故选：B ． 3. 如图，在四边形中，，判断四边形是平行四边形，下列可添加的条件不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定逐一判断即可． 【详解】解：A、一组对边平行，另一组对边相等不一定是平行四边形，还可以是等腰梯形，故A错误； B、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故B正确； C、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故C正确； D、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故D正确． 4. 如图，四边形是矩形，，点C在第二象限，则点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作轴于M，轴于N，则，，证明，得出，，得出，即可得出答案． 【详解】解：作轴于M，轴于N，如图所示： 则， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点C的坐标是； 故选D． 【点睛】本题考查矩形的性质、坐标与图形、全等三角形的判定与性质等知识；证明三角形全等是解题的关键． 5. 如图，是的中位线，是的高线，，，则的长度为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由勾股定理可求长，再由中位线定理即可求出． 【详解】解：∵是的高线， ∴， ∵是的中位线， ∴为中点， ∴， ∴， ∵是的中位线， ∴． 6. 若分式中的和都扩大为原来的倍后，分式的值不变，则可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将和都扩大为原来的倍，先确定分母的变化情况，再结合分式值不变的条件，推导得到需要满足的要求，再判断选项即可． 【详解】解：和都扩大为原来的倍， 分母变为，即分母扩大为原来的倍， 分式的值不变， 新的分子应扩大为原来的倍， A、若，新分子为，符合要求； B、若，新分子为，不符合要求； C、若，新分子为，不符合要求； D、若，新分子为，不符合要求． 7. 如图，中，点、分别在、上，依次连接、、、，图中阴影部分的面积分别为，已知、、，则的值是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】设平行四边形的面积为，则，由图形可知，，将、、代入，即可得． 【详解】解：设平行四边形的面积为，则， 由图形可知，， ∴， ∴， 解得． 8. 如图，菱形中，，连接，点E和点F分别在边，上，，，若M、N分别为线段、的中点，则线段的长度等于（ ） A. 4 B. C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】连接，取的中点，连接、，过点作交的延长线于，先证明为等边三角形，得出，结合题意可得为的中位线，为的中位线，则，，，，求出，则，，，最后再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接、，过点作交的延长线于， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵M、N分别为线段、的中点，为的中点， ∴为的中位线，为的中位线， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式. 10. 如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件______使平行四边形ABCD是矩形． 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 【分析】根据矩形的判定方法即可解决问题 【详解】解：若使平行四边形是矩形， 可添加的条件是： ；（对角线相等的平行四边形是矩形），等（有一个角是直角的平行四边形是矩形）， （答案不唯一） ． 11. 若，，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】把提取公因式得，把，代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴ ． 12. 关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是____________． 【答案】且##且 【解析】 【分析】先将分式方程化为整式方程，得到x关于m的表达式，再结合解为非负数，且分式分母不为0，即可求出m的取值范围． 【详解】解：方程两边同时乘以，得， 整理得， 分式方程的分母不能为0， 因此，即， 解得， 已知方程的解为非负数， 因此，即， 解得， 综上，的取值范围是且． 13. 如图，在矩形中，，，为边上一点，将沿折叠，点落在点 处，、分别交于点、，已知．则的长为___________________． 【答案】 【解析】 【分析】由矩形的性质得，，由折叠的性质得，，，证明，得出，，从而可得，设，则，，，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， 由折叠的性质得，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 14. 如图，菱形中，，，点E在对角线上，连接，，点P为直线上一动点．连接，以、为邻边构造平行四边形，连接，则最小值为___________________ ． 【答案】## 【解析】 【分析】过点Q作直线，过点A作于点H，交于点G，过点E作于点F，过点Q作于点L．先求出，再证，从而得出，得出点Q在上运动，，证明，求出，即可求出最小值． 【详解】解：如图，过点Q作直线，过点A作于点H，交于点G，过点E作于点F，过点Q作于点L． ∵菱形中，，点E在对角线上， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中， ∵，，， ∴． ∵， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：， 即． ∵平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点Q在上运动， ∵过点A作于点H，交于点G， ∴． ∵，， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 即， ∴最小值为． 三、解答题（共78分） 15. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先变形式子得到公因式，再提取公因式分解； （2）直接套用平方差公式，整理后即可分解． 【小问1详解】 解: 【小问2详解】 解： 16. 解分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1） . （2） . 【解析】 【分析】本题主要考查解分式方程，先去分母转化为整式方程，再解整式方程，最后检验即可． 【小问1详解】 ，   ， 检验：当 时， ， ∴ 是原方程的解； 【小问2详解】 ． ， ， ， 检验：当 时， ， ∴ 是原方程的解． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【解析】 【分析】先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值． 本题考查了分式的化简求值，求代数式的值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键． 【详解】解： ； 当时， 原式． 18. 作图题：在中平分，用尺规作图法，求作菱形，使得点E在上,点F在上（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】如图所示，菱形为所求： 【解析】 【分析】作的垂直平分线交于点E，交于点F，根据垂直平分线的性质，结合角平分线的定义，通过证明三角形全等，即可根据四边相等的四边形为菱形得到结论． 【详解】解：如图，设交于点， 由作图可知，垂直平分， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形． 19. 如图，在平行四边形中，过A作，过C作，交于点F． 求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明． 由平行四边形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 20. 已知a，b，c为的三条边的长，若，试判断此三角形的形状． 【答案】等腰三角形 【解析】 【分析】先对已知等式移项、因式分解，结合三角形三边均为正数的性质，推导出边的关系，进而判断三角形的形状． 【详解】解： ∵   移项得   因式分解得   提取公因式得   ∵   为的三条边的长 ∴  ， 因此    ∴  ，即   ∵    ∴   ∴是等腰三角形． 21. 如图1是我们生活中的一种遮阳伞，如图是它的骨架示意图，点在伞柄，骨架可以伸缩，关闭遮阳伞后，，，三点重合即，，点与点重合，四边形和四边形都是平行四边形，，． （1）求的长度； （2）若，，，求 ，两点之间的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意求出的长，再根据，即可解答； （2）根据平行四边的性质得出，则，连接，过点G作于点P，易得，根据平行四边形的性质得出，则，进而得出，则，，根据勾股定理可得：，即可解答． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 连接，过点G作于点P， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵四边形和四边形都是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， 由勾股定理可得， ∴． 22. 端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗，某商场在端午节来临之际用3000元购进、两种粽子1100个，购买种粽子与购买种粽子的费用相同，已知粽子的单价是种粽子单价的1.2倍. （1）求、两种粽子的单价各是多少？ （2）若计划用不超过7000元的资金再次购买、两种粽子共2600个，已知、两种粽子的进价不变，求中粽子最多能购进多少个？ 【答案】（l）种粽子的单价是3元，种粽子的单价是2.5元；（2）种粽子最多能购进1000个. 【解析】 【分析】（1）根据题意列出分式方程计算即可，注意根的验证. （2）根据题意列出不等式即可，根据不等式的性质求解. 【详解】（l）设种粽子的单价为元，则种粽子的单价为元 根据题意，得 解得： 经检验，是原方程的根 所以种粽子的单价是3元，种粽子的单价是2.5元 （2）设种粽子购进个，则购进种粽子个 根据题意，得 解得 所以，种粽子最多能购进1000个 【点睛】本题主要考查分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，关键在于分式方程的解需要验证. 23. 如图，在中，交的延长线于点， （1）求证：四边形是矩形； （2）已知为的中点，连接，．，，求的长． 【答案】（1）证明： 四边形是平行四边形， ，， ， ，， ∴四边形是平行四边形， 又， ， ∴四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）先由四边形是平行四边形，得，，因为，故，，得证四边形是平行四边形，再结合有一个角是的平行四边形是矩形，即可作答． （2）因为四边形是矩形，则，因为为的中点，所以，因为，由勾股定理得，代入数值进行计算，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得四边形是矩形，， ， 为的中点， ， ∵ ， 由勾股定理得． 24. 平面直角坐标系中，直线与直线交于点． （1）______，______； （2）点是直线上一动点，其横坐标为，过点作轴，交直线于点，当时，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，若，点是轴上一动点，在直线上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）点的坐标为或 （3）存在，点坐标为或或 【解析】 【分析】（1）把代入求出，得出，把代入可求出； （2）根据点的横坐标为，结合（1）中结论分别得出，，根据得出，解方程求出的值即可得出答案； （3）由（1）（2）可知，，设，，分为对角线、为对角线、为对角线三种情况，根据平行四边形对角线的中点相同列方程组求出的值即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵点在直线上， ∴， ∴， ∵直线与直线交于点， ∴， 解得：． 【小问2详解】 解：∵， ∴直线， ∵点是直线上一动点，其横坐标为， ∴， ∵过点作轴，交于点， ∴， ∵， ∴， 解得：，， 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上所述：点的坐标为或． 【小问3详解】 解：∵， ∴由（2）可知，， ∵点是轴上一动点，点在直线上， ∴设，， 由（1）可知，， ∵以，，，为顶点的四边形是平行四边形， ∴当为对角线时，、的中点坐标相同， ∴， 解得：， ∴， ∴； 当为对角线时，则对角线中点坐标为，即， ∴， 解得：， ∴， ∴； 当为对角线时，， 解得：， ∴， ∴； 综上所述：存在，点坐标为或或． 25. 解答下列各题： （1）【问题情境】如图1，在正方形中，点、在边、上，．垂足为．那么与相等吗？直接判断： （填“”或“”）； （2）【问题探究】如图2，在正方形中，点、、分别在边、和上，，垂足为，那么与相等吗？直接判断： （填“”或“”）； （3）【问题拓展】如图3，、分别在边、上，点在边上，且，垂足为，当在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点落在点处． ①四边形是正方形吗？请说明理由； ②若，点在上，,是否存在最小值，若存在，求出来；若不存在，说明理由 【答案】（1） （2） （3）证明：如图3，连接， 由(2)的结论可知，， ∵四边形是正方形，是正方形的对角线，， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， 由折叠可知，，， 在四边形中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴菱形是正方形． 【解析】 【分析】（1）利用正方形性质证明，根据三角形全等性质即可得到结论. （2）通过平移构造平行四边形，利用（1）证明三角形全等即可． （3）利用（2）中结论结合正方形性质证明，再根据折叠的性质证明即可．通过辅助线和正方形性质得到，通过图形对称进行转化计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如图2，过点作，交于点，交于点， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问3详解】 略 如图4，连接，作交的延长线于点，作交于点， ∴， 由知四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 作点关于的对称点，则， 过点作 交延长线于点，连接， ， 即当，，三点共线时，有最小值，最小值为的长， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年陕西省西安市雁塔区高新逸翠园中学八年级（下）第二次大练习数学试卷 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，甲、乙、丙、丁四人手中各有一张圆形卡片，则卡片中的式子不是分式的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 3. 如图，在四边形中，，判断四边形是平行四边形，下列可添加的条件不正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，四边形是矩形，，点C在第二象限，则点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的中位线，是的高线，，，则的长度为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 10 6. 若分式中的和都扩大为原来的倍后，分式的值不变，则可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，中，点、分别在、上，依次连接、、、，图中阴影部分的面积分别为，已知、、，则的值是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8. 如图，菱形中，，连接，点E和点F分别在边，上，，，若M、N分别为线段、的中点，则线段的长度等于（ ） A. 4 B. C. D. 6 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 分解因式：_____． 10. 如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件______使平行四边形ABCD是矩形． 11. 若，，则的值是________． 12. 关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是____________． 13. 如图，在矩形中，，，为边上一点，将沿折叠，点落在点 处，、分别交于点、，已知．则的长为___________________． 14. 如图，菱形中，，，点E在对角线上，连接，，点P为直线上一动点．连接，以、为邻边构造平行四边形，连接，则最小值为___________________ ． 三、解答题（共78分） 15. 分解因式： （1）； （2）． 16. 解分式方程： （1）； （2）． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 作图题：在中平分，用尺规作图法，求作菱形，使得点E在上,点F在上（不写作法，保留作图痕迹）． 19. 如图，在平行四边形中，过A作，过C作，交于点F． 求证：． 20. 已知a，b，c为的三条边的长，若，试判断此三角形的形状． 21. 如图1是我们生活中的一种遮阳伞，如图是它的骨架示意图，点在伞柄，骨架可以伸缩，关闭遮阳伞后，，，三点重合即，，点与点重合，四边形和四边形都是平行四边形，，． （1）求的长度； （2）若，，，求 ，两点之间的距离． 22. 端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗，某商场在端午节来临之际用3000元购进、两种粽子1100个，购买种粽子与购买种粽子的费用相同，已知粽子的单价是种粽子单价的1.2倍. （1）求、两种粽子的单价各是多少？ （2）若计划用不超过7000元的资金再次购买、两种粽子共2600个，已知、两种粽子的进价不变，求中粽子最多能购进多少个？ 23. 如图，在中，交的延长线于点， （1）求证：四边形是矩形； （2）已知为的中点，连接，．，，求的长． 24. 平面直角坐标系中，直线与直线交于点． （1）______，______； （2）点是直线上一动点，其横坐标为，过点作轴，交直线于点，当时，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，若，点是轴上一动点，在直线上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 25. 解答下列各题： （1）【问题情境】如图1，在正方形中，点、在边、上，．垂足为．那么与相等吗？直接判断： （填“”或“”）； （2）【问题探究】如图2，在正方形中，点、、分别在边、和上，，垂足为，那么与相等吗？直接判断： （填“”或“”）； （3）【问题拓展】如图3，、分别在边、上，点在边上，且，垂足为，当在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点落在点处． ①四边形是正方形吗？请说明理由； ②若，点在上，,是否存在最小值，若存在，求出来；若不存在，说明理由 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $