【第一章 有理数 02讲 数轴、相反数与绝对值】暑假小升初衔接讲义2025-2026学年七年级上册数学（湘教版2024）

第一章 有理数 02讲 数轴、相反数与绝对值目录 【知识点1. 数轴】…………………………………………………………………… 1 【知识点2. 相反数】………………………………………………………………… 4 【知识点3. 绝对值】………………………………………………………………… 6 【题型1. 数轴的三要素及其画法】………………………………………………… 10 【题型2. 用数轴上的点表示有理数】……………………………………………… 11 【题型3. 数轴上两点之间的距离】………………………………………………… 12 【题型4. 数轴上的动点问题】……………………………………………………… 13 【题型5. 数轴上的规律探究】……………………………………………………… 15 【题型6. 相反数的定义】…………………………………………………………… 16 【题型7. 相反数的性质及应用】…………………………………………………… 17 【题型8. 相反数中多重符号的化简】……………………………………………… 19 【题型9. 绝对值的概念】…………………………………………………………… 19 【题型10. 求一个数的绝对值】……………………………………………………… 20 【题型11. 绝对值的非负性】………………………………………………………… 20 【题型12. 绝对值的应用】…………………………………………………………… 22 【题型13. 绝对值中的最值问题】…………………………………………………… 23 【课后作业】……………………………………………………………………………… 25 知识清单 1、数轴 1)数轴定义:在数学中,可以用一条直线上的点表示数,它满足以下要求: ①原点:在直线上任取一个点表示数,这个点叫做原点;原点是数轴的基准点. ②正方向:通常规定直线上从原点向右(或上)为正方向,从原点向左(或下)为负方向. ③选取适当的长度为单位长度,则从原点向右,距原点1个单位长度的点表示1,距原点2个单位长度的点表示2,……;从原点向左,距原点1个单位长度的点表示-1,距原点2个单位长度的点表示-2,……. 像这样,规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 原点、正方向和单位长度是数轴的三要素. 原点将数轴分为两部分,其中正方向一侧的部分叫数轴的正半轴,另一侧的部分叫数轴的负半轴。 2)数轴的画法 ①画一条水平的直线(一般画水平的数轴); ②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点; ③确定向右的方向为正方向,用箭头表示; ④选取适当的长度作单位长度,用细短线画出,并对应标注各数,同时要注意同一数轴的单位长度要一致。 3)有理数与数轴的关系 ①一切有理数都可以用数轴上的点表示出来。 ②数轴上的点并不全是有理数,如也可以在数轴上表示,但并不是有理数。 ③正有理数位于原点的右边,负有理数位于原点的左边。 ④与原点的距离是a(a>0),在数轴上可以是a(存在多解的情况)。 巩固基础 1.下列所画数轴完全正确的是( ) A. B. C. D. 2.以下是四位同学画的数轴,其中正确的是( ) A. B. C. D. 3.已知小红、小刚,小明、小颖四人自南向北依次站在同一直线上,如果把直线看作数轴,四人所在的位置如图所示,则下列描述不正确的是( ) A.数轴是以小明所在的位置为原点 B.数轴采用向北为正方向 C.小刚所在的位置对应的数有可能是 D.小颖和小红间的距离为7 4.如图,数轴上点表示的数是0,点表示的数可能是下列四个数中的( ) A. B. C.2 D.3 5.数轴上,在原点的左侧,且距原点3个单位长度的点表示的数是( ) A. B.3 C. D. 6.如图,将一把损坏的刻度尺贴放在数轴上(数轴单位长度是),刻度尺上“”和“”分别对应数轴上的和0,则数轴上x的值最有可能是( ) A.1.8 B.2 C.2.3 D.5.5 7.下列有关数轴的说法: (1)在画数轴时,原点位置可以任意确定; (2)一般情况下,取向右的方向为数轴的正方向; (3)数轴中的单位长度可根据实际需要任意选取; (4)数轴上的点只能表示整数. 其中正确的有 个. 8.如图,点在数轴上,点 表示的数是 ,点表示的数写成小数是 ,点表示的数写成分数是 . 9.在数轴上到原点距离等于的点表示的数是 . 10.已知数轴上两点对应的数分别为,若在数轴上找一点,使得点的距离为4,再在数轴上找一点D,使得点B,D的距离为1,则的距离为 . 11.补全数轴,并在数轴上表示下列各数.1.5,0.4,,. 12.画一条数轴,并在数轴上标出下列各数,,,,, 知识清单 2、相反数 1)相反数的概念:只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 ①一般地,a与-a互为相反数,a表示任意一个数,可以是正数、负数,也可以是0; ②正数的相反数是负数,负数的相反数是正数,0的相反数是本身; ③相反数是成对出现的(0除外)。 2)相反数的几何意义:互为相反数的两个数(0除外)在数轴上对应的两个点,分别位于原点两侧,且到原点的距离相等。 3)求任意一个数的相反数,只要在这个数的前面添上“”号即可(当然最后结果如果出现多重符号需要化简)。 3、多重符号的化简 1)一个正数前面不管有多少个“”号,都可以全部去掉; 2)一个正数前面有偶数个“”号,也可以把“”号全部去掉; 3)一个正数前面有奇数个“”号,则化简后只保留一个“”号。 口诀“奇负偶正”,其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数,“负、正”是指化简的最后结果的符号。 注意:此判断方法是在没有其它运算的情况下适用,如出现其它运算,要视具体情况而论。 巩固基础 1.的相反数是( ) A.3 B. C. D. 2.如图,数轴上点表示的数的相反数为( ) A.2 B. C. D. 3.下列各组数中,互为相反数的是( ) A.与3 B.3与 C.与 D.与 4.数轴上表示数m和1的点到原点的距离相等,则m为( ) A. B.2 C.1 D. 5.数轴上表示数a和的点到原点的距离相等,则a为( ) A. B.4 C.2 D. 6.如图,O、A、B、C为数轴上四点,其中O为原点,且,,若C点所表示的数为x,则B点所表示的数为( ) A. B. C. D. 7.已知的相反数是x,的相反数是y,z的相反数是0,则的相反数是 . 8.若a与互为相反数,则a 的值 . 9.计算的结果为 . 10.化简: . 11.化简: . 12.化简下列各数的符号: ; ; ; . 13.化简: (1) ; (2) ; (3) ; (4) . 知识清单 4、绝对值 1)绝对值的概念:一般地,数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值,记作。 2)绝对值的几何意义:一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离。 3)绝对值的代数意义:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;的绝对值是。 即:(1)如果,那么;(2)如果,那么;(3)如果,那么. 可整理为:, 或, 或。 4)绝对值具有非负性,取绝对值的结果总是正数或.即:。 归纳: ①绝对值等于它本身的数是: 非负数 ; ②绝对值大于它本身的数是: 负数 ; ③绝对值等于它的相反数的数是: 非正数 ; ④绝对值最小的有理数是: 0 ; ⑤绝对值最小的正整数是: 1 ; ⑥绝对值最小的负整数是: -1 。 互为相反数的两个数的绝对值相等。 巩固基础 1.在数轴上到原点距离等于5的点所表示的数为( ) A. B. C.5 D.不能确定 2.用数轴上的点表示下列各数,其中与原点距离最近的是( ) A. B. C. D. 3.如图,数轴的单位长度为1,点、、表示的数都是整数,若点和点表示的两个数的绝对值相等,则点表示的数是( ) A. B. C.1 D.2 4.下列式子中,化简结果为5的是( ) A. B. C. D. 5.下列说法正确的是( ) A.2025的绝对值是 B.2025的相反数是 C.2025的倒数是 D.2025的相反数的绝对值是 6.,则a和b各为( ) A., B.1,3 C.1, D.,3 7.若,则( ) A.2 B.7 C.8 D.5 8.检测4个篮球,其中超过标准的克数记为正数,不足的克数记为负数,从轻重的角度看,下列数据更接近标准的是( ) A. B. C. D. 9.某公司抽检盒装牛奶的容量,超过标准容量的部分记为正数,不足的部分记为负数.图中是四盒牛奶的检测数据,小聪很快确定了标注数据为这盒牛奶的容量最接近标准.下列能对小聪的判断作出正确解释的数学概念是( ) A.相反数 B.绝对值 C.倒数 D.正负数 10.若,则 . 11.写出一个负数,使这个数的绝对值大于3: . 12.绝对值大于3且小于5的所有整数的和是 . 13.计算: . 14.的结果是 . 15.的绝对值是 . 16.的相反数是 17.若,则 . 18.已知实数a,b满足则 . 19.数轴上表示数和的点到原点的距离相等,则为 20.如图,直径为1个单位的圆片上有一点与数轴上的原点重合,是圆片的直径.圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数,圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数,依次运动情况记录如下:,运动结束后运动的路程共有 .(保留) 21.已知a,b,c为有理数,且它们在数轴上的对应点的位置如图所示. (1)试判断a,b,c的正负性:a_0;b_0;c_0(用“”“”“”填); (2)根据数轴化简:_;_;_; (3)若,,求a,c的值. 22. 我们知道,可以理解为, 它表示:数轴上表示数a的点到原点的距离,这是绝对值的几何意义,进一步地,数轴上的两个点A,B,分别用数a,b表示,那么A,B两点之间的距离为,反过来,式子的几何意义是:数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离,利用此结论,回答以下问题: (1)数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离是_; (2)数轴上点A用数a表示,若,那么a的值为_; (3)数轴上点A用数a表示,且满足的整数a有_个;有最小值,则最小值是:_. 23.如图,数轴上两点、对应的数分别是、,其中、满足, (1)求、的值,并在数轴上标出、两点; (2)数轴上有一动点,当时,请直接写出点对应的数的值. 直击考点 题型1:数轴的三要素及其画法 例1.图中数轴表示正确的是( ) A. B. C. D. 例2.下列说法: ①数轴上的点只能表示整数; ②数轴是一条线段; ③数轴上的一个点只能表示一个数; ④数轴上找不到既不表示正数,又不表示负数的点;⑤数轴上的点所表示的数都是有理数. 其中正确的有 个. 例3.请把下面不完整的数轴画完整,并在数轴上标出下列各数: ,,4,. 变式1.如图所示,所画数轴完全正确的个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 变式2.下列说法中正确的是( ) A.规定了原点、正方向的直线是数轴 B.数轴上原点及原点左边的点表示的数是非负数 C.数轴上单位长度可以不一致 D.任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的点 变式3.已知有理数:,0,4,,2.5. (1)画出数轴,在数轴上表示出这几个数,并用“”连接起来; (2)这几个有理数中是正数的有_. 变式4.(1)把数轴补充完整; (2)在数轴上表示下列各数:0,,,,; (3)用“>”将这些数连接起来, 题型2:用数轴上的点表示有理数 例1.用数轴上的点表示下列各数,其中与原点距离最近的是( ) A.3 B. C.1 D. 例2.若,则有理数在数轴上对应的点的位置是( ) A. B. C. D. 例3.小宇不小心将墨水滴在了数轴上,使部分数轴被墨迹遮盖,则被遮盖的部分中表示整数的点有( ) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 例4.如图,数轴上点,表示的数互为相反数,该数轴的单位长度是1,则点表示的数是 . 变式1.如图,将一把损坏的刻度尺贴放在数轴上,刻度尺上的“0”和“2”分别对应数轴上的和0,则数轴上x的值最有可能是( ) A. B. C. D. 变式2.如图,正方形的边长为1,在正方形的4个顶点处标上字母,,,,先让正方形上的顶点与数轴上的数所对应的点重合,再让正方形沿着数轴按顺时针方向滚动,那么数轴上的数2024将与正方形上的哪个字母重合( ) A.字母 B.字母 C.字母 D.字母 变式3.如图,已知数轴上点表示的数是2024,且,则点表示的数是 . 变式4.如图,点A在数轴上所表示的数是 . 变式5.数轴上两点对应的数分别是和,则两点之间的整数有 个. 变式6.如图,小冰在写作业时不慎将墨水滴在数轴上,此时墨迹盖住的整数有 个. 题型3:数轴上两点之间的距离 例1.如图,数轴上点表示的数是,则点表示的数是( ) A.2025 B. C. D. 例2.将1在数轴上对应的点向右平移2024个单位,则此时该点对应的数是( ) A.2023 B.2025 C.2026 D. 例3.已知数轴上两点对应的数分别为,若在数轴上找一点,使得点的距离为4,再在数轴上找一点D,使得点B,D的距离为1,则的距离为 . 变式1.在数轴上,点表示的数是,到点距离4个单位的点表示的数是( ) A. B.或 C.9 D. 变式2.已知数轴上的、两点表示的数分别为与5,且,则的值为( ) A.或6 B.2或11 C.2或6 D.6或11 变式3.点A、B在数轴上的位置如图所示,则A、B两点的距离 . 变式4.如图,数轴的单位长度为1,数轴上有A,B,C三个点,若点A,B到原点的距离相等,则点C表示的数是 . 变式5.数轴上,点表示的数为,点表示的数为,点表示的数为,则点,之间的距离为 ,点,之间的距离为 . 题型4:数轴上的动点问题 例1.如图,在数轴上点A表示的数是8,若动点P从原点O出发,以2个单位/秒的速度向左运动,同时另一动点Q从点A出发,以4个单位/秒的速度也向左运动,到达原点后立即以原来的速度返回,向右运动,设运动的时间为t秒. (1)当时,求点Q到原点O的距离; (2)当时,求点Q到原点O的距离; (3)当点Q到点A的距离为4时,求点P到点Q的距离. 变式1.,分别是数轴上两个不同点,所表示的有理数,且,,,两点在数轴上的位置如图所示: (1)试确定数,; (2)若点在数轴上,点到点的距离是点到点距离的,求点表示的数; (3)点从点出发,先向左移动一个单位长度,再向右移动个单位长度,再向左移动个单位长度,再向右移动个单位长度,依次操作次后,求点表示的数. 变式2.如图,在数轴上有A,B,C三个点,请回答下列问题: (1)将点A向左平移5个单位长度,这时的点表示的数是_; (2)怎样移动A,B,C中的两个点,才能使三个点表示相同的数? 变式3.如图,已知数轴上有A,B,C三点,它们表示的数分别是,,4. 点A到点C的距离可以用表示,且. (1)应用: , ; (2)拓展:若点A沿数轴向右以每秒3个单位长度的速度运动,则t秒时点A表示的数是 ,此时, (用含t的式子表示); (3)探究:若点C以每秒2个单位长度的速度向右运动,同时,点A和点B分别以每秒3个单位长度和8个单位长度的速度向左运动,则的值是否随着时间t的变化而改变?若变化,请说明理由;若不变,求出的值. 题型5:数轴上的规律探究 例1.正方形在数轴上的位置如图所示,点,对应的数分别为和,若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转,则在数轴上与2024对应的点是( ). A. B. C. D. 变式1.如图,正六边形(每条边长相等、每个角相等)在数轴上的位置如图所示,点,对应的数分别为,.现将正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转,翻转1次后,点所对应的数为1,像这样连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是( ) A.点 B.点 C.点 D.点 变式2.如图,等边三角形的边在数轴上,现将等边三角形沿着数轴向右翻滚(无滑动),第1次翻滚后点到点位置.若点表示的数为,等边三角形的边长为2,则翻滚2024次后点在数轴上对应的数为( ) A.2024 B.4047 C.4049 D.6071 变式3.如图,周长为4个单位长度的圆上4等分点为,,,,点落在数轴上的2的位置,将圆在数轴上沿负方向滚动,那么圆上落在数轴上的点是( ) A. B. C. D. 题型6: 相反数的定义 例1.下列各数中与2互为相反数的是( ) A. B. C. D. 例2.一个数的相反数是,这个数是 . 变式1.的相反数是( ) A.2024 B. C. D. 变式2.如图,数轴上点与点表示的数是一对相反数,则与原点距离最近的点是( ) A.点 B.点 C.点 D.点 变式3.在数轴上,点与点位于原点的两侧,且到原点的距离相等.若点表示的数为.则点表示的数是 . 题型7:相反数的性质及其应用 例1.如图,数轴上有A,B,C三个点.若点A,B表示的数相加为0,数轴的单位长度为1,则点C对应的数是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 例2.若与互为相反数,则的值为( ) A.3 B. C.0 D.3或 例3.如图,数轴上的点M,P,N,Q分别表示四个有理数,若点M,N表示的有理数互为相反数,则图中表示正数的点的个数是 个. 例4.设与互为相反数,则 . 例5.对于一个数,我们用表示小于的最大整数,例如;如果和互为相反数,那么式子的最大值为 . 变式1.点A、C、O、B在数轴上的位置如图所示,O为原点,,点C对应的有理数是a,若,则点B对应的有理数是( ) A. B. C. D. 变式2.如图是一个正方体的展开图,正方体相对面的数字或代数式互为相反数,则的值为_,的值为_. A.2, B., C.,2 D., 变式3.如果和互为相反数,那么的值是( ) A. B.2019 C.1 D. 变式4.和互为相反数,那么 . 变式5.已知:a与3互为相反数,b的绝对值为最小的正整数,回答以下问题. (1)_,_; (2)已知,求. 变式6.如图所示的数轴的单位长度为.请回答下列问题: (1)如果点、表示的数互为相反数,那么点表示的数是多少? (2)如果点、表示的数互为相反数,那么点、表示的数分别是多少? 题型8:相反数中多重符号的化简 例1.化简: (1) ;(2) ; (3) ;(4) . 例2.填空: (1) . (2) ; . 变式1.化简: , , . 变式2.化简下列各数中的符号. (1) (2) (3) (4) (5) (6) 题型9:绝对值的概念 例1.用数轴上的点表示下列各数,其中与原点距离最远的点表示的数是( ) A.0 B.1 C.2 D. 例2.已知数满足,则不可能为( ) A. B.0 C.1 D.2 例3.若成立,那么x的取值范围是 . 变式1.已知四个有理数在数轴上的对应点,,,的位置如图所示,则这四个点表示的数中,绝对值最大的是( ) A.点表示的数 B.点表示的数 C.点表示的数 D.点表示的数 变式2.若是有理数,则下列说法正确的是( ) A.一定是负数 B.一定是正数 C.一定是负数 D.一定是正数 变式3.绝对值不大于5的整数有 变式4.数轴上表示到原点距离为的数是 题型10:求一个数的绝对值 例1.(1)绝对值是2026的有理数是 . (2)的相反数是 . (3)绝对值是2的数是 . (4)的绝对值是 . 变式1.(1)绝对值是的负数为 . (2)如果,那么 . (3) , , . (4)4的相反数是 ,的绝对值是 , . 变式2.(1)如果,那么 (2) . (3)的绝对值为 ,的相反数为 . (4)的相反数是 ,绝对值是 . (5)的绝对值是( ),的相反数是( ). 题型11:绝对值的非负性 例1.若,,且,则x,y的值分别是( ) A., B., C., D., 例2.成立的条件是( ) A. B. C.且 D.或 例3.若与互为相反数,则的值为 . 例4.若,求、的值. 变式1.若与互为相反数,则( ). A. B. C. D. 变式2.已知与4互为相反数,的绝对值是最小的正整数,已知,则的值为( ) A.3 B.4 C.5或-5 D.3或5 变式3.已知,则,,的值分别是 . 变式4.已知|a﹣2|与|b﹣3|互为相反数,|c﹣5|=0,求a,b,c的值各是多少? 变式5.已知,,且,求、的值. 题型12:绝对值的应用 例1.正式足球比赛所用足球的质量有严格的规定.下面是6个足球的质量检测结果(用正数记超过规定质量的克数,用负数记不足规定质量的克数) ,,,,,. 请指出哪个足球的质量好一些,并用绝对值知识进行说明. 变式1.一辆出租车从A站出发,先向东行驶,接着向西行驶,然后又向东行驶. (1)画一条数轴,以原点表示A站,向东为正方向,在数轴上表示出租车每次行驶的终点位置. (2)求各次路程的绝对值的和.这个数据的实际意义是什么? 变式2.阅读下面材料: 在数轴上2与所对应的两点之间的距离为; 在数轴上与3所对应的两点之间的距离为; 在数轴上与所对应的两点之间的距离为. 归纳:在数轴上点A,B分别表示数a,b,则A,B两点之间的距离或. 回答下列问题: (1)数轴上表示数x和1的两点之间的距离表示为 ;数轴上表示数x和 的两点之间的距离表示为; (2)试说明当表示数x的点在与3的对应点之间移动时,的值总是一个固定的值,并求出这个固定值. 题型13:绝对值中的最值问题 例1.计算的最小值为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 例2.数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值,记作,数轴上表示数的点与表示数的点的距离记作,如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为,表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离,表示数轴上表示数的点与表示数5的点的距离.根据以上材料回答下列问题: (1)①若,则_, ②,则的取值为_; (2)最小值为_; (3)求的最小值,并求出此时的取值范围. 变式1.式子的最小值是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 变式2.阅读理解: 对于有理数a、b,的几何意义为:数轴上表示数a的点到原点的距离;的几何意义为:数轴上表示数a的点与表示数b的点之间的距离.如:的几何意义即数轴上表示数x的点与表示数2的点之间的距离,请根据你的理解解答下列问题: (1)我们知道,根据几何意义,若,那么x的值是 . (2)利用数轴分析的几何意义,的最小值是 . (3)的最小值是 . 变式3.我们知道一个数的绝对值的几何意义是:在数轴上表示这个数的点离原点(表示数0)的距离,在数轴上表示两个数x,y的点之间的距离可以表示为.如可以表示点与点1之间的距离跟点与之间的距离的和,根据图示易知:当点的位置在点A和点B之间(包含点A和点B)时,点与点A的距离跟点与点B的距离之和最小,且最小值为3,即的最小值是3,且此时的的取值范围为.请根据以上阅读,解答下列问题: (1)表示3的点与的点之间的距离表示为 ; (2)的最小值是 ,此时的值为 ; (3)当的最小值是4.5时,求出的值及的值. 课后作业 一、单选题 1.(2025 安徽蚌埠 三模)下列各数中,是负数的是( ) A. B.0 C. D. 2.(2025 河南周口 二模)下列数轴上四个点表示的数中,绝对值最小的是( ) A. B. C. D. 3.(2025 湖北 三模)现有四个标号为1,2,3,4的乒乓球,它们的重量与标准重量的差分别是,,最接近标准重量的乒乓球标号是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 4.(2025七年级下 全国 专题练习)下列说法错误的是( ) A.所有的有理数都可以用数轴上的点表示 B.在数轴上表示3和的两个点之间的距离是5 C.数轴上存在可以表示的点 D.数轴上表示的点一定在原点的左边 5.(24-25七年级上 辽宁丹东 期末)下列说法:①有理数的绝对值一定比0大;②如果两个数相等,那么这两个数的绝对值一定相等;③如果两个数的绝对值相等,那么这两个数相等;④有理数绝对值越大,离原点越远.其中正确的有( ) A.2个 B.1个 C.3个 D.4个 6.(24-25七年级上 江苏宿迁 期末)在数轴上有A、B两点,点A在原点左侧,点B在原点右侧,点A对应整数a,点B对应整数b,若,当a取最大值时,b值是( ) A.1012 B.2024 C.2025 D.2026 7.(24-25七年级上 山东日照 期末)如图,将一刻度尺放在数轴上,刻度尺上的“”和“”分别对应数轴上表示和的两点,那么刻度尺上的“”对应的点表示的数值为( ) A. B. C. D. 8.(24-25七年级上 河北唐山 期末)在数轴上有A,B,C三点,其中点A表示的数是2,点B表示的数是,如果其中一点为另外两点形成的线段的中点,则点C表示的数是( ) A.或 B.或8或2 C.或8或1 D.或或8 9.(24-25七年级上 河北保定 期末)若,则m的值为( ) A.或 B. C.2或 D. 10.(24-25七年级上 河北邯郸 期中)等边在数轴上的位置如图所示,点、对应的数分别为0和,若绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转,翻转1次后,点所对应的数为1;则翻转2018次后,点B所对应的数是( ) A.2017 B.2016 C.2015 D.2014 11.(24-25七年级上 江苏南京 阶段练习)若有理数a,,b在数轴上对应点如图所示,则下列运算结果是正数的是( ) A. B. C. D. 12.(2024七年级上 全国 专题练习)如图,一动点从原点开始向左运动,每秒运动个单位长度,规定:每向左运动秒就向右运动秒.则动点运动到第秒时所对应的数是( ) A. B. C. D. 13.(24-25七年级上 浙江温州 期中)已知a、b、c为非零有理数,若,则的值为( ) A.1 B. C. D.或 二、填空题 14.(24-25六年级下 黑龙江哈尔滨 期中)在直线上表示、、、时,离0最近的数是 . 15.(24-25七年级上 山东潍坊 期中)水文站以警戒线为标准测量水库的水位,超过警戒线记为正,低于警戒线记为负,下表是一天五次的测量数据,其中第 次测量时水位离警戒线最近. 次序 1 2 3 4 5 水位(厘米) 16 8 16.(16-17七年级上 甘肃武威 阶段练习) . 17.(24-25七年级上 河南郑州 期末)请写一个绝对值小于2的整数 . 18.(24-25六年级上 上海 期末)在一条可以折叠的数轴上,点、表示的数分别为和3,(如图1)以点为折点,将此数轴向右对折,折叠后若A,两点间的距离为1,则点表示的数为 . 19.(24-25六年级上 上海宝山 期末)如果,则 . 20.(24-25七年级上 甘肃平凉 期中)化简:= ,= . 21.(24-25七年级上 重庆渝北 阶段练习) ; . 22.(24-25七年级上 四川自贡 阶段练习)化简:(1) ;(2) ;(3) . 23.(24-25七年级上 广东汕头 阶段练习) , 24.(24-25七年级上 吉林长春 期中)化简: ; . 25.(24-25七年级上 重庆石柱 阶段练习)化简: . 26.(24-25七年级上 内蒙古乌兰察布 阶段练习)化简: ; . 27.(24-25七年级上 广东揭阳 阶段练习) ; 28.(24-25七年级上 重庆秀山 阶段练习)化简: ; 29.(24-25六年级上 山东烟台 阶段练习)的相反数是 . 30.(24-25七年级上 北京 阶段练习)化简: , . 31.(24-25七年级上 山东济宁 阶段练习)化简 ; . 32.(24-25七年级上 广东江门 阶段练习)化简下列各数: , . 33.(24-25七年级上 新疆和田 阶段练习)若的相反数为,则的值为 . 34.(24-25七年级上 福建福州 期末)如图,点,在数轴上的位置如图所示,为原点,点在数轴上所表示的数为,,点为线段的中点,则点在数轴上所表示的数为 . 35.(24-25七年级上 山东聊城 期末)在数轴上有一个动点从原点出发,以每秒1个单位长度的速度在数轴上运动,若点的运动规律是先向右运动1个单位长度,再向左运动2个单位长度,再向右运动3个单位长度,再向左运动4个单位长度,以此类推,每次运动单位长度依次递增,第113秒时,点在数轴上所对应的数是 . 36.(24-25七年级上 江苏宿迁 期中)【知识回顾】数轴是非常重要的数学工具,它可以使代数中的推理更加直观.同时我们知道,数轴上表示的数对应的两点之间的距离为.借助数轴解决下列问题:已知代数式最小值为 . 三、解答题 37.(24-25七年级上 安徽蚌埠 开学考试)画出数轴并标出表示下列各数的点. 38.(23-24七年级上 甘肃平凉 期中)画一条数轴,在数轴上表示出下面的有理数. ,,0,, , 39.(24-25七年级上 江苏南京 阶段练习)数轴上不重合的三个点,若其中一点到另外两点的距离的比值为,则称这个点是另外两点的n阶伴侣点.如图,O是点A、B的1阶伴侣点;O是点A、C的2阶伴侣点;O也是点B、C的2阶伴侣点. (1)如图,C是点A、B的_阶伴侣点; (2)若数轴上两点M、N分别表示和4,则M、N的阶伴侣点所表示的数是多少? 40.(24-25七年级上 河北邢台 期中)如图,数轴上标出的所有点中,任意相邻两点间的距离都相等,已知点A表示的数是,点H表示的数是2. (1)表示原点的是点_,点E表示的有理数是_; (2)已知B,C两点间的距离为m,B,D两点间的距离为n.计算B,C,D三点对应的数的和,直接写出的值; (3)已知数轴上有两点M,N,满足点M到点F距离为3,点N到点F的距离为6,则点M,N之间的距离为多少? 41.(24-25七年级上 重庆万州 阶段练习)阅读下面材料:如图,点在数轴上分别表示有理数,则两点之间的距离可以表示为,根据阅读材料与你的理解回答下列问题: (1)数轴上表示3与的两点之间的距离是 ; (2)数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为 ; (3)代数式可以表示数轴上有理数x与有理数所对应的两点之间的距离;若,则_; (4)求代数式的最小值为 . 42.(24-25七年级上 河南驻马店 期末)同学们都知道,表示4与之差的绝对值,实际上也可以理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离.例如,的几何意义是数轴上表示有理数5的点与表示有理数的点之间的距离.根据所学知识试探索下列问题的答案. (1)若,则 . (2)请找出符合条件的,使得. (3)由以上探索猜想:对于任何有理数是否有最小值?如果有,写出最小值;如果没有,说明理由. 43.(24-25七年级上 贵州黔南 期末)如图,数轴上的点A,B分别表示有理数a,b,且,点O 是原点.点P从点B 出发,以每秒1个单位长度的速度向终点A 移动,设点 P 移动的时间为. (1) , . (2)若点Q从点A出发,以每秒2个单位长度的速度向终点 B 移动,且P,Q两点同时出发,当点Q到达点B时,P,Q两点同时停止运动.当t为何值时,P,Q两点之间的距离为1? (3)若P,Q两点均从点B出发,点P先移动,点Q 在点B处等待,当点 P 到达点O时,点Q才从点B出发,并以每秒2个单位长度的速度向终点A移动,当点Q到达点A 时,P,Q两点同时停止运动.当t为何值时,P,Q两点之间的距离为1? 44.(24-25七年级上 陕西西安 期末)在一条东西向的双轨铁路上,一快一慢两列火车相对行驶,快车的长为2个单位长度,慢车的长为4个单位长度.如图,设正在行驶途中的某一时刻,以两车之间的某点O为原点,取向右方向为正方向画数轴,此时快车头A在数轴上表示的数是a,慢车头C在数轴上表示的数是B.且,b与互为相反数. (1)此时刻快车头A与慢车头C之间相距_个单位长度; (2)已知快车以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶,同时慢车以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶. ①从此时刻开始算起,问再行驶多少秒钟两列火车车头A,C相距8个单位长度? ②此时在快车上有一位爱动脑筋的学生,他发现行驶中有一段时间t秒钟,他的位置P到两列火车头A、C的距离和加上到两列火车尾B、D的距离和是一个不变的值(即为定值).你认为该学生发现的这一结论是否正确?若正确,求出这个时间及定值;若不正确,请说明理由. 45.(23-24六年级上 山东烟台 期中)阅读理解:数轴上表示有理数的点到原点(有数数0表示的点)的距离,叫做这个有理数的绝对值例如:,它表示数轴上有理数2表示的点到原点0的距离,从数轴上容易发现,有理数2表示的点到原点0的距离是2个单位长度,即(如图1). 同样的,数轴上表示m和表示n的两个有理数之间的距离可以用来表示.例如:数轴上表示的点到表示2的点的距离用表示,从数轴上容易发现,表示-3的点到表示2的点的距离是5个单位长度,即(如图2). 以上这种借助直观的数轴来解决问题的方法就是研究数学问题常用的“数形结合”的方法.请你根据以上学到的方法完成下列任务解答: 任务一:请根据以上阅读列式并计算(不必在卷面上画数轴):数轴上表示2的点和表示的点之间的距离; 任务二:根据绝对值的意义求字母的值: (1)若,求x所表示的有理数. 根据绝对值的意义,“”指数轴上表示x的点到表示3的点的距离是2个单位长度,x表示的有理数是_. (2)若,求x所表示的有理数. 根据绝对值的意义,“”指数轴上表示x的点到表示_的点的距离是4个单位长度,x表示的有理数是_. 任务三:设点P在数轴上表示的有理数是x,借助数轴解答下列问题: (1)当x取哪些有理数时,的值最小?最小值是多少? (2)若,求x所表示的有理数; (3)若,求x所表示的有理数. 46.(24-25七年级上 广东梅州 期中)【定义新知】 我们知道:式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数1的点之间的距离.因此,若点、在数轴上分别表示有理数、,则、两点之间的距离.若点表示的数为,请根据数轴解决以下问题: (1)式子在数轴上的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数_的点之间的距离;在数轴上的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数_的点之间的距离; (2)若,则的值为_; (3)当的值最小且为整数时,则的取值可以为_; 【解决问题】 (4)如图,一条笔直的公路边有三个居民区、、和市民广场,居民区、、分别位于市民广场左侧,右侧,右侧.鉴于环保之需,现计划在该路段建设一座垃圾中转站,以负责接收并转运上述三个居民区每日产生的生活垃圾.假设生活垃圾的清理运输费用为每公里50元,试问垃圾中转站应选址于这条公路的何处,以实现总运输成本的最小化?最低运输成本是多少元? 1 学科网(北京)股份有限公司 $$ 第一章 有理数 02讲 数轴、相反数与绝对值目录 【知识点1. 数轴】…………………………………………………………………… 1 【知识点2. 相反数】………………………………………………………………… 4 【知识点3. 绝对值】………………………………………………………………… 6 【题型1. 数轴的三要素及其画法】………………………………………………… 10 【题型2. 用数轴上的点表示有理数】……………………………………………… 11 【题型3. 数轴上两点之间的距离】………………………………………………… 12 【题型4. 数轴上的动点问题】……………………………………………………… 13 【题型5. 数轴上的规律探究】……………………………………………………… 15 【题型6. 相反数的定义】…………………………………………………………… 16 【题型7. 相反数的性质及应用】…………………………………………………… 17 【题型8. 相反数中多重符号的化简】……………………………………………… 19 【题型9. 绝对值的概念】…………………………………………………………… 19 【题型10. 求一个数的绝对值】……………………………………………………… 20 【题型11. 绝对值的非负性】………………………………………………………… 20 【题型12. 绝对值的应用】…………………………………………………………… 22 【题型13. 绝对值中的最值问题】…………………………………………………… 23 【课后作业】……………………………………………………………………………… 25 知识清单 1、数轴 1）数轴定义：在数学中，可以用一条直线上的点表示数，它满足以下要求： ①原点：在直线上任取一个点表示数，这个点叫做原点；原点是数轴的基准点． ②正方向：通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向． ③选取适当的长度为单位长度，则从原点向右，距原点1个单位长度的点表示1，距原点2个单位长度的点表示2，……；从原点向左，距原点1个单位长度的点表示－1，距原点2个单位长度的点表示－2，……. 像这样，规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 原点、正方向和单位长度是数轴的三要素． 原点将数轴分为两部分，其中正方向一侧的部分叫数轴的正半轴，另一侧的部分叫数轴的负半轴。 2）数轴的画法 ①画一条水平的直线（一般画水平的数轴）； ②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点； ③确定向右的方向为正方向，用箭头表示； ④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致。 3）有理数与数轴的关系 ①一切有理数都可以用数轴上的点表示出来。 ②数轴上的点并不全是有理数，如也可以在数轴上表示，但并不是有理数。 ③正有理数位于原点的右边，负有理数位于原点的左边。 ④与原点的距离是a（a>0），在数轴上可以是a（存在多解的情况）。 巩固基础 1．下列所画数轴完全正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了数轴，分析各选项图形是否是直线、是否有方向、单位长度是否统一，即可解答题目． 【详解】解：A．没有规定正方向，故此选项错误，不符合题意； B．没有原点，故此选项错误，不符合题意； C．规定了原点、单位长度、正方向，故此选项正确，符合题意； D．各单位长度之间的距离不统一，故此选项错误，不符合题意； 故选：C． 2．以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了数轴的三要素，根据数轴的“三要素”，原点，正方向，单位长度逐一判断即可，正确理解数轴的“三要素”是解题的关键． 【详解】解：、正方向反了，不符合题意； 、单位长度不统一，不符合题意； 、没有正方向，不符合题意； 、满足数轴的“三要素”，原点，正方向，单位长度，符合题意； 故选：． 3．已知小红、小刚，小明、小颖四人自南向北依次站在同一直线上，如果把直线看作数轴，四人所在的位置如图所示，则下列描述不正确的是（    ）      A．数轴是以小明所在的位置为原点 B．数轴采用向北为正方向 C．小刚所在的位置对应的数有可能是 D．小颖和小红间的距离为7 【分析】根据数轴的定义：包含原点、单位长度、正方向的直线叫做数轴，有理数的大小比较，数轴上两点之间距离：右边点表示的数减去左边点表示的数，即可判断． 【详解】解：A.小明所在的位置表示数，故此项结论正确； B.四人自南向北，且由南向北表示的数越来越大，所以向北为正方向，故此项结论正确； C.小刚所在的之位置对应的数在与之间，而在与之间，故此项结论错误； D.小颖和小红间的距离为，故此项结论正确； 故选：C． 4．如图，数轴上点表示的数是0，点表示的数可能是下列四个数中的（   ） A． B． C．2 D．3 【分析】根据点B到原点的距离大于1到原点的距离，且为负数，比较解答即可. 本题考查了有理数的分类，有理数的大小比较，熟练掌握大小比较的原则是解题的关键. 【详解】解：根据题意，得点B到原点的距离大于1到原点的距离，且为负数， 故该数可能是. 故选：A. 5．数轴上，在原点的左侧，且距原点3个单位长度的点表示的数是（   ） A． B．3 C． D． 【分析】本题考查了数轴上的点和数之间的对应关系．数轴上原点左边的数为负数，原点右边的数为正数；到原点的距离表示这个数的绝对值． 【详解】解：在数轴上，离原点3个单位长度的点表示的数是，在原点左侧的为负数，所以是； 故选：A． 6．如图，将一把损坏的刻度尺贴放在数轴上（数轴单位长度是），刻度尺上“”和“”分别对应数轴上的和0，则数轴上x的值最有可能是（   ） A．1.8 B．2 C．2.3 D．5.5 【分析】本题考查了数轴，根据数轴上x的值在刻度尺的5和6之间，得出数轴上x的值的取值范围，即可求解． 【详解】解：数轴上x的值在刻度尺的5和6之间， 由题意可得，数轴上x的值的取值范围是， ∵，，， 故数轴上x的值最有可能是2.3． 故选：C． 7．下列有关数轴的说法： （1）在画数轴时，原点位置可以任意确定； （2）一般情况下，取向右的方向为数轴的正方向； （3）数轴中的单位长度可根据实际需要任意选取； （4）数轴上的点只能表示整数． 其中正确的有 个． 【分析】本题考查了数轴的画法及其意义，把握数轴三要素，即原点、正方向、单位长度，是解答此题的关键． 根据数轴的定义，对每个说法进行分析判断，即可求解． 【详解】说法（1），数轴上，原点位置的确定是任意的，符合题意； 说法（2），数轴上，一般情况下，正方向可以是向右，符合题意； 说法（3），数轴上，单位长度可根据需要任意选取，符合题意； 说法（4），数轴上的点不仅能表示整数，还能表示分数，无限不循环小数等，不符合题意． 说法共有3个正确． 故答案为：3． 8．如图，点在数轴上，点 表示的数是 ，点表示的数写成小数是 ，点表示的数写成分数是 ． 【分析】本题主要考查了用有理数表示数轴上的点，原点左边为负数，右边为正数，且每一小格表示，根据数轴写出答案即可． 【详解】根据题意得 点表示的数是， 点表示的数写成小数是， 点表示的数写成分数是， 故答案为：，，． 9．在数轴上到原点距离等于的点表示的数是 ． 【分析】本题主要考查了数轴，解题的关键在于理解数轴上距离某个点是一个定值的点有两个，左右各一个．根据数轴上到原点距离等于，考虑两种情况：该点在原点的左侧，该点在原点的右侧求解，即可解题． 【详解】解：由数轴特点可知，数轴上到原点距离等于的点表示的数是， 故答案为：． 10．已知数轴上两点对应的数分别为，若在数轴上找一点，使得点的距离为4，再在数轴上找一点D，使得点B,D的距离为1，则的距离为 ． 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，根据题意可分别确定点C与点D表示的数，进而可确定这两个点间的距离，即可解答． 【详解】解：数轴上对应的数为，点的距离为4， 对应的数为或， 数轴上对应的数为，点B,D的距离为1， 对应的数为或， 的距离为或或或， 故答案为：或或或． 11．补全数轴，并在数轴上表示下列各数．1.5，0.4，，． 【分析】本题考查了有理数与数轴，根据数轴的定义，先补全数轴，再表示出各个数即可． 【详解】解：把各数在数轴上表示出来，如图所示： ． 12．画一条数轴，并在数轴上标出下列各数，，，，， 【分析】本题考查数轴的画法，用数轴上的点表示有理数．先根据数轴的三要素画出数轴，再根据数轴上的点所对应的数标出来即可．掌握数轴的三要素，准确地画出数轴是解题的关键． 【详解】解：将数，，，，，在数轴上表示如图所示：    知识清单 2、相反数 1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 ①一般地，a与-a互为相反数，a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0； ②正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是本身； ③相反数是成对出现的（0除外）。 2）相反数的几何意义：互为相反数的两个数（0除外）在数轴上对应的两个点，分别位于原点两侧，且到原点的距离相等。 3）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可（当然最后结果如果出现多重符号需要化简）。 3、多重符号的化简 1）一个正数前面不管有多少个“”号，都可以全部去掉； 2）一个正数前面有偶数个“”号，也可以把“”号全部去掉； 3）一个正数前面有奇数个“”号，则化简后只保留一个“”号。 口诀“奇负偶正”，其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数，“负、正”是指化简的最后结果的符号。 注意：此判断方法是在没有其它运算的情况下适用，如出现其它运算，要视具体情况而论。 巩固基础 1．的相反数是（　　） A．3 B． C． D． 【分析】本题考查了相反数，根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，即可求解． 【详解】解：的相反数是3． 故选：A． 2．如图，数轴上点表示的数的相反数为（  ） A．2 B． C． D． 【分析】本题考查了数轴上点表示的数，求一个数的相反数；根据数轴知点P表示的数为2，即可求得其相反数． 【详解】解：由数轴知，数轴上点表示的数为2，则其相反数为； 故选：C． 3．下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．与3 B．3与 C．与 D．与 【分析】本题考查了相反数的定义，理解相反数的定义是解题的关键．根据只有符号不同的两个数互为相反数求解即可． 【详解】解：A：与不互为相反数，故此选项不符合题意； B：与不互为相反数，故此选项不符合题意； C：与互为相反数，故此选项符合题意； D：与不互为相反数，故此选项不符合题意； 故选：C． 4．数轴上表示数m和1的点到原点的距离相等，则m为（   ） A． B．2 C．1 D． 【分析】本题考查了数轴上的点到原点的距离，根据题意确定出m和1互为相反数是解决问题的关键． 由数轴上表示数m和1的点到原点的距离相等，可得m和1互为相反数，由此即可求得的值． 【详解】解：∵数轴上表示数m和1的点到原点的距离相等， ∴m和1互为相反数， ∴． 故选：D． 5．数轴上表示数a和的点到原点的距离相等，则a为（    ） A． B．4 C．2 D． 【分析】本题考查数轴上原点两侧到原点的距离相等的点表示的数互为相反数． 根据相反数的几何意义可知：与互为相反数；再根据互为相反数的两数和为0即可解答． 【详解】解：由题意知： 与互为相反数， ， 解得：． 故选：D． 6．如图，O、A、B、C为数轴上四点，其中O为原点，且，，若C点所表示的数为x，则B点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【分析】此题主要考查了在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征和应用，熟练掌握数轴的特性是解题的关键； 根据，C点所表示的数为x，求出A表示的数是多少，然后根据，求出B点所表示的数是多少即可． 【详解】点表示的数为x， 表示的数是， 点和点A表示的数互为相反数， 点所表示的数是， 故选：． 7．已知的相反数是x，的相反数是y，z的相反数是0，则的相反数是 ． 【分析】本题主要考查了相反数，直接利用相反数的定义得出的值，进而得出答案． 【详解】解：∵，它的相反数是， ∴； ∵，它的相反数是3， ∴； ∵0的相反数是0， ∴， ∴， ∴的相反数是． 故答案为：． 8．若a与互为相反数，则a 的值 ． 【分析】此题考查了相反数的性质， 根据互为相反数的两个数的性质，可列方程求出a的值， 【详解】根据题意得：， 解得：． 故答案为：1． 9．计算的结果为 ． 【分析】本题考查了相反数，熟知只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解题的关键； 根据相反数的定义解答即可． 【详解】解： ． 10．化简： ． 【分析】本题考查了多重符号的化简，根据多重符号的化简方法：一个数前面有偶数个“”号，结果为正．一个数前面有奇数个“”号，结果为负．0前面无论有几个“”号，结果都为0．据此化简即可． 【详解】解：， 故答案为：3． 11．化简： ． 【分析】本题主要考查了化简多重符号，根据相反数的定义化简，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 12．化简下列各数的符号： ； ； ； ． 【分析】此题考查了化简绝对值和多重符号，根据绝对值和相反数的性质求解即可． 【详解】解：；；；． 故答案为：，1.3，3，． 13．化简： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【分析】本题考查了化简多重符号，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 根据化简多重符号的法则计算即可得解； 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 故答案为：；2024；；． 知识清单 4、绝对值 1）绝对值的概念：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作。 2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离。 3）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。 即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么． 可整理为：， 或， 或。 4）绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或．即：。 归纳： ①绝对值等于它本身的数是： 非负数 ； ②绝对值大于它本身的数是： 负数 ； ③绝对值等于它的相反数的数是： 非正数 ； ④绝对值最小的有理数是： 0 ； ⑤绝对值最小的正整数是： 1 ； ⑥绝对值最小的负整数是： -1 。 互为相反数的两个数的绝对值相等。 巩固基础 1．在数轴上到原点距离等于5的点所表示的数为（  ） A． B． C．5 D．不能确定 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，数轴，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据绝对值的几何意义即可求解． 【详解】解：根据绝对值的几何意义可知，在数轴上到原点的距离5个单位长度的点表示的数为， 故选：A． 2．用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（  ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了绝对值的定义，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离．到原点距离最近的点，即绝对值最小的点，首先求出各个数的绝对值，即可作出判断． 【详解】解（法一）：∵，，，，且， ∴与原点距离最近的是， 故选：B． 3．如图，数轴的单位长度为1，点、、表示的数都是整数，若点和点表示的两个数的绝对值相等，则点表示的数是（    ） A． B． C．1 D．2 【分析】本题考查了数轴、绝对值，根据数轴找到原点的位置是解题的关键．根据题意可知点和点的中点为原点，再结合数轴得到点和点的距离为8，得到点和点分别表示的数，即可求出点表示的数． 【详解】解：点和点表示的两个数的绝对值相等， 点和点的中点为原点，原点表示的数为0， 由数轴可知，点和点的距离为8， 点表示的数是，点表示的数是4， 由数轴可知，点在点右边，且与点距离1个单位长度， 点表示的数是． 故选：B． 4．下列式子中，化简结果为5的是（  ） A． B． C． D． 【分析】根据多重符号的化简，绝对值的化简解答即可． 本题考查了多重符号的化简，绝对值的化简，熟练掌握化简方法是解题的关键． 【详解】解：A. ，不符合题意； B. ，符合题意；     C. ，不符合题意；     D. ，不符合题意； 故选：Ｃ． 5．下列说法正确的是（   ） A．2025的绝对值是 B．2025的相反数是 C．2025的倒数是 D．2025的相反数的绝对值是 【分析】本题考查了相反数、倒数、绝对值，熟练掌握这几个定义是解题的关键． 根据相反数、倒数、绝对值的定义判断即可． 【详解】解：A． 2025的绝对值是2025，故该选项错误； B． 2025的相反数是，故该选项正确； C． 2025的倒数是，故该选项错误； D． 2025的相反数的绝对值是2025，故该选项错误． 故选B． 6．，则a和b各为（    ） A．， B．1，3 C．1， D．，3 【分析】本题考查了绝对值的非负性，先根据，得，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 7．若，则（ ） A．2 B．7 C．8 D．5 【分析】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．根据非负数的性质列式求出m、n，然后代入计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴． 故选：D． 8．检测4个篮球，其中超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数，从轻重的角度看，下列数据更接近标准的是（    ） A． B． C． D． 【分析】此题主要考查了正负数的意义，绝对值的意义等知识．求出各数的绝对值，绝对值最小的即为最接近标准的，进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴从轻重的角度来看，数据更接近标准的是为． 故选A． 9．某公司抽检盒装牛奶的容量，超过标准容量的部分记为正数，不足的部分记为负数．图中是四盒牛奶的检测数据，小聪很快确定了标注数据为这盒牛奶的容量最接近标准．下列能对小聪的判断作出正确解释的数学概念是（    ） A．相反数 B．绝对值 C．倒数 D．正负数 【分析】根据绝对值最小的越接近标准解答即可． 本题考查了绝对值的应用，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． 【详解】解：∵，，，，且， ∴标注数据为这盒牛奶的容量最接近标准． 能解释这一判断的依据是绝对值． 故选：B． 10．若，则 ． 【分析】本题考查了绝对值的意义，掌握绝对值的意义是解题的关键． 根据绝对值的意义即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 11．写出一个负数，使这个数的绝对值大于3： ． 【分析】本题主要考查了绝对值的含义和运用，首先根据一个负数的绝对值大于3，可得这个负数小于，据此求解即可． 【详解】解：满足绝对值大于3的负数可以是， 故答案为：（答案不唯一） 12．绝对值大于3且小于5的所有整数的和是 ． 【分析】本题考查绝对值的意义、相反数的性质等知识，首先根据题意得到绝对值大于3且小于5的所有整数有：和，再由互为相反数的两个数和为即可得到答案．熟记绝对值的意义及相反数的性质是解决问题的关键． 【详解】解：绝对值大于3且小于5的所有整数有：和， ， 故答案为：． 13．计算： ． 【分析】本题考查绝对值的计算，解题的关键是理解绝对值的定义和运算规则． 先计算括号内的运算，再根据绝对值的定义求出结果． 【详解】， ， 故答案为：3． 14．的结果是 ． 【分析】此题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的意义是解本题的关键．利用绝对值的意义计算，即可得到结果． 【详解】解：， 故答案为：5． 15．的绝对值是 ． 【分析】本题考查绝对值，熟练掌握绝对值的性质：负数的绝对值是它的相反数是解题的关键． 根据负数的绝对值是它的相反数可得答案． 【详解】的绝对值是． 故答案为：． 16．的相反数是 【分析】本题考查了绝对值和相反数的定义，绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数．根据绝对值和相反数的概念求解即可． 【详解】的相反数是． 故答案为：． 17．若，则 ． 【分析】本题考查了非负数的性质，根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可，掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 【详解】解：， ，， ，， ． 故答案为：． 18．已知实数a，b满足则 ． 【分析】本题考查了绝对值的非负性，根据得，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∴， 故答案为：1 19．数轴上表示数和的点到原点的距离相等，则为 【分析】本题主要考查了绝对值的应用、数轴上的点等知识，熟练掌握绝对值的性质是解题关键．根据数轴上的点到原点的距离公式可得，然后分类讨论，求解即可获得答案． 【详解】解：由题意得， ∴或， 解得． 故答案为：． 20．如图，直径为1个单位的圆片上有一点与数轴上的原点重合，是圆片的直径．圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：，运动结束后运动的路程共有 ．（保留）    【分析】计算出这些数的绝对值的和，再乘以周长，即可求出路程．本题主要考查了化简绝对值、绝对值的应用和圆的周长公式的应用，正确审题并计算出绝对值是解题的关键． 【详解】解： 圆的周长为： ， ， 故答案为： 21．已知a，b，c为有理数，且它们在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)试判断a，b，c的正负性：a______0；b______0；c______0（用“”“”“”填）； (2)根据数轴化简：______；______；______； (3)若，，求a，c的值． 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，绝对值，正确读懂数轴是解题的关键． （1）在原点左边的数小于0，原点右边的数大于0，据此可得答案； （2）正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此可得答案； （3）正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此可得答案． 【详解】（1）解：由数轴可知； （2）解：∵， ∴，；； （3）解：∵，，， ∴． 22． 我们知道，可以理解为， 它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离是_______； (2)数轴上点A用数a表示，若，那么a的值为_______； (3)数轴上点A用数a表示，且满足的整数a有______个；有最小值，则最小值是：_____． 【分析】本题主要考查的是绝对值的定义的应用，数轴上两点之间的距离，理解并应用绝对值的定义及两点间的距离公式是解题的关键． （1）根据两点间的距离公式求解可得； （2）根据绝对值的定义可得； （3）由的意义是表示数轴上到表示和表示3的点的距离之和是5的点的坐标，据此可得；由表示数轴到表示3与表示的点距离之和，根据两点之间线段最短可得． 【详解】（1）解：数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离是； （2）解：若，那么的值为5或； （3）解：的意义是表示数轴上到表示和表示3的点的距离之和是5的点的坐标， ，其中整数有，，0，1，2，3，共6个； 表示数轴到表示3与表示的点距离之和， 由两点之间线段最短可知： 当时，有最小值，最小值为． 23．如图，数轴上两点、对应的数分别是、，其中、满足， (1)求、的值，并在数轴上标出、两点； (2)数轴上有一动点，当时，请直接写出点对应的数的值． 【分析】本题考查了非负数的性质，用数轴上的点表示数，数轴上两点间的距离公式，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据非负数的性质求出、的值，再在数轴上标出、两点即可； （2）根据数轴上两点间的距离公式可得，，结合即可求解． 【详解】（1）解：， ，，解得：，， 数轴上标出、两点如下： （2）、两点对应的数分别为和，点对应的数为， ，，，， 解得：或． 直击考点 题型1：数轴的三要素及其画法 例1．图中数轴表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查了数轴的概念：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，注意数轴的三要素缺一不可．数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，据此判断． 【详解】解：A．没有正方向，故表示错误； B．单位长度不相等，故表示错误； C．不符合数轴右边的数总比左边的数大的特点，故表示错误； D．符合数轴的定定义，故表示正确； 故选D． 例2．下列说法： ①数轴上的点只能表示整数； ②数轴是一条线段； ③数轴上的一个点只能表示一个数； ④数轴上找不到既不表示正数，又不表示负数的点；⑤数轴上的点所表示的数都是有理数． 其中正确的有 个． 【分析】本题考查了数轴相关定义，掌握数轴的定义以及在数轴上的点的意义是解题的关键．一条规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴． 根据数轴的定义，用数轴上的点表示有理数，逐项分析判断即可得到答案． 【详解】解：①数轴上的点能表示整数，也能表示分数，故①不正确； ②数轴是一条直线，故②不正确； ③数轴上的一个点只能表示一个数，故③正确； ④数轴上能找到既不表示正数，又不表示负数的点即原点，它表示0，故④不正确； ⑤数轴上的点所表示的数不一定都是有理数，故⑤不正确． 故正确的有③，共1个 故答案为：1 例3．请把下面不完整的数轴画完整，并在数轴上标出下列各数： ，，4，．    【分析】此题考查了数轴的基本知识，根据数轴的三要素，原点、正方向、单位长度，在数轴上补充完整，在数轴上标出各数即可． 【详解】解：如图， 变式1．如图所示，所画数轴完全正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】本题主要考查了数轴的三要素和画法．根据数轴的特点“规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴”进行解答即可． 【详解】解：（1）（3）单位长度不统一，错误； （2）不符合数轴上右边的数总比左边的数大的特点，错误； （4）符合数轴的特点，正确． 综上，只有一个是正确． 故选：A． 变式2．下列说法中正确的是（    ） A．规定了原点、正方向的直线是数轴 B．数轴上原点及原点左边的点表示的数是非负数 C．数轴上单位长度可以不一致 D．任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的点 【分析】此题主要考查了数轴，关键是掌握数轴的概念． 根据数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数可得答案． 【详解】解：A、规定了原点、正方向和单位长度的直线是数轴，故不符合题意； B、数轴上原点及原点左边的点表示的数是非正数，故不符合题意； C、数轴上单位长度必须一致，故不符合题意； D、任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的点，故符合题意． 故选：D． 变式3．已知有理数：，0，4，，2.5． (1)画出数轴，在数轴上表示出这几个数，并用“”连接起来； (2)这几个有理数中是正数的有____________________． 【分析】本题考查在数轴上表示有理数、有理数的大小比较，数轴上正确表示有理数是解答的关键． （1）先在数轴上表示这些数，再根据数轴上，右边的数总比左边的数大得到大小关系即可； （2）根据正数大于零求解即可． 【详解】（1）解：在数轴上表示出这几个数，如图： 由图知：； （2）解：由图知，这几个有理数中是正数的有：4，2.5． 故答案为：4，2.5． 变式4．（1）把数轴补充完整； （2）在数轴上表示下列各数：0，，，，； （3）用“>”将这些数连接起来，    【分析】本题考查了数轴的三要素：正方向、原点、单位长度；在数轴上表示有理数，根据数轴上左边的数总是小于右边的数进行判断，将题目所给的数字准确的表示在数轴上是解本题的关键． 【详解】解：（1）如图所示：   ； （2），， 在数轴上表示为：   ； （3）． 题型2：用数轴上的点表示有理数 例1．用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（   ） A．3 B． C．1 D． 【分析】本题考查在数轴上表示有理数，数形结合，直观得到选项中各数与原点距离，从而确定答案，掌握数轴上表示有理数的方法是解决问题的关键． 【详解】解：在数轴上表示选项中各数，如图所示： 表示1的点离原点距离最近， 故选：C． 例2．若，则有理数在数轴上对应的点的位置是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，根据可知在和之间，且离比较近． 【详解】解：， 在和之间，且离比较近， 有理数在数轴上对应的点的位置应是A选项中的位置． 故选：A． 例3．小宇不小心将墨水滴在了数轴上，使部分数轴被墨迹遮盖，则被遮盖的部分中表示整数的点有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】此题考查了用数轴上的点表示有理数．写出被遮盖的部分中整数即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得，被遮盖的部分中整数有，共5个，即被遮盖的部分中表示整数的点有5个， 故选：C 例4．如图，数轴上点，表示的数互为相反数，该数轴的单位长度是1，则点表示的数是 ． 【分析】本题主要考查了实数与数轴，相反数，利用相反数的性质确定原点的位置，再利用原点的位置解答即可． 【详解】解：由题意得：， ∵点A，B表示的数互为相反数， ∴点A表示的数字为，点B表示的数字为3， ∴原点距离点一个单位长度，点在原点的右侧， ∴点C表示的数字为1． 故答案为：1． 变式1．如图，将一把损坏的刻度尺贴放在数轴上，刻度尺上的“0”和“2”分别对应数轴上的和0，则数轴上x的值最有可能是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，掌握数形结合思想成为解题的关键． 根据数轴上x的值在刻度尺的和之间，得出数轴上x的值的取值范围即可求解． 【详解】解∶由图可知：刻度尺上在数轴上表示一个单位长度， ∵数轴上x的值在刻度尺的和之间， ∴数轴上x的值的取值范围是，即， ∴仅有D选项符合题意． 故选：D． 变式2．如图，正方形的边长为1，在正方形的4个顶点处标上字母，，，，先让正方形上的顶点与数轴上的数所对应的点重合，再让正方形沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数2024将与正方形上的哪个字母重合（   ） A．字母 B．字母 C．字母 D．字母 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离的含义，正方形滚动一周的长度为4，从到2024共滚动2026个单位长度，由，即可作出判断． 【详解】解：∵正方形的边长为1， ∴正方形的周长为4， ∴正方形滚动一周的长度为4， ∵正方形的起点在处， ∴， ∵， ∴数轴上的数2020将与正方形上的点C重合， 故选：C． 变式3．如图，已知数轴上点表示的数是2024，且，则点表示的数是 ． 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，用数轴表示有理数，先求出，进而得到，由此即可得到答案． 【详解】解：∵数轴上点表示的数是2024， ∴， ∵， ∴， ∵点在原点左侧， ∴点表示的数是， 故答案为：． 变式4．如图，点A在数轴上所表示的数是 ． 【分析】本题考查了了数轴表示数，根据所给数轴，得出一个单位长度为小格，据此可得出答案，能根据题意得出一个单位长度为小格是解题的关键． 【详解】解：由所给数轴可知，一个单位长度为小格， ∴点与相距个单位长度，且在的左边， ∴点表示的数为， 故答案为：． 变式5．数轴上两点对应的数分别是和，则两点之间的整数有 个． 【分析】本题考查了数轴以及整数的相关知识点，解题的关键是明确 和在数轴上的位置，进而找出它们之间的整数． 先将化为小数，再找出大于 且小于的所有整数，最后统计整数的个数． 【详解】将化为小数：， 找出和 4.5 之间的整数：大于 的整数有，且这些整数都小于， 统计整数个数：－共有 6 个整数． 故答案为 6 ． 变式6．如图，小冰在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，此时墨迹盖住的整数有 个． 【分析】本题考查了数轴的特点，理解并掌握数轴上点与数的一一对应关系是解题的关键． 根据数轴的特点，数形结合分析即可求解． 【详解】解：根据数轴的特点，墨迹盖住的整数有，，共2个， 故答案为：2 ． 题型3：数轴上两点之间的距离 例1．如图，数轴上点表示的数是，则点表示的数是（    ） A．2025 B． C． D． 【分析】本题考查的是数轴，解题的关键是根据题中提取的数量关系来求解．根据，求出，继而可以求出点A表示的数． 【详解】解：∵，点B表示的数是， ∴， ∵点A在O点右侧， ∴点A表示的数为：， 故选:A． 例2．将1在数轴上对应的点向右平移2024个单位，则此时该点对应的数是（   ） A．2023 B．2025 C．2026 D． 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，正确理解有理数所表示的点左右移动后得到的点所表示的数是解题的关键．将在数轴上对应的点向右平移2024个单位，在数轴上找到这个点，即得这个点所表示的数． 【详解】解：根据题意：数轴上所对应的点向右平移2024个单位，则此时该点对应的数是． 故选：B． 例3．已知数轴上两点对应的数分别为，若在数轴上找一点，使得点的距离为4，再在数轴上找一点D，使得点B,D的距离为1，则的距离为 ． 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，根据题意可分别确定点C与点D表示的数，进而可确定这两个点间的距离，即可解答． 【详解】解：数轴上对应的数为，点的距离为4， 对应的数为或， 数轴上对应的数为，点B,D的距离为1， 对应的数为或， 的距离为或或或， 故答案为：或或或． 变式1．在数轴上，点表示的数是，到点距离4个单位的点表示的数是（   ） A． B．或 C．9 D． 【分析】本题考查了数轴表示数，数轴上两点的距离，分两种情况或，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵点表示的数是， ∴到点距离4个单位的点表示的数是：或， ∴到点距离4个单位的点表示的数是或， 故选：B． 变式2．已知数轴上的、两点表示的数分别为与5，且，则的值为（   ） A．或6 B．2或11 C．2或6 D．6或11 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，根据数轴上两点间的距离得到，求解即可解答． 【详解】解：∵数轴上的、两点表示的数分别为与5，且， ∴ ∴， 解得或． 故选：C 变式3．点A、B在数轴上的位置如图所示，则A、B两点的距离 ． 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，解题关键是掌握两点间的距离公式，解为右边的数减去左边的数，或者是两个数的差的绝对值．直接利用右边的点表示的数减去左边的点表示的数即可． 【详解】解：， 故答案为：． 变式4．如图，数轴的单位长度为1，数轴上有A，B，C三个点，若点A，B到原点的距离相等，则点C表示的数是 ． 【分析】本题考查了数轴，熟练掌握数轴上点的特征，能够通过题意确定数轴的原点是解本题的关键，根据题意：之间的距离为个单位长度，点、到原点的距离相等，得出点表示的数为，点表示的数为，再结合数轴，即可得出点表示的数． 【详解】解：∵之间的距离为个单位长度，点、到原点的距离相等， ∴点、表示的数的绝对值相等， ∵， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∴点在原点的左侧个单位长度处， ∴点表示的数为．故答案为：． 变式5．数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则点，之间的距离为 ，点，之间的距离为 ． 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离的计算方法的知识，掌握以上知识是解题的关键． 本题可以采用两种方法：第一种方法在数轴上直接表示出、和的数，然后即可求出两点之间的距离；第二种方法就是直接用较大的数减去较小的数，在数轴上越靠右的数越大，然后即可求解． 【详解】解：∵点表示的数为，点表示的数为， ∴根据较大的数减去较小的数得： ， ∴点，之间的距离为； ∵点表示的数为，点表示的数为， ∴根据较大的数减去较小的数得： ， ∴点，之间的距离为； 故答案为：2；6． 题型4：数轴上的动点问题 例1．如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒． (1)当时，求点Q到原点O的距离； (2)当时，求点Q到原点O的距离； (3)当点Q到点A的距离为4时，求点P到点Q的距离． 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，两点间的距离，在数轴上表示有理数，熟练掌握数轴上两点之间距离的表示方法是解题的关键． （1）计算出点Q运动的路程，即可解答； （2）计算出点Q的运动路程，即可解答； （3）分三种情况，点在还没达到原点，点Q到点A的距离为4；到达原点后返回未经过点A，与点A的距离为，返回经过点A后，与点A的距离为，再计算时间，即可得到点运动的路程，即可解答． 【详解】（1）解：∵动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动， ∴当时，， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∴， ∴当时，点到原点的距离为6； （2）解：∵动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动 ∴当时，点运动的距离为， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∴， ∴当时，点到原点的距离为2； （3）解：当点到点A的距离为4时， 分两种情况讨论： ①点向左运动还没达到原点时， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∵， ∴ 运动时间为（秒）， ∴； ∴； ②点向右运动时且还没经过点时， ∵， ∴， 运动时间为（秒）， ∴； ∴； ③点向右运动时且经过点后， ∵， ∴， 运动时间为（秒）， ∴； ∴； 综上，点P到点Q的距离为6或10或22． 变式1．，分别是数轴上两个不同点，所表示的有理数，且，，，两点在数轴上的位置如图所示： (1)试确定数，； (2)若点在数轴上，点到点的距离是点到点距离的，求点表示的数； (3)点从点出发，先向左移动一个单位长度，再向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度，依次操作次后，求点表示的数． 【分析】本题主要考查数轴上两点间的距离公式及点的平移性质，根据题意运用分类讨论的思想是解题的关键． （1）根据绝对值的定义结合由数轴得出a，b的符号即可得； （2）分以下两种情况：点C在A，B之间、点C在点B右侧，利用两点间距离公式列方程求解； （3）根据平移的性质可知，P点表示的数为，计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵由数轴可知，， ∴；. （2）解：①若C点在B点的右侧，则， ∴， ∴点C表示的数为：， ②若C点在A，B点之间，则， ∴， ∴点C表示的数为：． 综上，C点表示的数为或； （3）解： ． 表示的数为． 变式2．如图，在数轴上有A，B，C三个点，请回答下列问题： (1)将点A向左平移5个单位长度，这时的点表示的数是______； (2)怎样移动A，B，C中的两个点，才能使三个点表示相同的数？ 【分析】本题主要考查用数轴表示有理数、数轴上的动点问题等知识点，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键． （1）根据数轴上的点的移动规则“左移减，右移加”列式计算即可； （2）根据点在数轴上的位置，写出一种移动方法即可． 【详解】（1）解：∵点A表示的数是4， ∴将点A向左平移5个单位长度，这时的点表示的数是． 故答案为：． （2）解：∵点A表示的数是4，点B表示的数是0，点C表示的数是， ∴当点B，C移动到点A的位置时，点B向右移动个单位长度，点C向右移动个单位长度； 当点A，C移动到点B的位置时，点A向左移动个单位长度，点C向右移动个单位长度； 当点A，B移动到点C的位置时，点A向左移动个单位长度，点B向左移动个单位长度． 变式3．如图，已知数轴上有A，B，C三点，它们表示的数分别是，，4． 点A到点C的距离可以用表示，且． (1)应用： ， ； (2)拓展：若点A沿数轴向右以每秒3个单位长度的速度运动，则t秒时点A表示的数是 ，此时， （用含t的式子表示）； (3)探究：若点C以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时，点A和点B分别以每秒3个单位长度和8个单位长度的速度向左运动，则的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，求出的值． 【分析】此题考查数轴上动点问题，数轴上两点之间的距离， （1）根据数轴上两点之间的距离公式直接计算即可； （2）根据数轴上两点之间的距离公式直接计算即可； （3）根据两点之间的距离公式分别求出，，即可判断． 【详解】（1）解：，， 故答案为：6；10； （2）解：t秒时点A表示的数是， 此时或， 故答案为：；或； （3）解：t秒时点A表示的数是，点B表示的数是，点C表示的数是， 当点A与点B重合时，，解得， 当时，，， ∴，此时的值随着时间t的变化而改变； 当时，，， ∴，此时的值不随着时间t的变化而改变， 综上，当时的值随着时间t的变化而改变；当时，的值不随着时间t的变化而改变，． 题型5：数轴上的规律探究 例1．正方形在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为和，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转，则在数轴上与2024对应的点是（   ）． A． B． C． D． 【分析】本题考查了数轴，根据翻转的变化规律确定出每4次翻转为一个循环组是解题的关键．由图可知正方形边长为1，当正方形在转动一周的过程中，点落在，点落在，点落在0，点落在1，可知其四次一循环，由此可确定出2024所对应的点． 【详解】解：当正方形在转动一周的过程中，点落在，点落在，点落在0，点落在1， 每4次翻转为一个循环组， ， 与2024对应的点是点． 故选：B． 变式1．如图，正六边形（每条边长相等、每个角相等）在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为，．现将正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为1，像这样连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【分析】本题考查了数轴，以及图形类规律探究，根据题意找出规律进行求解是解决本题的关键． 根据题意可得，翻转后数轴上点1，3，5，7，9，11的对应的点分别是A，B，C，D，E，F，根据规律进行判定即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得，翻转后数轴上点1对应的是A， 数轴上点3对应的是B， 数轴上点5对应的是C， 数轴上点7对应的是D， 数轴上点9对应的是E， 数轴上点11对应的是F， …… 则， 所以连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是E． 故选：C． 变式2．如图，等边三角形的边在数轴上，现将等边三角形沿着数轴向右翻滚（无滑动），第1次翻滚后点到点位置．若点表示的数为，等边三角形的边长为2，则翻滚2024次后点在数轴上对应的数为（    ） A．2024 B．4047 C．4049 D．6071 【分析】本题考查了数轴上动点的规律探究，根据点的变化，找出变化规律是解题的关键． 由图可知，每3次翻转为一个循环，每次循环点表示的数增大6，2024除以3余数为2，根据余数可知点A在数轴上，然后进行计算即可得解． 【详解】解：由题意可得， 每3次翻转为一个循环组依次循环， ， ∴翻转次后点A在数轴上， ∴点A对应的数是． 故选C． 变式3．如图，周长为4个单位长度的圆上4等分点为，，，，点落在数轴上的2的位置，将圆在数轴上沿负方向滚动，那么圆上落在数轴上的点是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查图形类规律探索，数轴上两点间的距离，理解题意，找出规律是解题关键．根据数轴上负方向上从2的位置开始的整数每四个数为一个循环，依次对应，，，，解答即可． 【详解】解：根据题意可得：数轴上负方向上从2的位置开始的整数每四个数为一个循环，依次对应，，，． ∵表示的点与表示2的点的距离为， 又∵， ∴圆上落在数轴上的点是P．故选C． 题型6： 相反数的定义 例1．下列各数中与2互为相反数的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了相反数、绝对值、化简多重符号等知识，理解相反数的定义是解题关键．只有符号不同的数为相反数．根据相反数的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 不是2的相反数，不符合题意； B. ，不是2的相反数，不符合题意； C. 是2的相反数，符合题意； D. ，不是2的相反数，不符合题意． 故选：C． 例2．一个数的相反数是，这个数是 ． 【分析】本题考查了相反数的定义；根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得． 【详解】解：一个数的相反数是，这个数是， 故答案为：． 变式1．的相反数是（ ） A．2024 B． C． D． 【分析】本题绝对值和相反数，根据负数的绝对值为它的相反数，以及只有符号不同的两个数互为相反数，即可得出结果． 【详解】解：的相反数是； 故选D． 变式2．如图，数轴上点与点表示的数是一对相反数，则与原点距离最近的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【分析】本题考查了数轴，绝对值，相反数定义，根据点与点表示的有理数互为相反数标出原点，然后根据绝对值的定义即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵点与点表示的有理数互为相反数， ∴原点的位置大约在点，如图， ∴绝对值最小的数的点是点，即到原点距离最近的是点， 故选：． 变式3．在数轴上，点与点位于原点的两侧，且到原点的距离相等．若点表示的数为．则点表示的数是 ． 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示的数，根据题意得到点A与点B表示的数互为相反数是解题的关键． 【详解】解：∵点A与点B位于原点的两侧，且到原点的距离相等， ∴点A与点B表示的数互为相反数， 又∵点A表示的数为， ∴点B表示的数是2， 故答案为：2． 题型7：相反数的性质及其应用 例1．如图，数轴上有A，B，C三个点．若点A，B表示的数相加为0，数轴的单位长度为1，则点C对应的数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】本题考查了相反数的性质，数轴上两点之间的距离，利用数形结合思想解决问题是解题关键．结合相反数性质得到点A，B表示的数为，，再结合求解，即可解题． 【详解】解：因为点A，B表示的数相加为0， 所以点A，B表示的数到原点的距离相等， 又数轴的单位长度为1，， 所以点A，B表示的数为，， 因为， 所以点C对应的数是， 故选：B． 例2．若与互为相反数，则的值为（　　） A．3 B． C．0 D．3或 【分析】本题重点考查了绝对值的非负性，属于基础题，记住“几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0”是解题关键．根据相反数的定义可得，再通过“几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0”，计算出a和b的值，即可得出结果． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ， 解得， ∴， 故选：A． 例3．如图，数轴上的点M，P，N，Q分别表示四个有理数，若点M，N表示的有理数互为相反数，则图中表示正数的点的个数是 个．   【分析】本题考查了数轴、相反数的几何意义，解决本题的关键是判断出原点的位置． 先利用相反数的几何意义确定原点为线段的中点，再根据原点右边的数为正数进行判断解答即可． 【详解】解：点M，N表示的有理数互为相反数， ∴原点O在的中点处，如图， ∴图中在原点O右边的数为正数的点是P、N、Q三个点． 故答案为：3． 例4．设与互为相反数，则 ． 【分析】本题考查了相反数的应用，根据题意可得，代入即可求解． 【详解】解：∵与互为相反数 ∴， ∴， 故答案为：． 例5．对于一个数，我们用表示小于的最大整数，例如；如果和互为相反数，那么式子的最大值为 ． 【分析】利用题中的新定义可得：对于任意数a，，由此进行求解即可． 【详解】解：设， ∵和互为相反数， ∴； ∵对于任意数a，， 即， ∴， 即， ∴； 即的最大值为2； 故答案为：2． 变式1．点A、C、O、B在数轴上的位置如图所示，O为原点，，点C对应的有理数是a，若，则点B对应的有理数是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，以及相反数的意义．由点C对应的有理数是a，，根据两点之间的距离求出点A，然后利用相反数的意义即可求解． 【详解】解：∵点C对应的有理数是a，， ∴点A对应的有理数为：， ∵， ∴A，B是一对相反数． ∴点B为， 故选：C． 变式2．如图是一个正方体的展开图，正方体相对面的数字或代数式互为相反数，则的值为______，的值为______．    A．2， B．， C．，2 D．， 【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形确定出相对面，再根据相对面上的数字互为相反数列式求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形． “”与“”是相对面， “4”与“”是相对面， “”与“1”是相对面， 相对的面上的数字或代数式互为相反数， ， ， 解得， ． 故选：A． 变式3．如果和互为相反数，那么的值是（    ） A． B．2019 C．1 D． 【分析】根据和互为相反数，构造等式+=0，利用实数的非负性确定a，b的值，代入计算即可． 【详解】∵和互为相反数， ∴+=0， ∴a+2=0，b-1=0， ∴a+b+1=0， ∴a+b= -1， ∴== -1， 故选D． 变式4．和互为相反数，那么 ． 【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得：， ∴， 故答案为：1． 变式5．已知：a与3互为相反数，b的绝对值为最小的正整数，回答以下问题． (1)______，______； (2)已知，求． 【分析】本题主要考查相反数、绝对值的非负性； （1）根据相反数及绝对值可直接进行求解a、b的值； （2）根据（1）及绝对值的非负性可得m、n的值，然后代入求解即可． 【详解】（1）∵a与3互为相反数，b的绝对值为最小的正整数， ∴ （2）∵ ∴ ∴ 当时，； 当时，； 综上：或3； 变式6．如图所示的数轴的单位长度为．请回答下列问题：    (1)如果点、表示的数互为相反数，那么点表示的数是多少? (2)如果点、表示的数互为相反数，那么点、表示的数分别是多少? 【分析】本题考查是数轴与有理数； （1）根据数轴上点的位置以及相反数的性质确定原点的位置，进而即可求解； （2）根据数轴上点的位置以及相反数的性质确定原点的位置，进而即可求解． 【详解】（1）解：如图，点为原点，点表示的数是．    （2）如图，点为原点，点表示的数是，点D表示的数是．    题型8：相反数中多重符号的化简 例1．化简： （1） ；（2） ； （3） ；（4） ． 【分析】本题考查了化简多重符号，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 根据化简多重符号的法则计算即可得解； 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 故答案为：；2024；；． 例2．填空： （1） ． （2） ； ． 【分析】本题考查了相反数的概念，正确理解相反数的概念是解题的关键．直接利用相反数的概念化简多重符号，即可逐步得出答案． 【详解】解：（1）； 故答案为：2 （2）；． 故答案为：2， 变式1．化简： ， ， ． 【分析】根据相反数的意义化简即可解答． 【详解】解：，，． 故答案为：7，，． 变式2．化简下列各数中的符号． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）根据相反数的意义即可解答； （2）根据相反数的意义即可解答； （3）根据相反数的意义即可解答； （4）根据负数前面的“+”号可以省略即可解答； （5）根据相反数的意义即可解答； （6）根据相反数的意义即可解答． 【详解】（1）解：表示的相反数，而的相反数是，所以 ． （2）解：表示的相反数，即， 所以． （3）解：表示的相反数，而的相反数是，所以． （4）解：负数前面的“+”号可以省略，则． （5）解：先看中括号内表示1的相反数，即，因此而表示的相反数，即1，所以． （6）解：表示的相反数，即a．所以． 题型9：绝对值的概念 例1．用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最远的点表示的数是（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，比较各数绝对值的大小即可求解，理解绝对值的意义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴与原点距离最远的点表示的数是． 故选：D 例2．已知数满足，则不可能为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据非负数的绝对值等于其本身，负数的绝对值等于其相反数，即可解答，掌握绝对值的意义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 由选项可知A，B，C符合，D不符合， 故选：D． 例3．若成立，那么x的取值范围是 ． 【分析】此题考查了绝对值的性质，根据题意得出，得到或，然后分情况验证即可． 【详解】∵成立， ∴ ∴或 ∴当时，，，等式成立； 当时，，，等式不成立； 综上所述，x的取值范围是． 故答案为：． 变式1．已知四个有理数在数轴上的对应点，，，的位置如图所示，则这四个点表示的数中，绝对值最大的是（    ） A．点表示的数 B．点表示的数 C．点表示的数 D．点表示的数 【分析】本题考查了绝对值的定义，根据绝对值的定义结合实数a、b、c、d在数轴上对应点的位置，即可求出结果，熟练掌握绝对值最大的数就是到原点距离最大的数是解题的关键． 【详解】解：根据数轴可得离原点最远的点是点， ∴这四个点表示的数中，绝对值最大的是点表示的数， 故选：A． 变式2．若是有理数，则下列说法正确的是（   ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．一定是负数 D．一定是正数 【分析】本题考查有理数的相关概念，绝对值的性质，关键是要牢记正负数的定义和绝对值的性质．根据正负数的概念及绝对值的性质即可得出答案． 【详解】解：A．若是有理数，当时，，0既不是正数，也不是负数，故本选项不合题意； B．若是有理数，则，故本选项不合题意； C．若是有理数，则，故本选项不合题意； D．因为，所以，即一定是正数，故本选项符合题意． 故选：D． 变式3．绝对值不大于5的整数有 【分析】本题考查了绝对值的概念，解题的关键是理解绝对值的含义，明确“不大于”的意思是小于等于，然后找出满足条件的整数． 根据绝对值的定义，找出绝对值不大于5的所有整数即可． 【详解】解：绝对值不大于5的所有整数为：， 故答案为． 变式4．数轴上表示到原点距离为的数是 【分析】本题考查了数轴与有理数，根据绝对值的意义即可求解，理解绝对值的意义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴数轴上表示到原点距离为的数是和， 故答案为：和． 题型10：求一个数的绝对值 例1．（1）绝对值是2026的有理数是 ． （2）的相反数是 ． （3）绝对值是2的数是 ． （4）的绝对值是 ． 【详解】（1）解：设这个数是x，则， 当时，， 所以，， 当时，， 所以，， 故答案为：2026或． （2）解：的相反数是． 故答案为：． （3）解：绝对值是2的数是2或． 故答案为：2或． （4）解：∵， ∴的绝对值是． 故答案为：3． 变式1．（1）绝对值是的负数为 ． （2）如果，那么 ． （3） ， ， ． （4）4的相反数是 ，的绝对值是 ， ． 【详解】（1）解：依题意，绝对值是的负数为， 故答案为：． （2）解：∵， ∴， 故答案为：． （3）解：，，； 故答案为：． （4）解：4的相反数是，，， 故答案为：，，． 变式2．（1）如果，那么 （2） ． （3）的绝对值为 ，的相反数为 ． （4）的相反数是 ，绝对值是 ． （5）的绝对值是( )，的相反数是( )． 【详解】（1）解：∵， ∴或， ∴或， ∴或， 故答案为：0或2． （2）解∶ ， 故答案为∶ ． （3）解：的绝对值为：， 的相反数为：． 故答案为：，． （4）解：的相反数是0.5， 绝对值是． 故答案为：0.5，0.5． （5）解：的绝对值是，的相反数是；故答案为：，． 题型11：绝对值的非负性 例1．若，，且，则x，y的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性．先根据绝对值的定义得到，，再由绝对值的非负性推出，则，． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， 故选：C． 例2．成立的条件是（   ） A． B． C．且 D．或 【分析】本题主要考查绝对值的非负性，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据绝对值的非负性，可得，，求解即可选出正确答案． 【详解】解：∵， ∴， 解得：且 故选：C 例3．若与互为相反数，则的值为 ． 【分析】本题考查了相反数和非负数的性质．掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键．根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】与互为相反数， 答案为：． 例4．若，求、的值． 【分析】本题考查了非负数的性质．根据绝对值的和为零，可得每个绝对值同时为零，可得答案． 【详解】解：由，得 ，． 解得，． 变式1．若与互为相反数，则（    ）． A． B． C． D． 【分析】本题考查了相反数的定义、绝对值的非负性等知识点，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键． 根据相反数的定义及非负数的性质列出方程求出a、b的值即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴． 故选B． 变式2．已知与4互为相反数，的绝对值是最小的正整数，已知，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5或-5 D．3或5 【分析】先根据相反数的定义以及绝对值的定义求得a、b的值，再根据非负数的性质求得m、n的值，然后计算即可．掌握几个非负数的和为零，则每个非负数均为零是解题的关键． 【详解】解：∵与4互为相反数，的绝对值是最小的正整数， ∴， ∵， ∴或， 又∵，或，， ∴或， ∴或， ∴或， ∴的值为3或5． 故选：D． 变式3．已知，则，，的值分别是 ． 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 任何数的绝对值都是非负数，若几个非负数的和为零，则每个非负数分别为零，据此即可求解． 【详解】∵，，，且， ∴，，， ∴，，． 故答案为：，，． 变式4．已知|a﹣2|与|b﹣3|互为相反数，|c﹣5|＝0，求a，b，c的值各是多少？ 【分析】根据题意可得|a﹣2|+|b﹣3|＝0，再根据非负数的性质可求得a、b以及绝对值的意义可求得c． 【详解】解：∵|a﹣2|与|b﹣3|互为相反数， ∴|a﹣2|+|b﹣3|＝0， ∴a﹣2＝0，b﹣3＝0，解得a＝2，b＝3， ∵|c﹣5|＝0， ∴c﹣5＝0，解得c＝5． 变式5．已知，，且，求、的值． 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，绝对值的非负性，根据绝对值的意义求出x、y的值，再根据绝对值的非负性可得，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴，，               ∵， ∴，        ∴，． 题型12：绝对值的应用 例1．正式足球比赛所用足球的质量有严格的规定．下面是6个足球的质量检测结果（用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数） ，，，，，． 请指出哪个足球的质量好一些，并用绝对值知识进行说明． 【详解】本题考查了正数和负数，绝对值的性质，熟记正数和负数的意义是解题的关键． 求出各球记录的质量的绝对值，然后选择绝对值最小的为质量最好． 【解答】解：， ， ， ， ， ， ， 质量检测结果是的足球质量好一些． 变式1．一辆出租车从A站出发，先向东行驶，接着向西行驶，然后又向东行驶． (1)画一条数轴，以原点表示A站，向东为正方向，在数轴上表示出租车每次行驶的终点位置． (2)求各次路程的绝对值的和．这个数据的实际意义是什么？ 【分析】本题考查的是数轴、绝对值及有理数混合运算的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点． （1）数轴三要素：原点，单位长度，正方向．画数轴可表示出租车最终在A站东边处； （2）根据绝对值的意义求解即可． 【详解】（1）如图所示，    （2）， 这个数据的实际意义是出租车行驶的总路程为． 变式2．阅读下面材料： 在数轴上2与所对应的两点之间的距离为； 在数轴上与3所对应的两点之间的距离为； 在数轴上与所对应的两点之间的距离为． 归纳：在数轴上点A，B分别表示数a，b，则A，B两点之间的距离或． 回答下列问题： (1)数轴上表示数x和1的两点之间的距离表示为 ；数轴上表示数x和 的两点之间的距离表示为； (2)试说明当表示数x的点在与3的对应点之间移动时，的值总是一个固定的值，并求出这个固定值． 【分析】本题考查了绝对值的意义与性质： （1）结合题干条件，即可作答； （2）因为当表示数x的点在与3的对应点之间移动时，即，再根据绝对值的性质进行化简，即可作答； 正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意，数轴上表示数x和1的两点之间的距离表示为或， 因为， 所以数轴上表示数x和的两点之间的距离表示为； （2）解：依题意， 因为当表示数x的点在与3的对应点之间移动时， 所以， 故， 即当表示数x的点在与3的对应点之间移动时，的值总是一个固定的值，且为5． 题型13：绝对值中的最值问题 例1．计算的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】由，可得表示在数轴上点x与1和之间的距离的和，即可求解． 【详解】解： ， 表示在数轴上点x与1和之间的距离的和， 当时， 有最小值3．故选：D． 例2．数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： (1)①若，则_____， ②，则的取值为_____； (2)最小值为_____； (3)求的最小值，并求出此时的取值范围． 【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上两点之间的距离，正确掌握数轴上两点之间的距离的计算方法是解题的关键． （1）①根据绝对值的几何意义，以及数轴上两点之间的距离求解，即可解题； ②根据绝对值的几何意义，以及数轴上两点之间的距离求解，即可解题； （2）在数轴上表示x的点到三个点表示的数之间的距离之和最小，即x取三个数中间的数时，距离之和取最小值，据此求解即可； （3）根据绝对值的几何意义，以及数轴上两点之间的距离，结合数轴直观可得当时其和取得最小值，即可解题． 【详解】（1）解：①表示数轴上表示x的点到的距离为3， 或， 解得或， 故答案为：5或． ②，表示的意义是数轴上表示x的点到表示3和两点的距离之和为5，可得， 故答案为：． （2）解：表示的意义是数轴上表示x的点到表示，和三点的距离之和， ，当时取得最小值4， ，当时为0， 当时，取得最小值， 其最小值为：， 故答案为：； （3）解：表示的意义是数轴上表示x的点到表示的点的距离，个表示x的点到表示的点的距离，个表示x的点到表示的点的距离，个表示x的点到表示的点的距离，个表示x的点到表示的点的距离之和， 相当于有个分段点， 第8个分段点是2023， 当时其和取得最小值， 即． 变式1．式子的最小值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】当绝对值有最小值时，式子有最小值，进而得出答案． 【详解】解：当绝对值最小时，式子有最小值， 即|x-2|=0时，式子最小值为0+1=1． 故选：B． 变式2．阅读理解： 对于有理数a、b，的几何意义为：数轴上表示数a的点到原点的距离；的几何意义为：数轴上表示数a的点与表示数b的点之间的距离.如：的几何意义即数轴上表示数x的点与表示数2的点之间的距离，请根据你的理解解答下列问题： (1)我们知道，根据几何意义，若，那么x的值是 ． (2)利用数轴分析的几何意义，的最小值是 ． (3)的最小值是 ． 【分析】（1）根据绝对值的几何意义即可求解； （2）根据绝对值的几何意义即可求解； （3）根据绝对值的几何意义即可求解． 本题考查数轴、绝对值，理解绝对值的定义，掌握数轴表示数的方法是正确解答的关键． 【详解】（1）解：的几何意义：数轴上表示x的点与表示的点之间的距离， 若，向右3个单位是1，向左三个单位是， 故答案为：1或； （2）解：的几何意义：数轴上表示x的点与表示的点之间的距离与数轴上表示x的点与表示3的点之间的距离之和， 当时，的最小值是为， 故答案为：5； （3）解：∵表示x到，0，1，2，3，…24的点的距离的和， ∴当，最小， 最小值为， 故答案为：169． 变式3．我们知道一个数的绝对值的几何意义是：在数轴上表示这个数的点离原点（表示数0）的距离，在数轴上表示两个数x，y的点之间的距离可以表示为．如可以表示点与点1之间的距离跟点与之间的距离的和，根据图示易知：当点的位置在点A和点B之间（包含点A和点B）时，点与点A的距离跟点与点B的距离之和最小，且最小值为3，即的最小值是3，且此时的的取值范围为．请根据以上阅读，解答下列问题： (1)表示3的点与的点之间的距离表示为 ； (2)的最小值是 ，此时的值为 ； (3)当的最小值是4.5时，求出的值及的值． 【分析】本题考查了绝对值的应用． （1）根据绝对值的几何意义，得出3的点与的点之间的距离为4． （2）根据绝对值的几何意义，得出的最小值； （3）画出数轴，分两种情况进行讨论：当或时，的最小值是4.5． 【详解】（1）解：根据绝对值的几何意义，得出3的点与的点之间的距离为． （2）解：根据绝对值的几何意义可得，当时，的最小值是3， 故答案为：3，． （3）解：由图可得， 只有当或时，的最小值是4.5， ∴当的最小值是4.5时，或． 课后作业 一、单选题 1．（2025·安徽蚌埠·三模）下列各数中，是负数的是（    ） A． B．0 C． D． 【分析】本题考查了对正数和负数定义的理解，根据正数和负数的定义判断即可，注意：0既不是负数也不是正数． 【详解】解：A．，是正数，故A选项不符合题意； B．0既不是正数，也不是负数，，故B选项不符合题意； C．，是负数，故C选项符合题意； D．，是正数，故D选项不符合题意； 故选：C． 2．（2025·河南周口·二模）下列数轴上四个点表示的数中，绝对值最小的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了绝对值的定义、实数大小比较问题，熟练掌握绝对值最小的数就是到原点距离最小的数． 根据数轴上某个数与原点的距离的大小确定结论． 【详解】解：由图可知：点到原点的距离最短， 所以在这四个数中，绝对值最小的数是． 故选：C． 3．（2025·湖北·三模）现有四个标号为1，2，3，4的乒乓球，它们的重量与标准重量的差分别是，，最接近标准重量的乒乓球标号是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】此题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．先比较出超标情况的大小，再根据绝对值最小的越接近标准质量，即可得出答案． 【详解】解：∵，且， ∴球的质量最接近标准质量是1号乒乓球， 故选：A． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）下列说法错误的是（   ） A．所有的有理数都可以用数轴上的点表示 B．在数轴上表示3和的两个点之间的距离是5 C．数轴上存在可以表示的点 D．数轴上表示的点一定在原点的左边 【分析】本题考查了数轴，数轴上两点间距离，直接利用数轴的性质分别分析得出答案即可． 【详解】解：A、所有的有理数都可以用数轴上的点表示，说法正确，故选项A不合题意； B、在数轴上表示3和的两个点之间的距离是，说法正确，故选项B不合题意； C、数轴上存在可以表示的点，故原说法正确，选项C不合题意； D、可以表示正数，因此数轴上表示的点不一定在原点的左边，说法错误，故选项D符合题意． 故选：D． 5．（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）下列说法：①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个数相等，那么这两个数的绝对值一定相等；③如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；④有理数绝对值越大，离原点越远．其中正确的有（    ） A．2个 B．1个 C．3个 D．4个 【分析】本题考查了绝对值的性质，根据绝对值的性质进行判断即可，掌握绝对值的性质是解题的关键． 【详解】解：①正数和负数的绝对值一定比0大，0的绝对值等于0，故①不符合题意； ②如果两个数相等，那么这两个数的绝对值一定相等，说法正确，故②符合题意； ③如果两个数的绝对值相等，那么这两个数不一定相等，也可能互为相反数，故③不符合题意； ④有理数绝对值越大，离原点越远，说法正确，故④符合题意； 综上，符合题意的有②④，共个， 故选：A． 6．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）在数轴上有A、B两点，点A在原点左侧，点B在原点右侧，点A对应整数a，点B对应整数b，若，当a取最大值时，b值是（   ） A．1012 B．2024 C．2025 D．2026 【分析】本题考查绝对值，数轴，掌握数轴表示数的方法以及绝对值的定义是正确解答的关键． 根据数轴表示数的方法以及点A、点B所表示的数进行计算即可． 【详解】解：由于点A在原点左侧，点A对应整数a，a的最大值是， 又点B在原点右侧，点B对应整数b，而， ， 故选：B． 7．（24-25七年级上·山东日照·期末）如图，将一刻度尺放在数轴上，刻度尺上的“”和“”分别对应数轴上表示和的两点，那么刻度尺上的“”对应的点表示的数值为（　　）    A． B． C． D． 【分析】本题考查了数轴上两点距离的计算，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据题意可得刻度尺上对应数轴上一个单位长度，即可求解． 【详解】解：刻度尺上的“”和“”分别对应数轴上表示和的两点， 刻度尺上对应数轴上一个单位长度， 刻度尺上的“”对应的点表示的数值为， 故选：C． 8．（24-25七年级上·河北唐山·期末）在数轴上有A，B，C三点，其中点A表示的数是2，点B表示的数是，如果其中一点为另外两点形成的线段的中点，则点C表示的数是（   ） A．或 B．或8或2 C．或8或1 D．或或8 【分析】本题考查了数轴的基本性质和数轴上两点间的距离计算，本题的解题关键是数轴上两点间的距离计算，根据数轴的基本性质和数轴上两点间的距离即可求解． 【详解】解：、、是数轴上三点，且点表示的数是，点表示的数为1， 设点表示的数为， 当其中一点是另外两点构成的线段中点， ①为线段的中点， 的值为：； ②为线段的中点， 的值为：； ③为线段的中点， 的值为：； 则点C表示的数是或或8， 故选：D． 9．（24-25七年级上·河北保定·期末）若，则m的值为（   ） A．或 B． C．2或 D． 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，掌握绝对值的意义成为解题的关键． 根据绝对值的意义即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即m的值为或． 故选A． 10．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）等边在数轴上的位置如图所示，点、对应的数分别为0和，若绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为1；则翻转2018次后，点B所对应的数是（    ） A．2017 B．2016 C．2015 D．2014 【分析】本题考查了数轴的知识，解决本题的关键是根据图形翻折次数找出规律，利用规律解决问题． 作出草图，观察发现，每3次翻转为一个循环组依次循环，用2018除以3余2，可得翻转2018次后点B在数轴上，由此求得点B所对应的数即可． 【详解】如图，每3次翻转为一个循环组依次循环， ∵， ∴翻转2018次后点B在数轴上， ∴点B对应的数是． 故选：A． 11．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）若有理数a，，b在数轴上对应点如图所示，则下列运算结果是正数的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查的是数轴和正负数，由数轴得，，，于是得出，，进一步得出，，然后再判断即可作出选择． 【详解】解：由数轴得，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故排除选项A、B、C， 故选：D． 12．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，一动点从原点开始向左运动，每秒运动个单位长度，规定：每向左运动秒就向右运动秒．则动点运动到第秒时所对应的数是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，根据移动的方向、速度和规律进行计算找出运动的规律即可求解．根据点运动的规律可知每运动秒，点就向左移动个单位长度，秒中共有个秒，所以第秒时点对应的数是． 【详解】解：当动点从原点出发向左运动秒，到达的点表示的数为， 再向右运动秒到达的点表示的数为， 动点运动秒向左移动个单位长度， ， 动点向左运动了个秒， 动点运动到第秒时所对应的数是． 故选：A． 13．（24-25七年级上·浙江温州·期中）已知a、b、c为非零有理数，若，则的值为（    ） A．1 B． C． D．或 【分析】本题考查了绝对值的化简，利用分类讨论的思想解决问题是关键．根据题意分两种情况求解：若a、b、c中有一个正数，两个负数；若a、b、c中有两个正数，一个负数，根据绝对值的意义分别求解即可． 【详解】解：， ，，， ， 若a、b、c中有一个正数，两个负数，不妨设，，， ； 若a、b、c中有两个正数，一个负数，不妨设，，， ， 的值为， 故选：C． 二、填空题 14．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在直线上表示、、、时，离0最近的数是 ． 【分析】本题考查了有理数大小比较，根据绝对值的定义解答即可． 【详解】解：∵， ∴在直线上表示、、、时，离0最近的数是． 故答案为：． 15．（24-25七年级上·山东潍坊·期中）水文站以警戒线为标准测量水库的水位，超过警戒线记为正，低于警戒线记为负，下表是一天五次的测量数据，其中第 次测量时水位离警戒线最近． 次序 1 2 3 4 5 水位（厘米） 16 8 【分析】本题考查了正数和负数，利用了绝对值的意义，绝对值越小越接近标准．根据绝对值的意义，可得答案． 【详解】解：， 绝对值越小越接近警戒水位，即其中第3次测量时水位离警戒线最近． 故答案为：3． 16．（16-17七年级上·甘肃武威·阶段练习） ． 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据意义即可求解，解题的关键是正确理解表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数． 【详解】解：根据绝对值的定义可得：， 故答案为：． 17．（24-25七年级上·河南郑州·期末）请写一个绝对值小于2的整数 ． 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较和绝对值，先求出所有绝对值小于2的整数，然后写出其中的一个即可． 【详解】解：∵的绝对值小于2，且是整数， ∴绝对值小于2的整数是， 故答案为：0（答案不唯一）． 18．（24-25六年级上·上海·期末）在一条可以折叠的数轴上，点、表示的数分别为和3，（如图1）以点为折点，将此数轴向右对折，折叠后若A，两点间的距离为1，则点表示的数为 ． 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示的有理数，先根据A，B点表示的数求出线段长，再分两种情况讨论：并根据折叠后的长求出的长，进而确定点C表示的有理数． 【详解】解：∵点A，B点表示的数分别是， ∴． 当折叠后点A在点B的右边，且， ∴， 解得， ∴点C表示的数是； 当折叠后点A在点B的左边，且， ∴， 解得， ∴点C表示的数是． 所以点C表示的数是或．故答案为：或． 19．（24-25六年级上·上海宝山·期末）如果，则 ． 【分析】本题主要考查了解绝对值方程，熟练掌握绝对值的性质是解题关键．由绝对值的性质可得，，求解即可获得答案． 【详解】解：因为， 所以或， 解得或． 故答案为：4或． 20．（24-25七年级上·甘肃平凉·期中）化简：= ，= ． 【分析】本题考查的是相反数的定义，即只有符号不同的两个数叫做互为相反数．同时还考查了绝对值的意义，理解相关概念是解题关键． 【详解】解：，， 故答案为：8；． 21．（24-25七年级上·重庆渝北·阶段练习） ； ． 【分析】本题考查了相反数与绝对值，根据相反数的定义和绝对值的意义计算即可． 【详解】解：，， 故答案为：2；． 22．（24-25七年级上·四川自贡·阶段练习）化简：(1) ； (2) ；(3) ． 【分析】(1)根据多重符号的化简解答即可； (2) 根据多重符号的化简解答即可； (3)根据绝对值的化简解答即可． 本题考查了多重符号的化简，绝对值的化简，熟练掌握运算的法则是解题的关键． 【详解】解：(1)， 故答案为：． (2)， 故答案为：． (3)， 故答案为：2． 23．（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习） ， 【分析】该题主要考查了相反数的定义，解题的关键是掌握相反数的定义． 根据相反数的定义化简多重符号即可求解； 【详解】解：，，， 故答案为：；；2． 24．（24-25七年级上·吉林长春·期中）化简： ； ． 【分析】本题考查了相反数的定义，依据相反数的定义，根据多重符号的化简方法：与“”个数无关，有奇数个“”号结果为负，有偶数个“”号，结果为正，对各式进行化简，即可得出答案， 理解掌握相反数的定义是解题的关键． 【详解】解：；， 故答案为：，． 25．（24-25七年级上·重庆石柱·阶段练习）化简： ． 【分析】本题考查多重符号化简，根据“负负得正”计算即可得出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 26．（24-25七年级上·内蒙古乌兰察布·阶段练习）化简： ； ． 【分析】本题考查了多重符号的化简方法． 应该注意：在一个数前面添加一个“”，所得的数与原数相同；在一个数前面添加一个“”，所得的数就成为原数的相反数． 对于一个数前面有多个符号的情况，可以先将该数前面的所有“”去掉，再根据“”的数量进行判断：若“”的个数为偶数时，则结果取“”； 若“”的个数为奇数时，则结果取“”． 【详解】解：，， 故答案为：0.5，． 27．（24-25七年级上·广东揭阳·阶段练习） ; 【分析】本题考查相反数，熟练掌握相反数中多重符号的化简方法是解题的关键，根据一个数前面有偶数个“”号，结果为正；有奇数个“”，结果为负进行计算即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 28．（24-25七年级上·重庆秀山·阶段练习）化简： ； 【分析】本题考查了求绝对值，相反数的定义；根据绝对值的意义，相反数的定义，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：，． 29．（24-25六年级上·山东烟台·阶段练习）的相反数是 ． 【分析】本题考查了相反数的定义，先利用相反数的定义化简，进而即可求解，掌握相反数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴的相反数是， 故答案为：． 30．（24-25七年级上·北京·阶段练习）化简： ， ． 【分析】本题考查了化简多重符号．若一个不为0的数的前面有偶数个“-”号，其结果为正；若一个不为0的数的前面有奇数个“-”号，其结果为负． （1）根据化简多重符号的方法和步骤即可解答； （2）先求得绝对值的值，再根据相反数的性质计算即可． 【详解】解：； ． 故答案为：；． 31．（24-25七年级上·山东济宁·阶段练习）化简 ； ． 【分析】此题考查了化简绝对值和求一个数的相反数，根据绝对值和相反数的定义即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：，， 故答案为：；． 32．（24-25七年级上·广东江门·阶段练习）化简下列各数： ， ． 【分析】本题考查了多重符号的化简方法． 应该注意：在一个数前面添加一个“”，所得的数与原数相同；在一个数前面添加一个“”，所得的数就成为原数的相反数． 对于一个数前面有多个符号的情况，可以先将该数前面的所有“”去掉，再根据“”的数量进行判断：若“”的个数为偶数时，则结果取“”； 若“”的个数为奇数时，则结果取“”． 【详解】解：，， 故答案为：7，． 33．（24-25七年级上·新疆和田·阶段练习）若的相反数为，则的值为 ． 【分析】本题考查了相反数，根据题意得到，求解即可，掌握相反数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵的相反数为， ∴， 解得：， 故答案为：． 34．（24-25七年级上·福建福州·期末）如图，点，在数轴上的位置如图所示，为原点，点在数轴上所表示的数为，，点为线段的中点，则点在数轴上所表示的数为 ． 【分析】本题考查了数轴，熟知数轴上的点所表示的数的特征是解答本题的关键． 根据题意先求出点表示的数，再结合点为线段的中点即可解决问题． 【详解】解：点在数轴上所表示的数为，， 点表示的数为， 又点为线段的中点， 点表示的数为， 故答案为：． 35．（24-25七年级上·山东聊城·期末）在数轴上有一个动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上运动，若点的运动规律是先向右运动1个单位长度，再向左运动2个单位长度，再向右运动3个单位长度，再向左运动4个单位长度，以此类推，每次运动单位长度依次递增，第113秒时，点在数轴上所对应的数是 ． 【分析】本题考查数轴上点的运动规律问题，根据数轴上运动时“右加左减”计算即可． 【详解】解：∵，， ∴第113秒时，点在数轴上所对应的数是， 故答案为：． 36．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）【知识回顾】数轴是非常重要的数学工具，它可以使代数中的推理更加直观．同时我们知道，数轴上表示的数对应的两点之间的距离为．借助数轴解决下列问题：已知代数式最小值为 . 【分析】本题考查了数轴的应用，数轴上两点之间的距离公式，再根据数轴的定义得代数式表示的意义，确定或16时，有最小值，再代值计算即可． 【详解】解：根据数轴的定义可知，代数式表示，表示点的点到1、2、3、30的距离之和， ∴当时，有最小值， 当时， ． 故答案为：225． 三、解答题 37．（24-25七年级上·安徽蚌埠·开学考试）画出数轴并标出表示下列各数的点． 【分析】本题考查在数轴上表示有理数、化简多重符号、绝对值的性质，熟练掌握用在数轴上表示有理数的方法是解题的关键．先根据化简多重符号的方法和绝对值的性质进行化简，进而在数轴上表示即可． 【详解】解：， 如图，在数轴上表示各数如下： 38．（23-24七年级上·甘肃平凉·期中）画一条数轴，在数轴上表示出下面的有理数． ，，0，， ， 【分析】本题考查用数轴表示有理数，根据数轴的三要素画出数轴，然后在数轴上表示出各数即可． 【详解】解：； 在数轴上表示各数，如图： 39．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）数轴上不重合的三个点，若其中一点到另外两点的距离的比值为，则称这个点是另外两点的n阶伴侣点．如图，O是点A、B的1阶伴侣点；O是点A、C的2阶伴侣点；O也是点B、C的2阶伴侣点． (1)如图，C是点A、B的______阶伴侣点； (2)若数轴上两点M、N分别表示和4，则M、N的阶伴侣点所表示的数是多少？ 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离， 对于（1），根据“伴侣点”的定义即可求解； 对于（2），分三种情况讨论可求M、N的阶伴侣点所表示的数. 【详解】（1）解：， ∴. 则点C是点A，B的3阶伴侣点. 故答案为：3. （2）解：， M、N的阶伴侣点在的左边时，所表示的数为； M、N的阶伴侣点在和4中间时，所表示的数为或；M、N的阶伴侣点在4的右边时，所表示的数为. 综上所述，M、N的阶伴侣点所表示的数为，，，. 40．（24-25七年级上·河北邢台·期中）如图，数轴上标出的所有点中，任意相邻两点间的距离都相等，已知点A表示的数是，点H表示的数是2． (1)表示原点的是点____________，点E表示的有理数是____________； (2)已知B，C两点间的距离为m，B，D两点间的距离为n．计算B，C，D三点对应的数的和，直接写出的值； (3)已知数轴上有两点M，N，满足点M到点F距离为3，点N到点F的距离为6，则点M，N之间的距离为多少？ 【分析】本题考查数轴上点所表示的数以及两点间距离的计算，解题的关键是根据已知点确定数轴上的单位长度，进而确定各点表示的数，再依据距离公式求解． （1）先确定数轴上的单位长度，从而找出原点及点表示的数． （2）确定B，C，D三点表示的数，计算三点对应数的和并求出的值． （3）确定点M，N可能表示的数，分情况计算两点间的距离． 【详解】（1）已知点A表示的数是，点H表示的数是到H的距离为， 因为A到H之间有7个间隔，所以每个间隔的距离为． 从点向左数1个间隔到点，所以表示原点的是点． 点E在点A右侧3个间隔处，那么点E表示的数为， 故答案为：； （2）解：点在点右侧1个间隔处，所以点表示的数是， 点在点右侧2个间隔处，点表示的数是， 点D在点A右侧3个间隔处，点D表示的数是， 所以， ； （3）解：由题意可知F：， 因为点M到点F距离为3，所以点M表示的数是1或 因为点N到点F的距离为6，所以点N表示的数是或4． ；； ；； 综上，点M，N之间的距离为3或9． 41．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）阅读下面材料：如图，点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离可以表示为，根据阅读材料与你的理解回答下列问题： (1)数轴上表示3与的两点之间的距离是 ； (2)数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为 ； (3)代数式可以表示数轴上有理数x与有理数所对应的两点之间的距离；若，则______； (4)求代数式的最小值为 ． 【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上两点间距离公式： （1）根据数轴上两点间距离公式即可求解； （2）根据数轴上两点间距离公式即可求解； （3）表示数轴上有理数x与25所对应的两点之间的距离为18，由此可解； （4）先计算的最小值，结合数轴，可得的最小值为． 【详解】（1）解：数轴上表示3与的两点之间的距离是：， 故答案为：5； （2）解：数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为：， 故答案为：； （3）解：表示数轴上有理数x与25所对应的两点之间的距离为18， 因此或， 故答案为：43或7； （4）解：当时，有最小值， 最小值为：， 所以，当时，等号成立， 所以的最小值为：504． 故答案为：504． 42．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）同学们都知道，表示4与之差的绝对值，实际上也可以理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．例如，的几何意义是数轴上表示有理数5的点与表示有理数的点之间的距离．根据所学知识试探索下列问题的答案． (1)若，则 ． (2)请找出符合条件的，使得． (3)由以上探索猜想：对于任何有理数是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，会利用绝对值的几何意义是解题的关键． （1）将改写成规定形式：，再根据绝对值的几何意义求解； （2）将改写成规定形式：，表示在数轴上找出某点，使它到与它到2的距离之和为9，画出数轴，分类讨论求解； （3）的最小值表示在数轴上找出某点，使它到2的距离与它到6的距离之和最小，画出数轴分析求解即可． 【详解】（1）解：将改写成规定形式：， 表示在数轴上找出某一点，使它到5与它到的距离相等， 根据几何意义可知，它是5和的中点，画出数轴知，； 故答案为：1； （2）解：将改写成规定形式：，表示在数轴上找出某点，使它到与它到2的距离之和为9，画出数轴如下： 观察发现：当在与2之间（包括这两点）时，到与到2的距离之和为. 所以讨论如下： 当时，是负数，也是负数，，解得； 当时，是非负数，是非正数，，无解； 当时，是正数，也是正数，，解得. 所以，或满足； （3）解：有最小值，最小值为4，理由如下： 就是规定形式，的最小值表示在数轴上找出某点，使它到2的距离与它到6的距离之和最小，画出数轴如下： 观察发现： 当在2与6之间时（包括这两点），到2的距离与到6的距离之和是4； 当和时，到2的距离与到6的距离之和都大于4， 所以有最小值，最小值为4． 43．（24-25七年级上·贵州黔南·期末）如图，数轴上的点A，B分别表示有理数a，b，且，点O 是原点．点P从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度向终点A 移动，设点 P 移动的时间为．    (1) ， ． (2)若点Q从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向终点 B 移动，且P，Q两点同时出发，当点Q到达点B时，P，Q两点同时停止运动．当t为何值时，P，Q两点之间的距离为1？ (3)若P，Q两点均从点B出发，点P先移动，点Q 在点B处等待，当点 P 到达点O时，点Q才从点B出发，并以每秒2个单位长度的速度向终点A移动，当点Q到达点A 时，P，Q两点同时停止运动．当t为何值时，P，Q两点之间的距离为1？ 【分析】本题主要考查了非负数的性质，数轴上两点间距离，绝对值方程，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离公式． （1）根据非负数的性质求出a、b的值即可； （2）先表示出运动后点P表示的数为：，点Q表示的数为，然后根据，P，Q两点之间的距离为1，列出方程，解方程即可； （3）分两种情况：当点Q还没运动时，当点Q开始运动后，分别根据点P和点Q运动速度求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，； （2）解：运动后点P表示的数为：，点Q表示的数为，根据题意得： ， 解得：或． （3）解：当点Q还没运动时，因为点P从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度向终点A 移动，所以后，点P距离出发点1个单位，即后，P，Q两点之间的距离为1； 当点Q开始运动后，点P到达点O需要的时间为：，运动后点P表示的数为：，点Q表示的数为：，根据题意得： ， 解得：或， 综上分析可知：当或3或5时，P，Q两点之间的距离为1． 44．（24-25七年级上·陕西西安·期末）在一条东西向的双轨铁路上，一快一慢两列火车相对行驶，快车的长为2个单位长度，慢车的长为4个单位长度．如图，设正在行驶途中的某一时刻，以两车之间的某点O为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头A在数轴上表示的数是a，慢车头C在数轴上表示的数是B．且，b与互为相反数． (1)此时刻快车头A与慢车头C之间相距________个单位长度； (2)已知快车以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶． ①从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车车头A，C相距8个单位长度？ ②此时在快车上有一位爱动脑筋的学生，他发现行驶中有一段时间t秒钟，他的位置P到两列火车头A、C的距离和加上到两列火车尾B、D的距离和是一个不变的值（即为定值）．你认为该学生发现的这一结论是否正确？若正确，求出这个时间及定值；若不正确，请说明理由． 【分析】本题主要考查了两点的距离、数轴、绝对值等知识点，掌握根据数形结合的思想是解题的关键． （1）先根据绝对值和相反数的定义确定点A、C表示的数，再根据两点间的距离公式求解即可； （2）①根据“时间等于路程和除以速度和”列式计算即可；②由于，只需要是定值，从快车上乘客P与慢车相遇到完全离开之间都满足是定值，依此分析即可求解． 【详解】（1）解：∵，b与互为相反数， ∴，即， ∴点A、C表示的数分别为，16， ∴此时刻快车头A与慢车头C之间相距个单位长度． 故答案为：24． （2）解：①当两火车相遇前距离8个单位长度时，（秒）． 当两火车相遇后距离8个单位长度时，（秒）； 答：再行驶2秒或4秒两列火车车头A，C相距8个单位长度； ②结论正确．理由如下： ∵， ∴当在之间时，是定值4，（秒）， 此时（单位长度）． ∴这个时间是0.5秒，定值是6单位长度． 45．（23-24六年级上·山东烟台·期中）阅读理解：数轴上表示有理数的点到原点（有数数0表示的点）的距离，叫做这个有理数的绝对值例如：，它表示数轴上有理数2表示的点到原点0的距离，从数轴上容易发现，有理数2表示的点到原点0的距离是2个单位长度，即（如图1）． 同样的，数轴上表示m和表示n的两个有理数之间的距离可以用来表示．例如：数轴上表示的点到表示2的点的距离用表示，从数轴上容易发现，表示-3的点到表示2的点的距离是5个单位长度，即（如图2）． 以上这种借助直观的数轴来解决问题的方法就是研究数学问题常用的“数形结合”的方法．请你根据以上学到的方法完成下列任务解答： 任务一：请根据以上阅读列式并计算（不必在卷面上画数轴）：数轴上表示2的点和表示的点之间的距离； 任务二：根据绝对值的意义求字母的值： （1）若，求x所表示的有理数． 根据绝对值的意义，“”指数轴上表示x的点到表示3的点的距离是2个单位长度，x表示的有理数是______． （2）若，求x所表示的有理数． 根据绝对值的意义，“”指数轴上表示x的点到表示_______的点的距离是4个单位长度，x表示的有理数是______． 任务三：设点P在数轴上表示的有理数是x，借助数轴解答下列问题： （1）当x取哪些有理数时，的值最小？最小值是多少？ （2）若，求x所表示的有理数； （3）若，求x所表示的有理数． 【分析】此题主要考查了数轴上两点间的距离的求法，以及相反数和绝对值的含义和求法，熟练掌握数形结合是解题关键． 任务一，阅读：数轴上表示m和表示n的两个有理数之间的距离可以用表示， ，可求出． 任务二∶（1）数轴上表示x的点到表示3的点的距离是2个单位长度，x有两个值；（2）数轴上表示必的点到表示的点的距离是4个单位长度，必有两个值，计算即可． 任务三∶（1）指数轴上表示必的点到表示4和的两点的距离的和； （2）指数轴上表示x的点到表示4和的两点的距离的和等于8；(3) 指数轴上表示必的点到表示2和-3的两点的距离相等． 【详解】任务一： ， 所以，数轴上表示2的点和表示的点之间的距离为9个单位长度； 任务二： （1）， 数轴上表示x的点到表示3的点的距离是2个单位长度， ， ， 故答案为：1或5 （2）， 数轴上表示x的点到表示-1的点的距离是4个单位长度， ， ， 故答案为：；3或 任务三： （1）指数轴上表示x的点到表示4和的两点的距离和， x取与4之间（包含和4），的值最小； 最小值是； （2）①当点P在和4之间时，， ∴点P表示的数不在和之间， ②当点P在左边时，，， ③当点P在4右边时， ， ， 所以x的值是或， （3）即数轴上点P到2表示的点的距离与到表示的点的距离相等， 2到的距离是5个单位长度， ， ， 所以x的值是． 46．（24-25七年级上·广东梅州·期中）【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数1的点之间的距离．因此，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离．若点表示的数为，请根据数轴解决以下问题： （1）式子在数轴上的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数______的点之间的距离；在数轴上的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数______的点之间的距离； （2）若，则的值为______； （3）当的值最小且为整数时，则的取值可以为______； 【解决问题】 （4）如图，一条笔直的公路边有三个居民区、、和市民广场，居民区、、分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．鉴于环保之需，现计划在该路段建设一座垃圾中转站，以负责接收并转运上述三个居民区每日产生的生活垃圾．假设生活垃圾的清理运输费用为每公里50元，试问垃圾中转站应选址于这条公路的何处，以实现总运输成本的最小化？最低运输成本是多少元？ 【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，理清题意是解题的关键． （1）结合、两点之间的距离分析即可； （2）根据题意得到在数轴上的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离为，结合数轴求解，即可解题； （3）根据最小在数轴上的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离与表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离之和最小，结合数轴求解，即可解题； （4）将实际问题抽象为数轴上的动点问题，根据要垃圾中转站实现总运输成本的最小化，即垃圾中转站到居民区、、的距离和最小，推出垃圾中转站的位置，再结合“生活垃圾的清理运输费用为每公里50元”求解，即可解题． 【详解】解：（1）由题意可知，式子在数轴上的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离；在数轴上的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离； 故答案为：，． （2）， 即，在数轴上的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离为， 所以或， 故答案为：或； （3）在数轴上的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离与表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离之和， 当的值最小且为整数时， 则的取值可以为，，，，， 故答案为：，，，，． （4）根据居民区、、分别位于市民广场左侧，右侧，右侧． 分别记市民广场为原点，向右为正方向，则居民区、、为，，， 要垃圾中转站实现总运输成本的最小化， 即垃圾中转站到居民区、、的距离和最小， 则垃圾中转站应建在居民区处， 此时距离和， 所以最低运输成本是（元）， 答：垃圾中转站应选址于市民广场右侧，以实现总运输成本的最小化，最低运输成本是元． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$