河南周口市西华县第二高级中学2025-2026学年高二上学期数学周测卷9.22

高中数学卷9.22 一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分） 1.在如图所示的空间直角坐标系Oxz中，己知正方体的棱长为2，反=Pd,则点R的坐标为() R 0.- Q y A号2)B.号，2) C.(1,2,1) ”.停2) 2.已知空间向量a=(0,2,1),b=(1,2,0),若（众-kb)⊥(a+kb),则k的值为(） A.1或-1 B.2或-2 C.1或-2 D.2或-1 3.已知M,A,B,C为空间中四点，任意三点不共线，且OI=x0A+y0B-OC(x>0,y>0),若M, A,B,c四点共面，则生+上的最小值为（) x y A.4 B.5 c号 D.9 4.在空间直角坐标系中，向量a=(2,-1,m),b=(-4,2,4),下列结论正确的是（) A.若a∥b,则m=2 B.若a|=6,则m=5 C.若G,B)为钝角，则n<号 D,若这在式上的投影向聚为。则烟4 5.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M,N分别是A1B,B1C1上的点，且BM=2AM,C1N=2B1N.设AB=a, AC=b,AA1=c,若∠BAC=90°，∠BAA1=∠CAA1=60,AB=AC=A41=1,则下列结论中正确的是 () A C N M--二 B B 3 R四1号 C.AB1⊥BC1 D.c0sE,BC)君 6.棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是AB、CC1的中点，则点B到平面B1EF的距离为 () A.2V19 B.4V21 C.4V19 D.2W21 19 21 19 21 7.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是AC中点，点P在线段A1C1上，若直线OP与平面DAC 所成的角为0，则sind的取值范围是() D C A B A,是1.哈力 3， 。慢，竖1D会 3 8.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB1BC,BB1=√2AB=V2BC,M,N分别是B1C1,A1B1的中点，则 直线BM与直线CN所成角的余弦值() A.3V13 B.2W13 c. 13 13 5 D.25 15 二.多选题（共3小题，每小题6分，共18分） (多选)9.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线B1D与平面A1BC1交于点H,则() D A B H C B A.直线A1B与DC所成的角为60° B.B1D⊥平面A1BC1 C.BH:HD=1:3 D.H为△A1BC1的垂心 (多选)10.如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以A为顶点的三条棱长均为1，且两两之间的夹角 都是60°，则下列说法中正确的是() 0 C B D ⊙ A.AC=6 B.AC1⊥DB1 C.向量B1C与AA1的夹角是120° D.BD与AC所成角的余弦值为 3 (多选)11.如图，在平行六面体ABCD-A1B1CD1中，B|=|D|=|AA1|=1，且 ∠A1A如=∠A1=∠BaD:子M为40与D的交点，设=，而-，AA-8:则下列结 论正确的是( D D B A.AC1=a+b+c B.B-28+ c.IAC;l=V6 D.cos(AB,AC)6 3 三.填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知向量p以a,b,c]为基底时的坐标为(2，-3,2)，则p以a-2b,a+b,a+c}为基底 时的坐标为 13.在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,底面ABCD是边长为1的正方形，AP=2,则直线PB与平 面PCD所成角的正弦值为 14.在三棱锥P-ABC中，点P到平面ABC的距离为6，点D,E为边PA,PB的中点，且△CDE为正三 角形，若CA=CB=2DE,则点P到平面CDE的距离为 四.解答题（共4小题） 15.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，AD∥BC,AD=2,AB=BC=1,△PAD为等边 三角形，M为PA的中点，且平面PAD⊥平面ABCD,PD⊥AB. (1)证明：DM⊥平面PAB; (2)求直线PC与平面MCD所成角的正弦值 B 16.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，四边形ADPQ是梯形，PD>AQ,PD∥QA,PDL 平面ABCD,且AD=2AQ=2,PD=2. (1)求证：OB∥平面PDC: (2)求平面PBC与平面POB夹角的余弦值. D B 17.如图，在棱长为2的正方体OABC-OA'B'C中，E,F分别是棱AB,BC上的动点，且AE=BF, (1)求证：AF⊥CE; (2)当E为AB的中点时，求A'F与BE所成角的余弦值： (3)当三棱锥B'-BEF的体积取得最大值时，求平面BEF与平面BEF的夹角正切值. B B E 18.已知四边形QBCD为直角梯形，其中CD∥QB,BC⊥CD,BC=CD,DA⊥QB,A为垂足（如图1）.将 △QAD沿AD折起，使点Q移至点P的位置，得到四棱锥P-ABCD(如图2)，且满足PA⊥AB,点 E,F分别为PB,PD的中点、 (1)证明：平面PAC⊥平面AEF; (2)若PC⊥平面AEF,试问：棱CD上是否存在一点M,使得直线PM与平面AEF所成角的正弦值 为2巨，若存在，求出D的值：若不存在，请说明理由。 3 CD Q F A D E D A B C B 图1 图2 参考答案与试题解析 选择题（共8小题） 题号 2 4 5 6 7 P 答案 D A C D D B A B 二.多选题（共3小题） 题号 9 10 11 答案 BD AC ACD 一.选择题（共8小题） 1.在如图所不的空间直角坐标系02中，已知正方体的棱长为2，丽号F0。则点R的坐标为() R A号，2，)B.2,})c.1.2.1DD.4,2) 【分析】由题意，得到P(2,2,2),9(0,2,0),再利用向量线性关系求解. 【解答】解：因为正方体的棱长为2，所以P(2,2,2),Q(0,2,0),PQ=(-2,0,-2), 丽ó=（号0，号）， 所以R专，2当. 故选：D 【点评】本题考查空间向量的坐标运算，属于基础题. 2.已知空间向量a=(0,2,1),b=(1,2,0),若(a-kb)⊥(a+kb),则k的值为() A.1或-1 B.2或-2 C.1或-2 D.2或-1 【分析】由向量的坐标运算法则结合条件即得. 【解答】解：因为a-kb=k,2-2k,1),a+b=(k,2+2k,1), 且a-kB)⊥(a+hb), 所以kx(-k)+(2-2k)(2+2k)+1×1=0,解得k=1或-1. 故选：A 【点评】本题考查空间向量的坐标运算，属于基础题. 3.已知M,A,B,C为空间中四点，任意三点不共线，且0M=x0A+y0B-0C(x>0,y>0),若M, A,B,C四点共面，则生+1的最小值为() A.4 B.5 c. D.9 【分析】利用空间向量四点共面定理和基本不等式“1”的妙用求解即可. 【解答】解：因为M,A,B,C四点共面，OI=xOA+yOB-OC(x>0,y>0), 所以由共面定理可得，x+y-1=1,即x+y=2, 所使)(xw)(5). x y 2x y 因为g>2 。4y.=4, x y 当且仅当x号y子时等号烧之，即最个值为号 4， 故选：C 【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，基本不等式，主要考查学生的运算能力，属于中档题， 4.在空间直角坐标系中，向量a=(2,-1,m),b=(-4,2,4),下列结论正确的是() A.若a∥b,则m=2 B.若|a|=6,则m=5 Q若G,)为纯角：则n<号 D。若在6上的设影狗量%为号式。则烈=4 【分析】利用空间向量共线的坐标表示可判断A选项；结合空间向量的模长公式可判断B选项；分析 可得a·b<0且不共线，结合空间向量数量积的坐标运算可判断C选项：利用投影向量的定义以及空 间向量数量积的坐标运算可判断D选项. 【解答】解：在空间直角坐标系中，向量a=(2,-1,m),b=(-4,2,4), 对打这项：1则导号-受解得=2微适项4结误 对于选项B:若a|=6,则N22+(-1)2+m2=6,解得m=±√31，故选项B错误： 对于选项c&若(G,B)为纯角，则a·D=-8-2+44r-10<0且m~2,解得m<号且-2.故 选项C错误： 对于选 项D:a在5上的投影向量为 alcos a,6Aaa5点五细6宝.02 aa6161612 366 解得=4， 故选项D正确. 故选：D. 【点评】本题考查的知识点：向量的坐标运算，向量的夹角运算，向量的模，主要考查学生的运算能力， 属于中档题， 5.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M,N分别是A1B,B1C1上的点，且BM=2A1M,C1W=2B1N.设B=a, AC=b,AA1=C,若∠BAC=90,∠BA41=∠CM41=60,AB=AC=A41=1,则下列结论中正确的是 () A C M B B A.丽=a+5 3c B.m号 C.AB1⊥BC1 D.c0saBi,BC)日 【分析】对于A,根据向量的线性运算法则利用基底a,b,C表示即可判断，对于B,由 丽号5号，结合模的性质及数量的运年律求瓜，印可判斯，对于C,由然底下表 示AB1,BC1,计算AB1·BC,即可判断，对于D,计算|AB1I,IBC1I,利用向量夹角公式求 cos(AB1,BC1)即可判断. 【解答】解：对于A,】 丽=IA+A1C+C1N=BA1+AC+号丽 = 号（a6-丽)c号面-)号远号号C5,放4谈 对于5，出题知i1=61=G1=160,-5·号 所以112-号+6+0)2号G2+62+e22i5+2i+260号 所以而1咨故8错误： 对于C,因为AB1=忑+AA=a+C,BC=BB+BC=AA+AC-AB=C+b-a, 所以a·BC-(G*)(*6-号0-141+号分所以aE,8C不直.放c错谈， 对于D,由选项C的解析可得， AB+8,BC+6-日，ABBC 所以1B71=√a+⊙)2=片2+2+2a=5, 同理得： IBC1=V3: 所以cos(AB1,BC) ABIBC1 2 _1,故D正确， AB:BC1 3xV36 故选：D. 【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，向量的模，向量的夹角运算，主要考查学生的运算能力， 属于中档题， 6.棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是AB、CC1的中点，则点B到平面B1EF的距离为 () A. 2W19 B. 4W21 c.419 D.2V21 19 21 19 21 【分析】应用三棱锥体积公式结合等体积法计算求解. 【解答】解：如图， D B D: E B 设点B到平面B1EF的距离为h, :E,F分别是AB、CC1的中点， ∴B1F=B1E=√12+22=V5,EF=VEC2+FC2=V6, 故saB,距×V6×W5)2-5)2-2i △B,距×2号×1X2×2 因此VBB,ER=Yg-B,BE→h= 421 S△B1EF V21 21 2 故选：B. 【点评】本题考查空间中点到平面距离的求法，训练了等体积法的应用，是基础题 7.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是AC中点，点P在线段A1C1上，若直线OP与平面DAC 所成的角为0，则sin0的取值范围是() D A B B A竖，号B哈 。,10. A P 【分析】建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，A1C =入(0≤≤1)，先利用空间向量法表示 出线面角的正弦值，再结合二次函数求范围即可， 【框1：阳圆：设方妆K为1侣入0<A<1.A D C B y 以D为原点，分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系. 则 A1,0,0.c0,1,0),02,是，0) 故 A1C1=AC=(-1,1,0),A1P=(-1，入，0)， 又41,01D,则p1X1),所以0丽=（分入，入分，1）. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，可知体对角线B1D⊥平面D1AC, 所以DB1=(1,1,1)是平面D4C的一个法向量， 可得0·B=号x+入号1=1,1DE1=2+12+12=V3,10丽= 2 2)2+(入2)2+12V2a22x+是-2(2)21， 0,B1C 可得o<0丽，DBi≥1-B75×2(入2之)2+1 1 所以sm0=o<0,DBi≥5×2(X2之)2+1 所以当入之时，鱼9取得浸大白怎，当数=0成1时。血取利最小 3 3 所以eina∈停，号1. 故选：A. 【点评】本题考查线面角的正弦值的求法，属于中档题。 8.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC,BB1=√2B=√2BC,M,N分别是B1C1,A1B1的中点，则 直线BM与直线CN所成角的余弦值() A. 3W13 B.2W13 c.V⑤ D.2W5 13 13 5 15 【分析】建立空间直角坐标系，设BC=a(a>0),利用异面直线所成角的向量法求解即可. 【解答】解：如图， 2孙 B M C B A 由已知，BB1⊥底面ABC, 又BA,BCC底面ABC,所以BB1⊥BC,BB1⊥BA, 又因为AB⊥BC,所以BA,BB1,BC两两垂直， 以BA,BC,BB1为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 设BC=a(a>0),则B(0,0,0),C(0.a,0),I(0,是，V2a),N号，0，V2a), 所以=（侵-a,V2a),d=(0,是，V2a). 设直线BM与直线CN所成角为0， 则cos0=cos<Bi,CN≥|= I BM-CN I -2W13 8M1CN3。×Y13 13' 所以直线BM与直线CN所成角的余弦值为2W13 13 故选：B 【点评】本题主要考查异面直线所成角，属于中档题， 二.多选题（共3小题） (多选)9.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线B1D与平面A1BC1交于点H,则() D H D B A.直线A1B与DC所成的角为60° B.B1D⊥平面ABC1 C.BH:HD=1:3 D.H为△A1BC1的垂心 【分析】根据AB∥CD可得A1B、CD所成的角为∠A1BA或其补角，计算可判断A的正误，根据空间 垂直关系的转化可证明B1DL平面A1BC1,故可判断B的正误，根据等积法可求B1H的长度，故可判 断C的正误，根据B中的结果结合AB1=BB1=C1B1可得H为△A1BC1的中心，故可判断D的正误. 【解答】解：对于选项A,在正方体ABCD-AB1C1D1中，AB∥CD, '∠ABA或其补角即为直线A1B与DC所成的角， 由正方体可得△A1AB为等腰直角三角形，故∠A1BA=45°， 故直线A1B与DC所成的角为45°，故A选项错误： 对于选项B,如图，连接AB1 D A1 B H 由正方体可得A1B⊥AB1,AD⊥平面ABBA1, 又A1BC平面ABB1A1,.A1B⊥AD. ,AB1∩AD=A,AB1C平面ADB1,ADC平面ADB1,∴.A1B⊥平面ADB1, 而B1DC平面ADB1,.B1D⊥A1B.同理B1D⊥A1C1: 又AB∩A1C1=A1,A1Bc平面A1BC1,A1C1C平面A1BC1,∴.B1D⊥平面A1BC1,故B选项正确： 对于选项C,设正方体的棱长为a,则B1D=V3a. Ba1平省0-Ac,号×号×6W2a)2×竖BH号×分3 2 解得B32,BHD=1:2,放C选项错误 对于选项D,,B1H⊥平面A1BC1,且△A1BC1为正三角形，A1B1=BB1=C1B1, H为△A1BC1的中心，即H为△A1BC1的垂心，故D选项正确， 故选：BD 【点评】本题主要考查异面直线所成角的求法，线面垂直的判定，考查逻辑推理能力与运算求解能力， 属于中档题， (多选)10.如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以A为顶点的三条棱长均为1，且两两之间的夹角 都是60°，则下列说法中正确的是() 0 C A D A.AC=V6 B.AC1⊥DB1 C.向量B1C与AA1的夹角是120° D.BD1与AC所成角的余弦值为Y6 【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算和数量积运算，对选项中的命题进行分析判断，能求出结 果即可， 【解答】解：在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中， 其中以顶点A为端点的三条棱长均为1，且彼此夹角都是60°， 所以点2-冠2=2-1.AA丽=AA而=d西=1X1Xc060分 对于A,因为AC1=AA1+B+D, →2+2 所以AC2=(A点+品+D)2=AA2+2+D2+2AA·丽+2忑·而+2AAD =1+11+3×2×号=6， 可得AC=√6，故A正确： 对于B,因为DB1=AA1+B-AD, 且ACDB1=(AA+AB+)(A点1+B-)=1+号片+1号+片-1=2≠0， 222 222 所以AC1与DB1不垂直，即AC1⊥B1D不成立，故B错误； 对于C,BC-B,C+BB=-aA+,所以BAA=-A点2A点=1+号号 可得BC2-A点2+2-2AAr0=11-22-1,所以Bd=1, 所以e08B花，AB,C1aa B1C-AA1 1 1×12 所以向量B1C与AA1夹角是120°，故C正确： 对于D,因为BD1=AD+AA1-AB,AC=AB+D, 所以BD1·AC=(AD+AA-AB)·(品+AD) =D·E++AA·B+AA·AD-AE2-屈·A=1, 而1B丽1面+-雨)2=h+11+2×分-2x号-2×分E |C1=(思+)21+2×+1=3， BD·AC 可得cos<BD1,AC> 1=V6 IBD1I·aCIV2×V36 所以BD,与4C所成角的余弦值为V6故D错误。 6 故选：AC. 【点评】本题考查空间向量的运算性质的应用，属于中档题。 (多选)11.如图，在平行六面体ABCD-A1B1CD1中，|AB|=AD|=|AA1|=1,且 ∠A,A0=∠A,8=∠A如否为4G与aD的交点，设西云，而=5，-2.则下列结 论正确的是() D A.AC1=a+b+c C.IAC:1-V6 D.co() 【分析】由题意及空间向量基本定理，逐一判断所给命题的真假. 【解答】解：A中，在平行六面体ABCD-AB1CD1中，可得AC1=AC+CC1=B+D+AA1=a+b+C, 所以A正确： B中，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点，所以M为B1D1的中点， 可相成-BB+B重=AA+号D=A点而=AA号(-西)=8+c所以B不正 确； C车，因为丽1=而1=1-1，且∠A,D=∠A=∠BAD受 W得而=店4A点-冠A6-aA号号 由A选项可得aC=+++26+2+26-8=111+2号2+2号-6， 2 可得AC=√6，所以C正确： D中，因为aC-(a6+⊙-B+648-1+号2， AB·AC 防以运AC平园c1X店m以D正确， 故选：ACD 【点评】本题考查空间向量的运算性质的应用，属于基础题. 三.填空题（共3小题） 12.已知向量D以[a,b,c}为基底时的坐标为(2，-3,2)，则p以a-2b,a+b,a+c}为基底 时的坐标为（1，-1,2)一· 【分析】首先根据向量p以，b,c}为基底时的坐标，得到p关于a,b,C的表达式，然后设p以 [a-2b,a+b,a+C]为基底时的坐标为(x,,),得到p关于a-2b,a+b,a+c的表达式，最 后通过向量相等建立方程组，求解方程组得到x,y,z的值，即为所求坐标. 【解答】解：由题意知：p=2a-3b+2c, 设向量在新基底a-2b,a+b,a+C)下的坐标为(x,y,z), x (a-2b)+y (a+b)+z(a+c)=2a-3b+2c, (x+y+z)a+(y-2x)b+zc=2a-3b+2c: x+y+z=2 x=1 则y-2x=-3,解得y=-1, z=2 (z=2 所以p以[a-2b,a+b,a+c}为基底时的坐标为(1，-1,2)· 故答案为：(1，-1,2) 【点评】本题考查的知识点：向量的坐标运算，主要考查学生的运算能力，属于基础题. 13.在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,底面ABCD是边长为1的正方形，AP=2,则直线PB与平 面PCD所成角的正弦值为气 【分析】由线面垂直得到线线垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面PCD的法向量， 利用线面角的正弦向量夹角公式进行求解 【解答】解：因为PA⊥底面ABCD,AB,ADc平面ABCD, 所以PALAB,PALAD, 又底面ABCD是边长为1的正方形， 所以AB⊥AD, 以A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系， AP=2,故P(0,0,2),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0), ZA 设平面PCD的法向量为m=(x,y,z), 则 mLPC mPC=(x,y,z)(1,1,-2)=x+y-2z=0 则 m⊥而 mP币=(x,y,z)(0,1,-2)=y-22=0 解得x=0,令z=1,则y=2,故m=(0,2,1), B=(1,0,-2) PB与平面PCD的夹角正弦值为 1Bm(1,0,-2)·(0,2,1)12 PBIIml √1+4×√4+1 5 故答案为： 【点评】本题考查向量法的应用，属于基础题， 14.在三棱锥P-ABC中，点P到平面ABC的距离为6，点D,E为边PA,PB的中点，且△CDE为正三 角形，若CA=CB=2DB,则点P到平面CDE的距离为6· 【分行】根据三楼维的休积公式及aE一6-Bc求解回可。 【解答】解：作出示意图如下： 因为点D,E为边PA,PB的中点，所以2DE=AB, 所以AB=CA=CB, 所以△ABC也为正三角形，且边长为△CDE的两倍，面积是四倍， 设△CDE的面积为S,则△ABC的面积为4S. 所以三棱锥P-4BC的体积为V=是×4S×6=8S, 3 设点P到平面CDE的距离为h, 厕三棱锥P-CDB的体积为LE5XSXh中 3 所以三棱锥C,PDR的体积也为Y,, 又D,E为边PA,PB的中点， 所以△PDB∽△BH,相似比为分面积比为 9 所以三枝锥C-PDB与三棱锥C-PAB的体积之比为 1 即h=6. 故答案为：6. 【点评】本题考查几何体的体积问题的求解，属中档题. 四.解答题（共4小题) 15.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，AD∥BC,AD=2,AB=BC=1,△PAD为等边 三角形，M为PA的中点，且平面PAD⊥平面ABCD,PD⊥AB. (1)证明：DM⊥平面PAB: (2)求直线PC与平面MCD所成角的正弦值 B 16.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，四边形ADPQ是梯形，PD>AQ,PD∥OA,PD⊥ 平面ABCD,且AD=2AQ=2,PD=2. (1)求证：QB∥平面PDC; (2)求平面PBC与平面PQB夹角的余弦值. D B 【分析】(1)取PD中点E,连接QE,EC,可证四边形QADE为平行四边形，可得QB∥EC,可证结 论； (2)以D为原点，分别以DA,DC,DP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面 PBC与平面PBQ的一个法向量，再根据二面角的余弦公式求解即可. 【解答】(1)证明：取PD中点E,连接OE,EC, E D B AD=2QA=2,PD=2,点E为PD中点，AQ=DE=1, 又PD∥QA,∴.四边形QADE为平行四边形， .OE∥AD,QE=AD,ABCD为正方形， AD∥BC,AD=BC,∴.QE∥BC,QE=BC, ∴.四边形QEBC为平行四边形，QB∥EC, 又QBt平面PDC,ECc平面PDC,∴.QB∥平面PDC (2)解：以D为原点，分别以DA,DC,DP所在直线为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系， D B 可得P(0,0,2),B(2,2,0),C(0,2,0),9(2,0,1), 则PB=(2,2,-2),PC=(0,2,-2),P0=(2,0,-1), 设平面PBC的法向量为m=(x1,y1,z1）, 则 m*PB=0 mPC=0 2x1+2y1-2z1=0 即 2y1-2z1=0 ,令y1=1,则x1=0,21=1,所以m=(0,1,1), 设平面PBQ的法向量为n=（x2,y2,z2）, nPB=2x2+2y2-2z2=0 则 np0=2x222-0 令x2=1,则z3=2,y2=1,所以n=(1,1,2), 则cos<m,n>=,mn 3V3 mlnv2×√62 所以平面PBC与平面PBQ所成角的余弦值为3 2 【点评】本题考查了线面平行的判定定理，重点考查了利用向量法求二面角的大小，属中档题 17.如图，在棱长为2的正方体OABC-OA'B'C中，E,F分别是棱AB,BC上的动点，且AE=BF. (1)求证：A'F⊥CE: (2)当E为AB的中点时，求AF与BE所成角的余弦值： (3)当三棱锥B-BEF的体积取得最大值时，求平面B'EF与平面BEF的夹角正切值 B B E 【分析】(1)构建空间直角坐标系，应用向量法证明线线垂直； (2)应用向量法求线线角的余弦值： (3)根据三棱锥的体积公式求体积最大时对应BF的长度，再利用面面角的向量法求余弦值，从而求 得正切值。 【解答】解：(1)证明：以C为坐标原点，CO,CB,CC所在直线为x,y,z轴建立如图所示的空间 直角坐标系， ZA C 设AE=BF=,mE[0,2],因为正方体的棱长为2， 可得A（2,2,0),B(0,2,0),A(2,2,2),B(0,2,2),C(0,0,2),E(2-m,2, 0),F(0,2-m,0), A'F=(-2,-m,-2),C'E=(2-m,2,-2), AF-C'E=-2(2-m)-2m+4=0 故AP⊥CE得证. (2)当E为AB的中点时，E(1,2,0),F(0,1,0), A'F=(-2,-1,-2),B'E=(1,0,-2), A'F.B’E=-2+0+4=2: |A'F|=V4+1+4=3,1B'E|=√1+0+4=V5, 设47与BE所成角为0，则c0s6=|c0s(A下，B'重》1=F,BEL。225 1A'F1B'E13W515 8)g片9aEB号aE 当三棱锥B'-BEF的体积取得最大值时，即SAB驱F取得最大值， SABEF BEBF=-(m-1)2+1 2 2 当m=1时，S取得最大伯号 故E(1,2,0),F(0,1,0),BE=(1,0,-2),EF=(-1,-1,0) h~B'E=0m∫x-2z=0 设平面BEF的法向量为n=(x,y,z),则 ，即 n-EF=0 (-x-y=0 令x=2得y=-2,z=1,故n=(2,-2,1), 易知平面BEF的一个法向量为m=(0,0,1), 设平面BEF与平面BEF的夹角为B cosB=Icos(m,-mn1 |m11n13 故sinB=2W 2,tanB-sing-2V2. 3 cosB 故平面BEF与平面BEF的夹角正切值为2V2 【点评】本题考查空间向量法求解二面角及两平面的夹角，属于难题， 18.已知四边形QBCD为直角梯形，其中CD∥QB,BC⊥CD,BC=CD,DA⊥QB,A为垂足（如图I).将 △QAD沿AD折起，使点Q移至点P的位置，得到四棱锥P-ABCD(如图2)，且满足PA⊥AB,点 E,F分别为PB,PD的中点. (1)证明：平面PAC⊥平面AEF; (2)若PC⊥平面AEF,试问：棱CD上是否存在一点M,使得直线PM与平面AEF所成角的正弦值 为巨，若存在，求出”的值：若不存在，请说明理由。 3 CD y D E D ⊙ C B 图1 图2 【分析】(1)根据折叠前后的线线垂直关系结合线面垂直判定定理可得PA⊥面ABCD,从而得PA⊥BD, PA⊥EF,再根据线面垂直的判定定理得EF⊥面PAC,从而得面AEF⊥面PAC: (2)分别以AB,AD,AP作为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系，根据空间向量的坐标运算求 解平面AEF的法向量，设DM=b(O≤b≤2)，从而得直线PM的方向向量，再根据直线与平面所成角 的正弦值与空间向量的坐标关系计算即可得结论 【解答】解：(1)证明：由题知，OALAD即PALAD,且PALAB, 因为AB,ADC面ABCD,AB∩AD=A, 所以PA⊥面ABCD,因为BDC面ABCD,所以PA⊥BD, 又由E,F是所在棱的中点，得EF∥BD,所以PA⊥EF: 易知四边形ABCD是正方形，可知BDLAC,所以AC⊥EF; 又由PA∩AC=A,且PA,ACc面PAC,所以EF⊥面PAC, 因为EFC面AEF,所以面AEF⊥面PAC; (2)由PALAD,PA⊥AB,AB⊥AD知，可以分别以AB,AD,AP为x,y,z轴的正方向建立如图所 示空间直角坐标系， 孙 E Ak BL 不妨记AB=AD=2,设PA=2a, 可得A(0,0,0),E(1,0,a),F(0,1,a),P(0,0,2a),C(2,2,0), 则AE=(1,0,a),PC=(2,2,-2a), 因为PCC面AEF,EFC面AEF,所以PC LEF, 故PCA正=2-2a2=0,解得a=1,即PA=2: E=(1,0,1),AF=(0,1,1), 记平面AEF的法向量为n=(x1,y1,z1),可得 x1+z1=0 y1+210取1=1得 x1=-1 1-1即i=(-1,-1,1: 假设棱CD上是否存在一点M,使得直线PM与平面AEF所成角的正弦值为 2W2 设DM=b(0<bs2),则M(b,2,0),PH=(b,2,-2), 2W2-b-4L 由题知33Vb2+8 解得专载或4（会去），即D号所以哈品是 CD 5 【点评】本题主要考查面面垂直的判定，直线与平面所成角的求法，考查运算求解能力，属于中档题.