精品解析：江苏省无锡市新吴区2025-2026学年七年级下学期6月期末数学试题

2026年春学期期末测试 七年级数学试卷 试卷满分为120分 考试时间为100分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 音乐可以唤醒心灵的力量，去追寻更美好的生活！下列音乐符号中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下面计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 3. 多边形剪去一个角后，多边形的外角和将（ ） A. 减少180º B. 不变 C. 增大180º D. 以上都有可能 4. 用反证法证明“在中，若，则”时，应假设（ ） A. B. C. D. 5. 下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 6. 若，，，那么、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题为假命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 任何数的0次幂都等于1 C. 两直线平行，同位角相等 D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 8. 如图，将绕点顺时针旋转得到，边与交于点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图摆放两个正方形、卡片，、、在同一直线上．若，且两个正方形面积之和为25，则阴影部分的面积为（ ） A. 18 B. 16 C. 14 D. 12 10. 家用前置前驱轿车前轮负重、转向、制动摩擦大，因此磨损快于后轮．同规格原厂轮胎安装在前轮最多行驶4万公里报废，安装在后轮最多行驶6万公里报废．为使轮胎能在行驶尽可能多的路程后才报废，在汽车行驶一定路程时，将前后轮胎进行一次调换，那么这两对轮胎最多可以行驶（ ） A. 2.4万公里 B. 2.5万公里 C. 4.8万公里 D. 5万公里 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置．） 11. “微风摇紫叶，轻露拂朱房．”清晨荷叶上的露珠轻盈剔透，单滴露珠质量约为，数据用科学记数法可表示为__________． 12. 已知 ，，则=______． 13. 计算：=_________________________. 14. 如图，在中，，将沿射线向右平移得到，则的长为__________． 15. 要证明命题“若，为有理数，且，则”为假命题，可以举的反例为__________．（写出一种情况即可） 16. 若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是__________． 17. 如图，三角形①，②关于直线对称，三角形②，③关于直线对称，通过研究发现三角形③可以看作是由三角形①绕某一个点按顺时针方向旋转一次即可得到．若两条对称轴之间的夹角记为（为锐角），旋转角记为，则与之间的数量关系是__________． 18. 定义：有两个内角的差为的三角形叫作“反直角三角形”，在中，，点为直线上一点，若为“反直角三角形”，则的度数为__________． 三、解答题（本大题有8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 解方程组与不等式组 （1）解方程组：； （2）解不等式组：． 21. 如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点都在格点上． （1）平移，使点平移到点的位置，且点、点的对应点分别为、，画出． （2）画出关于点成中心对称的； （3）将绕某一点旋转可以得到，作出旋转中心点． 22. 如图，甲长方形的两边长分别为，（其中），乙正方形的周长与甲长方形的周长相等．甲长方形的面积为，乙正方形的面积为，请通过计算判断与的大小关系． 23. 利用不等式的相关性质，判断命题“如果、、、都是正数，且、，那么”的真假性，并证明你的结论． 24. 在“双碳”目标引领下，新能源汽车产业发展驶入快车道．某小区物业发现当前的充电桩的数量已无法满足业主的需求，“一桩难求”现象日益突出．为破解这一难题，物业部门计划利用地下停车场闲置区域和地面公共空间新建地下和地上两类充电桩．物业经理经过市场调研发现如下信息： 地下充电桩数量（单位：个） 地上充电桩数量（单位：个） 总金额（单位：万元） 2 1 1 1 2 0.8 （1）该小区新建一个地下充电桩和一个地上充电桩各需多少万元？ （2）若小区计划拨款3万元资金全部用于新建充电桩，且已知地下和地上每个充电桩的占地面积分别为2平方米和3平方米，小区物业考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求地下和地上充电桩的总占地面积不得超过30平方米，且地上充电桩的数量大于4个，问共有哪几种建造方案？请写出具体的方案． 25. 如图，已知在中，，，在边上有一动点从向运动，运动到点处停止，把沿直线翻折，点的对应点为． （1）若点落在边上时，请用圆规和无刻度的直尺在图2中作出折痕（保留作图痕迹，不写作法）： （2）若点在的内部（不包含的边） ①直接写出的取值范围： ②求与之间的数量关系； （3）在运动的过程中，所在直线与的一边所在直线垂直，直接写出的度数． 26. 【研究主题】探究正多边形的密铺 素材1：在数学中用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，不留空隙且不重叠地铺满整个平面，称为平面图形的密铺．在现实生活中，地砖、墙砖、蜂巢等都用到了密铺的原理． 素材2：密铺的条件：拼接在同一个点的各个角的和恰好是360度，且相邻的多边形边长相等． 如图1所示，把六个形状、大小完全相同的正三角形不重叠摆放，彼此之间不留空隙，并把平面的一部分完全覆盖，所以正三角形能密铺平面．图2中正五边形就不能进行平面密铺． （1）【探究一】仅用一种正多边形密铺平面，可选择 （填写下列所有可选择的序号）； ①正四边形；②正六边形；③正七边形；④正八边形． （2）【探究二】学校图书馆拟用正多边形地砖铺设地面．现打算购买两种形状不同，但边长相等的正多边形地砖进行共顶点组合密铺． 小红认为可以用正方形、正八边形两种正多边形进行密铺． 小明认为可以用正方形、正六边形两种正多边形进行密铺． 你觉得谁的方案可行，并说明理由． （3）【探究三】从正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正十二边形中选取三种形状不同，但边长相等的正多边形进行共顶点组合密铺，请写出你的一种设计方案，并说明理由．（写出选取的三种不同多边形及对应的个数） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春学期期末测试 七年级数学试卷 试卷满分为120分 考试时间为100分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 音乐可以唤醒心灵的力量，去追寻更美好的生活！下列音乐符号中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项符合题意． 2. 下面计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A：与不是同类项，不能合并，原式计算结果不为，不符合题意； B、，原式计算结果为，符合题意； C、，原式计算结果不为，不符合题意； D、，原式计算结果不为，不符合题意． 3. 多边形剪去一个角后，多边形的外角和将（ ） A. 减少180º B. 不变 C. 增大180º D. 以上都有可能 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】解：任何多边形的外角都等于360°，故不变． 故选：B． 考点：多边形的外角和． 4. 用反证法证明“在中，若，则”时，应假设（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反证法的应用，熟练掌握反证法的一般步骤，理解假设结论不成立即结论的反面成立是解题的关键．根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立即结论的反面成立进行解答即可． 【详解】解：用反证法证明“在中，若，则”时，应假设， 故选：C． 5. 下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，其中一项完全相同，另一项互为相反数，符合形式即可用平方差公式，据此判断各选项即可. 【详解】解：∵平方差公式的结构为，要求两个二项式有一项相同，另一项互为相反数. A选项：，相同，与互为相反数，符合平方差公式结构，能用平方差公式计算，故此选项符合题意. B选项：，没有互为相反数的项，不能用平方差公式计算，故此选项不符合题意. C选项：，没有相同项，不能用平方差公式计算，故此选项不符合题意. D选项：，是完全平方，不能用平方差公式计算，故此选项不符合题意. 6. 若，，，那么、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用幂的乘方的逆运算，将三个数的指数统一，再通过比较底数大小得到三个数的大小关系，用到初中幂的乘方性质：，正指数相同的情况下，底数越大幂越大. 【详解】解：∵ ，，， 又∵ 指数都是正整数，且， ∴ ， 即 . 7. 下列命题为假命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 任何数的0次幂都等于1 C. 两直线平行，同位角相等 D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】B 【解析】 【分析】根据对顶角的定义，零指数幂的定义，平行线的性质以及平行公理判断各命题的真假即可得到答案． 【详解】解：A选项：对顶角相等是真命题； B选项：根据零指数幂的定义，只有非零数的0次幂等于1，0的0次幂没有意义，因此该命题是假命题； C选项：“两直线平行，同位角相等”是平行线的性质，是真命题； D选项：“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”是平行公理，是真命题； 8. 如图，将绕点顺时针旋转得到，边与交于点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由旋转的性质得出，，由三角形内角和定理得出，最后由平角的定义求解即可． 【详解】解：由旋转的性质得出，， ∴， ∴． 9. 如图摆放两个正方形、卡片，、、在同一直线上．若，且两个正方形面积之和为25，则阴影部分的面积为（ ） A. 18 B. 16 C. 14 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】设小正方形的边长为a，大正方形的边长为b，根据题意得到，，将阴影部分的面积表示出来，用完全平方公式变形求解即可． 【详解】解：如图构造最大的正方形， 设小正方形的边长为a，大正方形的边长为b， ∵，两个正方形面积之和为25， ∴，， 阴影部分的面积 ． 10. 家用前置前驱轿车前轮负重、转向、制动摩擦大，因此磨损快于后轮．同规格原厂轮胎安装在前轮最多行驶4万公里报废，安装在后轮最多行驶6万公里报废．为使轮胎能在行驶尽可能多的路程后才报废，在汽车行驶一定路程时，将前后轮胎进行一次调换，那么这两对轮胎最多可以行驶（ ） A. 2.4万公里 B. 2.5万公里 C. 4.8万公里 D. 5万公里 【答案】C 【解析】 【分析】将每个轮胎的总磨损量看作单位1，先求出前后轮每行驶1万公里的磨损量，再根据四个轮胎总磨损量为4，列方程求解即可． 【详解】解：设这两对轮胎最多可以行驶万公里． ∵每个轮胎总磨损为单位1，四个轮胎总磨损量为，轮胎安装在前轮时每万公里磨损为，轮胎安装在后轮时每万公里磨损为． 汽车每行驶1万公里，四个轮胎总磨损为 ． ∴可列方程， 解得． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置．） 11. “微风摇紫叶，轻露拂朱房．”清晨荷叶上的露珠轻盈剔透，单滴露珠质量约为，数据用科学记数法可表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为，其中，n为整数，确定a和n的值即可得到答案． 【详解】解：． 12. 已知 ，，则=______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法，逆用同底数幂相乘，底数不变，指数相加．根据逆用同底数幂乘法，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 13. 计算：=_________________________. 【答案】 【解析】 【分析】根据两个二项式相乘，如果这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，就可以用平方差公式计算． 【详解】（2a+1）（2a-1）=（2a）2-12=4a2-1． 故答案为4a2-1． 【点睛】本题考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方． 14. 如图，在中，，将沿射线向右平移得到，则的长为__________． 【答案】7 【解析】 【分析】根据平移的性质得出，，根据线段的和差关系即可求出的长． 【详解】解：∵，将沿射线向右平移得到， ∴， ∴． 15. 要证明命题“若，为有理数，且，则”为假命题，可以举的反例为__________．（写出一种情况即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】要证明该命题为假命题，只需举出满足命题条件，不满足命题结论的反例即可． 命题条件为为有理数且，命题结论为，因此只需找到满足条件不满足结论的一组即可． 【详解】解：取，， ，都是有理数， ，， 满足， 但，即不满足， ∴可作为该命题的反例． 16. 若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出第一个不等式的解集，再根据一元一次不等式组解集的确定方法得到关于的不等式，即可求解，掌握不等式组解集的确定方法是解题的关键． 【详解】解： 由①得 ， 解得． 由②得，． 不等式组的解集为， ∴根据“同小取小”可得 ． 17. 如图，三角形①，②关于直线对称，三角形②，③关于直线对称，通过研究发现三角形③可以看作是由三角形①绕某一个点按顺时针方向旋转一次即可得到．若两条对称轴之间的夹角记为（为锐角），旋转角记为，则与之间的数量关系是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据轴对称的性质，连续两次轴对称变换，若对称轴相交，则等效于绕交点旋转，旋转角等于两对称轴夹角的2倍． 据此进行解答即可． 【详解】解：如图， 设直线与相交于点，在三角形①上任取一点，设点关于直线的对称点为点，点关于直线的对称点为点，根据轴对称的性质得到，，， ∴， ∴点绕点O旋转得到点， ∵三角形②位于直线和直线之间， ∴， ∴旋转角 ∵旋转角记为， ∴． 18. 定义：有两个内角的差为的三角形叫作“反直角三角形”，在中，，点为直线上一点，若为“反直角三角形”，则的度数为__________． 【答案】或或或 【解析】 【分析】求出，分三种情况进行解答即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， 当点为线段上一点，，设，，则， ∴， 根据定义分情况讨论： ①若，则， ∴，符合题意； ②若，则，不符合点P在线段上的条件，舍去； ③若，则， 代入得到， 解得， ∴，符合题意； ④若，则， 代入得到，解得，不符合题意； 当点在线段的延长线上，即点P在点右侧时，，同理可得，，其中设，，分情况讨论： ①若，则 ∴，符合题意； ②若，则代入得到，解得，， ∴，符合题意； ③其余情况均得到负角度或，不合题意，舍去， 当点在线段的延长线上，即点P在点左侧时，， ∴其余两个内角和为，最大内角为， 若，解得，，不可能存在，其余情况内角差不可能达到，故此情况无符合条件的解， 综上，的度数为或或或． 三、解答题（本大题有8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 20. 解方程组与不等式组 （1）解方程组：； （2）解不等式组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用加减法解二元一次方程组即可； （2）求出每个不等式的解集，取两个解集的公共部分即可． 【小问1详解】 解： 得 得， 解得， 把代入①得解得， 因此方程组的解为． 【小问2详解】 解： 解不等式①得， 解不等式②得， 因此不等式组的解集为． 21. 如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点都在格点上． （1）平移，使点平移到点的位置，且点、点的对应点分别为、，画出． （2）画出关于点成中心对称的； （3）将绕某一点旋转可以得到，作出旋转中心点． 【答案】（1）如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）如图，点即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据对应点确定平移规则：先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，画出，即可； （2）根据成中心对称的性质，画出即可； （3）根据旋转中心到对应点的距离相等，画出点即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 22. 如图，甲长方形的两边长分别为，（其中），乙正方形的周长与甲长方形的周长相等．甲长方形的面积为，乙正方形的面积为，请通过计算判断与的大小关系． 【答案】解：由题意，正方形的边长为，， ∴， ∴， ∴. 【解析】 【分析】先根据乙正方形的周长与甲长方形的周长相等，求出乙正方形的边长，再求出两个图形的面积，作差法比较大小即可. 【详解】略 23. 利用不等式的相关性质，判断命题“如果、、、都是正数，且、，那么”的真假性，并证明你的结论． 【答案】解：该命题是真命题， 证明：∵、、、都是正数，且，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴该命题是真命题． 【解析】 【分析】先根据不等式两边同乘正数不等号方向不变的性质，得到两个中间不等式，再利用不等式的传递性即可推导出结论． 【详解】略． 24. 在“双碳”目标引领下，新能源汽车产业发展驶入快车道．某小区物业发现当前的充电桩的数量已无法满足业主的需求，“一桩难求”现象日益突出．为破解这一难题，物业部门计划利用地下停车场闲置区域和地面公共空间新建地下和地上两类充电桩．物业经理经过市场调研发现如下信息： 地下充电桩数量（单位：个） 地上充电桩数量（单位：个） 总金额（单位：万元） 2 1 1 1 2 0.8 （1）该小区新建一个地下充电桩和一个地上充电桩各需多少万元？ （2）若小区计划拨款3万元资金全部用于新建充电桩，且已知地下和地上每个充电桩的占地面积分别为2平方米和3平方米，小区物业考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求地下和地上充电桩的总占地面积不得超过30平方米，且地上充电桩的数量大于4个，问共有哪几种建造方案？请写出具体的方案． 【答案】（1）该小区新建一个地下充电桩需要万元，新建一个地上充电桩需要万元． （2）共有种建造方案，方案1：新建地下充电桩个，地上充电桩个；方案2：新建地下充电桩个，地上充电桩个． 【解析】 【分析】（1）设未知数，根据表格中两种建造情况的总金额列二元一次方程组，求解即可得到两种充电桩的单价； （2）根据总拨款金额得到地上充电桩数量与地下充电桩数量的代数式关系，再结合总占地面积限制和地上充电桩数量的要求列不等式组，取整数解即可得到所有符合要求的建造方案. 【小问1详解】 解：设新建一个地下充电桩万元，新建一个地上充电桩需万元，根据题意列方程组得， 解得 答：新建一个地下充电桩需要万元，新建一个地上充电桩需要万元； 【小问2详解】 解：设新建地下充电桩个，且为整数，则新建地上充电桩（个）， 根据题意得：， 解得， ∵且为整数， ∴或， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； ∴共有2个方案：方案1：新建地下充电桩个，新建地上充电桩个；方案2：新建地下充电桩个，新建地上充电桩个． 25. 如图，已知在中，，，在边上有一动点从向运动，运动到点处停止，把沿直线翻折，点的对应点为． （1）若点落在边上时，请用圆规和无刻度的直尺在图2中作出折痕（保留作图痕迹，不写作法）： （2）若点在的内部（不包含的边） ①直接写出的取值范围： ②求与之间的数量关系； （3）在运动的过程中，所在直线与的一边所在直线垂直，直接写出的度数． 【答案】（1）如图，即为所求； （2）①；②； （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质，得到当点落在边上时，垂直，利用尺规作垂线的方法作图即可； （2）①求出点落在上和点落在上时的度数，即可得到的取值范围；②设，根据折叠的性质，三角形的内角和定理，平角的定义求出的度数，即可得出结果； （3）分3种情况进行讨论求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∵，， ∴； 当点落在边上时，则平分， ∴， 当点落在边上时， ∵折叠， ∴， ∴，即， ∴， ∴当点在的内部时，； ②设，则， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵折叠， ∴， 当时，如图， 则， ∴， ∴； 当时，如图， 则， ∴， ∴， ∴； 当所在直线与垂直时，如图， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 综上：的度数为或或. 26. 【研究主题】探究正多边形的密铺 素材1：在数学中用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，不留空隙且不重叠地铺满整个平面，称为平面图形的密铺．在现实生活中，地砖、墙砖、蜂巢等都用到了密铺的原理． 素材2：密铺的条件：拼接在同一个点的各个角的和恰好是360度，且相邻的多边形边长相等． 如图1所示，把六个形状、大小完全相同的正三角形不重叠摆放，彼此之间不留空隙，并把平面的一部分完全覆盖，所以正三角形能密铺平面．图2中正五边形就不能进行平面密铺． （1）【探究一】仅用一种正多边形密铺平面，可选择 （填写下列所有可选择的序号）； ①正四边形；②正六边形；③正七边形；④正八边形． （2）【探究二】学校图书馆拟用正多边形地砖铺设地面．现打算购买两种形状不同，但边长相等的正多边形地砖进行共顶点组合密铺． 小红认为可以用正方形、正八边形两种正多边形进行密铺． 小明认为可以用正方形、正六边形两种正多边形进行密铺． 你觉得谁的方案可行，并说明理由． （3）【探究三】从正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正十二边形中选取三种形状不同，但边长相等的正多边形进行共顶点组合密铺，请写出你的一种设计方案，并说明理由．（写出选取的三种不同多边形及对应的个数） 【答案】（1）①② （2）解：小红的方案可行，理由如下： ∵正方形的一个内角的度数为，正八边形的一个内角的度数为，正六边形的一个内角的度数为， 设个正方形和个正八边形可以密铺，则， 当时，满足题意， 故可以用正方形、正八边形两种正多边形进行密铺，小红的方案可行； 设个正方形和个正六边形可以密铺，则， 不存在正整数，使， 故不可以用正方形、正六边形两种正多边形进行密铺，小明的方案不可行； （3）解：方案一：可以用1个正三角形，2个正四边形和1个正六边形进行密铺，理由如下： 正三角形的一个内角的度数为，正四边形的一个内角的度数为，正六边形的一个内角的度数为， ∵， ∴可以用1个正三角形，2个正四边形和1个正六边形进行密铺. 方案二：2个正三角形、1个正四边形、1个正十二边形，理由如下： 正三角形的一个内角的度数为，正四边形的一个内角的度数为，正十二边形的一个内角的度数为， ∵， ∴可以用2个正三角形、1个正四边形、1个正十二边形进行密铺. 【解析】 【分析】（1）根据密铺的条件，逐一进行判断即可； （2）根据密铺的条件，进行判断即可； （3）根据密铺的条件，进行判断即可. 【小问1详解】 解：①正四边形的一个内角的度数为，， 故正四边形能密铺平面； ②正六边形的一个内角的度数为，， 故正六边形能密铺平面； ③正七边形的一个内角的度数为，不能被整除， 故正七边形不能密铺平面； ④正八边形的一个内角的度数为，不能被整除， 故正八边形不能密铺平面； 综上：可选择①②； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $