精品解析：河南省周口市重点高中2025-2026学年高二上学期1月测评数学试题

高二年级1月测评 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在空间直角坐标系中，点与点关于（ ） A. 轴对称 B. 轴对称 C. 平面对称 D. 平面对称 2. 点与点是直线上的两个不同的点，则（ ） A. B. C. 1 D. -1 3. 已知数列满足，则（ ） A. 9 B. 11 C. 18 D. 29 4. 若椭圆焦点在轴上，长轴长是焦距的3倍，且经过点，则椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，当取最小值时，点到直线的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6. 已知为等比数列的前项和，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，，点在双曲线的右支上，且成等差数列，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 3 8. 如图，在三棱锥中，两两垂直，,在棱上，在棱上，在棱上，且，平面平面，点为线段上的一个动点（不包括端点），则（ ） A. 4 B. 2 C. 3 D. 不确定 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线和圆，则（ ） A. 若直线和圆相切，则 B. 若直线被圆所截得弦长为2，则 C. 若圆上的点到直线的距离的最小值为1，则 D. 若，圆上存在四个点到直线的距离为1 10. 在空间直角坐标系中，已知，则（ ） A. B. 与平行且模为的向量的坐标为或 C. 与夹角的余弦值为 D. 在上投影向量的坐标为 11. 在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，过且倾斜角为的直线与椭圆交于两点，其中点在轴下方，直线交椭圆于另一点，连接，则（ ） A. B. C. D. 点到直线与的距离相等 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线与直线平行，则___________． 13. 已知双曲线的左、右焦点分别为，若点关于其中一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线的标准方程为___________． 14. 已知各项均为正数的等差数列的前项和为，且满足，数列是等差数列，则___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知数列满足，． （1）求证：数列为等比数列； （2）求数列的前项和． 16. 已知圆经过点． （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求该切线方程． 17. 如图，是正四棱柱被平面所截得的几何体，． （1）证明：四边形是菱形； （2）求平面和平面的夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 18. 在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，直线：，直线与抛物线交于两点，点到直线的距离的最大值为． （1）求抛物线的方程； （2）若线段的中点为，求； （3）若抛物线在点，处的切线相交于点，求点的轨迹方程． 19. 已知数列满足；数列的前项和为，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的通项公式； （3）已知，记的前项和为，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级1月测评 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在空间直角坐标系中，点与点关于（ ） A. 轴对称 B. 轴对称 C. 平面对称 D. 平面对称 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间两点关于坐标平面对称的特点，若两点关于平面对称，则它们的坐标和坐标相同，坐标互为相反数。观察已知两点坐标可得，它们的坐标和坐标相同，坐标互为相反数，故两点关于平面对称。 【详解】点与点关于平面对称， 故选：D． 2. 点与点是直线上的两个不同的点，则（ ） A. B. C. 1 D. -1 【答案】A 【解析】 【分析】根据斜率公式即可求解. 【详解】因为表示直线的斜率，即直线的斜率，又因为直线的斜率，所以， 故选：A． 3. 已知数列满足，则（ ） A. 9 B. 11 C. 18 D. 29 【答案】B 【解析】 【分析】根据数列的递推公式求出相关项，再计算即得. 【详解】因为，且， 所以， 则. 故选：B． 4. 若椭圆焦点在轴上，长轴长是焦距的3倍，且经过点，则椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的几何性质即可求解. 【详解】因为椭圆的长轴长是焦距的3倍，所以，即， 又因为经过点，且焦点在轴上，所以，， 所以，所以椭圆的标准方程为：， 故选:C． 5. 已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，当取最小值时，点到直线的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】点在抛物线的内部，要求的最小值，利用抛物线的定义，过点直接作准线的垂线，求出与抛物线的交点，再利用点到直线距离求解. 【详解】抛物线的焦点为，准线， 点在抛物线的内部，因为点是抛物线上一点， 所以等于点到准线的距离，过点向准线作垂线，交抛物线于点，即当点移动到时，取最小值，即， 则点到直线的距离， 故选：B． 6. 已知为等比数列的前项和，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据的关系可得，由等比数列的性质可得公比，即可求解. 【详解】因为①，当时，②， ①-②得：，因为是等比数列， 设公比为，所以，因为， 所以，解得； 当时，，即， 所以，又因为， 所以，解得，所以， 故选：A． 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，，点在双曲线的右支上，且成等差数列，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】因为，因为点在双曲线的右支上， 所以， 因为成等差数列， 设公差为，则，所以， 所以，即成等差数列，且公差， 所以，即， 所以双曲线的离心率（或者：因为成等差数列，所以，即，即，所以双曲线的离心率）. 故选：B. 8. 如图，在三棱锥中，两两垂直，,在棱上，在棱上，在棱上，且，平面平面，点为线段上的一个动点（不包括端点），则（ ） A. 4 B. 2 C. 3 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量共面，可得，即可根据数量积的运算律求解. 【详解】因为点在平面内，所以， 又因为 所以； 又因为点在平面内， 所以， 因为， 所以， 由空间向量基本定理得：， 解得，即， 所以， 因为两两垂直， 所以， 所以， 故选:B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线和圆，则（ ） A. 若直线和圆相切，则 B. 若直线被圆所截得弦长为2，则 C. 若圆上的点到直线的距离的最小值为1，则 D. 若，圆上存在四个点到直线的距离为1 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据圆心到直线的距离，结合相切即可求解A，根据弦长公式即可求解B，根据圆的几何性质即可求解CD. 【详解】圆，所以圆心，半径为，则圆心到直线的距离． 对A，若直线和圆相切，则，所以，所以A正确； 对B，若直线被圆所截得弦长为2，则，所以，所以B错误； 对C，若圆上的点到直线的距离的最小值为1，则直线与圆相离，所以，所以，所以C正确； 对D，若上存在四个点到直线的距离为1，则有，即，所以选项D正确． 故选:ACD． 10. 在空间直角坐标系中，已知，则（ ） A. B. 与平行且模为的向量的坐标为或 C. 与夹角的余弦值为 D. 在上投影向量的坐标为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算即可求解AB，根据夹角公式以及投影向量的计算公式即可求解CD. 【详解】对A， 因为，所以A错误； 对B，因为，所以，因为所求的向量与平行，且模为， 所以所求的向量为：或，即所求向量坐标为或，所以B正确； 对C，又因为， 所以与夹角的余弦值为，所以C错误； 对D在上投影向量为：，所以选项D正确． 故选：BD． 11. 在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，过且倾斜角为的直线与椭圆交于两点，其中点在轴下方，直线交椭圆于另一点，连接，则（ ） A. B. C. D. 点到直线与的距离相等 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据椭圆的对称性以及椭圆定义即可求解A，联立直线与椭圆的方程，可求解交点坐标，即可根据点的坐标，求解BCD. 【详解】，所以． 对A，设为椭圆的左焦点，因为点关于原点对称，所以， 所以，所以选项A正确； 因为直线过，且倾斜角为，所以直线的方程为：，与椭圆的方程联立，得：，解得， 又因为点在轴下方，所以，则． 对B，因为点与的横坐标相同，所以，所以选项B正确； 对C，（或者：）， 所以，所以选项C错误； 对D， 所以，即， 所以为的角平分线，所以点到直线与的距离相等，所以选项D正确． 故选:ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线与直线平行，则___________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据平行满足的系数关系即可列比例式. 【详解】由题意得，解得． 故答案为：2 13. 已知双曲线的左、右焦点分别为，若点关于其中一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线的标准方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用双曲线的渐近线的对称性和题设条件可推得渐近线的倾斜角为，即得，结合求出即得双曲线的方程. 【详解】设双曲线的标准方程为：，如图， 设关于渐近线的对称点为，且点在渐近线上， 连接，与渐近线交于点，则点为线段的中点， ，（其中点为坐标原点）， 再由两渐近线关于轴对称可得：， 即，又， 所以，即渐近线的倾斜角为，， 又因，联立解得， 所以双曲线的标准方程为：． 故答案为：． 14. 已知各项均为正数的等差数列的前项和为，且满足，数列是等差数列，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题中条件和等差数列的性质可得，即可根据是等差数列，得求解. 【详解】设等差数列的公差为，因为， 所以， 即， 化简得：， 即， 又因为，所以，解得， 则， 又因为数列是等差数列， 所以，即， 所以． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知数列满足，． （1）求证：数列为等比数列； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的定义，结合递推关系即可求证， （2）根据分组求和，结合等差等比数列求和公式即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以数列是等比数列； 【小问2详解】 因为，由（1）知，数列是以1为首项，3为公比的等比数列， 所以，即， 所以 . 16. 已知圆经过点． （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求该切线方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）方法一：利用待定系数法，将点代入，联立方程求解即可， 方法二：根据斜率公式可得，进而得圆是以为直径的圆，即可求解， （2）设直线方程，根据点到直线的距离即可求解. 【小问1详解】 方法一（待定系数法）：设圆的方程为：， 因为过点，代入 得：，解得：， 所以圆的方程为：， 则圆的标准方程为：； 方法二：因为， 即，所以， 所以圆是以为直径的圆， 则圆心，半径， 所以圆的标准方程为：； 【小问2详解】 当切线的斜率存在时，因为过点，故设切线方程为：， 即， 因为与圆相切，所以，解得， 则切线方程为：，即； 当切线的斜率不存在时，又因为过点，所以直线为：， 圆心到直线的距离为5，满足题意. 综上，切线方程为：或. 17. 如图，是正四棱柱被平面所截得的几何体，． （1）证明：四边形是菱形； （2）求平面和平面的夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）2 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据面面平行的性质可先证明四边形为平行四边形，进而根据向量相等求解的坐标，进而根据向量垂直的坐标关系证明垂直得解， （2）求解两个平面的法向量，即可根据向量的夹角公式求解， （3）求解平面的法向量，根据点到平面的距离公式求解. 【小问1详解】 分别以为轴建立空间直角坐标系， 则. 因为几何体是平面截正四棱柱所得， 所以平面，平面平面， 平面平面， 所以， 同理，所以四边形为平行四边形； 设，因为，因为， 所以，解得，即， 所以，则， 所以，即， 所以四边形为菱形. 【小问2详解】 ，设平面的法向量， 由，得， 令，则， 所以； 由题意知，平面的法向量， 设平面和平面的夹角为， 则， 所以平面和平面的夹角的余弦值为； 【小问3详解】 ， 设平面的法向量为， 由，得，令，则，则 ，设点到平面的距离为， 则， 所以点到平面的距离为2. 18. 在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，直线：，直线与抛物线交于两点，点到直线的距离的最大值为． （1）求抛物线的方程； （2）若线段的中点为，求； （3）若抛物线在点，处的切线相交于点，求点的轨迹方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出直线过的定点，再结合点到直线的距离的最大值即可求出； （2）联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理得到，再利用弦长公式即可； （3）先得到抛物线在点和点B处的切线方程，联立得到点M的坐标，再消参得到轨迹方程. 【小问1详解】 抛物线的焦点， 因为直线过定点，设点到直线的距离为，所以， 当且仅当时等号成立，即点到直线的距离的最大值为， 又因为点到直线的距离的最大值为，即， 所以，解得或， 又因为，所以， 则抛物线的方程为：； 【小问2详解】 将直线的方程：，与抛物线的方程为：联立， 得：，即0， 设，则， 因为线段的中点为， 所以， 所以，即，即， 则， 所以； 【小问3详解】 因为点在抛物线上，所以，即， 因为抛物线在点处的切线的斜率一定存在， 所以设抛物线在点处的切线为：， 将其与抛物线的方程：联立，得：， 因为相切，所以， 化简得：，即，解得， 所以抛物线在点处的切线为：，即， 同理，抛物线在点处的切线为：， 联立，得， 又因为， 所以，即， 设，则，消去得：， 所以点的轨迹方程为：. 19. 已知数列满足；数列的前项和为，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的通项公式； （3）已知，记的前项和为，求证：． 【答案】（1） （2） （3） ， 所以， 令，则， 当时，， 所以，即， 所以数列从第2项起是单调递增数列， 所以当时，， 又因为，所以，即，所以， 综上，. 【解析】 【分析】（1）根据累加法即可求解， （2）根据的关系，结合等差数列的性质即可求解， （3）根据裂项相消法求和可证，利用数列的单调性，结合裂项相消求和可求证. 【小问1详解】 因为，所以， 所以当时， 因为，所以对也成立， 综上，所以. 【小问2详解】 因为①， 所以当时，②， ①-②得：，即， 因为，且，所以，即， 所以数列奇数项与偶数项分别为等差数列，且公差为4， 当时，，因为，所以，则， 所以数列为等差数列， 且首项，公差，所以； （或者：当为奇数时，；当为偶数时，，所以） 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $