第2章 特殊三角形单元测试2026-2027学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版）

**基本信息** 立足特殊三角形单元，融合文化传承与现实应用，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度，考查轴对称、勾股定理、等腰三角形等核心知识，适配初中数学单元复习，培养几何直观与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|轴对称（第1题剪纸）、勾股数（第2题）、等腰三角形性质（第6题）|结合河南卢氏剪纸、《九章算术》“折竹抵地”等文化素材| |填空题|6/18|全等三角形逆命题（第11题）、三角形形状判断（第12题）、正方形面积与勾股定理（第14题）|通过镜面时间、四边形外正方形面积考查应用意识| |解答题|8/72|网格作图（第17题）、古柳高度测量（第20题）、动态几何与方程（第24题“寻宝”游戏）|设置校园劳动基地测算、翻折最值等综合问题，体现模型意识与创新思维|

第2章 特殊三角形 单元测试 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．河南卢氏剪纸在河南的民间剪纸和民俗文化中占有独特的地位，它所蕴含的文化信息早已融入当地人的灵魂，影响到民俗生活的各个方面，影响到人们的价值观和审美取向．下列剪纸是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据轴对称图形的定义，逐项分析即可判断． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意． 2．下列各组数中，是勾股数的是（     ） A．1、、2 B．1、1、 C．2、5、6 D．9、12、15 【答案】D 【分析】勾股数需满足：三个数均为正整数，且两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A中的，不是正整数，该选项不符合勾股数的要求，排除； 选项B中的，不是正整数，该选项不符合勾股数的要求，排除； 选项C中，，，，该选项不符合勾股数的要求，排除； 选项D中，9，12，15都是正整数，且，满足勾股数的定义，该选项符合勾股数的要求． 3．在中，，则的长为（     ） A．8 B．9 C．10 D．13 【答案】C 【详解】解：在中，， ∴． 4．如图，在中，，，点为的中点，则的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出的长度． 【详解】解：在中，，，点为的中点， ． 5．如图，在三角形测平架中，，在的中点D处挂一重锤，让它自然下垂，如果调整架身，使重锤线正好经过点A，那么就能确认处于水平位置，这一判断过程体现的数学依据是（     ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线互相重合 D．三角形具有稳定性 【答案】C 【分析】利用等腰三角形的三线合一的性质证明即可． 【详解】解：这种做法依据的数学原理是：等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线互相重合． 理由：∵，， ∴． ∵是重锤所在的直线， ∴是水平的． 6．若等腰三角形的一个角是，则它的一个底角是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据未明确给出是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论，利用等腰三角形两底角相等的性质和三角形内角和为计算底角即可． 【详解】解：当为底角时，则另一个底角是； 当为顶角时，可得底角为. 则该等腰三角形的底角为或． 7．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去高六尺，折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），一阵风将竹子折断，竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵竹子原高10尺，折断处离地面尺， ∴折断部分长度为尺， 如图，直角边尺，尺，斜边尺， 根据勾股定理得：． 8．如图所示，数轴上点A所表示的数为,则的值是(      ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出斜边长，即可得出答案． 【详解】解：由题可知，图中直角三角形的两直角边为和， ∴斜边长为， ∴点A所表示的数为． 9．如图，在等边中，三个内角的角平分线相交于点，过点作的平行线分别交，于点，．若，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角平分线的定义得，，再根据平行线的性质得，，则，，根据等腰三角形的判定得，，再根据三角形的定义得的周长为：，结合等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵，的平分线相交于点P， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴的周长为， ∵等边中，， ∴， ∴的周长为． 10．如图，在边长为的正方形中，为上一点，连接，将沿直线翻折，得到，连接，当的长最小时，的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由翻折的性质可知，点在以点为圆心，为半径的圆上运动，当点、、三点共线时，的长最小，求出，设此时，利用勾股定理列方程，即可解得答案． 【详解】解：由翻折的性质可知，， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上运动， 当点、、三点共线时，的长最小， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 此时， 设此时，则， 在中，， 即， 解得． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．已知命题：“全等三角形对应边相等”，则它的逆命题为__________． 【答案】 对应边相等的两个三角形全等 【分析】本题考查逆命题的概念，找出原命题的条件和结论，将条件和结论互换，即可得到原命题的逆命题． 【详解】解：原命题“全等三角形对应边相等”中，条件为“两个三角形全等”，结论为“两个三角形对应边相等”，将条件和结论互换，得到逆命题为：对应边相等的两个三角形全等. 故答案为对应边相等的两个三角形全等． 12．已知的三边，，满足，则的形状为________． 【答案】直角三角形 【分析】根据勾股定理的逆定理判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形． 13．小明发现站在平面镜前，从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间与电子钟的实际时间成对称，如图1，则电子钟的实际时间应该是__________ ． 【答案】 【分析】实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称，据此解答即可． 【详解】解：根据实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称可知： 时间应该是． 14．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为，，，．若，，则______． 【答案】 【详解】解：如图，连接， 由题意可知：，，，． 在直角和中，， 即， ，， ． ∴． 15．如图，中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，．过，两点作直线，分别交，于点，，连接．若，则_________． 【答案】 【分析】连接，由作图可得是的垂直平分线，则点F是的中点，．根据直角三角形斜边上中线的性质得到，由勾股定理求出，，在中根据勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】解：连接， 由作图可得是的垂直平分线， ∴点F是的中点，， ∵，， ∴， ∴在中，． 设，则， ∵在中，， ∴， 解得 ∴． 16．如图，在长方形中，，，点是边上一动点，过点作交边于点，将沿直线翻折得，连接，当是以为腰的等腰三角形时，则________． 【答案】 或 【分析】分两种情形：如图1中，当，过点D作于点J．证明，可得结论．如图2中，当时，利用勾股定理，构建方程求解即可． 【详解】解：如图1中，当，过点D作于点J． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 如图2中，当时， 设，则， 在中，， 则， ∴， ∴． 综上所述，的长为或． 三、解答题：本题共8小题，共72分． 17．（8分）如图，在的网格中，已知格点线段（格点为网格线的交点）． (1)利用网格画出格点线段，使（点不在网格的边框上）； (2)在（1）的条件下，_____°，并证明此结论． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】（1）结合网格与勾股定理的性质列式计算，作图即可； （2）运用勾股定理与勾股逆定理得又因为，则，即可作答． 【详解】（1）解：如图： ∴．（4分） （2）证明：连接， 由画法知， 由勾股定理得， 是直角三角形，且 ∵， ．（8分） 18．（8分）已知直角三角形，．请用圆规和无刻度的直尺，按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)作线段的对称轴； (2)作的对称轴． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可； （2）根据角平分线的作图方法作图即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求． ；（4分） （2）如图，射线即为所求． .（8分） 19．（8分）如图，在中，，，，．求的面积． 【答案】 【分析】设，则，根据勾股定理建立关于的方程，得到，进而根据勾股定理得到，再计算的面积即可． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， 在中，， 在中，， ∴可列方程为：，解得， ∴， ∵在中，， ∴， ．（8分） 20．（8分）在学校组织的徒步春光活动中，七年级某小组学生想测量灞河河岸边一棵古柳的高度，他们设计了如下方案：首先找来一根长度大于树高的直杆，先将其斜靠在树干上，顶端与树梢重合，此时直杆与地面的夹角为（即）；接着让直杆沿树干竖直下滑至位置，此时直杆与地面的夹角变为（即），此时测得杆脚到树根的水平距离为（即）．已知树干与地面垂直（即），点A，C，M在同一条直线上，点M，B，D在同一条直线上，所有点在同一平面内，求这棵柳树的高度． 【答案】柳树的高度为 【分析】先证明，再证明，即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ， ∴． ∴， 答：柳树的高度为．（8分） 21．（8分）为落实教育部中小学生劳动教育要求，某学校将校内如图所示的四边形空地改造成校园劳动实践基地．为了精准规划种植区域，需先测算空地相关数据．经测量，米，米，米，米，． (1)为方便分区管理，学校计划在、两点之间搭建篱笆，至少需要多少米的篱笆． (2)请计算出这块劳动实践基地的总面积，为后续的种植规划提供数据支持． 【答案】(1)至少需要米的篱笆 (2)这块劳动实践基地的总面积为平方米 【分析】（1）在中利用勾股定理求即可； （2）先由勾股定理逆定理证明是直角三角形，即可以为底，为高计算面积，再计算面积，最后把两个面积相加即为总面积． 【详解】（1）解：如图，连接， 在中，， ∵，， ∴； 答：至少需要10米的篱笆；（4分） （2）解：∵，，， ，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∵， ∴． 答：这块劳动实践基地的总面积为平方米．（8分） 22．（10分）如图，已知，，E为的中点，与交点为F， (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由直角三角形的性质可得，，从而得出，即可得证； （2）由等腰直角三角形的性质可得，由勾股定理可得，作于，则，由等面积法得出，由勾股定理可得，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵，，E为的中点， ∴，， ∴， ∴是等腰三角形；（5分） （2）解：∵，，E为的中点， ∴ ∵，， ∴， 如图，作于， 由（1）可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．（10分） 23．（10分）已知与中，，，，连接与相交于点F，与相交点． (1)猜想：如图1所示，当时，则______； (2)探究：如图2所示，当时，请求出的度数； (3)拓展延伸：如图3所示，当，，，请求出的长度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先证明得出，再结合三角形内角和定理计算即可得出结果； （2）先证明得出，再结合三角形内角和定理计算即可得出结果； （3）由（1）得，，从而得出，利用平行线的性质证明出，从而可得，，由此计算即可得出结果． 【详解】（1）解：， ， ， 在和中， ， ， ． 在和中，，， ， ∵， ∴，（3分） （2）解： 在和中 ． 在和中 ， ．（6分） （3）解：由（1）得，， ， ∵， ，， ， ， ，， ， ． ，， ．（10分） 24．（12分）嘉嘉在电脑上设计了一款“寻宝”游戏．在的某一边上有一处宝藏，已知，，． (1)如图1，探险者从点处出发，沿寻宝，探险者从点出发，沿寻宝，他们同时出发匀速运动，在点处首次相遇．设的速度为，则的速度可以表示为________（用含的代数式表示）； (2)探险者，在点相遇后，并没有寻到宝藏，然后他们又同时出发，探险者沿的路径寻宝，速度每秒提高了．探险者保持原速度不变，沿的路径寻宝．结果他们同时到达了边上的宝藏点处，如图2所示．此时藏宝点处距离处，则的值为________； (3)在（2）的条件下，探险者、在处首次相遇后，探险者发现一条与垂直的小路，如图3所示，他选择从点出发，沿的路径寻宝，速度降为自身速度的．判断能否与同时到达藏宝点处，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)探险者与不能同时到达藏宝点处，理由如下： 在中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴探险者所用时间为，探险者所用时间为， ∵， ∴探险者与不能同时到达藏宝点处． 【分析】（1）先计算出的运动时间，再求出的速度即可； （2）先计算出提速后的速度，再计算出、的路程，根据运动时间相等列出分式方程，求解并检验即可； （3）利用勾股定理的逆定理可判断，使用面积法可计算出，再使用勾股定理求出，则，分别计算、的运动时间，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意，从点到点的运动时间为， ∴的速度为；（4分） （2）解：根据题意，速度提高后，的速度为， ∵， ∴，， 由运动时间相等可列方程：， 解得， 经检验，是原方程的解；（8分） （3）略（12分） 2 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 第2章 特殊三角形 单元测试 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．河南卢氏剪纸在河南的民间剪纸和民俗文化中占有独特的地位，它所蕴含的文化信息早已融入当地人的灵魂，影响到民俗生活的各个方面，影响到人们的价值观和审美取向．下列剪纸是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各组数中，是勾股数的是（     ） A．1、、2 B．1、1、 C．2、5、6 D．9、12、15 3．在中，，则的长为（     ） A．8 B．9 C．10 D．13 4．如图，在中，，，点为的中点，则的长度为（     ） A． B． C． D． 5．如图，在三角形测平架中，，在的中点D处挂一重锤，让它自然下垂，如果调整架身，使重锤线正好经过点A，那么就能确认处于水平位置，这一判断过程体现的数学依据是（     ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线互相重合 D．三角形具有稳定性 6．若等腰三角形的一个角是，则它的一个底角是（     ） A． B． C．或 D．或 7．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去高六尺，折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），一阵风将竹子折断，竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 8．如图所示，数轴上点A所表示的数为,则的值是(      ) A． B． C． D． 9．如图，在等边中，三个内角的角平分线相交于点，过点作的平行线分别交，于点，．若，则的周长为（     ） A． B． C． D． 10．如图，在边长为的正方形中，为上一点，连接，将沿直线翻折，得到，连接，当的长最小时，的长为（     ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．已知命题：“全等三角形对应边相等”，则它的逆命题为__________． 12．已知的三边，，满足，则的形状为________． 13．小明发现站在平面镜前，从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间与电子钟的实际时间成对称，如图1，则电子钟的实际时间应该是__________ ． 14．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为，，，．若，，则______． 15．如图，中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，．过，两点作直线，分别交，于点，，连接．若，则_________． 16．如图，在长方形中，，，点是边上一动点，过点作交边于点，将沿直线翻折得，连接，当是以为腰的等腰三角形时，则________． 三、解答题：本题共8小题，共72分. 17．（8分）如图，在的网格中，已知格点线段（格点为网格线的交点）． (1)利用网格画出格点线段，使（点不在网格的边框上）； (2)在（1）的条件下，_____°，并证明此结论． 18．（8分）已知直角三角形，．请用圆规和无刻度的直尺，按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)作线段的对称轴； (2)作的对称轴． 19．（8分）如图，在中，，，，．求的面积． 20．（8分）在学校组织的徒步春光活动中，七年级某小组学生想测量灞河河岸边一棵古柳的高度，他们设计了如下方案：首先找来一根长度大于树高的直杆，先将其斜靠在树干上，顶端与树梢重合，此时直杆与地面的夹角为（即）；接着让直杆沿树干竖直下滑至位置，此时直杆与地面的夹角变为（即），此时测得杆脚到树根的水平距离为（即）．已知树干与地面垂直（即），点A，C，M在同一条直线上，点M，B，D在同一条直线上，所有点在同一平面内，求这棵柳树的高度． 21．（8分）为落实教育部中小学生劳动教育要求，某学校将校内如图所示的四边形空地改造成校园劳动实践基地．为了精准规划种植区域，需先测算空地相关数据．经测量，米，米，米，米，． (1)为方便分区管理，学校计划在、两点之间搭建篱笆，至少需要多少米的篱笆． (2)请计算出这块劳动实践基地的总面积，为后续的种植规划提供数据支持． 22．（10分）如图，已知，，E为的中点，与交点为F， (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，，求的长． 23．（10分）已知与中，，，，连接与相交于点F，与相交点． (1)猜想：如图1所示，当时，则______； (2)探究：如图2所示，当时，请求出的度数； (3)拓展延伸：如图3所示，当，，，请求出的长度． 24．（12分）嘉嘉在电脑上设计了一款“寻宝”游戏．在的某一边上有一处宝藏，已知，，． (1)如图1，探险者从点处出发，沿寻宝，探险者从点出发，沿寻宝，他们同时出发匀速运动，在点处首次相遇．设的速度为，则的速度可以表示为________（用含的代数式表示）； (2)探险者，在点相遇后，并没有寻到宝藏，然后他们又同时出发，探险者沿的路径寻宝，速度每秒提高了．探险者保持原速度不变，沿的路径寻宝．结果他们同时到达了边上的宝藏点处，如图2所示．此时藏宝点处距离处，则的值为________； (3)在（2）的条件下，探险者、在处首次相遇后，探险者发现一条与垂直的小路，如图3所示，他选择从点出发，沿的路径寻宝，速度降为自身速度的．判断能否与同时到达藏宝点处，并说明理由． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $第2章特殊三角形单元测试 总分：120分（参考答案) 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分 3 5 6 7 8 9 10 C B C D D C C C 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分. 11.对应边相等的两个三角形全等12.直角三角形13.15：01 25 10 9 14.10 15.4 16.cm或5cm 三、解答题：本题共8小题，共2分. 17.(8分) 【答案】(1)见解析 (2)45,见解析 【分析】(1)结合网格与勾股定理的性质列式计算，作图即可： (2)运用勾股定理与勾股逆定理得 C+BC=AB,又因为AC=BC,则∠CMB=45°，即可作答. 【详解】(1)解：如图： 4C=V2+32=g (4分) (2)证明：连接BC, 由画法知1C=V3 由勾股定理得4B=VP+了=V26,BC=V2+3-后 1/9 4C2+BC2=13+13=26,AB2=(26=26, .'AC2+BC2=AB2, .△ABC ∠ACB=90°， 是直角三角形，且 ..BC=3=AC .AC=BC, ∠CAB=180°-90 2 =45°.(8分) 18.(8分) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】(1)根据线段垂直平分线的作图方法作图即可： (2)根据角平分线的作图方法作图即可. 【详解】(1)解：如图，直线DE即为所求. (4分) B (2)如图，射线AF即为所求. (8分) B 19.(8分) 【答案】84 42 【分析】设BD=x'则CD=15-x,根据勾股定理建立关于x的方程，得到BD= 5,进而根据勾股定 2/9 理得到AD=S6 ,再计算。ABC的面积即可。 【详解】解：设BD=x,则CD=15-x, ,AD⊥BC, .∠ADB=∠ADC=90°， 在RtABD中，AD2=AB2-BD2=142-x2, 在RACD中，AD=AC2-CD2=132-(5-x 六可列方程为：14-=13-05-对，解得x=号 5 :BD=42 5 ,在Rt△ABD中，AD2=AB2-BD2, 0-4 5×BC×4D=x15x6-84.(8分) 21 5 20.(8分) 【答案】柳树AM的高度为l5m 【分析】先证明∠MB=∠MDC,再证明 AMB≌△DMC(AAS) 即可得解. 【详解】解：，AM⊥DM, ∴.∠AMB=90°， ∠ABM=50°， ∠MAB=90°-∠ABM=40°， ,∠CDM=40° ∴∠MAB=∠MDC=40° ,AB=DC,∠AMB=∠DMC △AMB≌△DMC(AAS) ∴.AM=DM=15m, 3/9 答：柳树AM的高度为l5m.(8分) 21.(8分) 【答案】(1)至少需要10米的篱笆 (2)这块劳动实践基地的总面积为144平方米 【分析】(I)在Rt△ABD中利用勾股定理求BD即可： (2)先由勾股定理逆定理证明△BCD是直角三角形，即可以BD为底，BC为高计算△BCD面积，再计算 △ABD面积，最后把两个面积相加即为总面积。 【详解】(1)解：如图，连接BD B 在RtABD中，∠A=90°， .AD=6,AB=8 BD-VAD+4B-68-10 答：至少需要10米的篱笆；(4分) (2)解：BD=10,BC=24,CD=26. BD2+BC2=102+242=676CD2=262=676 .BD2+BC2=CD2, :△BCD是直角三角形，∠CBD=90°， 5m80ac-x1024=120, S-4B-4D= 1 2×6×8=24 S四边形1BcD=S△MD+S△BCD=24+120=144 答：这块劳动实践基地的总面积为144平方米.(8分) 22.(10分) 【答案】(1)见解析 4/9 32 (2 【分折】（山向直角三角形的性质可符CE=4,DE=B,从而得出CE=DE,即可得证： 2 (2)由等腰直角三角形的性质可得DE⊥AB,由勾股定理可得DF=5,作EG⊥CD于G,则 G0-20G,由等面积法得出60-号。白勾股定理可特DG= 5,即可得出结果。 【详解】(I)证明：：AC⊥BC,AD⊥BD,E为AB的中点， ∴CE=DE, :△ECD是等腰三角形；(5分) (2)解：，AD=BD,AD⊥BD,E为AB的中点， ∴.DE⊥AB .EF=3,DE=4, DF-DE2EFE=5 如图，作EG⊥CD于G, G D 由(I)可得CE=DE, ∴CD=2DG, S.owr=EF:DE=1DF.EG 2 EG-EF.DE_12 DF 5 DG=DE2-DG =16 5， 5/9 :CD=2DG= 2 5· (10分) 23.(10分) 【答案】(1)60° (2)∠BFC=90° 3)3 【分折】（山）先证明△B1D2aC1E(S4S)得出∠ABD=∠ACE,再结合三角形内角和定理计算即可得出 结果 (2)先证明1 BD2aCME(S4S)得出∠ABD=∠ACE,再结合三角形内角和定理计算即可得出结果： (3)由(I)得△BAD≌△CAE,∠BFC=∠BAC,从而得出BD=CE,利用平行线的性质证明出 ∠ACE=∠BAC=∠BFC=∠ABF,从而可得GF=GC,AG=BG,由此计算即可得出结果. 【详解】(1)解：∠BAC=∠EAD, ·∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD. ∴∠BAD=∠CAE. 在△BAD和△CAE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE ∴.△BAD≌△CAE(SAS) .∠ABD=∠ACE 在△BAG和△CFG中，∠AGB=∠FGC,∠ABD=∠ACE, .∠BFC=∠BAC, .∠BAC=60°， .∠BFC=60°，(3分) (2)解：：∠BAC=∠EAD ∴.∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD .∴.∠BAD=∠CAE 在△BAD和△CAE中 6/9 AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE .△BAD≌ACAE(SAS) ∴.∠ABD=∠ACE」 在△BAG和△CFG中 '∠AGB=∠FGC,∠ABD=∠ACE .∴∠BFC=∠BAC :∠BAC=90° ∠BFC=90°.(6分) (3)解：由(1)得△BAD≌aCAE,∠BFC=∠BAC, :BD=CE, .ABII CE, .∠ACE=∠BAC,∠BFC=∠ABF. ∠BFC=∠BAC, ∴.∠ACE=∠BAC=∠BFC=∠ABF .GF=GC,AG=BG. ..AG+GC=BG+GF, ∴BF=AC=AB AB=5,EC=8, .DF=BD-BF=EC-AB=3.(1) 24.(12分) 4 【答案】1)30 6 (2)5 (3)探险者P与Q不能同时到达藏宝点D处，理由如下： 在△ABC中， AB2+BC2=62+82=102=AC2, 719 .∠ABC=90° BE⊥AC, 24B-BC= C.BE 1 S.48C c(cm). AC 在eE中，ya-F-5(em， DE-AE-AD(cm), DE+BE-6(s) BC+CD=5(s) 探险者。所用时间为4×5×2 ,探险者。所用时间为6+2 353 5 .5≠6， ∴探险者P与Q不能同时到达藏宝点D处， 【分析】(1)先计算出P的运动时间，再求出Q的速度即可： (2)先计算出P提速后的速度，再计算出P、Q的路程，根据运动时间相等列出分式方程，求解并检验 即可； (3)利用勾殷定理的递定理可判断∠A8C=90,使用面积法可计算出6-24 m,再使用勾股定理求 出4E=18 Cm。则DEm,分别计算p、O的运动时间，即可得出结论 【详解】1)解：根据题意，p从点4到点B的运动时间为6÷a-（)。 ∴0的速度为8÷。3a(cm1),(4分) 64 (②)解：根据题意，速度提高后，P的速度为 a+2)cm/s .AD=2cm 、AB+AD=6+2=8(cm)BC+CD=8+10-2=16(cm) 8/9 816 由运动时间相等可列方程： $o 0+2 6 解得a= 5, 6 经检验， a= 5是原方程的解：(8分) (3)略(12分) 9/9 第2章 特殊三角形 单元测试 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．河南卢氏剪纸在河南的民间剪纸和民俗文化中占有独特的地位，它所蕴含的文化信息早已融入当地人的灵魂，影响到民俗生活的各个方面，影响到人们的价值观和审美取向．下列剪纸是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各组数中，是勾股数的是（     ） A．1、、2 B．1、1、 C．2、5、6 D．9、12、15 3．在中，，则的长为（     ） A．8 B．9 C．10 D．13 4．如图，在中，，，点为的中点，则的长度为（     ） A． B． C． D． 5．如图，在三角形测平架中，，在的中点D处挂一重锤，让它自然下垂，如果调整架身，使重锤线正好经过点A，那么就能确认处于水平位置，这一判断过程体现的数学依据是（     ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线互相重合 D．三角形具有稳定性 6．若等腰三角形的一个角是，则它的一个底角是（     ） A． B． C．或 D．或 7．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去高六尺，折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），一阵风将竹子折断，竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 8．如图所示，数轴上点A所表示的数为,则的值是(      ) A． B． C． D． 9．如图，在等边中，三个内角的角平分线相交于点，过点作的平行线分别交，于点，．若，则的周长为（     ） A． B． C． D． 10．如图，在边长为的正方形中，为上一点，连接，将沿直线翻折，得到，连接，当的长最小时，的长为（     ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．已知命题：“全等三角形对应边相等”，则它的逆命题为__________． 12．已知的三边，，满足，则的形状为________． 13．小明发现站在平面镜前，从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间与电子钟的实际时间成对称，如图1，则电子钟的实际时间应该是__________ ． 14．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为，，，．若，，则______． 15．如图，中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，．过，两点作直线，分别交，于点，，连接．若，则_________． 16．如图，在长方形中，，，点是边上一动点，过点作交边于点，将沿直线翻折得，连接，当是以为腰的等腰三角形时，则________． 三、解答题：本题共8小题，共72分. 17．（8分）如图，在的网格中，已知格点线段（格点为网格线的交点）． (1)利用网格画出格点线段，使（点不在网格的边框上）； (2)在（1）的条件下，_____°，并证明此结论． 18．（8分）已知直角三角形，．请用圆规和无刻度的直尺，按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)作线段的对称轴； (2)作的对称轴． 19．（8分）如图，在中，，，，．求的面积． 20．（8分）在学校组织的徒步春光活动中，七年级某小组学生想测量灞河河岸边一棵古柳的高度，他们设计了如下方案：首先找来一根长度大于树高的直杆，先将其斜靠在树干上，顶端与树梢重合，此时直杆与地面的夹角为（即）；接着让直杆沿树干竖直下滑至位置，此时直杆与地面的夹角变为（即），此时测得杆脚到树根的水平距离为（即）．已知树干与地面垂直（即），点A，C，M在同一条直线上，点M，B，D在同一条直线上，所有点在同一平面内，求这棵柳树的高度． 21．（8分）为落实教育部中小学生劳动教育要求，某学校将校内如图所示的四边形空地改造成校园劳动实践基地．为了精准规划种植区域，需先测算空地相关数据．经测量，米，米，米，米，． (1)为方便分区管理，学校计划在、两点之间搭建篱笆，至少需要多少米的篱笆． (2)请计算出这块劳动实践基地的总面积，为后续的种植规划提供数据支持． 22．（10分）如图，已知，，E为的中点，与交点为F， (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，，求的长． 23．（10分）已知与中，，，，连接与相交于点F，与相交点． (1)猜想：如图1所示，当时，则______； (2)探究：如图2所示，当时，请求出的度数； (3)拓展延伸：如图3所示，当，，，请求出的长度． 24．（12分）嘉嘉在电脑上设计了一款“寻宝”游戏．在的某一边上有一处宝藏，已知，，． (1)如图1，探险者从点处出发，沿寻宝，探险者从点出发，沿寻宝，他们同时出发匀速运动，在点处首次相遇．设的速度为，则的速度可以表示为________（用含的代数式表示）； (2)探险者，在点相遇后，并没有寻到宝藏，然后他们又同时出发，探险者沿的路径寻宝，速度每秒提高了．探险者保持原速度不变，沿的路径寻宝．结果他们同时到达了边上的宝藏点处，如图2所示．此时藏宝点处距离处，则的值为________； (3)在（2）的条件下，探险者、在处首次相遇后，探险者发现一条与垂直的小路，如图3所示，他选择从点出发，沿的路径寻宝，速度降为自身速度的．判断能否与同时到达藏宝点处，并说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $