河南新未来联考2025-2026学年高一下学期6月测评数学试题

机密★启用前 高一年级6月测评 数 学 n (试卷满分：150分，考试时间：120分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如 h 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹 签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，请将答题卡上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1.已知复数之=2十3，则在复平面内z对应的点位于 长 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知向量a=(√3,1)，b=(1,2√3)，则a在b上的投影向量的模为 A.√3 B.339 13 C 2 D. 3.函数f(x)= 1 的定义域为 √3-tan2x A(2kx-,2kπ+若)∈Z B. (x-否，km+君)∈Z 蚁 C(2km-吾，2kx+号)∈Z D.(kx-吾，kx十3)，b∈Z 4.已知m,n是两条不同的直线，a,B是两个不同的平面，则下列命题正确的是 A.若a⊥B,m∥a,n∥B,则m⊥n B.若m∥B,a⊥B,则m⊥a C.若m⊥B,m∥a,则a⊥ D.若mLn,nCa,则m⊥a 5.已知一扇形的周长为8，当该扇形的面积最大时，其圆心角为 A.2 B C.1 1 D.2 6.如图，在正方体ABCD-A1B1CD1中，E为AA1的中点，则异面直线 D BE与AC所成角的余弦值为 A.5 5 c.2 D.0 5 【高一数学 第1页（共4页）】 7.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,sinA·sinC=sinB,设△ABC的面积 为S,若√3 accos B=2S,则△ABC的形状为 A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 8,若0<a<登，0<K登cos(a+m=-sin(日）=最则cosa= A品 B io c鹅 D.33v2 65 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知i为虚数单位，则下列说法正确的是 A.若21=一4i,2=3i,则之1<2 B.若n∈N,则i4m+2=一1 C.若之=2-i,则之的虚部为-1 D若=3平则1=1 10.在△ABC中，内角A,B,C对应的边分别为a,b,c,则下列说法正确的是 ·A.若a=√2，b=√3，A=45°，则B=60° B.若A>B,则sinA>sinB C.若A=百，c=4,△ABC有两解，则2<a<4 D.cos(A+B)<cos Acos B 11.如图，在正方体ABCD-A1B,CD1中，M,N,G分别为BB1,BC,DD1的中点，点P为 线段BG上的动点，则下列说法正确的是 A.几何体NBM-DAA1是三棱台 B.直线B1G与平面A1DNM相交 C.二面角A,-DN-A的平面角的正切值为 D,直线PN与平面A1DNM所成角的正弦值的最大值为四 29 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.河南科技馆内有一个半径为15m的球形建筑物，已知A,B,C三点在该球面上，且AB =AC=BC=9√3m,则球心O到平面ABC的距离为 m. 13.已知平面向量a,b,c满足a=c=1且a⊥c,向量b满足(a一b)·(c-b)=0,则 |b的最大值是 14,设f=ose+）若fa)=f,fa-)=-9且∈(-，0)，∈(0，，则 x2= 【高一数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。 18.(本小题满分17分) 15.