1.3（1）反比例函数解决问题专项练习2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦反比例函数实际应用，通过分层题型构建“抽象建模-性质应用-综合优化”的完整训练体系，培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题|复杂情境辨析、参数符号判断、性质结合实际约束|从实际问题中抽象反比例关系，强化概念理解与易错点识别| |填空题|5题|参数求解、取值范围、比例变换、隐条件建模|深化反比例函数表达式构建，训练参数计算与隐含条件挖掘| |解答题|15题|综合建模、多问梯度拔高、方案优化与最值讨论|实现从解析式到性质应用的综合迁移，培养推理能力与应用意识|

苏科版九年级上册反比例函数解决问题专项练习 答案解析 一、选择题（答案+解析） 第1题 答案：B解析：固定工程量，满足，即 （ 为定值且 ），故 ，是反比例函数。根据反比例函数性质， 时，第一象限内 随 增大而减小。故选B。 第2题 答案：C解析：恒温下 （定值），为反比例函数。实际约束：体积 且 ，自变量是连续正数且有上限，函数图象为第一象限内 的射线（不含原点），并非完整双曲线或线段。故选C。 第3题 答案：C解析：总水量固定，，，， 随 增大而减小。已知 ，代入得：。故选C。 第4题 答案：B解析：做功恒定，（定值）。设原功率为 ，原时间 。功率提升25%后：。由 ，得 。时间缩短：。故选B。 第5题 答案：D解析：实际场景中，自变量、函数值均为正数（A正确）； 翻倍， 减半（B正确）； 时， 越小， 变化速率越快（C正确）；反比例函数 在第一象限无最大值、最小值（D错误）。故选D。 第6题 答案：A解析：未浸没时，测力计示数等于泥的重力 ；完全浸没后，示数不变，浮力恒定。设泥的重力为，浸没后拉力为 ，浮力 。由阿基米德原理：，物体密度 。联立得：。结合图像数据计算得 。故选A。 第7题 答案：B解析：由杠杆平衡条件，，为反比例函数。计算数据：、，得 ，即 。当 时，。故选B。 第8题 答案：C解析：0~6分钟为正比例函数，设 ，代入 ，得 ，即 。令 ，解得 。 6分钟后为反比例函数，设 ，代入 ，得 ，即 。令 ，解得 。 持续时间： 分钟。故选C。 二、填空题（答案+解析） 第9题 答案：；解析：三角形面积 ，化简得 ，即 。，时， 随 增大而减小，故 时 最大，。 第10题 答案：600解析：设总销售额为 ，则 。单价8元时，销量 ；单价10元时，销量 。由题意：，通分计算：，解得 。 第11题 答案：解析：长方体体积 ，代入数据：，化简得 ，即 。 第12题 答案：2解析：设固定农田面积为 ，原计划日收割量 ，原天数 ，则。提速后：。联立得：，展开化简：，即 。结合反比例等量关系，解得（舍去负根）。 第13题 答案：解析：总工作量 ，函数式 。由 ，代入得：，解得 。 三、解答题（完整步骤解析） 第14题 解：（1）设解析式为 ，代入 ，得 。 ∴ 函数解析式：。 （2）工期缩短10天，新工期 天。 代入得：，解得 。 每日多平整：。 （3）当 时，。 ∴ 最短完工工期为20天。 答案：（1）；（2）40平方米；（3）20天 第15题 解：（1）设 ，代入 ，得。 解析式：。 （2）当 时，；当 时，。 ∵ ， 随 增大而减小，∴ 购进质量范围：（千克）。 （3）令 ，即 ，解得 。 ∴ 进价最高为20元/千克。 答案：（1）；（2）；（3）20元 第16题 解：（1）设 ，代入 ，得 。 表达式：。 （2）当 时，，解得 。 需增加工人：（名）。 （3）当 时，。 ∴ 最短完工天数为12天。 答案：（1）；（2）12名；（3）12天 第17题 解：（1）由数据可知 （定值），当 时，。被覆盖数值为6。 （2）函数类型为反比例函数，设 ，代入 ，得 。 关系式：，代入其余数据均可验证等式成立。 （3）当 时，，解得 。 ∴ 托盘B与O点距离为1.5cm。 答案：（1）6；（2）；（3）1.5cm 第18题 解：（1）降温阶段（反比例函数）：停止加热1.5分钟后（即 ），设 ，代入烧开点 ，得 ，即 。 烧水阶段（一次函数）：设 ，代入 、，解得 ，即 。 （2）令 ，代入反比例函数：，解得 。 等待时间：（分钟）。 答案：（1）烧水：，降温：；（2）1.125分钟 第19题 解：（1）自变量为加工时间，取值范围：。 （2） 时，，当 时，。 （4） 为一次函数，代入数据解得：； 为反比例函数：。 （5）令 ，分段求解： 一次函数段：，解得 ； 反比例段：，解得 。 有效加工时间：（分钟）。 答案：（1）；（2）20；（4）、；（5） 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏科版九年级上册第1章第三节 反比例函数解决问题专项练习 考查核心题型 题型一：从复杂实际问题中抽象、推导反比例函数表达式（含参数、隐含条件） 题型二：利用反比例函数性质、取值范围、最值解决综合实际应用问题 题型题量分布：选择题8题、填空题5题、解答题15题 一、选择题 本部分侧重复杂情境辨析、参数符号判断、函数性质结合实际约束、易错陷阱题型 1. 某工程队承接固定工程量的修路任务，工作效率为x（m/天），完成工期为y（天），若剔除休息日，实际有效工期随效率变化，下列关于y与x的函数说法正确的是（ ） A. 正比例函数，y随x增大而增大 B. 反比例函数，y随x增大而减小 C. 一次函数，单调递增 D. 二次函数，存在最值 2. 一定质量的气体，温度恒定的情况下，气压P（kPa）与体积V（m³）成反比例，若气体体积最大不超过10m³，则该函数图象在第一象限的特征是（ ） A. 完整双曲线 B. 双曲线V≤10的部分 C. 射线 D. 线段 3. 水池蓄水总量固定，同时开启进水口和排水口，净排水速度x与排空时间y成反比例，若净速度最小为5m³/h，最大为20m³/h，则排空时间的取值范围是（ ） A. 固定值 B. 随x增大而增大 C. D. 全体正数 4. 已知机械做功恒定，做功功率P与做功时间t成反比例，若功率提升25%，则做功时间的变化为（ ） A. 缩短25% B. 缩短20% C. 增加25% D. 增加20% 5. 关于实际场景中的反比例函数，下列说法错误的是（ ） A. 自变量、函数值均为正实数 B. 自变量翻倍，函数值减半 C. 自变量越小，函数值增长越快 D. 函数存在最大值和最小值 6．物理爱好者小明为了测试不溶于水且不吸水的“人造自由百变泥”的密度，他向一个圆柱体水杯中装入一定量的水，用电子测力计悬挂“人造自由百变泥”并使它的最下端与水面刚好接触，如图1所示．从此处匀速下放“人造自由百变泥”，直至浸没于水中并继续匀速下放但不与水杯的底部接触在“人造自由百变泥”下放过程中，测力计示数F与“人造自由百变泥”浸入水中深度h的关系如图2所示．当时，由此可知、“人造自由百变泥”的密度是（    ） A． B． C． D． 7.如图，物理实验课上小明设计了一个探索杠杆平衡条件的实验，在一根质地均匀的木杆中点O处用一根细绳挂在支架上，在点O的左侧固定位置B处悬挂重物A，在点O的右侧用一个弹簧测力计向下拉木杆，使木杆达到平衡（杠杆平衡时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂）．改变弹簧测力计与点O的距离x（cm），观察弹簧测力计的示数y（N）的变化情况，实验数据记录如下： x（cm） … 10 15 20 25 30 … y（N） … 30 20 15 12 10 … 观察表中的数据，当弹簧测力计与点O的距离x为40cm时，弹簧测力计的示数y的值是（　　） A．5 B．7.5 C．10 D．120 8.疫情期间，某校工作人员对教室进行消毒时，室内每立方米空气中的含药量（毫升）与喷洒消毒液的时间（分钟）成正比例关系，喷洒完成后，与成反比例关系（如图所示）．已知喷洒消毒液用时6分钟，此时室内每立方米空气中的含药量为16毫升．问室内每立方米空气中的含药量不低于8毫升的持续时间为　　 A．7分钟 B．8分钟 C．9分钟 D．10分钟 二、填空题 本部分侧重参数求解、取值范围、比例变换、隐条件建模、拔高计算题型 9. 某三角形花坛面积定值为30m²，底边长x，高y，则y关于x的函数解析式为________，若x≥5，则y的最大值为________。 10. 已知总销售额固定，商品销量y与单价x成反比例，单价从8元涨至10元，销量减少15件，则该商品总销售额为________元。 11. 长方体体积定值为180cm³，底面宽固定为4cm，底面长x，高y，则y与x的函数关系为________。 12. 收割固定面积农田，日收割量x与天数y成反比，若提前3天完成任务，日收割量需增加2亩，则原计划日收割量为________亩。 13. 某工程总工作量固定，人数x与工期y成反比，15人施工20天完成，若工期控制在10～15天，则参与人数的取值范围是________。 三、解答题 本部分侧重综合建模、参数计算、取值范围讨论、方案优化、实际最值、多问梯度拔高题型 14. 某建筑队承接平整土地工程，平整总面积固定，每日平整面积x（m²），完工天数y（天）。已知每日平整80m²，需30天完成。 （1）求y与x的反比例函数解析式； （2）若工程要求工期缩短10天，每日需多平整多少平方米土地？ （3）若每日最大平整面积为120m²，求最短完工工期。 15. 某超市预留固定预算购进精品水果销售，水果进价为x元/千克，可购进质量为y千克，二者成反比例关系。已知进价15元/千克时，可购进40千克。 （1）求函数解析式； （2）若水果进价浮动范围为12元～20元，求购进质量的取值范围； （3）若超市想至少购进30千克水果，进价最高可为多少元？ 16. 某手工工坊定制非遗手作，总订单数量固定，每名工人每日制作数量相同，工人数量x与完工天数y成反比例。24名工人15天可完成全部订单。 （1）求y与x的函数表达式； （2）若工期限制为10天，至少需要增加多少名工人？ （3）若工坊最多可安排30名工人，最短完工天数为多少？ 17．如图1，琪琪同学设计了一个探究杠杆平衡条件的实验，在一个自制类似天平的仪器的左边固定托盘A中放置一个重物，在右边的活动托盘B（可左右移动）中放置一定质量的砝码，使得仪器左右平衡，改变活动托盘B与点O的距离x（cm），观察活动托盘B中砝码的质量y（g）的变化情况．嘉嘉将实验数据记录如表： （1）在记录的过程中，一个数据被墨汁覆盖，则被覆盖的数值应为 　　： x/cm … 5 10 15 20 25 … y/g … 12 4 3 2.4 … （2）把右表中的（x，y）的各组对应值作为点的坐标，在如图2的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑曲线连接这些点，观察所画的图象，猜测y与x之间的函数关系类型，求出函数关系式并加以验证： （3）当砝码的质量为40g时，为了使仪器左右平衡，求活动托盘B与点O的距离是多少cm？ 18.喝绿茶前需要烧水和泡茶两个工序，即需要将电热水壶中的水烧到100℃，然后停止烧水，等水温降低到适合的温度时再泡茶，烧水时水温y（℃）与时间x（min）成一次函数关系；停止加热过了1分半钟后，水壶中水的温度y（℃）与时间x（min）近似于反比例函数关系（如图）．已知水壶中水的初始温度是25℃，降温过程中水温不低于25℃． （1）分别写出图中所对应的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围； （2）从水壶中的水烧开（100℃）降到80℃就可以进行泡制绿茶，问从水烧开到泡茶需要等待多长时间？ 19．阅读材料： 工厂加工某种新型材料，首先要将材料进行加温处理，使这种材料保持在一定的温度范围内方可进行继续加工处理这种材料时，材料温度是时间的函数下面是小明同学研究该函数的过程，把它补充完整： 在这个函数关系中，自变量x的取值范围是______． 如表记录了17min内10个时间点材料温度y随时间x变化的情况： 时间 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 温度 15 24 42 60 m 上表中m的值为______． 如图，在平面直角坐标系xOy中，已经描出了上表中的部分点根据描出的点，画出该函数的图像． 根据列出的表格和所画的函数图像，可以得到，当时，y与x之间的函数表达式为______，当时，y与x之间的函数表达式为______． 根据工艺的要求，当材料的温度不低于时，方可以进行产品加工，在图中所示的温度变化过程中，可以进行加工的时间长度为______min． 学科网（北京）股份有限公司 $