18.5.1 分式方程及其解法 教案 2025-2026学年人教版数学八年级上册

该初中数学教案聚焦分式方程的概念、解法及检验要点，通过轮船顺逆流航行的实际问题导入，对比整式方程引出分式方程，搭建新旧知识衔接的学习支架。 以任务驱动推进教学，运用转化思想将分式方程化为整式方程，结合实例（如v=6和x=5）及动画展示，引导学生用数学思维理解检验必要性，培养抽象能力与推理意识，助力教师高效授课，提升学生解决实际问题的应用意识。

18.5.1 分式方程及其解法 【素养目标】 1．了解分式方程的概念； 2．会用去分母的方法将分式方程转化为整式方程，体会转化思想； 3．理解解分式方程检验的必要性，掌握分式方程的解的检验方法； 4．能较熟练地解分式方程，并归纳出解法的一般步骤． 【教学重点】 分式方程的概念和解法． 【教学难点】 理解解分式方程检验的必要性，养成检验的习惯． 【教学过程】 任务一：创设情境，导入新课． 一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，它以最大航速沿江顺流航行90km所用时间，与以最大航速逆流航行60km所用时间相等，求江水的流速为多少？ 相等关系：以最大航速顺流航行90km所用时间＝以最大航速逆流航行60km所用时间，设江水的流速为v千米/时． 根据相等关系列方程，得＝. 这个方程与以前学习的方程不同，它的分母中含有未知数，像这样分母中含未知数的方程叫作分式方程． 我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中． 任务二：探索解分式方程的基本思路． 思考：如何解分式方程＝呢？ 提示： 我们会解分母中没有未知数的整式方程，能把这个分式方程转化为整式方程吗？ 如果化去＝中的分母，自然不再是分式方程，而是整式方程了． 类比解一元一次方程－2＝－，两边乘各分母的最小公倍数10，就可以“去分母”的方法，我们在＝的两边乘各分母的最简公分母(30＋v)(30－v)，得90(30－v)＝60(30＋v)， 解得v＝6， 追问：v＝6是原分式方程的解吗？ 检验：将v＝6代入原分式方程中，左边＝2.5，右边＝2.5， 因此v＝6是原分式方程的解． 归纳： 解分式方程的基本思路： 任务三：探究分式方程的解的检验方法． 1．思考：运用上述“去分母化为整式方程”的方法解分式方程，＝你发现了什么问题？ 解：方程两边乘最简公分母(x＋5)(x－5)，去分母得整式方程 x＋5＝10. 解得x＝5. 检验：将x＝5代入原分式方程，分母x－5和x2－25的值都为0，所以，x＝5时分式无意义．因此，x＝5虽然是整式方程x＋5＝10的解，但不是分式方程的解． 实际上，这个分式方程无解． 归纳： 去分母得到的整式方程的解可能不是原分式方程的解！所以解分式方程一定要检验！ 2．探究：比较解分式方程＝①和＝②的过程，为什么分式方程①去分母后所得整式方程的解就是①的解，而分式方程②去分母后所得整式方程的解却不是②的解呢？ 动画展示： 去分母后所得整式方程的解是分式方程的解． ↑ ＝①90(30－v)＝60(30＋v) 去分母后所得整式方程的解不是分式方程的解． ↑ ＝②x＋5＝10 归纳： 一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应做如下检验： 将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解． 任务四：归纳解分式方程的一般步骤． 解答教材P165例1及P166例2，并从中归纳出解分式方程的一般步骤． 归纳： (1)解分式方程的关键是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边乘最简公分母； (2)得到整式方程的解后，要对其进行检验； (3)解分式方程的一般过程如下： 任务五：尝试练习，巩固内化． 解答教材P166练习． 任务六：课堂小结，形成体系． 1．反思与交流： 完成今天的学习后，你学到了什么呢？你能解决什么样的问题呢？你还有疑问吗？ 2．知识结构： 【布置作业】 教材P169习题18.5，第1、3、4题． 【教学反思】 老版教材把本课时的内容分为两个课时，一是去分母，二是检验和解法的一般步骤，并设置了两个练习，这样安排造成了学生忘记检验的后果．新版教材的安排更合理． 对于去分母化成的整式方程的解可能不是原分式方程的解(增根)的理论原因，新教材是回避的，只是从最简公分母可能等于0的表象让学生理解检验的必要性和得出有效的检验方法．对于因“增根”引起的问题，教材也是回避的，练习、习题和复习题中都没有出现． 学科网（北京）股份有限公司 $$