专题02 平面直角坐标系中的规律与新定义问题（举一反三专项训练）数学新教材沪科版八年级上册

**基本信息** 聚焦平面直角坐标系中规律探究与新定义问题，通过四类题型系统覆盖动点移动、图形对称、旋转规律及新定义应用，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |动点规律移动|12题|含周期循环、路径变化等|从点的坐标变化抽象运动周期，建立位置与次数的对应关系| |图形规律对称|12题|涉及轴对称、中心对称循环|通过对称变换坐标特征，推导图形变换的周期性规律| |图形规律旋转|12题|含矩形、正方形等旋转问题|结合旋转性质分析顶点坐标变化，构建旋转周期模型| |新定义型问题|14题|涵盖距离坐标、等距点等概念|将新定义转化为坐标运算，培养数学语言表达与应用意识|

专题02 平面直角坐标系中的规律与新定义问题（举一反三专项训练） 【新教材沪科版】 题型归纳 【题型1 平面直角坐标系中动点规律移动问题】 1 【题型2 平面直角坐标系中图形规律对称问题】 5 【题型3 平面直角坐标系中图形规律旋转问题】 9 【题型4 平面直角坐标系中新定义型问题】 12 【题型1 平面直角坐标系中动点规律移动问题】 1．（25-26七年级下·山东临沂·期中）如图，动点按图中箭头所示方向运动，第次从原点运动到点，第次运动到点，第次运动到点…按这样的规律运动，则第次运动到点（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·重庆永川·期末）如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发按图中箭头所示方向运动，第次从原点运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，，按这样的运动规律，经过第次运动后，动点的坐标是(    ) A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·广东江门·期中）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中所示方向运动，第一次从原点O运动到点，第二次运动到点，第三次运动到点，第四次运动到点，第五次运动到点，第六次运动到点，按这样的运动规律，点的纵坐标是（　　） A． B．0 C．1 D．2 4．（24-25七年级下·山东德州·期中）如图；一只小蚂蚁在平面直角坐标系中按图中路线进行“爬楼梯”运动，第1次它从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点按这样的运动规律，经过第2025次运动后，小蚂蚁的坐标是（    ） A． B． C． D． 5．如图所示，在平面直角坐标系中，动点按图中箭头所示方向依次运动，第1次运动到点,第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，第5次运动到点…，按这样的运动规律，动点P第2023次运动到点的坐标为___________． 6．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，动点从坐标原点出发，以每秒一个单位长度的速度按图中箭头所示方向运动，第1秒运动到点，第2秒运动到点，第3秒运动到点，第4秒运动到点，则第24秒时点所在位置的坐标是________，第2024秒时点所在位置的坐标是________． 7．如图，动点P在平面直角坐标系中沿曲线的方向从左往右运动，第1秒从原点运动到点，第2秒运动到点，第3秒运动到点，第4秒运动到点…，按这样的规律，第2023秒运动到点（    ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·江西赣州·期中）如图，平面直角坐标系内，动点P第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，……按这样的规律，第2025次运动到点的坐标是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26七年级下·云南昆明·期中）如图，在平面直角坐标系中，点第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，第5次运动到点，第6次运动到点，第7次运动到点，第8次运动到点，第9次运动到点，第10次运动到点，…，依此规律继续运动下去，第2026次运动到点，的坐标是（     ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级下·重庆巴南·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点A从点出发，向上运动1个单位长度到达点后，再分别向左上、右上运动到点、点，此时动点A完成第1次运动；再分别从点C，D出发，重复上述运动，到达点、点、点，此时动点A完成第2次运动……以此规律运动下去，当动点A完成第7次运动时，从左往右数的第一个点的坐标是（   ） A． B． C． D． 11．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一个动点从点出发，运动到点，运动到点，运动到点，运动到点，运动到点按照上述规律运动下去，则点的坐标为_____． 12．（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，动点第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，第5次运动到点，第6次运动到点，第7次运动到点，第8次运动到点……按这样的规律运动下去． (1)写出点的坐标：____． (2)按照上述规律，指出从点到点的平移方式． (3)若点距离点5个单位长度，且轴，直接写出点的坐标． 【题型2 平面直角坐标系中图形规律对称问题】 13．（2024·河南开封·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B，O的坐标分别为、、．点，，， …中的相邻两点关于的其中一个顶点对称．如：点，关于点 A 对称；点，关于点B 对称；点，关于点O 对称；点，关于点A 对称；点 ，关于点B 对称；点，关于点O 对称， …，对称中心分别是A，B，O，…，且这些对称中心依次循环，若的坐标是，则点的坐标是（     ）    A． B． C． D． 14．（25-26九年级上·广东汕头·期中）如图所示的平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形．作与关于点对称，再作与关于点对称，如此依次作下去，则顶点（n是正整数）的坐标是________． 15．（24-25八年级下·河北沧州·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点在第一象限内，，将先关于轴对称得到，将关于轴对称得到，将关于轴对称得到，将关于轴对称得到，……，则按照这样的规律继续对称下去，第2025次对称后，点的坐标为_________． 16．（25-26八年级下·河北秦皇岛·阶段检测）在平面直角坐标系中，定义点的“位移变换”为：．已知点的坐标为，点经过27次“位移变换”后得到的点，则点关于原点的对称点的坐标为____． 17．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到，按照顺序以此类推，则的坐标为________． 18．（25-26八年级上·全国·期末）如图，已知平行四边形的顶点为，若将平行四边形先沿着轴进行第一次轴对称变换，所得图形再沿着轴进行第二次轴对称变换，轴对称变换的对称轴遵循轴、轴、轴、轴的规律进行，则经过第次变换后，平行四边形的顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 19．（24-25八年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，第1次变换：先将关于x轴对称，再向右移动1个单位长度，得到；第2次变换：先将关于x轴对称，再向右移动1个单位长度，得到；…，依此规律，得到，则点的坐标是（    ）．    A． B． C． D． 20．（24-25八年级上·山东济南·期中）规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它关于x轴作轴对称，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：点按序列“”作2次变换，表示点M先向右平移一个单位得到，再将关于x轴作轴对称从而得到．若点经过“”共2024次变换后得到点，则点的坐标为____________ 21．（2025·山西吕梁·二模）如图，在平面直角坐标系中，位于第二象限，为的中点，，点的坐标为．现进行如下变换：第1次是将关于轴对称，第2次是将第1次得到的轴对称图形关于轴对称，第3次是将第2次得到的轴对称图形关于轴对称，第4次是将第3次得到的轴对称图形关于轴对称，第5次是将第4次得到的轴对称图形关于轴对称……，以此类推，则经过2025次变换后点的坐标为（　　） A． B． C． D． 22．（25-26八年级上·安徽铜陵·期中）如图，中，，，顶点为，顶点为，顶点为，将关于轴轴对称变换得到，再将关于直线（即过垂直于轴的直线）轴对称变换得到，再将关于直线轴对称变换得到，再将关于直线轴对称变换得到，……，按此规律继续变换下去，则点的坐标为（） A． B． C． D． 23．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变化，若原来点坐标是，经过第1次变换后得到坐标是，则经过第次变换后所得的点坐标是______． 24．如图，已知点．规定“把点先作关于轴对称，再向左平移1个单位”为一次变化．经过第一次变换后，点的坐标为_______；经过第二次变换后，点的坐标为_____；那么连续经过2019次变换后，点的坐标为_______． 【题型3 平面直角坐标系中图形规律旋转问题】 25．（25-26八年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的“旋转点”．已知点的坐标为，点是点的旋转点，点是点的旋转点，…，以此类推．则点的坐标为______． 26．如图，矩形起始位置紧贴在坐标轴上，且坐标为，，将矩形绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转至图②位置，以此类推，这样连续旋转2022次．则顶点在旋转2023次后的坐标为________． 27．（2024·河南南阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边与坐标轴重合，．将矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 28．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为．线段以每秒旋转的速度，绕点O沿顺时针方向连续旋转，同时，点P从点O出发，以每秒移动1个单位长度的速度，在线段上，按照的路线循环运动，则第1314秒时点P的坐标为（   ）    A． B． C． D． 29．如图，把正方形铁OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为，点在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第—次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置……，则正方形铁片连续旋转2022次，点P的坐标变为______． 30．如图，在平面直角坐标系中，，点A的坐标为，将绕点B旋，得到，再将绕点D旋转，得到，如此进行下去，…，得到折线，点是此折线上一点，则b的值为_______________． 31．（25-26七年级下·江苏南通·期中）在平面直角坐标系中，点，线段以每秒旋转的速度，绕点O顺时针方向连续旋转，同时，点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度，在线段上，按照的路线循环移动，则第2026秒时，点P的坐标为（  ） A． B． C． D． 32．（25-26九年级上·河南开封·期中）如图，在平面直角坐标系中，风车图案的四个叶片为完全相同的平行四边形，其中一个叶片上的点，的坐标分别为，．将风车绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 33．（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，把正方形铁片置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为，点在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置……则正方形铁片连续旋转100次后，点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 34．如图，在直角坐标系中，已知点的坐标为，进行如下操作：将线段按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为的2倍，得到线段；又将线段按逆时针方向旋转，长度伸长为的2倍，得到线段，如此重复操作下去，得到线段，则落在轴正半轴上的点坐标是______． 35．如图，在中，顶点，，．将与正方形组成的图形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 36．如图，在平面直角坐标系中，等腰梯形的顶点坐标分别为，，，，y轴上一点绕点A旋转180°得点，点绕点B旋转得点，点绕点C旋转得点，绕点D旋转得点，…，重复操作依次得到点，…，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． E． 【题型4 平面直角坐标系中新定义型问题】 37．定义：直线与相交于点，对于平面内任意一点，点到直线，的距离分别为，，则称有序非负实数对是点的“距离坐标”根据上述定义，“距离坐标”是的点的个数是（   ） A． B． C． D． 38．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴，轴距离的较小值称为点的“短距”，点到轴，轴的距离相等时，称点为“等距点”． (1)求点的“短距”． (2)若点是“等距点”，求的值． 39．（25-26七年级下·湖北省直辖县级单位·期中）定义新概念：若平面直角坐标系中的点的横、纵坐标满足方程，则称点是方程的坐标点，例如，点就是方程的坐标点． (1)写出方程的另一个坐标点是______．（答案不唯一） (2)若有一个点是方程的坐标点，求的值． 40．（24-25八年级下·河北唐山·期末）在平面直角坐标系中，给出如下定义：一个点到两坐标轴的距离相等，称该点为“完美点”．若为“完美点”，a的值为（   ） A．0 B．2 C．或2 D．0或2 41．（24-25七年级下·新疆喀什·期中）定义：是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点分别向轴、轴作垂线段，若两条垂线段的长度的和为4，则点叫作“垂距点”，例如：图中的点是“垂距点”．若是第四象限的点，且点是“垂距点”，则的值为（    ） A．2 B．4 C． D．10 42．（24-25七年级下·山东德州·期中）在平面直角坐标系中，对于任意一点的“绝对距离”，给出如下定义：若，则点的“绝对距离”为：若，则点的“绝对距离”为．例如：点，因为，所以点的“绝对距离”为．当点的“绝对距离”为时，所有满足条件的点组成的图形为（　　） A． B． C． D． 43．定义：把形如（a、b为实数）的数叫做复数，用表示．任何一个复数在平面直角坐标系中都可以用有序数对表示，如表示为，则可表示为（    ） A． B． C． D． 44．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，定义点A和点B的关联值如下： I.若O，A，B在一条直线上； II.若O，A，B不在一条直线上； 已知点A坐标为点B坐标为，回答下列问题： (1)_______； (2)若，，则点P坐标为_______． 45．对点的一次操作变换记为，定义其变换法则如下：；且规定（n为大于1的整数）．如，， ．则 A． B． C． D． 46．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）对于平面直角坐标系中的任意线段，给出如下定义：线段上各点到轴距离的最大值，叫做线段的“轴距”，记作，如图，点，点，则线段的“轴距”为，记作，已知点，点，若，则的值为（    ） A． B．或 C．或 D．或 47．（24-25七年级下·全国·期末）在平面直角坐标系中，对于点，把点叫作点的友好点．已知点的友好点为点，点的友好点为点这样依次得到点，若点的坐标为，则根据友好点的定义，点的坐标为（） A． B． C． D． 48．定义：在平面直角坐标系中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．如图，矩形的顶点坐标分别是，，，，下列各点是矩形“梦之点”的是（    ） A． B． C． D． 49．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点满足，，那么称点是点和的衍生点． 例如：，，则点是点和的衍生点． 已知点，点，点是点和的衍生点． (1)若点，则点的坐标为______； (2)求点的坐标（用表示）； (3)若直线交轴于点，当时，求点的坐标． 50．（24-25八年级上·河南郑州·期中）在平面直角坐标系中，经过点且平行于x轴的直线可以记作直线，平行于y轴的直线可以记作直线，我们给出如下的定义：点先关于x轴对称得到点，再将点关于直线对称得点，则称点为点P关于x轴和直线的二次反射点．已知点，关于x轴和直线的二次反射点分别为，，点关于直线对称的点为，则当三角形的面积为1时，则______． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 平面直角坐标系中的规律与新定义问题（举一反三专项训练） 【新教材沪科版】 题型归纳 【题型1 平面直角坐标系中动点规律移动问题】 1 【题型2 平面直角坐标系中图形规律对称问题】 10 【题型3 平面直角坐标系中图形规律旋转问题】 19 【题型4 平面直角坐标系中新定义型问题】 28 【题型1 平面直角坐标系中动点规律移动问题】 1．（25-26七年级下·山东临沂·期中）如图，动点按图中箭头所示方向运动，第次从原点运动到点，第次运动到点，第次运动到点…按这样的规律运动，则第次运动到点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题中所给的运动过程，得出坐标变化规律求解即可． 【详解】解：由题意可知： 第次从原点运动到点， 第次运动到点， 第次运动到点， 第次从原点运动到点， 第次运动到点， 第次运动到点， 第次从原点运动到点， 则规律为：第次运动到点的横坐标为，纵坐标按照每次为一个循环， ， 第次运动到点，即． 2．（24-25七年级下·重庆永川·期末）如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发按图中箭头所示方向运动，第次从原点运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，，按这样的运动规律，经过第次运动后，动点的坐标是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了点的坐标规律，分析前几次的点的坐标，可得次一循环，进而得出次后点的坐标，即可求解． 【详解】解：第次从原点运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，…… 每次后纵坐标为，横坐标加2 ∴经过次运动横坐标为 经过次运动纵坐标为 ∴经过第次运动后，动点的坐标是， 故选：B． 3．（24-25七年级下·广东江门·期中）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中所示方向运动，第一次从原点O运动到点，第二次运动到点，第三次运动到点，第四次运动到点，第五次运动到点，第六次运动到点，按这样的运动规律，点的纵坐标是（　　） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【详解】本题主要考查了点的坐标规律探索，根据图像可以得出规律，运动后的点的坐标特点可以发现规律，横坐标与序号相等，纵坐标每7次运动组成一个循环，再根据规律直接求解即可． 【解答】解：观察图像点的坐标：、、、、、、、，可以发现规律：横坐标与序号相等，纵坐标每7次运动组成一个循环：依次为1、1、0、、0、2、0， ， 动点的坐标是， 动点的纵坐标是1， 故选：C． 4．（24-25七年级下·山东德州·期中）如图；一只小蚂蚁在平面直角坐标系中按图中路线进行“爬楼梯”运动，第1次它从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点按这样的运动规律，经过第2025次运动后，小蚂蚁的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查点的运动规律，找到规律是解题的关键．根据每次对应的对标找到规律即可． 【详解】解：由题意知， 第1次它从原点运动到点， 第2次运动到点， 第3次运动到点， 第次运动到点， 第次运动到点， 第次运动到点， 由此可见，小蚂蚁运动次，所在的位置的坐标是， 下一次运动对应的坐标是， 经过第次运动后，小蚂蚁的坐标是， 故经过第2025次运动后，小蚂蚁的坐标是． 故选：A． 5．如图所示，在平面直角坐标系中，动点按图中箭头所示方向依次运动，第1次运动到点,第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，第5次运动到点…，按这样的运动规律，动点P第2023次运动到点的坐标为___________． 【答案】 【分析】此题考查了图形坐标的规律，正确理解图形得到点P的运动规律并应用是解题的关键． 根据图形分析点P的运动规律：，，的横坐标为2022，纵坐标每四次为一个循环，即可得到答案． 【详解】解：第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，第5次运动到点…， ∴每四次为一个循环，， ∴点的纵坐标为， 而，，与横坐标相差1， ∴的横坐标为2021，的横坐标为2022， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，动点从坐标原点出发，以每秒一个单位长度的速度按图中箭头所示方向运动，第1秒运动到点，第2秒运动到点，第3秒运动到点，第4秒运动到点，则第24秒时点所在位置的坐标是________，第2024秒时点所在位置的坐标是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标规律，分析点的运动路线及所处位置的坐标得出规律“动点第秒运动到”，进而得出答案即可．从所给的数据和图形中得出规律是解题的关键． 【详解】解：由题意分析可得： 动点第秒运动到， 动点第秒运动到， 动点第秒运动到， 以此类推，动点第秒运动到， 又， 第2024秒时点所在位置的坐标是， 故答案为：，． 7．如图，动点P在平面直角坐标系中沿曲线的方向从左往右运动，第1秒从原点运动到点，第2秒运动到点，第3秒运动到点，第4秒运动到点…，按这样的规律，第2023秒运动到点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标规律探究，分析点的运动规律，找到循环次数即可． 【详解】解：分析图象可以发现，点的运动每次位置循环一次，每循环一次向右移动四个单位， ，则纵坐标与第秒的坐标相同 第秒运动到点， 故选：C． 8．（24-25七年级下·江西赣州·期中）如图，平面直角坐标系内，动点P第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，……按这样的规律，第2025次运动到点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了规律型：点的坐标，培养学生观察和归纳能力，从所给的数据和图形中寻求规律进行解题是解答本题的关键．根据图象可得出：横坐标为运动次数减3，纵坐标依次为4，2，1，，2，4，每5次一轮，进而即可求出答案． 【详解】解：根据动点在平面直角坐标系中的运动，，，，，，， ……， 横坐标为运动次数减3， 经过第2025次运动后，点的横坐标是2022， 纵坐标依次为4，2，1，，2，每5次一轮， ∴， 经过第2025次运动后，点的坐标是， 故选：D． 9．（25-26七年级下·云南昆明·期中）如图，在平面直角坐标系中，点第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，第5次运动到点，第6次运动到点，第7次运动到点，第8次运动到点，第9次运动到点，第10次运动到点，…，依此规律继续运动下去，第2026次运动到点，的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据坐标发现当运动次数为（k为正整数）时，点的坐标为，即可求解． 【详解】解:观察图象可知：， ，，， ∴当运动次数为（k为正整数）时，点的坐标为， ∵， ∴，即. 10．（25-26七年级下·重庆巴南·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点A从点出发，向上运动1个单位长度到达点后，再分别向左上、右上运动到点、点，此时动点A完成第1次运动；再分别从点C，D出发，重复上述运动，到达点、点、点，此时动点A完成第2次运动……以此规律运动下去，当动点A完成第7次运动时，从左往右数的第一个点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据所给运动方式，依次求出每次运动后最左侧第一个点的坐标，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 第1次运动后，最左侧第一个点的坐标为， 第2次运动后，最左侧第一个点的坐标为， 第3次运动后，最左侧第一个点的坐标为， 第4次运动后，最左侧第一个点的坐标为， …， 所以第n次运动后，最左侧第一个点的坐标为． 当时，， 即第7次运动后，最左侧第一个点的坐标为． 11．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一个动点从点出发，运动到点，运动到点，运动到点，运动到点，运动到点按照上述规律运动下去，则点的坐标为_____． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标规律根据各个点的位置关系，可得出下标为4的倍数的点在第一象限，被4除余1的点在第二象限，被4除余2的点在第三象限，被4除余3的点在第四象限，可得点在第三象限，再根据第三象限点的规律即可得出结论． 【详解】解：分析各点坐标可发现，下标为4的倍数的点在第一象限，被4除余1的点在第二象限，被4除余2的点在第三象限，被4除余3的点在第四象限， ∵， ∴点在第三象限， 又∵第三象限的点，点，…… 设点的下标为n， ∴可得横坐标为：，纵坐标为， ∴点． 故答案为：． 12．（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，动点第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，第5次运动到点，第6次运动到点，第7次运动到点，第8次运动到点……按这样的规律运动下去． (1)写出点的坐标：____． (2)按照上述规律，指出从点到点的平移方式． (3)若点距离点5个单位长度，且轴，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 (3)或 【分析】本题考查了点坐标规律探索，旨在考查学生的抽象概括能力，解题的关键是找出点坐标规律． （1）根据题意得动点横坐标为对应的运动次数减3，纵坐标依次为：，每5次一个循环，据此即可求解． （2）根据（1）中规律求出点和点的坐标，即可求解； （3）根据（1）中规律求出点的坐标，再根据点距离点5个单位长度，且轴，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：动点在平面直角坐标系中的运动为： ∴横坐标为对应的运动次数减3， 纵坐标依次为：，每5次一个循环， 则点的横坐标为：； ， ∴点的纵坐标为：4； 故答案为：． （2）解：根据（1）中规律可得： 点的横坐标为：； ， ∴点的纵坐标为：2； ∴， 点的横坐标为：； ， ∴点的纵坐标为：4； ∴， 故从点到点的平移方式是：先向右平移1个单位，再向上平移2个单位． （3）解：根据（1）中规律可得： 点的横坐标为：； ， ∴点的纵坐标为：； ∴， ∵点距离点5个单位长度，且轴， ∴，即， 或，即， 综上，或． 【题型2 平面直角坐标系中图形规律对称问题】 13．（2024·河南开封·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B，O的坐标分别为、、．点，，， …中的相邻两点关于的其中一个顶点对称．如：点，关于点 A 对称；点，关于点B 对称；点，关于点O 对称；点，关于点A 对称；点 ，关于点B 对称；点，关于点O 对称， …，对称中心分别是A，B，O，…，且这些对称中心依次循环，若的坐标是，则点的坐标是（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标规律探索问题，旨在考查学生的抽象概括能力，由题意得求出各点坐标，据此即可求解． 【详解】解：∵的坐标是，A的坐标为， ∴的坐标是 同理可得：的坐标是，的坐标是，的坐标是，的坐标是，的坐标是， 由此可知：与的坐标相同 ∵ ∴与的坐标相同 故选：B 14．（25-26九年级上·广东汕头·期中）如图所示的平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形．作与关于点对称，再作与关于点对称，如此依次作下去，则顶点（n是正整数）的坐标是________． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，关于点对称的性质及坐标与图形变化．先求出的顶点的坐标，再根据中心对称的性质依次求出后面各点的坐标，找出规律，进而得到的顶点的坐标． 【详解】解：∵是边长为2的等边三角形，，， ∴的横坐标为1，纵坐标为，即， 又∵与关于点对称，，， ∴的横坐标为3，纵坐标为，即， ∵与关于点对称，，， ∴的横坐标为5，纵坐标为，即， 观察可得，，横坐标依次增加4， ∴的横坐标为，纵坐标始终为，即． 故答案为：． 15．（24-25八年级下·河北沧州·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点在第一象限内，，将先关于轴对称得到，将关于轴对称得到，将关于轴对称得到，将关于轴对称得到，……，则按照这样的规律继续对称下去，第2025次对称后，点的坐标为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查关于轴、轴对称的点的坐标，先求出点的坐标，再求出，，，，，，进而得出答案，找到规律是解题的关键． 【详解】解：∵点，点在第一象限内，，， ∴点的坐标为， ∵将关于轴对称得到，将关于轴对称得到，将关于轴对称得到，， ∴，，，，，， ∵， ∴的坐标与的坐标一样， ∴的坐标为， 故答案为：． 16．（25-26八年级下·河北秦皇岛·阶段检测）在平面直角坐标系中，定义点的“位移变换”为：．已知点的坐标为，点经过27次“位移变换”后得到的点，则点关于原点的对称点的坐标为____． 【答案】 【分析】先根据位移变换的定义计算前几次变换后的坐标，找出坐标变化的周期，再根据周期得到的坐标，最后利用关于原点对称的点的坐标性质求解． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴即， 即， 即， 即， 则坐标变换的周期为， ∵， ∴的坐标与相同，为，关于原点的对称点坐标为． 17．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到，按照顺序以此类推，则的坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标变化规律，中心对称．根据题意，探究规律，得出四次一个循环，利用规律求解即可． 【详解】解：如图，由题意， ∴与P重合，四次一个循环， ∵， ∴与重合， ∴． 故答案为：． 18．（25-26八年级上·全国·期末）如图，已知平行四边形的顶点为，若将平行四边形先沿着轴进行第一次轴对称变换，所得图形再沿着轴进行第二次轴对称变换，轴对称变换的对称轴遵循轴、轴、轴、轴的规律进行，则经过第次变换后，平行四边形的顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图形的变化规律，根据题意可得每次轴对称变换重复一轮，据此即可求解，找到图形的变化规律是解题的关键． 【详解】解：将平行四边形先沿着轴进行第一次轴对称变换，点的坐标为， 所得图形再沿着轴进行第二次轴对称变换，点的坐标为， 第三次轴对称变换，点的坐标为， 第四次轴对称变换，点的坐标为， ∴每次轴对称变换重复一轮， ∵， ∴经过第次变换后，平行四边形的顶点的坐标为， 故选：． 19．（24-25八年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，第1次变换：先将关于x轴对称，再向右移动1个单位长度，得到；第2次变换：先将关于x轴对称，再向右移动1个单位长度，得到；…，依此规律，得到，则点的坐标是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查图形类规律探索，先根据前面几个点的坐标发现并总结出规律是解题的关键．根据题意得出，，，，总结得出坐标规律，则，最后写出结果即可． 【详解】解：由题意可得，点，将先关于x轴对称，再向右平移一个单位长度得到，继续对称平移后得到，，， ∴由点坐标规律可得， ∴的坐标为． 故选：D． 20．（24-25八年级上·山东济南·期中）规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它关于x轴作轴对称，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：点按序列“”作2次变换，表示点M先向右平移一个单位得到，再将关于x轴作轴对称从而得到．若点经过“”共2024次变换后得到点，则点的坐标为____________ 【答案】 【分析】本题考查了坐标的变化规律，平移以及轴对称变化，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据平移以及轴对称的性质解决问题即可． 【详解】解：点按序列“01”作变换，表示点A先向右平移一个单位得到，再将关于x轴对称得到，再将作3次变换，可得，，，，, 综上可得，点的横坐标为，纵坐标以四次一个循环， ∴的横坐标为，纵坐标为，为， ∴点的坐标为， 故答案为：． 21．（2025·山西吕梁·二模）如图，在平面直角坐标系中，位于第二象限，为的中点，，点的坐标为．现进行如下变换：第1次是将关于轴对称，第2次是将第1次得到的轴对称图形关于轴对称，第3次是将第2次得到的轴对称图形关于轴对称，第4次是将第3次得到的轴对称图形关于轴对称，第5次是将第4次得到的轴对称图形关于轴对称……，以此类推，则经过2025次变换后点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形变化——轴对称及规律探索．先求得点的坐标是，再根据关于坐标轴对称的点的坐标特征“关于轴对称的点坐标，横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点坐标，纵坐标不变，横坐标互为相反数”，找到图形的变换规律即可求解． 【详解】解：∵点的坐标为，且，点为的中点，∴点的坐标是， 由题意可得，图形第一次关于轴对称后，点的对应点的坐标是， 第二次关于轴对称后，点的对应点的坐标是， 第三次关于轴对称后，点的对应点的坐标是， 第四次关于轴对称后，点的对应点的坐标是，与原点重合， 由此可得，点的对应点的坐标随图形变换每4次一循环， ， 图形经过第2025次变换后，相当于第一次关于轴对称后的图形，此时点的对应点的坐标为， 故选：C． 22．（25-26八年级上·安徽铜陵·期中）如图，中，，，顶点为，顶点为，顶点为，将关于轴轴对称变换得到，再将关于直线（即过垂直于轴的直线）轴对称变换得到，再将关于直线轴对称变换得到，再将关于直线轴对称变换得到，……，按此规律继续变换下去，则点的坐标为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形轴对称找规律．熟练掌握等腰直角三角形的性质，轴对称性质，归纳点坐标性质规律，是解题的关键． 是等腰直角三角形，顶点为，根据等腰直角三角形的性质和轴对称性质，可得点A经过n次轴对称的点横坐标规律，纵坐标为2.5． 【详解】解：∵中，，，顶点为， 将关于y轴轴对称变换得到， ∴； 将关于直线轴对称变换得到， ∴； 将关于直线轴对称变换得到， ∴； 将关于直线轴对称变换得到， ∴； …， 按此规律继续变换下去， 再将关于直线轴对称变换得到， ∴（n偶数）或（n奇数）． ∴当时，点的坐标为． 故选：B. 23．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变化，若原来点坐标是，经过第1次变换后得到坐标是，则经过第次变换后所得的点坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的轴对称变换规律．熟练掌握平面直角坐标系中的轴对称变换规律是解题的关键． 可先找出点坐标变换的规律，再根据规律确定第次变换后点坐标即可． 【详解】点第一次关于轴对称后在第四象限，点第二次关于轴对称后在第三象限，点第三次关于轴对称后在第二象限，点第四次关于轴对称后在第一象限，即点回到原始位置， 每四次对称为一个循环组依次循环． ， 经过第2025次变换后所得的点与第一次变换的位置相同，在第四象限，坐标为． 故答案为． 24．如图，已知点．规定“把点先作关于轴对称，再向左平移1个单位”为一次变化．经过第一次变换后，点的坐标为_______；经过第二次变换后，点的坐标为_____；那么连续经过2019次变换后，点的坐标为_______． 【答案】 【分析】根据轴对称判断出点A关于x轴对称后的位置，此时横坐标不变，纵坐标互为相反数，然后再向左平移1个单位长度便可得到第一次变换后的点A的坐标；按照同样的方式可以找到第二次变换后的点A的坐标；然后再通过比较横纵坐标的数值，可以发现点A在每一次变换后的规律，即可求出经过2019次变换后的点A的坐标． 【详解】点A原来的位置（0,1） 第一次变换： ，此时A坐标为； 第二次变换： ，此时A坐标为 第三次变换： ，此时A坐标为 …… 第n次变换：点A坐标为 所以第2019次变换后的点A的坐标为． 故答案为：；； 【点睛】本题考查的知识点是轴对称及平移的相关知识，平面直角坐标系中四个象限的点的横、纵坐标的符号是解题中的易错点，必须特别注意. 【题型3 平面直角坐标系中图形规律旋转问题】 25．（25-26八年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的“旋转点”．已知点的坐标为，点是点的旋转点，点是点的旋转点，…，以此类推．则点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查点的坐标规律，根据题意得到规律是解决问题的关键． 通过计算前几个点的坐标，发现点列得规律是：每4个点循环一次，再由即可求解． 【详解】解： ， 则，，，，……， 的坐标规律是：每4个点循环一次， ， 点的坐标与相同，为， 故答案为：． 26．如图，矩形起始位置紧贴在坐标轴上，且坐标为，，将矩形绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转至图②位置，以此类推，这样连续旋转2022次．则顶点在旋转2023次后的坐标为________． 【答案】 【分析】 本题考查规律型：点的坐标、旋转，解题的关键是每旋转次为一个循环，点回到轴上，横坐标增加，根据可知，顶点在旋转次后的横坐标为，纵坐标为． 【详解】 由题意得，旋转第次至图①位置，点的坐标为， 旋转第次至图②位置，点的坐标为， 旋转第次至图③位置，点的坐标为， 旋转第次, 点的坐标为, 即每旋转次为一个循环，点回到轴上，横坐标增加， ， ∴顶点在旋转次后的横坐标为纵坐标为， ∴顶点在旋转次后的坐标为． 故答案为: ． 27．（2024·河南南阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边与坐标轴重合，．将矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内坐标的变化规律，旋转，矩形的性质，先根据矩形的性质可知，再作出旋转后的图形，进而找到B点的坐标规律即可． 【详解】解：， ． 将矩形绕点O逆时针旋转，如图 可知：，…， 则：每旋转4次则回到原位置， ， 即：第2024次旋转结束时，完成了506次循环，又回到了原来的位置， 的坐标为． 故选：C． 28．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为．线段以每秒旋转的速度，绕点O沿顺时针方向连续旋转，同时，点P从点O出发，以每秒移动1个单位长度的速度，在线段上，按照的路线循环运动，则第1314秒时点P的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查点的坐标规律探究，解题的关键是学会探究规律的方法．探究规律，利用规律解决问题即可． 【详解】解：第1秒时，，此时在轴的负半轴上，， 第2秒时，，此时在轴的负半轴上，， 第3秒时，，此时在轴的正半轴上，， 第4秒时，，此时在轴的正半轴上，， 第5秒时，，此时在轴的负半轴上，， 第6秒时，，此时在轴的负半轴上，， 第7秒时，，此时在轴的正半轴上，， 第8秒时，，此时在轴的正半轴上，， 即点的坐标每8秒一个循环， ∴第1314秒时； 故选：D． 29．如图，把正方形铁OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为，点在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第—次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置……，则正方形铁片连续旋转2022次，点P的坐标变为______． 【答案】 【分析】首先求出P1∼P5的坐标，探究规律后，再利用规律解决问题． 【详解】解：第一次P1 (2，1)， 第二次P2(4，1)， 第三次P3(7，2)， 第四次P4(11，2)， 第五次P5(14，1)， …… 发现点P的位置4次一个循环 ∵2022÷4＝505……2 ∴P2022的纵坐标与P2相同为1，横坐标为4+4×3×505＝6064 ∴P2022 (6064，1) 故答案为：(6064，1)． 【点睛】本题考查坐标规律问题，由前面几个点的坐标寻找出规律是解题的关键． 30．如图，在平面直角坐标系中，，点A的坐标为，将绕点B旋，得到，再将绕点D旋转，得到，如此进行下去，…，得到折线，点是此折线上一点，则b的值为_______________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了点的坐标，发现其坐标规律是解题的关键．根据规律发现点O到点D为一个周期，根据其坐标规律即可解答． 【详解】解：∵，点A的坐标为， ∴， ∴纵坐标以点O到点D为一个周期进行循环， ∴， ∴， 故答案为：2． 31．（25-26七年级下·江苏南通·期中）在平面直角坐标系中，点，线段以每秒旋转的速度，绕点O顺时针方向连续旋转，同时，点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度，在线段上，按照的路线循环移动，则第2026秒时，点P的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标规律探究，利用周期性循环规律解题，先确定旋转和点P运动的周期，再计算2026秒在周期中的位置，即可得到对应坐标． 【详解】解：由题可知，长为，点从到再返回共需要秒，每秒顺时针转，每秒旋转回到初始位置，因此点的位置每秒为一个循环周期． 计算得，因此第秒的坐标与第秒的坐标相同． 初始在轴正半轴，点从出发，每秒移动个单位长度， 第秒顺时针转到轴正半轴，，点坐标为； 第秒再顺时针转到轴负半轴，，点坐标为． 因此第秒时点的坐标为． 32．（25-26九年级上·河南开封·期中）如图，在平面直角坐标系中，风车图案的四个叶片为完全相同的平行四边形，其中一个叶片上的点，的坐标分别为，．将风车绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的性质，平行四边形的性质，动点坐标的规律探索，解题的关键是掌握动点的运动规律． 根据旋转得出动点的运动规律是周期性的，然后根据平行四边形的性质得出第一象限内点的坐标，然后求出第2025次后点坐标即可． 【详解】解：根据旋转可得，点的运动规律是周期性的，循环周期为4， 第2025次旋转，循环次数为， ∴此时，点位于第四象限， ∵四边形为平行四边形，且点，的坐标分别为，， ∴轴，， ∴， ∴当点位于第四象限时，坐标为， 故选：B． 33．（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，把正方形铁片置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为，点在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置……则正方形铁片连续旋转100次后，点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作轴，过第二个点作轴，找到规律即可得到答案． 【详解】解：过点作轴，过第二个点作轴， 则， ， ， ， ， ， ， 同理， 纵坐标每次旋转为一个周期，故，与第四次旋转后的纵坐标一致， 横坐标， 故正方形铁片连续旋转100次后，点P的坐标为． 34．如图，在直角坐标系中，已知点的坐标为，进行如下操作：将线段按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为的2倍，得到线段；又将线段按逆时针方向旋转，长度伸长为的2倍，得到线段，如此重复操作下去，得到线段，则落在轴正半轴上的点坐标是______． 【答案】（，，，的整数） 【分析】考查坐标的旋转问题，得到相应的旋转规律及的长度的规律是解决本题的关键．由，，，，，易得，通过旋转，每次旋转，需要旋转次才能落在轴正半轴上，易得轴正半轴上的点横坐标与底数为的幂相关，据此即可解答． 【详解】解： ，，，，， ， 通过旋转最后落在轴正半轴上，而每次旋转， 需要旋转次才能落在轴正半轴上，并且每旋转一次扩大一倍， 旋转到点的坐标为，其中满足的条件是（，，的整数）， 故答案为：（，，，的整数）． 35．如图，在中，顶点，，．将与正方形组成的图形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系中坐标的特点、正方形的性质和旋转的性质，根据坐标的特点和正方形性质，得出点的坐标，再由旋转的性质，得出点旋转的坐标规律，最后根据要求求解即可． 【详解】解：，，轴，且, 四边形正方形，，， ， 连接，记轴于点，如图所示： 由旋转的性质可知，，， 故，，， 在旋转中，点的坐标由4个为一个循环，不断重复， 由，故第2023次旋转结束时，点的坐标为 故选：A． 36．如图，在平面直角坐标系中，等腰梯形的顶点坐标分别为，，，，y轴上一点绕点A旋转180°得点，点绕点B旋转得点，点绕点C旋转得点，绕点D旋转得点，…，重复操作依次得到点，…，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． E． 【答案】B 【分析】由P、A两点坐标可知，点P绕点A旋转180°得点，即为点P关于A的对称点，依此类推，点为关于B的对称点，由此发现一般规律． 【详解】解：根据题意大致如图所示， 由题意可得：，，，，，，，，，，，，，… 由此发现序号是奇数的点在x轴上，序号是4的倍数的点在直线上，其余的点在直线上， ∵． ∴的坐标为． 故选：B． 【点睛】本题考查坐标与图形的变化-旋转，规律型-点的坐标，解题的关键是从一般到特殊探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型． 【题型4 平面直角坐标系中新定义型问题】 37．定义：直线与相交于点，对于平面内任意一点，点到直线，的距离分别为，，则称有序非负实数对是点的“距离坐标”根据上述定义，“距离坐标”是的点的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】若p，q分别是M到直线l1和l2的距离，则称有序非负实数对（p，q）是点M的“距离坐标”，根据定义，“距离坐标”是（1，2）的点，说明M到直线l1和l2的距离分别是1和2，这样的点在平面被直线l1和l2的四个区域，各有一个点，即可求出答案． 【详解】解：因为平面中两条直线l1和l2相交于点O，对于平面上任意一点M， 若p，q分别是M到直线l1和l2的距离， 则称有序非负实数对（p，q）是点M的“距离坐标”， 根据上述定义， “距离坐标”是（1，2）的点可以在两条直线相交所成的四个区域内各找到一个， 所以满足条件的点的个数是4个． 故选：D． 【点睛】此题考查了坐标确定位置；解题的关键是要注意两条直线相交时有四个区域，本题是一个好题目，有创新性，但是难度较小，理解题意不难解答，考查学生的逻辑思维能力． 38．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴，轴距离的较小值称为点的“短距”，点到轴，轴的距离相等时，称点为“等距点”． (1)求点的“短距”． (2)若点是“等距点”，求的值． 【答案】(1)1 (2)或 【分析】（1）根据新定义，进行判断即可； （2）根据新定义，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：点到轴的距离为，到轴的距离为1，， ∴点的“短距”为1； （2）解：由题意，， 即：或， 解得或． 39．（25-26七年级下·湖北省直辖县级单位·期中）定义新概念：若平面直角坐标系中的点的横、纵坐标满足方程，则称点是方程的坐标点，例如，点就是方程的坐标点． (1)写出方程的另一个坐标点是______．（答案不唯一） (2)若有一个点是方程的坐标点，求的值． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) 【分析】（1）选取符合方程的x、y值即可； （2）将点代入方程计算即可． 【详解】（1）解：∵当时， ∴ ∴是方程的一个坐标点（答案不唯一）； （2）解：∵点是方程的坐标点， ∴， 解得． 40．（24-25八年级下·河北唐山·期末）在平面直角坐标系中，给出如下定义：一个点到两坐标轴的距离相等，称该点为“完美点”．若为“完美点”，a的值为（   ） A．0 B．2 C．或2 D．0或2 【答案】D 【分析】本题考查的是新定义的含义，点到坐标轴的距离，根据“完美点”的定义，点C到x轴和y轴的距离相等，即横纵坐标绝对值相等．由此建立方程，分情况求解即可． 【详解】解：∵为“完美点”， ∴， ∴或， 解得：或， 故选：D 41．（24-25七年级下·新疆喀什·期中）定义：是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点分别向轴、轴作垂线段，若两条垂线段的长度的和为4，则点叫作“垂距点”，例如：图中的点是“垂距点”．若是第四象限的点，且点是“垂距点”，则的值为（    ） A．2 B．4 C． D．10 【答案】B 【分析】本题考查新定义，根据新定义正确列出方程是解题的关键．根据是第四象限内的点，得出点M到x轴的距离为，点M到y轴的距离为，根据点是“垂距点”，得出，解方程即可． 【详解】解：∵是第四象限内的点， ∴点M到x轴的距离为，点M到y轴的距离为， ∵点是“垂距点”， ∴， 解得：， 故选：B． 42．（24-25七年级下·山东德州·期中）在平面直角坐标系中，对于任意一点的“绝对距离”，给出如下定义：若，则点的“绝对距离”为：若，则点的“绝对距离”为．例如：点，因为，所以点的“绝对距离”为．当点的“绝对距离”为时，所有满足条件的点组成的图形为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了新定义，平面直角坐标系中点的特点，理解题意，掌握点到坐标轴距离的计算是关键． 根据题意，当时，，当时，，则或，由此即可求解． 【详解】解：已知若，则点的“绝对距离”为：若，则点的“绝对距离”为， ∴点的“绝对距离”为时，或， 当时，，当时，， ∴或， ∴所有满足条件的点组成的图形为边长为4的正方形， 故选：D ． 43．定义：把形如（a、b为实数）的数叫做复数，用表示．任何一个复数在平面直角坐标系中都可以用有序数对表示，如表示为，则可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了新定义，坐标与图形，根据新定义可知中的a、b对应中的a、b，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，可表示为， 故选：C． 44．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，定义点A和点B的关联值如下： I.若O，A，B在一条直线上； II.若O，A，B不在一条直线上； 已知点A坐标为点B坐标为，回答下列问题： (1)_______； (2)若，，则点P坐标为_______． 【答案】(1)8； (2)或． 【分析】本题考查坐标与图形及坐标系中三角形面积问题，理解关联值的定义是解题的关键． （1）根据关联值的定义进行求解即可； （2）由可得点P在x轴上，由可得，据此求出点P的坐标； 【详解】（1）解： 点A坐标为，点B坐标为，O，A，B不在一条直线上， ． （2）解： ， O，A，P在一条直线上，即点P在轴上， 设， ，O，P，B不在一条直线上， ，即， 解得：． 点P坐标为或． 45．对点的一次操作变换记为，定义其变换法则如下：；且规定（n为大于1的整数）．如，， ．则 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了点的坐标规律类问题，解题的关键是认真审题并从中找到正确的规律，并应用此规律解题．根据操作方法依次求出前几次变换的结果，然后得出规律：当为奇数时，，当n为偶数时，，根据规律解答即可． 【详解】解：， ， ， ， …， ∴当为奇数时，，当n为偶数时，， ∴． 故选：D． 46．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）对于平面直角坐标系中的任意线段，给出如下定义：线段上各点到轴距离的最大值，叫做线段的“轴距”，记作，如图，点，点，则线段的“轴距”为，记作，已知点，点，若，则的值为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】分情况讨论：时，；时，或，再分别验证即可． 【详解】解：由题知， 因为，且点，点， 则时，， 时，点，点，符合题意； 时，点，点，符合题意； 时，或， 时，点，点，符合题意； 时，点，点，不符合题意， 综上所述，的值为或． 47．（24-25七年级下·全国·期末）在平面直角坐标系中，对于点，把点叫作点的友好点．已知点的友好点为点，点的友好点为点这样依次得到点，若点的坐标为，则根据友好点的定义，点的坐标为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点的规律，图形与坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键．由题意可得 ，，再找出规律求解即可． 【详解】点的坐标为 ， 观察发现，每6个点为一个循环组依次循环． 点的坐标与点的坐标相同，为． 故选：B 48．定义：在平面直角坐标系中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．如图，矩形的顶点坐标分别是，，，，下列各点是矩形“梦之点”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查坐标与图形、矩形的顶点坐标得到矩形的“梦之点”满足，且即可求解； 【详解】解：∵矩形的顶点坐标分别是，，，， ∴矩形的“梦之点”满足，且， ∴，，不是矩形的“梦之点”，是矩形的“梦之点” 故选：B 49．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点满足，，那么称点是点和的衍生点． 例如：，，则点是点和的衍生点． 已知点，点，点是点和的衍生点． (1)若点，则点的坐标为______； (2)求点的坐标（用表示）； (3)若直线交轴于点，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查坐标与图形： （1）根据“衍生点”的定义求出T点的横、纵坐标． （2）根据“衍生点”的定义分别用含m的代数式表示出T点的横、纵坐标． （3）垂直于x轴的直线上的点横坐标相等，进而求出m的值和E点的坐标． 【详解】（1）解：，， 所以T的坐标为． 故答案为． （2）解：T的横坐标为：， T的纵坐标为：． 所以T的坐标为：． （3）解：如图， ∵， ∴点E与点T的横坐标相同． ∴， 解得，． ． E点坐标为． 50．（24-25八年级上·河南郑州·期中）在平面直角坐标系中，经过点且平行于x轴的直线可以记作直线，平行于y轴的直线可以记作直线，我们给出如下的定义：点先关于x轴对称得到点，再将点关于直线对称得点，则称点为点P关于x轴和直线的二次反射点．已知点，关于x轴和直线的二次反射点分别为，，点关于直线对称的点为，则当三角形的面积为1时，则______． 【答案】1或3 【分析】本题考查了新定义，直角坐标系的点的特征，三角形的面积公式．根据对称性质由已知点坐标求得，，的坐标，再根据三角形的面积列出方程求得的值便可． 【详解】解：根据题意得，，，， ，， 的面积为1， ， 解得或3， 故答案为：1或3． 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