(本小题满分13分)· 已知向量a=(-2sin(z+）,1)小b=(sinz-引，2)，c=(1,) 设复数=a-i,2=3+bi(其中a,b∈R). (1)若z1=,求a的值； (1)若a∥(c-b),求cos(x-晋)的值： (2)若之1是关于x的方程x2+mx+10=0的一个根，求实数m的值. (2)记f(x)=a·b,x∈R. ()求f(x)的对称中心和对称轴； (i)若函数h(x)=2fx+)+1的图象在区间[a,b](a,b∈R且a<b)上至少含有 40个零点，在所有满足条件的区间[a,b]上，求b一a的最小值. 16.(本小题满分15分) 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知2 asin B-√3 bcos A=bsin A. (1)求角A的大小： (2)若c=2b,△ABC的面积为2√3，求△ABC的周长. 19.(本小题满分17分) 一个上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2的圆台O0,如图所示，等腰梯形 ABCD是圆台OO的轴截面，P为圆台上底面圆周上一点 (1)若平面APC与圆台OO'下底面的圆周交于点Q. 17.(本小题满分15分) (i)证明：CP∥平面ADQ; 已知登+o小m(3-o小货+ (ii)若四棱锥B-APCQ的体积为2√3，求二面角C-AQ-B的正弦值； -言求cos0的值： (2)若圆台OO是封闭容器（容器壁厚度忽略不计），且圆台OO内有两个半径相等的铁 cos(π-0)sin(2x+0) 球，求铁球半径的最大值 (②已如2品篇+黑部-阿+加5求实数的做 【高一数学第3页（共4页）】 【高一数学第4页（共4页）】高一年级6月测评·数学 参考答案、提示及评分细则 题号 2 4 7 8 答案 A B D C D C A 题号 9 10 11 答案 BCD BCD AC 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的 1.【答案】A 【解析】因为复数之=2十3=2一i,所以之=2十i.所以之对应的点位于第一象限.故选A. 2.【答案】B 【解析】由a=(√3,1)，b=(1,2√3)，所以b=√/12+(2√5)2=13，a·b=√5X1+1×2√5=35.所 以a在b上的投影向量的模为 a·b=33_339 b√13 13 故选B. 3.【答案】D 【解析】3-ianx>0,则-5<anx<5,结合图象可知x∈(km-5,kx+罗）k∈Z,故选D, 4.【答案】C 【解析】对A,若a⊥B,m∥a,n∥B,则m与n也可能平行，故A错误； 对B,若m∥B,a⊥B,则mCx或m∥a或m与&相交，故B错误； 对C,若m∥α，根据线面平行的性质，可知a内必有一直线与m平行，由m⊥3知，a内这一直线与B垂 直，由面面垂直的判定定理知α⊥3，故C正确； 对D,若m⊥n,nCa,可能直线m与平面斜交，也可能在平面内，故D错误.故选C. 5.【答案】A 【解析】设该扇形的弧长为1.圆心角为0，面积为S,半径为，则由扇形的弧长及面积公式1=，S=,l 十2-85=子·2≤后1+2=4，当且仅当1=2一4，即7=2时取=”，此时0-号 =2,故选A 6.【答案】D D 【解析】取DD,的中点为F,连接EF,AF,CF,因为点E为AA,的中点，所以 A EF∥AD,且EF=AD,又因为AD∥BC,AD=BC,所以EF∥BC,且EF=BC, 即四边形EFCB为平行四边形，所以BE∥CF,则∠ACF或其补角即为异面直 线BE和AC所成的角.设正方体的棱长为2，则AC=22,CF=AF=√5，所以 OSACE=AC十CFAF=8+55=0故选D, 2AC·CF 2×2W2Xw5 7.【答案C 【解】析iv5 B=2S.可得cnB-23×osnB,解得mB=尽，因为0<B<,所以B=苔义 sinA·sinC=sinB,得ac=.由余弦定理得=a2+2-2acos牙，所以}=ad2十c2-ac,因为ac=f, 所以(a一c)2=0,解得a=c,则b=ac=a2,可得b=a,所以a==b,所以△ABC为等边三角形.故选C. 【高一数学参考答案第1页（共6页）】 8.【答案】A 【解标】因为0<a<受，0<g<受，os(a十D=一号sin(日-至)）=是， 所以cos(a+平）=cos[(a+B)-(g-F)]=cos(a+cos(g-平)）+sin(a+B)sin(g-平)： 其中0<a十K,os(a十B)=-号，所以sin(a+B)=青， 至<g至<至im(g）品所以0g至<晋，所以c0sgF)号， 所以(e+）-号×号+台×是=-8 因为0<a<受cos(。+牙）=-号所以a+∈（受3）im(e+开)-e cosa=cos(a+至-f)=cos(a+f)eos至+sim(e+）sin至 =×+×竖-品放选A 651 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.【答案】BCD 【解析】对于A,虚数不能比较大小，故A错误； 对于B,因为=1，所以+2==一1，故B正确； 对于C,若之=2-i,则之的虚部为一1，故C正确； 对于D3平-3，则1：1=√7得）广+(-1，放D正确故法Gn 10.【答案BCD 、【解标对于A由正我。A得s行大 b √2 ，又因为b>a,A=45°，A 2-3 +B+C=180°，所以45°<B<135°，所以B=60°或B=120°，故A错误； 对于B,若A>B,因为y=sinx在(0,5)上单调递增，且0<B<A<元-B,所以sinA>sinB,故B 正确； 对于C由正弦定理得AC兰-Ca=CCc(o,晋)△AC要有两新，smCe (,所以a∈(2,4)，故C正确： 对于D,因为cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B,在△ABC中，A,B∈(0，π)，则sin Asin B>0,所 以cos(A十B)<cos Acos B,故D正确.故选BCD. 11.【答案】AC 【解析】对于A,因为点M,N分别为BB,BC的中点，所以MN∥AD,且MN=AD,所以四边形 A1DNM是等腰梯形，所以延长AM与DN必然相交，设交点为O,则点O既在平面A1ABB1内，又 在平面ABCD内，平面A1ABB,∩平面ABCD=AB,所以O∈AB,即延长A1M,DN,AB相交于一 点，所以几何体NBM-DAA1是三棱台，所以A正确； 对于B,如图1，连接BC,CG,则BC∥MN,CG∥AM,且BC∩CG=C,所以平面BCG∥平面 A1DNM,又因为B1GC平面B1CG,所以B1G∥平面ADNM,所以B错误； 【高一数学参考答案第2页（共6页）】 图1 图2 图3 对于C,如图2，过点A作AE⊥DN,垂足为E,连接AE,AN,因为AA1⊥平面ABCD,DNC平面 ABCD,所以DN⊥AA1,又因为AA1∩AE=A,所以DN⊥平面A1AE,又因为A1EC平面A1AE,所 以DN⊥A1E,则∠A,EA即为二面角A1-DN-A的平面角，设正方体的棱长为2，则AN=ND= 6,南5·AB-2X2,所以A清期am∠AEA=是-是-号，所以C正德 4 √5 对于D,如图3，过点P作PF⊥平面ADNM,垂足为F,连接NF,则∠PNF即为PN与平面 A,DNM所成的角，则sn∠PNF=票，因为BG∥平面A,DNM,所以点P到平面A,DNM的E离 为定值，即PF为定值，所以当PN最小时，sin∠PNF照取最大值：点P到平面A,DNM的距离 等于点B,到平面ADNM的距离，设点B,到平面MND的距离为d,正方体的棱长为2，则MN= .A,D=22.DN=AM=5,所以等腰梯形ADNM的高么=√5-(222-. 2 V%=V。与w所以号×号×反×3号.d=号×专×1X1×2,解得d=号，即PF=景在 2 △BNG中，BN=v5,GN=6,BG=3,cos∠BNG=25t9-,所以m∠B,NG=￥2图 2X√5X√6√30 √30 VLB,G时，B,G·PN=BN·NG·SnB,NG,即3PN=5X√6XV2,所以pN V30 2 的最小值为Y2O,PN与平面ADNM所成角的正弦值的最大值为：sin∠PNF三 √29 3 22四，所以D错误.综上，故选AC. 29 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.【答案】12 【解析】△ABC是正三角形，则△ABC外接圆的半径r=93×5×名=9，则球心O到平面ABC的 2 3 距离d=√/152-92=12. 13.【答案V2 【解析】如图，.(a一b)(c一b)=0,∴.(a一b)⊥(c一b),∴.∠ABC=90°，∴.B点的轨迹 是以AC为直径的圆，由图可知|b的最大值为√2. 14【答案】日或-司 【解折1抽-<+吾<吾·吾<十吾<后及)=x)有十答=-（十），可得十 =，又由-)=有0-十）=又由晋<一吾<1，有 【高一数学参考答案第3页（共6页）】 x1十x2= 3 @十不國十不可得远目 6 6 6 2或2一x1=π，联立方程 和 x2一x1= 2 3 2π x1= x1十x2= 2, C1= 3 3’解得 1 和 可得2=一 }或- x2一C1=T, x2= 6 x2= 3 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤， 15.【答案】(1)3(2)6或-6 【解析】(1)2=3一bi,因为1=2，所以a一i=3一bi,… 2分 故a=3,b=1,所以a°=3；… 5分 (2)因为1是关于x的方程x2+mx+10=0的一个根， 所以(a-i)2十m(a-i)十10=0，即a2十am十9-(2a十m)i=0.…8分 所以/a十am+9=0 ……………10分 2a+m=0 解得〈 a=3 m=6或%二63，故m=6或m=6 ……… 13分 16.【答案】1) ,(2)23+6 【解折11)由正弦定理A-B得，2 2sin Asin B-5 in eA=sin Bain A,……2分 b 因为B∈(0，π)，所以sinB≠0，所以2sinA=√3cosA十sinA, ………………………………… 3分 整理得SinA=3COSA,tanA三s1nA=3,… 5分 cos A 因为A∈(0，元，所以A=;7分 的面积为23，得-bcsin A-=23,所以bc=8,… 9分 又c=2b,则b=2,C=4,所以b十c=6,…11分 由余弦定理得a2=c2十b2-2bcc0sA=4+16-8=12,解得a=2V,…13分 所以△ABC的周长为2√3十6.… …15分 1.【答案11 (2)3 am(臣+0jsin(3x-0）eos(径+9 【解析】(1)易知 -cos 0(-sin 0)1 cos(π-0)sin(2π+0) tan9=cos0)sin0-an0=-3,可得 tan0=-3, …………………………………………… 3分 tan 20= 2tan0_-6_3 1-tan0-8-4’ ……………5分 9 cos 40=cos*20-sin'20-cos*20-sin2201-tan'20 1-62 cos:20+sin220 1+tan 220 1+ …7分 cos650+入sin20° (2)由题意，左边=2sin25° c0s270-=2士22sin10°·cos10=2+2Atan10。 ……………… c0s210° 8分 右边-ian6十ian65=tan25°+tan65°=sin25+sin65 1 1 cos25°+cos65=sin25°cos25, ………10分 1 则2+2λtan10° sin25cos25,即1+tan10°= sin 50, 11分 c0s50° 1 F(im50c0s50-1）an10…13分 【高一数学参考答案第4页（共6页）】 2cos 50 、1 sin 1009 1）·tan10 2c0s50°-cos10° 1 2c0s(60°-10°)-c0s10° 1 c0s10 tan 103 cos 109 tan10° √3sin109 cos10°tan10=√3. …15分 18.【答案11) （2)0对称中心为（臣+经，0）∈Z,对称销为x经+吾，∈7《 【解析11)-2sin(+）=2cosx,则a=(2cosx,1D.由6=(sin(-吾）2）c=(1,2)得c-b =(1-sim(z-1） …2分 由a/c-b,得2os=1-sim(-)，则imx+cos=1,sim(r+）- …4分 所以os(x-晋)-o[(+）]=sim(+）-: …5分 (2)i)依题意，fx)=a·b=2os·sin(e-若）十-2cosz(snx-c0sx+号 …6分 -m2-osx-gm2x-s2=n(x-若》 …7分 由2红-晋-，k∈么，得x=是十经∈Z.所以f)的对称中心为（臣+经，0）∈z.…8分 2江-吾-受十km,∈Z,得经+号∈7所以fx)的对称轴为x-经+吾，∈Z:…9分 (i由题意，知h(x)=2f(x+平)十1=2sin(2(x+平）-否)+1=2sin(2x+号)+1， 由h(x)=0,得sin(2x+)=-， …10分 故2x+智=2k元+或2x+5=2kx+,k∈Z. 6 解得x三k元千或父kπ十不k∈Z,…… 放A(x)的零点为=x+登或=x+还，∈Z, 所以相邻两个零点之间的距离为号或。 …13分 若b-a最小，则a和b都是零点，此时在区间[a,π十a],[a,2π十a],…,[a,sπ十a](s∈N*),分别恰 有3,5，…，2s十1个零点，…14分 所以在区间[a,19π十a]上恰有39个零点，…15分 从而在区间(19x十a,b]上至少有一个零点，所以6一a-19x≥否， ,在区间19元十3T上恰有40个零点，… 所以6-a的最小值为19x十吾-g 17分 19.【答案1)(iD详见解析(i)10 5 (2)W3-1 【解析】(1)()因为圆台上、下底面平行，平面APCQ与圆台上底面的交线 为PC,与下底面的交线为AQ,所以PC∥AQ,…2分 因为CP中平面ADQ,AQC平面ADQ,所以CP∥平面ADQ;·4分 (i)因为圆台上底面半径为1，下底面半径为2，所以AQ=2PC, Q 如图1，连接AC则V-=2V。则V=号 VgA= ×23 图1 3 【高一数学参考答案第5页（共6页）】 =4v3 3, ……5分 又因为VcAo=Vgac=3.圆台的高为3 则。。分5mA=停Se=,所以Se=4,又因为AB=4,所以点Q到直线AB的距离 为2，所以OQ⊥AB,则AQ=BQ=22, …6分 过点C作CC1⊥AB,垂足为C,过点C作CR∥BQ,交AQ于点R,连接CR,因为AQ⊥BQ,所以 C,R⊥AQ,因为CC⊥平面ABQ,所以CC1⊥AQ,所以AQ⊥平面CC,R,所以CR⊥AQ, 则∠CRC即为二面角C-AQ-B的平面角，… …7分 因为cG-AG-3,则品子所以RC-×22-所以CR-,CGR- 4 29 ………………8分 所以sn∠CRC,-架=， 9分 (2)由(i)(ii)可知ABCD为圆台的轴截面，∠DAB=60°，因为ABCD是等 D 01 腰梯形，所以∠ABC=60°，∠BCD=∠ADC=120°. 设两铁球半径为r, 【.当两个铁球的球心在竖直方向上时，若半径最大，则分别与两个底面相 切，如图2，则铁球球心与圆台上、下底面的距离均为r,则有4r=√3，所以 图2 此时铁球半径r=3: 4 ……………10分 1.当两个铁球都与底面相切时，若半径最大，则两铁球相外切，且各与圆台 一侧面也相切，如图3，E,F分别是两球与底面相切的切点，则OE⊥AB, O2F⊥AB,EF=O,O2=2r,连接O1A=O2B,因为点O1到AB与AD的距 离都等于r,所以点O,在∠DAB的角平分线上，同理，点O2也在∠CBA 的角平分线上，……………11分 图3 则∠O1AE=∠O2BF=30°，又因为O1E=O2F=r,则AE=BF=√3r,所以 AB=2V5r十2=4，则r=。4=√3-1；… …13分 2√5+2 I.当两个铁球一个与下底面相切，另一个与上底面相切，若球的半径最 D O'GC 大，则两球相切且分别各与圆台一侧面相切，如图4所示，球O与下底面 相切的切点为E,球O2与上底面相切的切点为G,GO2的延长线与AB交 于点F,过O1向直线GO2作垂线，垂足为H,则O2H=√3一2r,OO2=2r, E ………14分 图4 同上分析，O,在∠DAB的角平分线上，点O,在∠BCD的角平分线上，所以AE=5,GC= 3, 则0H=4-5,-停-1=3-g由0.0g=0F+0F,2r-(8-45,)广+3-2， 化简得：4r-95十9=0，解得=9y5-3或-9v5+3(舍》.…16分 8 8 又因为5-1>95-3工>，所以铁球半径的最大值为5-1 8 …17分 (备注：若直接写出第IⅡ种情况，没有第I,IⅡ种情况扣3分) 【高一数学参考答案第6页（共6页）】