精品解析：山东省泰安市泰山国际学校2023-2024学年高一下学期第二学段模块（期末）考试数学试题

泰山国际学校2023-2024学年第二学期第二学段模块考试 高一数学试题 一、选择题 1. 如果，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 已知向量，，若与共线，则（ ） A. B. 4 C. D. 或4 3. 某同学坚持夜跑锻炼身体，他用手机记录了连续周每周的跑步总里程（单位：千米），其数据分别为17，21，15，8，9，13，11，10，20，6，则这组数据的分位数是（ ） A. 12 B. 16 C. 17 D. 18.5 4. 已知平面，和直线，，且，，，则与的位置关系是（ ） A. 平行或异面 B. 平行 C. 异面 D. 相交 5. 古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus）利用如图所示的直角三角形来构造无理数．已知，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在三棱台中，平面，则与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 校运会组委会将甲、乙、丙、丁4名志愿者随机派往铅球、跳远、跳高三个比赛区域，每个区域至少派1名志愿者，每名志愿者只能去一个区域．A表示事件“志愿者甲派往铅球区域”；表示事件“志愿者乙派往铅球区域”；表示事件“志愿者乙派往跳远区域”，则（ ） A. 事件A与相互独立 B. 事件A与为互斥事件 C. D. 8. 为庆祝五四青年节，某校举行了师生游园活动，其中有一游戏项目是夹弹珠.如图，四个半径都是1cm的玻璃弹珠放在一个半球面形状的容器中，每个弹珠的顶端恰好与容器的上沿处于同一水平面，则这个容器的容积是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题 9. 已知复数，，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 在复平面内，对应的点关于虚轴对称 10. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，、分别是、的中点，是棱上的动点，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 存在点，使平面 C. 存在点，使直线与所成的角为 D. 点到平面与平面的距离和为定值 11. “奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，则有.设是锐角内的一点，，，分别是的三个内角，以下命题正确的有（ ） A. 若，则为的重心 B. 若，则 C. 若，，，则 D. 若为的垂心，则 三、填空题 12. 国家高度重视青少年视力健康问题，指出要“共同呵护好孩子的眼睛，让他们拥有一个光明的未来”.某校为了调查学生的视力健康状况，决定从每班随机抽取5名学生进行调查.若某班有50名学生，将每一名学生从01到50编号，从下面所给的随机数表的第2行第4列的数开始，每次从左向右选取两个数字，则选取的第四个号码为______ 随机数表如下： 0154 3287 6595 4287 5346 7953 2586 5741 3369 8324 4597 7386 5244 3578 6241 13. 在中，已知角的对边分别为，且，若有两解，则的取值范围是____________． 四、双空题 14. 2009年9月，经联合国教科文组织批准，中国传统节日端午节正式列入世界非物质文化遗产，同时，端午节成为中国首个入选世界非物质文化遗产的节日．为弘扬中国传统文化，某校在端午节期间组织有关端午节文化知识竞赛活动，某班甲、乙两人组成“粽队”参加竞赛活动，每轮活动由甲、乙各回答一个问题，已知每轮活动中甲、乙答对问题的概率分别为和，且每轮活动中甲、乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．则甲在两轮活动中答对1个问题的概率为______，“粽队”在两轮活动中答对三个问题的概率为______． 五、解答题 15. 已知向量，. （1）求向量与夹角的余弦值； （2）若向量与互相垂直，求的值. 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. （1）求角的大小； （2）若，，求的面积. 17. 为调查学生近视情况，东部新区从不同地域环境的甲、乙两所学校各抽取100名学生参与调查，调查结果分为“近视”与“非近视”两类，结果统计如下表： 近视人数 非近视人数 合计 甲校 50 50 100 乙校 70 30 100 合计 120 80 200 （1）甲，乙两所学校学生近视的频率分别是多少？ （2）能否有99%的把握认为近视人数与不同地域环境的学校有关？ 附：，其中． 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 18. 刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制．例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为．如图，在直三棱柱中，点A的曲率为，N，M分别为AB，的中点，且． （1）证明：平面． （2）证明：平面平面． （3）若，求二面角的正切值． 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为经过点且倾斜角为的直线l与椭圆交于A，B两点（其中点A在x轴上方），且的周长为8．将平面沿x轴向上折叠，使二面角为直二面角，如图所示，折叠后A，B在新图形中对应点记为，． （1）当时， ①求证：； ②求平面和平面所成角的余弦值； （2）是否存在，使得折叠后的周长为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泰山国际学校2023-2024学年第二学期第二学段模块考试 高一数学试题 一、选择题 1. 如果，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数四则运算求出，然后由共轭复数概念可得. 【详解】因为，所以， 所以，所以. 故选：D 2. 已知向量，，若与共线，则（ ） A. B. 4 C. D. 或4 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量平行的坐标表示，再解方程即可. 【详解】由两向量共线可知，即，解得或. 故选：D. 3. 某同学坚持夜跑锻炼身体，他用手机记录了连续周每周的跑步总里程（单位：千米），其数据分别为17，21，15，8，9，13，11，10，20，6，则这组数据的分位数是（ ） A. 12 B. 16 C. 17 D. 18.5 【答案】C 【解析】 【分析】将数据从小到大排列，再根据百分位数计算规则计算可得. 【详解】依题意这个数据从小到大排列为：，，，，，，，，，， 又，所以分位数为从小到大排列的第八个数，即为. 故选：C 4. 已知平面，和直线，，且，，，则与的位置关系是（ ） A. 平行或异面 B. 平行 C. 异面 D. 相交 【答案】A 【解析】 【分析】结合两平面平行的位置关系，判断两直线没有公共点即得. 【详解】因，，，则与没有公共点，即与平行或异面. 故选：A. 5. 古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus）利用如图所示的直角三角形来构造无理数．已知，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，结合平面向量的坐标运算代入计算，即可得到结果. 【详解】 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的坐标系， 由题意得，则，，，，，，． 因为，所以 解得所以． 故选：B． 6. 如图，在三棱台中，平面，则与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将棱台补全为棱锥，利用等体积法求到面的距离，结合线面角的定义求与平面所成角的余弦值. 【详解】将棱台补全为如下棱锥， 由，易知：， 由平面平面，则， 所以，故，所以， 若点到面的距离为，又， 则，可得， 综上，与平面所成角，则，即， 则， 故选：B. 7. 校运会组委会将甲、乙、丙、丁4名志愿者随机派往铅球、跳远、跳高三个比赛区域，每个区域至少派1名志愿者，每名志愿者只能去一个区域．A表示事件“志愿者甲派往铅球区域”；表示事件“志愿者乙派往铅球区域”；表示事件“志愿者乙派往跳远区域”，则（ ） A. 事件A与相互独立 B. 事件A与为互斥事件 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用相互独立事件，互斥事件的定义，条件概率的公式一一判定选项即可. 【详解】由题意易知分组情况为：2,1,1，即所有安排方案有种， 铅球区域可能安排2人或1人，所以， 同理，， 而，， 由相互独立事件的充要条件可知，事件A与不相互独立， 故A错误； 显然，事件A与能同时发生，不为互斥事件，故B错误； 由条件概率公式知，故C错误； ，故D正确. 故选：D 8. 为庆祝五四青年节，某校举行了师生游园活动，其中有一游戏项目是夹弹珠.如图，四个半径都是1cm的玻璃弹珠放在一个半球面形状的容器中，每个弹珠的顶端恰好与容器的上沿处于同一水平面，则这个容器的容积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据四个小球和容器的相切关系，作出对应的正视图和俯视图，建立球心和半径之间的关系即可得到容器的半径. 【详解】分别作出四个小球和容器的正视图和俯视图，如图所示: 正视图中小球球心B，半球球心O与切点A构成直角三角形，则有， 俯视图中，四个小球球心的连线围成正方形， 正方形的中心到球心的距离与正视图中的相等， 设半球半径为R，已知小球半径， 所以，，，. 所以半球面形状的容器的容积是. 故选：B 二、多项选择题 9. 已知复数，，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 在复平面内，对应的点关于虚轴对称 【答案】AB 【解析】 【分析】分别应用共轭复数、复数的模、复数的除法法则和复数的几何意义进行求解. 【详解】对于选项A，，故选项A正确； 对于选项B，，，所以，故选项B正确； 对于选项C，，故选项C错误； 对于选项D，在复平面内对应的点为，对应的点为，点关于实轴对称，故选项D错误. 故选：AB. 10. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，、分别是、的中点，是棱上的动点，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 存在点，使平面 C. 存在点，使直线与所成的角为 D. 点到平面与平面的距离和为定值 【答案】ABD 【解析】 【详解】建立空间直角坐标系，利用向量法对选项进行分析，从而确定正确答案． 【分析】因为平面，四边形为正方形， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，则、、、， 设，，其中， 所以，所以，A选项正确． 点到平面与平面的距离和为为定值，D选项正确． ，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得平面的一个法向量为， 要使平面，平面， 则， 解得，所以存在点，使平面，B选项正确； 若直线与直线所成角为， 则， 整理可得，，方程无解，所以C选项错误． 故选：ABD． 11. “奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，则有.设是锐角内的一点，，，分别是的三个内角，以下命题正确的有（ ） A. 若，则为的重心 B. 若，则 C. 若，，，则 D. 若为的垂心，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，假设为的中点，连接，由已知得在中线上，同理可得在其它中线上，即可判断；对于选项B，利用奔驰定理可直接得出B正确；对于C，根据奔驰定理可得，再利用三角形面积公式可求得，即可计算出，可得C错误；选项D，由垂心的性质、向量数量积的运算律，得到，结合三角形面积公式及角的互补关系得结论. 【详解】对于A：如下图所示， 假设为的中点，连接，则，故共线，即在中线上， 同理可得在另外两边的中线上，故O为的重心，即A正确； 对于B：由奔驰定理O是内的一点，的面积分别为， 则有可知， 若，可得，即B正确； 对于C：由，可知， 又，所以， 由可得； 所以，即C错误； 对于D：由四边形内角和可知，， 则， 同理， 因为O为的垂心，则， 所以， 同理得，， 则， 令， 由， 则， 同理：， ， 综上，， 根据奔驰定理得，即D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：利用向量数量积定义、运算律和垂心性质得到向量模的比例，结合三角形面积公式和奔驰定理判断结论即可. 三、填空题 12. 国家高度重视青少年视力健康问题，指出要“共同呵护好孩子的眼睛，让他们拥有一个光明的未来”.某校为了调查学生的视力健康状况，决定从每班随机抽取5名学生进行调查.若某班有50名学生，将每一名学生从01到50编号，从下面所给的随机数表的第2行第4列的数开始，每次从左向右选取两个数字，则选取的第四个号码为______ 随机数表如下： 0154 3287 6595 4287 5346 7953 2586 5741 3369 8324 4597 7386 5244 3578 6241 【答案】44 【解析】 【分析】根据随机数表的读取方法列出前几个数，即可得解 【详解】根据随机数表的读取方法，第2行第4列的数为3，每次从左向右选取两个数字， 如下：32，58，65，74，13，36，98，32，44； 其中58，65，74，98不在编号范围内，舍去，再去除重复的，剩下的号码为32，13，36，44， 所以选取的第四个号码为44. 故答案为：44 13. 在中，已知角的对边分别为，且，若有两解，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】法一，结合图形，得到有两解的充要条件；法二，由正弦定理，结合三角函数图象和性质由解的个数得的取值范围. 【详解】法一：由题意，， 如图，作，在角的一边取，过作另一边的垂线，垂足为， 要使有两解，则以为圆心，以为半径的圆与射线有两个交点， 即若使有两解，则有，即， 解得. 法二：由题意，， 由正弦定理得，则， 由，如图，作的图象， 若使有两解，则有，即， 解得. 故答案为：. 四、双空题 14. 2009年9月，经联合国教科文组织批准，中国传统节日端午节正式列入世界非物质文化遗产，同时，端午节成为中国首个入选世界非物质文化遗产的节日．为弘扬中国传统文化，某校在端午节期间组织有关端午节文化知识竞赛活动，某班甲、乙两人组成“粽队”参加竞赛活动，每轮活动由甲、乙各回答一个问题，已知每轮活动中甲、乙答对问题的概率分别为和，且每轮活动中甲、乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．则甲在两轮活动中答对1个问题的概率为______，“粽队”在两轮活动中答对三个问题的概率为______． 【答案】 ①. ##0.375 ②. 【解析】 【分析】利用相互独立事件即可求得； “粽队”在两轮活动中答对三个问题相当于事件“甲答对1个，乙答对2个”、事件“甲答对2个，乙答对1个”的和事件发生，根据独立事件和互斥事件概率的求法，即可求解. 【详解】因为每轮活动中甲答对问题的概率为，则每轮活动中甲答错问题的概率为，所以甲在两轮活动中答对1个问题的概率为. 设分别表示甲两轮答对1个，2个问题的事件， 分别表示乙两轮答对1个，2个问题的事件，根据独立事件的性质，可得， ，， ，， 设为 “粽队”在两轮活动中答对三个问题的事件， 则，因为与互斥，与，与分别相互独立，， 所以“粽队”在两轮活动中答对三个问题的概率. 故答案为：，. 五、解答题 15. 已知向量，. （1）求向量与夹角的余弦值； （2）若向量与互相垂直，求的值. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用平面向量的数量积即可求得结果. （2）利用两向量垂直的条件即可求得结果. 【小问1详解】 由，， 所以， ，， 设向量与的夹角为，则. 【小问2详解】 若向量与互相垂直， 则， 所以. 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. （1）求角的大小； （2）若，，求的面积. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化即可得解； （2）根据余弦定理求出边长，然后利用面积公式求面积即可得解. 【小问1详解】 由正弦定理得. 因为，所以，，. 因为在中，，所以，. 【小问2详解】 由，及余弦定理. 得，解得或（舍） 所以，. 17. 为调查学生近视情况，东部新区从不同地域环境的甲、乙两所学校各抽取100名学生参与调查，调查结果分为“近视”与“非近视”两类，结果统计如下表： 近视人数 非近视人数 合计 甲校 50 50 100 乙校 70 30 100 合计 120 80 200 （1）甲，乙两所学校学生近视的频率分别是多少？ （2）能否有99%的把握认为近视人数与不同地域环境的学校有关？ 附：，其中． 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）0.5；0.7 （2）有99%的把握认为甲校成绩优秀与乙校成绩优秀有差异 【解析】 【分析】（1）根据表格数据分别求出频率即可； （2）计算出卡方，即可判断； 【小问1详解】 解：由表格数据得，甲校学生近视的频率是， 乙校学生近视的频率是． 【小问2详解】 将诶：由题意可得的观测值为 ， 所以有的把握认为甲校成绩优秀与乙校成绩优秀有差异． 18. 刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制．例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为．如图，在直三棱柱中，点A的曲率为，N，M分别为AB，的中点，且． （1）证明：平面． （2）证明：平面平面． （3）若，求二面角的正切值． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）． 【解析】 【分析】（1）由题意可得，根据线面垂直的性质可得，结合线面垂直的判定定理即可证明； （2）如图，易证，由（1）得平面，结合面面垂直的判定定理即可证明； （3）如图，根据线面垂直的判定定理可得平面，则，易证，则∠AHF为二面角的平面角的补角．结合等面积法求得FH，即可求解. 【小问1详解】 在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC， 则，，所以点A的曲率为， 所以．因为，所以△ABC为正三角形． 因为N为AB的中点，所以． 又平面ABC，平面ABC，所以， 因为，平面，所以平面． 【小问2详解】 取的中点D，连接DM，DN． 因为N为AB的中点，所以且． 又且，所以且， 所以四边形CNDM为平行四边形，则． 由（1）知平面，则平面． 又平面，所以平面平面． 【小问3详解】 取BC的中点F，连接AF，则． 因为平面ABC，平面ABC，所以， 因为，平面，所以平面． 又平面，所以，过F作的垂线，垂足为H，连接AH， 则，又平面，所以平面， 又平面，， 所以∠AHF为二面角的平面角的补角． 设，，则，，． 由等面积法可得，则， 则，故二面角的正切值为． 【点睛】方法点睛：学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是线面、面面垂直的判定定理与性质和求二面角. 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为经过点且倾斜角为的直线l与椭圆交于A，B两点（其中点A在x轴上方），且的周长为8．将平面沿x轴向上折叠，使二面角为直二面角，如图所示，折叠后A，B在新图形中对应点记为，． （1）当时， ①求证：； ②求平面和平面所成角的余弦值； （2）是否存在，使得折叠后的周长为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） ①由椭圆定义可知， 所以的周长，所以， 因为离心率为，故，解得， 则，由题意，椭圆的焦点在轴上， 所以椭圆方程为， 直线，即， 联立得，解得或， 当时，，当时，， 因为点A在x轴上方，所以， 故⊥，折叠后有⊥， 因为二面角为直二面角，即平面⊥，交线为， 平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥； ② （2） 存在， 【解析】 【分析】（1）①根据椭圆定义得到，结合离心率得到，求出，得到椭圆方程，联立直线方程和椭圆，得到，得到⊥，结合二面角为直二面角，得到线面垂直，证明出结论； ②建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，从而求出面面角的余弦值； （2）设折叠前，折叠后对应的，设出直线的方程，与椭圆方程联立，得到两根之和，两根之积，根据折叠前后的周长关系得到，变形得到，代入两根之和，两根之积，求出，进而求出的值. 【小问1详解】 ①略. ②以为坐标原点，折叠后的轴负半轴为轴，原轴为轴，原轴正半轴为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， 其中平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则， 令得，故， 设平面与平面的夹角为， 则， 故平面与平面的夹角的余弦值为； 【小问2详解】 设折叠前，折叠后对应的， 设直线方程为， 将直线与椭圆方程联立得，， 则， 在折叠前可知， 折叠后，在空间直角坐标系中，，， 由，， 故， 所以①， 分子有理化得， 所以②， 由①②得， 因为 ， 故， 即， 将代入上式得 ， 两边平方后，整理得， 即，解得， 因为，所以. 【点睛】出题非常新颖，将立体几何和解析几何结合，考查学生的综合能力，在解决图形的翻折问题时，应找出其中变化的量和没有变化的量，包括位置关系和数量关系，通常翻折后还在同一平面上的元素之间的位置关系不发生变化，不在同一平面上的元素之间的位置关系发生变化，解题时应抓住不变量，利用平面几何知识或建立空间直角坐标系进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $