第1章 三角形的初步知识 考点解惑 -2026-2027学年浙教版八年级数学上册

该初中数学单元复习讲义通过思维导图系统梳理了三角形的初步知识体系，将三角形的定义、分类、三边关系、内角和、重要线段等基础概念，与全等三角形判定、线段垂直平分线及角平分线性质按逻辑递进组织，清晰呈现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于分层练习设计，从基础的三边关系、角平分线性质题，到中等的中线面积计算、尺规作图，再到优质的“一线三等角”“倍长中线法”等综合题，培养学生推理意识与几何直观。覆盖月考至期末典型题，基础生可掌握方法，优秀生能深化思维，助力教师实施精准分层教学。

第1章 三角形的初步知识 思维导图 1.1 认识三角形 三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形，组成三角形的三条线段叫做三角形的边，相邻两条边的公共端点叫做三角形的顶点，相邻两条边所夹的角叫做三角形的内角，简称三角形的角，三角形可以用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”。 三角形的分类 按内角大小分类：三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；有一个角是直角的三角形叫做直角三角形，直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角所对的边叫做斜边，夹直角的两条边叫做直角边；有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。其中锐角三角形和钝角三角形统称为斜三角形。 按边的长度关系分类：三边都不相等的三角形叫做不等边三角形；有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，第三边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角；三边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。 三角形的三边关系 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。利用三边关系可以判断三条线段能否组成三角形，也可以确定已知两边时第三边的取值范围，还可以解决线段长度比较、化简含绝对值的代数式等问题。 三角形的内角和 三角形三个内角的和等于180°。利用内角和定理可以计算三角形中未知角的度数，判断三角形的形状，解决与角相关的证明与计算问题。 三角形的重要线段 · 三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线，一个三角形有三条角平分线，都在三角形内部，且相交于一点。 · 三角形的中线：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，一个三角形有三条中线，都在三角形内部，且相交于一点，中线把三角形分成面积相等的两个三角形。 · 三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高，锐角三角形的三条高都在三角形内部，直角三角形两条直角边互为对方的高，三条高的交点在直角顶点，钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点。 1.2 定义与命题 定义 一般地，能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义，定义必须是严密的，避免使用含糊不清的术语，准确揭示出名称或术语的本质特征。 命题 一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题，命题由条件和结论两部分组成，条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，命题通常可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后面的部分是条件，“那么”后面的部分是结论。 命题的分类 正确的命题叫做真命题，不正确的命题叫做假命题，判断一个命题是假命题，只需要举出一个符合命题条件，但不满足命题结论的例子即可，这样的例子叫做反例。 基本事实与定理 经过长期实践后公认为正确的命题叫做基本事实，基本事实不需要证明，可以作为判断其他命题真假的依据；用推理的方法判断为正确的命题叫做定理，定理也可以作为判断其他命题真假的依据。 1.3 证明 证明的概念 要判断一个命题的真假，需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理，一步一步推得结论成立，这样的推理过程叫做证明。证明过程必须做到每一步推理都要有依据，依据可以是已知条件，也可以是定义、基本事实、已经学过的定理。 证明的一般步骤 · 根据题意，画出图形； · 结合图形，写出已知和求证； · 写出证明过程，推理过程要条理清晰，逻辑严密，每一步都标注出相应的依据。 三角形外角相关结论 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角；三角形的外角和等于360°。 1.4 全等三角形 全等图形 能够完全重合的两个图形叫做全等图形，全等图形的形状和大小都完全相同，面积相等、周长相等。 全等三角形的概念 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。全等三角形用符号“≌”表示，书写全等三角形时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上，方便确定对应边和对应角。 全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，对应角相等；全等三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应高）相等，周长相等，面积相等。利用全等三角形的性质可以证明线段相等、角相等，计算线段长度和角的度数。 1.5 三角形全等的判定 判定定理 · 边边边（SSS）：三边分别相等的两个三角形全等。当已知条件给出三边对应相等，或者题目中出现公共边、中点给出线段相等时，通常考虑使用SSS判定全等。三角形三边确定后，三角形的形状和大小就确定了，这个性质叫做三角形的稳定性，三角形稳定性在生活中有广泛应用。 · 边角边（SAS）：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。注意：这里的角必须是两边的夹角，如果是两边及其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等，不能作为判定定理使用。 · 角边角（ASA）：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。 · 角角边（AAS）：两角及其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等。由三角形内角和定理可知，两个三角形有两个角对应相等，第三个角也一定对应相等，因此AAS可以看做是ASA的推论。 判定全等三角形的基本思路 已知一边一角：若已知一边和邻角，可以找这边的另一个邻角相等用ASA，或者找这个角的另一边相等用SAS，或者找对角相等用AAS；若已知一边和对角，可以找另一角相等用AAS； 已知两角：找夹边相等用ASA，或者找任意一对对边相等用AAS； 已知两边：找夹角相等用SAS，或者找第三边相等用SSS，如果是直角三角形，找斜边相等用HL。 1.6 线段垂直平分线的性质 线段垂直平分线的概念 垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线。 线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。该定理可以通过证明三角形全等推导得出，常用来证明两条线段相等。 三角形三边垂直平分线的性质 三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等。 1.7 角平分线的性质 角平分线的性质定理 角平分线上的点到角两边的距离相等。该定理常用来证明两条垂线段相等，解决线段长度计算、面积计算等问题。 三角形角平分线的性质 三角形三个内角的平分线相交于一点，这个点到三角形三边的距离相等。 【类型一】三角形的三边关系 1．下列各组长度的线段，首尾顺次连接可以围成三角形的是（     ） A．15，6，7 B．15，6，9 C．15，6，12 D．15，6，22 2．已知一个三角形的两边长分别是和，则它的第三边长可以是（     ） A． B． C． D． 3．已知a，b，c是的三条边长，化简的结果为____． 【类型二】三角形的角平分线 1．如图所示，，下列结论中错误的是（    ） A．是的角平分线 B．是的角平分线 C． D．是的角平分线 2．如图，在中，，平分，，，下列四个结论中错误的是（     ）    A． B． C． D． 3．在中，，，是的角平分线，则的度数为____________ 【类型三】三角形的中线 1．如图，分别是的高、中线，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 2．如图，已知是的中线，，则的长为（   ） A．10 B．11 C．12 D．15 3．如图，在中，是边上的中线，的周长是，的周长是，，则___． 【类型四】三角形的高线 1．如图，四个图形中，线段是的高的图是（    ） A． B． C． D． 2．如图，，分别是的高和中线，已知，，则的长为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．如图，中，为边上的高，平分，分别交、于点、．若，，则的度数______． 【类型五】定义与命题 1．下列描述属于定义的是（    ） A．两点确定一条直线 B．对顶角相等 C．垂线段最短吗 D．含有未知数的等式叫做方程 2．下列语言叙述是命题的是（ ） A．2026年“全到莆田过大年”是莆田市重点打造的春节文旅品牌． B．你喜欢吃枇杷吗？ C．赶紧写作业！ D．画一条端点为A的射线 3．下列语句中：①墙是白色的；②2加3等于5；③不是负数；④化简，其中不是命题的是____________． 【类型六】真假命题 1．以下命题是假命题的是（     ） A．同角的余角相等 B．对顶角相等 C．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 D．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离 2．下列命题中是真命题的是（     ） A．相等的角是对顶角 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．若实数a，b满足，则 D．两直线平行，同位角相等 3．命题“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行”是__________命题．（填“真”或“假”） 【类型七】三角形的外角 1．如图，若，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图为商场某品牌椅子的侧面图，，与地面平行，，则（     ） A． B． C． D． 3．如图，已知，，，则___________度． 【类型八】全等三角形的概念与性质 1．下列命题是真命题的是（   ） A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．完全重合的两个三角形全等 D．周长相等的两个三角形全等 2．如图，已知，若，则的度数为（     ）． A． B． C． D． 3．如图，若，B、E、C、F在同一直线上，，，则的长是______． 【类型九】添加条件证全等 1．如图，已知，，下列哪个条件不能判定（    ） A． B． C． D． 2．如图，点在上，点在上，且，补充下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 3．如图，已知，再从下列四个条件：“①，②，③，④”中选择一个，则可以说明全等于．那么这个条件可以是_______（写出所有符合条件的序号） 【类型十】全等三角形的证明—SSS与SAS 1．已知，如图，，，， 求证：． 2．如图，．求证：． 3．已知：如图，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【类型十一】全等三角形的证明—ASA与AAS 1．如图，点、、、在同一条直线上，，，且，，求证：． 2．如图所示，在中，于，于，与交于点，且． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 3．如图1，在中，，，直线l经过点C，过A作，垂足为D，过B作，垂足为E． (1)求证：； (2)如图2，延长至F，连接，过点C作，且，连接交直线l于点H，若，，则的长为________． 【类型十二】证明依据 1．已知，点在上，点在上，点为射线上一点． (1)（基础问题）如图1，试说明：．（完成图中的填空部分） 证明：过点作直线， 又，， ， __________（______________________） __________（______________________） ． (2)（类比探究）如图2，当点在线段延长线上时，直接写出、、三者之间的数量关系． (3)（应用拓展）如图3，平分，交于点，且，，，直接写出的度数． 2．填写证明依据：如图，已知，．求证：． 证明：∵（已知），（__________）， ∴（__________）． ∴（__________）． ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵（已知）， ∴（等式的基本事实）． ∴（__________）． ∴（__________）． 3．如图，已知三角形，点在的延长线上，是的平分线，若，求证： （请把证明过程补充完整） 点在延长线上 ___________ （　　） ___________ ______________________ ___________ 是的平分线 ___________ ___________ （　　） 【类型一】写出题设与结论 1．命题“两直线平行，内错角相等”中的“内错角”（   ） A．是题设 B．既是题设，也是结论 C．是结论 D．既不是题设，也不是结论 2．命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是（   ） A．两条直线平行于同一条直线 B．三条直线平行 C．两条直线平行 D．两条直线垂直 3．“同角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式，如果___________，那么___________． 【类型二】三角形的中线平分面积 1．如图，为的中线，为的中线．若的面积为30，则的面积是（   ） A．15 B．10 C．7.5 D．5 2．如图，在中，点、、分别是、、的中点．若的面积为，则的面积为（    ）． A． B． C． D． 3．如图，在中，点、、分别是、、的中点，若的面积为，则的面积为________． 【类型三】线段垂直平分线的性质求解 1．如图，在中，，点D在边的垂直平分线上，的周长为15，则的长为（     ） A．5 B．6 C．3 D．7 2．如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 3．如图，在中，，是的垂直平分线，，则的度数为__________． 【类型四】角平分线的性质求解 1．如图，在中，，若以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，边于点，；再分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交边于点．若的面积为，则的面积是（     ） A． B． C． D． 2．如图，直线，直线分别交，于点，．以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点；作射线交于点．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 3．如图，在中，平分，交延长线于点，过点作交于点，若平分，，则_________度． 【类型五】角平分线与高线夹角问题 1．如图，在中，，，平分，，垂足为E，求的度数． 2．如图，在中，是高，是角平分线， (1)求的度数； (2)求的度数； (3)试探究与之间的数量关系（)． 3．在中，于点D，点E是线段上一点． (1)如图1，若平分，，，求的度数． (2)如图2，若是的中线，，的面积为5，求的长． 【类型六】尺规作图 1．如图，在中，请用尺规作图法作的垂直平分线交于点E，交于点F．（保留作图痕迹，不写作法） 2．如图，已知． (1)作边上的高，交于点；作的平分线，交于点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，求的度数． 3．如图，和是两条公路，，表示两个村庄，现要建造一个车站（位于的内部），使车站到两个村庄的距离相等，且车站到和两条公路的距离也相等，那么车站应建造在什么位置？（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【类型一】三角形的三种角平分线 1．如图，P为内一点，平分，平分，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知的外角和外角的平分线相交于点D，如果，那么_____． 3．在中，与的平分线相交于点． (1)如图1，试探究与的数量关系； (2)如图2，作外角的平分线，交于点．请分别写出与，与的数量关系，不需要证明； (3)如图3，延长线段，交于点．在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，直接用（1）和（2）中的相关结论求的度数． 【类型二】三角形的三种折叠 1．如图，在三角形纸片中，将纸片的一角沿折叠，使点C落在内，记为点．若，则等于（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，D是线段上一个动点，连接，把沿折叠，点C落在同一平面内的点处，当平行于的边时，的大小为__________． 3．我们在小学已经学习了“三角形内角和等于”．在三角形纸片中，点D，E分别在边上，将沿折叠，点C落在点的位置．    (1)如图1，当点C落在边上时，若，则＝　 　，可以发现与的数量关系是 　 　； (2)如图2，当点C落在内部时，且，，求的度数； (3)如图3，当点C落在外部时，若设的度数为x，的度数为y，请求出与x，y之间的数量关系． 【类型三】一线三等角 1．综合题 (1)如图1，，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点以相同的速度在射线上由点向点运动．它们运动的时间为，当点到达点时，点也停止运动．当时，猜想：线段与之间的关系，并说明理由． (2)【拓展】如图2，在中，，D，A，E三点都在直线m上，并且猜想：线段、、之间的关系，并说明理由． (3)【应用】如图3，在中，是钝角，，，，直线m与 的延长线交于点F，若，的面积是12，则与的面积之和为 ． 2．综合题 (1)某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形，如图1，已知：在中，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．请猜想线段之间的数量关系为______ ． (2)组员嘉嘉想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且，其中α为任意锐角或钝角，请问（1）中得到的结论是否仍然成立？并说明理由． (3)数学老师赞赏了她们的探索精神，并鼓励她们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点N，，则____ ． 3．【问题初探】 （1）如图①，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，，则，，的数量关系是_____________； 【变式探究】 （2）如图②， 在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．已知，，求的长； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图③所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点，设的面积为，的面积为，猜想，的大小关系，并说明理由． 【类型四】倍长中线法 1．【提出问题】 数学课上老师提出如下问题：如图①，在中， 是 边上的中线，，，若 边的长为整数，求 边的长．小张同学在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 至点 ，使，连接，能得到，所以，进而利用三角形的任意两边之和大于第三边解决问题． 【思考发现】 (1)如图①，的理由是　　　　； A．                B．               C．                D． (2)根据小明的方法思考，可得 的长可能为　　　　；（写出一个即可） 【类比迁移】 (3)如图②， 是的中线，交 于点 ，交 于点 ，． 求证：． 以下是部分证明过程： 证明：如图③，延长 至点 ，使，连结． ⋯⋯ 请完成上述证明过程． 【学以致用】 (4)如图④，在和中，， ， ，连结 、，取 的中点 ，连结．若，则　　　　． 2．【综合与探究】数学兴趣小组在学习全等三角形的过程中，对其中一个问题作如下探究： 【历史文献】倍长中线的方法源于早期几何学家对中点性质的研究．古希腊数学家欧几里得《几何原本》虽未直接描述，但其全等三角形公理体系为倍长中线提供了理论基础．数学文献中，倍长中线作为标准术语被确立于世纪，成为初等几何常见技巧． (1)【问题背景】 如图，中，，，是中线，则的取值范围是______； (2)【变式思考】 如图，中，是中线，分别以，为腰在外作等腰和等腰，，，，连接，求证：； (3)【探究延伸】 如图，在四边形中，对角线，相交于点，将沿着翻折，点的对应点为，，点是的中点，，当时，求的长． 3．【发现问题】数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图①，，中线的取值范围是多少？ 【探究方法】 （1）第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到， 使得； ②连接， 通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为， 从而得到的取值范围是 ； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题拓展】 （2） 如图②， ， 与互补， 连接， ， 是的中点，求证： （3） 如图③， 在（2） 的条件下， 若， 延长交于点， ，求的面积． 【类型五】截长补短法 1．如图1，在四边形中，，点，点分别在边，上，已知，． (1)求证：； (2)如图2，若点，点分别在边，的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并说明理由． 2．阅读下面文字并填空： 数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在中，平分，．求证：”． 李老师给出了如下简要分析：要证就是要证线段的和差问题，李老师采用了‘截长法’，如图2，在上截取，连接，只要证__________即可，这就将证明线段和差问题转化为证明线段相等问题，只要证出____________________，得出及__________，再证出____________________，进而得出，则结论成立． 请仿照上题方法解决以下问题： 变式应用：如图，和是等腰三角形，且，，，，以A为顶点作一个角，角的两边分别交边延长线于点E、F，连接，则之间存在什么样的关系？并说明理由． 3．已知，如图1，在等边中，与的角平分线交于点，点、分别在边上，且，猜想、、三者之间的数量关系． (1)方法探索： 小敏的思路是：如图3，在上取一点，使，连接．先证明______，从而______；继而证明______，从而______；因此可判断、、三者之间的数量关系是______； (2)拓展运用： 如图2，点在边上，点在的延长线上，其它条件不变，猜想、、三者之间的数量关系，并说明理由． 【类型六】全等三角形的动点求t 1．如图，在长方形中，厘米，厘米．动点P从点A出发，以2厘米/秒的速度沿运动；同时点Q从点C出发，以4厘米/秒的速度沿运动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P运动的时间为秒 ． (1)用含t的代数式表示线段的长； (2)求t为何值时，与的面积相等； (3)求t为何值时，与全等； (4)是否存在t值，使，且？若存在，直接写出t的值，若不存在，请说明理由． 2．如图，长方形中，，，点、分别是、的中点，动点从点出发，沿折线向终点运动，过点作于点，连结、，设点的运动时间为秒（）． (1)当点运动到的中点时，证明． (2)若点以每秒2个单位长度的速度运动． ①如图①，当点在边上时，______（用含的代数式表示） ②如图②，当点P在边上时（点不与点重合），易知，，若，求的值． (3)若点以每秒个单位长度的速度运动，在点运动过程中，直接写出能使和全等的所有的值． 3．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图（1），，，，．点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．    (1) _____；（用含t的式子表示） (2)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，判断此时线段和线段的位置关系为______，并说明理由； (3)如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点Q的运动速度为，是否存在实数x，使得与全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 1．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）下列命题中，是真命题的是(     ) A．内错角相等 B．相等的角是对顶角 C．互补的两个角一定一个是锐角，一个是钝角 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 2．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）以下列长度为边的三条线段不能组成三角形的是（     ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，5，6 D．5，6，10 3．（25-26八年级下·福建三明·阶段检测）如图是一款儿童小推车的示意图．若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·北京·阶段检测）如图所示，在中，，，垂足分别为，已知，，，则边上的高的长为（   ） A．4 B．4.8 C． D．8 5．（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）如图，，要使，只需添加的一个条件是_______．（填一个即可） 6．（25-26九年级下·江苏常州·阶段检测）如图，中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G．则的周长为_____． 7．（25-26七年级下·甘肃天水·阶段检测）如图，在中，，的平分线与的平分线相交于点E，则的度数为_________． 8．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，点是边上一点，连接，请你用尺规作图法作的平分线，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） 9．（25-26七年级下·四川成都·阶段检测）已知：如图，，、分别平分与，且．求证：． 证明：、分别平分与，（已知） ，（______） 又（已知） ______ 又（已知） ______（______） （______）． 10．（25-26七年级下·山东潍坊·阶段检测）在中，，是边上的高，是的平分线． (1)如图①，若，，求的度数； (2)如图②，若是的延长线上一点，于点，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． 1．（25-26九年级下·陕西咸阳·期中）如图，是的角平分线．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·吉林长春·期中）若三角形的两条边的长度分别是和，则第三条边的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，在四边形中，，平分，，，，则四边形的面积是（     ） A．40 B．42 C．46 D．48 4．（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，在中，已知点，，，分别是线段，，，的中点．若的面积为3，则的面积为（     ）．    A．18 B．21 C．36 D．42 5．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，是的中线，，，若的周长为18，则的周长为_________． 6．（25-26七年级下·广东江门·期中）将命题“邻补角互补”改写成“如果……那么……”的形式：如果_____，那么______． 7．（25-26八年级下·河南驻马店·期中）如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，则的度数是________． 8．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）如图，已知，． (1)求证：； (2)如图，点E是线段上一点，若，且，求的度数． 9．（14-15八年级下·江苏南通·开学考试）如图，平分，，P为延长线上一点，于点M，于点N，求证：． 10．（25-26七年级下·山西太原·期中）综合与实践 【问题情境】 如图是一种网红弹弓的实物图，在两头系上皮筋，拉动皮筋可形成平面示意图如图1，弹弓的两边可看成是平行的，即． (1)如图1，，，分别是，上的点，点在，两平行线之间，，，则的度数为________． 【猜想证明】 (2)在图2中，已知，猜想与，之间的数量关系，并说明理由． 【深入探究】 (3)①如图3，，，分别是，上的点，点在，两平行线之间，作和的平分线，，交于点（交点在两平行线，之间），若，则的度数为________（用含的式子表示）． ②如图4，，，平分，若，求的度数为________． 1．（25-26八年级上·四川南充·期末）在中，，以为圆心，适当长为半径画弧，交，于，两点，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点．作射线交于点，若，，则点到的距离为（　　） A．3 B．4 C．2.5 D．2 2．（25-26七年级下·河南开封·期末）数学兴趣小组同学就“测量如图所示的河两岸A，B两点间的距离”这一问题，设计了如下方案．测量步骤：①在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点D，使得点A，B，C在一条直线上，且；②测得， ；③在的延长线上取点E，使得 ；④测得的长度为．则A，B两点间的距离为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·贵州毕节·期末）如图，已知，点在上，点，在上，连接，，， ，，平分．给出下列结论：①平分；②；③；④．上述结论中，正确的是（   ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 4．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）如图所示，长方形的边，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，，连接，则当取最小值时，到边的距离为（    ） A．1 B． C．2 D． 5．（25-26七年级下·河南开封·期末）如图，是 的平分线，过上一点D作，分别交于E，F，若， ，则 的面积为______． 6．（25-26八年级下·河南开封·期末）如图，，射线于，点和分别在线段和射线上运动，且．当____________时，以点，，为顶点的三角形与全等． 7．（25-26七年级下·河南开封·期末）如图，在 中， ，，D，E是边BC上两点，过点A作，垂足是A，过点C作 ，垂足是C，交于点F，连接 ，其中．下列结论：① ；② ；③若，．则；④．其中正确的是______．（填序号） 8．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，且，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 9．（25-26八年级上·四川达州·期末）已知，直线，点E、F分别在直线、上，点P是直线与外一点，连接、． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，过点E作的角平分线交的延长线于点M，的角平分线交的反向延长线交于点N，若与互补，试探索直线与直线的位置关系，并说明理由； (3)若点P在直线的上方且不在直线上，作的角平分线交的角平分线所在直线于点N，请直接写出与的数量关系． 10．（25-26八年级上·福建厦门·期末）在中，，点在上，点在上，连接和交于点，． (1)如图，求证：； (2)如图，连接，若平分，求证：； (3)如图，在（2）的条件下，点在的延长线上，连接，时，若，，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 三角形的初步知识 思维导图 1.1 认识三角形 三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形，组成三角形的三条线段叫做三角形的边，相邻两条边的公共端点叫做三角形的顶点，相邻两条边所夹的角叫做三角形的内角，简称三角形的角，三角形可以用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”。 三角形的分类 按内角大小分类：三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；有一个角是直角的三角形叫做直角三角形，直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角所对的边叫做斜边，夹直角的两条边叫做直角边；有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。其中锐角三角形和钝角三角形统称为斜三角形。 按边的长度关系分类：三边都不相等的三角形叫做不等边三角形；有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，第三边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角；三边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。 三角形的三边关系 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。利用三边关系可以判断三条线段能否组成三角形，也可以确定已知两边时第三边的取值范围，还可以解决线段长度比较、化简含绝对值的代数式等问题。 三角形的内角和 三角形三个内角的和等于180°。利用内角和定理可以计算三角形中未知角的度数，判断三角形的形状，解决与角相关的证明与计算问题。 三角形的重要线段 · 三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线，一个三角形有三条角平分线，都在三角形内部，且相交于一点。 · 三角形的中线：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，一个三角形有三条中线，都在三角形内部，且相交于一点，中线把三角形分成面积相等的两个三角形。 · 三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高，锐角三角形的三条高都在三角形内部，直角三角形两条直角边互为对方的高，三条高的交点在直角顶点，钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点。 1.2 定义与命题 定义 一般地，能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义，定义必须是严密的，避免使用含糊不清的术语，准确揭示出名称或术语的本质特征。 命题 一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题，命题由条件和结论两部分组成，条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，命题通常可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后面的部分是条件，“那么”后面的部分是结论。 命题的分类 正确的命题叫做真命题，不正确的命题叫做假命题，判断一个命题是假命题，只需要举出一个符合命题条件，但不满足命题结论的例子即可，这样的例子叫做反例。 基本事实与定理 经过长期实践后公认为正确的命题叫做基本事实，基本事实不需要证明，可以作为判断其他命题真假的依据；用推理的方法判断为正确的命题叫做定理，定理也可以作为判断其他命题真假的依据。 1.3 证明 证明的概念 要判断一个命题的真假，需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理，一步一步推得结论成立，这样的推理过程叫做证明。证明过程必须做到每一步推理都要有依据，依据可以是已知条件，也可以是定义、基本事实、已经学过的定理。 证明的一般步骤 · 根据题意，画出图形； · 结合图形，写出已知和求证； · 写出证明过程，推理过程要条理清晰，逻辑严密，每一步都标注出相应的依据。 三角形外角相关结论 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角；三角形的外角和等于360°。 1.4 全等三角形 全等图形 能够完全重合的两个图形叫做全等图形，全等图形的形状和大小都完全相同，面积相等、周长相等。 全等三角形的概念 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。全等三角形用符号“≌”表示，书写全等三角形时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上，方便确定对应边和对应角。 全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，对应角相等；全等三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应高）相等，周长相等，面积相等。利用全等三角形的性质可以证明线段相等、角相等，计算线段长度和角的度数。 1.5 三角形全等的判定 判定定理 · 边边边（SSS）：三边分别相等的两个三角形全等。当已知条件给出三边对应相等，或者题目中出现公共边、中点给出线段相等时，通常考虑使用SSS判定全等。三角形三边确定后，三角形的形状和大小就确定了，这个性质叫做三角形的稳定性，三角形稳定性在生活中有广泛应用。 · 边角边（SAS）：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。注意：这里的角必须是两边的夹角，如果是两边及其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等，不能作为判定定理使用。 · 角边角（ASA）：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。 · 角角边（AAS）：两角及其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等。由三角形内角和定理可知，两个三角形有两个角对应相等，第三个角也一定对应相等，因此AAS可以看做是ASA的推论。 判定全等三角形的基本思路 已知一边一角：若已知一边和邻角，可以找这边的另一个邻角相等用ASA，或者找这个角的另一边相等用SAS，或者找对角相等用AAS；若已知一边和对角，可以找另一角相等用AAS； 已知两角：找夹边相等用ASA，或者找任意一对对边相等用AAS； 已知两边：找夹角相等用SAS，或者找第三边相等用SSS，如果是直角三角形，找斜边相等用HL。 1.6 线段垂直平分线的性质 线段垂直平分线的概念 垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线。 线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。该定理可以通过证明三角形全等推导得出，常用来证明两条线段相等。 三角形三边垂直平分线的性质 三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等。 1.7 角平分线的性质 角平分线的性质定理 角平分线上的点到角两边的距离相等。该定理常用来证明两条垂线段相等，解决线段长度计算、面积计算等问题。 三角形角平分线的性质 三角形三个内角的平分线相交于一点，这个点到三角形三边的距离相等。 【类型一】三角形的三边关系 1．下列各组长度的线段，首尾顺次连接可以围成三角形的是（     ） A．15，6，7 B．15，6，9 C．15，6，12 D．15，6，22 【答案】C 【分析】判断三条线段能否围成三角形，只需验证两条较短边的和是否大于最长边即可，若满足则可以围成，反之则不能． 【详解】解：A选项，三条线段从小到大排列为，，不能围成三角形，故A不符合题意； B选项，三条线段从小到大排列为，，不满足两边之和大于第三边，不能围成三角形，故B不符合题意； C选项，三条线段从小到大排列为，，满足三角形三边关系，可以围成三角形，故C符合题意； D选项，三条线段从小到大排列为，，不能围成三角形，故D不符合题意． 2．已知一个三角形的两边长分别是和，则它的第三边长可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设第三边为x，根据三角形三边关系：，即， 故只有符合． 3．已知a，b，c是的三条边长，化简的结果为____． 【答案】 【分析】先根据三角形三边关系判断每个绝对值内式子的正负，再根据绝对值的性质化简绝对值，最后合并同类项即可得到结果． 【详解】解：∵a，b，c是的三条边长， ∴， ∴， ∴ ． 【类型二】三角形的角平分线 1．如图所示，，下列结论中错误的是（    ） A．是的角平分线 B．是的角平分线 C． D．是的角平分线 【答案】D 【分析】利用三角形角平分线的定义即可分析． 【详解】解：A、由，得是的角平分线，故本选项正确，不符合题意； B、由得：是的角平分线，故本选项正确，不符合题意； C、由得：，故本选项正确，不符合题意； D、由得：是的角平分线，故本选项错误，符合题意； 2．如图，在中，，平分，，，下列四个结论中错误的是（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，直角三角形的两个锐角互余，等角的余角相等，解题的关键是熟练掌握相关知识． 由平行线的性质，结合角平分线的定义，可以判断选项，，根据直角三角形的两个锐角互余，等角的余角相等，可以判断选项，即可得符合题意的选项． 【详解】解：∵，， ∴， ∴选项不符合题意， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴选项不符合题意， 由已知无法得出， ∴选项符合题意， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴选项不符合题意， 故选：． 3．在中，，，是的角平分线，则的度数为____________ 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义，解题的关键是掌握三角形内角和定理．先求出的度数，再根据角平分线定义求解即可． 【详解】解：在中，， ， 是的角平分线， ， 故答案为： 【类型三】三角形的中线 1．如图，分别是的高、中线，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的面积，三角形中线的性质，解题的关键是掌握三角形中线的性质． 根据高和面积求出三角形的底边，然后根据三角形中线的性质进行求解即可． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴． 故选：B． 2．如图，已知是的中线，，则的长为（   ） A．10 B．11 C．12 D．15 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中线的定义，解题的关键是理解三角形中线将对边平分；根据三角形中线的定义，点为的中点，因此，代入 即可求出的长度． 【详解】解：∵ 是的中线， ∴ 是的中点， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故选：A． 3．如图，在中，是边上的中线，的周长是，的周长是，，则___． 【答案】6 【分析】根据三角形中线的定义可得，根据三角形周长公式表示的周长，得到，再根据三角形周长公式表示的周长，即可求出的长． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵的周长是，， ∴， ∴， ∴， ∵的周长是， ∴， ∴． 【类型四】三角形的高线 1．如图，四个图形中，线段是的高的图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据高的画法知，过点B作边上的高，垂足为E，其中线段是△ABC的高． 【详解】解：由图可得，线段是△ABC的高的图是D选项． 2．如图，，分别是的高和中线，已知，，则的长为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据三角形中线的性质求出的面积，再根据面积公式求出即可． 【详解】解：∵是中线， ∴， ∵， 即， ∴． 3．如图，中，为边上的高，平分，分别交、于点、．若，，则的度数______． 【答案】/125度 【分析】根据三角形的内角和定理，求出和的度数，再根据角的和差关系，角平分线的定义，求出的度数，进而求出的度数即可. 【详解】解：∵中，为边上的高，平分，，， ∴，， ∴， ∴， ∴. 【类型五】定义与命题 1．下列描述属于定义的是（    ） A．两点确定一条直线 B．对顶角相等 C．垂线段最短吗 D．含有未知数的等式叫做方程 【答案】D 【详解】解：选项A、两点确定一条直线，不是定义，不符合题意； 选项B、对顶角相等，不是定义，不符合题意； 选项C、垂线段最短吗，不是定义，不符合题意； 选项D、含有未知数的等式叫做方程，是定义，符合题意． 2．下列语言叙述是命题的是（ ） A．2026年“全到莆田过大年”是莆田市重点打造的春节文旅品牌． B．你喜欢吃枇杷吗？ C．赶紧写作业！ D．画一条端点为A的射线 【答案】A 【详解】解：∵选项A是对事件作出明确判断的陈述语句，∴A是命题； ∵选项B是疑问句，未对事情作出判断，∴B不是命题； ∵选项C是祈使句，未对事情作出判断，∴C不是命题； ∵选项D是操作指令，未对事情作出判断，∴D不是命题． 3．下列语句中：①墙是白色的；②2加3等于5；③不是负数；④化简，其中不是命题的是____________． 【答案】④ 【详解】解：根据命题的定义，判断一件事情的语句叫做命题， ①对墙的颜色作出判断，是命题； ②对的运算结果作出判断，是命题； ③对的取值性质作出判断，是命题； ④仅为化简操作的指令，未对任何事情作出判断，不是命题． 【类型六】真假命题 1．以下命题是假命题的是（     ） A．同角的余角相等 B．对顶角相等 C．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 D．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离 【答案】D 【分析】根据相应概念逐一判断即可． 【详解】解：A、“同角的余角相等”是真命题，故选项不符合题意； B、“对顶角相等”是真命题，故选项不符合题意； C、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”是垂线的基本性质，是真命题，故选项不符合题意； D、点到直线的距离的定义为：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离，故选项符合题意． 2．下列命题中是真命题的是（     ） A．相等的角是对顶角 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．若实数a，b满足，则 D．两直线平行，同位角相等 【答案】D 【分析】本题考查命题真假的判断，涉及对顶角概念，平行线的性质，平方的性质等初中知识点，逐一分析选项即可得到结论． 【详解】解：对于A选项，相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行时同位角相等，但同位角不是对顶角，∴A是假命题； 对于B选项，只有过直线外一点才有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上则不存在符合要求的平行线，∴B是假命题； 对于C选项，若，则或，例如满足但，∴C是假命题； 对于D选项，“两直线平行，同位角相等”是平行线的基本性质，是真命题． 3．命题“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行”是__________命题．（填“真”或“假”） 【答案】 假 【分析】根据平行公理，同一平面内过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题未对该点的位置进行限制，据此判断命题真假即可． 【详解】解：平行公理为，同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 若原命题中的点在已知直线上，则不存在过该点且与已知直线平行的直线，因此原命题不成立，是假命题． 【类型七】三角形的外角 1．如图，若，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行线的性质和三角形的外角的性质，进行求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴. 2．如图为商场某品牌椅子的侧面图，，与地面平行，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，，得，，在中，，故． 【详解】解：，，， ，， 在中，， ． 3．如图，已知，，，则___________度． 【答案】 【分析】设与交于点，根据平行线的性质得，再根据外角的性质即可求解． 【详解】解：如图，设与交于点， ∵， ． ， ． 【类型八】全等三角形的概念与性质 1．下列命题是真命题的是（   ） A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．完全重合的两个三角形全等 D．周长相等的两个三角形全等 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的定义，熟练掌握三角形全等的定义是解题的关键．全等三角形是指能够完全重合的三角形，因此选项C正确，其他选项均不能保证三角形全等． 【详解】解：对于A，形状相同的三角形的对应角相等，但对应边不一定相等，故不一定全等，不符合题意； 对于B，面积相等的三角形底和高可能不同，故不一定全等，不符合题意； 对于C，因为两个三角形全等的定义是它们能够完全重合，所以选项C是真命题，符合题意； 对于D，周长相等的三角形三边组合可能不同，故不一定全等，不符合题意． 故选：C． 2．如图，已知，若，则的度数为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先令与交于点，根据三角形内角和性质结合题意求出的值，再根据全等的性质，求出的值，最后根据是的外角，得，即可求解． 【详解】如图，与交于点， ∵的内角和为，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵是的外角， ∴． 3．如图，若，B、E、C、F在同一直线上，，，则的长是______． 【答案】3 【分析】根据全等三角形的性质求出，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 【类型九】添加条件证全等 1．如图，已知，，下列哪个条件不能判定（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形全等的判定定理，逐条验证． 【详解】解：A、，符合，能判定； B、由，则，符合，能判定； C、，不是三角形两边及夹角对应相等，不能判定； D、，得出，符合，能判定． 2．如图，点在上，点在上，且，补充下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先列出已有的条件，再根据补充的条件，利用全等三角形的判定定理，，，即可判断选项． 【详解】解：已有的条件为，公共角， 补充作为条件，可以根据证明， 故A不符合题意； 补充作为条件，可以根据证明， 故B不符合题意； 补充作为条件，属于，不可以证明， 故C符合题意； 补充作为条件，可以根据证明， 故D不符合题意． 3．如图，已知，再从下列四个条件：“①，②，③，④”中选择一个，则可以说明全等于．那么这个条件可以是_______（写出所有符合条件的序号） 【答案】 ①或②或③ 【分析】根据全等三角形的判定定理，已知和对顶角，若要证明，还需一组对应边相等，分别验证各条件能否推出边相等或直接构成全等条件． 【详解】解：∵，且（对顶角相等）， 若添加条件①， 在和中，， ， ， ， ，即， 在和中，， ，故条件①符合； 若添加条件②， 在和中，， ，故条件②符合； 若添加条件③， 在和中，， ， ， ，即， 在和中，， ，故条件③符合； 若添加条件④， 此时只有三个角对应相等，没有边相等的条件，无法证明三角形全等，故条件④不符合； 综上所述，符合条件的序号是①或②或③． 【类型十】全等三角形的证明—SSS与SAS 1．已知，如图，，，， 求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，即， 在 和中， ∴ ∴． 【分析】先由“”判定，即可证明． 【详解】略 2．如图，．求证：． 【答案】见详解 【分析】先结合平行线的性质，得出，根据，运用线段的差的关系得出，又因为，即可证明． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 3．已知：如图，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质． （1）根据直接证明即可； （2）根据全等三角形的性质解答即可． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 【类型十一】全等三角形的证明—ASA与AAS 1．如图，点、、、在同一条直线上，，，且，，求证：． 【答案】证明：，， ． ， ． ， ，即． 在和中， ， ． 【分析】由题意可得，再由线段的和差得出，再利用证明即可． 【详解】略 2．如图所示，在中，于，于，与交于点，且． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)证明：于，于， ， 又， ， 在和中， ， ； (2)． 【分析】（1）由于，于，可知，根据对顶角相等可知，根据三角形内角和定理可知，利用可证； （2）根据全等三角形的性质可知，由，根据线段之间的关系可知，根据线段之间的关系可求的长度． 【详解】（1）略 （2）解：， ，， ， ， ， ． 3．如图1，在中，，，直线l经过点C，过A作，垂足为D，过B作，垂足为E． (1)求证：； (2)如图2，延长至F，连接，过点C作，且，连接交直线l于点H，若，，则的长为________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（）先推导和的角的关系，再结合，利用全等三角形来证明全等； （）先通过角的推导证明， 得， 则，再证明， 得，求得的值，则，即可求得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：过点作于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【类型十二】证明依据 1．已知，点在上，点在上，点为射线上一点． (1)（基础问题）如图1，试说明：．（完成图中的填空部分） 证明：过点作直线， 又，， ， __________（______________________） __________（______________________） ． (2)（类比探究）如图2，当点在线段延长线上时，直接写出、、三者之间的数量关系． (3)（应用拓展）如图3，平分，交于点，且，，，直接写出的度数． 【答案】(1)，两直线平行，内错角相等，，两直线平行，内错角相等 (2)，见解析 (3) 【分析】（1）根据平行线的判定和性质，角的和证明即可； （2）根据平行线的性质，三角形的外角性质求解即可； （3）根据平行线的性质，三角形外角性质，三角形内角和，解答即可； 【详解】（1）证明：过点作直线， 又，， ， （两直线平行，内错角相等） （两直线平行，内错角相等） ． （2）解：、、三者之间的数量关系为． 理由如下：设的交点为点Q， ， ， ， ； （3）解：平分， ， ，， ， 设的交点为点O，的交点为点P， ， ， ，，， ； ， ， ， ． 2．填写证明依据：如图，已知，．求证：． 证明：∵（已知），（__________）， ∴（__________）． ∴（__________）． ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵（已知）， ∴（等式的基本事实）． ∴（__________）． ∴（__________）． 【答案】对顶角相等；等式的基本事实；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 【分析】根据平行线的判定与性质求解即可． 【详解】证明： ∵（已知），（对顶角相等）， ∴（等式的基本事实）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（等式的基本事实）． ∴（内错角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，内错角相等）． 3．如图，已知三角形，点在的延长线上，是的平分线，若，求证： （请把证明过程补充完整） 点在延长线上 ___________ （　　） ___________ ______________________ ___________ 是的平分线 ___________ ___________ （　　） 【答案】见解析 【详解】证明：点在延长线上 （三角形内角和定理） 是的平分线 （同位角相等，两直线平行） 【类型一】写出题设与结论 1．命题“两直线平行，内错角相等”中的“内错角”（   ） A．是题设 B．既是题设，也是结论 C．是结论 D．既不是题设，也不是结论 【答案】D 【分析】先将原命题改写为“如果…那么…”的形式，区分出完整题设和结论，再判断“内错角”的属性 【详解】解：将原命题改写为“如果两直线平行，那么内错角相等”， 命题中，“如果”引出的部分是题设，“那么”引出的部分是结论， ∵ 完整题设为“两直线平行”，完整结论为“内错角相等”， ∴ “内错角”只是结论中的部分名词，既不是完整题设，也不是完整结论， 因此选D 2．命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是（   ） A．两条直线平行于同一条直线 B．三条直线平行 C．两条直线平行 D．两条直线垂直 【答案】A 【分析】命题由题设和结论两部分组成，题设是已知条件，将原命题改写为“如果…那么…”的形式，即可拆分出题设． 【详解】解：将原命题改写为“如果…那么…”的形式：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线互相平行． ∵“如果”引出的已知条件部分是命题的题设， ∴该命题的题设是“两条直线平行于同一条直线”． 3．“同角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式，如果___________，那么___________． 【答案】 两个角是同一个角的余角 这两个角相等 【分析】找出原命题的题设与结论，明确“如果”后接题设，“那么”后接结论即可完成改写． 【详解】解：原命题“同角的余角相等”中，题设为两个角是同一个角的余角，结论为这两个角相等， 因此可得：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等． 【类型二】三角形的中线平分面积 1．如图，为的中线，为的中线．若的面积为30，则的面积是（   ） A．15 B．10 C．7.5 D．5 【答案】C 【分析】利用三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，先由是的中线求出的面积，再由是的中线求出的面积． 【详解】解：∵为的中线，， ∴， ∵为的中线， ∴． 2．如图，在中，点、、分别是、、的中点．若的面积为，则的面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由三角形中线的性质可得，，，则，进而得到． 【详解】解：如图，连接， ∵点是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴． 3．如图，在中，点、、分别是、、的中点，若的面积为，则的面积为________． 【答案】8 【详解】解：点、、分别是、、的中点， 、、， 是的中线， ， ， ． 【类型三】线段垂直平分线的性质求解 1．如图，在中，，点D在边的垂直平分线上，的周长为15，则的长为（     ） A．5 B．6 C．3 D．7 【答案】D 【分析】由线段垂直平分线的性质可得，又由的周长等于15，可得，继而求得答案； 【详解】解：∵点D在边的垂直平分线上， ∴， ∵，的周长为15， ∴， ∴． 2．如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】利用线段垂直平分线的性质定理求解． 【详解】解：∵垂直平分线段，垂直平分线段， ∴， ∴． 3．如图，在中，，是的垂直平分线，，则的度数为__________． 【答案】 【分析】根据垂直平分线的性质得到，根据三角形内角和定理得到，进而求出，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【类型四】角平分线的性质求解 1．如图，在中，，若以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，边于点，；再分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交边于点．若的面积为，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由作图可知，平分，可得的边上的高与的边上的高相等，则，即可求解． 【详解】解：由作图可知，平分， ∴点到、的距离相等，即的边上的高与的边上的高相等， ∴，即， ∴． 2．如图，直线，直线分别交，于点，．以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点；作射线交于点．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据作图痕迹可知平分，利用平行线的性质求出的度数，进而求出，最后利用三角形内角和定理求解． 【详解】解：由作图可知，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 在中， 3．如图，在中，平分，交延长线于点，过点作交于点，若平分，，则_________度． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，以及三角形的内角和定理，根据两直线平行，内错角相等即可得到，结合平分，则，最后在中利用三角形内角和为求解即可． 【详解】解： ， ， 平分， ， ， ， ， 在中，， ， ， ． 【类型五】角平分线与高线夹角问题 1．如图，在中，，，平分，，垂足为E，求的度数． 【答案】的度数为 【分析】由三角形内角和定理可得，再由角平分线的定义可得 ，由垂线的定义可得，再求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴ ， ∵于点E， ∴， ∴， ∴， 即的度数为． 2．如图，在中，是高，是角平分线， (1)求的度数； (2)求的度数； (3)试探究与之间的数量关系（)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据三角形的内角和定理，进行求解即可； （2）角平分线的定义求出的度数，三角形的内角和定理求出的度数，角的和差关系即可得出结果； （3）同法（2）进行求解即可. 【详解】（1）解：在中，， ∴； （2）解：由（1）可知，， ∵是的高，是的角平分线， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，是的角平分线，是的高， ∴， ∴ ∴. 3．在中，于点D，点E是线段上一点． (1)如图1，若平分，，，求的度数． (2)如图2，若是的中线，，的面积为5，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用垂线的定义可得，再由三角形内角和定理求出，根据角平分线定义求出，最后根据求解即可； （2）利用三角形中线定义及三角形面积解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵ ∴． ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴. 【类型六】尺规作图 1．如图，在中，请用尺规作图法作的垂直平分线交于点E，交于点F．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】解：如图，直线即为所求． 【分析】分别以为圆心，大于为半径画弧，得到两弧的交点，再过两个交点作直线即可． 【详解】略 2．如图，已知． (1)作边上的高，交于点；作的平分线，交于点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)如图，线段，即为所求； (2) 【分析】（1）根据题意过点作的垂线，作的平分线，交于点 （2）根据三角形内角和定理求得，根据角平分线的定义得出，进而求得，最后根据，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：，， ． 平分， ． ， ， ， ． 3．如图，和是两条公路，，表示两个村庄，现要建造一个车站（位于的内部），使车站到两个村庄的距离相等，且车站到和两条公路的距离也相等，那么车站应建造在什么位置？（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】解：如图，点即为所求． 【分析】先连接，然后作的平分线，再作线段的垂直平分线，两线的交点即为所求． 【详解】略 【类型一】三角形的三种角平分线 1．如图，P为内一点，平分，平分，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据三角形内角和定理求出的度数，再由角平分线的性质求出的度数，进而可得出结论． 【详解】解：∵在中，， ∴． ∵平分，平分， ∴， ∴． 2．如图，已知的外角和外角的平分线相交于点D，如果，那么_____． 【答案】/71度 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义，由三角形内角和定理可得，求出，再由角平分线的定义可得，最后再由三角形内角和定理计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵的外角和外角的平分线相交于点D， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．在中，与的平分线相交于点． (1)如图1，试探究与的数量关系； (2)如图2，作外角的平分线，交于点．请分别写出与，与的数量关系，不需要证明； (3)如图3，延长线段，交于点．在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，直接用（1）和（2）中的相关结论求的度数． 【答案】(1) (2)； (3)或或 【分析】本题考查角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． （1）利用角平分线的定义以及三角形的内角和定理求解即可． （2）证明，可得结论． （3）首先证明，分3种情形分别求解即可解决问题． 【详解】（1）解：如图①中，与的平分线相交于点， ， ， ； （2）解：；，理由如下： 理由：如图②中，外角，的角平分线交于点， ， ， ， ； （3）解：如图，延长至， 平分， ， ，， ， 平分， ， ， ， 即， 又， ， ， 如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分3种情况： ①，则，， ②，则，； ③，则， 综上所述，的度数是或或． 【类型二】三角形的三种折叠 1．如图，在三角形纸片中，将纸片的一角沿折叠，使点C落在内，记为点．若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据折叠的性质，三角形的内角和定理以及平角的定义，进行求解即可． 【详解】解：由折叠的性质，得，． ，， ， ． 2．如图，在中，，，D是线段上一个动点，连接，把沿折叠，点C落在同一平面内的点处，当平行于的边时，的大小为__________． 【答案】或 【分析】分两种情况，和，分别画出图形，再利用平行线的性质求解即可. 【详解】解：由折叠的性质得：， 设， 由题意，分以下两种情况： ①如图，当时， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 即； ②如图，当时， ∴ ∵， ∴， 解得：， 即 综上，的大小为或． 3．我们在小学已经学习了“三角形内角和等于”．在三角形纸片中，点D，E分别在边上，将沿折叠，点C落在点的位置．    (1)如图1，当点C落在边上时，若，则＝　 　，可以发现与的数量关系是 　 　； (2)如图2，当点C落在内部时，且，，求的度数； (3)如图3，当点C落在外部时，若设的度数为x，的度数为y，请求出与x，y之间的数量关系． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据平角定义求出，再利用折叠性质即可求出，然后利用三角形内角和进行计算即可； （2）根据平角定义求出，，然后利用折叠性质可得，然后利用三角形内角和进行计算即可； （3）根据平角定义求出，再利用折叠性质即可求出，然后利用三角形内角和进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 由折叠得： . ∴， ∴， （2）解：∵， ∴， 由折叠得： ∴， ∴的度数为； （3）解：如图：    ∵， ∴， 由折叠得： ， ∴ ， ∴与x，y之间的数量关系：． 【类型三】一线三等角 1．综合题 (1)如图1，，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点以相同的速度在射线上由点向点运动．它们运动的时间为，当点到达点时，点也停止运动．当时，猜想：线段与之间的关系，并说明理由． (2)【拓展】如图2，在中，，D，A，E三点都在直线m上，并且猜想：线段、、之间的关系，并说明理由． (3)【应用】如图3，在中，是钝角，，，，直线m与 的延长线交于点F，若，的面积是12，则与的面积之和为 ． 【答案】(1)解：且，理由： 当时，，， ， ， 又， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 又， ， ． (2)解：，理由如下： ，， ， 又，， 三点在直线上， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ． (3)6 【分析】(1) 当时，，，结合，利用判定，得到及，再通过直角互余与平角关系证得． (2) 利用三角形内角和与平角关系转化得到，结合已知角等和，利用判定，从而得，，相加即得． (3) 由(2)的模型可得，从而，将面积和转化为；再利用及同高三角形面积比等于底边比，得． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由(2)同理可证， ， ， 直线与 的延长线交于点，且， 与有公共顶点，且底边与 在同一直线上， ， ， ， 即与的面积之和为． 2．综合题 (1)某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形，如图1，已知：在中，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．请猜想线段之间的数量关系为______ ． (2)组员嘉嘉想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且，其中α为任意锐角或钝角，请问（1）中得到的结论是否仍然成立？并说明理由． (3)数学老师赞赏了她们的探索精神，并鼓励她们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点N，，则____ ． 【答案】(1) (2)成立，理由如下： ∵， 在中，， 又∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴； (3)5 【分析】（1）依题意得，则，根据得，由此得，进而依据“”判定和全等得，由此即可得出线段之间的数量关系； （2）根据，得，，由此得，进而依据“”判定和全等得，继而得，由此即可得出答案； （3）分别过E、G作的垂线段，垂足分别为H、K，先证，可得，可得，再证，得，据此即可得解． 【详解】（1）解：线段之间的数量关系是：，理由如下： ∵直线l，直线l， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）略 （3）解：如图，分别过E、G作的垂线段，垂足分别为H、K， 则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：5． 3．【问题初探】 （1）如图①，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，，则，，的数量关系是_____________； 【变式探究】 （2）如图②， 在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．已知，，求的长； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图③所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点，设的面积为，的面积为，猜想，的大小关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握一线三垂直模型，是解题的关键： （1）证明，得到，根据线段的和差关系和等量代换即可得出结论； （2）证明，根据线段的和差关系和等量代换即可得出结果； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，则，进而得，再根据得，由此得，进而依据“”判定和全等得，同理证明和全等得，进而得，然后再根据三角形的面积公式即可得出与之间的数量关系． 【详解】解：（1）； ∵从点，向直线作垂线，垂足分别为，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2），， ， 在中，， ， ， ， 在和中， ， ； ，， ； （3）与之间的数量关系是：，理由如下： 如图3，过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N， ∵是的高，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理证明：， ∴， ∴， ∵的面积为，的面积为， ∴． 【类型四】倍长中线法 1．【提出问题】 数学课上老师提出如下问题：如图①，在中， 是 边上的中线，，，若 边的长为整数，求 边的长．小张同学在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 至点 ，使，连接，能得到，所以，进而利用三角形的任意两边之和大于第三边解决问题． 【思考发现】 (1)如图①，的理由是　　　　； A．                B．               C．                D． (2)根据小明的方法思考，可得 的长可能为　　　　；（写出一个即可） 【类比迁移】 (3)如图②， 是的中线，交 于点 ，交 于点 ，． 求证：． 以下是部分证明过程： 证明：如图③，延长 至点 ，使，连结． ⋯⋯ 请完成上述证明过程． 【学以致用】 (4)如图④，在和中，， ， ，连结 、，取 的中点 ，连结．若，则　　　　． 【答案】(1)B (2)2（或3，4，5，6之一） (3)证明：如图③，延长 至点 ，使，连接． 同（1），可证， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴． (4)4 【分析】（1）由题意知，，，可得； （2）由得，在中，根据三角形三边关系可得，进而即可求解； （3）倍长 至E，连 ，同（1）可证， 得出，结合，可得，由等边对等角可得，等量代换后可得，根据等角对等边即可得出结论； （4）倍长 至G，连，同（1），可证，进而证明，可得. 【详解】（1）解：在和中， ， ， 故选：B； （2）解： ， ， 在中，，，，， ∴， 即， ∵ 为整数，， ∴ 的长可以为 2，3，4，5，6 中之一. （3）略 （4）解：如图，延长至点 ，使，连， ∴， 同（1），可证， ∴. ∵ ， ∴， ∵， ∴. 在 中，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，三角形三边关系的应用，中线的性质，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握倍长中线的辅助线作法是解题的关键． 2．【综合与探究】数学兴趣小组在学习全等三角形的过程中，对其中一个问题作如下探究： 【历史文献】倍长中线的方法源于早期几何学家对中点性质的研究．古希腊数学家欧几里得《几何原本》虽未直接描述，但其全等三角形公理体系为倍长中线提供了理论基础．数学文献中，倍长中线作为标准术语被确立于世纪，成为初等几何常见技巧． (1)【问题背景】 如图，中，，，是中线，则的取值范围是______； (2)【变式思考】 如图，中，是中线，分别以，为腰在外作等腰和等腰，，，，连接，求证：； (3)【探究延伸】 如图，在四边形中，对角线，相交于点，将沿着翻折，点的对应点为，，点是的中点，，当时，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）通过倍长中线法，构造全等三角形，将、与转化到同一个三角形中，再利用三角形三边关系求解的取值范围． （2）延长至点，使，连接，先证，再证，从而得到 （3）延长到点，使，连接，先证，再结合翻折性质和角的关系证，进而得到 【详解】（1）解：延长到点，使，连接， ∵是中线， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：延长至点，使，连接， ∵是中线， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴（SAS）， ∴， ∵， ∴； （3）解：延长到点，使，连接， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴（SAS）， ∴，， ∵， ∴， 由翻折性质可知：，，， ∵， ∴， ∴、、三点共线， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系、倍长中线法以及图形翻折的性质，熟练掌握倍长中线法构造全等三角形是解题的关键． 3．【发现问题】数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图①，，中线的取值范围是多少？ 【探究方法】 （1）第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到， 使得； ②连接， 通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为， 从而得到的取值范围是 ； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题拓展】 （2） 如图②， ， 与互补， 连接， ， 是的中点，求证： （3） 如图③， 在（2） 的条件下， 若， 延长交于点， ，求的面积． 【答案】（1）（2）见解析（3） 【分析】本题考查了倍长中线型全等问题，正确作出辅助线是解题关键； （1）根据提示证即可求解； （2）延长到，使得，连接，通过论证两组三角形的全等即可得出结论； （3）由前一问可得：，，进一步得；根据题意可证，据此即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴（） ∴， ∵ ∴ 即： ∵ ∴ 故答案为：； （2）证明：延长到，使得，连接， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴（）， ，， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴（）， ∴， ∴； （3）解：由（2）可得：， ，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴． 【类型五】截长补短法 1．如图1，在四边形中，，点，点分别在边，上，已知，． (1)求证：； (2)如图2，若点，点分别在边，的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)不成立，，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握利用半角模型去截长补短是解题的关键． （1）延长至点，使，构造，得出，，再利用，得出，证明，得出，再利用线段的和差即可证明； （2）在上截取，构造，得出，，再利用，得出，证明，得出，再利用线段的和差即可证明． 【详解】（1）证明：如图，延长至点，使， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，在上截取， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：． 2．阅读下面文字并填空： 数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在中，平分，．求证：”． 李老师给出了如下简要分析：要证就是要证线段的和差问题，李老师采用了‘截长法’，如图2，在上截取，连接，只要证__________即可，这就将证明线段和差问题转化为证明线段相等问题，只要证出____________________，得出及__________，再证出____________________，进而得出，则结论成立． 请仿照上题方法解决以下问题： 变式应用：如图，和是等腰三角形，且，，，，以A为顶点作一个角，角的两边分别交边延长线于点E、F，连接，则之间存在什么样的关系？并说明理由． 【答案】；；；；；；变式应用：．理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，属于截长补短类辅助线．按照题干的要求填空即可；变式应用：在上截取，连接，求得，证明，得到，，得到，证明，得到，据此求解即可． 【详解】解：如图2，在上截取，连接， 只要证即可，这就将证明线段和差问题转化为证明线段相等问题，只要证出，得出及，再证出，进而得出，则结论成立． 故答案为：；；；；；； 变式应用：．理由如下： 在上截取，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 3．已知，如图1，在等边中，与的角平分线交于点，点、分别在边上，且，猜想、、三者之间的数量关系． (1)方法探索： 小敏的思路是：如图3，在上取一点，使，连接．先证明______，从而______；继而证明______，从而______；因此可判断、、三者之间的数量关系是______； (2)拓展运用： 如图2，点在边上，点在的延长线上，其它条件不变，猜想、、三者之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)；；；； (2)猜想，理由见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，等角对等边等知识点： （1）如图3，在上取一点，使，连接，先证明得到，；继而证明得到从而，进一步可证明； （2）如图所示，在延长线上截取，连接，先证明，得到，，继而证明，得到，进一步可证明． 【详解】（1）解：如图3，在上取一点，使，连接， ∵在等边中，与的角平分线交于点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；；；；； （2）解：猜想，理由如下： 如图所示，在延长线上截取，连接， ∵在等边中，与的角平分线交于点， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【类型六】全等三角形的动点求t 1．如图，在长方形中，厘米，厘米．动点P从点A出发，以2厘米/秒的速度沿运动；同时点Q从点C出发，以4厘米/秒的速度沿运动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P运动的时间为秒 ． (1)用含t的代数式表示线段的长； (2)求t为何值时，与的面积相等； (3)求t为何值时，与全等； (4)是否存在t值，使，且？若存在，直接写出t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当时，；当时， (2)或 (3) (4) 【分析】本题考查了动点问题，涉及了全等三角形的判定与性质，掌握分类讨论的数学思想是解题关键． （1）分类讨论当和两种情况即可； （2）由题意得，可得，类讨论当和两种情况即可； （3）由题意得是直角三角形，故点在上运动时，有，由此得，即可求解； （4）分析可知：当点在上运动时，存在，且的情况，可推出得，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：厘米， 当时，； 当时，； （2）解：由题意得：， ∴， 当时，， 此时，解得：； 当时，， 此时，解得：； 综上所述：当或时，与的面积相等； （3）解：由题意得：是直角三角形， ∴当，即点在上运动时，有与全等 此时， ∴ ∵，； ∴， 解得：； （4）解：分析可知：当点在上运动时，存在，且的情况， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 解得：． 2．如图，长方形中，，，点、分别是、的中点，动点从点出发，沿折线向终点运动，过点作于点，连结、，设点的运动时间为秒（）． (1)当点运动到的中点时，证明． (2)若点以每秒2个单位长度的速度运动． ①如图①，当点在边上时，______（用含的代数式表示） ②如图②，当点P在边上时（点不与点重合），易知，，若，求的值． (3)若点以每秒个单位长度的速度运动，在点运动过程中，直接写出能使和全等的所有的值． 【答案】(1)见解析 (2)①；②或8 (3)的值为2或6或10 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，绝对值方程等知识点，解题的关键是分类讨论，熟练掌握三角形全等的性质． （1）当点P运动到中点时，则，结合点M、N分别是中点，，可得，即可证明． （2）①根据题意即可求解． ②当点P在边上时（点P不与点D重合），得出，再根据，，列出等式求解即可． （3）根据题意分为当点P在边上时和当点P在边上时，根据全等三角形的性质列出等式求解即可． 【详解】（1）解：当点P运动到中点时，则， ∵点M、N分别是中点，， ∴， ∵， ∴； （2）若点P以每秒2个单位长度的速度运动． ①如图1，当点P在边上时，， ； 故答案为：； ②如图2，当点P在边上时（点P不与点D重合）， 则， ∴， 若， 则，解得：或． （3）解：若点P以每秒个单位长度的速度运动，秒后， 当点P在边上时，与全等时， ∵， 则， ∴，解得：； 当点P在边上时，若与全等， ∵， 则， ∵， ∴，解得：或； 综上，或或． 3．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图（1），，，，．点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．    (1) _____；（用含t的式子表示） (2)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，判断此时线段和线段的位置关系为______，并说明理由； (3)如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点Q的运动速度为，是否存在实数x，使得与全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)存在或，使得与全等 【分析】（1）由题意得，则； （2）证明，，，证明，推出，据此可得结论； （3）分两种情况讨论：①若，则，②若，则，再建立方程组求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： ∵，，，， ∴，当时，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：①若，则， 即，解得； ②若，则， 即，解得； 综上所述，存在或，使得与全等． 1．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）下列命题中，是真命题的是(     ) A．内错角相等 B．相等的角是对顶角 C．互补的两个角一定一个是锐角，一个是钝角 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【分析】分别根据平行线的性质，对顶角的含义，补角的定义，垂线的定义对选项依次判断即可． 【详解】解： A、两直线平行，内错角相等，原命题是假命题，不符合题意； B、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题，不符合题意； C、互补的两个角可以都是直角，原命题是假命题，不符合题意； D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，是真命题，符合题意， 2．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）以下列长度为边的三条线段不能组成三角形的是（     ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，5，6 D．5，6，10 【答案】A 【详解】解：A．∵，不满足两边之和大于第三边， ∴不能组成三角形，符合题意； B．∵，满足三边关系， ∴能组成三角形，不符合题意； C．∵，满足三边关系， ∴能组成三角形，不符合题意； D．∵，满足三边关系， ∴能组成三角形，不符合题意． 3．（25-26八年级下·福建三明·阶段检测）如图是一款儿童小推车的示意图．若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据平行线的性质得出，再根据三角形的外角性质即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴． 4．（25-26七年级下·北京·阶段检测）如图所示，在中，，，垂足分别为，已知，，，则边上的高的长为（   ） A．4 B．4.8 C． D．8 【答案】B 【分析】利用通过等面积法列出式子，求解即可． 【详解】解：由题意得，， 即， 解得， 故选：B． 5．（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）如图，，要使，只需添加的一个条件是_______．（填一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】已知，是和的公共边，即．结合全等三角形判定定理、，补充一组对应边相等或两边的夹角相等，即可证明． 【详解】解：由题意可知： 是两个三角形公共边， ， 又已知， 添加条件： 在和中： ， ； 添加条件： 在和中： ， ， 综上，可填：（答案不唯一）． 6．（25-26九年级下·江苏常州·阶段检测）如图，中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G．则的周长为_____． 【答案】7 【分析】根据垂直平分线的性质得到，，因此将的周长转化为即可求解． 【详解】解：∵、分别是边、的垂直平分线， ∴，， ∴ ． 7．（25-26七年级下·甘肃天水·阶段检测）如图，在中，，的平分线与的平分线相交于点E，则的度数为_________． 【答案】/度 【分析】首先根据角平分线的定义可得，再结合三角形外角的定义和性质可得，然后由求解即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． 8．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，点是边上一点，连接，请你用尺规作图法作的平分线，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【详解】解：如图，即为所求． 9．（25-26七年级下·四川成都·阶段检测）已知：如图，，、分别平分与，且．求证：． 证明：、分别平分与，（已知） ，（______） 又（已知） ______ 又（已知） ______（______） （______）． 【答案】角平分线的定义；；；等量代换；内错角相等，两直线平行 【分析】首先根据角平分线定义可得，，根据等式的性质可得，再由条件可 得，根据内错角相等，两直线平行可得； 【详解】解：∵、分别平分与（已知）， ，（角平分线的定义）， 又∵， ∴， 又∵， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）． 10．（25-26七年级下·山东潍坊·阶段检测）在中，，是边上的高，是的平分线． (1)如图①，若，，求的度数； (2)如图②，若是的延长线上一点，于点，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由如下： ∵是边上的高， ∴， ， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即． 【分析】（1）由可得，利用三角形内角和定理可得，从而得到，由角平分线的定义可得，最后使用三角形的内角和定理计算出； （2）仿照（1）的解法可得出，容易判断，则，因此． 【详解】（1）解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． （2）略 1．（25-26九年级下·陕西咸阳·期中）如图，是的角平分线．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角平分线的定义可得的大小，再由三角形外角定理可得的大小． 【详解】解： 平分， ， ． 2．（25-26七年级下·吉林长春·期中）若三角形的两条边的长度分别是和，则第三条边的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据三角形三边关系求出第三边的取值范围，再判断选项中不符合范围的长度即可解答． 【详解】解：设三角形第三条边的长度为， 根据三角形三边关系可得： ，即 ， ∵不在的范围内， 第三条边的长度不可能是． 3．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，在四边形中，，平分，，，，则四边形的面积是（     ） A．40 B．42 C．46 D．48 【答案】A 【分析】过点作交的延长线于点，根据角平分线的性质得到，然后将四边形的面积转化为与的面积之和进行计算即可． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为 ． 4．（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，在中，已知点，，，分别是线段，，，的中点．若的面积为3，则的面积为（     ）．    A．18 B．21 C．36 D．42 【答案】D 【分析】三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，逐步推导各部分三角形面积之间的关系，进行求解． 【详解】解：连接、，如图所示，    ∵点是线段的中点， ∴是的中线， ∴，， ∵点是线段的中点， ∴是的中线， ∴， ∵点是线段的中点， ∴是的中线， ∴， ∵点是线段的中点， ∴是的中线， ∴，， ∵点是线段的中点， ∴是的中线， ∴， ∴， ∵点是线段的中点， ∴是的中线， ∴． 5．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，是的中线，，，若的周长为18，则的周长为_________． 【答案】20 【分析】根据三角形的中线及周长公式可进行求解． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长为18，， ∴，即， ∴， ∵， ∴的周长为． 6．（25-26七年级下·广东江门·期中）将命题“邻补角互补”改写成“如果……那么……”的形式：如果_____，那么______． 【答案】 两个角是邻补角 这两个角互补 【详解】解：命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项， 因此将命题“邻补角互补”改写为“如果……那么……”的形式为：如果两个角是邻补角，那么这两个角互补． 7．（25-26八年级下·河南驻马店·期中）如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，则的度数是________． 【答案】/50度 【分析】根据三角形的内角和定理求出的度数，角平分线的定义求出的度数，再根据三角形的外角的性质，即可得出结果. 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵平分交于点D，平分交于点E， ∴， ∵是的一个外角， ∴. 8．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）如图，已知，． (1)求证：； (2)如图，点E是线段上一点，若，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质证明即可； （2）根据得到，结合三角形的外角的性质计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 9．（14-15八年级下·江苏南通·开学考试）如图，平分，，P为延长线上一点，于点M，于点N，求证：． 【答案】证明：平分， ， ，， ， ， ，即平分， ，， ． 【分析】先证明，得到，即平分，因为，，根据角平分线的性质，可得． 【详解】略 10．（25-26七年级下·山西太原·期中）综合与实践 【问题情境】 如图是一种网红弹弓的实物图，在两头系上皮筋，拉动皮筋可形成平面示意图如图1，弹弓的两边可看成是平行的，即． (1)如图1，，，分别是，上的点，点在，两平行线之间，，，则的度数为________． 【猜想证明】 (2)在图2中，已知，猜想与，之间的数量关系，并说明理由． 【深入探究】 (3)①如图3，，，分别是，上的点，点在，两平行线之间，作和的平分线，，交于点（交点在两平行线，之间），若，则的度数为________（用含的式子表示）． ②如图4，，，平分，若，求的度数为________． 【答案】(1) (2)解：，理由如下： 如图，作，则， ，， ， ， ， ． (3) ①； ②． 【分析】（1）过点作，利用两直线平行内错角相等以及角度的和差关系即可得到，进而可求解； （2）作，则，，进而可求解； （3）①过点P作，先根据平行线性质以及角平分线性质得到，再通过（2）的结论可得到，进而可求解；②设交点为，过点作，设 ，则，即 ，通过平行线性质以及角度和差关系可得到，，再根据角平分线性质可得，进而可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）略 （3）解：①∵、分别是和的平分线， ∴，，过点P作，如图： ∵， ∴， ∴，， ∴， 由第（2）得：， ∴， ∴， 即； ②如图，设交点为，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 设 ，则，即 ， 故 ， ∵，， ∴ ， ∵， ∴，即， ∵平分， ∴， ∴，即， ∴． 1．（25-26八年级上·四川南充·期末）在中，，以为圆心，适当长为半径画弧，交，于，两点，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点．作射线交于点，若，，则点到的距离为（　　） A．3 B．4 C．2.5 D．2 【答案】D 【分析】过F点作于H点，利用基本作图得到平分，则根据角平分线的性质得到，即可得答案． 【详解】解：如图，过F点作于H点， ，， ， 由作图知，平分， ， ， ， 点到的距离为2． 2．（25-26七年级下·河南开封·期末）数学兴趣小组同学就“测量如图所示的河两岸A，B两点间的距离”这一问题，设计了如下方案．测量步骤：①在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点D，使得点A，B，C在一条直线上，且；②测得， ；③在的延长线上取点E，使得 ；④测得的长度为．则A，B两点间的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用全等三角形的判定和性质并结合三角形内角和定理可得，可证明，从而得到，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ， ∴， 在和中， ∵ ，，， ∴， ∴， ∵， ∴，即 ， ∵ 的长度为， ∴， 即A、B两点间的距离为． 3．（25-26八年级上·贵州毕节·期末）如图，已知，点在上，点，在上，连接，，， ，，平分．给出下列结论：①平分；②；③；④．上述结论中，正确的是（   ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】利用平行线的判定与性质、角平分线和垂直定义可判断①②③；结合三角形的内角和定理可判断④，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴平分，故①正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，则， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴， ∴，故④正确， 综上，正确的是①②③④． 4．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）如图所示，长方形的边，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，，连接，则当取最小值时，到边的距离为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，线段最短的计算，掌握以上知识，数形结合，合理作出辅助线是关键．如图所示，过点作于点，作，交于点，交于点，可证，得到，当点在线段上运动时，点在线段的某一部分上运动，再得到四边形和四边形都是长方形，则，，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，作，交于点，交于点， 四边形是长方形， ，， ，， ， ，， △是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 当点在线段上运动时，点在线段的某一部分上运动，如图所示， 当点，重合时，线段的值最小， 根据作图，， 四边形和四边形都是长方形， ，， 到边的距离为， 故选：B． 5．（25-26七年级下·河南开封·期末）如图，是 的平分线，过上一点D作，分别交于E，F，若， ，则 的面积为______． 【答案】 【分析】过作 于点 ，由角平分线性质可得，然后代入即可求出 的面积，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作 于点 ， ∵ 是 的平分线，， ∴， ∴ 的面积为， 6．（25-26八年级下·河南开封·期末）如图，，射线于，点和分别在线段和射线上运动，且．当____________时，以点，，为顶点的三角形与全等． 【答案】或 【分析】根据，可得要使以点，，为顶点的三角形与全等，利用，分和两种情况求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵以点，，为顶点的三角形与全等， ∴当，时，此时，点与点重合，， 当，时，， 综上所述：或时，以点，，为顶点的三角形与全等． 7．（25-26七年级下·河南开封·期末）如图，在 中， ，，D，E是边BC上两点，过点A作，垂足是A，过点C作 ，垂足是C，交于点F，连接 ，其中．下列结论：① ；② ；③若，．则；④．其中正确的是______．（填序号） 【答案】②③/③② 【分析】证明即可判断①，证明，即可得到，即可判断②；根据得到，根据即可判断③；根据得到，由，即可判断④． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； ∴, 但是无法证明， ∴不一定成立； 故①错误； ∵， ∴， ∴， 故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴， 故③正确； ∵ ∴， ∵，， ∴，故④错误； 综上可知，正确的是②③． 8．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，且，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用即可证明结论； （2）由全等三角形的性质求出的度数，再求出的度数即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴； （2）解：由（1）得，， ∴， ∴， ∴． 9．（25-26八年级上·四川达州·期末）已知，直线，点E、F分别在直线、上，点P是直线与外一点，连接、． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，过点E作的角平分线交的延长线于点M，的角平分线交的反向延长线交于点N，若与互补，试探索直线与直线的位置关系，并说明理由； (3)若点P在直线的上方且不在直线上，作的角平分线交的角平分线所在直线于点N，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或 【分析】（1）过点作，根据平行公理的推论，可得，再根据平行线的性质，可得，，即可求出； （2）过点作，设，，根据平行公理的推论，易得，再根据角平分线的定义和平行线的性质，可得，再根据互补和三角形内角和，可得，从而得到； （3）过点、分别作，，设，，根据平行公理的推论可得，根据题意分两种情况讨论，再根据角平分线的定义和平行线的性质，可用含、的式子表示和，计算即可求解． 【详解】（1）解：如图1，过点作， ，， ， ，， ，， ， ， 则的度数为； （2）， 理由如下，如图2，过点作， 设，， 是的角平分线，是的角平分线， ，， ，， ， ，， ， 与互补， ，即，则， ，即，则， ， ； （3）或 情况1，如图3，过点、分别作，， 设，， 是的角平分线，是的角平分线， ，，，， ，，， ， ，，，， ，与， ； 情况2，如图， 由情况1，可得， ，，，， ，， ； 综上，或． 【点睛】本题考查了平行公理的推论，平行线的性质和判定，角平分线的定义，三角形的内角和，角的运算等知识点，掌握平行线的性质和判定是解题的关键． 10．（25-26八年级上·福建厦门·期末）在中，，点在上，点在上，连接和交于点，． (1)如图，求证：； (2)如图，连接，若平分，求证：； (3)如图，在（2）的条件下，点在的延长线上，连接，时，若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】（1）根据等边对等角得出，再利用外角的性质推出，，等量代换即可求解； （2）过点作于，过点作交的延长线于，作交的延长线于，根据角平分线的性质，得出，结合已知条件分别证明、即可求解； （3）过点作，交于N，过点作交于，作交的延长线于点，根据平行的性质结合已知条件分别证明、，推出，再结合（1）的中和（2）中平分，推出， 然后根据，推出，推出，再等量代换推出，证明，推出，最后等量代换得到，，即可求解． 【详解】（1）∵， ∴， ∵为的外角， ∴， ∵为的外角， ∴； （2）证明：如图，点作于，过点作交的延长线于，作交的延长线于， 则， ∵平分，，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴； （3）如图，过点作，交于N，过点作交于，作交的延长线于点， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即， ∵由（1）得， 又∵， ∴， ∵由（2）知平分， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】能够作出角平分线的辅助线和平行辅助线是解题的关键． 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