精品解析：江苏省无锡市梁溪区2025-2026学年七年级下学期数学期末试卷

2026年春学期期末学业质量测试 七年级数学 考试时间：100分钟 满分分值：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 下列国产AI工具图标属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 2. 下面计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂的运算法则及合并同类项法则逐一判断选项即可． 【详解】解：A、，选项错误，不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，选项错误，不符合题意； C、，选项错误，不符合题意； D、，选项正确，符合题意． 3. 正五边形的外角和为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查多边形的外角和定理，根据多边形的外角和等于，即可求解． 【详解】解：任意多边形的外角和都是， 故正五边形的外角和的度数为． 故选：B． 4. 下列整式的乘法，能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】平方差公式为，即两个二项式相乘需满足“一项完全相同，另一项互为相反数”，据此逐一判断选项即可． 【详解】∵平方差公式要求两个相乘的二项式满足：有一项完全相同，另一项互为相反数．对选项逐一判断： A选项、，相同项为，相反项为和，符合平方差公式的结构，能用平方差公式计算，符合题意； B选项、，不存在完全相同的项，不符合平方差公式的结构，不能用平方差公式计算，不符合题意； C选项、两个因式完全相同，不存在互为相反数的项，不符合平方差公式的结构，不能用平方差公式计算，不符合题意； D选项、，不存在完全相同的项，不符合平方差公式的结构，不能用平方差公式计算，不符合题意． 选A． 5. 数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，在下列四个式子中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查不等式性质．根据题意逐一对选项进行计算即可得到本题答案． 【详解】解：∵通过数轴可知， ∴，即A选项不对， ∴，即B选项不对， ∴，即C选项不对， ∴，即D选项正确， 故选：D． 6. 判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中的可以为（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是命题与定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据实数的平方、实数的大小比较法则、假命题的概念解答． 【详解】解：当时，，而， 说明命题“如果，那么”是假命题， 故选：B． 7. 给出下列4个命题：①同旁内角互补．②三角形的一个外角等于两个内角的和．③平行于同一条直线的两条直线平行．④三角形最大内角不小于．其中真命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】分别利用平行线的性质，三角形外角的性质，平行公理的推论及三角形内角和定理，对四个命题逐一判断即可得到真命题的个数． 【详解】解：①同旁内角互补的前提是两直线平行，命题缺少条件，故①是假命题； ②三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，命题未限定“不相邻”，故②是假命题； ③根据平行公理的推论，平行于同一条直线的两条直线平行，故③是真命题； ④若三角形最大内角小于，则三角形三个内角的和小于，与三角形内角和定理矛盾，因此三角形最大内角不小于，故④是真命题； 因此真命题的个数为2． 8. 被历代数学家尊为“算经之首”的《九章算术》是中国古代算法的扛鼎之作．《九章算术》中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”译文：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等.5只雀、6只燕重量为1斤．问雀、燕每只各重多少斤？”设每只雀重x斤，每只燕重y斤，可列方程组为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设每只雀有x两，每只燕有y两，根据五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，列方程组即可． 【详解】解：设每只雀有x两，每只燕有y两， 由题意得，． 故选C． 【点睛】本题考查了有实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组． 9. 若关于x，y的方程组的解满足，则m的最小整数解为（　　） A. ﹣3 B. ﹣2 C. ﹣1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】方程组中的两个方程相减得出x-y=3m+2，根据已知得出不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解：， ①-②得：x-y=3m+2， ∵关于x，y的方程组的解满足x-y＞-， ∴3m+2＞-， 解得：m＞， ∴m的最小整数解为-1， 故选C． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式和解二元一次方程组、二元一次方程组的解、一元一次不等式的整数解等知识点，能得出关于m的不等式是解此题的关键． 10. 如图，在中，，，，，将绕点逆时针旋转，点、的对应点分别是，，点为边上一点，且，点为线段上一动点．在旋转过程中，则线段的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先通过直角三角形面积法求出斜边上的高，结合旋转的性质得到点到线段的距离；再依据垂线段最短确定的最小值，根据旋转时点的轨迹确定的最大值，进而得到的取值范围． 【详解】解：∵，，， ∴． ∵，设点到的垂线段长度为， ∴． ∴． ∴． ∵绕点逆时针旋转得到， ∴，． ∴点到线段的距离等于，即为． ∵，当且点在线段上时，取得最小值， ∴． ∵当点与点重合，且、、三点共线时，取得最大值， ∴． ∴． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 11. 2026年5月25日，华为发表“韬定律”，预计2031年高端芯片晶体管尺寸将达到0.0000000014米，数据0.0000000014用科学记数法表示为___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：用科学记数法表示为． 12. 用反证法证明“在中，如果，那么”时，第一步应假设______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是反证法，熟练掌握反证法的步骤是解题关键． 根据反证法的步骤，即第一步是假设结论不成立，反面成立，即可求解． 【详解】解：反证法证明“在中，如果，那么”时，第一步应假设， 故答案为：． 13. 写出二元一次方程的一个整数解：___________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：当时，， 解得：， 则二元一次方程的一个整数解可以为（答案不唯一）． 14. 请写出命题“如果，那么”的逆命题：________． 【答案】如果，那么 【解析】 【详解】解：原命题的题设为，结论为， 交换原命题的题设与结论，可得逆命题为：如果，那么． 15. 已知，，则_____． 【答案】3 【解析】 【详解】解：∵，， ∴ ∴ ∴． 16. 生活中有很多图形可以通过图形变换得到．如图是把正方形绕中心顺时针旋转以后与原图形组成的十六边形，若十六边形的面积为16，则阴影部分的面积为__________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据旋转的性质和正方形的性质可知，该十六边形是中心对称图形，对称中心为点，且阴影部分与空白部分的分界线经过对称中心，根据中心对称图形的性质可得阴影部分的面积是十六边形面积的． 【详解】解：由题意可知，该十六边形是由正方形绕中 顺时针旋转  以后与原图形组成的，  该十六边形是中心对称图形，对称中心为点． 观察图形可知，阴影部分与空白部分的分界线经过对称中心，   阴影部分的面积等于十六边形面积的．   十六边形的面积为 ，   阴影部分的面积为 ． 17. 已知，且，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先对原等式变形，利用非负数的性质求出x的值，再得到y与m的关系式，最后结合y的取值范围解不等式得到m的取值范围． 【详解】解：∵， 整理得：， 即， 由平方和绝对值的非负性，可得， 解得：，， ∵， ∴，即， 解得：．  18. 如图，等边，点为边的中点，为射线上一动点，连接，将沿翻折，得到．当所在直线与的边垂直时，则___________． 【答案】，，， 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质，折叠的性质，分4种情况进行讨论求解即可. 【详解】解：∵等边， ∴， ∵折叠， ∴， 当所在直线与的边垂直时，分四种情况： ①当所在直线与垂直时，如图，则， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当所在直线与垂直时，如图，则， ∴； ③当时，如图，则； ④当在的延长线上，且时，如图， 则， ∴； 综上：. 三、解答题（本大题共8小题，共66分） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1）16 （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 解方程组与不等式组 （1）解方程组 （2）解不等式组 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可； （2）先求解每个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为该不等式组的解集． 【小问1详解】 解： 得： 得： 得：，解得 把代入①，得 ∴原方程组的解为； 【小问2详解】 解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴原不等式组的解为． 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，45 【解析】 【分析】根据完全平方公式、平方差公式、多项式乘多项式、去括号、合并同类项进行化简，然后再代入计算即可． 【详解】解：， ， ； 当时，原式． 【点睛】本题主要考查了利用完全平方和平方差公式进行代数式化简，熟练掌握公式进行计算是关键． 22. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）平移到，其中点对应点为点，请画出； （2）以点O为旋转中心，将旋转得到，请画出； （3）已知与关于某点成中心对称，则该点为_______； （4）四边形的面积是 ． 【答案】（1）解：如图：即为所求， （2）解：如图：即为所求， （3） （4）16 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质作图即可； （2）根据旋转的性质作图即可； （3）连接、、，交点即为所求； （4）根据四边形面积的求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图：连接、、，交点为， 即与关于某点成中心对称，则该点为； 【小问4详解】 解：∴四边形的面积． ． 23. 如图，在四边形中，点在边上，点在边上，连接，，． （1）求证：； （2）若平分，，，求的度数． 【答案】（1）证明：， ． ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质结合等量代换，推出，即可得证； （2）根据平行线的性质，角平分线的定义，求出的度数，再利用三角形的内角和定理，进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， ， 平分， ， ， ， . 24. 一个长方体鱼缸底面积为，缸内原有水深 ．现将两种规格的观赏石完全置入水中（石头全部浸没，水未溢出）．若第一次放入4块A型石头和3块B型石头，水位上升至；若 第二次放入2块A型石头和4块B型石头，水位上升至． （1）求每块A型石头和B型石头的体积． （2）若重新在鱼缸中放置块A型石头和块B型石头，出于美观需求，A型和B型两种石头均需放入鱼缸．为防止水溢出鱼缸，要求水面高度不超过．求的最大值． 【答案】（1）A型石头体积为，B型石头体积为 （2）的最大值为7 【解析】 【分析】（1）先求得第一和第二次放入后物体总体积，再列二元一次方程组，求解即可； （2）先算出水面最多可上升高度对应的石头总体积上限，结合A、B型石头单块体积列出关于a、b的不等式，因两种石头都要放置，令b取最小正整数1，代入不等式求出a的取值范围，从中选取最大整数即为a的最大值。 【小问1详解】 解：第一次放入后物体总体积， 第二次放入后物体总体积． 设每块A型石头体积为，每块B型石头体积为，根据题意得： 解得： 答：A型石头体积为，B型石头体积为． 【小问2详解】 解：水面最多可上升高度：， 石头总体积上限：， 设放置块A型石头，块B型石头．（，为正整数）， 由题意得：， 化简得： 要使最大，取最小正整数，， 解得， a为正整数，因此a最大取7， 答：的最大值为7． 25. 阅读下列材料：解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法． 解：  又，， 又，．① 同理，得② 由，得． 请按照上述方法，完成下列问题： （1）已知，且，，求的取值范围； （2）已知，，若，求的取值范围（结果用含的代数式表示）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）仿照题干方法，先分别求出和的取值范围，再将两个范围相加得到的取值范围； （2）仿照题干方法，先分别求出和的取值范围，再将两个范围相加得到的取值范围． 【小问1详解】 解：， ， 又， ， ， 又， ①， 同理，得②， 由得， ； 【小问2详解】 解：， ， 又， ， ， 又， ①， 同理，得②， 由得， 整理得． 26. 将两块三角板和按图1所示的方式摆放，其中，，，点，，，在同一条直线上，在的上方． （1）如图1，将绕点顺时针旋转，当第一次与平行时， °； （2）将图1中的绕点逆时针旋转一周．当时，连接，求的度数； （3）将沿直线平移，当以、、为顶点的三角形是轴对称图形时，请直接写出的度数． 【答案】（1）15 （2）或 （3）或或或 【解析】 【分析】（1）将绕点顺时针旋转至第一次，延长交于点，根据平行线的性质和三角形内角和定理，以及对顶角相等即可求出结果； （2）①绕点逆时针旋转时，会出现两次，分情况讨论即可； （3）分两种情况：当D在射线上时；点D在射线上时，连接，根据平移性质和等腰三角形的性质分别求解即可． 【小问1详解】 解：将绕点顺时针旋转至第一次，延长交于点，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①当绕点逆时针旋转第一次时，由题意可得在同一条直线上，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， 根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和， ∴； 当绕点逆时针旋转第二次时，如图所示，由题意可得在同一条直线上， ∵，， ∴， ∵， ∴， 根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和， ∴， 综上，的度数为或； 【小问3详解】 解：由题意，以、、为顶点的三角形是轴对称图形时，为等腰三角形， 当D在射线上时，连接， 根据平移性质，，， 当时，如图，，则是等腰三角形，符合题意； 当时，如图，，则是等腰三角形，符合题意； 当时，如图，，则是等腰三角形，符合题意，此时，点F与点B重合； 点D在射线上时，由平移性质得， 当时，如图，，则是等腰三角形，符合题意； 综上，满足条件的的度数为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春学期期末学业质量测试 七年级数学 考试时间：100分钟 满分分值：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 下列国产AI工具图标属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下面计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 正五边形的外角和为（　　） A. B. C. D. 4. 下列整式的乘法，能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 5. 数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，在下列四个式子中，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中的可以为（ ） A. B. C. 0 D. 1 7. 给出下列4个命题：①同旁内角互补．②三角形的一个外角等于两个内角的和．③平行于同一条直线的两条直线平行．④三角形最大内角不小于．其中真命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 被历代数学家尊为“算经之首”的《九章算术》是中国古代算法的扛鼎之作．《九章算术》中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”译文：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等.5只雀、6只燕重量为1斤．问雀、燕每只各重多少斤？”设每只雀重x斤，每只燕重y斤，可列方程组为（　　） A. B. C. D. 9. 若关于x，y的方程组的解满足，则m的最小整数解为（　　） A. ﹣3 B. ﹣2 C. ﹣1 D. 0 10. 如图，在中，，，，，将绕点逆时针旋转，点、的对应点分别是，，点为边上一点，且，点为线段上一动点．在旋转过程中，则线段的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 11. 2026年5月25日，华为发表“韬定律”，预计2031年高端芯片晶体管尺寸将达到0.0000000014米，数据0.0000000014用科学记数法表示为___________． 12. 用反证法证明“在中，如果，那么”时，第一步应假设______． 13. 写出二元一次方程的一个整数解：___________． 14. 请写出命题“如果，那么”的逆命题：________． 15. 已知，，则_____． 16. 生活中有很多图形可以通过图形变换得到．如图是把正方形绕中心顺时针旋转以后与原图形组成的十六边形，若十六边形的面积为16，则阴影部分的面积为__________． 17. 已知，且，则的取值范围是___________． 18. 如图，等边，点为边的中点，为射线上一动点，连接，将沿翻折，得到．当所在直线与的边垂直时，则___________． 三、解答题（本大题共8小题，共66分） 19. 计算： （1） （2） 20. 解方程组与不等式组 （1）解方程组 （2）解不等式组 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）平移到，其中点对应点为点，请画出； （2）以点O为旋转中心，将旋转得到，请画出； （3）已知与关于某点成中心对称，则该点为_______； （4）四边形的面积是 ． 23. 如图，在四边形中，点在边上，点在边上，连接，，． （1）求证：； （2）若平分，，，求的度数． 24. 一个长方体鱼缸底面积为，缸内原有水深 ．现将两种规格的观赏石完全置入水中（石头全部浸没，水未溢出）．若第一次放入4块A型石头和3块B型石头，水位上升至；若 第二次放入2块A型石头和4块B型石头，水位上升至． （1）求每块A型石头和B型石头的体积． （2）若重新在鱼缸中放置块A型石头和块B型石头，出于美观需求，A型和B型两种石头均需放入鱼缸．为防止水溢出鱼缸，要求水面高度不超过．求的最大值． 25. 阅读下列材料：解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法． 解：  又，， 又，．① 同理，得② 由，得． 请按照上述方法，完成下列问题： （1）已知，且，，求的取值范围； （2）已知，，若，求的取值范围（结果用含的代数式表示）． 26. 将两块三角板和按图1所示的方式摆放，其中，，，点，，，在同一条直线上，在的上方． （1）如图1，将绕点顺时针旋转，当第一次与平行时， °； （2）将图1中的绕点逆时针旋转一周．当时，连接，求的度数； （3）将沿直线平移，当以、、为顶点的三角形是轴对称图形时，请直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $