专题03 与绝对值有关的十七大压轴题型（举一反三专项训练）数学新教材沪科版七年级上册

**基本信息** 以代数与几何双视角构建绝对值解题体系，17类压轴题型覆盖范围、化简、方程及最值问题，方法技巧与题型精准对应，培养抽象能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |绝对值综合|17题型（含例及变式）|代数意义去绝对值、几何意义转化距离、零点分段法、分类讨论、数形结合求最值|从概念（代数/几何意义）到性质（非负性），再到多绝对值化简、方程及最值应用，形成完整逻辑链|

专题03 与绝对值有关的十七大压轴题型（（举一反三专项训练） 【新教材沪科版】 题型归纳 【题型1 利用绝对值的代数意义求范围】 1 【题型2 利用绝对值的代数意义去绝对值】 3 【题型3 利用绝对值的几何数意义将绝对值转化为距离】 4 【题型4 绝对值的非负性】 6 【题型5 分类讨论求多绝对值的值】 8 【题型6 零点分段去多绝对值化简】 10 【题型7 零点分段法解多绝对值方程】 12 【题型8 零点分段法求多绝对值型最值】 14 【题型9 利用绝对值的几何数意义解多绝对值方程】 16 【题型10 利用绝对值的几何数意义求多绝对值型最值】 19 【题型11 两个绝对值之和求最值】 21 【题型12 三个绝对值之和求最小值】 23 【题型14 系数不为1型绝对值之和求最小值】 28 【题型15 绝对值之差求最大值】 32 【题型16 绝对值和差混搭求最大值】 34 【题型17 利用隐最值求最值】 36 方法技巧1 代数视角看绝对值的意义 绝对值的代数意义： （去绝对值法则） ； 变式结论： ①若，则； ②若，则； ③. 【题型1 利用绝对值的代数意义求范围】 【例1】（24-25七年级上·浙江杭州·阶段检测）如果，那么x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25七年级上·山东德州·月考）若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25七年级上·河南焦作·期中）如果，则的取值范围______． 【变式1-3】（24-25七年级下·安徽蚌埠·月考）若，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型2 利用绝对值的代数意义去绝对值】 【例2】已知实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26七年级下·河南驻马店·期中）_____________． 【变式2-2】（25-26六年级上·山东威海·期末）若，则化简（   ） A． B． C．1 D．11 【变式2-3】（24-25七年级上·北京·期中）如图，a，b是有理数，则式子化简的结果为（　　） A．0 B． C． D． 方法技巧2 几何视角看绝对值的意义 绝对值距离，数形 的几何意义：数轴上表示a的点到原点的距离． 的几何意义：数轴上表示的点与表示的点之间的距离． 【题型3 利用绝对值的几何数意义将绝对值转化为距离】 【例3】（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）若，且，则的值为_____． 【变式3-1】（25-26七年级下·河南洛阳·期中）若，则______． 【变式3-2】（2025六年级上·全国·专题练习）数轴上点A表示的数为，点B表示的数为x，若A，B两点之间的距离为11，求x的值． 【变式3-3】（2025六年级上·全国·专题练习）若，请结合数轴确定t的取值． 方法技巧3 绝对值的非负性 1. ，绝对值无负数 2. 若，则且 3. 若=0，则且 【题型4 绝对值的非负性】 【例4】已知：，则的值为__________ 【变式4-1】（25-26七年级上·福建宁德·月考）已知，则的值是（   ） A．3 B．2 C． D． 【变式4-2】（2025七年级上·全国·专题练习）已知与互为相反数，则（   ） A． B．1 C． D．2 【变式4-3】（25-26七年级下·重庆·开学考试）若有理数x、y满足：，，则________． 方法技巧4 多绝对值处理——分类讨论 或 为1； 为－1． ． ①a，b同正，值为； ②a，b同负，值为； ③a，b异号，值为． 注：无需讨论具体数的符号． 【题型5 分类讨论求多绝对值的值】 【例5】若，求代数式____________． 【变式5-1】已知a，b，c是有理数，当 时，求  的值是（　  ） A．1或 B．1，或 C．或3 D．1，，3或 【变式5-2】已知，试求的值不可能为（    ） A．3 B．-3 C．0 D．-1 【变式5-3】已知，其中，且，求的值（    ） A． B．1 C．2 D．3 方法技巧5 多绝对值处理——零点分段 零点：使绝对值为0的未知数的值即为零点． 方法： ①寻找所有零点，并在数轴上表示； ②依据零点将数轴进行分段； ③分别根据每段未知数的范围去绝对． 易错点：分类不明确，不会去绝对值， 化简：． 令，，解得，， 故零点为a，b，分三种情况讨论： ①； ②； ③． 【题型6 零点分段去多绝对值化简】 【例6】（24-25七年级上·湖北孝感·期末）化简代数式； 【变式6-1】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）化简； 【变式6-2】化简； 【变式6-3】化简． 【题型7 零点分段法解多绝对值方程】 【例7】解方程： (1)． (2)． 【变式7-1】（25-26七年级上·甘肃兰州·期末）解方程． 【变式7-2】解方程： 【变式7-3】解方程：． 【题型8 零点分段法求多绝对值型最值】 【例8】若的最小值记为，的最大值记为，则_____． 【变式8-1】（24-25七年级上·江苏无锡·月考）当式子取得最大值时，x的最大整数值是______． 【变式8-2】（24-25七年级上·重庆·月考）当取最小值时，的取值范围是______，最小值为______． 【变式8-3】（2025六年级上·全国·专题练习）已知；，则的最大值为___________． 方法技巧6 多绝对值处理——数形结合 ，表示P，A两点之间的距离； ，表示P，B两点之间的距离； ， 表示P到A，B两点的距离之和． 【题型9 利用绝对值的几何数意义解多绝对值方程】 【例9】（24-25七年级上·安徽滁州·月考）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，表示的数分别为a，b，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．利用此结论，回答以下问题： （1）数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是______． （2）数轴上点A用数a表示，当时，这样的整数a有______个 【变式9-1】（25-26七年级上·重庆·期中）若，则满足条件的整数有_____个． 【变式9-2】解答下列问题： （1）若|x – 5|=|x+1|，则x= __________； （2）若|x－3|+|x+2|=7，则x=__________． 【变式9-3】已知点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离，所以的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离. (1)若，则______； (2)若，则______. 【题型10 利用绝对值的几何数意义求多绝对值型最值】 【例10】我们知道，在数轴上，表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地可以规定，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：．利用此结论，那么式子的最小值是__________． 【变式10-1】（24-25七年级上·广东深圳·期中）的最大值是______． 【变式10-2】（24-25七年级上·山西吕梁·月考）当取得最小值时，x的值为_______． 【变式10-3】（25-26六年级上·上海浦东新·期中）的最小值是5，则__________ ． 方法技巧7 两个绝对值之和求最值 若，则当时，有最小值． 【题型11 两个绝对值之和求最值】 【例11】当满足________条件时，有最小值，这个最小值是________． 【变式11-1】的最小值为_____________． 【变式11-2】当_________时，有最小值，最小值是_________； 【变式11-3】（24-25七年级上·湖南长沙·月考）若是实数，则的最小值为___． 方法技巧8 三个绝对值之和求最小值 若，则当时，有最小值． 【题型12 三个绝对值之和求最小值】 【例12】设，其中．对于满足的x来说，T的最小值是_______． 【变式12-1】（25-26七年级上·陕西西安·月考）已知x为有理数，若的最小值为7，则a的值为________． 【变式12-2】（25-26七年级上·湖北武汉·期中）式子的最小值是______． 【变式12-3】（24-25七年级上·全国·随堂练习）若表示一个有理数，则的最小值是______． 方法技巧9 三个以上绝对值之和求最小值 一般地，设，． ①若n为奇数，则当时，P有最小值；②若n为偶数，则当时，P有最小值． 口诀：按序排列，奇取中值，偶取中段． 【题型13 三个以上绝对值之和求最小值】 【例13】__，有最小值，最小值是__． 【变式13-1】（25-26七年级上·江苏无锡·月考）已知m是有理数，则的最小值是________． 【变式13-2】（24-25七年级下·重庆·开学考试）x是有理数，的最小值是___________． 【变式13-3】（2025·浙江杭州·模拟预测）当取得最小值时，x满足_____ 方法技巧10 系数不为1型绝对值之和求最小值 系数不为1型绝对值之和求最小值，可化为系数为1型问题解决. 【题型14 系数不为1型绝对值之和求最小值】 【例14】（25-26七年级上·江苏南京·月考）的最小值为______． 【变式14-1】（25-26九年级上·北京海淀·自主招生）的最小值是__________． 【变式14-2】（25-26七年级上·浙江舟山·期中）的最小值是______． 【变式14-3】（24-25七年级上·四川成都·月考）求为何值时，式子有最小值，并求出此最小值． 方法技巧11 绝对值之差求最大值 若，则当时，的最大值为． 【题型15 绝对值之差求最大值】 【例15】（24-25七年级上·江苏无锡·月考）当式子取得最大值时，x的最大整数值是______． 【变式15-1】的最大值是_______． 【变式15-2】代数式的最大值是________． 【变式15-3】代数式，当时，可化简为______；若代数式的最大值为与最小值为，则的值______． 方法技巧12 绝对值和差混搭求最大值 绝对值和差混搭求最大值：数形结合，分析表示数x的点的位置． 【题型16 绝对值和差混搭求最大值】 【例16】设，则的最大值与最小值之差为____ 【变式16-1】已知，那么设，则的最大值为_______，最小值为_______． 【变式16-2】设﹣1≤x≤3，则|x﹣3|﹣|x|+|x+2|的最大值与最小值之和为__． 【变式16-3】（2025六年级上·全国·专题练习）已知；，则的最大值为___________． 方法技巧13 利用隐最值求最值 注意挖掘几个绝对值之和有最小值，及取得最小值时字母的范围这个隐藏的条件． 【题型17 利用隐最值求最值】 【例17】指数轴上表示的点到表示和2两个点的距离之和． （1）的最小值为______． （2）已知，则的最大值是______． 【变式17-1】已知均为整数，且，则的最小值为______． 【变式17-2】已知（|x+1|＋|x-2|）(|y-2|＋|y+2|)＝12，则代数式3x＋5y的最小值为________． 【变式17-3】若，求的最大值和最小值. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 与绝对值有关的十七大压轴题型（（举一反三专项训练） 【新教材沪科版】 题型归纳 【题型1 利用绝对值的代数意义求范围】 1 【题型2 利用绝对值的代数意义去绝对值】 3 【题型3 利用绝对值的几何数意义将绝对值转化为距离】 4 【题型4 绝对值的非负性】 6 【题型5 分类讨论求多绝对值的值】 8 【题型6 零点分段去多绝对值化简】 10 【题型7 零点分段法解多绝对值方程】 12 【题型8 零点分段法求多绝对值型最值】 14 【题型9 利用绝对值的几何数意义解多绝对值方程】 16 【题型10 利用绝对值的几何数意义求多绝对值型最值】 19 【题型11 两个绝对值之和求最值】 21 【题型12 三个绝对值之和求最小值】 23 【题型14 系数不为1型绝对值之和求最小值】 28 【题型15 绝对值之差求最大值】 32 【题型16 绝对值和差混搭求最大值】 34 【题型17 利用隐最值求最值】 36 方法技巧1 代数视角看绝对值的意义 绝对值的代数意义： （去绝对值法则） ； 变式结论： ①若，则； ②若，则； ③. 【题型1 利用绝对值的代数意义求范围】 【例1】（24-25七年级上·浙江杭州·阶段检测）如果，那么x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了绝对值的非负性，根据绝对值的非负性求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴． 故选：B． 【变式1-1】（24-25七年级上·山东德州·月考）若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查绝对值的非负性，根据绝对值的意义，得到即可． 【详解】解：∵， 故选B． 【变式1-2】（24-25七年级上·河南焦作·期中）如果，则的取值范围______． 【答案】/ 【分析】本题考查了绝对值的性质，解一元一次不等式，由绝对值的非负性可得，解不等式即可求解，掌握绝对值的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-3】（24-25七年级下·安徽蚌埠·月考）若，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的性质以及在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是根据绝对值的性质得出关于的不等式，进而求解的取值范围，并正确在数轴上表示出来． 根据绝对值的性质，当时，．由此得到关于的不等式，解出的取值范围后，再判断在数轴上的正确表示． 【详解】根据绝对值的性质：正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数． 已知，即， 所以， 解得：， 在数轴上表示时，应在数轴上1这个点处用实心圆点（表示包含1这个值），然后向右画一条线， 所以选项B的表示是正确的． 故选：B． 【题型2 利用绝对值的代数意义去绝对值】 【例2】已知实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据实数在数轴上的位置判断出，再进行化简即可． 【详解】解：由题意可知，， 故． 【变式2-1】（25-26七年级下·河南驻马店·期中）_____________． 【答案】/ 【分析】先判断的正负性，再根据绝对值的性质化简即可得到结果. 【详解】解：∵， ∴. 【变式2-2】（25-26六年级上·山东威海·期末）若，则化简（   ） A． B． C．1 D．11 【答案】A 【分析】根据已知的的取值范围判断绝对值内式子的正负性，再利用绝对值的性质去掉绝对值符号，最后合并同类项求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ． 【变式2-3】（24-25七年级上·北京·期中）如图，a，b是有理数，则式子化简的结果为（　　） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】首先由数轴得到且，然后去绝对值后合并即可． 【详解】解：由数轴可知，且， ∴， ∴ ． 方法技巧2 几何视角看绝对值的意义 绝对值距离，数形 的几何意义：数轴上表示a的点到原点的距离． 的几何意义：数轴上表示的点与表示的点之间的距离． 【题型3 利用绝对值的几何数意义将绝对值转化为距离】 【例3】（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）若，且，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值，有理数的乘法和减法运算，代数式求值，解题的关键是 运用分类讨论的思想求解． 根据绝对值的定义得到，，由确定和的符号相反，再分别计算的值． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴或， ∴或， 故答案为：． 【变式3-1】（25-26七年级下·河南洛阳·期中）若，则______． 【答案】1或 【分析】根据绝对值的性质，绝对值等于的数为和，将原绝对值方程转化为两个一元一次方程，即可求解． 【详解】解： 或 当时，解得 当时，解得 【变式3-2】（2025六年级上·全国·专题练习）数轴上点A表示的数为，点B表示的数为x，若A，B两点之间的距离为11，求x的值． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴，掌握数轴上两点间的距离计算公式是解题的关键． 由A、B两点之间的距离为11，根据两点间的距离公式列出方程，解方程即可． 【详解】解：∵A，B两点之间的距离为11， ∴， 或， 或． 【变式3-3】（2025六年级上·全国·专题练习）若，请结合数轴确定t的取值． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的几何应用，数轴上两点距离计算，根据绝对值的几何意义得到为数轴上表示数t的点到表示数，1，8这三个点的距离之和为12，再借助数轴分析，即可解题． 【详解】解：的几何意义是数轴上表示数t的点到表示数，1，8这三个点的距离之和为12， 即图中， 由图可知，， 只有当点P与点B重合时，， ． 方法技巧3 绝对值的非负性 1. ，绝对值无负数 2. 若，则且 3. 若=0，则且 【题型4 绝对值的非负性】 【例4】已知：，则的值为__________ 【答案】 【分析】根据非负数的性质得到，即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴ ∴， ∴． 【变式4-1】（25-26七年级上·福建宁德·月考）已知，则的值是（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴， 解得， ∴． 【变式4-2】（2025七年级上·全国·专题练习）已知与互为相反数，则（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了互为相反数的两个非负数的性质，求代数式的值，掌握互为相反数的两个非负数的性质是关键；根据互为相反数的条件，绝对值表达式均需为零，从而求出a和b的值，再代入计算． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴； ∵且， ∴且， ∴且， ∴， ∴． 故选：C． 【变式4-3】（25-26七年级下·重庆·开学考试）若有理数x、y满足：，，则________． 【答案】12 【分析】根据绝对值的非负性判断y的符号，化简，再将代入已知方程，分和两种情况讨论，舍去不成立的情况，得到x，y的值，计算得到． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， 当时，则，解得， 将代入得， 此时， 当时，则，即，等式不成立，此种情况不存在． 综上所述，． 方法技巧4 多绝对值处理——分类讨论 或 为1； 为－1． ． ①a，b同正，值为； ②a，b同负，值为； ③a，b异号，值为． 注：无需讨论具体数的符号． 【题型5 分类讨论求多绝对值的值】 【例5】若，求代数式____________． 【答案】1 【分析】本题主要考查了化简绝对值，有理数的四则混合运算，根据题意可得，据此化简绝对值，再根据有理数的四则混合运算法则求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：1． 【变式5-1】已知a，b，c是有理数，当 时，求  的值是（　  ） A．1或 B．1，或 C．或3 D．1，，3或 【答案】A 【分析】根据有理数的乘法法则，得到a，b，c中负数有奇数个，再利用绝对值的代数意义判断即可． 【详解】解：∵a，b，c为三个非零有理数，且， ∴a，b，c中有一个负数或三个负数， 当a，b，c中有一个负数时， 设， 原式 ； 当a、b、c都是负数，即时， 原式 ． 故选：A． 【点睛】此题考查了有理数的乘法，以及化简绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式5-2】已知，试求的值不可能为（    ） A．3 B．-3 C．0 D．-1 【答案】C 【分析】根据可分情况，然后根据绝对值的性质进行计算． 【详解】解：∵， ∴当a＞0，b＞0时，=1+1+1=3， 当a＞0，b＜0时，=1-1-1=-1， 当a＜0，b＞0时，=-1+1-1=-1， 当a＜0，b＜0时，=-1-1+1=-1， ∴的值不可能为0， 故选C． 【点睛】本题考查了绝对值的性质和有理数的乘法．一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 【变式5-3】已知，其中，且，求的值（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由可得b+c=-a，a+c=-b，a+b=-c，根据，且，可判定-a、-b、-c的符号，根据绝对值的性质化简即可得答案． 【详解】解：∵a+b+c=0， ∴b+c=-a，a+c=-b，a+b=-c， ∵，且， ∴，-c＞0，a+c=-b＜0， ∴===1+1-1=1 故选B． 【点睛】本题考查绝对值，一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，正确得出b+c、a+c、a+b的符号是解题关键． 方法技巧5 多绝对值处理——零点分段 零点：使绝对值为0的未知数的值即为零点． 方法： ①寻找所有零点，并在数轴上表示； ②依据零点将数轴进行分段； ③分别根据每段未知数的范围去绝对． 易错点：分类不明确，不会去绝对值， 化简：． 令，，解得，， 故零点为a，b，分三种情况讨论： ①； ②； ③． 【题型6 零点分段去多绝对值化简】 【例6】（24-25七年级上·湖北孝感·期末）化简代数式； 【答案】原式 【详解】解：由（1 ）知和的零点值分别为和； ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式． 综上讨论，原式； 【变式6-1】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）化简； 【答案】 【分析】本题主要考查了化简绝对值，整式的加减计算，正确理解题意是解题的关键． 先求出所求式子的零点，再仿照题意求解即可； 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，； 当时，； 当时，； 综上所述， 【变式6-2】化简； 【答案】 【分析】本题考查的是化简绝对值，整式的加减运算． 先令和，可得和，再分三种情况化简绝对值即可； 【详解】解：令和，解得和 ①当时，原式 ②当时，原式； ③当时，原式． ∴ 【变式6-3】化简． 【答案】= 【分析】分别求出零点，再分情况取绝对值，再整式加减运算即可解答． 【详解】解：由题意， 当时，原式， 当时，原式， 当时，原式， 当时，原式， 综上，=． 【点睛】本题考查绝对值的化简、整式的加减运算，会利用分类讨论思想正确化简绝对值是解答在关键，注意符号问题． 【题型7 零点分段法解多绝对值方程】 【例7】解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）分两种情况讨论，和； （2）分三种情况讨论，，，． 【详解】（1）分两种情况： 当时，原方程可化为：，解得：，符合， 当时，原方程可化为：，解得：，符合， 原方程的解为：或； （2）分三种情况讨论： 当时，原方程可化为：，解得：，符合， 当时，原方程可化为：，解得：，符合， 当时，原方程可化为：，解得：，不符合， 原方程的解为：或． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，数轴，绝对值，熟练准确的计算是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想． 【变式7-1】（25-26七年级上·甘肃兰州·期末）解方程． 【答案】或 【分析】本题考查了解含绝对值的一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键． 根据题意，分类讨论当时，当时，当时，化简原方程求解即可． 【详解】解：， 当时，， 解得（不合题意，舍去）， 当时，， 解得， 当时，， 解得， 综上，或． 【变式7-2】解方程： 【答案】或 【分析】本题考查了化简绝对值，解一元一次方程，正确分类讨论，去绝对值是解题的关键． 分类讨论，分别解一元一次方程即可． 【详解】解：当时，则， 解得：； 当时，则， 解得：，不符合题意，舍； 当时，则， 解得：， ∴或． 【变式7-3】解方程：． 【答案】 【分析】根据题意，当时，则，当，则，当时，则，分别解一元一次方程，求得的值，即可求解． 【详解】解：当时，原方程可化为：， ， 解得：， ∵， ∴不符合题意，舍去； 当时，原方程可化为：， ． ； 当时，原方程可化为：， 与不相符，舍去； 综上所述，方程的解为：． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，解一元一次方程，代数式求值，求得的值是解题的关键． 【题型8 零点分段法求多绝对值型最值】 【例8】若的最小值记为，的最大值记为，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的化简，整式的加减，首先找到驻点，确定的取值范围，分类讨论确定和的值，再计算的值，运用分类讨论是解题的关键． 【详解】解：∵当时，， 当时，， 当时，， ∴， ∵当时，； 当时，，； 当时，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式8-1】（24-25七年级上·江苏无锡·月考）当式子取得最大值时，x的最大整数值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义，数轴上两点距离计算，根据绝对值的几何意义可得表示的是数轴上表示x的数与表示3的数的距离，表示的是数轴上表示x的数与表示的数的距离，据此讨论x的位置，确定取得最大值的情形即可得到答案． 【详解】解：由绝对值的几何意义可知，表示的是数轴上表示x的数与表示3的数的距离，表示的是数轴上表示x的数与表示的数的距离， 当x在左边（包含）时，的值即为到3的距离，即为， 当x在3的右边（包含3）时，的值即为， 当x在和3之间时，的值一定小于8， 综上所述，当时，取得最大值，此时x的最大值为， 故答案为：． 【变式8-2】（24-25七年级上·重庆·月考）当取最小值时，的取值范围是______，最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的性质，根据绝对值的性质，分三种情况讨论即可求解，利用绝对值的性质分类讨论是解题关键． 【详解】解：当时，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 当时，，， ∴ ， 当时，， ∴ ， ∵， ∴， ∴的最小值为，取值范围是， 故答案为：，． 【变式8-3】（2025六年级上·全国·专题练习）已知；，则的最大值为___________． 【答案】 【分析】本题考查化简绝对值．解题的关键是利用分类讨论的思想，化简绝对值． 分三种情况进行讨论，求解即可． 【详解】解：①当时： ， ； ②当时： ， ； ③当时： ， ； ∴当时，有最大值； 故答案为：． 方法技巧6 多绝对值处理——数形结合 ，表示P，A两点之间的距离； ，表示P，B两点之间的距离； ， 表示P到A，B两点的距离之和． 【题型9 利用绝对值的几何数意义解多绝对值方程】 【例9】（24-25七年级上·安徽滁州·月考）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，表示的数分别为a，b，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．利用此结论，回答以下问题： （1）数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是______． （2）数轴上点A用数a表示，当时，这样的整数a有______个 【答案】 2 6 【分析】本题考查绝对值的意义，数轴上两点之间的距离； （1）利用两点之间的距离公式求解可得； （2）根据绝对值的几何意义可知：表示数轴上到表示和表示3的点的距离之和是5的点的坐标，再由是整数，求出符合条件的的值即可． 【详解】解：（1）数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是； 故答案为：2； （2）因为的意义是表示数轴上到表示和表示3的点的距离之和是5的点的坐标，其中整数有，，0，1，2，3，共6个． 故答案为：6． 【变式9-1】（25-26七年级上·重庆·期中）若，则满足条件的整数有_____个． 【答案】8 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，绝对值的几何意义． 根据绝对值的几何意义可得，当时，，则整数的取值范围为，即可求解对应的整数个数． 【详解】解：表示数的点和表示数之间的距离为， 根据绝对值的几何意义可得，当时，， ∴整数的取值范围为， ∴整数有，共个， 故答案为：． 【变式9-2】解答下列问题： （1）若|x – 5|=|x+1|，则x= __________； （2）若|x－3|+|x+2|=7，则x=__________． 【答案】 2 4或-3 【分析】（1）根据绝对值的意义，可知|x－5|是数轴上表示数x的点与表示数5的点之间的距离，|x＋1|是数轴上表示数x的点与表示数－1的点之间的距离，若|x－5|=|x＋1|，则此点必在－1与5之间，故x－5＜0，x＋1＞0，由此可得到关于x的方程，求出x的值即可． （2）由于x－3及x＋2的符号不能确定，故应分x＞3，－2≤x≤3，x＜－2三种情况解答． 【详解】解：（1）根据绝对值的意义可知，此点必在－1与5之间， 故x－5＜0，x＋1＞0， ∴原式可化为5－x=x＋1， ∴x=2， 故答案为：2． （2）根据题意，可知： 当x＞3时，x－3＋x＋2=7，解得x=4， 当－2≤x≤3时，3－x＋x＋2=7，无解， 当x＜－2时，3－x－x－2=7，解得x=－3， 故答案为：4或－3． 【点睛】本题考查的是绝对值的定义，解答此类问题时要用分类讨论的思想． 【变式9-3】已知点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离，所以的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离. (1)若，则______； (2)若，则______. 【答案】(1)－2，8；(2)1 【分析】(1)根据题意知，在数轴上查找到有理数3的点的距离是5的点表示的有理数是几. (2)在数轴上查找，到表示有理数3的点的距离和到表示－1的距离相等的点表示的有理数是几. 【详解】(1)如图： 到表示有理数3的点距离为5的点有两个，分别表示有理数－2，8. (2)如图： 到有理数3的点和到有理数－1的点距离相等的点表示有理数1. 故答案为 (1)－2，8；(2)1. 【点睛】本题考查数轴和绝对值，解题的关键是熟练掌握数轴和绝对值. 【题型10 利用绝对值的几何数意义求多绝对值型最值】 【例10】我们知道，在数轴上，表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地可以规定，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：．利用此结论，那么式子的最小值是__________． 【答案】 【分析】的几何意义为表示数的点到表示数的点的距离之和，可得当x在1和9之间的5时距离的和最小，据此求解即可． 【详解】解：的几何意义为表示数的点到表示数的点的距离之和， ∴根据绝对值的几何意义可得，当x在1和9之间的5时距离的和最小， 那么当时，， ∴式子的最小值是． 【变式10-1】（24-25七年级上·广东深圳·期中）的最大值是______． 【答案】3 【分析】本题考查绝对值的化简，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． 分三种情况：当点P在点A左边时，当点P在线段点上时，当点P在线段点上时，分别求解，再比较即可． 【详解】解：设表示数的点为点A，表示数2的点为点B， 则，，， 当点P在点A左边时，如图， ∴ ． 当点P在线段点上时，如图， ∴ ， ∴； 当点P在点B右边时，如图， ∴ ． 综上，， ∴的最大值是3． 故答案为：3． 【变式10-2】（24-25七年级上·山西吕梁·月考）当取得最小值时，x的值为_______． 【答案】1 【分析】此题考查了数轴上两点之间的距离．由题意可知，表示数x的点与表示数的点，与表示数的点，与表示数的点的距离之和，且表示数的点在表示数的点和表示数的点之间，即可求出答案． 【详解】解：根据题意可得，表示数x的点与表示数的点，与表示数的点，与表示数的点的距离之和，且表示数的点在表示数的点和表示数的点之间， 根据两点之间线段最短可知，当x的值为1时，取得最小值为， 故答案为：1 【变式10-3】（25-26六年级上·上海浦东新·期中）的最小值是5，则__________ ． 【答案】或 【分析】此题考查了解一元一次方程，数轴，绝对值．代数式表示数轴上点x与点、点、点2之间的距离之和，当取点、点、点2中间点的时候，代数式有最小值，据此分情况讨论，分别求出最小值后列方程解答即可． 【详解】解：代数式表示数轴上点x与点、点、点2之间的距离之和，当取点、点、点2中间点的时候，代数式有最小值， 当时，点为中间点，的最小值在处取得， 此时， 解得； 当时，点为中间点，的最小值在处取得， 此时，此方程无解； 当时，点为中间点，的最小值在处取得， 此时， 解得； 综上，a的值是或． 故答案为：或． 方法技巧7 两个绝对值之和求最值 若，则当时，有最小值． 【题型11 两个绝对值之和求最值】 【例11】当满足________条件时，有最小值，这个最小值是________． 【答案】 5 【分析】分，，三种情况计算． 【详解】当时， ； 当时， ； 当时， ； 故当时，有最小值，且最小值为5， 故答案为：，5． 【点睛】本题考查了分类思想，绝对值的化简，熟练掌握化简绝对值是解题的关键． 【变式11-1】的最小值为_____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的应用，数轴上两点之间的距离，根据绝对值的几何意义，即可求解． 【详解】解：表示到与的距离的和， ∴当时取得最小值，即． 【变式11-2】当_________时，有最小值，最小值是_________； 【答案】 7 【分析】根据题意以及绝对值的非负性，再利用分类讨论的数学思想可以解答本题． 【详解】当x>3时， 当时， =7； 当x<-4时， 当时，有最小值7． 故答案为：；7． 【点睛】本题考查了绝对值相关最值的求解，涉及不等式运算，解答本题的关键是明确绝对值的定义，利用分类讨论的数学思想解答． 【变式11-3】（24-25七年级上·湖南长沙·月考）若是实数，则的最小值为___． 【答案】 【分析】根据，及三种情况，原式利用绝对值的代数意义化简，确定出的最小值即可．此题考查了绝对值函数的最值，绝对值，利用了分类讨论的思想，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键． 【详解】解：当时，，，此时， ∵， ∴，即； 当时，，，此时； 当时，，，此时， ∵， ∴，即， 综上，，即最小值为． 故答案为：． 方法技巧8 三个绝对值之和求最小值 若，则当时，有最小值． 【题型12 三个绝对值之和求最小值】 【例12】设，其中．对于满足的x来说，T的最小值是_______． 【答案】15 【分析】此题考查了绝对值的几何意义，不等式的性质，首先由得到，然后根据绝对值的几何意义得到当时，最小，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵表示数轴上一点到p，15，以及三点的距离的和， ∴当时，最小，最小值是p与之间的距离，是15． 故答案是15． 【变式12-1】（25-26七年级上·陕西西安·月考）已知x为有理数，若的最小值为7，则a的值为________． 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值的意义，熟练掌握绝对值的几何意义，利用分类讨论的思想解决问题是关键．由绝对值的意义可知，表示数轴上表示的点到表示、和的点的距离之和，再根据最小值得到或，再分别求解即可． 【详解】解：表示数轴上表示的点到表示、和的点的距离之和， 若的最小值为7， 则或， 当时，即，此时的最小值为， 解得，符合题意； 当时，即，此时的最小值为， 解得，符合题意； 综上可知，a的值为或， 故答案为：或． 【变式12-2】（25-26七年级上·湖北武汉·期中）式子的最小值是______． 【答案】 0.25/ 【分析】本题主要考查了绝对值的化简，解题的关键是掌握绝对值化简的方法，正数的绝对值是正数，负数的绝对值是它的相反数．将原式化简为，令，求出，令，求出，令，求出，根据题意进行分类讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，即可进行解答． 【详解】解：原式， 令，则，令，则，令，则， ①当时，则， ， ； ②当时，则， ， ； ③当时，则； ④当时，则， ， ； 综上，，即式子的最小值是． 故答案为：． 【变式12-3】（24-25七年级上·全国·随堂练习）若表示一个有理数，则的最小值是______． 【答案】11 【分析】此题考查了数轴上两点之间的距离、绝对值的意义．可看作是数轴上表示x的点到4、、三点的距离之和，当时，有最小值，把代入即可得到结论． 【详解】解：根据点在数轴上的位置可知，当时，有最小值， 最小值为：， 故答案为：． 方法技巧9 三个以上绝对值之和求最小值 一般地，设，． ①若n为奇数，则当时，P有最小值；②若n为偶数，则当时，P有最小值． 口诀：按序排列，奇取中值，偶取中段． 【题型13 三个以上绝对值之和求最小值】 【例13】__，有最小值，最小值是__． 【答案】 1007 1013042 【分析】由绝对值的几何意义可知，当绝对值的个数为奇数时，要取得最小值，则是其中间项；当绝对值的个数为偶数时，则取中间两项结果一样，据此分析即可得． 【详解】解：由绝对值的几何意义可知，就是要在数轴上求一点，使它到1、2、3、、2013这2013个数所表示的点的距离和最小， 则当时，取得最小值， 最小值为 ， 故答案为：1007，1013042． 【点睛】本题考查了绝对值的意义、数字类规律运算，熟练掌握绝对值的意义是解题关键． 【变式13-1】（25-26七年级上·江苏无锡·月考）已知m是有理数，则的最小值是________． 【答案】12 【分析】本题主要考查了化简绝对值，掌握分类讨论思想是解题的关键． 分、、、、五种情况，分别化简绝对值，再结合m的取值范围确定最小值，最后综合五种情况即可解答． 【详解】解：当时， ，即最小值为24； 当时， ，即最小值为12； 当时， ，即最小值为12； 当时， ； 当时， ． 综上，的最小值是12． 故答案为：12． 【变式13-2】（24-25七年级下·重庆·开学考试）x是有理数，的最小值是___________． 【答案】17 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，整式的加减运算，借助数轴用几何方法化简含有绝对值的式子，熟练掌握绝对值的几何意义是解题的关键．． 利用绝对值的几何意义，即求一个数到点，5，7，9的距离的最小值． 【详解】解：设此数为x， 依题意，表示数x的点到表示数，5，7，9的点的距离总和最小， ∴由数轴可得，当，取得最小值， ∴， 故答案为：17． 【变式13-3】（2025·浙江杭州·模拟预测）当取得最小值时，x满足_____ 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的意义．通过求每个绝对值表达式的零点，再由根据绝对值的意义可得表示数x的点到表示数的六个点距离之和，从而得到当x取这些点中间的值时，距离之和最小，即可求解． 【详解】解：令得：， 令得：， 令得：， 令得：， 令得：， 令得：， 根据绝对值的意义得：表示数x的点到表示数的六个点距离之和， ∴当x取这些点中间的值时，距离之和最小， 把这六个数按从小到大排序为：，位于中间的两个数为， ∴当 时，原式取得最小值． 故答案为 ． 方法技巧10 系数不为1型绝对值之和求最小值 系数不为1型绝对值之和求最小值，可化为系数为1型问题解决. 【题型14 系数不为1型绝对值之和求最小值】 【例14】（25-26七年级上·江苏南京·月考）的最小值为______． 【答案】8 【分析】本题主要考查了含字母的绝对值的化简问题，整式加减运算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．分五种情况进行讨论：当时，当时，当时，当时，当时，分别去掉绝对值，求出其范围，然后进行判断即可． 【详解】解：当时， ， 当时， ， 此时； 当时， ， 此时； 当时， ， 此时； 当时， ， 此时； 综上分析可知：的最小值为8． 故答案为：8． 【变式14-1】（25-26九年级上·北京海淀·自主招生）的最小值是__________． 【答案】7 【分析】本题考查的是绝对值的含义，数轴上两点之间的距离，线段的和差，记分别表示，表示数，可得，，，，可得，再进一步分情况讨论即可. 【详解】解：记分别表示，表示数， ∴，，，， ∴， 如图，当时， ， 如图，当时， ， 如图，当时， ， 当时， ， 如图，当时， ， 当时， ， 综上：的最小值为， 故答案为7． 【变式14-2】（25-26七年级上·浙江舟山·期中）的最小值是______． 【答案】16 【分析】本题考查了整式的加减运算，化简绝对值，解题的关键是熟练掌握分类讨论的思想． 通过分段讨论绝对值表达式，根据关键点，，将数轴分为四个区间，分别计算每个区间内表达式的值，并比较最小值． 【详解】解：当 时， 原式， ∴在时取最小值； 当 时， 原式，则该代数式的值大于； 当时， 原式，则该代数式的值大于； 当时， 原式，则该代数式的值大于； 综上，最小值为， 故答案为：16． 【变式14-3】（24-25七年级上·四川成都·月考）求为何值时，式子有最小值，并求出此最小值． 【答案】，最小值为 【分析】本题考查了绝对值，线段上的点与线段的端点的距离最小，分类讨论是解题关键． 根据绝对值的几何意义即可求解； 【详解】解：， 表示在数轴上的对应点与、、、……、所对应点的距离之和， 当时， 有最小值，最小值为 ． 方法技巧11 绝对值之差求最大值 若，则当时，的最大值为． 【题型15 绝对值之差求最大值】 【例15】（24-25七年级上·江苏无锡·月考）当式子取得最大值时，x的最大整数值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义，数轴上两点距离计算，根据绝对值的几何意义可得表示的是数轴上表示x的数与表示3的数的距离，表示的是数轴上表示x的数与表示的数的距离，据此讨论x的位置，确定取得最大值的情形即可得到答案． 【详解】解：由绝对值的几何意义可知，表示的是数轴上表示x的数与表示3的数的距离，表示的是数轴上表示x的数与表示的数的距离， 当x在左边（包含）时，的值即为到3的距离，即为， 当x在3的右边（包含3）时，的值即为， 当x在和3之间时，的值一定小于8， 综上所述，当时，取得最大值，此时x的最大值为， 故答案为：． 【变式15-1】的最大值是_______． 【答案】 5 【分析】分三种情况：当x＜2时，当2≤x≤7时，当x＞7时，再化简绝对值，再判断各情况下的代数式的值，从而可得答案． 【详解】解：当x＜2时， ；   当2≤x≤7时， 当时，代数式的值最大，   当x＞7时， ； 所以当时，原代数式取得最大值为5， 故答案为：5 【点睛】本题考查的是绝对值的化简，整式的加减运算，代数式的值，清晰的分类讨论是解本题的关键． 【变式15-2】代数式的最大值是________． 【答案】0 【分析】求这个式子的范围，可以根据对x的值的范围的讨论，去掉绝对值符号，对式子进行化简． 【详解】当x-1<0， x+4< 0时，即x < -4， |x－1|-|x+4|-5= 1-x+x+4- 5 =0， 当x- 1 > 0， x+4< 0时，x无解； 当x- 1 < 0， x+4> 0时，即-4<x< 1 |x-1|-x+4-5=1-x-x-4- 5 = -2x-8<0， 当x-1> 0，x+4> 0时，即x > 1， =x-1-x-4- 5 = -10， 所以最大值是0． 故答案为：0 【点睛】此题考查绝对值的化简，利用分类讨论的方法，把x的取值分为多段，去掉绝对值符号． 【变式15-3】代数式，当时，可化简为______；若代数式的最大值为与最小值为，则的值______． 【答案】 3 -9 【分析】当时，可得x-1＜0，x+2＜0，利用绝对值的性质即可化简，分别化简当时以及当x＞1时，根据当时，，求出a，b即可． 【详解】解：当时，x-1＜0，x+2＜0， ∴， 当时，， 当x＞1时， ∵当时，， ∴代数式的最大值为3，最小值为-3， ∴a=3，b=-3， ∴ab=-9， 故答案为：3，-9． 【点睛】本题主要考查了绝对值的化简，解题的关键是对x进行分类讨论，再化简代数式． 方法技巧12 绝对值和差混搭求最大值 绝对值和差混搭求最大值：数形结合，分析表示数x的点的位置． 【题型16 绝对值和差混搭求最大值】 【例16】设，则的最大值与最小值之差为____ 【答案】1 【分析】先根据，确定与的符号，在对的符号进行讨论即可． 【详解】解：，，， 当时，； 当时，， 当时，取得最大值为4，时取得最小值，最小值为3， 则最大值与最小值之差为1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了有理数的绝对值和求代数式值．解题的关键是：先利用条件判断出绝对值符号里代数式的正负性，再根据绝对值的性质把绝对值符号去掉，把式子化简，即可求解． 【变式16-1】已知，那么设，则的最大值为_______，最小值为_______． 【答案】 4 －3 【分析】分情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别去绝对值符号，判断出的最大值和最小值，即可得解． 【详解】解：①当时， ， 此时； ②当时， ， 此时； ③当时， ， 此时； 综上所述，的最大值为4，最小值为－3． 故答案为：4，－3． 【点睛】本题考查的是绝对值的性质，在解答此题时要注意应用分类讨论的思想，不要漏解． 【变式16-2】设﹣1≤x≤3，则|x﹣3|﹣|x|+|x+2|的最大值与最小值之和为__． 【答案】8.5． 【分析】先根据-1≤x≤3，确定x-3与x+2的符号，再对x的符号进行讨论即可． 【详解】∵﹣1≤x≤3， 当﹣1≤x≤0时，|x﹣3|﹣|x|+|x+2|＝3﹣x+x+x+2＝+5，最大值为5，最小值为4.5； 当0≤x≤3时，|x﹣3|﹣|x|+|x+2|＝3﹣x﹣x+x+2＝﹣+5，最大值为5，最小值为3.5， ∴最大值与最小值之和为8.5； 故答案为：8.5． 【点睛】本题主要考查绝对值的化简，掌握求绝对值的法则以及分类讨论的思想方法，是解题的关键． 【变式16-3】（2025六年级上·全国·专题练习）已知；，则的最大值为___________． 【答案】 【分析】本题考查化简绝对值．解题的关键是利用分类讨论的思想，化简绝对值． 分三种情况进行讨论，求解即可． 【详解】解：①当时： ， ； ②当时： ， ； ③当时： ， ； ∴当时，有最大值； 故答案为：． 方法技巧13 利用隐最值求最值 注意挖掘几个绝对值之和有最小值，及取得最小值时字母的范围这个隐藏的条件． 【题型17 利用隐最值求最值】 【例17】指数轴上表示的点到表示和2两个点的距离之和． （1）的最小值为______． （2）已知，则的最大值是______． 【答案】 3 【分析】本题考查了整式的加减，数轴与绝对值； （1）分类讨论，分，，这三种情况进行讨论，取它们的最小值即可作答； （2）由的最小值，的最小值，的最小值，确定x、y、z的取值范围，进而求出的最大值． 熟练掌握数轴上点的特点，能够根据数的范围准确去掉绝对值符号是解题的关键． 【详解】解：（1）依题意， 当时， 则， 当时， 当时， 则； 综上，的最小值为3； （2）由（1）知当时，的最小值为3， 同理，当时，； 则， 当时，； 当时， 则； 综上，的最小值为3； 同理，当时，； 则， 当时，； 当时， 则； 综上，的最小值为4； 因为， 所以，， 当、、时，的值最大， 即． 故答案为：3， 【变式17-1】已知均为整数，且，则的最小值为______． 【答案】4 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，解一元一次方程，根据题意可得，或，共四种情况，据此进行解答即可． 【详解】解：∵均为整数，， ∴，或，， 当时，可得：，则； 当时，可得：，则； 当时，可得：，则； 当时，可得：，则； ∴的最小值为4． 故答案为：4． 【变式17-2】已知（|x+1|＋|x-2|）(|y-2|＋|y+2|)＝12，则代数式3x＋5y的最小值为________． 【答案】5 【分析】|x+1|+|x-2|相当于|x-(-1)|+|x-2|就是x轴上的一点到-1这个点和2这个点距离之和，x在-1和2之间的话，距离是最短的，就是3，可以得到|x+1|+|x-2|≥3,同理|y-2|+|y+2|≥4，求出x，y的最小值，可得结论. 【详解】∵｜x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3，|y-2|＋|y+2|≥(y-2-y+2)=4， ∴满足上述情况下，12只能分解为：3×4，则必有： 当-1≤x≤2时，|x+1|+|x-2|=3， 当-2≤y≤2时，|y-2|＋|y+2|=4, ∴代数式3x＋5y的最小值为3×(-1)+5×(-2)=-13. 故答案为-13. 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离以及求代数式的最值，难度较大，关键是利用数轴进行解答． 【变式17-3】若，求的最大值和最小值. 【答案】最大值为7，最小值为-1. 【分析】根据x，y的取值范围，化简求值即可. 【详解】∵， ∴， ∴的最大值为-1+8=7， 的最小值为-4+3=-1. 【点睛】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $