第1章 有理数专题 数轴数形结合专项训练 2026-2027学年沪科版七年级数学 上册

**基本信息** 以“概念-方法-应用”为主线，通过三步概念辨析、数轴四步操作等方法体系，系统构建有理数概念与数形结合逻辑，培养抽象能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识讲解|5核心知识点|正数负数意义→有理数分类→数轴三要素→相反数/倒数性质|从具体量抽象到有理数概念，建立数与形的对应关系| |典例精讲|4题型（含例题+变式）|概念辨析三步骤（定定义、查特例、排错误）；数轴四步操作法|针对分类标准、数轴应用等重点，覆盖0的特殊性等易错点| |方法总结|3类解题方法|分类讨论法（正负零三类划分）|提炼可迁移的解题框架，强化数形结合意识| |限时训练|17题（分层）|——|从基础概念到综合应用，巩固知识逻辑链|

2026-2027年七年级秋季数学同步培优讲义沪科版 专题一 有理数概念与数轴数形结合 课标核心素养指向 抽象能力：从具体数到有理数概念的抽象过程；几何直观：利用数轴建立数与形的对应关系。 教学目标 知识目标：掌握有理数分类、数轴三要素、能在数轴上表示有理数；能力目标：能利用数轴比较大小，初步建立数形结合意识；素养目标：通过数轴建立数的几何直观，培养抽象概括能力。 重难点 重点：有理数分类标准、数轴画法与运用； 难点：分数与小数互化、数形结合思想建立。 一、知识讲解 1、正数与负数的实际意义 核心知识点：正数表示具有正向意义的量，负数表示与正数意义相反的量，0是正负数的分界点，既不是正数也不是负数。 关键结论/公式：相反意义的量成对出现，如收入与支出、上升与下降、向东与向西。 2、有理数的完整分类标准 核心知识点：有理数有两种分类方式，按定义分为整数和分数，按正负性分为正有理数、0、负有理数。有限小数和无限循环小数均属于分数，归为有理数。 关键结论/公式：整数包含正整数、0、负整数；分数包含正分数、负分数。 学生常见误区：混淆小数与有理数的关系，误认为所有小数都不是有理数，遗漏有限小数、无限循环小数。 3、数轴三要素与规范画法 核心知识点：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的直线，三要素缺一不可，是数形结合的核心工具。 关键结论/公式：数轴上右边的数始终大于左边的数，正数在原点右侧，负数在原点左侧，0在原点处。 学生常见误区：画图遗漏三要素、单位长度不统一、正方向标注错误。 4、相反数的核心性质 核心知识点：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，互为相反数的两个数在数轴上关于原点对称。 关键结论/公式：数a的相反数为-a；若a、b互为相反数，则a+b=0。 学生常见误区：误认为相反数一定一正一负，忽略0的相反数是0的特殊情况。 5、倒数的判定与性质 核心知识点：乘积为1的两个数互为倒数，倒数是相互的，单独一个数不能称为倒数。 关键结论/公式：非零数a的倒数为；1的倒数是1，-1的倒数是-1，0没有倒数。 学生常见误区：误认为0有倒数，或混淆相反数与倒数的定义。 二、典例精讲 题型1：概念辨析题 【例题1★】下列说法正确的是（ ） A. 所有的整数都是正数 B. 不是正数的数一定是负数 C. 0是最小的有理数 D. 有理数包括整数和分数 【分析】 根据有理数的分类进行判断即可．有理数包括：整数（正整数、0和负整数）和分数（正分数和负分数）． 【详解】 解：A.负整数就不是正数，选项A错误； B.既不是正数也不是负数，选项B错误； C.没有最小的有理数，选项C错误； D.有理数包括整数和分数，选项D正确； 故选：D． 【点睛】 本题主要考查了有理数的概念，熟练掌握概念和性质是解决数学问题的关键．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数． 【变式1-1★】下列关于有理数的分类正确的是（ ） A. 有理数可以分为正有理数和负有理数 B. 有理数可分为正有理数、负有理数和0 C. 有理数可分为正整数、0和负整数 D. 有理数可分为自然数、0和分数 【分析】 根据有理数的分类即可判断. 【详解】 有理数可以分为正有理数、负有理数和零，故A，C，D错误，B正确； 故选B. 【点睛】 此题主要考查有理数的分类，解题的关键是熟知有理数的分类特点. 【变式1-2★】下列说法正确的是（ ） A. 任何一个有理数都有倒数 B. 绝对值等于它本身的数只有0 C. 最大的负整数是-1 D. 有理数分为正有理数和负有理数 【分析】 利用倒数的定义、绝对值的性质以及取特殊值的方法即可做出判断． 【详解】 解：A、0没有倒数，故A错误； B、绝对值等于它本身的数有0和正数，故B错误； C、最大的负整数是-1，故C正确； D、有理数分为正有理数、0和负有理数，故D错误． 故选：C． 【点睛】 本题主要考查的是倒数、绝对值，利用特殊值法进行判断是解题的关键． 题型2：数轴表示题 【例题2★】在数轴上准确表示下列各数：并将这些数按从小到大的顺序排列。 【解题思路】 1. 依据数轴三要素规范绘制数轴（知识点：数轴规范画法）； 2. 将分数化为小数，精准定位各数在数轴上的位置（知识点：有理数与数轴上点的一一对应关系）； 3. 利用数轴“右大左小”规律（数形结合思想）比较数的大小。 【完整解答】 解：先化简： 1. 绘制标准数轴，标注原点、正方向、统一单位长度； 2. 在数轴对应位置标注； 3. 根据数轴位置排序：。 【易错点警示】1. 分数转小数定位出错、负数数轴位置标反；2. 排序时混淆大小顺序。 【变式2-1★】按要求完成下面各题． 把按从小到大的顺序排列． 【详解】 先将分数化为小数， ， ， ， ， 故． 答案：． 【变式2-2★★】我们知道分数写为小数即，反之，无限循环小数0.3写成分数即一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式．现在就以,为例进行讨论：设：，由：，得： ，于是：，即：，解方程得，于是得：请仿照上述例题完成下列各题： (1)请你把无限循环小数． (2)你能化无限循环小数,为分数吗？请完成你的探究过程． 【分析】 （1）设，找出规律公式，解方程即可； （2）设，找出规律公式，解方程即可． 【详解】 （1）设由 ， 可知，，即， 解得：， 故答案为； （2）设，由，得. 可知，即， 解得：． 故无限循环小数化为分数是． 【点睛】 此题主要考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是找出其中的规律，即通过方程形式，把无限小数化为整式形式． 【变式2-3★★】阅读与探究：我们知道分数写为小数即，反过来，无限循环小数写成分数即．一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式． 现在就以为例进行讨论： 设，由 于是可得： 等式两边同乘以10，可得： 即： 化简，得：解方程，得： 所以，得 请仿照上述例题完成下列各题： (1)请你把无限循环小数写成分数； (2)你能化无限循环小数为分数吗？请完成你的探究过程． 【分析】 （1）按照题目给出的解题思路，可得，求解即可； （2）设，找出规律，解方程即可． 【详解】 （1）设，由 可得 解得 故答案为：； （2）设，由 于是可得： 等式两边同乘以100，可得 即： 化简，得： 解方程，得： 所以，得： 【点睛】 本题主要考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是找出其中的规律，即通过方程形式，把无限小数化为分数形式． 题型3：数形结合应用题 【例题3★★】已知数轴上点A表示的数是-3，点B与点A互为相反数，点C在原点右侧，距离原点2个单位长度，求A、B、C三点表示的数，并比较三个数的大小。 【解题思路】 1. 根据相反数定义求出点B对应的数（知识点：相反数的几何意义）； 2. 根据数轴点的位置与距离规则求出点C对应的数（知识点：数轴上点的几何意义）； 3. 结合数轴数形结合思想，完成数的大小比较。 【完整解答】 解：∵点A表示-3，B与A互为相反数，∴点B表示3； ∵点C在原点右侧，距原点2个单位，∴点C表示2； 数轴上三点位置：A(-3)、C(2)、B(3)， 大小关系：-3 < 2 < 3。 【易错点警示】1. 混淆相反数的几何位置；2. 误判原点左右侧数的正负性。 【变式3-1★★】已知数轴上点A表示的数比-1大6，点B、C表示互为相反数的两个数，且点C与点A间的距离为2，求点B，C表示的数． 【分析】 因为点A表示的数比-1大6， 所以点A表示的数是5， 因为点C与点A间的距离为2， 所以点C表示的数为3或7， 因为点B、C表示互为相反数的两个数， 所以点B表示的数为-3或-7． 答案：点B表示的数为-3或-7，点C表示的数为3或7． 【变式3-2★★】已知数a在数轴上表示的点在原点左侧，距离原点3个单位长，m与n互为相反数，表示数m的点在表示数n的点的左侧，且两点的距离是8，求的值. 【分析】 ∵数a在数轴上表示的点在原点左侧，且， ∴， ∵m，n互为相反数， ∴， ∵，且数m的点在数n的点的左侧， ∴， ∴ 答案：-11． 【变式3-3★★】已知数轴上点A表示的数为5，点B、C.表示互为相反数的两个数，且点C与点A间的距离为2．求点B、C表示的数． 【分析】 ∵数轴上点A表示的数为5，且点C与点A间的距离为2， ∴点C表示的数为3或7， ∵点B、C表示互为相反数的两个数， ∴点B表示的数为-3或-7． ∴点B表示的数为-3或-7，点C表示的数为3或7． 答案：点B表示的数为-3或-7，点C表示的数为3或7． 题型4：易错题辨析 【例题4★】下列关于有理数、相反数、倒数的说法，正确的有几个？（） ① 整数都是有理数；② 正数的倒数一定是正数；③ 负数没有相反数；④ 0的倒数是0 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【解题思路】 1. 依据有理数定义判断①（知识点：整数属于有理数范畴）； 2. 依据倒数符号规律判断②（知识点：同号数相乘为正）； 3. 依据相反数全域性判断③（知识点：任意有理数都有相反数）； 4. 依据倒数特殊规则判断④（知识点：0无倒数）； 5. 逐一辨析，统计正确个数。 【完整解答】 解：①正确，整数属于有理数；②正确，正数倒数为正数； ③错误，负数有相反数（正数）；④错误，0没有倒数； 综上，正确的有2个，答案：B 易错点警示：1. 混淆0的相反数与倒数性质；2. 片面认为部分数无相反数。 【变式4-1★】下列说法正确的有( ) ①正有理数是正整数和正分数的统称；②整数是正整数和负整数的统称；③有理数是正整数、负整数、正分数、负分数的统称；④0是偶数，但不是自然数；⑤偶数包括正偶数、负偶数和零. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【分析】 此题运用有理数的概念及分类（按正负分：正有理数，0和负有理数或正数、负数、0；按数的性质分：整数、分数）即可解答． 【详解】 ①正有理数是正整数和正分数的统称，正确； ②整数是正整数，零和负整数的统称，故不正确； ③有理数是正整数、负整数、零、正分数、负分数的统称，故不正确； ④0是偶数，也是自然数，故不正确； ⑤偶数包括正偶数、负偶数和零，正确. 故选B. 【点睛】 本题考查有理数的概念及分类，运用时注意分类的依据，还要做到不重不漏． 【变式4-2★★】下列说法，其中正确的个数是（ ） ①整数和分数统称为有理数；②绝对值是它本身的数只有0；③两数之和一定大于每个加数；④如果两个数积为0，那么至少有一个因数为0；⑤0是最小的有理数；⑥数轴上表示互为相反数的点位于原点的两侧；⑦几个有理数相乘，如果负因数的个数是奇数，那么积为负数， A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【分析】 ①⑤根据有理数的分类可判断正误； ②根据绝对值的性质可判断正误； ③根据有理数的加法法则可判断出正误； ④⑦根据有理数的乘法法则可判断出正误； ⑥根据相反数的定义可判断正误． 【详解】 ①整数和分数统称为有理数是正确的； ②绝对值是它本身的数有正数和0，原来的说法是错误的； ③两数之和可能小于每个加数，如，原来的说法是错误的； ④如果两个数积为0，那么至少有一个因数为0，是正确的； ⑤没有最小的有理数，原来的说法是错误的； ⑥数轴上表示互为相反数的点位于原点的两侧（0除外），原来的说法是错误的； ⑦几个有理数（非0）相乘，如果负因数的个数是奇数，那么积为负数，原来的说法是错误的． 故选D． 【点睛】 此题主要考查了绝对值的性质，有理数的加法和乘法的法则，熟练掌握好基础知识才能做出正确的判断． 【变式4-3★】有下列说法：①一个有理数不是整数就是分数；②一个有理数不是正数就是负数；③0既没有倒数也没有相反数；④整数分为正整数、0和负整数．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【分析】 分别根据有理数的分类以及正数和负数的定义判断即可． 【详解】 解：①一个有理数不是整数就是分数，说法正确，故符合题意； ②一个有理数不是正数就是负数，说法错误，0属于有理数，但0既不是正数，也不是负数，故不符合题意； ③0既没有倒数也没有相反数，说法错误，0的相反数是0，故不符合题意； ④整数分为正整数、0和负整数，说法正确，故符合题意． 故正确的有①④，共2个． 故选：B． 【点睛】 此题主要考查了正数和负数，相反数以及有理数，解题的关键是熟练掌握相关的定义． 三、限时训练 1、★ 下列各数中，属于负分数的是（ ） A. -3 B C. 0 D. 2 【分析】 本题考查有理数的分类，核心考点为负分数的定义：同时满足 “负数” 和 “分数” 两个特征的数。 【解答】 选项 A 是负整数；选项 B 是负分数；选项 C 是整数，既不是正数也不是负数；选项 D 是正整数。 答案：B 2、★ 在 - 2，0，3，5 中，正数有____个。 【分析】 本题考查正数的定义，大于 0 的数为正数，0 既不是正数也不是负数。 【解答】 符合正数定义的数为 3、5，共 2 个。 答案：2 3、★ 数轴的三要素是________。 【分析】 本题考查数轴的基本概念，属于基础记忆类题目，是所有数轴相关题型的核心前提。 【解答】 数轴的三要素为：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可。 答案：原点、正方向、单位长度 4、★ -6 的相反数是____。 【分析】 本题考查相反数的基础计算，核心规则为：只有符号不同的两个数互为相反数。 【解答】 改变 - 6 的符号即可得到其相反数 6。 答案：6 5、★的倒数是____。 【分析】 本题考查倒数的定义，乘积为 1 的两个数互为倒数；求分数的倒数只需交换分子分母位置。 【解答】 ，因此的倒数为。 答案： 6、★ 0 的相反数是____，____没有倒数。 【分析】 本题考查 0 的特殊性质，是相反数与倒数章节的高频易错点，需区分两个概念的不同规则。 【解答】 0 的相反数是它本身；由于 0 不能作分母，因此 0 没有倒数。 答案：0；0 7、★ 数轴上表示 - 3 的点在原点的____侧。 【分析】 本题考查数轴上数的分布规律：负数在原点左侧，正数在原点右侧。 【解答】 -3 是负数，对应点位于原点左侧。 答案：左 8、★ 比较大小：-5____-2。 【分析】 本题考查负数的大小比较法则：两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 【解答】 ，因此。 答案：＜ 9、★ 0.125 化成分数为____，属于____数。 【分析】 本题考查小数与分数的转化，同时考查有理数的分类，包含两个基础考点。 【解答】 ；该数属于分数（正分数 / 有理数）。 答案：；分（或有理） 10、★ 若向北走 12 米记作 + 12 米，则向南走 7 米记作____米。 【分析】 本题考查正负数的实际意义，相反意义的量用正、负数分别表示。 【解答】 规定向北为正，则向南为负，向南走 7 米记作 - 7 米。 答案：-7 11、★数轴上点 A 表示 4，与 A 距离 2 个单位长度的点表示的数为____。 【分析】 本题考查数轴上两点间的距离计算，易错点在于容易忽略 “点在 A 左侧” 的情况，需分类讨论。 【解答】 分两种情况： ① 所求点在 A 的右侧： ② 所求点在 A 的左侧： 因此表示的数为 2 或 6。 答案：2 或 6 12、★★ 下列说法正确的是（ ） ①0 是整数；②负数都小于 0；③分数一定是有理数。 【分析】 本题考查有理数相关概念辨析，需逐一判断每个命题的正误，覆盖多个基础知识点。 【解答】 ① 整数包括正整数、0、负整数，因此 0 是整数，说法正确； ② 根据正负数定义，负数都小于 0，说法正确； ③ 整数和分数统称为有理数，因此分数一定是有理数，说法正确。 三个说法均正确。 答案：①②③ 13、★★ 若 a 的相反数为 - 4，则 a 的倒数为____。 【分析】 本题考查相反数与倒数的综合运算，需先根据相反数的定义求出 a 的值，再计算其倒数。 【解答】 第一步：求 a 的值。a 的相反数是 - 4，因此； 第二步：求 a 的倒数。4 的倒数为。 答案： 14、★★ 将 - 2.5，0，3，-1 按从大到小顺序排列。 【分析】 本题考查有理数的大小比较，可结合数轴 “右边的数始终大于左边的数” 的规律排序。 【解答】 有理数大小排序规则：正数＞0＞负数；两个负数比较，绝对值大的反而小。 因此从大到小排列为：。 答案： 15、★某超市当天进货 10 吨记作 + 10 吨，出货 8 吨记作 - 8 吨，则库存不变记作____吨。 【分析】 本题考查正负数的实际应用，基准状态（无变化）用 0 表示。 【解答】 库存不变即进货量与出货量抵消，对应基准数 0，记作 0 吨。 答案：0 16、★★ 数轴上 A 点表示 - 6，B 点表示 A 的相反数，点 C 到 A、B 距离相等，求点 C 表示的数。 【分析】 本题考查相反数的几何意义与数轴中点公式的综合应用，属于数形结合中档题。解题思路为先求 B 点数值，再利用中点公式计算 C 点。 【解答】 第一步：求 B 点表示的数。 -6 的相反数是 6，因此 B 点表示的数为 6。 第二步：求线段 AB 的中点 C。 数轴上两点的中点数值 = 两点数值之和 ÷ 2，即： 答案：点 C 表示的数为 0。 17、★★若 a、b 互为相反数且，数轴上点 A、B 分别对应 a、b，判断原点与线段 AB 的位置关系，并说明理由。 【分析】 本题考查相反数的几何意义，属于探究说理类拔高题，需要结合数轴的对称性进行逻辑推导，考查文字表达能力。 【解答】 原点在线段 AB 上，且是线段 AB 的中点。 理由：因为 a、b 互为相反数，根据相反数的几何意义，互为相反数的两个数在数轴上关于原点对称，即两点到原点的距离相等，分别位于原点两侧。 又因为，说明 A、B 两点不重合，因此原点恰好落在线段 AB 的正中间，平分线段 AB。 四、方法总结 1、 概念辨析三步骤 操作步骤： ① 定定义：精准锁定题干涉及的数学概念核心定义； ② 查特例：重点排查0、1、-1等特殊数值的例外情况； ③ 排错误：对比选项表述，排除片面、绝对化的错误结论。 记忆口诀：先抓定义再查特，绝对表述多出错 2、数形结合法（数轴专用） 操作步骤： ① 画数轴：规范标注三要素，统一单位长度； ② 定点位：将已知数、对应点精准标注在数轴上； ③ 用规律：依托“右大左小、原点分界”规律解题； ④ 验结果：结合数的性质验证答案合理性。 记忆口诀：遇数画图定位置，左右大小一眼知 3、 分类讨论法（有理数辨析专用） 操作步骤： ① 定分类：按正负性、0三类划分有理数范围； ② 逐类析：针对每一类数值逐一分析性质、结论； ③ 整结果：整合所有有效情况，避免遗漏特例； ④ 排矛盾：剔除相互矛盾、不符合定义的结果。 记忆口诀：正负零分三类析，不漏不重找全解 五、课后检测 一、选择题 1.★ 下列各数中，属于正有理数的是（ ） A. -2 B. 0 C D. -1.5 【答案】C 【分析】本题考查有理数的分类，正有理数的概念。正有理数包括正整数和正分数。 【解答】选项A：-2是负整数，属于负有理数；选项B：0既不是正数也不是负数；选项C：是正分数，属于正有理数；选项D：-1.5是负小数，属于负有理数。因此正确答案为C。 2.★ -0.8属于下列哪一类数（ ） A. 正分数 B. 负分数 C. 整数 D. 无理数 【答案】B 【分析】本题考查有理数的分类。有限小数可以化为分数，因此-0.8是分数，且为负数。 【解答】，是分数形式。因为带有负号，所以是负分数。整数不包括小数，无理数是无限不循环小数。因此正确答案为B。 3.★ 数轴上原点左侧的数都是（ ） A. 正数 B. 负数 C. 0 D. 非负数 【答案】B 【分析】本题考查数轴的基本性质。数轴上原点表示0，右侧为正数，左侧为负数。 【解答】根据数轴规定：原点表示0，原点右侧的点表示正数，原点左侧的点表示负数。因此原点左侧的数都是负数。正确答案为B。 4.★ 下列各数中，没有倒数的是（ ） A. 1 B. -1 C. 0 D. 【答案】C 【分析】本题考查倒数的概念。乘积为1的两个数互为倒数，0与任何数相乘都得0，不可能等于1。 【解答】选项A：1的倒数是1；选项B：-1的倒数是-1；选项C：0没有倒数（因为0乘任何数都不等于1）；选项D：的倒数是2。因此正确答案为C。 5.★★ 下列比较大小正确的是（ ） A. 0 < -0.1 B. -2 > -1 C. D. 2.5 < 2 【答案】C 【分析】本题考查有理数大小比较。两个负数比较大小，绝对值大的反而小；正数大于0，0大于负数。 【解答】选项A：0 > -0.1（0大于负数），错误；选项B：|-2|=2，|-1|=1，因为2>1，所以-2 < -1，错误；选项C：，，因为，所以，正确；选项D：，错误。因此正确答案为C。 6.★ 如果上升5米记作+5米，那么下降3米记作（ ） A. +3米 B. -3米 C. +5米 D. -5米 【答案】B 【分析】本题考查正负数的实际意义。用正负数表示具有相反意义的量。 【解答】上升和下降是一对具有相反意义的量，上升记作正，那么下降就记作负。因此下降3米记作-3米。正确答案为B。 二、填空题 7.★ 数轴的三要素是：原点、__________、单位长度。 【答案】正方向 【分析】本题考查数轴的基本定义，属于基础记忆题。 【解答】规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。因此数轴的三要素为：原点、正方向、单位长度。 8.★ -6的相反数是__________。 【答案】6 【分析】本题考查相反数的概念。只有符号不同的两个数互为相反数。 【解答】求一个数的相反数，只需改变这个数的符号。-(-6) = 6，因此-6的相反数是6。 9.★★ 2.5的倒数是__________。 【答案】（或0.4） 【分析】本题考查倒数的计算。先将小数化为分数，再求倒数。 【解答】，求倒数只需将分子分母交换位置，因此的倒数是，即0.4。 10.★ 既不是正数也不是负数的数是__________。 【答案】0 【分析】本题考查0的特殊性。0是正负数的分界点。 【解答】大于0的数是正数，小于0的数是负数，0既不大于0也不小于0，因此0既不是正数也不是负数。 11.★ 比较大小：0__________-0.1（填">"、"<"或"="）。 【答案】> 【分析】本题考查有理数大小比较。0大于一切负数。 【解答】根据有理数大小比较法则：0大于负数，正数大于0，正数大于负数。因此0 > -0.1。 12.★★ 无限循环小数属于__________数（填"有理"或"无理"）。 【答案】有理 【分析】本题考查有理数的定义。整数和分数统称为有理数，无限循环小数可以化为分数。 【解答】无限循环小数都可以化为分数形式，。根据有理数定义，整数和分数统称为有理数，因此无限循环小数属于有理数。 13.★★ 互为相反数的两个数的和为__________。 【答案】0 【分析】本题考查相反数的核心性质。互为相反数的两数相加等于0。 【解答】设a为任意有理数，则它的相反数为-a。，因此互为相反数的两个数的和为0。 14.★★ 数轴上距离原点4个单位长度的负数是__________。 【答案】-4 【分析】本题考查数轴上点的距离。距离原点4个单位长度的数有两个：4和-4，题目要求负数。 【解答】设该数为x，则，解得或。题目要求负数，因此答案为-4。 15.★ 整数包含正整数、__________、负整数。 【答案】0 【分析】本题考查整数的分类。整数包括正整数、0、负整数三部分。 【解答】根据有理数分类，整数分为：正整数、0、负整数。其中0既不是正整数也不是负整数。 16.★ 正分数和负分数统称为__________。 【答案】分数 【分析】本题考查分数的定义。分数包括正分数和负分数。 【解答】根据有理数分类，分数分为正分数和负分数。因此正分数和负分数统称为分数。 三、解答题 17.★★ 已知有理数a在数轴原点左侧，b在原点右侧，请比较的大小关系，并用"<"连接。 【答案】 【分析】本题考查数轴与数的大小关系。数轴上右边的数总比左边的数大。 【解答】解：∵ a在数轴原点左侧，∴ a是负数，即a < 0 ∵ b在数轴原点右侧，∴ b是正数，即b > 0 根据数轴性质：左边的数小于右边的数 ∴ 18.★★ 若一个数的相反数等于它本身，求这个数。 【答案】0 【分析】本题考查相反数的性质。利用方程思想求解。 【解答】解：设这个数为x 根据题意，得： 移项，得： 合并同类项，得： 系数化为1，得： ∴ 这个数是0 19.★★ 数轴上点A表示-1，点B在点A的右侧，且距离点A有4个单位长度，求点B表示的数。 【答案】3 【分析】本题考查数轴上两点间的距离。向右移动用加法。 【解答】解：∵ 点B在点A的右侧，距离点A4个单位长度 ∴ 点B表示的数 = 点A表示的数 + 距离 即：-1 + 4 = 3 ∴ 点B表示的数是3 20.★★ 已知a的倒数是它本身，求a的所有可能值。 【答案】1或-1 【分析】本题考查倒数的性质。倒数等于本身的数有两个，需要分类讨论。 【解答】解：根据题意，a的倒数是它本身，即 两边同，得：a² = 1 开平方，得： 当a = 1时，1的倒数是1，符合条件 当a = -1时，-1的倒数是-1，符合条件 ∴ a的所有可能值为1或-1 21.★★ 将这四个数按从小到大的顺序排列，并用"<"连接，然后在数轴上表示出来。 【答案】 【分析】本题考查有理数的大小比较与数轴表示。先统一形式再比较，然后在数轴上标注。 【解答】解：第一步：统一形式便于比较 第二步：比较大小 ① 负数：-2和-1.5 |-2| = 2，|-1.5| = 1.5 ∵ 2 > 1.5，∴ -2 < -1.5 ② 0在负数和正数之间 ③ 正数：1.2 > 0 ∴ 从小到大排列： 第三步：数轴表示 画数轴（标注原点、正方向、单位长度），在数轴上依次标出：-2、-1.5、0、1.2四个点。 22.★★ 若两个有理数的和为0，请判断这两个数的关系，并说明理由。 【答案】这两个数互为相反数 【分析】本题考查相反数的定义与性质。需要从正反两方面理解互为相反数的两数和为0。 【解答】解：这两个数互为相反数。 理由如下： 设这两个有理数分别为a和b 根据题意：a + b = 0 移项得：b = -a 根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数 ∴ a与b互为相反数 反之，互为相反数的两个数的和也一定为0。 23.★★★ 结合数轴说明：为什么负数小于0，正数大于负数？ 【答案】见解答 【分析】本题考查有理数大小的本质，需要结合数轴进行数学说理，体现数形结合思想。 【解答】解：结合数轴说明如下： （1）为什么负数小于0？ 在数轴上，规定了原点、正方向和单位长度。原点表示数0，数轴正方向一般向右。 所有负数对应的点都在原点的左侧。 根据数轴的基本性质：数轴上右边的数总比左边的数大。 因为0在原点，负数在原点左侧，所以0在负数的右边。 因此：负数 < 0 （2）为什么正数大于负数？ 所有正数对应的点都在原点的右侧，所有负数对应的点都在原点的左侧。 因此，正数对应的点都在负数对应的点的右侧。 根据数轴性质：数轴上右边的数总比左边的数大。 所以：正数 > 负数 综上，利用数轴可以直观地得出：负数 < 0 < 正数，因此正数大于负数。 ( 第 1 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027年七年级秋季数学同步培优讲义沪科版 专题一 有理数概念与数轴数形结合 课标核心素养指向 抽象能力：从具体数到有理数概念的抽象过程；几何直观：利用数轴建立数与形的对应关系。 教学目标 知识目标：掌握有理数分类、数轴三要素、能在数轴上表示有理数；能力目标：能利用数轴比较大小，初步建立数形结合意识；素养目标：通过数轴建立数的几何直观，培养抽象概括能力。 重难点 重点：有理数分类标准、数轴画法与运用； 难点：分数与小数互化、数形结合思想建立。 一、知识讲解 1、正数与负数的实际意义 核心知识点：正数表示具有正向意义的量，负数表示与正数意义相反的量，0是正负数的分界点，既不是正数也不是负数。 关键结论/公式：相反意义的量成对出现，如收入与支出、上升与下降、向东与向西。 2、有理数的完整分类标准 核心知识点：有理数有两种分类方式，按定义分为整数和分数，按正负性分为正有理数、0、负有理数。有限小数和无限循环小数均属于分数，归为有理数。 关键结论/公式：整数包含正整数、0、负整数；分数包含正分数、负分数。 学生常见误区：混淆小数与有理数的关系，误认为所有小数都不是有理数，遗漏有限小数、无限循环小数。 3、数轴三要素与规范画法 核心知识点：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的直线，三要素缺一不可，是数形结合的核心工具。 关键结论/公式：数轴上右边的数始终大于左边的数，正数在原点右侧，负数在原点左侧，0在原点处。 学生常见误区：画图遗漏三要素、单位长度不统一、正方向标注错误。 4、相反数的核心性质 核心知识点：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，互为相反数的两个数在数轴上关于原点对称。 关键结论/公式：数a的相反数为-a；若a、b互为相反数，则a+b=0。 学生常见误区：误认为相反数一定一正一负，忽略0的相反数是0的特殊情况。 5、倒数的判定与性质 核心知识点：乘积为1的两个数互为倒数，倒数是相互的，单独一个数不能称为倒数。 关键结论/公式：非零数a的倒数为；1的倒数是1，-1的倒数是-1，0没有倒数。 学生常见误区：误认为0有倒数，或混淆相反数与倒数的定义。 二、典例精讲 题型1：概念辨析题 【例题1★】下列说法正确的是（ ） A. 所有的整数都是正数 B. 不是正数的数一定是负数 C. 0是最小的有理数 D. 有理数包括整数和分数 【变式1-1★】下列关于有理数的分类正确的是（ ） A. 有理数可以分为正有理数和负有理数 B. 有理数可分为正有理数、负有理数和0 C. 有理数可分为正整数、0和负整数 D. 有理数可分为自然数、0和分数 【变式1-2★】下列说法正确的是（ ） A. 任何一个有理数都有倒数 B. 绝对值等于它本身的数只有0 C. 最大的负整数是-1 D. 有理数分为正有理数和负有理数 题型2：数轴表示题 【例题2★】在数轴上准确表示下列各数：并将这些数按从小到大的顺序排列。 【变式2-1★】按要求完成下面各题． 把按从小到大的顺序排列． 【变式2-2★★】我们知道分数写为小数即，反之，无限循环小数0.3写成分数即一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式．现在就以,为例进行讨论：设：，由：，得： ，于是：，即：，解方程得，于是得：请仿照上述例题完成下列各题： (1)请你把无限循环小数． (2)你能化无限循环小数,为分数吗？请完成你的探究过程． 【变式2-3★★】阅读与探究：我们知道分数写为小数即，反过来，无限循环小数写成分数即．一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式． 现在就以为例进行讨论： 设，由 于是可得： 等式两边同乘以10，可得： 即： 化简，得：解方程，得： 所以，得 请仿照上述例题完成下列各题： (1)请你把无限循环小数写成分数； (2)你能化无限循环小数为分数吗？请完成你的探究过程． 题型3：数形结合应用题 【例题3★★】已知数轴上点A表示的数是-3，点B与点A互为相反数，点C在原点右侧，距离原点2个单位长度，求A、B、C三点表示的数，并比较三个数的大小。 【变式3-1★★】已知数轴上点A表示的数比-1大6，点B、C表示互为相反数的两个数，且点C与点A间的距离为2，求点B，C表示的数． 【变式3-2★★】已知数a在数轴上表示的点在原点左侧，距离原点3个单位长，m与n互为相反数，表示数m的点在表示数n的点的左侧，且两点的距离是8，求的值. 【变式3-3★★】已知数轴上点A表示的数为5，点B、C.表示互为相反数的两个数，且点C与点A间的距离为2．求点B、C表示的数． 题型4：易错题辨析 【例题4★】下列关于有理数、相反数、倒数的说法，正确的有几个？（） ① 整数都是有理数；② 正数的倒数一定是正数；③ 负数没有相反数；④ 0的倒数是0 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【变式4-1★】下列说法正确的有( ) ①正有理数是正整数和正分数的统称；②整数是正整数和负整数的统称；③有理数是正整数、负整数、正分数、负分数的统称；④0是偶数，但不是自然数；⑤偶数包括正偶数、负偶数和零. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【变式4-2★★】下列说法，其中正确的个数是（ ） ①整数和分数统称为有理数；②绝对值是它本身的数只有0；③两数之和一定大于每个加数；④如果两个数积为0，那么至少有一个因数为0；⑤0是最小的有理数；⑥数轴上表示互为相反数的点位于原点的两侧；⑦几个有理数相乘，如果负因数的个数是奇数，那么积为负数， A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【变式4-3★】有下列说法：①一个有理数不是整数就是分数；②一个有理数不是正数就是负数；③0既没有倒数也没有相反数；④整数分为正整数、0和负整数．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 三、限时训练 1、★ 下列各数中，属于负分数的是（ ） A. -3 B C. 0 D. 2 2、★ 在 - 2，0，3，5 中，正数有____个。 3、★ 数轴的三要素是________。 4、★ -6 的相反数是____。 5、★的倒数是____。 6、★ 0 的相反数是____，____没有倒数。 7、★ 数轴上表示 - 3 的点在原点的____侧。 8、★ 比较大小：-5____-2。 9、★ 0.125 化成分数为____，属于____数。 10、★ 若向北走 12 米记作 + 12 米，则向南走 7 米记作____米。 11、★数轴上点 A 表示 4，与 A 距离 2 个单位长度的点表示的数为____。 12、★★ 下列说法正确的是（ ） ①0 是整数；②负数都小于 0；③分数一定是有理数。 13、★★ 若 a 的相反数为 - 4，则 a 的倒数为____。 14、★★ 将 - 2.5，0，3，-1 按从大到小顺序排列。 15、★某超市当天进货 10 吨记作 + 10 吨，出货 8 吨记作 - 8 吨，则库存不变记作____吨。 16、★★ 数轴上 A 点表示 - 6，B 点表示 A 的相反数，点 C 到 A、B 距离相等，求点 C 表示的数。 17、★★若 a、b 互为相反数且，数轴上点 A、B 分别对应 a、b，判断原点与线段 AB 的位置关系，并说明理由。 四、方法总结 1、 概念辨析三步骤 操作步骤： ① 定定义：精准锁定题干涉及的数学概念核心定义； ② 查特例：重点排查0、1、-1等特殊数值的例外情况； ③ 排错误：对比选项表述，排除片面、绝对化的错误结论。 记忆口诀：先抓定义再查特，绝对表述多出错 2、数形结合法（数轴专用） 操作步骤： ① 画数轴：规范标注三要素，统一单位长度； ② 定点位：将已知数、对应点精准标注在数轴上； ③ 用规律：依托“右大左小、原点分界”规律解题； ④ 验结果：结合数的性质验证答案合理性。 记忆口诀：遇数画图定位置，左右大小一眼知 3、 分类讨论法（有理数辨析专用） 操作步骤： ① 定分类：按正负性、0三类划分有理数范围； ② 逐类析：针对每一类数值逐一分析性质、结论； ③ 整结果：整合所有有效情况，避免遗漏特例； ④ 排矛盾：剔除相互矛盾、不符合定义的结果。 记忆口诀：正负零分三类析，不漏不重找全解 五、课后检测 一、选择题 1.★ 下列各数中，属于正有理数的是（ ） A. -2 B. 0 C D. -1.5 2.★ -0.8属于下列哪一类数（ ） A. 正分数 B. 负分数 C. 整数 D. 无理数 3.★ 数轴上原点左侧的数都是（ ） A. 正数 B. 负数 C. 0 D. 非负数 4.★ 下列各数中，没有倒数的是（ ） A. 1 B. -1 C. 0 D. 5.★★ 下列比较大小正确的是（ ） A. 0 < -0.1 B. -2 > -1 C. D. 2.5 < 2 6.★ 如果上升5米记作+5米，那么下降3米记作（ ） A. +3米 B. -3米 C. +5米 D. -5米 二、填空题 7.★ 数轴的三要素是：原点、__________、单位长度。 8.★ -6的相反数是__________。 9.★★ 2.5的倒数是__________。 10.★ 既不是正数也不是负数的数是__________。 11.★ 比较大小：0__________-0.1（填">"、"<"或"="）。 12.★★ 无限循环小数属于__________数（填"有理"或"无理"）。 13.★★ 互为相反数的两个数的和为__________。 14.★★ 数轴上距离原点4个单位长度的负数是__________。 15.★ 整数包含正整数、__________、负整数。 16.★ 正分数和负分数统称为__________。 三、解答题 17.★★ 已知有理数a在数轴原点左侧，b在原点右侧，请比较的大小关系，并用"<"连接。 18.★★ 若一个数的相反数等于它本身，求这个数。 19.★★ 数轴上点A表示-1，点B在点A的右侧，且距离点A有4个单位长度，求点B表示的数。 20.★★ 已知a的倒数是它本身，求a的所有可能值。 21.★★ 将这四个数按从小到大的顺序排列，并用"<"连接，然后在数轴上表示出来。 22.★★ 若两个有理数的和为0，请判断这两个数的关系，并说明理由。 23.★★★ 结合数轴说明：为什么负数小于0，正数大于负数？ ( 第 1 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $