三角形拓展之最值篇 考点解惑-2026-2027学年浙教版八年级数学上册题型过关专练

**基本信息** 聚焦三角形最值问题，以垂线段最短、将军饮马、费马点等模型为核心，构建从基础性质到综合应用的逻辑体系，培养几何直观与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |垂线段最短|4题|单动点垂线段最小值|垂线性质→角平分线性质→动态几何应用| |将军饮马|8题|单/双动点路径和最小|轴对称变换→等边三角形性质→垂直平分线应用| |手拉手最值|4题|旋转构造线段最值|全等三角形→等边/直角三角形性质→三点共线原理| |费马点|3题|三顶点距离和最小|特殊角构造→等边三角形拓展→最短路径模型|

三角形拓展之最值篇思维导图 【覆盖一】垂线段最短 1．如图，在中，，以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点；分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；作射线，交于点．若，为上一动点，连接，则的最小值为（    ）    A． B．1 C．2 D．没有最小值 【答案】B 【分析】根据基本作图得到平分，过G点作于H点，如图，根据角平分线的性质得到，然后根据垂线段最短解决问题． 【详解】解：由作法得平分， 过G点作于H点，如图，    ∵为的平分线，，， ∴， ∵P为上一动点， ∴的最小值为的长， 即的最小值为1． 故选：B． 【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质和垂线段最短． 2．如图，平分，在上取一点P，作，已知，的面积为，点E是射线上一动点．则长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求解，过P点作于H，根据角平分线的性质得到，然后根据垂线段最短求解． 【详解】解：∵，的面积为，， ∴， ∴， 过P点作于H，如图： ∵平分，，， ∴， ∵点E是射线上的动点， ∴的最小值为． 3．如图，，，，，若点D在上，连接，则线段长的最小值为_____________． 【答案】 【分析】由垂线段最短，可得当时，的值最小，再利用等面积法求解即可． 【详解】解：如图，当时，此时的值最小， ∵在中，，，，， ∴的面积， ∴， ∴． 4．如图，平分，点在上，于，点是射线上的动点，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理． 作，根据角平分线的性质定理得到，根据垂线段最短作答即可． 【详解】解：如图，作， ∵平分， ∴， ∵垂线段最短， ∴的最小值为． 故答案为：． 【覆盖二】将军饮马 1．如图，在等边中，于点，，点是上一个动点，是边的中点，在点运动的过程中，的最小值是（    ） A．12 B．14 C．18 D．24 【答案】A 【分析】连接，，由等边三角形的性质，可得，，，可得，从而可得当点为与的交点时，取得最小值，最小值为，由的面积可得，即可得的最小值． 【详解】解：连接，， ∵是等边三角形， ∴， 又∵于点， ∴， ∵点是上一个动点， ∴， ∴， 当点为与的交点时，取得最小值，最小值为， ∵在等边中，是边的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴的最小值是． 故选：A． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，最短路径，与三角形的高相关的计算，找到取最小值的位置是解答的关键． 2．如图，等腰面积为，，，的垂直平分线分别交边，于点和点，若点为边的中点，点为直线上一动点，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的性质及最短路径问题，熟练掌握垂直平分线的性质（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）和利用等腰三角形三线合一求高是解题的关键． 利用垂直平分线的性质将转化为，结合等腰三角形性质找到的长度，从而确定的最小值． 【详解】解：连接、， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，是中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为， 故选：C． 3．如图，在等边中，边上的高是高上的一个动点，F是边的中点，在点E运动的过程中，存在最小值，则这个最小值是________． 【答案】10 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，轴对称性质等知识，熟练掌握和运用等边三角形的性质以及轴对称的性质是解决本题的关键．解题时注意，最小值问题一般需要考虑两点之间线段最短或垂线段最短等结论．先连接，再根据，则，最后根据两点之间线段最短，求得的长，即为的最小值． 【详解】解：如图，连接，， ∵等边中，是边上的中线，F是边的中点， ∴垂直平分，垂直平分，， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴当C、F、E三点共线时，， 即的最小值为． 故答案为：． 4．如图，在等边中，边BC的高，点P是高上的一个动点，E是边的中点，在点P运动的过程中，存在的最小值，则这个最小值是__________． 【答案】4 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，两点之间线段最短，垂直平分线的判定与性质等知识，熟练掌握和运用等边三角形的性质是解决本题的关键．连接，根据，将转化为，最后根据两点之间线段最短以及垂线段最短，求得的长，问题即可得解． 【详解】解：如图，连接 ， 在等边中，是边上的高， ∴垂直平分， ∴， ∴， 当三点共线时，有最小值； 此时， 当时，有最小值，    即此时是等边的边上的高， ∵等边的高， ∴， 即的最小值为4， 故答案为：4． 【覆盖三】周长最小—将军饮马 1．如图，在中，，，，为边的垂直平分线，点为直线上一动点，则的周长的最小值为（    ） A．10 B．13 C．14 D．15 【答案】C 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，理解线段的垂直平分线的性质是解题的关键． 连接，则，，若要的周长最小，则三点共线，即为与的交点，的周长为，即可解答． 【详解】解：连接， 则， 为边的垂直平分线， ∴， 即的周长的最小值为14． 故选：C． 2．如图，在中，，，垂直平分，交于点，点为直线上的任意一点，则周长的最小值是（） A．14 B．16 C．18 D．12 【答案】A 【分析】连接，根据垂直平分得到，因此，即可求出周长的最小值． 【详解】解：连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴周长的最小值是14． 3．如图，在中，，，面积是16，的垂直平分线分别交，边于点．若点为边的中点，点为线段上一动点．    （Ⅰ）能否求出的周长的最小值?_______（用“能”或“不能”填空）； （Ⅱ）如果能，请你写出的周长的最小值；如果不能，请说明理由． ________________________________ 【答案】 能 10 【分析】（Ⅰ）连接、、、，由垂直平分线的性质可得，由为的中点可得，得到的周长，从而得到当、、在同一直线上时，的周长最小； （Ⅱ）根据等腰三角形的性质可得，根据的面积求出的长即可得到答案． 【详解】解：（Ⅰ）如图，连接、、、，   ，是的垂直平分线， ， 为的中点，， ， 的周长， 当、、在同一直线上时，的周长最小， 能求出的周长的最小值， 故答案为：能； （Ⅱ）点为边的中点，， ， 的面积为16， ， ， ， 周长的最小值为10， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形面积公式等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 4．如图，直线是中边的垂直平分线，点是直线上的一动点．若，，，则周长的最小值是______． 【答案】 【分析】连接，根据垂直平分线性质可得，所以，则当三点共线时有最小值，为长，即最小值为长，从而求出周长的最小值． 【详解】解：如图，连接， ∵直线是中边的垂直平分线，点是直线上的一动点， ∴， ∴， ∴当三点共线时有最小值，为，即最小为， ∴周长的最小值． 【覆盖四】三点共线最大 1．已知中，，将沿边进行对折使得点B落在点D处，过点C作垂直于点E，点P是直线CE上一动点，当的值最大时，的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），轴对称﹣最短路线问题，解题的关键是熟练掌握折叠的性质；作点B关于的对称点H，连接．易得到当点在同一直线上时，有最大值根据和关于对称，易得，进而求出是等边三角形，根据外角性质可知，进而可求出答案． 