第1章 三角形的初步知识 单元测试-2026-2027学年浙教版 八年级数学上册考点解惑

**基本信息** 本单元卷聚焦三角形初步知识，通过基础巩固、能力提升、创新应用三层设计，覆盖三角形性质、全等判定等核心知识点，适配单元复习，助力逻辑推理与空间观念培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|三边关系、全等判定（如第3题ASA判定）、命题真假|基础概念与图形直观结合| |填空题|6/18|命题反例、全等条件添加（如第13题添加条件证全等）|突出知识辨析与开放探究| |解答题|8/72|尺规作图（第19题医疗站点定位）、动态几何多结论判断（第10题）、“截长补短”探究（第24题）|综合应用与创新思维并重，培养推理能力与应用意识|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 第1章 三角形的初步知识 单元测试 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．下列命题中，是真命题的是（     ） A．相等的角是对顶角 B．同旁内角相等，两直线平行 C．面积相等的三角形全等 D．全等三角形的周长相等 3．如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他只要带第③块碎片去商店，就可以配出一块与原来完全一样的三角形模具，这样做利用全等三角形的判定依据是（     ） A． B． C． D． 4．如图，，，，，垂足分别为点，中边上的高是（   ） A． B． C． D． 5．如图，点E、C为线段上的点，满足，若，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．如图，直线，直线与，分别相交于点，，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，连接．若的周长为10，则的长是（     ） A．3 B．5 C．6 D．7 8．在中，，按以下步骤作图：  ①以点为圆心，以小于的长为半径画图，分别交，于点，；  ②分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点；  ③作射线，交边于点，若，  则的面积为（     ） A． B． C． D． 9．如图，在 中，点在上，，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，若的面积是，则的面积是（     ） A．3 B．4 C．6 D．9 10．已知，其中．点以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为秒． ①若，则点运动路程始终是点运动路程的2倍； ②当两点同时到达点时，； ③若时，与垂直； ④若运动过程中存在与全等，则或． 以上说法正确的选项为（   ） A．①③ B．①② C．①②④ D．①②③④ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．中，，则________． 12．要说明命题“若，则”是假命题，请举出一个反例： ________． 13．如图，点，，，在一条直线上，，，请添加一个条件________（写出一个即可），使． 14．如图，在中，点D、E分别在边、上，，，．若，则的周长为 ___ cm． 15．如图，在中，、分别平分和，过点O作，分别交边、于点D和点E，如果，那么______ ． 16．如图，在中，，在运动过程中始终保持，连结和，当值达到最小时，的值为 _______ ． 三、解答题：本题共8小题，共72分. 17．（8分）已知的三边长分别是a，b，c． (1)若a、b、c满足．判断的形状； (2)若，且为等腰三角形．求的周长． 18．（8分）如图，已知于B，于E，，，求证：． 19．（8分）近年来，国家实施农村医疗卫生改革，某县计划在甲村、乙村之间设立一座定点医疗站点，甲、乙两村坐落在两相交公路内（如图所示）．医疗站必须适合下列条件：①使其到两公路距离相等；②到甲、乙两村的距离也相等．请确定点的位置． 20．（8分）填充证明过程和理由： 已知：如图，平分，求证：． 证明：， ____________（同位角相等，两直线平行） （______________________） ____________（同角的补角相等）． 又平分 （角平分线的定义）． ____________（等量代换） ∴（______________________） 21．（8分）如图，，分别是的角平分线和高． (1)已知，求的度数．你还能求出哪些角的度数？ (2)与有怎样的关系？为什么？ 22．（10分）如图，在由边长为1的小正方形构成的的网格中，的顶点，，均在格点上，请按要求完成作图：①仅用无刻度的直尺；②保留作图痕迹并标注相关字母． (1)如图1，在网格内找一点，使得，作出（与不重合）． (2)如图2，作边上的中线，并求出的面积． 23．（10分）【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①．在和中，，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则， ． 【性质应用】 (1)如图②，D是的边上的一点．若，则__________； (2)如图③，在 中，D，E分别是和边上的点．若 ， ，，则__________，_________； (3)如图③，在 中，D，E分别是和边上的点，若 ， ，，则__________． 24．（12分）“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题．某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习：已知在四边形中，分别是直线上的点． (1)如图1，若，分别在线段，上，且满足，试探究线段，之间的数量关系． 数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证与的全等，再证与的全等，可得到，，之间的数量关系．经过以上分析，直接写出线段，，之间的数量关系为    ___________． (2)如图2，若，点，点分别在线段，的延长线上，且满足，试探究线段，之间的数量关系，并请说明理由． (3)如图3，若不变，点在的延长线上，点在的延长线上，若，试探究与的数量关系，并说明理由． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $第1章三角形的初步知识单元测试 总分：120分（参考答案) 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分 3 5 6 8 9 10 D D D B D D B B B 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分 11.60°160度12.-3（答案不唯一）13.ED=BA 14.715.5°/5度16.1 三、解答题：本题共8小题，共2分： 17.(8分) 【答案】(1) △ABC是等边三角形 (2) △ABC的周长为11或13 【分析】山直接根据b-4+(c-b=0,得出b-a=0,c-b=0,整理得0=b=c,进行判断即可； (2)由题意可得c=3或c=5,再结合三角形的三边关系分类求解即可. 【详解】(1)解：△ABC是等边三角形， .b-a+(c-b}=0 .b-a=0,c-b=0. ..a=b,b=c, ∴.a=b=C, ∴.△ABC是等边三角形；(4分) (2)解：：△ABC为等腰三角形，a=5,b=3, .c=3或c=5, 1/10 当c=3时，三角形的三边为3,3,5， 由3+3=6>5，此时能构成三角形，此时△ABC的周长为3+3+5=11； 当C=5时，三角形的三边为5,5,3， 由3+5=8>5，此时能构成三角形，此时△ABC的周长为3+5+5=13： 综上，△ABC的周长为11或13.(8分) 18.(8分) 【答案】证明：AB⊥CF于B,DE⊥CF于E, ∴∠ABC=∠DEF=90° ,在△ABC和△DEF中， ∠C=∠F ∠ABC=∠DEF AB=DE .△ABC≌△DEF(AAS) .AC=DF 【分析】通过“AAS”证明△ABC≌aDEF即可得出结论. 【详解】略(8分) 19.(8分) 【答案】解：如图所示：点P即为所求 【分析】先作两公路夹角的角平分线，再作甲村和乙村线段的垂直平分线，与角平分线的交点即为点P 【详解】略(8分) 20.(8分) 【答案】EF‖AD,两直线平行，同旁内角互补；∠3=∠5；∠3=∠4；内错角相等，两直线平行. 【分析】先证明EF‖AD,由平行线的性质得出∠2+∠3=180°，结合己知条件得出∠3=∠5，由角平分 线的定义以及等量代换得出∠3=∠4，即可得出4BDG. 【详解】略(8分) 21.(8分) 2/10 【答案】(1) ∠DAE=10°， 还可以求∠ADB=100°，∠ADE=80°，∠CAE=30°， (②解：∠DAB与∠B,∠C的关系为∠DAE=(C-∠B)】 .在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠C, ,AD是角平分线， BAD1∠BAC号80°-∠B-4( 2 AE是BC边上的高， .AE⊥BC,即LAEB=∠AEC=90°， 在RtABE中，∠BAE=90°-∠B, 又.∠DAE=∠BAE-∠BAD, 代入得：∠D4E=(0-∠B)80-∠B-∠C)=90-∠B-90+B+5<C=<C-∠B), 2 2 “∠DHE与n,∠C的关系为：D1E=C-∠. 【分析】(I)根据三角形的内角和定理以及角平分线的性质可求解∠BAD的度数，再由直角三角形可求 解∠BAE的度数，由此可求∠DAE的度数，再根据三角形内角和定理还可以求解∠ADE,∠ADB, ∠CAE的度数、 (2)先由三角形内角和得到∠BAC=180°-∠B-∠C,以及∠BAE=90°-∠B,再根据 ∠DAE=∠BAE-∠BAD,代入表示即可. 【详解】(1)解：在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-60°=80°， ,AD是∠BAC的角平分线， 3/10 .∠BAD= ∠BAC= ×80°=40° 2 AE是BC边上的高， ∴.AE⊥BC,即∠AEB=∠AEC=90°， 在RtABE中，∠BAE=90°-∠B=90°-40°=50°， .∠DAE=∠BAE-∠BAD=50°-40°=10°， 还可以求解∠ADE,∠ADB,∠CAE的度数， 在△ABD中，∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-40°-40°=100°， ∴.∠ADE=180°-∠ADB=180°-100°=80°， 在RtAACE中，∠CAE=90°-∠C=90°-60°=30°.(4分) (2)略(8分) 22.(10分) 【答案】(1)见解析 (2)图见解析，7 【分析】(I)根据全等三角形的判定定理找到符合要求的点P即可： (2)AC与中间格线的交点即为AC中点D,再利用三角形面积公式求解即可. 【详解】(1)解：如图所示，点P即为所求.（点P在点A右侧一个单位格点处）： (5分) B C (2)解：如图所示，线段BD即为所求。 4/10 的面积 .(10分) B BDC 1x1x7×4=7 23.(10分) 【答案】(1)3：4 a ③mm 【分析】(1)由图可知△ABD和△ADC是等高三角形，然后根据等高三角形的性质即可得到答案： C②根据E:4B=12.了和等高三角形的质可求得5，然后根 ,CD:BC=1:3 和等高三 角形的性质可求得 (S)根据E:B=1:m,5c=0和等有三角形的作据可求料BPC,然后根粥CD:8C=1,和 等高三角形的性质可求得 S.CDE 【详解】(I)解：如图，过点A作AE⊥BC, B D EC 期SmD-4E,及x0C4E 2 AE=AE S.ABD S.ADC BD:DC=3:4 (3分) (2)解：，△BEC和△ABC是等高三角形， 5/10 .S.BEC S.4BC=BE:AB=1:2 *11 1 254c=2×1=2: ,△CDE和△BEC是等高三角形， S.CDE S.DEC=CD:BC=1:3 1 111 5,cme3c3x26:(6分) (3)解：，△BEC和△ABC是等高三角形， S.BEC S.ABC BE:AB=1:m 1 a Suec=SAnc=xa m mm: ,:△CDE和△BEC是等高三角形， S.CDE S.BEC=CD:BC=1:n .S.coe-1S.=1xa=a 1 n nmmn· (10分) 24.(12分) 【答案】(I)EF=BE+DF (2) DF=BE+EF,理由如下： 在DF上截取DG=BE,连接AG, D E /B F 图2 ,∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠ABE=180° ∴.∠ABE=∠D, 在△ADG和△ABE中， 6/10 DG=BE ∠ABE=∠D AD=AB ∴.△ADG≌△ABE(SAS) ∴.∠DAG=∠EAB,AE=AG ∴.∠EAG=∠BAD. BAD :∠FAE=2 ∴.∠FAE= EAG, 2 .∠EAF=∠GAF, 在△EAF和△GAF中， AF=AF ∠EAF=∠GAF AE=AG ∴.△EAF≌△GAF(SAS) ∴EF=FG .DF=FG+DG. ..DF=EF+BE. B)∠EAF=180-1∠BAD 理由：如图3，在DC延长线上取一点G,使得DG=BE,连接AG, B D 图3 :∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180° .∠ADG=∠ABE, 在△ABE和△ADG中， 7/10 AB=AD ∠ABE=∠ADG EB=DG .:△ABE≌△ADG(SAS) ∴.AG=AE,∠DAG=∠BAE EF=BE+DF,DG=BE ∴.EF=DG+DF=FG. 在△AEF和△AFG中 「AF=AF EA=AG EF=FG ∴.△AEF≌△AGF(SSS) .∠FAE=∠FAG ∠FAE+∠EAG+∠GAF=360°， .2∠FAE+(∠GAB+∠BAE)=360° .2∠FAE+(LGAB+∠DAG)=360° 即2∠EAF+∠DAB=360°， ∠EAF=180°-1∠BAD 【分析】(I)延长CB到点G,使BG=DF,连接AG,可判定△ABG≌△ADF(SAS),进而得出 ∠BAG=∠DAF,AF=AG △AEF≌AAEG ,再判定 ,可得结论： (2)如图2：在DF上截取DG=BE,连接AG,先判定△ABE≌aADG(SAS),进而得出 ∠BAE=∠DAG,AE=AG △AEF≌△AEG ,再判 ,可得结论： 8/10 (3)在DC延长线上取一点G,使得DG=BE,连接1G,先判定 ABE≌AADG(SAS) 再判定 △AEF≌△AGF(SSS) 得出∠FAE=∠FAG,最后根据∠FAE+∠EAG+∠GAF=360°，推导得到 2∠EAF+∠DAB=360°，即可得出结论. 【详解】(I)解：结论：EF=BE+DF. 理由：如图1，延长CB到点G,使BG=DF,连接AG, G B F D 图1 在△ABG和△ADF中， BA=DA ∠ABG=∠ADF BG=DF ∴△ABG≌△ADF(SAS) ∴.∠BAG=∠DAF,AF=AG ∠FAG=∠DAB, DAB ·∠EAF=I ÷∠EAF=∠FAG .∠EAF=∠EAG, 在△AEF和△AEG中， 「AE=AE ∠EAF=∠EAG AF=AG .∴△AEF≌AAEG(SSS) 9/10 ∴EF=EG=BE+BG, EF=BE+DF,(4分) (2)略(8分) (3)略(12分) 10/10 第1章 三角形的初步知识 单元测试 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．下列命题中，是真命题的是（     ） A．相等的角是对顶角 B．同旁内角相等，两直线平行 C．面积相等的三角形全等 D．全等三角形的周长相等 3．如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他只要带第③块碎片去商店，就可以配出一块与原来完全一样的三角形模具，这样做利用全等三角形的判定依据是（     ） A． B． C． D． 4．如图，，，，，垂足分别为点，中边上的高是（   ） A． B． C． D． 5．如图，点E、C为线段上的点，满足，若，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．如图，直线，直线与，分别相交于点，，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，连接．若的周长为10，则的长是（     ） A．3 B．5 C．6 D．7 8．在中，，按以下步骤作图：  ①以点为圆心，以小于的长为半径画图，分别交，于点，；  ②分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点；  ③作射线，交边于点，若，  则的面积为（     ） A． B． C． D． 9．如图，在 中，点在上，，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，若的面积是，则的面积是（     ） A．3 B．4 C．6 D．9 10．已知，其中．点以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为秒． ①若，则点运动路程始终是点运动路程的2倍； ②当两点同时到达点时，； ③若时，与垂直； ④若运动过程中存在与全等，则或． 以上说法正确的选项为（   ） A．①③ B．①② C．①②④ D．①②③④ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．中，，则________． 12．要说明命题“若，则”是假命题，请举出一个反例： ________． 13．如图，点，，，在一条直线上，，，请添加一个条件________（写出一个即可），使． 14．如图，在中，点D、E分别在边、上，，，．若，则的周长为 ___ cm． 15．如图，在中，、分别平分和，过点O作，分别交边、于点D和点E，如果，那么______ ． 16．如图，在中，，在运动过程中始终保持，连结和，当值达到最小时，的值为 _______ ． 三、解答题：本题共8小题，共72分. 17．（8分）已知的三边长分别是a，b，c． (1)若a、b、c满足．判断的形状； (2)若，且为等腰三角形．求的周长． 18．（8分）如图，已知于B，于E，，，求证：． 19．（8分）近年来，国家实施农村医疗卫生改革，某县计划在甲村、乙村之间设立一座定点医疗站点，甲、乙两村坐落在两相交公路内（如图所示）．医疗站必须适合下列条件：①使其到两公路距离相等；②到甲、乙两村的距离也相等．请确定点的位置． 20．（8分）填充证明过程和理由： 已知：如图，平分，求证：． 证明：， ____________（同位角相等，两直线平行） （______________________） ____________（同角的补角相等）． 又平分 （角平分线的定义）． ____________（等量代换） ∴（______________________） 21．（8分）如图，，分别是的角平分线和高． (1)已知，求的度数．你还能求出哪些角的度数？ (2)与有怎样的关系？为什么？ 22．（10分）如图，在由边长为1的小正方形构成的的网格中，的顶点，，均在格点上，请按要求完成作图：①仅用无刻度的直尺；②保留作图痕迹并标注相关字母． (1)如图1，在网格内找一点，使得，作出（与不重合）． (2)如图2，作边上的中线，并求出的面积． 23．（10分）【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①．在和中，，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则， ． 【性质应用】 (1)如图②，D是的边上的一点．若，则__________； (2)如图③，在 中，D，E分别是和边上的点．若 ， ，，则__________，_________； (3)如图③，在 中，D，E分别是和边上的点，若 ， ，，则__________． 24．（12分）“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题．某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习：已知在四边形中，分别是直线上的点． (1)如图1，若，分别在线段，上，且满足，试探究线段，之间的数量关系． 数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证与的全等，再证与的全等，可得到，，之间的数量关系．经过以上分析，直接写出线段，，之间的数量关系为    ___________． (2)如图2，若，点，点分别在线段，的延长线上，且满足，试探究线段，之间的数量关系，并请说明理由． (3)如图3，若不变，点在的延长线上，点在的延长线上，若，试探究与的数量关系，并说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 三角形的初步知识 单元测试 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查三角形三边关系定理，判定能否组成三角形时，只需验证较小两边的和是否大于最长边，满足条件即可构成三角形，反之不能． 【详解】解：∵ ，不满足三边关系，∴选项A不能摆成三角形； ∵ ，不满足三边关系，∴选项B不能摆成三角形； ∵ ，不满足三边关系，∴选项C不能摆成三角形； ∵ ，满足三角形三边关系，∴选项D能摆成三角形． 2．下列命题中，是真命题的是（     ） A．相等的角是对顶角 B．同旁内角相等，两直线平行 C．面积相等的三角形全等 D．全等三角形的周长相等 【答案】D 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题； B、同旁内角互补，两直线平行，原命题是假命题； C、面积相等的两个三角形不一定全等，例如底为高为的三角形与底为高为的三角形面积相等，但两个三角形不全等，原命题是假命题； D、全等三角形的周长相等，是真命题. 3．如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他只要带第③块碎片去商店，就可以配出一块与原来完全一样的三角形模具，这样做利用全等三角形的判定依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：他带第③块碎片去是因为第③块保留了该三角形的两个角及其夹边，所以他利用了全等三角形的判定依据是． 4．如图，，，，，垂足分别为点，中边上的高是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：中边上的高是． 5．如图，点E、C为线段上的点，满足，若，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴． 6．如图，直线，直线与，分别相交于点，，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先利用平行线的性质求出，然后利用三角形外角的性质求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 7．如图，在中，，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，连接．若的周长为10，则的长是（     ） A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线的性质得出，根据的周长为10，得出，从而求出的长． 【详解】解：由作图过程可知：是线段的垂直平分线， ， ∴的周长， ． 8．在中，，按以下步骤作图：  ①以点为圆心，以小于的长为半径画图，分别交，于点，；  ②分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点；  ③作射线，交边于点，若，  则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据作图得到平分，如图所示，过点D作于点H，由角平分线的性质定理得到，再根据面积的计算公式求解即可． 【详解】解：根据作图可知平分，如图所示，过点D作于点H， ∵，即， ∴， ∴， 故选：B ． 9．如图，在 中，点在上，，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，若的面积是，则的面积是（     ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】B 【分析】连接，设，根据，可得，，再由点E是的中点，可得 ，，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 设， ∵， ∴，， ∴， ∵点E是的中点，的面积是2， ∴，， ∴，， ∴， 解得：， ∴． 10．已知，其中．点以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为秒． ①若，则点运动路程始终是点运动路程的2倍； ②当两点同时到达点时，； ③若时，与垂直； ④若运动过程中存在与全等，则或． 以上说法正确的选项为（   ） A．①③ B．①② C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据路程等于速度乘时间求出点和点的路程，即可判断①；先求出点到达点时的时间，然后根据题意列出算式求解即可判断②；先画出图形，根据题意求出，，，，然后得到和不全等，进而证明出，即可判断③；根据全等三角形边角的对应关系，分种情况求出的值即可判断④． 【详解】解：对于①，点以每秒个单位长度的速度，运动时间为秒， 点运动路程为． 若，则点运动路程为， 点运动路程始终是点运动路程的倍，故①符合题意； 对于②，当点到达点时，秒， ，故②符合题意； 对于③，如图所示， 当，时， 点运动的路程为，点运动的路程为． ，， ，． ， ， ， 和不全等， ． ， ， ， 与不垂直，故③不符合题意； 对于④，当时，则，． ， ， ， ， ， ； 当时，则，． ， ， ． ， ， ， 若与全等，则或，故④不符合题意． 综上所述，符合题意的结论为①②． 【点睛】本题是一道动点问题，考查了全等三角形的性质和判定．解题的关键是能充分把握运动过程，找出符合条件时点的位置及满足的数量关系，分类时做到不重不漏． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．中，，则________． 【答案】/60度 【分析】本题利用三角形内角和定理，结合题干给出的与的数量关系，列方程求解的度数． 【详解】解：根据三角形内角和定理可得. ， 将代入上式得， 整理得， 解得． 12．要说明命题“若，则”是假命题，请举出一个反例： ________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】只需找出满足题设，但不满足结论的的值即可解题． 【详解】解： 当时，，但不满足，因此可作为该假命题的反例． 故答案为（答案不唯一）． 13．如图，点，，，在一条直线上，，，请添加一个条件________（写出一个即可），使． 【答案】 【分析】先由得到，由得到，再结合全等三角形的判定证明即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴， ∴当时，； 或当时，； 或当时，， 或时，则，． ∴可添加条件为：或或或（答案不唯一，只需填一个）． 14．如图，在中，点D、E分别在边、上，，，．若，则的周长为 ___ cm． 【答案】7 【分析】由全等三角形的性质推出，，求出，得到的周长． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴的周长． 15．如图，在中，、分别平分和，过点O作，分别交边、于点D和点E，如果，那么______ ． 【答案】/度 【详解】先由角平分线的定义与三角形内角和定理求得，再根据平行线的性质得出，即可求解． 【分析】解：由条件可知 ， ， ， 平分， ∴ ， ∵， ∴， ． 16．如图，在中，，在运动过程中始终保持，连结和，当值达到最小时，的值为 _______ ． 【答案】1 【分析】过点B作，且，在上截取，连接，由可证，可得，由“”可证，可得，则，即当点C，点E，点H三点共线时，有最小值，由“”可证，可得，即可求解，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形． 【详解】解：如图：过点B作，且，在上截取，连接， ∵， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当点C，点E，点H三点共线时，有最小值， 此时，∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点H是的中点， ∴， ∴点P与点H重合， ∴， ∴． 三、解答题：本题共8小题，共72分． 17．（8分）已知的三边长分别是a，b，c． (1)若a、b、c满足．判断的形状； (2)若，且为等腰三角形．求的周长． 【答案】(1) 是等边三角形 (2) 的周长为或 【分析】（1）直接根据，得出，整理得，进行判断即可； （2）由题意可得或，再结合三角形的三边关系分类求解即可． 【详解】（1）解：是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形；（4分） （2）解：∵为等腰三角形，， ∴或， 当时，三角形的三边为3，3，5， 由，此时能构成三角形，此时的周长为； 当时，三角形的三边为5，5，3， 由，此时能构成三角形，此时的周长为； 综上，的周长为或．（8分） 18．（8分）如图，已知于B，于E，，，求证：． 【答案】证明：于B，于E， ． ∵在和中， ， ． 【分析】通过“”证明即可得出结论． 【详解】略（8分） 19．（8分）近年来，国家实施农村医疗卫生改革，某县计划在甲村、乙村之间设立一座定点医疗站点，甲、乙两村坐落在两相交公路内（如图所示）．医疗站必须适合下列条件：①使其到两公路距离相等；②到甲、乙两村的距离也相等．请确定点的位置． 【答案】解：如图所示：点即为所求． 【分析】先作两公路夹角的角平分线，再作甲村和乙村线段的垂直平分线，与角平分线的交点即为点P． 【详解】略（8分） 20．（8分）填充证明过程和理由： 已知：如图，平分，求证：． 证明：， ____________（同位角相等，两直线平行） （______________________） ____________（同角的补角相等）． 又平分 （角平分线的定义）． ____________（等量代换） ∴（______________________） 【答案】；两直线平行，同旁内角互补；；；内错角相等，两直线平行． 【分析】先证明，由平行线的性质得出，结合已知条件得出，由角平分线的定义以及等量代换得出，即可得出． 【详解】略（8分） 21．（8分）如图，，分别是的角平分线和高． (1)已知，求的度数．你还能求出哪些角的度数？ (2)与有怎样的关系？为什么？ 【答案】(1) ， 还可以求，，． (2)解：与的关系为． ∵在中，， ∵是角平分线， ∴， ∵是边上的高， ∴，即， 在中，， 又∵， 代入得：， ∴与的关系为：． 【分析】（1）根据三角形的内角和定理以及角平分线的性质可求解的度数，再由直角三角形可求解的度数，由此可求的度数，再根据三角形内角和定理还可以求解，，的度数． （2）先由三角形内角和得到，以及，再根据，代入表示即可． 【详解】（1）解：在中，， ∵是的角平分线， ∴， ∵是边上的高， ∴，即， 在中，， ∴， 还可以求解，，的度数， 在中，， ∴， 在中，．（4分） （2）略（8分） 22．（10分）如图，在由边长为1的小正方形构成的的网格中，的顶点，，均在格点上，请按要求完成作图：①仅用无刻度的直尺；②保留作图痕迹并标注相关字母． (1)如图1，在网格内找一点，使得，作出（与不重合）． (2)如图2，作边上的中线，并求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析，7 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理找到符合要求的点P即可； （2）与中间格线的交点即为中点D，再利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，点P即为所求．（点P在点A右侧一个单位格点处）； （5分） （2）解：如图所示，线段即为所求． 的面积．（10分） 23．（10分）【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①．在和中，，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则， ． 【性质应用】 (1)如图②，D是的边上的一点．若，则__________； (2)如图③，在 中，D，E分别是和边上的点．若 ， ，，则__________，_________； (3)如图③，在 中，D，E分别是和边上的点，若 ， ，，则__________． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（1）由图可知和是等高三角形，然后根据等高三角形的性质即可得到答案； （2）根据 ，和等高三角形的性质可求得，然后根据 和等高三角形的性质可求得； （3）根据 ，和等高三角形的性质可求得，然后根据 ，和等高三角形的性质可求得． 【详解】（1）解：如图，过点A作， 则 ， ， ∴；（3分） （2）解：∵和 是等高三角形， ∴ ， ∴； ∵和是等高三角形， ∴ ， ∴；（6分） （3）解：∵和 是等高三角形， ∴ ， ∴； ∵和是等高三角形， ∴ ， ∴．（10分） 24．（12分）“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题．某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习：已知在四边形中，分别是直线上的点． (1)如图1，若，分别在线段，上，且满足，试探究线段，之间的数量关系． 数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证与的全等，再证与的全等，可得到，，之间的数量关系．经过以上分析，直接写出线段，，之间的数量关系为    ___________． (2)如图2，若，点，点分别在线段，的延长线上，且满足，试探究线段，之间的数量关系，并请说明理由． (3)如图3，若不变，点在的延长线上，点在的延长线上，若，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) ，理由如下： 在上截取，连接， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． (3)， 理由：如图3，在延长线上取一点，使得，连接， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， 即， ． 【分析】（1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，再判定，可得结论； （2）如图2：在上截取，连接，先判定，进而得出，再判定，可得结论； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：结论：． 理由：如图 1，延长到点，使，连接， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ．（4分） （2）略（8分） （3）略（12分） 2 学科网（北京）股份有限公司 $