专题1.2 提公因式法（举一反三讲义）数学新教材湘教版八年级上册

本讲义聚焦提公因式法分解因式核心知识点，先明确公因式定义，通过“五看”（系数最大公因数、相同字母、最低指数、整体多项式、首项符号）系统梳理确定方法，再阐述提公因式法步骤（确定公因式、提取并确定另一个因式、写成乘积形式），构建后续学习因式分解的基础支架。 资料以7类典型题型（找单项式公因式、基础提公因式等）为主线，例题与变式题结合中考真题，通过“五看”培养抽象能力，步骤训练强化推理意识，简便运算题型提升应用意识。课中助力教师分层教学，课后学生可借变式题巩固，有效查漏补缺。

专题1.2 提公因式法（举一反三讲义） 【新教材湘教版】 题型归纳 【题型1 找单项式公因式】 2 【题型2 基础提公因式】 3 【题型3 首项为负提负号】 4 【题型4 提取后括号留1】 5 【题型5 找多项式公因式】 5 【题型6 变号后提公因式】 7 【题型7 提公因式简便运算】 8 考点 提公因式法分解因式 知识点 用提公因式法分解因式 1.公因式的定义：一个多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式． 2.怎样确定公因式（五看）： 一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数； 二看字母：公因式的字母是各项相同的字母； 三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的； 四看整体：如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体，不要拆开； 五看首项符号：若多项式中首项符号是“-”，则公因式的符号一般为负． 3.提公因式法的定义： 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 4.提公因式法分解因式的一般步骤： ①确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指数； ②提公因式并确定另一个因式； ③把多项式写成这两个因式的积的形式． 拓展：（1）多项式的公因式提取要彻底，当一个多项式提取公因式后，剩下的另一个因式中不能再有公因式． （2）提公因式后括号内的项数应与原多项式的项数一样． （3）若多项式首项系数为负数时，通常要提出负因数． 【题型1 找单项式公因式】 【例1】（25-26八年级下·陕西汉中·期末）将多项式分解因式时，应提取的公因式为（     ） A． B．y C． D． 【答案】C 【分析】先求系数的最大公约数，再找各项共有的相同字母的最低次幂，两者乘积即为公因式． 【详解】解：∵多项式的系数为和，和的最大公约数是， 又∵两项共有的相同字母为，的最低次幂是，多项式第一项不含字母， ∴应提取的公因式为． 【变式1-1】（25-26八年级下·河南驻马店·期中）多项式各项的最大公因式是__________． 【答案】 【详解】解：多项式各项的最大公因式是． 【变式1-2】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题按照公因式的求解方法，先计算各项系数的最大公约数，再确定各项共有的相同字母，取相同字母的最低次幂，相乘即可得到公因式． 【详解】解：∵多项式的各项系数为，，，三者的最大公约数是， 各项共有的相同字母为和， 在各项的次数分别为，，，最低次幂为， 在各项的次数分别为，，，最低次幂为， ∴该多项式的公因式为． 【变式1-3】多项式18xn+1-24xn的公因式是_______. 【答案】6xn 【详解】运用公因式的概念，找出系数的最大公约数是6，相同字母的最低指数次幂是xn，可得公因式为6xn． 故答案为6xn. 【题型2 基础提公因式】 【例2】（2024·广东广州·一模）分解因式：____________． 【答案】 【详解】解：． 【变式2-1】（25-26八年级下·山西晋中·期中）若，，则的值为（   ） A．8 B．15 C．25 D．45 【答案】B 【分析】本题考查提公因式因式分解和代数式整体代入求值，先对所求多项式因式分解，再代入已知条件计算即可． 【详解】解： 又， 代入得 因此原式的值为． 【变式2-2】（2026·河北沧州·二模）下列各数中，不能整除的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用提取公因式法对原式分解因式，根据分解结果得到原式的因数，即可选出不能整除原式的选项． 【详解】解：， 因此不能被整除， 故选：D． 【变式2-3】（25-26七年级下·江苏扬州·期中）已知，求的值为________． 【答案】2027 【分析】根据已知等式变形得到的值，再对所求多项式进行降次变形，整体代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 则 ． 【题型3 首项为负提负号】 【例3】（25-26九年级上·吉林长春·期中）因式分解：________． 【答案】 【分析】本题考查提公因式法因式分解，解题思路为找出多项式各项的公因式，提取公因式得到因式分解结果． 【详解】解：多项式中，两项的公因式为，利用提公因式法因式分解得： ． 【变式3-1】（25-26八年级下·广东佛山·期中）因式分解：-________． 【答案】 【分析】先找出多项式各项的公因式，再利用提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：． 【变式3-2】（25-26九年级下·江苏苏州·阶段检测）因式分解：-______． 【答案】- 【分析】根据提公因式法进行因式分解即可. 【详解】解：原式. 【变式3-3】（25-26八年级下·全国·周测）已知，，则的值为_____． 【答案】 【分析】先提取公因式 ，再化简代数式，最后代入已知条件求值． 【详解】解：原式 = = = 代入 ，，得 ， 故答案为： -60． 【点睛】本题的核心是整体代换思想：当已知 和 的值时，无需单独求解、，只需将代数式因式分解为含 和 的形式，即可快速求值． 【题型4 提取后括号留1】 【例4】（2026·浙江台州·二模）因式分解：__________． 【答案】 【分析】本题考查提公因式法因式分解，解题思路是找出多项式各项的公因式，提取公因式即可完成因式分解． 【详解】解：． 【变式4-1】（25-26九年级下·甘肃张掖·期中）分解因式：______． 【答案】 【详解】解： 【变式4-2】（25-26八年级下·河南郑州·期中）分解因式：______． 【答案】 【分析】观察多项式，确定公因式为，使用提公因式法即可分解因式． 【详解】解：原式． 【变式4-3】（25-26八年级上·广东广州·期末）因式分解：____． 【答案】 【分析】找出原式的公因式，提取公因式即可完成因式分解 【详解】解： 【题型5 找多项式公因式】 【例5】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）下列各组中的两个多项式，没有公因式的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查多项式的公因式判断，通过因式分解检查各组是否有公因式即可． 【详解】解：A：∵，， ∴公因式为，故此选项不符合题意； B：∵，， ∴公因式为，故此选项不符合题意； C：∵，， ∴公因式为，故此选项不符合题意； D：∵，，且与无公因式， ∴没有公因式，故此选项符合题意． 故选：D． 【变式5-1】多项式与多项式的公因式是________________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查公因式的确定，分别将多项式与多项式进行因式分解，再寻找他们的公因式． 【详解】解： ，， 多项式与多项式的公因式是， 故答案为：． 【变式5-2】多项式，与的公因式为______． 【答案】 【分析】根据公因式定义，对各选项整理然后即可选出有公因式的项． 【详解】解：因为3x﹣9＝3（x﹣3），x2﹣9＝（x+3）（x﹣3），x2﹣6x+9＝（x﹣3）2， 所以多项式3x﹣9，x2﹣9与x2﹣6x+9的公因式为（x﹣3）． 故答案：． 【点睛】此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．在提公因式时千万别忘了“﹣1”． 【变式5-3】多项式与的公因式是（　　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先把两个多项式进行因式分解，再根据公因式的概念进行判断，即可得出结论． 【详解】解：∵ ， ， ∴多项式与的公因式是． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了公因式的判断，掌握因式分解的方法及公因式的概念是解题的关键． 【题型6 变号后提公因式】 【例6】（25-26八年级上·广东广州·期末）因式分解：__________． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解提公因式法，熟练掌握提公因式的方法是解本题的关键．原式提取公因式再整理即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 【变式6-1】（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）分解因式：=___________ 【答案】 【分析】先对原式中互为相反数的因式变形，提取相同公因式，再用提公因式法完成因式分解． 【详解】解：． 【变式6-2】（25-26七年级上·上海·期中）因式分解：_______． 【答案】 【分析】本题考查了整式的因式分解，灵活选择因式分解的方法是解题的关键．首先观察式子中的，利用的关系，将其转化为的形式，然后提取公因式进行因式分解． 【详解】解： ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式6-3】（24-25七年级上·上海·阶段检测）分解因式： ______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，通过变形将式子化为具有公因式的形式是解题的关键．先将题中的变形为，然后提取公因式，最后对括号内的式子进行化简即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【题型7 提公因式简便运算】 【例7】（25-26八年级下·陕西西安·期中）计算______． 【答案】 【详解】解： ． 【变式7-1】（25-26九年级上·山东淄博·阶段检测）利用分解因式计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了利用因式分解进行简便运算，直接提公因数即可解答． 【详解】 ． 故答案为：． 【变式7-2】利用因式分解计算：_________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解简化计算问题，用因式分解的方法将式子变形，使计算简便． 提公因式，再进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式7-3】计算 的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了提取公因式法分解因式、因式分解的应用，正确找出公因式是解题关键． 直接利用提取公因式法分解因式即可解答． 【详解】解： =． 故选：D． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 提公因式法（举一反三讲义） 【新教材湘教版】 题型归纳 【题型1 找单项式公因式】 2 【题型2 基础提公因式】 2 【题型3 首项为负提负号】 2 【题型4 提取后括号留1】 2 【题型5 找多项式公因式】 3 【题型6 变号后提公因式】 3 【题型7 提公因式简便运算】 3 考点 提公因式法分解因式 知识点 用提公因式法分解因式 1.公因式的定义：一个多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式． 2.怎样确定公因式（五看）： 一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数； 二看字母：公因式的字母是各项相同的字母； 三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的； 四看整体：如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体，不要拆开； 五看首项符号：若多项式中首项符号是“-”，则公因式的符号一般为负． 3.提公因式法的定义： 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 4.提公因式法分解因式的一般步骤： ①确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指数； ②提公因式并确定另一个因式； ③把多项式写成这两个因式的积的形式． 拓展：（1）多项式的公因式提取要彻底，当一个多项式提取公因式后，剩下的另一个因式中不能再有公因式． （2）提公因式后括号内的项数应与原多项式的项数一样． （3）若多项式首项系数为负数时，通常要提出负因数． 【题型1 找单项式公因式】 【例1】（25-26八年级下·陕西汉中·期末）将多项式分解因式时，应提取的公因式为（     ） A． B．y C． D． 【变式1-1】（25-26八年级下·河南驻马店·期中）多项式各项的最大公因式是__________． 【变式1-2】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】多项式18xn+1-24xn的公因式是_______. 【题型2 基础提公因式】 【例2】（2024·广东广州·一模）分解因式：____________． 【变式2-1】（25-26八年级下·山西晋中·期中）若，，则的值为（   ） A．8 B．15 C．25 D．45 【变式2-2】（2026·河北沧州·二模）下列各数中，不能整除的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26七年级下·江苏扬州·期中）已知，求的值为________． 【题型3 首项为负提负号】 【例3】（25-26九年级上·吉林长春·期中）因式分解：________． 【变式3-1】（25-26八年级下·广东佛山·期中）因式分解：-________． 【变式3-2】（25-26九年级下·江苏苏州·阶段检测）因式分解：-______． 【变式3-3】（25-26八年级下·全国·周测）已知，，则的值为_____． 【题型4 提取后括号留1】 【例4】（2026·浙江台州·二模）因式分解：__________． 【变式4-1】（25-26九年级下·甘肃张掖·期中）分解因式：______． 【变式4-2】（25-26八年级下·河南郑州·期中）分解因式：______． 【变式4-3】（25-26八年级上·广东广州·期末）因式分解：____． 【题型5 找多项式公因式】 【例5】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）下列各组中的两个多项式，没有公因式的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式5-1】多项式与多项式的公因式是________________． 【变式5-2】多项式，与的公因式为______． 【变式5-3】多项式与的公因式是（　　　） A． B． C． D． 【题型6 变号后提公因式】 【例6】（25-26八年级上·广东广州·期末）因式分解：__________． 【变式6-1】（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）分解因式：=___________ 【变式6-2】（25-26七年级上·上海·期中）因式分解：_______． 【变式6-3】（24-25七年级上·上海·阶段检测）分解因式： ______． 【题型7 提公因式简便运算】 【例7】（25-26八年级下·陕西西安·期中）计算______． 【变式7-1】（25-26九年级上·山东淄博·阶段检测）利用分解因式计算：______． 【变式7-2】利用因式分解计算：_________． 【变式7-3】计算 的结果为（   ） A． B． C． D． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $