专题01 平面直角坐标系与面积问题（举一反三专项训练）数学新教材沪科版八年级上册

**基本信息** 以“坐标-面积”双向转化为主线，通过7类题型构建从基础公式到动态综合的方法体系，强化几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直接用面积公式|1例+3变式|坐标参数提取与公式直接应用|从静态图形面积计算切入，夯实坐标与长度转化基础| |割补法求面积|1例+3变式|不规则图形转化为规则图形（矩形/三角形）|深化图形分割与补形思想，培养空间观念| |面积关系求坐标|1例+3变式|面积方程构建与坐标参数求解|实现面积到坐标的逆向推理，强化方程思想| |面积求点坐标|1例+3变式|含参坐标的面积表达式建立|提升参数运算与分类讨论能力| |动点与面积综合|1例+3变式|运动过程分段与面积函数建模|结合动态变化，发展数学抽象与推理意识| |平移与面积综合|1例+3变式|平移性质与面积不变性应用|融合图形变换，强化几何直观与转化思想| |坐标面积存在性|1例+3变式|假设验证法与多解讨论|综合应用前序方法，培养创新意识与批判性思维|

专题01 平面直角坐标系与面积问题（举一反三专项训练） 【新教材沪科版】 题型归纳 【题型1 直接利用面积公式求图形的面积】 1 【题型2 利用割补法求图形的面积】 3 【题型3 由图形的面积关系求点的坐标】 6 【题型4 由图形的面积求点的坐标】 10 【题型5 面直角坐标系中动点与面积的综合】 13 【题型6 坐标系中平移与面积的综合】 19 【题型7 坐标系面积中点的坐标存在性问题】 23 【题型1 直接利用面积公式求图形的面积】 【例1】在平面直角坐标系中，由点组成的三角形的面积是（      ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】根据A和B两点的纵坐标相等，可得线段的长，再根据点C的纵坐标，可得以为底的的高，从而的面积可求． 【详解】解析：由点得， 点C在直线上，与直线平行，且平行线间的距离为4， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的面积计算，明确平面直角坐标系中的点的坐标特点及如何求相应线段的长，是解题的关键． 【变式1-1】（2026·湖北·一模）在坐标系中的位置如图，点的坐标为，则的面积等于______． 【答案】 【分析】根据点的坐标确定和的值，再利用平行四边形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵点的坐标为 ∴，， ∴． 【变式1-2】已知的面积是_____． 【答案】12 【分析】本题考查三角形面积的求解及坐标系里线段长度的计算，求出底边长度及边上的高，边上的高为C到x轴的距离，再利用三角形面积公式即可求解． 【详解】， ∵， ∴C到x轴的距离为， ∴， 故答案为：12． 【变式1-3】三角形中，如果，， ，则的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形，根据顶点的坐标可求出三角形的底边及其高的长，再根据三角形的面积公式计算即可求解，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】解：如图，∵，， ， ∴， ∴的面积， 故答案为：． 【题型2 利用割补法求图形的面积】 【例2】如图，已知：，，，求△AOE的面积（    ） A．3.5 B．2.5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】根据点的坐标，求得，根据进行计算即可求解． 【详解】解： ，，， ，， 则 故选A 【点睛】本题考查了坐标与图形，数形结合是解题的关键． 【变式2-1】如图，在平面直角坐标系中，，则四边形的面积是_____ 【答案】 【分析】该题主要考查了坐标与图形，解题的关键是将四边形的面积转换成三角形面积． 连接，根据即可求解； 【详解】连接， ， ， ， 故答案为：． 【变式2-2】已知三角形三个顶点的坐标,求三角形面积常用的方法是割补法,将三角形面积转化成若干个特殊的四边形和三角形的面积的和与差.现给出三点坐标:A(-1,4),B(2,2),C(4,-1),则S三角形ABC=____. 【答案】2.5 【分析】利用直角坐标系及割补法即可求解. 【详解】解析:根据平面直角坐标系中各个点的坐标,可以确定各条线段的长,从而可求出三角形的面积. S三角形ABC=S三角形AEC- S三角形ADB- S梯形DECB =AE·CE-AD·BD-DE·(CE+BD) =×5×5-×3×2-×2×(5+2) =-3-7 ==2.5. 【点睛】此题主要考查直角坐标系的面积求解，解题的关键是熟知坐标点的含义及割补法的应用. 【变式2-3】（24-25八年级上·广西贺州·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别是，，，，则四边形的面积为____________________． 【答案】9 【分析】本题考查了坐标与图形，过A作于M，过B作于N，根据A、B、C的坐标可求出，，，，，然后根据求解即可． 【详解】解∶过A作于M，过B作于N， ∵，，，， ∴，，，， ∴，， ∴四边形的面积为 ， 故答案为：． 【题型3 由图形的面积关系求点的坐标】 【例3】（24-25七年级下·湖北黄石·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，长方形的长为，宽为，动点从点出发沿运动，当的面积等于四边形面积的时，点的坐标为__________． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形，设的边上的高为，根据的面积等于四边形面积的，列出方程，求得，即可求解． 【详解】解：设的边上的高为， 长方形的长为，宽为， ， 的面积等于四边形面积的， ， 即， 解得， 动点从点出发沿运动， 点的坐标为或 故答案为或 【变式3-1】（24-25七年级下·广东惠州·期末）如图， 在平面直角坐标系中， 已知， ， 其中a，b满足 ．点M的坐标，在y轴的正半轴上有一点 P，使得三角形 的面积与三角形的面积相等，则点 P 的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形，非负数的性质，先根据绝对值和平方的非负性求出的值，由，再建立方程求解即可． 【详解】解：∵a，b满足， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 如图， ∴， 解得：， ∵P在y轴的正半轴上， ∴， 故选：B． 【变式3-2】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系中有8个边长为1的正方形，线段将这8个正方形分成面积相等的两部分，则点A的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了坐标与图形，三角形的面积．根据题意得到直角三角形的面积，利用三角形的面积公式求出的长是解题的关键． 设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作轴于B，作轴于C，易知，利用三角形的面积公式和已知条件求出即可． 【详解】解：设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作轴于B，作轴于C， ∵正方形的边长为1， ∴， ∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分， ∴两边面积分别是， ∴面积是， ∴， ∴， 则点A的横坐标为． 故选：B． 【变式3-3】在平面直角坐标系中，为原点，的顶点坐标分别为，，，将点右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到对应点． (1)直接写出点的坐标； (2)求的面积； (3)点是一个动点，若的面积等于的面积，请求出点坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查坐标与图形的变化，三角形的面积，平移变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用坐标平移方法即可得； （2）连接，根据求解即可； （3）构建方程求解即可． 【详解】（1）解：∵将点右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到对应点， ∴， 即； （2）解：如图，连接． ； （3）解：如图，点的纵坐标为， 由的面积等于的面积 得：， 解得：或， 或． 【题型4 由图形的面积求点的坐标】 【例4】已知点和点，且直线与坐标轴围成的三角形的面积等于，则的值是______． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形，三角形的面积，解题的关键是掌握相关知识．由点和点可得，，根据三角形的面积公式可得，即可求解． 【详解】解：点和点， ，， 直线与坐标轴围成的三角形的面积等于， ，即， 或， 故答案为：或． 【变式4-1】在平面直角坐标系中，A（m，a），B（2，a），C（m+n，a－3），若△ABC 的面积等于6，则 m=___． 【答案】6或-2 【分析】根据点的坐标分别求出AB的长度，C到AB的距离，根据的面积等于6，列出方程即可解答． 【详解】解：∵A（m，a），B（2，a）， ∴， ∵C（m+n，a－3）， ∴C到AB的距离 ， ∴， ∴， ∴或． 故答案为：6或-2． 【点睛】此题考查了平面直角坐标系中面积的表达，准确找出三角形的底和高是解题的关键． 【变式4-2】在平面直角坐标系中，已知点、、，且三角形的面积等于8，则a的值是______． 【答案】或6 【分析】分点A在点C的左侧和右侧两种情况求出AC的长后，再根据三角形面积公式列式求解即可． 【详解】解：分两种情况：①点A在点C的左侧，如图， ∵、， ∴OB=4，AC=2-a ∵ ∴ ∴ 解得，； ②当点A在点C的右侧时，如图， 则AC=a-2 ∵ ∴ ∴ 解得，； 综上所述，a的值为：-2或6 故答案为：-2或6 【点睛】此题主要考查了图形与坐标的性质，注意点A的位置有两个是解答此题的关键． 【变式4-3】已知点，，点在正半轴上，且的面积是，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形，设点的坐标为：，根据三角形的面积公式，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵点，， ∴， 设点的坐标为：， 由题意得：， 则， 解得， 点在正半轴上，则， 则点的坐标为：． 故答案为：． 【题型5 面直角坐标系中动点与面积的综合】 【例5】如图，长方形在平面直角坐标系中，其中，，点是的中点，动点从点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点．若点运动的时间为秒，那么当的面积等于时，点坐标为_________． 【答案】或 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形面积公式，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 分三种情况讨论，即点在上，上及上；再根据分上述三种情况分别画出图形，利用三角形的面积公式进行计算解答即可． 【详解】解：，， ，， ①当在上时， ∵的面积等于， ， 解得， 点，， ②当在上时，如图2， ∵的面积等于， ， ， 解得． 点； ③当在上时， ， 解得，不合题意，舍去． 综上可知，当点坐标为，或时，的面积等于， 故答案为：，或 【变式5-1】（24-25七年级下·云南临沧·期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为．点C在y轴上运动，点D是x轴上的一点． 小华认为：的面积会随着点C的运动而改变； 小智认为：的面积不会随着点C的运动而改变，它是一个定值． (1)你同意谁的想法？请说明理由，若同意小智的想法，请求出该定值； (2)若的面积为15，求点D的坐标． 【答案】(1)同意小智的想法；12 (2)或 【分析】本题主要考查了坐标与图形综合应用，解题的关键是熟练掌握三角形面积公式，列出方程． （1）根据点A的坐标为，点B的坐标为，得出，轴，根据点C在y轴上运动，y轴到线段距离不变，得出的面积以AB为底，则高始终是y轴到线段距离，从而得出的面积为定值； （2）设，根据的面积为15，得出，求出x的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：同意小智的想法． ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴，轴， ∵点C在y轴上运动，y轴到线段距离不变， 则的面积以AB为底，则高始终是y轴到线段距离， ∴的面积为定值． ∵，， ∴y轴到线段距离为4． ∴． （2）解：由（1）知． ∵点D是x轴上的一点， ∴设， ∴， 解得，或． ∴或． 【变式5-2】如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，，点在第一象限，平行于轴，且．点从点出发，以每秒个单位长度沿轴向下匀速运动；点从点同时出发，以每秒个单位长度的速度沿轴向右匀速运动，当点到达点时停止运动，点也随之停止运动．设运动时间为秒．问： (1)________，________． (2)当时，求三角形的面积． (3)是否存在这样的，使三角形的面积是三角形的面积的倍，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，三角形的面积为 (3)当或时，三角形的面积是三角形的面积的倍 【分析】（1）根据，平行于轴，且，即可求解； （2）分别求出点的坐标，根据（1）求出点的坐标，最后根据三角形的面积即可求解； （3）根据题意，分类讨论，当时，，；当时，，；结合图形即可求解． 【详解】（1）解：∵，平行于轴，且，点在第一象限， ∴，则， 故答案为：． （2）解：点的速度是每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度， ∵，， ∴， 点到达点所用的时间是， 当时，点，点，如图所示， 点， ∴，， ∴， ∴当时，三角形的面积为． （3）解：设运动时间为秒， ∴当时，，， ∴，， ∴，解得，，符合题意； 当时，，， ∴，， ∴，解得，，符合题意； 综上所述，当或时，三角形的面积是三角形的面积的倍． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中动点的变换与三角形面积的综合，掌握动点的运算，点坐标的表示，三角形面积的计算是解题的关键． 【变式5-3】在平面直角坐标系中，为坐标原点，过点分别作轴、轴的平行线，交轴于点，交轴于点． (1)直接写出点和点的坐标：______，______、______，______； (2)取点，连接，在轴上存在点，使，求点的坐标； (3)若点从点以个单位长度秒的速度沿方向移动到点停止运动，同时点从点以个单位长度秒的速度沿方向移动到点停止运动，设移动的时间为秒，四边形的面积是否发生变化？若不变，求出四边形的面积．若变化，求出变化的范围． 【答案】(1)， (2)或 (3)四边形的面积不变，是 【分析】（1）根据坐标系直接写出点的坐标即可求解； （2）根据题意分情况讨论，当在上时，当点在的延长线上时，当点在轴的负半轴上时，分别根据，列出方程，进而求得点的坐标； （3）根据题意，表示出线段，，根据四边形的面积等于长方形的面积减去2个三角形的面积列出代数式，化简后即可求解． 【详解】（1）解：轴于，轴于，点， ， ，， ，， 故答案为：，； （2）分三种情况： 当在上时，如图， ， ， ， ； 当点在的延长线上时，如图， ， 不符合题意，舍去； 当点在轴的负半轴上时，如图， ， 设 ∴ 解得 ； 综上，点的坐标为或； （3）由题意得：，， ， 四边形的面积， 四边形的面积不变，是． 【点睛】本题考查了坐标与图形，动点问题，列代数式，整式的加减应用，解一元一次方程，数形结合是解题的关键． 【题型6 坐标系中平移与面积的综合】 【例6】如图，的顶点的坐标分别为，，把沿轴向右平移得到． （1）若，则的长为______； （2）连接，在（1）的条件下，则四边形的面积是______． 【答案】 30 【分析】本题考查平移的性质，梯形的面积． （1）由点的坐标和平移的性质先求出 ，再求即可； （2）由平移可知四边形是梯形，再根据坐标求出上底，下底和高即可． 【详解】解：（1） 的坐标分别为，，沿轴向右平移得到 故答案为：； （2）如图，连接， 的坐标分别为，，沿轴向右平移得到 四边形是梯形 由（1）知， 梯形面积是． 故答案为：30． 【变式6-1】如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，现在同时将点，分别向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到，的对应点，．连接，，．在轴上有一点，满足的面积是面积的倍，则点的坐标是________． 【答案】或/或 【分析】设点E的坐标为（x，0），根据△DEC的面积是△DEB面积的2倍和三角形面积公式得到 ，解得x=2或x=10，然后写出点E的坐标． 【详解】解：设点E的坐标为（x，0）， ∵△DEC的面积是△DEB面积的2倍， ∴，解得x=2或x=10， ∴点E的坐标为（2，0）和（10，0）． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标得到线段的长和线段与坐标轴的关系．也考查了平行线的性质和分类讨论的思想． 【变式6-2】如图，在平面直角坐标系中，点，点，将△OEF向下平移2个单位长度得到，与x轴交于点G，则阴影部分面积是 _______． 【答案】14 【分析】用的面积减去的面积即可． 【详解】解：∵点，点， ， ， ， ∴阴影部分面积是： ． 故答案为：14． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移，熟练掌握平移的性质是关键． 【变式6-3】如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，点B在x轴正半轴上，，，点C是第一象限内一点且轴，将线段经过一定的平移得到线段，点A的对应点为点D，点B的对应点为点C，连接，，点P为y轴上一动点，当时，点P的坐标为______．（注：表示的面积）    【答案】或． 【分析】根据三角形的面积求出，然后利用平移的性质可求点D坐标，由三角形的面积公式可求解． 【详解】解：如图，过点D作于点E，在y轴取点P，连接，    ∵轴，将线段经过一定的平移得到线段，， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴点， ∵将线段进行适当的平移得到线段，， ∴， ∴点， ∵， ∴， ∴， ∵点， ∴或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了作图-平移变换，平面直角坐标系，三角形面积公式，坐标的平移等知识，掌握平移的性质是解题的关键． 【题型7 坐标系面积中点的坐标存在性问题】 【例7】如图，在平面直角坐标系中，点A，，的坐标分别为，，．若在内中存在一点，使得的面积是的面积的9倍，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，解题的关键是根据题意列出关于a的方程并解出a的值．根据点的坐标先表示两个三角形面积，列方程求出求出a的值，即可得出结论． 【详解】解： ，，， ， ， 的面积是的面积的9倍， ， 解得：， ． 故答案为： 【变式7-1】如图，已知△ABC，其中△A′B′C′是由△ABC经过平移得到的，已知点B平移后的对应点B′的坐标是（4，2），在y轴上存在点D，使△DAC′的面积等于△ABC面积的2倍满足条件的D点坐标是（    ） A．（0，5） B．（0，6） C．（0，5）或（0，6） D．（0，5）或（0，﹣5） 【答案】D 【分析】先利用平移的性质求出点C'的坐标，设D（0，m）．利用三角形的面积公式构建方程求出m即可． 【详解】解：由题意C′（6，7），设D（0，m）． 则有•|m|×6=2××3×5， 解得m=±5， ∴D（0，5）或（0，-5）． 故选：D． 【点睛】本题考查坐标与图形变化-平移，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型． 【变式7-2】如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足． (1)求a、b的值． (2)如果在第三象限内有一点，请用含m的式子表示三角形的面积． (3)在（2）条件下，当时，在y轴上是否存在点P，使得三角形的面积与三角形的面积相等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或． 【分析】本题主要考查非负数的性质、坐标与图形问题，列代数式等知识，点的坐标转化为点到坐标轴的距离时注意符号问题． （1）根据非负数性质可得、的值； （2）根据三角形面积公式列式整理即可； （3）根据（2）的结论得出，设，则，根据三角形面积公式列出方程，解方程即可求解．． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，； （2）如图1所示， 过作轴于， ∵，， ∴，， ∴， ∵在第三象限内有一点， ∴， ∴． （3）解：时，， 设，则， ， ∴， 解得， ∴或． 【变式7-3】（24-25七年级下·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，已知点．点P是线段上一动点，以O，A，P为顶点的三角形的面积记作． (1)___________（填“存在”或“不存在”）一点，使得； (2)将线段向下平移t个单位长度，若存在一点P，使得，则t的最大值是___________． 【答案】(1)不存在； (2)5． 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中三角形面积的计算，点到直线距离，平移变换等知识点，掌握这些知识点和数形结合是解题的关键． （1）以为底计算三角形面积，即可求得P点到是距离，根据题意和图即可判断； （2）根据平移性质和图象数形结合即可． 【详解】（1）解：设P点到的距离为h， 则， 由题意知，所以， 又因为点P是线段上一动点，h不可能为1， 所以不存在一点，使得； 故答案为：不存在； （2）由（1）知，只要,则， 又因为， 所以由图可知，将线段向下平移t个单位长度，若存在一点P，使得，则t的最大值是5． 故答案为：5． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平面直角坐标系与面积问题（举一反三专项训练） 【新教材沪科版】 题型归纳 【题型1 直接利用面积公式求图形的面积】 1 【题型2 利用割补法求图形的面积】 2 【题型3 由图形的面积关系求点的坐标】 3 【题型4 由图形的面积求点的坐标】 4 【题型5 面直角坐标系中动点与面积的综合】 4 【题型6 坐标系中平移与面积的综合】 5 【题型7 坐标系面积中点的坐标存在性问题】 7 【题型1 直接利用面积公式求图形的面积】 【例1】在平面直角坐标系中，由点组成的三角形的面积是（      ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式1-1】（2026·湖北·一模）在坐标系中的位置如图，点的坐标为，则的面积等于______． 【变式1-2】已知的面积是_____． 【变式1-3】三角形中，如果，， ，则的面积是______． 【题型2 利用割补法求图形的面积】 【例2】如图，已知：，，，求△AOE的面积（    ） A．3.5 B．2.5 C．6 D．7 【变式2-1】如图，在平面直角坐标系中，，则四边形的面积是_____ 【变式2-2】已知三角形三个顶点的坐标,求三角形面积常用的方法是割补法,将三角形面积转化成若干个特殊的四边形和三角形的面积的和与差.现给出三点坐标:A(-1,4),B(2,2),C(4,-1),则S三角形ABC=____. 【变式2-3】（24-25八年级上·广西贺州·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别是，，，，则四边形的面积为____________________． 【题型3 由图形的面积关系求点的坐标】 【例3】（24-25七年级下·湖北黄石·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，长方形的长为，宽为，动点从点出发沿运动，当的面积等于四边形面积的时，点的坐标为__________． 【变式3-1】（24-25七年级下·广东惠州·期末）如图， 在平面直角坐标系中， 已知， ， 其中a，b满足 ．点M的坐标，在y轴的正半轴上有一点 P，使得三角形 的面积与三角形的面积相等，则点 P 的坐标为（  ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系中有8个边长为1的正方形，线段将这8个正方形分成面积相等的两部分，则点A的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】在平面直角坐标系中，为原点，的顶点坐标分别为，，，将点右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到对应点． (1)直接写出点的坐标； (2)求的面积； (3)点是一个动点，若的面积等于的面积，请求出点坐标． 【题型4 由图形的面积求点的坐标】 【例4】已知点和点，且直线与坐标轴围成的三角形的面积等于，则的值是______． 【变式4-1】在平面直角坐标系中，A（m，a），B（2，a），C（m+n，a－3），若△ABC 的面积等于6，则 m=___． 【变式4-2】在平面直角坐标系中，已知点、、，且三角形的面积等于8，则a的值是______． 【变式4-3】已知点，，点在正半轴上，且的面积是，则点的坐标为______． 【题型5 面直角坐标系中动点与面积的综合】 【例5】如图，长方形在平面直角坐标系中，其中，，点是的中点，动点从点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点．若点运动的时间为秒，那么当的面积等于时，点坐标为_________． 【变式5-1】（24-25七年级下·云南临沧·期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为．点C在y轴上运动，点D是x轴上的一点． 小华认为：的面积会随着点C的运动而改变； 小智认为：的面积不会随着点C的运动而改变，它是一个定值． (1)你同意谁的想法？请说明理由，若同意小智的想法，请求出该定值； (2)若的面积为15，求点D的坐标． 【变式5-2】如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，，点在第一象限，平行于轴，且．点从点出发，以每秒个单位长度沿轴向下匀速运动；点从点同时出发，以每秒个单位长度的速度沿轴向右匀速运动，当点到达点时停止运动，点也随之停止运动．设运动时间为秒．问： (1)________，________． (2)当时，求三角形的面积． (3)是否存在这样的，使三角形的面积是三角形的面积的倍，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式5-3】在平面直角坐标系中，为坐标原点，过点分别作轴、轴的平行线，交轴于点，交轴于点． (1)直接写出点和点的坐标：______，______、______，______； (2)取点，连接，在轴上存在点，使，求点的坐标； (3)若点从点以个单位长度秒的速度沿方向移动到点停止运动，同时点从点以个单位长度秒的速度沿方向移动到点停止运动，设移动的时间为秒，四边形的面积是否发生变化？若不变，求出四边形的面积．若变化，求出变化的范围． 【题型6 坐标系中平移与面积的综合】 【例6】如图，的顶点的坐标分别为，，把沿轴向右平移得到． （1）若，则的长为______； （2）连接，在（1）的条件下，则四边形的面积是______． 【变式6-1】如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，现在同时将点，分别向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到，的对应点，．连接，，．在轴上有一点，满足的面积是面积的倍，则点的坐标是________． 【变式6-2】如图，在平面直角坐标系中，点，点，将△OEF向下平移2个单位长度得到，与x轴交于点G，则阴影部分面积是 _______． 【变式6-3】如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，点B在x轴正半轴上，，，点C是第一象限内一点且轴，将线段经过一定的平移得到线段，点A的对应点为点D，点B的对应点为点C，连接，，点P为y轴上一动点，当时，点P的坐标为______．（注：表示的面积）    【题型7 坐标系面积中点的坐标存在性问题】 【例7】如图，在平面直角坐标系中，点A，，的坐标分别为，，．若在内中存在一点，使得的面积是的面积的9倍，则点的坐标为______． 【变式7-1】如图，已知△ABC，其中△A′B′C′是由△ABC经过平移得到的，已知点B平移后的对应点B′的坐标是（4，2），在y轴上存在点D，使△DAC′的面积等于△ABC面积的2倍满足条件的D点坐标是（    ） A．（0，5） B．（0，6） C．（0，5）或（0，6） D．（0，5）或（0，﹣5） 【变式7-2】如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足． (1)求a、b的值． (2)如果在第三象限内有一点，请用含m的式子表示三角形的面积． (3)在（2）条件下，当时，在y轴上是否存在点P，使得三角形的面积与三角形的面积相等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式7-3】（24-25七年级下·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，已知点．点P是线段上一动点，以O，A，P为顶点的三角形的面积记作． (1)___________（填“存在”或“不存在”）一点，使得； (2)将线段向下平移t个单位长度，若存在一点P，使得，则t的最大值是___________． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $