20.2 二次根式的乘除（第2课时 二次根式的除法）（教学课件）数学新教材华东师大版九年级上册

该初中数学课件聚焦二次根式的除法，核心内容包括除法法则、商的算术平方根及最简二次根式。课堂导入通过复习二次根式乘法法则及积的算术平方根，以问题链引导从特殊算式探究除法法则，构建乘除互逆的知识支架，衔接前后知识点。 其亮点在于以问题驱动探究，通过从特殊到一般的推理过程培养数学思维，结合A4纸剪正方形等实际问题渗透模型意识，典例与练习中强化最简二次根式判断的抽象能力。采用归纳总结与分层练习结合的教学方法，帮助学生提升运算与应用能力，为教师提供系统的教学资源支持。

【新教材】华东师大版·九年级上册 第20章 二次根式 20.2 二次根式的乘除 第2课时 二次根式的除法 章节导读 20.1认识二次根式 20.2二次根式的乘除 二次根式的除法 二次根式的乘法 二次根式的加减 二次根式的定义 积的算术平方根 20.3二次根式的加减 二次根式的性质 同类二次根式 2 学 习 目 标 1 2 3 理解并掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根；掌握最简二次根式的概念。 能运用二次根式的除法法则和商的算术平方根进行化简和运算. 经历探究二次根式的除法法则过程，培养学生的数学思维能力；能进行分母有理化。 复习回顾 二次根式的乘法法则和积的算术平方根： 回顾训练 成立的条件 。 解：且，解得且,即时，原等式成立。 二次根式的乘法运算 积的算术平方根运算 互逆运算 新知探究 你能利用已学知识，计算下列各式吗？ 二次根式的除法 （1） 试一试 （2） 分析：通过观察，发现可以根据积的算术平方根计算法则，先将分子拆开；再利用分数的基本性质进行约分化简。 解：（1）原式 （2）原式 你发现了什么？ 新知探究 二次根式的除法 从特殊到一般 是否成立呢？再代入几组数据验证一下！ （1） （2） 代入数据时，的取值范围有没有限制呢？ 归纳总结 二次根式的除法 归纳总结 二次根式的除法法则： 两个算术平方根的商，等于它们被开方数的商的算术平方根。 是因为要有意义， 是因为要有意义且满足分母不等于0。 典例分析 二次根式的除法 计算： （2）； ①二次根式的除法计算，也可以先将分子、分母化简，再进行约分，从而更容易得到结果。要灵活运用法则； ②除式是分数或分式时，先要转让化为乘法再进行运算； 解: 方法总结 ③有系数的二次根式的除法运算时，先系数与系数相除、二次根式与二次根式相除，再将所得结果相乘。即 新知探究 类比二次根式的乘法，若将二次根式的除法法则等号左右两边交换位置，等式还成立吗？ 商的算术平方根 思考 即： 经过验证，该等式仍然是成立！ 归纳总结 商的算术平方根 归纳总结 商的算术平方根： 商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 利用这个性质我们可以进行二次根式的化简！ 归纳总结 商的算术平方根 二次根式的除法运算与商的算术平方根运算关系： 二次根式的除法运算 商的算术平方根运算 互逆运算 典例分析 例1 化简，使分母中不含二次根式，并且被开方数中不含分母。 商的算术平方根 若二次根式被开方数中含有分母，则需要利用分数（或分式）的基本性质将分母“配”成完全平方数，再“开方” 出来。 方法总结 方法一 典例分析 例1 化简，使分母中不含二次根式，并且被开方数中不含分母。 商的算术平方根 这个过程称为分母有理化，其作用是化去分母中的根号。 操作方法是利用分式的基本性质，将分子、分母同时乘以分母中的二次根式即可。 方法总结 方法二 新知探究 观察本节课部分计算的结果： ，，，及。它们有什么共同特点？ 最简二次根式 思考 可以发现这些式子有如下两个特点：　　 简记为： 分母无根号根号无分母 (1) 被开方数不含分母； (2) 被开方数中所有因数(或因式)的幂的指数都小于2. 　 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 归纳总结 最简二次根式 归纳总结 最简二次根式： 二次根式被开方数中不含分母，并且被开方数中所有因数（或因式）的幂的指数都小于2，这样的二次根式被称为最简二次根式。 满足上述两个条件的都是最简二次根式，我们的计算结果也都要化为最简二次根式哦！ 典例分析 例2 判断下列哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的进行化简． 最简二次根式 解题的关键： 理解并掌握判断最简二次根式的方法： ①被开方数不能有分母； ②被开方数的因数不能有完全平方数； ③分母中不能出现根号。 方法总结 ； ； ； ①被开方数含有分母4，因此不属于二次根式。原式。 ③被开方数中有一个因数为4，是一个完全平方数，因此不属于二次根式。原式。 ④被开方数0.3可以转化为分数，含有分母，因此不属于二次根式。原式。 ⑤分母出现根号，因此不属于二次根式。原式. 随堂练习 1. 化简： （1）；（2） （3） （4） 基础过关(P8) 随堂练习 2. 计算： (1)×；(2) 基础过关(P8) 随堂练习 3. 现有一张A4纸，其尺寸是210mm×297mm，欲从中剪下一个面积为其一半的正方形，问：剪下的正方形的边长是多少？（先用二次根式表示，再用计算器计算，精确到0.1mm） 基础过关(P8) 解：设剪下的正方形的边长是 mm; 则 则 mm 随堂练习 能力提升 解：A: B:; D: 4.下列根式中，最简二次根式是（　　） A. B. C. D. C 随堂练习 5.若使等式成立，则实数 k 的取值范围是 ( ) A. k≥1 B. k≥2 C. 1＜k≤2 D. 1≤k≤2 能力提升 解：需满足且, 解得且, 所以 B 随堂练习 能力提升 6. 比较二次根式的大小： 。 解：方法一， 变形 ∵ ∴ 方法二， 变形 ∵ ∴ 课堂小结 1.二次根式的除法法则： 公式的逆用（商的算术平方根）： 2.我们把满足 （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中所有因数或因式的幂的指数都小于2. 两个条件的二次根式，叫做最简二次根式. 感谢聆听! 【新教材】华东师大版·九年级上册 $