10.3 乘法公式（第2课时 完全平方公式）课件 2025--2026学年青岛版数学七年级下册

该初中数学课件聚焦完全平方公式，通过正方形花坛边长增减的情境导入，类比平方差公式学习过程，引导学生观察猜想、用多项式乘法证明及几何图形验证，以多项式乘法和平方差公式为支架构建知识体系。 其亮点在于融合情境创设与直观探究，借助“首平方，尾平方，积的2倍放中央”口诀强化数学语言表达，通过图形面积推导培养几何直观（数学眼光），多项式乘法证明发展推理能力（数学思维）。变式训练与小组合作提升应用能力，助力学生理解公式本质，教师可高效开展教学。

10.3 乘法公式 （2） 如图，某中学计划将一个边长为xm的正方形花坛，如果每条边的长度都增加2m，新花坛的面积是多少?如果都减少1m呢? 观察与发现 由于新花坛依然呈正方形， 因此改造后的花坛面积分别为： (x+2)² 和(x一1)²这两个式子有什么特征？如何计算？ (x+2)²m2 创设情境 导入新课 这两个式子都表示两个相同多项式的积，即和或差的平方形式。这也是一种特殊形式的整式乘法。 (x一1)²m²， 类比平方差公式的学习过程，下面我们将研究形如(x+2)² 和(x一1)²都表示两个相同多项式的积，即和或差的平方形式，这种特殊形式的整式乘法------完全平方公式。 创设情境 导入新课 猜一猜： 猜想操作 (a-b)2 =(a-b)(a-b) (a+b)2 =a2-ab-ab+b2 =a2-2ab+b2 =(a+b)(a+b) =a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2 猜想：(a+b)2=a2+2ab+b2； (a-b)2=a2-2ab+b2. 1.用多项式乘法证明 仿照平方差公式，你能用文字叙述这一规律吗? 两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍． 这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式. 归纳总结 探究新知 一个正方形花坛的边长是a米，如果把它的每条边长都增加b米，所得到的新正方形花坛的面积是_ ________ 平方米。 (1)你能用多项式的乘法法则计算(a+b)2吗？ (a+b)2 =(a+b)(a+b) =a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2 b a a b （2）如图12-3,你能利用该图的面积关系进行计算吗？ a a b b 图12-3 ab b² a² ab a2+2ab+b2 (a+b)2 = 两数和的平方等于这两个数的平方和加上它们乘积的2倍 两数和的完全平方公式 和的完全平方公式 归纳总结 (a+b)2= a2+2ab+b2 两数和的平方等于这两个数的平方和加上它们乘积的2倍。 观察公式等号左右两边有什么特征？ (1) 公式左边是两个数和的平方。 (2) 公式右边有三项，其中两项是这两个数的平方和，中间再加上两数积的2倍。 9 新知探究一 完全平方公式 观察与发现 （1）如何计算(x+2)² 和(x一1)²？ (x+2)² =(x+2)（x+2) =x2+4x+4; =x·x+x·2+2·x+2×2 =x2+2x+2x+4 (x一1)² =(x-1)（x-1) =x·x - x·1-1·x+（-1）×（-1） =x2-x-x+1 =x2-2x+1 能否用平方差公式计算？ 新知探究一 完全平方公式 观察与发现 (2)观察上面的算式及其运算结果，你有什么发现? 1.上面的算式表示的是两数和(差)的平方的运算。 (x+2)² =x2+4x +4; (x一1)² =x2-2x +1 2.其运算结果有三项，分别是这两个数的平方和， 加上这两个数乘积的二倍。 换成其他数或式还符合这个规律吗？ 新知探究一 完全平方公式 思考与交流 （3）计算下列算式： (x+5)²= ; (2y-1)²= . x2+10x+25 4y2-4y+1 两数和(差)的平方的运算。 其运算结果有三项，分别是这两个数的平方和， 加上这两个数乘积的二倍。 能得出 一般式吗？ 类型一、变形求值 变式训练： ______. 解： 14 类型一、变形求值 计算： ______. 变式训练： _____. 4 B 3.大家看式子（a-b)2,你会用几种方法来求它的值？ 学习指导： （1) 以小组为单位合作交流 （2）时间3分钟 （3）3分钟后，小组代表进行展示 学生交流中 …… 探究新知 一个正方形花坛的边长是a米，如果把它的每条边长都减少b米，所得到的新正方形花坛的面积是_ ________ 平方米。 (1)你能用多项式的乘法法则计算(a-b)2吗？ (a-b)2 =(a-b)(a-b) =a2-ab-ab+b2 =a2-2ab+b2 b a b a 交流成果展示1 (a-b)2 =(a-b)(a-b) =a2-ab-ab+b2 =a2-2ab+b2 根据多项式的乘法进行计算 猜想：(a + b)2= ； (a－ b)2= 。 新知探究一 完全平方公式 思考与交流 a2+2ab+b2 a2-2ab+b2 (a + b)2 =(a + b)(a + b) =a2 +a b+ab + b2 =a2+2ab+b2 (a－ b)2 =(a－ b)(a－ b) =a2 -a b+ab - b2 =a2-2ab+b2 两数和(差)的平方等于这两个数的平方和加上或减去 这两个数乘积的二倍。 概括与表达 新知探究一 完全平方公式 完全平方公式 两个数的和(差)的平方，等于这两个数的平方和加上（或减去）它们乘积的二倍。 (a + b)2=a2+2ab+b2 (a－ b)2= a2-2ab+b2 (a+b)2= a2+2ab+b2 (a-b)2= a2-2ab+b2 问题 观察下面两个完全平方式，比一比，回答下列问题： 1.说一说积的次数和项数. 2.两个完全平方式的积有相同的项吗？ 3.两个完全平方式的积中不同的是哪一项？它的符号与什么有关？ 探索新知 都是二次三项式 a2和b2 +2ab和-2ab 与两数中间的符号相同 差的完全平方公式 归纳总结 (a-b)2= a2-2ab+b2 两数差的平方等于这两个数的平方和减去它们乘积的2倍。 观察公式等号左右两边有什么特征？ (1) 公式左边是两个数差的平方。 (2) 公式右边有三项，其中两项是这两个数的平方和，中间再减去两数积的2倍。 21 归纳总结 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 完全平方公式 公式特征： 4、公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式. 1、积为二次三项式； 2、积中两项为两数的平方和； 3、另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同. 首平方，尾平方，积的2倍放中央. 22 ⑴ 四块实验田的面积分别为： ____ 、 ____ 、 ____ 、 ____ 。 ⑵ 两种形式表示实验田的总面积： ① 整体看：边长为 的大正方形， S= ； ② 部分看：四块面积的和，S= 。 a b b 1.观察图形，回答： 新知探究二 完全平方公式几何验证 根据面积相等，验证 . a2 b2 ab ab (a + b) (a + b)2 a2 +a b+ab + b2 (a + b)2=a2+2ab+b2 a a b b (a-b)² a² ab ab b² b b 新知探究二 完全平方公式几何验证 利用几何图形怎样验证 (a－ b)2= a2-2ab+b2？ (a－ b)2 表示哪一个图形的面积？ a2 -ab -ab +b2 这一个图形的面积还可以怎么表示？ = a2-2ab+b2 根据面积相等，验证 . (a－ b)2= a2-2ab+b2 (a+b) 2=a2+2ab+b2 (a－b) 2=a2－2ab+b2 完全平方公式： 两数和（或差）的平方，等于这两数的平方和加上（或减去）这两数积的2倍. 完全平方公式的特征 结构特点： 左边是一个二项式（和或差）的完全平方； 右边是一个二次三项式，其中有两项是平方的形式且符号相同，还有一项是它们乘积的2倍，正负均可。 语言描述： 简记为： “首平方，尾平方， 积的2倍放中间。” 口诀：首平方，尾平方，首尾两倍中间放 小结 在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原形的两边, 做到 不丢项、 不弄错符号、 2ab时不少乘2； 完全平方公式 结果是三项，不要漏掉中间项 (a±b)2=a2±2ab+b2 两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍 符号表示 注意 内容 中间项的符号要正确 图形变形前后阴影部分面积相等 几何解释 课堂小结 $