精品解析：江苏省无锡市宜兴市2025-2026学年七年级下学期期末考试数学试题

七年级数学试题 本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上． 考试时间为100分钟，试卷满分120分． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、班级、考试号填写在答题卡的相应位置上，并认真核对姓名、班级、考试号是否与本人的相符合． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用2B铅笔作答． 4．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. “数学”的英文缩写为“”，这四个字母中，既是轴对称又是中心对称图形的字母是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 根据中心对称图形和轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、字母M是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、字母A是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、字母T是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、字母H既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意． 2. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：选项A：∵与不是同类项，不能合并，∴A计算错误； 选项B：，∴B计算正确； 选项C：，∴C计算错误； 选项D：，∴D计算错误． 3. 若，则下列各式中，一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】不等式的基本性质：不等式的两边都加上或减去同一个数（或整式），不等号的方向不变；不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，根据不等式的基本性质逐一分析即可. 【详解】解： ， 故A符合题意；B，C，D不符合题意； 故选A 【点睛】本题考查的是不等式的基本性质，掌握“不等式的基本性质”是解本题的关键. 4. 已知 ​是方程的解，则a的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵​是方程的解， ∴ 解得： 5. 下列命题中的真命题是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 若两个角的和为，则这两个角互补 C. 若，满足，则 D. 两点之间，直线最短 【答案】B 【解析】 【详解】解：A选项：相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行时同位角相等，但不是对顶角，故A是假命题； B选项：根据互补的定义，若两个角的和为，则这两个角互补，故B是真命题； C选项：若，则或，例如，满足但，故C是假命题； D选项：正确结论为两点之间，线段最短，不是直线最短，故D是假命题． 6. 计算的结果是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：． 7. 牛顿高度评价反证法在数学证明中的关键作用，认为“反证法是数学家最精当的武器之一”，用反证法证明“在中，若，则”时，应先假设（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤． 反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断． 【详解】解：与的大小关系有，，三种情况， ∴的反面是“不小于”，即“”． ∴用反证法证明“”时，应先假设， 故选：D． 8. 古代劳动人民在实际生活中有这样一个问题：“耠子耧六十三，百根腿地里钻，两者各几何？“其大意为：耠子和耧共有63个，共有100条腿，问有多少个耠子，多少个耧？（耠子有一条腿，耧有两条腿）设耠子有x个，耧有y个，则可列出方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意列出方程组即可． 【详解】解：设耠子有个，耧有个， ∵耠子和耧共有个， ∴， ∵共有100条腿， ∴， ∴方程组为． 9. 如图，的一边为平面镜、一束光线（与水平线平行）从点射入，经平面镜上的点后，反射光线落在上的点处、镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角、即．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据平行线的性质求出的度数，再根据平角的定义及求出的度数，最后根据平行线的性质求出的度数； 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 10. 一个圆柱形容器中装有一定量的水，放入若干个大铁球和小铁球后（假设所有球都浸没在水中），水面上升情况如图所示，要使水面高度为21，则可以放入大铁球和小铁球的个数可能是（ ） A. 1个大铁球和7个小铁球 B. 2个大铁球和5个小铁球 C. 3个大铁球和4个小铁球 D. 4个大铁球和1个小铁球 【答案】B 【解析】 【分析】通过观察前三个图片的信息，建立起相应的方程组并求解，再运用到最后一个图片中，列出一个二元一次方程，用枚举法找出符合方程的整数解之一就是本题的答案． 【详解】解：设一个大铁球可以让水面上升x，一个小铁球可以让水面上升y， 依题意可列方程组 解得 另设a个大铁球和b个小铁球放入水中可以让水面高度为21， 则依题意有 这个二元一次方程的整数解有，，，， 则只有B选项符合题意． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11. 故宫博物院北院区在建设时使用了混凝土仿生自修复技术，模仿生物组织损伤愈合的机能来提高建筑寿命，当出现不足米的裂缝时，这种混凝土可以“自愈”，将用科学记数法表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数的绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 已知，，则的值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的除法的逆运算，逆用同底数幂的除法进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故答案为：4． 13. 如图是某一水塘边的警示牌，牌面是五边形，这个五边形的内角和是___________． 【答案】##540度 【解析】 【分析】直接根据多边形内角和公式计算即可． 【详解】这个五边形的内角和是， 故答案为． 【点睛】本题考查多边形的内角和定理，熟练掌握多边形内角和定理是解答本题的关键．n变形的内角和为：． 14. 已知：，请写出一个使不等式成立的m的值，这个值可以为______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据不等式的性质求解即可． 【详解】∵ ∴当时， ∴m的值可以为（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】此题考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的性质． 15. 若，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据单项式乘以多项式法则将式子变形为含的形式，最后整体代入已知条件求值即可． 【详解】解：∵， ∴   ． 16. 如图，四边形是轴对称图形，直线是它的对称轴，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据轴对称的性质结合平行线的判定与性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是轴对称图形，直线是它的对称轴 ∴， ∴ ∴ 17. 定义运算：表示求不超过的最大整数．如，，，，若，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据新定义的取整规则，先求出的值，代入等式得到的值，再根据取整运算的定义列出关于的不等式组，解不等式组即可得到的取值范围． 【详解】解：根据定义，不超过的最大整数是，可得， 代入等式得， ， 根据取整运算的定义，可得，即， 解不等式，得， 解不等式，得， 的取值范围是． 18. 图1为两位同学自制的“福”字中国结，其中主体部分（图2、图3阴影部分）均由边长为的大正方形红布裁剪而成，图2、图3空白部分为裁剪掉部分．图2的四个角落图形相同，其中四边形和分别是边长为和的正方形，中间处是边长为的正方形，图3阴影部分是由四块边长为的正方形和一块边长为的正方形组成，且图2和图3两块阴影部分的面积都是66，则未裁剪前大正方形红布的面积为________． 【答案】110 【解析】 【分析】根据图形中阴影部分的构成列出面积关系式，再结合已知条件联立求解即可． 【详解】解：根据图2所示的阴影部分面积为66可得： ， 展开化简：， ， ，则． 根据图3所示的阴影部分面积为66可得：． ∴大正方形面积：．． 三、解答题（本大题8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 计算 （1）解二元一次方程组． （2）解不等式组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可． （2）先分别求出两个不等式的解集，再取两个解集的公共部分得到不等式组的最终解集． 【小问1详解】 解： 由①②得：， 解得， 把代入②得：， 解得， ∴方程组的解为：． 【小问2详解】 解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 21. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， 当，时，原式． 22. 如图，将沿方向平移，得到． （1）若，，求； （2）若，，则________． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质得出的度数，据此求出的度数即可； （2）根据平移的性质得出，再结合和的长度即可解决问题． 【小问1详解】 解：因为由沿方向平移得到， 所以， 又因为， 所以； 【小问2详解】 解：由平移可知，， 所以， 即， 又因为， 所以， 所以． 23. 如图，在网格中，小正方形的边长均为1个单位，点，，，都在格点上，直线经过点． （1）仅用无刻度的直尺在网格中作图．①画，使与关于直线对称； ②画，使绕点顺时针旋转得到； （2）发现：经过一次________（填写“平移”、“旋转”或“轴对称”）可以与重合． 【答案】（1）①如图所示，即为所求； ②如图所示，即为所求； （2）轴对称 【解析】 【分析】（1）①根据轴对称图形的作法画图即可；②根据图形的旋转作图即可； （2）结合图形，利用轴对称即可得出结果． 【小问1详解】 ①略；②略 【小问2详解】 根据图像得：经过一次轴对称可以与重合． 24. 小宜和小兴在玩代数式卡片游戏．小宜写的代数式为，小兴写的代数式为． （1）当时，求的取值范围，并在数轴上表示其解集； （2）小宜把代数式的值平方后得，此时你能比较与的大小关系吗？请你作出判断并说明理由． 【答案】（1）， 在数轴上表示如下： （2），理由如下： ， 故 【解析】 【分析】（1）根据条件列出不等式求解即可； （2）根据条件列出式子，利用完全平方公式进行化简证明即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：． 图略 【小问2详解】 略 25. 根据以下素材，尝试解决问题： 如何设计购买方案？ 背景 2026“苏超”联赛热度持续高涨，文旅消费联动显著．无锡队依托“桃喜”（水蜜桃形象）和“锡力哥”（足球公仔）两大，推出了系列文创产品．小李计划从某网店购进“桃喜”小夜灯和“万众一锡”帆布袋两款文创产品，联赛期间在我市体育中心的“苏超”陶淘市集上摆摊销售． 素材1 小李第一次购买1只小夜灯和1只帆布袋共需46元，购买2只小夜灯和3只帆布袋共需108元． 素材2 两款文创产品很是畅销，小李计划再次回购这两款产品共50件，在下次联赛时销售．其计划购进小夜灯个，且购进帆布袋的数量不超过小夜灯数量的2倍，并且预算总费用不超过1080元． 素材3 在回购时恰逢该网店“五一”促销，有以下两种优惠方式： 方式一：购买任意产品每满十件赠送一个帆布袋； 方式二：全场商品享受九五折优惠． 问题解决 精准定价 （1）求小夜灯和帆布袋的单价分别为多少元？ 方案规划 （2）请通过计算说明小李再次回购时共有几种采购方案？ 成本优化 （3）在（2）问的所有采购方案中，如果小李再次回购想要采用购进小夜灯最多的方案，请通过计算说明选取哪种优惠方式使得采购总价更低？ 【答案】（1）小夜灯的单价为30元，帆布袋的单价为16元 （2）共有4种采购方案 （3）选择方式一采购总价更低 【解析】 【分析】（1）根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）根据题意列一元一次不等式组，求整数解即可确定采购方案数； （3）分别计算方式一、方式二的总价，比较大小即可． 【小问1详解】 解：设小夜灯的单价为元，帆布袋的单价为元， 根据题意，得， 解得， 答：小夜灯的单价为30元，帆布袋的单价为16元； 【小问2详解】 解：根据由题意，得 解得． 为正整数， ，，，， 共有4种采购方案； 【小问3详解】 解：由（2）可知想要购进小夜灯最多的方案为：小夜灯20个，帆布袋30个． 方式一：设实际购买帆布袋个，则购买商品的总数为件． 当时，总购买数为45件，可获赠（个）帆布袋，共获得（个），不满足要求； 当时，总购买数为46件，可获赠（个）帆布袋， 共获得（个），满足要求； 所以采购总价为（元）； 方式二： 采购总价为（元）． ， 选择方式一采购总价更低． 26. 综合实践：在现实生活中，同学们都玩过折纸游戏，每一次将纸片折叠后打开，纸片上就会出现一条“折痕”，从数学的角度来看，这条“折痕”可以抽象成一条直线，让我们一起来探索折纸中的数学关系吧！ 【提出问题】用一张三角形的纸片，你能不借助任何工具，经过纸上的一点折出与一边平行的折痕吗？ 【操作感知】 ①过点折叠使点落在边上的点，折痕为， ②过点折叠使点落在射线上的点 ③展开压平得到折痕，则． 【问题解决】 （1）结合图1至图3的操作，说明：； 【迁移应用】让我们再一起来探索折纸中的一些特殊位置关系吧． （2）如图4，将沿过点的某直线折叠得到，直线与边交于点． ①尺规作图：作出折痕（不写作法，保留痕迹）； ②如图5：若，，，直接写出当的某一边与垂直时的大小． 【答案】（1）证明：根据题意得：， ∴； （2）①如图所示即为所求； ②的度数为或或或． 【解析】 【分析】（1）根据平行线的判定定理即可证明； （2）①根据翻折的性质作的角平分线即可；②分三种情况分析讨论：当时，当时，当时，分别作出相应图形，注意最后一种情况存在两种，利用三角形内角和定理及折叠的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，如图所示： ∴， ∵翻折， ∴， ∴， ∴， ∵翻折， ∴， ∴， ∵， ∴； 当时，如图所示： ∴， ∵，，， ∴，， ∵翻折， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵翻折， ∴， ∴， ∴； 当时，如图所示： ∴， ∴， ∵翻折， ∴， ∴， ∴； 当时，如图所示： ∴， ∴， ∵翻折， ∴， ∴， ∴； 综上可得：的度数为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学试题 本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上． 考试时间为100分钟，试卷满分120分． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、班级、考试号填写在答题卡的相应位置上，并认真核对姓名、班级、考试号是否与本人的相符合． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用2B铅笔作答． 4．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. “数学”的英文缩写为“”，这四个字母中，既是轴对称又是中心对称图形的字母是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列各式中，一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知 ​是方程的解，则a的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 5. 下列命题中的真命题是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 若两个角的和为，则这两个角互补 C. 若，满足，则 D. 两点之间，直线最短 6. 计算的结果是 （ ） A. B. C. D. 7. 牛顿高度评价反证法在数学证明中的关键作用，认为“反证法是数学家最精当的武器之一”，用反证法证明“在中，若，则”时，应先假设（ ） A. B. C. D. 8. 古代劳动人民在实际生活中有这样一个问题：“耠子耧六十三，百根腿地里钻，两者各几何？“其大意为：耠子和耧共有63个，共有100条腿，问有多少个耠子，多少个耧？（耠子有一条腿，耧有两条腿）设耠子有x个，耧有y个，则可列出方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，的一边为平面镜、一束光线（与水平线平行）从点射入，经平面镜上的点后，反射光线落在上的点处、镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角、即．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 一个圆柱形容器中装有一定量的水，放入若干个大铁球和小铁球后（假设所有球都浸没在水中），水面上升情况如图所示，要使水面高度为21，则可以放入大铁球和小铁球的个数可能是（ ） A. 1个大铁球和7个小铁球 B. 2个大铁球和5个小铁球 C. 3个大铁球和4个小铁球 D. 4个大铁球和1个小铁球 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11. 故宫博物院北院区在建设时使用了混凝土仿生自修复技术，模仿生物组织损伤愈合的机能来提高建筑寿命，当出现不足米的裂缝时，这种混凝土可以“自愈”，将用科学记数法表示为__________． 12. 已知，，则的值为________． 13. 如图是某一水塘边的警示牌，牌面是五边形，这个五边形的内角和是___________． 14. 已知：，请写出一个使不等式成立的m的值，这个值可以为______． 15. 若，则的值是________． 16. 如图，四边形是轴对称图形，直线是它的对称轴，，则________． 17. 定义运算：表示求不超过的最大整数．如，，，，若，则的取值范围是________． 18. 图1为两位同学自制的“福”字中国结，其中主体部分（图2、图3阴影部分）均由边长为的大正方形红布裁剪而成，图2、图3空白部分为裁剪掉部分．图2的四个角落图形相同，其中四边形和分别是边长为和的正方形，中间处是边长为的正方形，图3阴影部分是由四块边长为的正方形和一块边长为的正方形组成，且图2和图3两块阴影部分的面积都是66，则未裁剪前大正方形红布的面积为________． 三、解答题（本大题8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算 （1）； （2）． 20. 计算 （1）解二元一次方程组． （2）解不等式组：． 21. 先化简，再求值：，其中，． 22. 如图，将沿方向平移，得到． （1）若，，求； （2）若，，则________． 23. 如图，在网格中，小正方形的边长均为1个单位，点，，，都在格点上，直线经过点． （1）仅用无刻度的直尺在网格中作图．①画，使与关于直线对称； ②画，使绕点顺时针旋转得到； （2）发现：经过一次________（填写“平移”、“旋转”或“轴对称”）可以与重合． 24. 小宜和小兴在玩代数式卡片游戏．小宜写的代数式为，小兴写的代数式为． （1）当时，求的取值范围，并在数轴上表示其解集； （2）小宜把代数式的值平方后得，此时你能比较与的大小关系吗？请你作出判断并说明理由． 25. 根据以下素材，尝试解决问题： 如何设计购买方案？ 背景 2026“苏超”联赛热度持续高涨，文旅消费联动显著．无锡队依托“桃喜”（水蜜桃形象）和“锡力哥”（足球公仔）两大，推出了系列文创产品．小李计划从某网店购进“桃喜”小夜灯和“万众一锡”帆布袋两款文创产品，联赛期间在我市体育中心的“苏超”陶淘市集上摆摊销售． 素材1 小李第一次购买1只小夜灯和1只帆布袋共需46元，购买2只小夜灯和3只帆布袋共需108元． 素材2 两款文创产品很是畅销，小李计划再次回购这两款产品共50件，在下次联赛时销售．其计划购进小夜灯个，且购进帆布袋的数量不超过小夜灯数量的2倍，并且预算总费用不超过1080元． 素材3 在回购时恰逢该网店“五一”促销，有以下两种优惠方式： 方式一：购买任意产品每满十件赠送一个帆布袋； 方式二：全场商品享受九五折优惠． 问题解决 精准定价 （1）求小夜灯和帆布袋的单价分别为多少元？ 方案规划 （2）请通过计算说明小李再次回购时共有几种采购方案？ 成本优化 （3）在（2）问的所有采购方案中，如果小李再次回购想要采用购进小夜灯最多的方案，请通过计算说明选取哪种优惠方式使得采购总价更低？ 26. 综合实践：在现实生活中，同学们都玩过折纸游戏，每一次将纸片折叠后打开，纸片上就会出现一条“折痕”，从数学的角度来看，这条“折痕”可以抽象成一条直线，让我们一起来探索折纸中的数学关系吧！ 【提出问题】用一张三角形的纸片，你能不借助任何工具，经过纸上的一点折出与一边平行的折痕吗？ 【操作感知】 ①过点折叠使点落在边上的点，折痕为， ②过点折叠使点落在射线上的点 ③展开压平得到折痕，则． 【问题解决】 （1）结合图1至图3的操作，说明：； 【迁移应用】让我们再一起来探索折纸中的一些特殊位置关系吧． （2）如图4，将沿过点的某直线折叠得到，直线与边交于点． ①尺规作图：作出折痕（不写作法，保留痕迹）； ②如图5：若，，，直接写出当的某一边与垂直时的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $