专题1.1 多项式的因式分解（举一反三讲义）数学新教材湘教版八年级上册

本讲义聚焦初中数学多项式的因式分解核心知识点，系统梳理因式定义、因式分解定义及拓展要点，明确其针对多项式、结果为整式积、需分解到不能再分的特性，搭建与整式乘法互逆变形的学习支架，帮助学生构建知识脉络。 该资料亮点在于题型丰富，涵盖判断、求参数、图形剪拼等6大题型，通过图形剪拼题（如用长方形面积验证因式分解）培养几何直观（数学眼光），借助错看问题求参数等训练推理意识（数学思维），课中辅助教师系统授课，课后变式练习助力学生巩固提升，有效查漏补缺。

专题1.1 多项式的因式分解（举一反三讲义） 【新教材湘教版】 题型归纳 【题型1 判断是否是因式分解】 1 【题型2 判断因式分解是否正确】 2 【题型3 多项式的因式】 2 【题型4 因式分解与整式乘法互逆变形求参数】 3 【题型5 因式分解与错看与遮挡问题求参数】 3 【题型6 图形剪拼探究因式分解与整式乘法关系】 3 考点 因式分解的意义 知识点 因式分解 1.因式的定义：一般地，如果一个多项式可以表示成若干个整式的乘积，那么其中的每个整式都叫作这个多项式的因式。 2.因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式． 3.拓展：（1）因式分解是针对多项式而言的，一个单项式本身就是数与字母的积，不需要再分解因式； （2）因式分解的结果是整式的积的形式，积中几个相同因式的积要写成幂的形式； （3）因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止； （4）因式分解与整式乘法是方向相反的变形，二者不是互为逆运算．因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算． 【题型1 判断是否是因式分解】 【例1】（25-26八年级下·江苏南京·期末）下列从左到右的变形中是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】在中，从左到右的变形是_______，从右到左的变形是_______． 【变式1-2】（25-26八年级下·四川成都·期中）下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26八年级上·北京西城·阶段检测）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是________．（填序号） ①；②；③；④． 【题型2 判断因式分解是否正确】 【例2】（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）下列多项式分解因式正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025八年级上·全国·专题练习）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型3 多项式的因式】 【例3】已知多项式 可以分解因式，一个因式是，则另一个因式为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26八年级上·湖南娄底·阶段检测）如果是的一个因式，则的值为______． 【变式3-2】若多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个一次因式为，则a的值为（    ） A． B．5 C．1 D． 【变式3-3】设（m、n为整数）既是多项式的因式，又是多项式的因式，则_________. 【题型4 因式分解与整式乘法互逆变形求参数】 【例4】（25-26八年级下·四川成都·期中）关于的二次三项式因式分解的结果是，则______． 【变式4-1】（2026·广东佛山·二模）若，则__________． 【变式4-2】（25-26八年级下·山东青岛·阶段检测）若将多项式因式分解得，则的值为______． 【变式4-3】（25-26七年级上·上海·期中）已知关于x的整式，其中a、b为整数，能使这个因式分解过程成立的m的值共有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 【题型5 因式分解与错看与遮挡问题求参数】 【例5】（25-26八年级上·全国·单元测试）因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果是，那么因式分解的正确结果为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26八年级下·四川成都·期末）因式分解时，甲看错了m的值，分解的结果是，乙看错了n的值，分解的结果是．则分解因式的正确结果______． 【变式5-2】小明看到了这样一道被墨水污染的因式分解题：，（其中、代表两个被污染的系数），则_______，_______． 【变式5-3】（25-26八年级下·辽宁丹东·期中）马小虎同学做了一道因式分解的习题，做完之后，不小心让墨水把等式中的两个数字盖住了，此时该等式为 那么式子中的，处对应的两个数字分别是（    ） A．64和8 B．24和3 C．16和2 D．8和1 【题型6 图形剪拼探究因式分解与整式乘法关系】 【例6】对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个等式，例如图①可以得到用完全平方公式进行因式分解的等式a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2，如图②是由4个长方形拼成的一个大的长方形，用不同的方式表示此长方形的面积，由此不能得到的因式分解的等式是（    ） A．a（m＋n）＋b（m＋n）＝（a＋b）（m＋n） B．m（a＋b）＋n（a＋b）＝（a＋b）（m＋n） C．am＋bm＋an＋bn＝（a＋b）（m＋n） D．ab＋mn＋am＋bn＝（a＋b）（m＋n） 【变式6-1】（江苏省无锡市2025-2026学年八年级下学期期末考试数学试题）如图，将两张边长为的正方形纸片和两张长、宽分别为，的矩形纸片拼成一个大的矩形．该过程所揭示的关于因式分解的等式是（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】将下列四个图形拼成一个大长方形，据此写出一个将多项式因式分解的等式为______． 【变式6-3】（25-26八年级下·辽宁锦州·期中）小颖利用两种不同的方法计算下面图形的面积，并据此写出了一个因式分解的等式，此等式是______ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1 多项式的因式分解（举一反三讲义） 【新教材湘教版】 题型归纳 【题型1 判断是否是因式分解】 1 【题型2 判断因式分解是否正确】 3 【题型3 多项式的因式】 4 【题型4 因式分解与整式乘法互逆变形求参数】 6 【题型5 因式分解与错看与遮挡问题求参数】 8 【题型6 图形剪拼探究因式分解与整式乘法关系】 9 考点 因式分解的意义 知识点 因式分解 1.因式的定义：一般地，如果一个多项式可以表示成若干个整式的乘积，那么其中的每个整式都叫作这个多项式的因式。 2.因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式． 3.拓展：（1）因式分解是针对多项式而言的，一个单项式本身就是数与字母的积，不需要再分解因式； （2）因式分解的结果是整式的积的形式，积中几个相同因式的积要写成幂的形式； （3）因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止； （4）因式分解与整式乘法是方向相反的变形，二者不是互为逆运算．因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算． 【题型1 判断是否是因式分解】 【例1】（25-26八年级下·江苏南京·期末）下列从左到右的变形中是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因式分解是把一个多项式化为几个整式乘积的形式，根据定义逐一判断选项即可得到答案． 【详解】根据因式分解的定义，变形后等式右边需为几个整式的乘积形式，逐一判断： A．等式右边为，是和的形式，不是乘积形式，∴ A不是因式分解； B．变形是从整式乘积得到多项式，属于整式乘法，右边不是乘积形式，∴ B不是因式分解； C．变形是整式乘法，右边是和的形式，不是乘积形式，∴ C不是因式分解； D．左边是多项式，右边是两个整式的乘积形式，符合因式分解的定义，∴ D是因式分解． 故选：D． 【变式1-1】在中，从左到右的变形是_______，从右到左的变形是_______． 【答案】 整式乘法 因式分解 【分析】此题主要是考查了因式分解的意义，根据因式分解的定义、整式乘法的定义和平方差公式进行求解，紧扣因式分解的定义是解题的关键． 【详解】解：在中，从左到右的变形是整式乘法，从右到左的变形是因式分解， 故答案为：整式乘法，因式分解． 【变式1-2】（25-26八年级下·四川成都·期中）下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形就是因式分解，据此逐项判断即可． 【详解】解：、选项中是整式乘法运算，结果是和的形式，不是因式分解，故不符合题意； 、选项中左边是单项式，不是多项式，不是因式分解，故不符合题意； 、选项等式右边不是积的形式，是差的形式，不是因式分解，故不符合题意； 、选项中，将多项式化为两个整式的积，是因式分解，符合题意． 【变式1-3】（25-26八年级上·北京西城·阶段检测）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是________．（填序号） ①；②；③；④． 【答案】③ 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键． 根据因式分解的概念：将多项式写成几个整式积的形式，依据此对各个选项进行分析即可求出答案． 【详解】解：选项①是整式乘法，不是因式分解； 选项②右边不是积的形式，不是因式分解； 选项③左边是多项式，右边是整式的积，是因式分解； 选项④右边含有分式，不是整式，不是因式分解； 故答案为③． 【题型2 判断因式分解是否正确】 【例2】（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解的定义，即把多项式化为几个整式乘积的形式，结合提公因式法，平方差公式对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A、，选项错误； B、因式分解的结果需为几个整式的乘积，选项结果是和差形式，且正确分解结果为，选项错误； C、因式分解要求每个因式都必须是整式，选项结果中是分式，不是整式，选项错误； D、，选项正确． 【变式2-1】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）下列多项式分解因式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的定义，因式分解是将多项式化为几个整式的乘积形式，掌握因式分解的定义是解本题的关键． 根据因式分解的定义和公式判断每个选项即可． 【详解】选项A：，故A错误； 选项B：，，故B错误； 选项C：，不是乘积形式，故C错误； 选项D：，是提取公因式，正确； 故选：D． 【变式2-2】（2025八年级上·全国·专题练习）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的理解，根据其定义及理解即可解． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，符合题意； D、右边不是积的形式，不符合题意． 故答案为：C． 【变式2-3】（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解，逐一验证各选项因式分解的正确性，包括等式是否成立及是否分解彻底． 【详解】解：选项A: ，右边展开为，与左边相差，故A错误； 选项B: ，等式成立，但可继续分解为 ，分解不彻底，故B错误； 选项C: ，右边展开为，与左边相等，且为完全平方式，故C正确； 选项D: ，右边展开为，与左边不符，应为，故D错误． 故选：C． 【题型3 多项式的因式】 【例3】已知多项式 可以分解因式，一个因式是，则另一个因式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查因式分解，涉及整式乘法等，根据四个选项，逐项代入，利用多项式乘法运算化简验证即可得到答案，熟练掌握多项式乘以多项式及因式分解定义是解决问题的关键． 【详解】解：A、由可知多项式 可以分解因式，一个因式是，则另一个因式为，符合题意； B、由可知多项式 不能因式分解为一个因式是，则另一个因式为，不符合题意； C、由可知多项式 不能因式分解为一个因式是，则另一个因式为，不符合题意； D、由可知多项式 不能因式分解为一个因式是，则另一个因式为，不符合题意； 故选：A． 【变式3-1】（25-26八年级上·湖南娄底·阶段检测）如果是的一个因式，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查因式分解的概念，熟练掌握因式分解的概念是解题的关键． 根据是的一个因式，可得当时，代数式，把代入，求解即可． 【详解】∵是的一个因式， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3-2】若多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个一次因式为，则a的值为（    ） A． B．5 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查的是因式分解的应用，整式乘法与因式分解的关系，理解题意得出多项式的另一个因式为是解本题的关键． 【详解】解：设， 则， ∴， 解得：， 故选C． 【变式3-3】设（m、n为整数）既是多项式的因式，又是多项式的因式，则_________. 【答案】 【分析】对两个多项式进行因式分解，找出它们的公因式即可. 【详解】解：由于f(x)=x2+mx+n,既是多项式x4+6x2+25的因式,又是多项式 3x4+4x2+28x+5的因式, ∴f(x)必是后面两个多项式的公因式. 而x4+6x2+25=(x2+5)2-(2x)2=(x2+2x+5)(x2-2x+5) 3x4+4x2+28x+5=3x2(x2-2x+5)+6x(x2-2x+5)+(x2-2x+5) =(x2-2x+5)(3x2+6x+1). ∴f(x)=x2-2x+5 故答案为 【点睛】考查因式分解以及有理数的乘方，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键. 【题型4 因式分解与整式乘法互逆变形求参数】 【例4】（25-26八年级下·四川成都·期中）关于的二次三项式因式分解的结果是，则______． 【答案】1 【分析】根据因式分解的定义，展开因式分解后的多项式，对比对应项的系数即可求解． 【详解】解：∵， ∴由题意得，， ∴． 【变式4-1】（2026·广东佛山·二模）若，则__________． 【答案】0 【分析】利用多项式乘多项式法则展开等式右侧，根据多项式相等则对应项系数相等，即可求出的值． 【详解】解：∵，又， ∴， ∴． 【变式4-2】（25-26八年级下·山东青岛·阶段检测）若将多项式因式分解得，则的值为______． 【答案】 【分析】先展开因式分解后的多项式，利用多项式相等时对应项系数相等求出和的值，再计算的值． 【详解】解：∵， ∴， ， 解得， ． 【变式4-3】（25-26七年级上·上海·期中）已知关于x的整式，其中a、b为整数，能使这个因式分解过程成立的m的值共有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键． 由因式分解形式可得a和b是整数且，列出所有整数因子对，计算每对的值，得到不同的m值个数． 【详解】解：， 则，， 由于a、b为整数， 则所有整数因子对满足有：、、、、、、、， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 则不同的m值为5、7、、，共4个， 故选：B． 【题型5 因式分解与错看与遮挡问题求参数】 【例5】（25-26八年级上·全国·单元测试）因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果是，那么因式分解的正确结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解，需从错误结果中提取正确参数是解题的关键．甲看错了，但正确；乙看错了，但正确，从甲的分解结果求出的值，从乙的分解结果求出的值，得到正确多项式后再因式分解即可． 【详解】解：甲看错了的值，分解的结果是， 正确，， 乙看错了的值，分解的结果是， 正确，， 正确多项式为， 因式分解得． 故选：A． 【变式5-1】（25-26八年级下·四川成都·期末）因式分解时，甲看错了m的值，分解的结果是，乙看错了n的值，分解的结果是．则分解因式的正确结果______． 【答案】 【分析】根据看错的分解结果，分别提取出正确的的值代入，再分解即可． 【详解】解：甲分解结果，甲看错，故； 乙分解结果，乙看错，故． 则原式为，分解为． 【变式5-2】小明看到了这样一道被墨水污染的因式分解题：，（其中、代表两个被污染的系数），则_______，_______． 【答案】 －1 －3 【分析】利用整式乘法和因式分解的关系进行分析求解 【详解】由题意得，－6＝2，2＋， 解得：－3，－1， 故答案为：－1；－3． 【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解与整式乘法是恒等变形是关键． 【变式5-3】（25-26八年级下·辽宁丹东·期中）马小虎同学做了一道因式分解的习题，做完之后，不小心让墨水把等式中的两个数字盖住了，此时该等式为 那么式子中的，处对应的两个数字分别是（    ） A．64和8 B．24和3 C．16和2 D．8和1 【答案】C 【分析】通过展开等式右侧乘积，对比左右两边即可求出被盖住的数字． 【详解】设，，则， ， ， 解得， 所以式子中的，处对应的两个数字分别是16和2． 【题型6 图形剪拼探究因式分解与整式乘法关系】 【例6】对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个等式，例如图①可以得到用完全平方公式进行因式分解的等式a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2，如图②是由4个长方形拼成的一个大的长方形，用不同的方式表示此长方形的面积，由此不能得到的因式分解的等式是（    ） A．a（m＋n）＋b（m＋n）＝（a＋b）（m＋n） B．m（a＋b）＋n（a＋b）＝（a＋b）（m＋n） C．am＋bm＋an＋bn＝（a＋b）（m＋n） D．ab＋mn＋am＋bn＝（a＋b）（m＋n） 【答案】D 【分析】由面积的和差关系以及S长方形ABCD＝（a+b）（m+n）求解即可 【详解】解：如图②，S长方形ABCD＝（a+b）（m+n）， A．S长方形ABCD＝S长方形ABFH+S长方形HFCD＝a（m+n）+b（m+n）＝（a+b）（m+n），不符合题意； B．S长方形ABCD＝S长方形AEGD+S长方形BCGE＝m（a+b）+n（a+b）＝（a+b）（m+n），不符合题意； C．S长方形ABCD＝S长方形AEQH+S长方形HQGD+S长方形EBFQ+S长方形QFCG＝am+bm+an+bn＝（a+b）（m+n），不符合题意； D．不能得到ab+mn+am+bn＝（a+b）（m+n），故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了因式分解，整式乘法与图形的面积，数形结合是解题的关键． 【变式6-1】（江苏省无锡市2025-2026学年八年级下学期期末考试数学试题）如图，将两张边长为的正方形纸片和两张长、宽分别为，的矩形纸片拼成一个大的矩形．该过程所揭示的关于因式分解的等式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】长方形的面积为，正方形的面积为，面积和为，整个长方形的面积表示为，根据同一个图形的面积相等，建立等式求解即可； 【详解】解：根据题意，得； 【变式6-2】将下列四个图形拼成一个大长方形，据此写出一个将多项式因式分解的等式为______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解与图形的面积问题． 画出拼接的长方形，进而根据面积的两种表达方式列等式即可． 【详解】解：拼接如图： 长方形的面积为，还可以表示面积为：． 故答案为：． 【变式6-3】（25-26八年级下·辽宁锦州·期中）小颖利用两种不同的方法计算下面图形的面积，并据此写出了一个因式分解的等式，此等式是______ 【答案】 【分析】根据所给的图形直接求出大长方形的面积，再利用1个边长为的正方形，2个边长为的正方形和3个长宽分别为和的小长方形的面积之和等于大长方形的面积即可得出答案． 【详解】解：大长方形的面积为：， 1个边长为的正方形，2个边长为的正方形和3个长宽分别为和的小长方形的面积之和为：； ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $