第02讲 数轴、相反数与绝对值（暑假预习讲义）新七年级数学新教材湘教版

第02讲 数轴、相反数与绝对值 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型 1 数轴的三要素 题型 2 用数轴上的点表示有理数 题型 3 利用数轴求两点之间的距离 题型 4 利用数轴上两点之间的距离求点表示的数 题型 5 利用数轴解决实际问题 题型 6 相反数的定义 题型 7 利用相反数的概念求值 题型 8 多重符号的化简 题型 9 相反数与两点之间的距离的应用 题型 10 相反数与点的移动 题型 11 求一个数的绝对值 题型 12 已知绝对值求数 题型 13 绝对值非负性的应用 题型 14 利用绝对值解决实际问题 题型 15 数轴、相反数、绝对值的综合应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 数轴、原点、正方向、单位长度、相反数、绝对值、非负数、非正数 1.掌握数轴三要素，能规范画出数轴，会在数轴上表示有理数，能读出数轴上点对应的数。 2.理解相反数的概念，知道互为相反数的两数符号不同、绝对值相等，会求任意有理数的相反数；掌握多重符号化简方法。 3.理解绝对值的几何意义与代数意义，会求有理数的绝对值；明确任何数的绝对值都是非负数。 4.结合数轴理解相反数、绝对值的几何含义，能利用数轴解决简单数形结合题型。 学习重点：数轴的三要素，有理数与数轴上点的对应关系；相反数的概念、多重符号化简；绝对值的概念，求一个数的绝对值。 学习难点：理解绝对值的几何意义；已知一个数的绝对值，反求这个数（双解问题）；绝对值是非负数，灵活运用 | a|≥0 解题。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 数轴 ◆1、数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴. ◆2、画数轴的步骤： （1）画直线，取原点：在直线上任取一点表示数 0，这个点叫做原点； （2）标正方向：通常规定直线上从原点向右 (或上) 为正方向，从原点向左 (或下) 为负方向； （3）选取单位长度，标数：选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示 1，2，3，···；从原点向左，用类似方法依次表示 -1，-2，-3，···. ◆3、画数轴的注意事项： (1) 原点、单位长度和正方向三要素缺一不可； (2) 直线一般是水平的； (3) 正方向用箭头表示，一般取从左到右； (4) 取单位长度应结合实际需要，但要做到刻度均匀. ◆4、数轴上的点与有理数的关系 （1）任意一个有理数都可以用数轴上的点来表示；但数轴上的点都不表示有理数. （2）数轴上原点右边的数是正数，原点左边的数是负数，0 是正、负数的分界线. （3）一般地，设 a 是一个正数，则数轴上表示数 a 的点在原点的右边，与原点的距离是 a个单位长度；表示数- a 的点在原点的左边，与原点的距离是a 个单位长度． 即时即练如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（    ） A．0.5 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴，熟知数轴上的点所表示数的特征是解题的关键． 根据数轴上的点所表示数的特征即可解决问题． 【详解】解：由图可得，手掌遮挡住的点表示的数在至0之间， 而， 所以只有B选项符合题意． 故选：B． 知识点02 相反数 ◆1、相反数的定义： 像 2和﹣2，3和﹣3 这样只有符号不同的两个数叫做相反数.（代数意义） 一般地，a 和 -a 互为相反数. ◆2、相反数的几何意义： （1）互为相反数的两个数分别位于原点的两侧 (0 除外)； （2）互为相反数的两个数到原点的距离相等； （3）一般地，设 a 是一个正数，数轴上与原点的距离是a 的点有两个，它们分别在原点的两侧，表示 数 ﹣a 和 a，我们说这两点关于原点对称. ◆3、相反数的性质： 任何一个数都有相反数，而且只有一个，正数的相反数是负数；0的相反数是0；负数的相反数是正数. ◆4、求一个相反数的方法： （1） 求一个数的相反数，只需改变这个数的符号，即可得到这个数的相反数. （2） 求一个字母或一个式子相反数时，只需在这个字母或这个式子的前面加上“﹣”号. ◆5、多重符号的化简 （1）多重符号化简的依据：相反数的定义是多重符号化简的依据．例如：﹣（﹣5）表示﹣5的相反数，所以﹣（﹣5）=5. （1）多重符号的化简 化简多重符号时，只需数一下数字前面有多少个负号，若有偶数个，则结果为正；若有奇数个，则结果为负.简称“奇负偶正”. 即时即练（25-26九年级下·湖南长沙·期中）若的相反数是，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相反数的概念即可得到结果． 【详解】解：∵的相反数是， ∴， ∴的值是． 知识点03 绝对值 ◆1、绝对值的定义：一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值，记作 | a |，读作“a的绝对值”. 【注意】任何数都有绝对值，并且只有一个，数 a 的绝对值是数轴上表示它的点到原点的距离，因为距离不可能是负数，所以数 a 的绝对值 | a |为非负数，即 | a |≥0. ◆2、绝对值的性质： （1）一个正数的绝对值是正数；一个负数的绝对值是正数； 0 的绝对值是 0. （2）字母 a 表示一个有理数，则 （3）在数轴上，表示一个数的点离原点越近，这个数的绝对值越小；离原点越远，这个数的绝对值越大. （4）互为相反数的两个数的绝对值相等；绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数. （5）几个非负式的和为 0，则这几个式子都为 0. 即时即练 3的相反数的绝对值是（　　） A．3 B． C．﹣3 D． 【答案】A． 【分析】先求出3的相反数，再求出相反数的绝对值，即可得出答案． 【详解】解：3的相反数是﹣3， ﹣3的绝对值是3； 则3的相反数的绝对值是3； 故选：A． 【点睛】此题考查了相反数、绝对值，用到的知识点是相反数、绝对值的定义，是一道基础题． 题型1 数轴的三要素 【例1】（25-26七年级上·湖南邵阳·期中）如图所示的图形是四位同学画的数轴，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查画数轴，根据数轴的三要素进行判断即可． 【详解】解：A、没有原点，错误，不符合题意； B、单位长度不统一，错误，不符合题意； C、正确，符合题意； D、没有正方向，错误，不符合题意； 故选：C． 【技巧归纳】 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴，原点、单位长度和正方向三要素缺一不可. 【变式1-1】（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴的特点，根据数轴包括原点，正方向，单位长度，结合图形分析即可． 【详解】解：A、正方向不对，不符合题意； B、原点，正方向，单位长度均符合数轴特点，符合题意； C、没有正方向，单位长度也不对，不符合题意； D、单位长度不一致，不符合题意； 故选：B ． 【变式1-2】（25-26九年级上·湖南岳阳·阶段检测）下列数轴画法规范的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴的意义和表示方法，掌握数轴的三要素（规定了原点，单位长度，正方向的直线叫做数轴）是正确判断的前提．根据数轴的意义，数轴的三要素进行判断即可． 【详解】解：A、缺少正方向，故此选项不符合题意； B、单位长度不一致，故此选项不符合题意； C、规定了原点，单位长度，正方向的直线叫做数轴，故此选项符合题意; D、缺少原点，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式1-3】（23-24七年级上·四川眉山·阶段检测）如图所示，所画数轴完全正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了数轴的三要素和画法．根据数轴的特点“规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴”进行解答即可． 【详解】解：（1）（3）单位长度不统一，错误； （2）不符合数轴上右边的数总比左边的数大的特点，错误； （4）符合数轴的特点，正确． 综上，只有一个是正确的． 故选：A． 题型2 用数轴上的点表示有理数 【例2】（2026·湖南怀化·二模）如图，数轴上表示3的点是（    ） A．M B．N C．P D．Q 【答案】D 【详解】解：根据题图可知，数轴单位长度为1， ∴表示3的点是Q． 【技巧归纳】 1、任意一个有理数都可以用数轴上的点来表示；但数轴上的点都不表示有理数. 2、数轴上原点右边的数是正数，原点左边的数是负数，0 是正、负数的分界线. 【变式2-1】如图，数轴上，，，四个点中，表示的点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查了有理数与数轴，直接根据数轴得出答案即可． 【详解】解：由数轴可知，表示的点是， 故选：B． 【变式2-2】如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（    ） A．0.5 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴，熟知数轴上的点所表示数的特征是解题的关键． 根据数轴上的点所表示数的特征即可解决问题． 【详解】解：由图可得，手掌遮挡住的点表示的数在至0之间， 而， 所以只有B选项符合题意． 故选：B． 【变式2-3】在图中将数轴补充完整，并将下列各数在数轴上表示出来： ，，，，，， 【答案】见详解 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，数轴有三要素：原点、正方向，单位长度；正数在原点的右边，负数在原点的左边，再结合正数大于0，0大于负数进行逐个表示，即可作答． 【详解】解：如图所示： 题型3利用数轴求两点之间的距离 【例3】已知数轴上、两点分别表示的数为和5，则、两点间的距离为（    ） A． B． C．2 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离的应用，根据数轴上点表示的数列出算式计算即可；关键是能根据题意列出算式． 【详解】解：∵数轴上，A、B两点分别表示数和5， ∴A、B两点之间的距离是， 故选：D． 【技巧归纳】 求数轴上任意两点之间的距离就是求两点之间有多少个单位长度，可借助画数轴加深理解. 【变式3-1】（24-25七年级上·湖南益阳·期末）在数轴上表示的点与表示3的点之间的距离是（   ） A．5 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查数轴上两点间距离的计算，用右侧点表示的数减去左侧点表示的数即可求解 【详解】解：∵在数轴上表示的点与表示3的点之间的距离是． 故选：A 【变式3-2】（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）数轴上表示和7的两点之间的距离是（    ） A．4 B． C．10 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴上两点间距离，根据数轴上两点之间的距离公式列式计算即可． 【详解】解：数轴上表示和7的两点之间的距离是： ． 故选：C． 【变式3-3】（25-26七年级上·湖南长沙·期中）已知与2互为相反数，且它们在数轴上分别对应，两点，则，两点的距离为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的定义，数轴上两点之间的距离，利用相反数的定义求出的值，再根据数轴上两点距离公式计算即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵与2互为相反数， ∴， ∴， ∵它们在数轴上分别对应，两点， ∴点对应的数为，点对应的数为， ∴，两点的距离为， 故选：B． 题型4利用数轴上两点之间的距离求点表示的数 【例4】（25-26七年级上·山东德州·阶段检测）在数轴上，绝对值相等的两个数对应的点之间的距离为4，则这两个数分别是（   ） A．4和 B．2和 C．2和 D．4和 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的意义．根据两个数的绝对值相等且对应点之间的距离是4，可知这两个数是一对相反数，进而得到这两个数到原点的距离为2，据此即可求解． 【详解】解：由题意可知，这两个数是一对相反数， ∵两个数在数轴上对应点之间的距离是4， ∴这两个数到原点的距离为， ∴这两个数分别是2和， 故选：C． 【技巧归纳】 1、由于点的位置不确定，要借助数轴进行分类讨论，分在已知点的左侧和右侧两种情况. 2、确定符号和距离，确定距离时要表示所对应的点距原点几个单位长度. 【变式4-1】（25-26七年级上·湖南长沙·阶段检测）已知点和点在同一数轴上，点表示数2，又已知点和点相距5个单位长度．则点表示的数是（　　） A．3 B． C．3或 D．或7 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴，解题的关键是分两种情况讨论． 分两种情况①当点在点的右边时，点表示的数为．②当点在点的左边时，点表示的数为求解即可． 【详解】解：点表示数2，点和点相距5个单位长度， 当点在点的右边时，点表示的数为． 当点在点的左边时，点表示的数为． 点表示的数是或 7， 故选：D． 【变式4-2】（25-26七年级上·广东揭阳·阶段检测）在数轴上，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是，那么点B表示的数是（    ） A．﹣1 B．2 C．0 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了数轴的应用以及两点之间的距离，掌握数轴上两点之间的距离是解题的关键；由题可知点表示的数是，由数轴可知，故可得到答案； 【详解】解：数轴的单位长度为1，由数轴可得两点的距离为，且在的右边 点A表示的数是-3，所以点表示的数为1． 故选：D． 【变式4-3】已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面． (1)若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与数______表示的点重合； (2)若表示的点与3表示的点重合，回答以下问题： ①6表示的点与数______表示的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，写出A、B两点表示的数是多少？ 【答案】(1)2 (2)①；②点表示，点表示5 【分析】（1）先确定折痕为原点，即可得结论； （2）①先确定折痕：，即可得结论；②设折痕为点，则，根据左边减，右边加可得结论． 【详解】（1）解：若1表示的点与表示的点重合，则折痕为原点， 表示的点与数2表示的点重合； 故答案为：2； （2）①若表示的点与3表示的点重合，则折痕为， ∴， ∴6表示的点与数表示的点重合； 故答案为：； ②设折痕为点，则， 点表示的数为，点表示的数为． 【点睛】本题主要考查的是数轴上两点的距离，掌握数轴上两点距离以及数轴上有理数的表示是解题的关键． 题型5 利用数轴解决实际问题 【例5】如图，数轴的一个单位长度为1，将一把直尺放在数轴上，直尺上0和7分别对应数轴上的数为和，则所表示的数是（   ） A．2 B．5 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离；数轴上和的距离可表示为即可求出所表示的数． 【详解】解：∵直尺上0和7分别对应数轴上的数为和， 即0对应，7对应， 又∵数轴的一个单位长度为1， ∴，解得：． 故选：A． 【技巧归纳】 数形结合解决实际问题，有理数和数轴上的点的关系是数形结合的体现，数轴能直观的反映出点与点之间的关系. 【变式5-1】（23-24七年级上·湖南岳阳·期中）点为数轴上表示的点，点离点的距离为4个单位长度，则点点表示的数是（ ） A．1 B． C．7或 D．1或 【答案】D 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离．根据点在点左边和右边两种情况进行计算即可得到答案． 【详解】解：当点在点左边时， 点表示的数为， 当点在点右边时， 点表示的数为， 故选：D． 【变式5-2】（24-25七年级上·山西太原·阶段检测）如图，在数轴上点表示的数是3，点被墨水遮住了，已知，则点表示的数为__________． 【答案】 【分析】本题主要查了数轴上两点间的距离．根据数轴上两点间的距离解答即可． 【详解】解：根据题意得：点表示的数是3，， ∴点B表示的数是， 故答案为： 【变式5-3】快递员骑电动车从物流公司出发，先向西行驶3km到达A小区，继续向西行驶1km到达B小区，然后向东骑行8km到达C小区最后回到物流公司． （1）以物流公司为原点，向东方向为正方向，用1cm表示1km，在如图中画出数轴，并在该数轴上表示A，B，C三个小区的位置． （2）C小区离A小区有多远？ （3）求快递员一共骑行的路程． 【分析】（1）根据数轴表示数的意义和距离可在用数轴表示出来， （2）A小区所表示的数为﹣3，C小区所表示的数为4，即可求出AC的距离， （3）所有行驶路程的和即可求出路程． 【详解】解：（1）在数轴上表示出A、B、C三个小区的位置如图所示： （2）根据题意可知：4＋3＝7， 答：C小区离A小区7千米； （3）3+1+8+4＝16（千米）， 答：快递员一共骑行了16千米． 【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图，数轴，有理数的加减的应用，能读懂题意是解此题的关键． 题型6 相反数的定义 【例6】﹣2024的相反数是（    ） A．2024 B． C． D．1 【答案】A． 【分析】此题考查了相反数的定义．只有符号不同的两个数叫做互为相反数，据此即可求出答案． 【详解】解： 的相反数是， 故选：A． 【技巧归纳】 数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号．只有符号不同的两个数叫做互为相反数，一般地，a 和 -a 互为相反数. 【变式6-1】（2026·湖南邵阳·一模）2026的相反数是（     ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，直接求解即可． 【详解】解：∵ 求一个数的相反数只需改变这个数的符号， ∴ 的相反数是 ． 【变式6-1】如图，数轴上点P表示的数的相反数是（   ） A． B．-1 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查求一个数的相反数，数轴，根据数轴得到点P表示的数为，根据只有符号不同的两个数互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：由图可知：点P表示的数为， ∴数轴上点P表示的数的相反数是， 故选：A． 【变式6-3】（25-26七年级上·广东潮州·期末）下列各组数中，互为相反数的是（   ） A． 与3 B．3与 C． 与 D．3与 【答案】A 【分析】本题考查了相反数，掌握相反数的定义是关键．根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，分别计算每个选项中两个数的值，判断是否只有符号不同，即可作答． 【详解】解： A、与3互为相反数，符合题意； B、3与不是互为相反数，不符合题意； C、与不是互为相反数，不符合题意； D、3与不是互为相反数，不符合题意． 故选：A． 题型7利用相反数的概念求值 【例7】如果a与1互为相反数，那么a＝（　　） A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1 【答案】D． 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案． 【详解】解：因为a与1互为相反数，﹣1与1互为相反数， 所以a＝﹣1， 故选：D． 【点睛】本题考查了相反数．解题的关键是掌握相反数的定义，明确在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数． 【技巧归纳】 求一个数的相反数，只需改变这个数的符号，即可得到这个数的相反数. 【变式7-1】如果a与﹣3互为相反数，则a等于（　　） A． B．3 C． D．﹣3 【答案】B． 【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可． 【详解】解：由题意，得 a＝3， 故选：B． 【点睛】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆． 【变式7-2】如果a与﹣2024互为相反数，那么a的值是（　　） A．﹣2024 B． C． D．2024 【答案】D． 【分析】符号不同，并且绝对值相等的两个数互为相反数，据此即可求得答案． 【详解】解：∵a与﹣2024互为相反数， ∴a+（﹣2024）＝0， ∴a＝2024． 故选：D． 【点睛】本题考查相反数，熟练掌握其定义是解题的关键． 【变式7-3】已知+（）的相反数是x，﹣（+3）的相反数是y，z相反数是z，求x+y+z的相反数． 【答案】． 【分析】根据相反数的概念求出x，y，z的值，代入x+y+z即可得到结果． 【详解】解：∵+（）的相反数是x，﹣（+3）的相反数是y，z相反数是z， ∴x，y＝3，z＝0， ∴x+y+z3+0， ∴x+y+z的相反数是． 【点睛】本题考查了相反数的定义，熟记相反数的概念是解题的关键． 题型8 多重符号的化简 【例8】（24-25七年级上·山东济宁·期中）下列化简，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查利用相反数的定义化简多重符号，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据相反数的定义分别对各选项进行计算，即可得到答案． 【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意； B、，原计算错误，故此选项不符合题意； C、，原计算错误，故此选项不符合题意； D、，原计算正确，故此选项符合题意； 故选：D． 【技巧归纳】 多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正． 【变式8-1】（2025七年级上·全国·专题练习）化简：_______． 【答案】 【分析】本题考查了化简多重符号．从内向外依次计算括号内的表达式，利用负负得正的规则进行化简． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式8-2】（24-25七年级上·湖南怀化·期中）下面各组数中：①和；②和；③和；④和；⑤和；⑥和．互为相反数的是 _________（填序号）． 【答案】①②⑤⑥ 【分析】本题主要考查了相反数和多重符号化简，根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，化简各项数字后再判断求解即可．正确使用相反数的意义对每个数字进行化简是解题的关键． 【详解】解：①和互为相反数； ②，，和互为相反数，和互为相反数； ③，，和不是互为相反数，和相等，不是互为相反数； ④，，和不是互为相反数，和相等，不是互为相反数； ⑤，和互为相反数，和互为相反数； ⑥，和互为相反数，和互为相反数． 互为相反数的是①②⑤⑥． 故答案为：①②⑤⑥． 【变式8-3】化简： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】此题考查了多重符号的化简，根据多重符号化简的法则计算即可． 【详解】（1） （2） （3） （4） （5） （6） 题型9 相反数与两点之间的距离的应用 【例9】（25-26七年级上·陕西咸阳·阶段检测）已知点，在数轴上表示的数互为相反数，且两点间的距离是11，点在点的左侧，则点表示的数为（  ） A． B． C．6 D．5.5 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴上互为相反数的点的特征，熟练掌握互为相反数的两个数在数轴上到原点的距离相等是解题的关键． 利用数轴上互为相反数的两个点到原点的距离相等，结合两点间距离求解． 【详解】解：∵点，在数轴上表示的数互为相反数，两点间的距离是， ∴点，到原点的距离均为． 又∵点在点的左侧， ∴点表示的数为． 故选：B． 【技巧归纳】 如果一个数在数轴上的对应点与它的相反数在数轴上的对应点间的距离是a个单位长度,那么这两个点到原点的距离就等于a÷2，再根据点的位置确定对应 的数. 【变式9-1】如图，数轴上有A，B，C三点，若点A，C到原点的距离相等，数轴的单位长度为1，则点B表示的数是（　　） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意：A、C之间的距离为6个单位长度，点A、C到原点的距离相等，得出点A表示的数为，点C表示的数为3，再结合数轴，即可得出点B表示的数． 【详解】解：∵A、C之间的距离为6个单位长度，点A、C到原点的距离相等， ∴点A表示的数为，点C表示的数为3， ∵点在点右侧2个单位， ∴点B表示的数为． 【变式9-2】该数轴的原点为，向右为正方向．若点A，C所表示的数互为相反数，则该数轴的原点对应直尺上的刻度为______． 【答案】6 【分析】先求出点A、C在直尺上的距离，再根据点、C表示的数互为相反数，得到点O是线段的中点，进而可解答． 【详解】解：∵直尺上点对应刻度2，点C对应刻度10， ∴点A、C在直尺上的距离为， ∵点、C表示的数互为相反数， ∴原点是线段的中点，即到原点的距离为， 又∵数轴向右为正方向， ∴原点对应直尺上的刻度为． 【变式9-3】（23-24七年级上·湖南长沙·阶段检测） 用尺子画出数轴并回答： （1）把下列各数表示在数轴上：； （2）上述数中互为相反数的一组数是 ，它们之间有 个单位长度，它们关于 对称． 【答案】（1）见解析；（2）与2.5；5；原点 【分析】（1）先画出数轴，注意数轴的三要素，再根据在数轴上表示数的方法，在数轴上表示出所给的各数即可； （2）根据相反数的定义，绝对值相同，符号不同的两个数互为相反数；互为相反数的两个数到原点的距离相等，再利用数轴上两点之间的距离，求出两数之间的距离即可． 【详解】解：（1）如图所示， （2）结合数轴，根据相反数的定义可知，数与数2.5互为相反数；两点之间的距离为5；它们关于原点对称， 故答案为：与2.5；5；原点． 【点睛】本题考查了在数轴上表示数的方法，数轴的特征，相反数的定义等知识，此为基础知识，要熟练掌握． 题型10相反数与点的移动 【例10】数轴上的点A表示的数是a，点A在数轴上向右平移了8个单位长度后得到点B，若点A和点B表示的数恰好互为相反数，则a是（　　） A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4 【答案】D． 【分析】根据题意表示出B点对应的数，再利用互为相反数的性质分析得出答案． 【详解】解：由题意可得：B点对应的数是：a+8， ∵点A和点B表示的数恰好互为相反数， ∴a+a+8＝0， 解得：a＝﹣4． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了数轴以及相反数，正确表示出B点对应的数是解题关键． 【技巧归纳】 互为相反数的两个数在数轴上的对应点应位于原点两侧，且到原点的距离相等。点在数轴上的移动要明确移动的方向和移动的距离. 【变式10-1】如图所示，数轴上一动点A向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动5个单位长度到达点C．若点C表示的数是1，则与点A表示的数互为相反数的是（   ） A． B．2 C． D．24 【答案】B 【分析】本题考查了数轴和相反数的定义，解题关键是求出A点表示的数．先求出A点表示的数，根据相反数的定义即可求解． 【详解】解：数轴上一动点A向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动5个单位长度到达点C， ∵点C表示的数为1， ∴点B表示的数为， ∴点A表示的数为， ∴则与点A表示的数互为相反数的是2， 故选：B． 【变式10-2】一个数在数轴上所对应的点向左移动2020个单位长度后，得到它的相反数对应的点，则这个数是　 　． 【答案】1010． 【分析】由题意得移动前后两个点到原点的距离相等，都为1010，且移动前的点在原点右侧，故这个数是1010． 【详解】解：根据题意可得，移动前后两个点到原点的距离相等，都为1010，且移动前的点在原点右侧，故这个数是1010． 故答案为：1010． 【点睛】本题考查数轴表示数的意义和方法，理解相反数的意义和表示数的方法是正确解答的前提． 【变式10-3】在数轴上，点A表示数8，点B，C表示互为相反数的两个数，且点C和点A之间的距离为3，求点B，C所表示的数． 【答案】点B，C所表示的数是﹣5和5或﹣11和11． 【分析】根据题意可以得到点C表示的数，由点B，C表示互为相反数的两个数，可以得到点B表示的数，本题得以解决． 【详解】解：∵点A表示数8，点C和点A之间的距离为3， ∴点C表示的数是8﹣3＝5或8+3＝11， ∵点B，C表示互为相反数的两个数， ∴点B表示的数是﹣5或﹣11， 由上可得，点B，C所表示的数是﹣5和5或﹣11和11． 【点睛】本题考查相反数、数轴，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 题型11求一个数的绝对值 【例11】（25-26九年级下·湖南邵阳·阶段检测）王老师本月体重较上月减少了，记作，的绝对值为（     ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【详解】解：． 【技巧归纳】 利用绝对值的性质求一个数的绝对值，一个正数的绝对值是正数；一个负数的绝对值是正数； 0 的绝对值是 0. 【变式11-1】（2026·四川宜宾·中考真题）的绝对值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 【变式11-2】2024相反数的绝对值是（   ） A． B． C．2024 D． 【答案】C 【分析】本题考查相反数和绝对值的定义，熟练掌握相反数和绝对值的定义是关键．按照定义先求出2024的相反数，再计算其绝对值即可得到结果． 【详解】解：2024的相反数是，． 故选：C． 【变式11-3】（25-26七年级上·湖南张家界·期末）的绝对值是___________． 【答案】 【分析】本题考查求一个数的绝对值，根据正数的绝对值是其本身求解即可． 【详解】解：因为， 所以． 故答案为：． 题型12已知绝对值求数 【例12】若一个数的绝对值是5，则这个数是（　　） A．5 B．-5 C．±5 D．0或5 【答案】C 【详解】绝对值为正数的数有两个，且互为相反数，所以|±5|=5． 故选C． 【技巧归纳】 若绝对值等于正数，解为正负两数； 若绝对值等于 0，解只有 0； 【变式12-1】（23-24七年级上·全国·单元测试）若一个数的绝对值是2019，则这个数是（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】此题考查了绝对值的性质，要求掌握绝对值的性质及其定义，并能熟练运用到实际当中．本题是绝对值性质的逆向运用，此类题要注意答案一般有2个，除非绝对值为0的数才有一个为0． 【详解】解：∵， ∴绝对值等于2019的数有2个，即和， 故选：C． 【变式12-2】一个数的绝对值是4，则这个数是______． 【答案】4和﹣4． 【详解】解：一个数的绝对值是4，根据绝对值的意义，这个数是：4和﹣4. 故答案为4和﹣4． 【变式12-3】一个数的绝对值是，则这个数是_____． 【答案】±. 【分析】根据绝对值的性质得，||=，|-|=，故求得绝对值等于的数． 【详解】||=， |−|=， 所以一个数的绝对值是,则这个数是±. 故答案为±. 【点睛】此题考查负数的意义及其应用，解题关键在于掌握绝对值的性质. 题型13 绝对值非负性的应用 【例13】（24-25七年级上·湖南长沙·期末），则a和b各为（    ） A．， B．1，3 C．1， D．，3 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的非负性，先根据，得，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【技巧归纳】 1、数a 的绝对值 | a |为非负数，即 | a |≥0. 2、几个非负式的和为 0，则这几个式子都为 0. 【变式13-1】（23-24七年级上·四川绵阳·阶段检测）若a是有理数，则的最小值是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据绝对值的非负性即可求解． 【详解】解：∵a是有理数 ∴可为正数、负数、零 由绝对值的非负性可知： ∴ 即：的最小值是 故选：C 【点睛】本题考查绝对值的非负性．熟记相关结论即可． 【变式13-2】（2025七年级上·全国·专题练习）如果为有理数，代数式存在最大值，这个最大值是（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的非负性及代数式最值的求法． 由于绝对值非负，代数式在绝对值最小时取得最大值，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 当时，即，代数式取得最大值． 故选：C． 【变式13-3】若有理数a，b满足|a﹣20|+|b+19|＝0，则|a|﹣|b|＝　 　． 【答案】1． 【分析】由绝对值的非负性，求出a＝20，b＝﹣19，然后代入计算，即可得到答案． 【详解】解：∵|a﹣20|+|b+19|＝0， ∴a﹣20＝0，b+19＝0， ∴a＝20，b＝﹣19， ∴|a|﹣|b| ＝|20|﹣|﹣19| ＝20﹣19 ＝1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性，掌握绝对值的非负性是关键． 题型14 利用绝对值解决实际问题 【例14】（25-26七年级上·湖南常德·期中）如图，检测4个足球，超过标准质量的克数记为正数，从轻重的角度看，最接近标准质量的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值以及正负数的应用，掌握正数和负数的概念和绝对值的性质是解题的关键． 先求出每个数的绝对值，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可． 【详解】解：∵，，，，， ∴最接近标准质量的是． 故选：C． 【技巧归纳】 本题中用绝对值的大小表示产品直径与标准直径的接近程度，由绝对值的几何意义，可知一个数的绝对值越小，其在数轴上对应的点距离原点越近，在这个实际问题中，绝对值越小表示产品直径的尺寸与标准直径的尺寸偏差越小. 【变式14-1】在航天零件制造中，先进的算法的应用，极大地提高了零件的制造精度．下面是某航天零件制造车间四台运用算法的机床生产的火箭发动机零件的误差数据，其中精确程度最高的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】零件误差的精确程度由误差的绝对值决定，误差的绝对值越小，精确程度越高，只需计算各选项误差的绝对值并比较大小，即可得到结果． 【详解】解：∵ 误差的精确程度由误差的绝对值决定，绝对值越小，精确程度越高， ∵ ，，， ， 又∵ ， ∴ 的误差绝对值最小，精确程度最高． 【变式14-2】某商品的质量按照“超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数”．下面四个零件中，最接近标准质量的是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出每个数的绝对值，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可． 【详解】解：∵， ∴最接近标准质量的是选项C． 【变式14-3】（24-25七年级上·全国·随堂练习）某工厂生产一批零件，根据零件质量要求，零件的长度可以有的误差，现抽查5个零件，检查数据（超过规定长度的厘米数记作正数，不足规定长度的厘米数记作负数，单位：）如下： 零件号数 ① ② ③ ④ ⑤ 数据 (1)符合要求的零件是哪几个？ (2)这5个零件中质量最好的是哪一个？ 【答案】(1)①③④号零件符合要求 (2)③号零件质量最好 【分析】本题考查了正负数，绝对值． （1）根据题意，超过部分为正，不足部分为负，绝对值小于的产品符合要求； （2）根据绝对值越小，与规定直径的偏差越小，它们中绝对值最小的是质量最好的，从而得出答案． 【详解】（1）解：①， ②， ③， ④， ⑤， 故①③④号零件符合要求； （2）解：因为， 所以③号零件质量最好． 题型15 数轴、相反数、绝对值的综合应用 【例15】如图，数轴的单位长度为1，点表示的数是． (1)在数轴上用0标出原点； (2)写出点B表示的数； (3)在数轴上找一点，使它与点的距离为个单位长度，那么点表示什么数？ 【答案】(1)见解析 (2)点表示3 (3)点表示的数为或． 【分析】本题考查了数轴．熟练掌握数轴上的点表示数，是解题的关键． （1）根据点A表示的数为来确定原点； （2）根据点B在原点右侧3个单位长度处回答； （3）分点C在点B左侧和右侧两种情况解答． 【详解】（1）解：如图，∵点A表示的数是， ∴原点在点A右侧4个单位长度处， 用0表示出原点． ； （2）解：∵点B在原点右侧3个单位长度处， ∴点B表示的数为3． （3）解：∵，点B表示的数为3， ∴当点C在点B左侧时，点C表示的数为， 当点C在点B右侧时，点C表示的数为， 故点表示的数为或． 【技巧归纳】 1、相反数所对应的点在原点的两侧，到原点的距离的相等，绝对值表示数轴上点到原点距离； 2、|a-b | 代表数轴 a、b 两点间距； 3、求最值：定点分区间分段判断； 【变式15-1】如图，图中数轴的单位长度为1，请回答下列问题： (1)如果点A，B表示的数互为相反数，那么点C表示的数是 ； (2)如果点B，E表示的数互为相反数，那么点D表示的数的绝对值是 ；求出此时图中所示的5个点所表示的有理数． 【答案】(1)； (2)5；点A表示的数为，点B表示的数为4；点C表示的数为0，点D表示的数为，点E表示的数为． 【分析】本题考查数轴、相反数、绝对值，解答关键是确定原点的位置． （1）根据互为相反数的两个数到原点的距离相等确定原点位置求解即可； （2）同（1）方法确定原点位置，再根据各点的位置即可求解． 【详解】（1）解：∵点A、B表示的数是互为相反数， ∴原点为线段的中点， ∵点C在原点左边一格位置， ∴点C表示的数是， 故答案为：； （2）解：∵点B、E表示的数是互为相反数， ∴原点为线段中点，即为点C， 点D距离点C5个单位， ∴点D表示的数的绝对值为5； 此时点A表示的数为，点B表示的数为4；点C表示的数为0，点D表示的数为，点E表示的数为． 故答案为：5． 【变式15-2】我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离可用绝对值表示为 ，结果是 ； (2)数轴上点A用数a表示，则表示 ；若，则 ； (3)数轴上点A用数a表示，则表示 ；若，则 ； 【答案】(1)， (2)在数轴上表示数a的点和表示数3的点之间的距离，5或1 (3)在数轴上表示数a的点和表示数的点之间的距离，或 【分析】根据数轴上两点之间的距离公式直接计算或者列方程，结合绝对值的几何意义解方程即可． 【详解】（1）解：数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离可用绝对值表示为或，或，故结果是8； （2）解：表示：在数轴上表示数a的点和表示数3的点之间的距离， 若，则或； （3）解：表示：在数轴上表示数a的点和表示数的点之间的距离，若，则或． 【变式15-3】（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段检测）阅读下列材料，回答问题． 经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，我们可以把这称之为绝对值的几何意义．同理，可以表示5与之差的绝对值，也可以表示5与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探究： (1) 表示数轴上 与 所对应的两点之间的距离． (2)表示数轴上有理数x所对应的点与 所对应的两点之间的距离；表示数轴上有理数x所对应的点与 所对应的两点之间的距离． (3)利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数x，使得． 【答案】(1)， (2)， (3)这样的整数x有，，0，1，2 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，绝对值的意义等知识，掌握两点间的距离公式，是解题的关键． （1）根据两点间的距离公式，进行作答即可； （2）根据两点间的距离公式，进行作答即可； （3）根据两点间的距离，由可得到x在到2之间，即可得出结论． 【详解】（1）解：表示数轴上与所对应的两点之间的距离； 故答案为：，； （2）解：表示数轴上有理数x所对应的点到3所对应的点之间的距离； 表示数轴上有理数x所对应的点到所对应的点之间的距离； 故答案为：，． （3）解：表示x到之间的距离与x到2之间的距离的和为4， ∵到2之间的距离为4， ∴x在到2之间， ∴这样的整数x有，，0，1，2． 1．（25-26七年级上·湖南娄底·阶段检测）如图，数轴上点表示的数是（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查的是利用数轴上的点表示有理数，根据点在数轴上的位置可得答案. 【详解】解：由点的位置可得：数轴上点表示的数是. 故选：D 2．（25-26七年级上·河南商丘·阶段检测）下列各组数中，互为相反数的一组是（   ） A．和2 B．和 C．和 D．2和 【答案】A 【分析】本题主要考查相反数的定义，熟练掌握“互为相反数的两数绝对值相等、符号相反”是解题的关键．根据相反数的定义：绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数，逐一分析选项． 【详解】解：A．和2是互为相反数，故符合题意； B．和不是互为相反数，故不符合题意； C．和不是互为相反数，故不符合题意； D．2和不是互为相反数，故不符合题意； 故选：A． 3．（22-23九年级上·湖南长沙·期末）若，则一定是（   ） A．负数 B．正数 C．非负数 D．非正数 【答案】D 【详解】解：∵ ， 当时，，不满足条件； 当时，，满足条件； 当时，，满足条件； ∴，即x为非正数． 4．（25-26七年级上·黑龙江鹤岗·阶段检测）数轴上点A表示的数是，将点A向右移动5个单位长度后，再向左移动3个单位长度，此时点A表示的数是（   ） A．0 B．1 C．-1 D．6 【答案】A 【分析】本题考查数轴，掌握数轴定义及数轴上点的平移是解决问题的关键．利用数轴性质、数轴上点的平移知识即可求解． 【详解】解：， 故选A 5．如图，在一条不完整的数轴上，标出A、B、C、D四点，若B点表示的数为正数，则可以是原点的为（     ） A．点A B．点C C．点D D．点A或点C 【答案】A 【详解】解：∵B点表示的数为正数， ∴原点在B点的左边， ∴可以是原点的为点A． 6．（25-26七年级上·湖南衡阳·阶段检测）一个非负数与它的相反数在数轴上对应点间的距离为8个单位长度，则这个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相反数的定义，有理数与数轴，互为相反数的两个数在数轴上与原点的距离相等，据此求出该非负数与原点的距离即可得到答案． 【详解】解：∵一个非负数与它的相反数在数轴上对应点间的距离为8个单位长度， ∴这个非负数与原点的距离为， ∴这个非负数是， 故选：C． 7．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）若为有理数，式子存在最大值，则这个最大值是（   ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的非负性． 根据绝对值的非负性作答即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴． 故选：A． 8．（25-26七年级上·江西萍乡·期末）正方形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别为0和1，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；则翻转2025次后，数轴上数2026所对应的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，图形类的规律探索，找到变化规律是解答的关键． 根据题意找到规律：对应的数是，对应的数是，对应的数是，对应的数是，每次翻转为一循环，进而可求解． 【详解】解：在翻转过程中，对应的数是，对应的数是，对应的数是，对应的数是， 依此类推，可知每次翻转为一循环， ， 所对应的点是B， 故选：B． 9．（25-26七年级上·吉林·阶段检测）下列各数：0.01，10，，，0，其中非负数共有_____个 【答案】4 【分析】本题考查了有理数的分类、化简多重符号、求绝对值，先将化简，再根据非负数的定义即可得解． 【详解】解：， 故非负数为：0.01，10，0，，共4个， 故答案为：4． 10．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段检测）已知，则的值是___________． 【答案】 【分析】本题考查相反数，化简多重符号，根据互为相反数的两个数的和为0，得到，然后化简多重符号即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为： 11．（25-26七年级上·湖南湘西·阶段检测）如图，一滴墨水洒在一个数轴上，根据图中标出的数值．判断墨迹盖住的整数个数是_____． 【答案】10 【分析】本题主要考查了数轴上表示有理数， 先确定数轴上被盖住的整数，进而得出答案． 【详解】解：被盖住的整数有， 一共有10个． 故答案为：10． 12．（24-25七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，数轴的单位长度为1，数轴上有A，B，C三个点，若点A，B到原点的距离相等，则点C表示的数是______． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，熟练掌握数轴上点的特征，能够通过题意确定数轴的原点是解本题的关键，根据题意：之间的距离为个单位长度，点、到原点的距离相等，得出点表示的数为，点表示的数为，再结合数轴，即可得出点表示的数． 【详解】解：∵之间的距离为个单位长度，点、到原点的距离相等， ∴点、表示的数的绝对值相等， ∵， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∴点在原点的左侧个单位长度处， ∴点表示的数为． 故答案为：． 13．（23-24七年级上·湖南永州·期中）画一条数轴，并标出表示下列各数的点：，1.5，，4，0， 【答案】见解析 【分析】本题主要考查数轴上的点与有理数的关系，注意画数轴时数轴的三要素缺一不可． 【详解】解:如图所示．    14．（25-26七年级上·全国·随堂练习）化简下列各数： ，，，，，． 【答案】；；；15；7；9 【分析】本题主要考查了化简绝对值．解题的关键是熟练掌握绝对值的性质．正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 根据化简多重符号的方法和步骤，负数的绝对值是它的相反数逐个化简即可解答； 【详解】解： ． 15．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)10 (2)0 【分析】本题考查了绝对值的定义，解题的关键是按照运算顺序依次计算． （1）先根据绝对值的性质计算各数的绝对值，再算减法运算即可； （2）先根据绝对值的性质计算各数的绝对值，再利用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解：原式=； （2）解：原式=． 16．如图，在数轴上有三个点A、B、C，请回答下列问题． (1)A、B、C三点分别表示 、 、 ； (2)将点B向左平移3个单位长度，点B所表示的数是 ； (3)将点A平移个单位长度，点A所表示的数是 ． 【答案】(1)3 (2) (3)或 【分析】（1）根据各点在数轴上的位置即可得出结论； （2）根据数轴上点移动的规律“左减右加”,即可得出结论； （3）根据数轴上点移动的规律“左减右加”,即可得出结论． 【详解】（1）解：根据数轴可得，点A、B、C三点表示的数分别为3； 故答案为：3 （2）∵， ∴将点B向左移动3个单位长度后，点B所表示的数是． 故答案为：； （3）将点A向右平移个单位长度，点A所表示的数是，将点A向左平移个单位长度，点A所表示的数是． 故答案为：或． 17．（24-25七年级上·山西临汾·阶段检测）试管是化学实验室中用于少量试剂的反应容器，某工厂在生产某种规格的试管时，规定：超过规格的记为“+”，不足规格的记为“”，在一次抽检中，小悦从该规格试管的包装箱中任取了8根试管，对其进行了测量，测量数据如下表： 试管序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 超过或不足长度/mm (1)表中8个数，哪些数互为相反数（填序号即可）？ (2)在这8根试管中，从长度的角度看，最接近规格的是哪一根试管？并说明理由． 【答案】(1)互为相反数的有②与③，①与⑥，⑤与⑧ (2)最接近规格的是⑦号试管．理由见解析 【分析】本题主要考查绝对值以及相反数的定义，熟练掌握绝对值和相反数是解题的关键． （1）根据相反数的定义即可得到答案； （2）根据绝对值的定义进行判断即可． 【详解】（1）解：互为相反数的有②与③，①与⑥，⑤与⑧ （2）解：最接近规格的是⑦号试管． 理由：，，，，． 因为，所以最接近规格的是⑦号试管． 18．根据给出的数轴及已知条件，解答下面的问题： 已知点A，B，C表示的数分别为1，，，观察数轴． （1）B，C两点之间的距离为______． （2）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则与B点重合的点表示的数是______． （3）若数轴上P，Q两点间的距离为m（P在Q左侧），表示数n的点到P，Q两点的距离相等，则将数轴折叠，使得P点与Q点重合时，Q点代表的数是______（用含m，n的式子表示这个数）． 【答案】 【分析】本题考查数轴的性质，关键在理解数轴对称求解对称点及距离的方法． （1）两点之间的距离，可用表示较大点的数减去较小点的数，即可； （2）依据两点重合，可知对称点，然后按照距离相等，即可求解； （3）如图可知中点的数为，又之间距离为即可求解． 【详解】解：①点表示的数为；点表示的数为； ∴、两点之间距离为：； 故答案为：； ②∵ 点A与点C重合，点A表示的数为，点表示的数为； ∴ 点A与点C的对称点表示的数为：； ∴ 与点重合点表示的数为：； 故答案为：； ③由题知，数轴上两点间的距离为； ∵表示数的点到两点的距离相等， ∴  点、中点表示的数为； ∴ 表示数的点到点的距离为：； ∵在左侧， ∴ 点代表的数为：． 故答案为：． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 数轴、相反数与绝对值 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型 1 数轴的三要素 题型 2 用数轴上的点表示有理数 题型 3 利用数轴求两点之间的距离 题型 4 利用数轴上两点之间的距离求点表示的数 题型 5 利用数轴解决实际问题 题型 6 相反数的定义 题型 7 利用相反数的概念求值 题型 8 多重符号的化简 题型 9 相反数与两点之间的距离的应用 题型 10 相反数与点的移动 题型 11 求一个数的绝对值 题型 12 已知绝对值求数 题型 13 绝对值非负性的应用 题型 14 利用绝对值解决实际问题 题型 15 数轴、相反数、绝对值的综合应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 数轴、原点、正方向、单位长度、相反数、绝对值、非负数、非正数 1.掌握数轴三要素，能规范画出数轴，会在数轴上表示有理数，能读出数轴上点对应的数。 2.理解相反数的概念，知道互为相反数的两数符号不同、绝对值相等，会求任意有理数的相反数；掌握多重符号化简方法。 3.理解绝对值的几何意义与代数意义，会求有理数的绝对值；明确任何数的绝对值都是非负数。 4.结合数轴理解相反数、绝对值的几何含义，能利用数轴解决简单数形结合题型。 学习重点：数轴的三要素，有理数与数轴上点的对应关系；相反数的概念、多重符号化简；绝对值的概念，求一个数的绝对值。 学习难点：理解绝对值的几何意义；已知一个数的绝对值，反求这个数（双解问题）；绝对值是非负数，灵活运用 | a|≥0 解题。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 数轴 ◆1、数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴. ◆2、画数轴的步骤： （1）画直线，取原点：在直线上任取一点表示数 0，这个点叫做原点； （2）标正方向：通常规定直线上从原点向右 (或上) 为正方向，从原点向左 (或下) 为负方向； （3）选取单位长度，标数：选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示 1，2，3，···；从原点向左，用类似方法依次表示 -1，-2，-3，···. ◆3、画数轴的注意事项： (1) 原点、单位长度和正方向三要素缺一不可； (2) 直线一般是水平的； (3) 正方向用箭头表示，一般取从左到右； (4) 取单位长度应结合实际需要，但要做到刻度均匀. ◆4、数轴上的点与有理数的关系 （1）任意一个有理数都可以用数轴上的点来表示；但数轴上的点都不表示有理数. （2）数轴上原点右边的数是正数，原点左边的数是负数，0 是正、负数的分界线. （3）一般地，设 a 是一个正数，则数轴上表示数 a 的点在原点的右边，与原点的距离是 a个单位长度；表示数- a 的点在原点的左边，与原点的距离是a 个单位长度． 即时即练如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（    ） A．0.5 B． C． D． 知识点02 相反数 ◆1、相反数的定义： 像 2和﹣2，3和﹣3 这样只有符号不同的两个数叫做相反数.（代数意义） 一般地，a 和 -a 互为相反数. ◆2、相反数的几何意义： （1）互为相反数的两个数分别位于原点的两侧 (0 除外)； （2）互为相反数的两个数到原点的距离相等； （3）一般地，设 a 是一个正数，数轴上与原点的距离是a 的点有两个，它们分别在原点的两侧，表示 数 ﹣a 和 a，我们说这两点关于原点对称. ◆3、相反数的性质： 任何一个数都有相反数，而且只有一个，正数的相反数是负数；0的相反数是0；负数的相反数是正数. ◆4、求一个相反数的方法： （1） 求一个数的相反数，只需改变这个数的符号，即可得到这个数的相反数. （2） 求一个字母或一个式子相反数时，只需在这个字母或这个式子的前面加上“﹣”号. ◆5、多重符号的化简 （1）多重符号化简的依据：相反数的定义是多重符号化简的依据．例如：﹣（﹣5）表示﹣5的相反数，所以﹣（﹣5）=5. （1）多重符号的化简 化简多重符号时，只需数一下数字前面有多少个负号，若有偶数个，则结果为正；若有奇数个，则结果为负.简称“奇负偶正”. 即时即练（25-26九年级下·湖南长沙·期中）若的相反数是，则的值是（   ） A． B． C． D． 知识点03 绝对值 ◆1、绝对值的定义：一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值，记作 | a |，读作“a的绝对值”. 【注意】任何数都有绝对值，并且只有一个，数 a 的绝对值是数轴上表示它的点到原点的距离，因为距离不可能是负数，所以数 a 的绝对值 | a |为非负数，即 | a |≥0. ◆2、绝对值的性质： （1）一个正数的绝对值是正数；一个负数的绝对值是正数； 0 的绝对值是 0. （2）字母 a 表示一个有理数，则 （3）在数轴上，表示一个数的点离原点越近，这个数的绝对值越小；离原点越远，这个数的绝对值越大. （4）互为相反数的两个数的绝对值相等；绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数. （5）几个非负式的和为 0，则这几个式子都为 0. 即时即练 3的相反数的绝对值是（　　） A．3 B． C．﹣3 D． 题型1 数轴的三要素 【例1】（25-26七年级上·湖南邵阳·期中）如图所示的图形是四位同学画的数轴，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴，原点、单位长度和正方向三要素缺一不可. 【变式1-1】（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26九年级上·湖南岳阳·阶段检测）下列数轴画法规范的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24七年级上·四川眉山·阶段检测）如图所示，所画数轴完全正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型2 用数轴上的点表示有理数 【例2】（2026·湖南怀化·二模）如图，数轴上表示3的点是（    ） A．M B．N C．P D．Q 【技巧归纳】 1、任意一个有理数都可以用数轴上的点来表示；但数轴上的点都不表示有理数. 2、数轴上原点右边的数是正数，原点左边的数是负数，0 是正、负数的分界线. 【变式2-1】如图，数轴上，，，四个点中，表示的点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式2-2】如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（    ） A．0.5 B． C． D． 【变式2-3】在图中将数轴补充完整，并将下列各数在数轴上表示出来： ，，，，，， 题型3利用数轴求两点之间的距离 【例3】已知数轴上、两点分别表示的数为和5，则、两点间的距离为（    ） A． B． C．2 D．8 【技巧归纳】 求数轴上任意两点之间的距离就是求两点之间有多少个单位长度，可借助画数轴加深理解. 【变式3-1】（24-25七年级上·湖南益阳·期末）在数轴上表示的点与表示3的点之间的距离是（   ） A．5 B． C．1 D． 【变式3-2】（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）数轴上表示和7的两点之间的距离是（    ） A．4 B． C．10 D． 【变式3-3】（25-26七年级上·湖南长沙·期中）已知与2互为相反数，且它们在数轴上分别对应，两点，则，两点的距离为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 题型4利用数轴上两点之间的距离求点表示的数 【例4】（25-26七年级上·山东德州·阶段检测）在数轴上，绝对值相等的两个数对应的点之间的距离为4，则这两个数分别是（   ） A．4和 B．2和 C．2和 D．4和 【技巧归纳】 1、由于点的位置不确定，要借助数轴进行分类讨论，分在已知点的左侧和右侧两种情况. 2、确定符号和距离，确定距离时要表示所对应的点距原点几个单位长度. 【变式4-1】（25-26七年级上·湖南长沙·阶段检测）已知点和点在同一数轴上，点表示数2，又已知点和点相距5个单位长度．则点表示的数是（　　） A．3 B． C．3或 D．或7 【变式4-2】（25-26七年级上·广东揭阳·阶段检测）在数轴上，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是，那么点B表示的数是（    ） A．﹣1 B．2 C．0 D．1 【变式4-3】已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面． (1)若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与数______表示的点重合； (2)若表示的点与3表示的点重合，回答以下问题： ①6表示的点与数______表示的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，写出A、B两点表示的数是多少？ 题型5 利用数轴解决实际问题 【例5】如图，数轴的一个单位长度为1，将一把直尺放在数轴上，直尺上0和7分别对应数轴上的数为和，则所表示的数是（   ） A．2 B．5 C．10 D．12 【技巧归纳】 数形结合解决实际问题，有理数和数轴上的点的关系是数形结合的体现，数轴能直观的反映出点与点之间的关系. 【变式5-1】（23-24七年级上·湖南岳阳·期中）点为数轴上表示的点，点离点的距离为4个单位长度，则点点表示的数是（ ） A．1 B． C．7或 D．1或 【变式5-2】（24-25七年级上·山西太原·阶段检测）如图，在数轴上点表示的数是3，点被墨水遮住了，已知，则点表示的数为__________． 【变式5-3】快递员骑电动车从物流公司出发，先向西行驶3km到达A小区，继续向西行驶1km到达B小区，然后向东骑行8km到达C小区最后回到物流公司． （1）以物流公司为原点，向东方向为正方向，用1cm表示1km，在如图中画出数轴，并在该数轴上表示A，B，C三个小区的位置． （2）C小区离A小区有多远？ （3）求快递员一共骑行的路程． 题型6 相反数的定义 【例6】﹣2024的相反数是（    ） A．2024 B． C． D．1 【技巧归纳】 数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号．只有符号不同的两个数叫做互为相反数，一般地，a 和 -a 互为相反数. 【变式6-1】（2026·湖南邵阳·一模）2026的相反数是（     ） A． B．2 C． D． 【变式6-1】如图，数轴上点P表示的数的相反数是（   ） A． B．-1 C．0 D． 【变式6-3】（25-26七年级上·广东潮州·期末）下列各组数中，互为相反数的是（   ） A． 与3 B．3与 C． 与 D．3与 题型7利用相反数的概念求值 【例7】如果a与1互为相反数，那么a＝（　　） A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1 【技巧归纳】 求一个数的相反数，只需改变这个数的符号，即可得到这个数的相反数. 【变式7-1】如果a与﹣3互为相反数，则a等于（　　） A． B．3 C． D．﹣3 【变式7-2】如果a与﹣2024互为相反数，那么a的值是（　　） A．﹣2024 B． C． D．2024 【变式7-3】已知+（）的相反数是x，﹣（+3）的相反数是y，z相反数是z，求x+y+z的相反数． 题型8 多重符号的化简 【例8】（24-25七年级上·山东济宁·期中）下列化简，正确的是（　　） A． B． C． D． 【技巧归纳】 多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正． 【变式8-1】（2025七年级上·全国·专题练习）化简：_______． 【变式8-2】（24-25七年级上·湖南怀化·期中）下面各组数中：①和；②和；③和；④和；⑤和；⑥和．互为相反数的是 _________（填序号）． 【变式8-3】化简： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 题型9 相反数与两点之间的距离的应用 【例9】（25-26七年级上·陕西咸阳·阶段检测）已知点，在数轴上表示的数互为相反数，且两点间的距离是11，点在点的左侧，则点表示的数为（  ） A． B． C．6 D．5.5 【技巧归纳】 如果一个数在数轴上的对应点与它的相反数在数轴上的对应点间的距离是a个单位长度,那么这两个点到原点的距离就等于a÷2，再根据点的位置确定对应 的数. 【变式9-1】如图，数轴上有A，B，C三点，若点A，C到原点的距离相等，数轴的单位长度为1，则点B表示的数是（　　） A．1 B．0 C． D． 【变式9-2】该数轴的原点为，向右为正方向．若点A，C所表示的数互为相反数，则该数轴的原点对应直尺上的刻度为______． 【变式9-3】（23-24七年级上·湖南长沙·阶段检测） 用尺子画出数轴并回答： （1）把下列各数表示在数轴上：； （2）上述数中互为相反数的一组数是 ，它们之间有 个单位长度，它们关于 对称． 题型10相反数与点的移动 【例10】数轴上的点A表示的数是a，点A在数轴上向右平移了8个单位长度后得到点B，若点A和点B表示的数恰好互为相反数，则a是（　　） A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4 【技巧归纳】 互为相反数的两个数在数轴上的对应点应位于原点两侧，且到原点的距离相等。点在数轴上的移动要明确移动的方向和移动的距离. 【变式10-1】如图所示，数轴上一动点A向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动5个单位长度到达点C．若点C表示的数是1，则与点A表示的数互为相反数的是（   ） A． B．2 C． D．24 【变式10-2】一个数在数轴上所对应的点向左移动2020个单位长度后，得到它的相反数对应的点，则这个数是　 　． 【变式10-3】在数轴上，点A表示数8，点B，C表示互为相反数的两个数，且点C和点A之间的距离为3，求点B，C所表示的数． 题型11求一个数的绝对值 【例11】（25-26九年级下·湖南邵阳·阶段检测）王老师本月体重较上月减少了，记作，的绝对值为（     ） A． B．2 C． D． 【技巧归纳】 利用绝对值的性质求一个数的绝对值，一个正数的绝对值是正数；一个负数的绝对值是正数； 0 的绝对值是 0. 【变式11-1】（2026·四川宜宾·中考真题）的绝对值是（     ） A． B． C． D． 【变式11-2】2024相反数的绝对值是（   ） A． B． C．2024 D． 【变式11-3】（25-26七年级上·湖南张家界·期末）的绝对值是___________． 题型12已知绝对值求数 【例12】若一个数的绝对值是5，则这个数是（　　） A．5 B．-5 C．±5 D．0或5 【技巧归纳】 若绝对值等于正数，解为正负两数； 若绝对值等于 0，解只有 0； 【变式12-1】（23-24七年级上·全国·单元测试）若一个数的绝对值是2019，则这个数是（   ） A． B． C． D．以上都不对 【变式12-2】一个数的绝对值是4，则这个数是______． 【变式12-3】一个数的绝对值是，则这个数是_____． 题型13 绝对值非负性的应用 【例13】（24-25七年级上·湖南长沙·期末），则a和b各为（    ） A．， B．1，3 C．1， D．，3 【技巧归纳】 1、数a 的绝对值 | a |为非负数，即 | a |≥0. 2、几个非负式的和为 0，则这几个式子都为 0. 【变式13-1】（23-24七年级上·四川绵阳·阶段检测）若a是有理数，则的最小值是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式13-2】（2025七年级上·全国·专题练习）如果为有理数，代数式存在最大值，这个最大值是（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【变式13-3】若有理数a，b满足|a﹣20|+|b+19|＝0，则|a|﹣|b|＝　 　． 题型14 利用绝对值解决实际问题 【例14】（25-26七年级上·湖南常德·期中）如图，检测4个足球，超过标准质量的克数记为正数，从轻重的角度看，最接近标准质量的是（　　） A． B． C． D． 【技巧归纳】 本题中用绝对值的大小表示产品直径与标准直径的接近程度，由绝对值的几何意义，可知一个数的绝对值越小，其在数轴上对应的点距离原点越近，在这个实际问题中，绝对值越小表示产品直径的尺寸与标准直径的尺寸偏差越小. 【变式14-1】在航天零件制造中，先进的算法的应用，极大地提高了零件的制造精度．下面是某航天零件制造车间四台运用算法的机床生产的火箭发动机零件的误差数据，其中精确程度最高的是（     ） A． B． C． D． 【变式14-2】某商品的质量按照“超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数”．下面四个零件中，最接近标准质量的是（    ） A．B． C． D． 【变式14-3】（24-25七年级上·全国·随堂练习）某工厂生产一批零件，根据零件质量要求，零件的长度可以有的误差，现抽查5个零件，检查数据（超过规定长度的厘米数记作正数，不足规定长度的厘米数记作负数，单位：）如下： 零件号数 ① ② ③ ④ ⑤ 数据 (1)符合要求的零件是哪几个？ (2)这5个零件中质量最好的是哪一个？ 题型15 数轴、相反数、绝对值的综合应用 【例15】如图，数轴的单位长度为1，点表示的数是． (1)在数轴上用0标出原点； (2)写出点B表示的数； (3)在数轴上找一点，使它与点的距离为个单位长度，那么点表示什么数？ 【技巧归纳】 1、相反数所对应的点在原点的两侧，到原点的距离的相等，绝对值表示数轴上点到原点距离； 2、|a-b | 代表数轴 a、b 两点间距； 3、求最值：定点分区间分段判断； 【变式15-1】如图，图中数轴的单位长度为1，请回答下列问题： (1)如果点A，B表示的数互为相反数，那么点C表示的数是 ； (2)如果点B，E表示的数互为相反数，那么点D表示的数的绝对值是 ；求出此时图中所示的5个点所表示的有理数． 【变式15-2】我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离可用绝对值表示为 ，结果是 ； (2)数轴上点A用数a表示，则表示 ；若，则 ； (3)数轴上点A用数a表示，则表示 ；若，则 ； 【变式15-3】（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段检测）阅读下列材料，回答问题． 经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，我们可以把这称之为绝对值的几何意义．同理，可以表示5与之差的绝对值，也可以表示5与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探究： (1) 表示数轴上 与 所对应的两点之间的距离． (2)表示数轴上有理数x所对应的点与 所对应的两点之间的距离；表示数轴上有理数x所对应的点与 所对应的两点之间的距离． (3)利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数x，使得． 1．（25-26七年级上·湖南娄底·阶段检测）如图，数轴上点表示的数是（    ） A．2 B． C．1 D． 2．（25-26七年级上·河南商丘·阶段检测）下列各组数中，互为相反数的一组是（   ） A．和2 B．和 C．和 D．2和 3．（22-23九年级上·湖南长沙·期末）若，则一定是（   ） A．负数 B．正数 C．非负数 D．非正数 4．（25-26七年级上·黑龙江鹤岗·阶段检测）数轴上点A表示的数是，将点A向右移动5个单位长度后，再向左移动3个单位长度，此时点A表示的数是（   ） A．0 B．1 C．-1 D．6 5．如图，在一条不完整的数轴上，标出A、B、C、D四点，若B点表示的数为正数，则可以是原点的为（     ） A．点A B．点C C．点D D．点A或点C 6．（25-26七年级上·湖南衡阳·阶段检测）一个非负数与它的相反数在数轴上对应点间的距离为8个单位长度，则这个数是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）若为有理数，式子存在最大值，则这个最大值是（   ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 8．（25-26七年级上·江西萍乡·期末）正方形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别为0和1，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；则翻转2025次后，数轴上数2026所对应的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 9．（25-26七年级上·吉林·阶段检测）下列各数：0.01，10，，，0，其中非负数共有_____个 10．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段检测）已知，则的值是___________． 11．（25-26七年级上·湖南湘西·阶段检测）如图，一滴墨水洒在一个数轴上，根据图中标出的数值．判断墨迹盖住的整数个数是_____． 12．（24-25七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，数轴的单位长度为1，数轴上有A，B，C三个点，若点A，B到原点的距离相等，则点C表示的数是______． 13．（23-24七年级上·湖南永州·期中）画一条数轴，并标出表示下列各数的点：，1.5，，4，0， 14．（25-26七年级上·全国·随堂练习）化简下列各数： ，，，，，． 15．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 16．如图，在数轴上有三个点A、B、C，请回答下列问题． (1)A、B、C三点分别表示 、 、 ； (2)将点B向左平移3个单位长度，点B所表示的数是 ； (3)将点A平移个单位长度，点A所表示的数是 ． 17．（24-25七年级上·山西临汾·阶段检测）试管是化学实验室中用于少量试剂的反应容器，某工厂在生产某种规格的试管时，规定：超过规格的记为“+”，不足规格的记为“”，在一次抽检中，小悦从该规格试管的包装箱中任取了8根试管，对其进行了测量，测量数据如下表： 试管序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 超过或不足长度/mm (1)表中8个数，哪些数互为相反数（填序号即可）？ (2)在这8根试管中，从长度的角度看，最接近规格的是哪一根试管？并说明理由． 18．根据给出的数轴及已知条件，解答下面的问题： 已知点A，B，C表示的数分别为1，，，观察数轴． （1）B，C两点之间的距离为______． （2）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则与B点重合的点表示的数是______． （3）若数轴上P，Q两点间的距离为m（P在Q左侧），表示数n的点到P，Q两点的距离相等，则将数轴折叠，使得P点与Q点重合时，Q点代表的数是______（用含m，n的式子表示这个数）． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $