山东省泰安泰山中学2025-2026学年高一下学期期末考试押题训练卷

**基本信息** 山东省泰安泰山中学高一下学期期末押题训练卷，涵盖向量、复数、立体几何、概率统计等核心知识，通过春节申遗、选科测试等真实情境，考查数学眼光、思维与语言，适配高一期末综合能力评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|向量性质、复数概念、斜二测画法、概率计算|基础概念辨析，如向量共线判定、纯虚数求解| |多选题|3/18|线面关系、统计图表、解三角形|结合逻辑推理，如异面直线截线段中点平行证明| |填空题|3/15|古典概型、解三角形应用、外接球表面积|实际问题转化，如测量塔高的正弦定理应用| |解答题|5/77|复数方程、立体几何证明与计算、统计概率综合|分层设计，如四棱锥面面垂直证明与二面角计算，融合直观想象与数学运算|

山东省泰安泰山中学2025-2026学年高一下学期期末考试押题训练卷 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）关于向量，，下列命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 2．（本题5分）已知复数是纯虚数，则实数（    ） A． B．0 C．1 D．2 3．（本题5分）如图，为水平放置的用斜二测画法画出的直观图，其中，为的中点，为轴上一点，且平行于轴，平行于轴，，则为（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰非等边三角形 4．（本题5分）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）已知向量，，且，则（   ） A． B． C． D． 6．（本题5分）已知直四棱柱的棱长均为2，，设，分别是相邻两个面的对角线所在的直线，则与所成角的余弦值不可能为（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）为了帮助高一学生更好地了解自己适合选报物理还是历史，某校在学生选科之前组织了一场物理考试，并从中随机抽取了部分学生的成绩（满分为100分），将数据整理得到如图所示的频率分布直方图．根据该频率分布直方图，用样本估计总体，则（    ）． A．频率分布直方图中的m的值为0.15 B．该年级物理成绩的众数的估计值为80分 C．该年级物理成绩的平均数的估计值为75分 D．若物理成绩排名前70％的学生适合选报物理，则适合选报物理的学生此次成绩应不低于62分 8．（本题5分）在正方体中，分别为的中点，则下列结论错误的是（    ） A．直线与所成的角为 B．直线与平面平行 C．若正方体棱长为1，三棱锥的体积是 D．点和到平面的距离之比是3∶1 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）下列命题中为真命题的是（   ） A．若直线平面，直线，则 B．两条异面直线被两个平行平面截得的线段的中点连线平行于这两个平面 C．若平面平面，直线平面，直线平面，则 D．若直线平面，直线平面，直线平面，直线平面，则 10．（本题6分）“百节年为首，四季春为先”，2024年12月4日，中华民族传统佳节——春节申遗成功.为庆祝春节申遗成功，某校组织500名学生参加中华优秀传统文化知识竞赛，经统计，这500名学生的成绩都在区间内，按分数分成5组：.得到如图所示的频率分布直方图，根据图中数据，下列选项正确的有（    ） A．的值为0.02 B．这500名学生中，成绩在区间内的人数最少 C．这500名学生中，成绩不低于70分的人数约为350 D．这500名学生成绩的第80百分位数约为80 11．（本题6分）下列命题中，正确的是（   ） A．在中，若，则是等腰直角三角形 B．在中，若，则 C．在锐角三角形中，不等式恒成立 D．在中，若，，则必是等边三角形 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）从装有3个红球和2个黑球的盒子中不放回地一次随机抽取2个球（球除颜色外，其余完全相同），则至少抽到1个黑球的概率为______． 13．（本题5分）如图，在测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测得，；，且在点测得塔顶A的仰角为，则______． 14．（本题5分）已知，在三棱锥中，平面，，则三棱锥的外接球的表面积为_________． 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）已知复数（为虚数单位）． (1)若，求复数的共轭复数及； (2)若是关于的方程的一个虚根，求实数的值． 16．（本题15分）如图，在正三棱柱中，，为棱的中点． (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 17．（本题15分）已知在中，内角所对的边分别为，且． (1)求； (2)若的周长为，面积为，求． 18．（本题17分）某学校组织全校学生进行了一次“两会知识多少”的问卷测试.已知所有学生的测试成绩均位于区间，从中随机抽取了40名学生的测试成绩，绘制得到频率分布直方图，如图所示.    (1)求图中的值； (2)学校团组织利用比例分配的分层随机抽样方法，从和的学生中抽取7人组成宣讲团. （ⅰ）求应从和学生中分别抽取的学生人数； （ⅱ）从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，求至少有1人测试成绩位于区间的概率. 19．（本题17分）如图所示，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，，是的中点． (1)求证：平面平面． (2)求二面角的余弦值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【详解】选项A，两个向量的模相等，但是方向不确定，所以不一定相等，A错误； 选项B，若，则与任意向量共线，而与的方向不确定，B错误； 选项C，两个向量不能比较大小，C错误； 选项D，若，两个向量方向相反、共线，故，D正确． 2．B 【分析】根据纯虚数的定义，列出方程组，再结合选项筛选结果即可． 【详解】由复数是纯虚数， 则，解得，或， 所以结合选项得． 3．D 【详解】由题意得，故 ；而是中点， 得，，得， 而平行于轴，平行于轴，根据斜二测画法还原图形， 平行于轴，所以轴，且是 中点，所以是等腰三角形， 因为， ，，， 所以，故是等腰非等边三角形. 4．A 【分析】根据概率加法公式计算可得. 【详解】因为， 所以. 故选：A 5．C 【分析】由得，再结合模长公式及数量积的坐标表示即可求解. 【详解】由得，即，又，，所以，解得 故选：C 6．C 【分析】作出直四棱柱由面对角线构成的四面体，在四面体的各个面中求出三角形内角的余弦判断即可. 【详解】直四棱柱中，四面体的六条棱所在直线能表征直四棱柱各个面上所有对角线， 该四棱柱的所有棱长都为2，，则，， 在中，，； 在中，，； 在中，，； 在中，，， 所以选项ABD均有可能，C不可能. 故选：C 7．D 【分析】A选项由小长方形的面积之和是可求出，B选项根据最高的长方形中点值判断，C选项根据平均数公式求解，D选项先判断分位数所在区间，然后列方程求解. 【详解】A选项，由小长方形的面积之和是，得到，解得，A选项错误； B选项，由图可知，众数的估计值是，B选项错误； C选项，由图可知，平均值是，C选项错误； D选项，物理成绩排名前70％的学生，等效于求解图中分位数， 由图的频率是，的频率是，故分位数出现在， 设其为，则，解得，D选项正确. 故选：D 8．A 【分析】对于A项，通过找平行线来求异面直线所成角即可；对于B项，通过面面平行的判定定理可证得平面平面，再结合面面平行的性质可证得平面；对于C项，由平面可得和到平面的距离相等，运用等体积法即可求得三棱锥的体积；对于D项，由与到平面的距离相等及即可求得结果． 【详解】对于选项A，由图可知与显然平行，所以即为所求，故选项A错误； 对于选项B，取的中点，连接、，如图所示， 易知，平面，所以且平面， 又易知，平面,平面，所以平面, 又，平面，所以平面平面, 又平面，所以平面，故选项B正确； 对于选项C，由选项B知，平面，所以和到平面的距离相等， 所以，故选项C正确； 对于选项D，平面过的中点，即平面将线段平分，所以与到平面的距离相等， 连接交于点，交与点，如图所示， 易知，又因为是中位线，所以是的中点，即可得； 可得， 所以与到平面的距离之比为，故选项D正确． 故选：A. 【点睛】方法点睛：求解点到平面距离问题经常利用等体积法和比例关系求出对应点到平面的距离. 9．BC 【分析】根据线面位置关系及面面位置关系判断各个选项即可. 【详解】对于A，若直线平面，直线，则或，A选项错误； 对于B，如图，平面且为两条异面直线， 分别为的中点， 过点作交平面于，连接， 设是的中点，则， 又，所以， 因为，所以， 又平面， 所以平面平面， 又，所以平面平面， 又平面，所以， 即夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面， 故B选项正确； 对于C，若平面平面，设，直线平面，直线平面， 所以所成角为所成面面角，则，C选项正确； 对于D，若直线平面，直线平面，，直线平面，直线平面，则可以是相交平面，D选项错误； 故选：BC. 10．ABC 【分析】根据频率分布直方图小矩形面积和为1求解判断A；根据频率分布直方图特点即可判断B，计算不低于70分的频率和即可判断C，根据频率分布直方图的计算可得第80百分位数可判断D. 【详解】对于A，由，解得，故A正确 对于B，这一组频率最小，即成绩在上的人数最少，故B正确； 对于C，成绩不低于70分的学生频率为， 成绩不低于70分的人数约为，故C正确； 对于D，因为第五个组的频率为， 所以这500名学生成绩的第80百分位数约为90，故D错误. 故选：ABC. 11．BCD 【分析】由正弦定理边化角关系，利用二倍角的正弦，结合正弦函数性质判断A；由正弦定理及三角形边角关系判断B；由，则，结合正弦函数性质C；利用余弦定理及已知确定△的形状判断D. 【详解】对于A，由及正弦定理，得，即， 又，则或，则为等腰或直角三角形，A错误； 对于B，由正弦定理得，B正确； 对于C，锐角中，，则，，C正确； 对于D，由已知及余弦定理，得，则，即， 又，因此必是等边三角形，D正确. 故选：BCD 12．/ 【分析】利用列举法可得总样本空间为10个，符合的有7个，利用古典概率即可求解. 【详解】设3个红球分别为，2个黑球分别为， 则试验的样本空间为，共10个样本点， 选出的2个球中至少有1个黑球包含的样本点为，共7个， 则所求概率为． 故答案为：. 13． 【分析】由题及正弦定理可得，然后由在点测得塔顶A的仰角为可得AB. 【详解】在中，由正弦定理，， 则，又因在点测得塔顶A的仰角为， 则. 故答案为： 14． 【分析】利用正弦定理求出的外接圆直径，利用公式可计算得出三棱锥的外接球直径，然后利用球体的表面积公式可求得结果. 【详解】如下图所示，设圆柱的底面半径为，母线长为，圆柱的外接球半径为， 取圆柱的轴截面，则该圆柱的轴截面矩形的对角线的中点到圆柱底面圆上每个点的距离都等于， 则为圆柱的外接球球心，由勾股定理可得. 平面，设的外接圆为圆， 可将三棱锥内接于圆柱，如下图所示： 设的外接圆直径为，，又， 由正弦定理可得， 该三棱锥的外接球直径为，则. 因此，三棱锥的外接球的表面积为. 故答案为：. 15．(1)， (2)2 【分析】（1）结合已知条件，根据复数的四则运算法则计算即可； （2）将z代入二次方程即可求出m的值． 【详解】（1）复数为虚数单位， ， ∴复数的共轭复数； （2）是关于的方程的一个虚根， ，整理得：， 则，且， 解得：． 16．(1)证明：连接交于，连接，易得为中点． 在正三棱柱中，因为、分别为、中点，所以 又因为平面，平面，所以平面 (2) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明结论； （2）作出异面直线与所成角，判断是直角三角形，即可求得答案. 【详解】（1）略 （2）取中点，连接． 在正三棱柱中，设，因为、分别为、中点， 可得，且，所以四边形是平行四边形 所以，或其补角即为异面直线与所成的角． 在中，， 满足， 则是直角三角形， 所以． 即异面直线与所成角的余弦值为． 17．(1) (2) 【分析】（1）根据条件，利用正弦定理边转角及正弦的和角公式得，即可求解； （2）利用三角形的面积公式及余弦定理，再结合条件得，即可求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 又，所以，则，得到， 又，所以. （2）由（1）知，所以，得， 又因为，又，得， 由的周长为， 所以，整理得到， 解得. 18．(1) (2)（ⅰ）5人，2人；（ⅱ） 【分析】（1）根据频率分布直方图中各组频率之和为1，即可求得的值； （2）（ⅰ）根据两组的频率之比，即可求得每组抽取人数； （ⅱ）依题意即可写出样本空间，根据古典概型的概率公式，即可求得答案. 【详解】（1）由频率分布直方图可得， 解得； （2）（ⅰ）由图可得和这两组的频率之比为， 故应从学生中抽取的学生人数为（人）， 应从学生中抽取的学生人数为（人）；, （ⅱ）设从中抽取的5人为，从学生中抽取的2人为1，2， 则这个试验的样本空间为 ， 共有21个基本事件； 事件“至少有1人测试成绩位于区间”，事件的个数有11个， 即， 故. 19．(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)要证面面垂直,只需找到线面垂直即可.根据已知条件很容易发现,即面,从而得证平面平面. (2)由第一问可知,,,所以为二面角的平面角.然后利用余弦定理求出余弦值即可. 【详解】（1）四边形是直角梯形,, ,，, 平面,平面, ,又,,平面, 平面,又平面,平面平面. （2）由(1)可知平面, ,平面,,, 为二面角的平面角. ,,. ,二面角的余弦值为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $