江苏省宜兴市2024-2025学年下学期七年级数学期末试卷

2024-2025学年江苏省无锡市宜兴市七年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.随着我国经济快速发展，轿车进入百姓家庭，小明同学在街头观察出下列四种汽车标志，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 3.已知，则下列不等式一定成立的是(    ) A. B. C. D. 4.请欣赏我国古典文学名著《西游记》描述孙悟空追妖精的数学诗：悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟，归时四分行六百，风速多少才称雄？解释：孙悟空顺风去查妖精的行踪，4分钟就飞跃1000里，逆风返回时4分钟走了600里.若设孙悟空的速度为x里/分钟，风速为y里/分钟，则可列方程组(    ) A. B. C. D. 5.下列命题中，是真命题的是(    ) A. 等角的余角相等 B. 三角形的外角和等于 C. 若，则 D. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 6.若，，则M与N的大小关系是(    ) A. B. C. D. 由x的取值而定 7.若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是(    ) A. B. C. D. 8.如图，在正三角形网格中，将绕某个点旋转，得到，则下列四个点中能作为旋转中心的是(    ) A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 9.如图，大正方形与小正方形的面积之差是16，则阴影部分的面积是(    ) A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 10.如图，，点E在AB的上方，G，F分别为AB，CD上的点，，的角平分线交于点H，的角平分线与HG的延长线交于点下列结论：①；②；③；④若，则其中，所有正确结论的序号是(    ) A. ①② B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.2025年中国迎来了诸多科技成果的爆发，人形机器人便是其中之一.据称，某前沿科技公司研发的人形机器人的交互反应的时间在秒左右，将用科学记数法表示为______. 12.命题“对顶角相等”的逆命题是______. 13.用反证法证明“一个三角形最多有一个直角”时应先假设______. 14.若与的乘积中，不含x的一次项，则常数k的值是______. 15.已知，则的值是______. 16.如图，将绕点A逆时针旋转一定角度得到，若，，且，则______. 17.如图，长方形ABCD的对角线，，，则图中五个小长方形的周长之和为______. 18.如图，将长方形ABCD沿EF折叠折线EF交AD于E，交BC于，点C、D的对应点分别是，，交BC于G，再将四边形沿FG折叠，点、的对应点分别是、，交EF于H，若，则______；______. 三、解答题：本题共9小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题8分 计算或化简： ； 20.本小题8分 解方程组或不等式组： ； 21.本小题6分 先化简，再求值：，其中， 22.本小题8分 已知方程组的解满足x为负数，y为非正数. 求m的取值范围； 在的条件下，若的解集为，求整数m的值. 23.本小题5分 如图，将放在每个小正方形的边长为1的的正方形网格中. 的面积是______； 画出以点B为旋转中心，将按顺时针方向旋转后得到的； 画出关于点C成中心对称的 24.本小题5分 已知直线l及位于其两侧的两点A，B，如图.请用尺规作图. 在图1中的直线l上求一点P，使； 在图2中的直线l上求一点Q，使直线l平分 25.本小题8分 如图，在中，，点D是边BC上的一点，连接AD， ，将沿AD折叠得到，AE与BC交于点 求的度数； 若，试证明： 26.本小题8分 珍惜水资源，保护水环境，防止水污染.为扩大污水处理规模，某污水处理厂计划投入一笔资金购进A、B两种污水处理装备.已知购进2件A种装备和1件B种装备共需万元，购进1件A种装备和3件B种装备共需3万元. 求购进1件A种装备和1件B种装备各需多少万元？ 若该污水处理厂计划购进A、B两种装备共10件，且投入资金不少于万元又不超过12万元，则有哪几种购买方案？哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？ 在的方案下，由于国家对环保事业的扶持力度加大，每件A种装备降价万元，每件B种装备降价万元，在投入资金最少的情况下，该污水处理厂计划将节省的资金全部用于再次购买A、B两种装备可以只购买一种请直接写出再次购买装备的方案有哪几种？ 27.本小题10分 【综合与实践】在初一数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动.把一副三角尺按照如图方式摆放. 如图1，两个三角尺的直角边OA、OD摆放在同一直线上，把以O为中心顺时针旋转，至少旋转______，才能使OB落在OC上； 如图2，如果把图1所示的以O为中心顺时针旋转得到，当时，为多少度？ 如图3，两个三角尺的直角边OA、OD摆放在同一直线上，另一条直角边OB、OC也在同一条直线上，如果把以O为中心顺时针旋转一周，直接写出旋转多少度时，AB所在直线与CD所在直线平行或垂直？ 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形； B、是轴对称图形，不是中心对称图形； C、是轴对称图形，也是中心对称图形； D、不是轴对称图形，是中心对称图形． 故选： 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 2.【答案】A  【解析】解：A、，故此选项正确； B、，故此选项错误； C、，故此选项错误； D、，故此选项错误． 故选： 根据平方差公式以及多项式的乘法和完全平方公式正确进行计算即可． 此题主要考查了平方差公式以及多项式的乘法和完全平方公式等知识，熟练地应用完全平方公式是解决问题的关键． 3.【答案】A  【解析】解：，，正确，符合题意； B.，，不正确，不符合题意； C.，，不正确，不符合题意； D.，，不正确，不符合题意． 故选： 根据不等式的基本性质进行判断即可求解． 本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．不等式的性质1：不等式两边加或减同一个数或式子，不等号方向不变；不等式的性质2：不等式两边同时乘或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式的性质3：不等式两边同时乘或除以同一个负数，不等号方向改变． 4.【答案】D  【解析】解：设孙悟空的速度为x里/分钟，风速为y里/分钟， 则可列方程组为：； 故选： 根据顺风去查妖精的行踪，4分钟就飞跃1000里，逆风返回时4分钟走了600里，列出方程组即可． 本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，找到等量关系是关键． 5.【答案】A  【解析】解：A选项中，等角的余角相等，该命题是真命题，符合题意，A选项正确； B选项中，三角形的外角和为，该命题是假命题，不符合题意，B选项错误； C选项中，若，则或，该命题是是假命题，不符合题意，C选项错误； D选项中，平行的两条直线被第三条直线所截，同位角相等，该命题是是假命题，不符合题意，D选项错误． 故选： 根据余角的定义、多边形内角和、利用平方根解方程、两直线平行同位角相等的知识点进行逐一判断即可求解． 本题考查的知识点是判断命题真假、求一个角的余角、多边形外角和的实际应用、利用平方根解方程、两直线平行同位角相等，解题关键是熟练掌握相关的定义及定理． 6.【答案】A  【解析】解： ， ， 故选： 先根据多项式与多项式的乘法法则化简，再用作差法比较即可． 本题考查了多项式与多项式的乘法，以及整式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 7.【答案】D  【解析】解：由得：， 不等式组无解， ， 故选： 求出的解集，根据不等式组的解集可得关于m的不等式． 本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 8.【答案】C  【解析】解：如图，连接，分别作，的中垂线，交点为点C，即点C是旋转中心， 故选： 分别作，的中垂线，交点为点C，即点C是旋转中心． 本题考查了旋转的性质，掌握旋转的中心在对应点所连线段的垂直平分线上是解题的关键． 9.【答案】B  【解析】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，由题意可得，， 所以阴影部分的面积为 故选： 设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，由题意可得，，根据阴影部分的面积为，即代入计算即可． 本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． 10.【答案】D  【解析】解：①平分，FH平分，FM平分， 设，，， 则，，，， 点F在直线CD上， ， ， ， ， 即， 故结论①正确，符合题意； ②过点E作，如图1所示： ， ， ，， ， ， 又， ， 结论②正确，符合题意； ③过点H作，如图2所示： ， ， ，， ， 由②可知：， ， 故结论③正确，符合题意； ④过点M作，如图3所示： ， ， ，， ， ，， 又， ， ， ， 由①可知：， ， 故结论④不正确，不符合题意． 综上所述：正确的结论是①②③④． 故选： ①根据角平分线定义设，，，则，，，，根据得，则，据此可对结论①进行判断； ②过点E作，则，进而得，，则，继而得，再根据可对结论②进行判断； ③过点H作，则，进而得，，则，由②可知，据此可对结论③进行判断； ④过点M作，则，进而得，，则，再根据，，得，则，根据①可知，则，据此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 此题主要考查了平行线的性质，垂线的定义，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质，垂线的定义，角平分线的定义是解决问题的关键． 11.【答案】  【解析】解： 故答案为： 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 12.【答案】如果两个角相等，那么这两个角是对顶角  【解析】解：命题“对顶角相等”的逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”． 故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角． 交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题． 本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题． 13.【答案】一个三角形中至少有两个角为直角  【解析】解：反证法证明“一个三角形最多有一个直角”时应先假设一个三角形中至少有两个角为直角， 故答案为：一个三角形中至少有两个角为直角． 反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行解答． 本题考查的是反证法的应用，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 14.【答案】  【解析】解： ， 与的乘积中，不含x的一次项， ， 解得：， 故答案为： 先根据多项式乘多项式法则计算与的乘积，再根据乘积中不含x的一次项，列出关于k的方程，解方程即可． 本题主要考查了多项式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则． 15.【答案】  【解析】解：， ， ， 故答案为： 由已知条件得，将原式利用幂的乘方法则化为底数为2的式子，然后利用同底数幂乘法法则计算后代入数值计算即可． 本题考查幂的乘方，同底数幂乘法，将原式进行正确地变形是解题的关键． 16.【答案】  【解析】解：绕点A逆时针旋转一定角度得到， ，， ， ， 故答案为： 先根据旋转的性质得到，，再利用垂直的定义和互余计算出，然后计算即可． 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 17.【答案】14  【解析】解：图中五个小长方形的周长之和 故答案为： 把图中五个小长方形的边长进行平移，可得到图中五个小长方形的周长之和等于矩形ABCD的周长． 本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等． 18.【答案】    【解析】解：长方形ABCD沿EF折叠， ，， ， ， ，， ， ， 根据折叠可知，， ， 故答案为：， 利用折叠的性质得到，根据平行求出；根据折叠求出减去即可． 本题考查了矩形的性质以及折叠，掌握其性质是解题的关键． 19.【答案】0；     【解析】原式 ； 原式 利用有理数的乘方法则，负整数指数幂，零指数幂计算后再算除法，最后算加减即可； 利用同底数幂乘法，幂的乘方与积的乘方法则计算后再合并同类项即可． 本题考查整式的混合运算，实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 20.【答案】；     【解析】， ①+②，得：， 解得， 将代入①得：， 解得， 所以方程组的解为； 由得：， 由得：， 则不等式组的解集为 利用加减消元法求解即可； 分别求出每个不等式的解集，再依据口诀“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”确定不等式组的解集． 本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 21.【答案】解：原式 ； 当，时， 原式  【解析】利用平方差及完全平方公式将原式化简后代入数值计算即可． 本题考查整式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 22.【答案】；   或  【解析】， ①+②得，， 解得，， 将代入②得，， 解得，， ， 为负数，y为非正数， ， 解得，； 解得，； 不等式组的解集为， 的取值范围为； ， ， 不等式的解为， ，即， 的取值为 整数m的值为或 加减消元法解二元一次方程组得，由题意得，然后解一元一次不等式组即可； 根据不等式的性质可知，，然后求解作答即可． 本题考查了二元一次方程组，解一元一次不等式组，一元一次不等式的整数解集，关键是相关运算法则的应用． 23.【答案】   见解答．   见解答．  【解析】解：的面积是 故答案为： 如图，即为所求． 如图，即为所求． 利用割补法求三角形的面积即可． 根据旋转的性质作图即可． 根据中心对称的性质作图即可． 本题考查作图-旋转变换，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． 24.【答案】见解答．   见解答．  【解析】解：如图1，作线段AB的垂直平分线，与直线l交于点P， 则点P即为所求． 如图2，过点B作直线l的垂线，交直线l于点C，以点C为圆心，BC的长为半径画弧，交BC的延长线于点，连接并延长，交直线l于点Q， 则点Q即为所求． 结合线段垂直平分线的性质，作线段AB的垂直平分线，与直线l交于点P，则点P即为所求． 过点B作直线l的垂线，交直线l于点C，以点C为圆心，BC的长为半径画弧，交BC的延长线于点，连接并延长，交直线l于点Q，则点Q即为所求． 本题考查作图-复杂作图、线段垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 25.【答案】解：将沿AD折叠得到， ， ； 证明：，， ， 将沿AD折叠得到， ， ，   【解析】由折叠的性质得出，由三角形外角的性质可得出答案； 由折叠的性质得出，证出，则可得出结论． 本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平行线的判定，三角形外角的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 26.【答案】，；   有三种购买方案，分别是：方案购进A种装备5件、B种装备5件，方案购进A种装备6件、B种装备4件，方案购进A种装备7件、B种装备3件，方案1需要的资金最少，最少资金是10万元；   再次购买的方案有两种，分别是：方案再次购买A种装备0件、B种装备15件，方案再次购买A种装备3件、B种装备7件．  【解析】设购进1件A种装备需要a万元，购进1件B种装备需要b万元． 根据题意，得， 解得 答：购进1件A种装备需要万元，购进1件B种装备需要万元． 设购进A种装备x件，则购进B种装备件． 根据题意，得， 解得， 为非负整数， ，6，7， 有三种购买方案，分别是： 方案购进A种装备5件、B种装备5件， 方案购进A种装备6件、B种装备4件， 方案购进A种装备7件、B种装备3件， 方案1需要的资金为万元， 方案2需要的资金为万元， 方案1需要的资金为万元， ， 方案1需要的资金最少，最少资金是10万元． 在投入资金最少的情况下，该污水处理厂节省的资金为万元， 降价后，购进1件A种装备需要万元，购进1件B种装备需要万元， 设再次购买A种装备m件、B种装备n件， 根据题意，得，即， 该方程的非负整数解为或， 再次购买的方案有两种，分别是： 方案再次购买A种装备0件、B种装备15件， 方案再次购买A种装备3件、B种装备7件． 分别设购进1件A种装备和1件B种装备的价格为未知数，根据题意列二元一次方程组并求解即可； 设购进A种装备x件，则购进B种装备件，根据题意列关于x的一元一次不等式组并求其解集，求得x的非负整数解并分别计算购进A、B两种装备的件数即可； 计算按照中需要资金最少的方案购买节省的资金，设再次购买A种装备m件、B种装备n件，写出m和n的等量关系式，求出该二元一次方程组的非负整数解即可． 本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，掌握二元一次方程组、一元一次不等式组的解法是解题的关键． 27.【答案】75；   ；   旋转的角度为或时，AB所在直线与CD所在直线平行．：旋转的角度为或时，AB所在直线与CD所在直线垂直．  【解析】由图可知，当以O为中心顺时针旋转过，即可得到OB与OC重合，由三角板的性质可知： ，， ， 至少旋转，OB与OC重合． 故答案为：75； 由旋转的性质得，设， 则，， ， ， ； 当在点O的右侧时，如图： ， ， ， ， ； 当在点O的左侧时，如图： ， ， ， 旋转的角度， 综上所述：旋转的角度为或时，AB所在直线与CD所在直线平行． 当在点O的上侧时，如图，延长交CD于点E， ， ， ， ， 当在点O的下侧时，如图，延长BA，CD，相交于点E， ， ， ，， ，， ， ， 综上所述：旋转的角度为或时，AB所在直线与CD所在直线垂直． 由图可知，当以O为中心顺时针旋转过，即可得到OB 与OC重合，利用三角板的性质和角度之间的关系计算即可； 设，分别表示出，，然后根据列方程求解； 平行和垂直各分两种情况，画出图形求解即可． 本题考查了旋转的性质，垂线的定义，平行线的性质，三角形外角的性质，以及四边形内角和，分类讨论是解的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$