【详解】解：如图，作点B关于的对称点H，连接． 则 此时 ∴当点在同一直线上时，有最大值，此时， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， ∴， 由题意得和关于对称， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，, ∵ 故选：C． 2．已知，根据数形结合，则的最大值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】运用数形结合思想，将代数式转化为x轴上动点到两个定点的距离差，利用三角形三边关系求解最大值，用到初中的两点间距离公式和三角形三边性质． 【详解】解：将改写为两点间距离形式，设x轴上动点，定点，， 由两点间距离公式可得 ， 在中，三角形两边之差小于第三边， ，当落在延长线与x轴的交点处时，三点共线，此时，取得最大值， ∵， ∴的最大值为． 3．如图，若为等腰直角三角形，，，为上的动点，则的最大值是________ 【答案】 【分析】作关于的对称点，连接交于，则点就是使的值最大的点，，连接，根据等腰直角三角形的性质得到，，根据角的和差关系得到，根据轴对称的性质得到，，推出是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：作关于的对称点，连接交于，则点就是使的值最大的点，， 连接， 为等腰直角三角形，， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， 是等边三角形， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查轴对称--最短路线问题，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键． 4．如图，在等边中，，是中线，点E是的中点，点P是边上一动点，则的最大值是______． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先利用三线合一得到，，再利用勾股定理求得，从而可利用中点的意义得到，当、、三点在同一直线上时，有最大值为，利用勾股定理求得的最大值． 【详解】解：连接， ∵在等边中，是中线，， ∴，， ∴， ∵点E是的中点， ， ∵， ∴当、、三点在同一直线上时，有最大值为， 此时， 故答案为：． 【覆盖一】两动一定 1．如图，在锐角中，，的面积为，平分，若，分别是，上的动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，在上截取，证明，所以，则，当三点共线，且时，的值最小，为长，然后通过三角形面积公式求出长即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，在上截取， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线，且时，的值最小，为长，如图， ∵的面积为， ∴，即， ∴， ∴的值最小，为， 故选：． 2．如图，在中，，，，，是的平分线，若、分别是和上的动点，则的最小值是（   ）    A．5 B．4 C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质和判定，最短路径问题，解题的关键是通过转化思想，利用轴对称，把较难求的最值问题通过两点之间线段最短转化为求线段的最值问题；在上取一点，使，连接， 交于E，过点C作于点H，根据等腰三角形的性质可证是的垂直平分线，可得，根据两点之间线段最短可知，的最小值即为的最小值，再根据垂线段最短求解即可． 【详解】解：在上取一点，使，连接， 交于E，过点C作于点H，   ，是的平分线， ， 是的垂直平分线， ， ， 当C，P，三点共线，且时，的值最小，即为的值， ， ， ， 的最小值是， 故选：D． 3．如图，在中，，平分．点，分别是，上的动点，若的面积为6，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】本题考查最短路线问题，解答中涉及垂线段最短，能够根据相关知识得到的最小值为的长是解题的关键． 在上截取，连接，，证明，得到，由此得到，当点G，F，共线时，最小，即为的长，此时，过点C作交于点F，根据面积求出的长即可解决问题． 【详解】解：在上截取，连接，， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ∴当点G，F，共线时，最小，即为的长，此时， 如图，过点C作交于点， ∵，， ∴， 解得， ∴的最小值为， 故答案为：． 4．如图，在锐角三角形中，，，的面积为30，平分，若，分别是，上的动点，则的最小值是_____． 【答案】6 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂线段最短，关键是将的最小值转化为． 在上取点P，使，连接，，证明出，得到，然后得到当点C，E，P三点共线时，且时，有最小值，即的长度，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：在上取点P，使，连接，， ∵平分， ∴， 又∵，， ∴， ∴ ∴ ∴当点C，E，P三点共线时，且时，有最小值，即的长度， ∵的面积为30，， ∴， ∴． ∴的最小值为6． 故答案为：6． 【覆盖二】周长最小一双对称 1．如图，点P是内部一点，线段的长度是，点M和点N分别是射线和射线上的动点，周长最小值的平方是，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别作点关于、的对称点、，连接，、、、，由对称的性质得出，，；，，，得出，证出是等边三角形，得出，即可得出结果． 【详解】解：分别作点关于、的对称点、，连接，、、、，如图所示： 点关于的对称点为， ，，； 点关于的对称点为， ，，， ，， 周长， 周长的最小值是的长， 周长最小值的平方是，线段的长度是， ， ， 是等边三角形， ， ． 2．如图，，点M，N分别是，上的动点，平分，且，当的周长取最小值时，的长为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】设点P关于的对称点为C，关于的对称点为D，连接，，，分别交、于点、，连接、，则可得；再证明，从而可得出是等边三角形，由等腰三角形的“三线合一“性质可得，求得的值，由，可得的值，设，则，由勾股定理可得方程，解得x的值，再乘以2即可． 【详解】解：设点P关于的对称点为C，关于的对称点为D，连接，，，分别交、、于点、，，连接、，如图所示： ∵点P关于的对称点为C，关于的对称点为D， ∴，，；，，， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当M在点，N在点时，最小，即的周长最小， ∵， ∴ ， ∴是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得， ∴， 同理：， ∴， 即当的周长取最小值时，的长为． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、最短路线问题、等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用；熟练掌握轴对称的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键． 3．如图，，点P为内一点，．点M、N分别在上．当△PMN周长最小时，下列结论：①等于；②等于；③等于；④周长最小值是5：⑤周长最小值是10；⑥周长最小值是15．其中正确结论的序号是___________． 【答案】①⑤/⑤① 【分析】分别作点P关于的对称点，连接，交于M，交于N，可得的周长的最小值，然后证明是等边三角形，即可求解． 【详解】解：分别作点P关于的对称点，连接，交于M，交于N，则，， ∴ 即的周长的最小值， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 即的周长的最小值为10， ∴①⑤正确， 故答案为：①⑤． 【点睛】此题考查轴对称——最短路线问题，正确正确作出辅助线，证明是等边三角形是关键． 4．如图，，角内有一点P，，R，Q分别是上一点（均不与点O重合），则的周长的最小值是_________________，当周长取最小值时， ________． 【答案】 /90度 【分析】根据轴对称图形的性质，作出P关于的对称点M、N，连接，根据两点之间线段最短得到最小值线段，再构造直角三角形，利用勾股定理求出的值即可；根据对称的性质求得，即可求得的度数． 【详解】解：分别作P关于的对称点M、N， 连接交交于Q、R， 连接， 则， ， 故 为等腰直角三角形， ， 根据对称的性质得到， ， 为等腰直角三角形， ， ， 即． 故答案为：，． 【点睛】 此题考查了轴对称﹣最短路径问题，根据题意构造出对称点，转化为直角三角形的问题是解题的关键． 【覆盖三】四点共线 1．如图，、在的同侧，点为线段中点，，，，若，则的最大值为（    ） A．18 B．16 C．14 D．12 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决最值问题．如图，作点A关于的对称点，点B关于的对称点，证明为等边三角形，即可解决问题． 【详解】解：如图，作点A关于的对称点，点B关于的对称点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形 ∵， ∴的最大值为14， 故选：C． 2．如图，，在的同侧，，，，M为的中点．若，则长的最大值是（ ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】D 【分析】本题考查翻折变换，等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，如图，作点A关于的对称点，点B关于的对称点，连接、、、、，证明为等边三角形，即可解决问题．解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决最值问题，属于中考常考题型． 【详解】解：如图，作点A关于的对称点，点B关于的对称点，连接、、、、， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵， ∴的最大值为14， 故选：D． 3．如图，四边形中，，，点是上一点，且，，，则的最大值是______． 【答案】 【分析】将沿着翻折得到，将沿着翻折得到，连接，由折叠的性质可得，，，，，，可求，当，，三条线段共线时，有最大值． 【详解】解：如图，将沿着翻折得到，将沿着翻折得到，连接， ∴，，，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短可得，， ∴当，，三条线段共线时，有最大值． 故答案为∶． 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，邻补角的性质，两点之间线段最短等知识，利用折叠的性质添加辅助线是解题的关键． 4．如图，点，在的同侧，，，，点为的中点，若，则的最大值是______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了轴对称的性质和两点之间选段最短．作点关于的对称点，点关于的对称点，证明为等边三角形，利用两点之间，线段最短即可解决问题． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点， ∴，，，，， ∵点为的中点，， ∴ ， ， ， ， 为等边三角形， ∴ ， 的最大值为， 故答案为：． 【覆盖四】面积最大 1．如图，已知平分中的，过点作，点是边的中点，若，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（    ） A． B．8 C．6 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，三角形中线等分三角形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键．延长交于点．设交于点，根据垂直定义得到，求得，得到，根据等腰三角形的性质得到，推出，求得.，推出当时，的面积最大，最大面积为． 【详解】解：延长交于点，设交于点， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， 当时，△的面积最大，最大面积为． 图中两个阴影部分面积之差的最大值为8， 故选：B． 2．如图，在等腰三角形中，，点为的中点，连结． 以为边向左作，且，． 连结，记和的面积分别为和，则的最大值是（    ）    A．4 B．6 C． D．8 【答案】D 【分析】取的中点，连接，得出，进而证明得出，结合已知条件得出，进而可得，即可求解． 【详解】解：如图所示，取的中点，连接，    ∵， ∴， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∵ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴， 在中， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∵点为的中点， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴当时，取得最大值，即的最大值是． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形中线的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的性质与判定，等腰三角形性质与判定，垂直平分线的性质与判定，得出是解题的关键． 3．如图，和是等腰直角三角形，，连接、．若，则四边形面积的最大值为_________． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是正确作出辅助线；延长到点，使，连接，可得，进而得出，从而得到当时，面积最大． 【详解】解：延长到点，使，连接， ∵和是等腰直角三角形，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴当时，最大为：， 此时最大为：， 故答案为：． 4．如图，在中，点D是边的中点，E是边上一点，将沿折叠至，点B的对应点为，连接，若，则面积的最大值为____． 【答案】 【分析】作，设，交于点，根据三角形的中线平分面积得到，折叠得到，推出，再根据，以及斜边大于直角边，得到当重合时，最大，进行求解即可． 【详解】解：作，设，交于点， ∵为的中点， ∴，， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴，即， ∴，即， ∵， ∴， ∴当最大时，最大， ∵， ∴当重合时，最大， 此时最大． 【覆盖五】双定双动+四点共线 1．如图，在中，，，，M为的中点，D在边上，，P，Q分别为，边上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的两个锐角互余，两点之间线段最短，勾股定理． 作关于直线对称的线段，作关于直线对称的线段，连接，，则．可知当，，，四点共线时，的值最小，即的值最小，由直角三角形的两个锐角互余，可得，从而可得，根据勾股定理计算，即可得的最小值． 【详解】解：如图（1），作关于直线对称的线段，作关于直线对称的线段，连接，，则．可知当，，，四点共线时，的值最小，即的值最小， 如图（2），此时． ∵，， ∴， ∴, 易知， ∵，M为的中点， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选：B． 2．如图，，，，E，F分别是射线，上的动点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．13 【答案】D 【分析】作点D关于的对称点，作点G关于的对称点，连接，，，则，，从而可得，当，E，F，在同一直线上时，的值最小，最小值为，再结合轴对称的性质和勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图所示：作点D关于的对称点，作点G关于的对称点，连接，，， 则，， ∴， 当，E，F，在同一直线上时，的值最小，最小值为， 根据对称的性质可知：，，，，， ∴，， ∴是直角三角形， ∴， ∴的最小值为． 3．如图，已知，点、为内的两个动点，且，，，点、分别是，上的动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接、、、、，由轴对称的性质可得，，，，，，，则，当、、、四点共线时，取得最小值．容易计算得，使用勾股定理计算出即可． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接、、、、， 由轴对称的性质可得，，，，，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴当、、、四点共线时，取得最小值． 4．如图，已知正比例函数的图象与轴相交所成的锐角为，定点的坐标为，为轴上的一个动点，、为函数的图象上的两个动点，则的最小值为______．    【答案】 【分析】本题考查了轴对称，最短问题，垂线段最短，直角三角形角的性质，勾股定理，利用轴对称性，找到正确的的位置是解答本题的关键． 作直线与轴关于直线对称，直线与直线关于轴对称，点是点关于直线的对称点，作，作，此时最小，即，在中，利用勾股定理得到答案． 【详解】如图，直线与轴关于直线对称， 直线与直线关于轴对称，    点是点关于直线的对称点， 作，垂足为，交轴于点，交直线于点， 作， ，， ， 此时最小， 在中， ，，， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 【覆盖一】斜中定理+三点共线 1．如图，在中，，，，线段的两个端点D，E分别在边和边所在的直线上滑动，且，若点P，Q分别是的中点，则下列有关说法正确的是（   ） A．有最大值为 B．有最大值为 C．有最小值为 D．有最小值为 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，明确C、P、Q在同一直线上时，取最小值是解题的关键． 连接，根据勾股定理得到，根据直角三角形的斜边上的中线的性质得到，，当C、Q、P在同一直线上时，取最小值，于是得到结论． 【详解】解：如图，连接， 在中，， ∴，， ∵，点Q、P分别是的中点， ∴，， 当C、Q、P在同一直线上时，取最小值， ∴的最小值为：， 故选：D． 2．如图，是直角三角形，且，，斜边的端点、分别在两条互相垂直的直线上滑动，两直线交点为，连接，则线段的最大值是（     ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查含角的直角三角形的性质，直角三角形斜边中线定理，三角形三边关系，利用三角形三边关系将最大值转化为两条线段之和是解题关键． 取斜边的中点，利用直角三角形斜边中线定理，分别得到和的长度；再结合三角形三边关系，得出的最大值为． 【详解】解：如图，取中点为，连接，， 在中，，， 根据含角的直角三角形性质，可得， ， ，， ， 故的最大值为． 故选：． 3．如图，形状为直角三角形的木块，斜靠在竖直的墙上，木块顶点在墙面上滑动，另一顶点在地面上滑动，，，，在同一平面内，若，，则木块顶点到墙角的距离的最大值为____________． 【答案】/ 【分析】取中点，连接，根据直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出，由即可得出结果． 【详解】解：取中点，连接， ∵， ∴， 由题意得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的最大值为， 即木块顶点到墙角的距离的最大值为． 4．如图，在四边形中，，，且，则的最大值为_______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和三角形三边关系，取的中点O，连接，根据斜边中线的性质结合三角形性质得出当且仅当A、O、C三点共线时，取最大值求得答案即可； 【详解】解：∵，，， ∴， ， 解得：， 取的中点O，连接， 在中，， 在中，， 当且仅当A、O、C三点共线时，取最大值， 此时，， 故答案为：． 【覆盖二】手拉手最值 1．如图，OE是等边的中线，，点C是直线OE上一动点，以AC为边在直线AC下方作等边，连接ED，下列说法正确的是（   ） A．ED的最小值是2 B．ED的最小值是1 C．ED有最大值 D．ED没有最大值也没有最小值 【答案】B 【分析】如图（见解析），先根据等边三角形的性质可得，从而可得，再根据三角形全等的判定定理与性质可得，然后根据等边三角形的性质可得，从而可得点D的运动轨迹，最后根据垂线段最短、直角三角形的性质即可得． 【详解】如图，连接BD，过点E作，交BD延长线于点F， 和都是等边三角形，， ， ，即， 在和中，， ， ， OE是等边的中线， ， ， 即直线BD的位置是固定的， 当点C在直线OE上运动时，点D在直线BD上运动， 由垂线段最短得：当点D与点F重合时，ED取得最小值，最小值为EF， 在中，， 即ED的最小值为1， 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质、垂线段最短、直角三角形的性质等知识点，确定出点D的运动轨迹是解题关键． 2．如图，在等边中，点D在平面内，，，则的最大值为（    ）    A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边的关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 以为边作等边三角形，证明得，根据三角形三边的关系求出的最大值即可求解． 【详解】如图，以为边作等边三角形，则，．    ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∵， ∴当点E，D，C三点共线时，有最大值，即的长度为5． ∴的最大值是5． 故选：B． 3．问题背景：如图1，点C为线段AB外一动点，且AB＝AC＝2，若BC＝CD，∠BCD＝60°，连接AD，求AD的最大值． 解决方法：以AC为边作等边△ACE，连接BE，推出BE＝AD，当点E在BA的延长线上时，线段AD取得最大值4 问题解决：如图2，点C为线段AB外一动点，且AB＝AC＝2，若BC＝CD，∠BCD＝90°，连接AD，当AD取得最大值时，∠ACD的度数为____． 【答案】112.5° 【分析】以AC为边作等腰直角三角形ACE，且AC=CE，∠ACE=90°，利用勾股定理求出AE，证明△ECB≌△ACD，得到BE=AD，当点E、A、B在同一直线上时，BE最大，即AD最大，根据三角形内角和求出∠ACB，由此得到答案． 【详解】解：以AC为边作等腰直角三角形ACE，且AC=CE，∠ACE=90°， ∵CE=AC＝2， ∴， ∵BC＝CD，∠BCD＝90°， ∴∠ACE=∠BCD， ∴∠ACE+∠ACB=∠BCD+∠ACB，即BCE=∠ACD， ∴△ECB≌△ACD，   ∴BE=AD， 当点E、A、B在同一直线上时，BE最大，即AD最大， 此时∠CAB=180°-45°=135°， ∵AB=AC， ∴∠ACB=， ∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=112.5°， 故答案为：112.5°． ． 【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，正确掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 4．如图，点是外一点，，，且，，则的最大值为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，过作，且，则，所以，证明，则，当三点共线时有最大值，为，如图，然后通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作，且，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当三点共线时有最大值，为，如图， ∵，， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：． 【覆盖三】数形结合最值 1．【模型建立】“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点B和点E重合（图2），这时，，，问题就变成“点B在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）如果利用图3来求代数式的最小值，那么图3中的线段_________，_________． （2）求代数式的最小值； 【变式训练】 利用图3，求代数式的最小值． 【答案】（1）5；12；（2）13；[变式训练] 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，关键是根据题意的数形结合思想进行求解问题． （1）根据线段的和差关系和题意即可得到答案； （2）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可； [变式训练]根据题目所给的方法建立直角三角形然后进行求解即可． 【详解】解：（1）由题意得，，； （2）在中，由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴代数式的最小值为13； [变式训练]如图所示，， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴代数式的最小值是． 2．先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值．分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时，，，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． (1)代数式的最小值为______； (2)变式训练：求代数式的最小值______； (3)解决问题：已知正数满足，则的值为______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作的垂线，交的延长线于点，连接，容易证明四边形是矩形，则，，由勾股定理可得．根据题意，，，由线段公理可得，，因此当、、三点共线时，取得最小值； （2）类比（1）的解法，构造，，，，，则．由勾股定理可得，，，，由可得，的最小值为； （3）构造，，，，，由勾股定理可得，，，根据题意可得，由可判断，利用面积法计算出． 【详解】（1）解：如图2，过点作的垂线，交的延长线于点，连接， 根据题意，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， 根据题意，，， ∵， ∴当、、三点共线时，取得最小值， ∴的最小值为； （2）解：如图3，设，，，，， 同理（1）可得，四边形是矩形， ∴，， ∴， 由勾股定理可得，，，， ∵， ∴当、、三点共线时，取得最小值， ∴的最小值为； （3）解：如图，中，，，，， 由勾股定理可得，，， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．材料一：毕达哥拉斯（）是古希腊数学家和哲学家，他提出的勾股定理（又称毕达哥拉斯定理）是几何学中的基本定理之一．该定理指出：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．如一个直角三角形的两条直角边长分别为、，斜边长为，则满足公式：．如图1，在直角三角形中，直角边，，斜边的长为：． 材料二：“数形结合”是一种重要的数学思想，通过数和形之间的对应关系和相互转化可以解决很多抽象的数学问题.学习二次根式时，老师给同学们布置一道思考题：求代数式的最小值．小华同学发现可看作两直角边分别为和1的直角三角形的斜边长，可看作两直角边分别是和2的直角三角形的斜边长.于是构造出如图2所示来求解，将问题转化为：在上移动（不包括和两点），若，，求线段的最小值，进而得的最小值为线段的长度（依据是两点之间线段最短）． 请仔细阅读上面材料，然后用“数形结合”思想解决下列问题： (1)如果一个直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则其斜边长为：_____； (2)在图2中构造直角三角形，求出代数式的最小值； (3)若均为正数，且，运用数形结合的方法求代数式的最小值． 【答案】(1) (2)5 (3) 【分析】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握数形结合思想，正确构造直角三角形是解题的关键， （1）根据勾股定理即可求出斜边的长； （2）过点作，交延长线于点，先求出的长，再利用勾股定理求出的长即可； （3）根据题意构造图形，，，可将问题转化为求线段的最小值，过点作，交延长线于点，由勾股定理求得的值，从而得到代数式的最小值． 【详解】（1）解：由题可得：， ∵直角三角形的两条直角边长分别为6和8， ∴斜边长， 故答案为：； （2）解：如图，过点作，交延长线于点， 则四边形是长方形， ，， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 代数式的最小值为5； （3）解：由题意，构造图形如图：（其中，点在线段上）， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 的最小值为线段的长度， 过点作，交延长线于点， 则四边形是长方形， ，， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 代数式的最小值为13； 【覆盖四】配方法+三边关系 1．“我们把多项式及叫做完全平方式．”如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等． 例如：分解因式：． 解：原式． 例如：求代数式的最小值． 解：， 因为：，所以：当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：______； (2)当，为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值； (3)已知，，是的三条边，且满足，试判断的形状． 【答案】(1) (2)当，时有最小值3 (3)直角三角形 【分析】（1）阅读材料，根据材料中的方法，先配方，再由平方差公式分解因式即可得到答案； （2）阅读材料，根据材料中的方法，先配方，再由平方的非负性即可求出多项式有最小值； （3）阅读材料，根据材料中的方法，先配方，再由平方的非负性及非负数和为零的条件求出，结合勾股定理的逆定理即可判定的形状． 【详解】（1）解：由材料中的解法可知， ， 故答案为： （2）解：由材料中的解法可知， ， ， 当时，有最小值，最小值是； （3）解：由材料中的解法可知， ， ， 即， ， ， ， ，即是直角三角形． 【点睛】本题考查阅读理解，涉及完全平方公式、配方法、平方差公式、因式分解、平方非负性、求多项式最值、非负数和为零的条件、勾股定理的逆定理等知识，读懂题意，理解配方法是解决问题的关键． 2．阅读与思考 阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些求代数式的最大值，最小值的问题． 例如：分解因式． ． 又例如：求代数式的最小值． ∵． 又∵， ∴当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，利用“配方法”，解答下列问题． (1)分解因式：______． (2)若多项式的最小值为1，求出k的值． (3)已知a，b，c是的三边长，且满足，试判断的形状． 【答案】(1) (2) (3)是等腰三角形 【分析】（1）根据题意，先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再利用平方差公式分解因式即可； （2）首先利用“配方法”将变形为，然后得到最小值为，根据题意得到，进而求解即可； （3）首先利用“配方法”将变形为，得到，，，求出，，即可得出结论． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵ ∵ ∴ ∴的最小值为 ∵多项式有最小值为1， ∴ ∴； （3）解：∵ ∴，，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 3．我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等． 例如：分解因式；例如求代数式的最小值．由可知，当时，有最小值，最小值是－8．根据阅读材料用配方法解决下列问题； (1)分解因式：______． (2)当a，b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值； (3)已知的三边长a、b、c都是正整数，并且满足等式，请求出的周长，并判断的形状． 【答案】(1) (2)当时，最小值是5 (3)周长为5，它是等腰三角形， 【分析】（1）阅读材料，根据材料中的方法，先配方，再由平方差公式分解因式即可得到答案； （2）阅读材料，根据材料中的方法，先配方，再由平方的非负性即可求出最小值； （3）阅读材料，根据材料中的方法，先配方，再由平方的非负性及非负数和为零的条件求出，根据三角形的三边关系求出c的值，即可判定的形状． 【详解】（1）解：由材料中的解法可知， ， 故答案为： （2）解：由材料中的解法可知， ， ， 当时，有最小值，最小值是5； （3）解：∵， ∴ 即， ， ， ∵根据三角形三边关系有， ∴， ∵c为正整数， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰三角形． 【点睛】本题考查阅读理解，涉及完全平方公式，平方差公式，平方非负性的应用，，三角形的三边关系等知识，读懂题意，理解配方法是解决问题的关键． 【覆盖五】多种最值综合 1． “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)如图，点、在直线的同侧，点到的距离，点到的距离，． ①请在图1直线上作出点，使得最小； ②的最小值为______； (2)如图2，在等腰中，，，是边的中点，是边上一动点，则的最小值是______； (3)如图3，正方形的边长为4，、分别是边和上的动点且始终满足，连结、，求的最小值． 【答案】(1)①图见解析；②5 (2) (3) 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，轴对称-最短问题，解题的关键是掌握轴对称-最短问题． （1）①利用轴对称解决最短问题，作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，连接，点P即为所求；②作，交的延长线于点H，证明四边形是长方形，再根据勾股定理求出结论即可． （2）作点C关于的对称点，连接交于，此时的最小值为的长，利用勾股定理求出点的长即可； （3）首先利用证明，得，将的最小值转化为的最小值，然后由（2）同理可得答案． 【详解】（1）解：①如下图，作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，连接，点P即为所求作； ②作，交的延长线于点H， ∴ ∴四边形是长方形， ， ， ， ， ∵点A关于直线l的对称点， ， 的最小值为； （2）解：作点C关于的对称点，连接交于，此时的最小值为的长， 由对称性知，，， ∴， ∵点D是的中点， ∴， 在中，由勾股定理得， ， ∴的最小值为， 故答案为：； （3）连接，作点D关于点A的对称点，连接交于点， 则， 正方形中，， 又∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是． 2．阅读材料： 如图1，“智慧小组”在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线同旁有两个定点，，在直线上存在点，使得的值最小． “智慧小组”的作法是：如图2，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为点，且的最小值为的长． 如图3，为了证明点的位置即为所求，“智慧小组”经探究发现，在直线上另外取点，连接，，，证明即可． (1)请完成图3中的证明； (2)如图4，在等边中，是中点，是的平分线，是上的动点．若，则的最小值是________； (3)如图5，在中，，，，，平分，分别在，上取点，，连接，，则的最小值是________． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3) 【分析】（1）由轴对称的性质可知，，，则，，可得，进而结论得证； （2）由题意知，是等边的对称轴，如图1，作关于的对称点，连接，，则的最小值是，然后求解作答即可； （3）由题意知，是的对称轴，如图2，作关于的对称点，连接，作于，由题意知，当三点共线时，，当重合时，的值最小，为，根据，即，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）证明：由轴对称的性质可知，，， ∴，， ∴，， ∴当三点共线时，值最小， ∴点的位置即为所求； （2）解：∵等边，是的平分线， ∴是等边的对称轴， 如图1，作关于的对称点，连接，， ∴为的中点，为的平分线， ∴， 由题意知，的最小值是， 故答案为：4； （3）解：∵平分， ∴是的对称轴， 如图2，作关于的对称点，连接，作于， 由题意知，当三点共线时，， 当重合时，的值最小，为， ∵， ∴， 解得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形三边关系，角平分线的性质，等边三角形的性质，垂线段最短等知识．熟练掌握轴对称的性质，三角形三边关系，角平分线的性质，等边三角形的性质，垂线段最短是解题的关键． 3．“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李欣《古从军行》里的一句诗．由此引申出一系列有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”． 问题1：如图1，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的点出发，走到河旁边的点饮马后再到点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？ 某课题组在探究这一问题时抽象出数学模型： 直线同旁有两个定点，，在直线上存在点，使得的值最小． 解法：如图2，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为的长． 【数学思考】有很多问题都可用类似的方法去思考解决． (1)如图3，在等边三角形中，是边上的高，为的中点，为上一动点，若，，求周长的最小值； (2)如图4，在中，，是中线，点是上一动点，为上一动点，的面积等于6，则的最小值为______． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查轴对称最短问题，等腰三角形的性质，点到直线的距离垂线段最短等知识． （1）连接，则的长度即为与和的最小值； （2）作于E，交于点P，则的长度即为与和的最小值． 【详解】（1）解：如图，连接，与交于点，此时最小， 是等边三角形，， ∴垂直平分，， ， ， 即就是的最小值， ∵，， ∴， ，点是边的中点， ， 的最小值是， 即周长的最小值是； （2）解：作于E，交于点P，如图， ∵的面积等于6，， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴是边上的高线，即垂直平分， ∴， ∴， ∴的最小值为3， 故答案为：3． 【覆盖六】费马点 1．费马是17世纪的法国数学家，他曾研究过一种特殊的点，它满足“在一个三角形所在平面上，到该三角形的三个顶点距离之和最短”，这样的点被称为“该三角形的费马点”． (1)如图，中，，，点D在线段上且线段，请判断：点D是否为的费马点，并说明理由． (2)现有真命题：在中，三个内角都小于，在其内部存在一点P，满足，则点P称为的费马点． 小明利用该真命题，尝试用尺规作费马点，他的作法如下： 如图，对一个所有内角都小于的，分别以线段为边向外侧作等边三角形和等边三角形，连接交于点P．请完成证明： ①求证：； ②在线段上取点F使，连接， 求证：点P是的费马点． 【答案】(1)点D不是的费马点，理由见解析 (2)①见解析；②见解析 【分析】（1）作于点E，连接，由等腰三角形的性质可知，结合可知E、D不重合．再根据在三角形中大角对大边，即得出，即，从而得出点D不是的费马点； （2）①由等边三角形的性质易证，即得出； ②连接．由①知，，结合三角形外角的性质即得出，从而可求．易证为等边三角形，得出，，即可证，从而可证，得出，即点P是的费马点． 【详解】（1）结论：点D不是的费马点． 理由：如图，作于点E，连接， ∴． ∵， ∴E、D不重合． 在中，， ∴， ∴点E到各顶点的距离之和点D到各顶点的距离之和， ∴点D不是的费马点； （2）①证明：∵和都为等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴； ②证明：如图，连接． 由①知，， ∴， ∴． 又∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴，即， ∴， ∴． 由，得， ∴点P是的费马点． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识，理解“费马点”的定义是解题关键． 2．【材料1】在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即“在中，，，则”． 【材料2】定义：若为内一点，满足，则点叫做的费马点． (1)如图1，若点是等边的费马点，且，则这个等边三角形的高的长度为 ； (2)如图2，已知，分别以为边向外作等边与等边，线段交于点，连接，求证：点是的费马点； (3)应用探究：已知有三个村庄的位置如图3所示，其中村庄到两个村庄的距离相等，且满足，请在合适的位置建一个污水处理站，使得该处理站分别连接这三个村庄的水管长度之和最小，请直接写出此时 ． 【答案】(1)9 (2)见解析 (3)点的位置见解析； 【分析】（1）延长交于点，先用证明，得到点是三边的垂直平分线的交点，再利用所对的直角边等于斜边的一半即可求解这个等边三角形的高的长度； （2）由与均为等边三角形可以证明．设与交于点，交于点，证明，．过点分别作，，证明平分，最后再求出即可求解； （3）设点是内一点，连接，并在同侧作等边与等边，连接，，证明点是的费马点，即污水处理站的位置，且证明是的垂直平分线，即可求出的度数． 【详解】（1）解：如图，延长交于点， 点是的费马点， ， ， ． 是等边三角形， ，， ， ． 在和中， ， ， ，， ， 点是三边的垂直平分线的交点， ．， ， ， ， ． 故答案为：9； （2）证明：与均为等边三角形， ，， ， ． ， ， ． 在和中， ， ， ，． 设与交于点，交于点， 在和中， ， ， 且， ， ， 同理可得，． 过点分别作，， ， ，， ． ，， 平分． ， ， ， ， ， ， 点是的费马点； （3）解：如图，设点是内一点，连接，并在同侧作等边与等边，连接，． 与均为等边三角形， ，， ， ． ， ， ． 在和中， ， ， ，， ， 当四点共线时，为最小值， 此时， ，． ， ， ． ， 点是的费马点，即污水处理站的位置． 由题意得，， 是的垂直平分线， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了费马点，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，角平分线的判定，含30度角的直角三角形的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 3．定义：若P为内一点，且满足，则点P叫做的费马点． (1)如图1，若点O是等边的费马点，且，则这个等边三角形的高的长度为______； (2)如图2，已知，分别以为边向外作等边与等边，线段交于点P，连接，求证：点P是的费马点； (3)应用探究：已知有A、B、C三个村庄的位置如图3所示，能否在合适的位置建一个污水处理站Q，使得该处理站分别连接这三个村庄的水管长度之和最小？如果能，请你说明该如何确定污水处理站Q的位置，并证明该位置满足设计要求． 【答案】(1)9 (2)见解析 (3)能，当点Q是的费马点时，的值最小．证明该位置满足设计要求见解析 【分析】（1）根据证明得，从而点O是三边垂直平分线的交点，延长交于点D，根据30度角的性质求出即可求解； （2）作于M，于N，设与交点为G．根据证明得，，然后证明平分，可得，进而可证结论成立； （3）分别以为边向外作等边与等边，线段交于一点，该点即为所求的点，根据证明得，从而可判断当D、K、Q、C四点共线时，为最小值，进而可证结论成立． 【详解】（1）∵是等边三角形， ∴， ∴． ∵点O是等边的费马点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点O是三边垂直平分线的交点， ∴． ∵， ∴． ∴延长交于点D，如图1， ∴， ∴． 故答案为：9． （2）如图2，作于M，于N，设与交点为G． ∵与都是等边三角形 ∴， ∴ ∴ ∴，． 又∵ ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分 ∴ ∴ ∴点P是的费马点． （3）能，如第（2）小题那样，分别以为边向外作等边与等边，线段交于一点，由（2）小题知该点是的费马点，即为所要建的污水处理站Q的位置． 证明如下：如图3，设点Q是内一点，连接，并在同侧作等边与等边，连接． ∵与都是等边三角形 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴． 当D、K、Q、C四点共线时，为最小值， 又∵， ∴这时， ∴， ∴点Q是的费马点 即当点Q是的费马点时，的值最小． 【点睛】本题考查了费马点，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，角平分线的判定，含30度角的直角三角形的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 三角形拓展之最值篇思维导图 【覆盖一】垂线段最短 1．如图，在中，，以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点；分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；作射线，交于点．若，为上一动点，连接，则的最小值为（    ）    A． B．1 C．2 D．没有最小值 2．如图，平分，在上取一点P，作，已知，的面积为，点E是射线上一动点．则长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．如图，，，，，若点D在上，连接，则线段长的最小值为_____________． 4．如图，平分，点在上，于，点是射线上的动点，则的最小值为___________． 【覆盖二】将军饮马 1．如图，在等边中，于点，，点是上一个动点，是边的中点，在点运动的过程中，的最小值是（    ） A．12 B．14 C．18 D．24 2．如图，等腰面积为，，，的垂直平分线分别交边，于点和点，若点为边的中点，点为直线上一动点，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 3．如图，在等边中，边上的高是高上的一个动点，F是边的中点，在点E运动的过程中，存在最小值，则这个最小值是________． 4．如图，在等边中，边BC的高，点P是高上的一个动点，E是边的中点，在点P运动的过程中，存在的最小值，则这个最小值是__________． 【覆盖三】周长最小—将军饮马 1．如图，在中，，，，为边的垂直平分线，点为直线上一动点，则的周长的最小值为（    ） A．10 B．13 C．14 D．15 2．如图，在中，，，垂直平分，交于点，点为直线上的任意一点，则周长的最小值是（） A．14 B．16 C．18 D．12 3．如图，在中，，，面积是16，的垂直平分线分别交，边于点．若点为边的中点，点为线段上一动点．    （Ⅰ）能否求出的周长的最小值?_______（用“能”或“不能”填空）； （Ⅱ）如果能，请你写出的周长的最小值；如果不能，请说明理由． ________________________________ 4．如图，直线是中边的垂直平分线，点是直线上的一动点．若，，，则周长的最小值是______． 【覆盖四】三点共线最大 1．已知中，，将沿边进行对折使得点B落在点D处，过点C作垂直于点E，点P是直线CE上一动点，当的值最大时，的度数为（　　） A． B． C． D． 2．已知，根据数形结合，则的最大值为（   ） A．3 B． C． D． 3．如图，若为等腰直角三角形，，，为上的动点，则的最大值是________ 4．如图，在等边中，，是中线，点E是的中点，点P是边上一动点，则的最大值是______． 【覆盖一】两动一定 1．如图，在锐角中，，的面积为，平分，若，分别是，上的动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，，是的平分线，若、分别是和上的动点，则的最小值是（   ）    A．5 B．4 C．3 D． 3．如图，在中，，平分．点，分别是，上的动点，若的面积为6，则的最小值为_____． 4．如图，在锐角三角形中，，，的面积为30，平分，若，分别是，上的动点，则的最小值是_____． 【覆盖二】周长最小一双对称 1．如图，点P是内部一点，线段的长度是，点M和点N分别是射线和射线上的动点，周长最小值的平方是，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．如图，，点M，N分别是，上的动点，平分，且，当的周长取最小值时，的长为（    ） A．3 B． C． D． 3．如图，，点P为内一点，．点M、N分别在上．当△PMN周长最小时，下列结论：①等于；②等于；③等于；④周长最小值是5：⑤周长最小值是10；⑥周长最小值是15．其中正确结论的序号是___________． 4．如图，，角内有一点P，，R，Q分别是上一点（均不与点O重合），则的周长的最小值是_________________，当周长取最小值时， ________． 【覆盖三】四点共线 1．如图，、在的同侧，点为线段中点，，，，若，则的最大值为（    ） A．18 B．16 C．14 D．12 2．如图，，在的同侧，，，，M为的中点．若，则长的最大值是（ ） A．8 B．10 C．12 D．14 3．如图，四边形中，，，点是上一点，且，，，则的最大值是______． 4．如图，点，在的同侧，，，，点为的中点，若，则的最大值是______． 【覆盖四】面积最大 1．如图，已知平分中的，过点作，点是边的中点，若，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（    ） A． B．8 C．6 D．4 2．如图，在等腰三角形中，，点为的中点，连结． 以为边向左作，且，． 连结，记和的面积分别为和，则的最大值是（    ）    A．4 B．6 C． D．8 3．如图，和是等腰直角三角形，，连接、．若，则四边形面积的最大值为_________． 4．如图，在中，点D是边的中点，E是边上一点，将沿折叠至，点B的对应点为，连接，若，则面积的最大值为____． 【覆盖五】双定双动+四点共线 1．如图，在中，，，，M为的中点，D在边上，，P，Q分别为，边上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，，，，E，F分别是射线，上的动点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．13 3．如图，已知，点、为内的两个动点，且，，，点、分别是，上的动点，则的最小值为______． 4．如图，已知正比例函数的图象与轴相交所成的锐角为，定点的坐标为，为轴上的一个动点，、为函数的图象上的两个动点，则的最小值为______．    【覆盖一】斜中定理+三点共线 1．如图，在中，，，，线段的两个端点D，E分别在边和边所在的直线上滑动，且，若点P，Q分别是的中点，则下列有关说法正确的是（   ） A．有最大值为 B．有最大值为 C．有最小值为 D．有最小值为 2．如图，是直角三角形，且，，斜边的端点、分别在两条互相垂直的直线上滑动，两直线交点为，连接，则线段的最大值是（     ） A．1 B．2 C． D．3 3．如图，形状为直角三角形的木块，斜靠在竖直的墙上，木块顶点在墙面上滑动，另一顶点在地面上滑动，，，，在同一平面内，若，，则木块顶点到墙角的距离的最大值为____________． 4．如图，在四边形中，，，且，则的最大值为_______． 【覆盖二】手拉手最值 1．如图，OE是等边的中线，，点C是直线OE上一动点，以AC为边在直线AC下方作等边，连接ED，下列说法正确的是（   ） A．ED的最小值是2 B．ED的最小值是1 C．ED有最大值 D．ED没有最大值也没有最小值 2．如图，在等边中，点D在平面内，，，则的最大值为（    ）    A．4 B．5 C．6 D．7 3．问题背景：如图1，点C为线段AB外一动点，且AB＝AC＝2，若BC＝CD，∠BCD＝60°，连接AD，求AD的最大值． 解决方法：以AC为边作等边△ACE，连接BE，推出BE＝AD，当点E在BA的延长线上时，线段AD取得最大值4 问题解决：如图2，点C为线段AB外一动点，且AB＝AC＝2，若BC＝CD，∠BCD＝90°，连接AD，当AD取得最大值时，∠ACD的度数为____． 4．如图，点是外一点，，，且，，则的最大值为______． 【覆盖三】数形结合最值 1．【模型建立】“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点B和点E重合（图2），这时，，，问题就变成“点B在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）如果利用图3来求代数式的最小值，那么图3中的线段_________，_________． （2）求代数式的最小值； 【变式训练】 利用图3，求代数式的最小值． 2．先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值．分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时，，，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． (1)代数式的最小值为______； (2)变式训练：求代数式的最小值______； (3)解决问题：已知正数满足，则的值为______． 3．材料一：毕达哥拉斯（）是古希腊数学家和哲学家，他提出的勾股定理（又称毕达哥拉斯定理）是几何学中的基本定理之一．该定理指出：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．如一个直角三角形的两条直角边长分别为、，斜边长为，则满足公式：．如图1，在直角三角形中，直角边，，斜边的长为：． 材料二：“数形结合”是一种重要的数学思想，通过数和形之间的对应关系和相互转化可以解决很多抽象的数学问题.学习二次根式时，老师给同学们布置一道思考题：求代数式的最小值．小华同学发现可看作两直角边分别为和1的直角三角形的斜边长，可看作两直角边分别是和2的直角三角形的斜边长.于是构造出如图2所示来求解，将问题转化为：在上移动（不包括和两点），若，，求线段的最小值，进而得的最小值为线段的长度（依据是两点之间线段最短）． 请仔细阅读上面材料，然后用“数形结合”思想解决下列问题： (1)如果一个直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则其斜边长为：_____； (2)在图2中构造直角三角形，求出代数式的最小值； (3)若均为正数，且，运用数形结合的方法求代数式的最小值． 【覆盖四】配方法+三边关系 1．“我们把多项式及叫做完全平方式．”如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等． 例如：分解因式：． 解：原式． 例如：求代数式的最小值． 解：， 因为：，所以：当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：______； (2)当，为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值； (3)已知，，是的三条边，且满足，试判断的形状． 2．阅读与思考 阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些求代数式的最大值，最小值的问题． 例如：分解因式． ． 又例如：求代数式的最小值． ∵． 又∵， ∴当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，利用“配方法”，解答下列问题． (1)分解因式：______． (2)若多项式的最小值为1，求出k的值． (3)已知a，b，c是的三边长，且满足，试判断的形状． 3．我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等． 例如：分解因式；例如求代数式的最小值．由可知，当时，有最小值，最小值是－8．根据阅读材料用配方法解决下列问题； (1)分解因式：______． (2)当a，b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值； (3)已知的三边长a、b、c都是正整数，并且满足等式，请求出的周长，并判断的形状． 【覆盖五】多种最值综合 1． “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)如图，点、在直线的同侧，点到的距离，点到的距离，． ①请在图1直线上作出点，使得最小； ②的最小值为______； (2)如图2，在等腰中，，，是边的中点，是边上一动点，则的最小值是______； (3)如图3，正方形的边长为4，、分别是边和上的动点且始终满足，连结、，求的最小值． 2．阅读材料： 如图1，“智慧小组”在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线同旁有两个定点，，在直线上存在点，使得的值最小． “智慧小组”的作法是：如图2，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为点，且的最小值为的长． 如图3，为了证明点的位置即为所求，“智慧小组”经探究发现，在直线上另外取点，连接，，，证明即可． (1)请完成图3中的证明； (2)如图4，在等边中，是中点，是的平分线，是上的动点．若，则的最小值是________； (3)如图5，在中，，，，，平分，分别在，上取点，，连接，，则的最小值是________． 3．“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李欣《古从军行》里的一句诗．由此引申出一系列有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”． 问题1：如图1，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的点出发，走到河旁边的点饮马后再到点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？ 某课题组在探究这一问题时抽象出数学模型： 直线同旁有两个定点，，在直线上存在点，使得的值最小． 解法：如图2，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为的长． 【数学思考】有很多问题都可用类似的方法去思考解决． (1)如图3，在等边三角形中，是边上的高，为的中点，为上一动点，若，，求周长的最小值； (2)如图4，在中，，是中线，点是上一动点，为上一动点，的面积等于6，则的最小值为______． 【覆盖六】费马点 1．费马是17世纪的法国数学家，他曾研究过一种特殊的点，它满足“在一个三角形所在平面上，到该三角形的三个顶点距离之和最短”，这样的点被称为“该三角形的费马点”． (1)如图，中，，，点D在线段上且线段，请判断：点D是否为的费马点，并说明理由． (2)现有真命题：在中，三个内角都小于，在其内部存在一点P，满足，则点P称为的费马点． 小明利用该真命题，尝试用尺规作费马点，他的作法如下： 如图，对一个所有内角都小于的，分别以线段为边向外侧作等边三角形和等边三角形，连接交于点P．请完成证明： ①求证：； ②在线段上取点F使，连接， 求证：点P是的费马点． 2．【材料1】在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即“在中，，，则”． 【材料2】定义：若为内一点，满足，则点叫做的费马点． (1)如图1，若点是等边的费马点，且，则这个等边三角形的高的长度为 ； (2)如图2，已知，分别以为边向外作等边与等边，线段交于点，连接，求证：点是的费马点； (3)应用探究：已知有三个村庄的位置如图3所示，其中村庄到两个村庄的距离相等，且满足，请在合适的位置建一个污水处理站，使得该处理站分别连接这三个村庄的水管长度之和最小，请直接写出此时 ． 3．定义：若P为内一点，且满足，则点P叫做的费马点． (1)如图1，若点O是等边的费马点，且，则这个等边三角形的高的长度为______； (2)如图2，已知，分别以为边向外作等边与等边，线段交于点P，连接，求证：点P是的费马点； (3)应用探究：已知有A、B、C三个村庄的位置如图3所示，能否在合适的位置建一个污水处理站Q，使得该处理站分别连接这三个村庄的水管长度之和最小？如果能，请你说明该如何确定污水处理站Q的位置，并证明该位置满足设计要求． 学科网（北京）股份有限公司 $