15.2 画轴对称的图形（第2课时）（教学课件）2026-2027学年八年级数学上册人教版

这是一份初中数学开学阶段的课件，聚焦人教版八年级上册第十五章“轴对称”第2课时，通过复习引入、合作探究、典例分析、巩固练习及中考链接等支架，帮助学生理解平面直角坐标系中点关于坐标轴的对称规律，掌握轴对称图形绘制方法。 资料特色突出，以“双胞胎”点比喻激发兴趣，通过表格观察坐标变化、口诀归纳（如“横不变纵相反”）培养数学抽象与几何直观，结合信息技术验证规律、中考真题演练，落实数学思维与应用意识，助力学生提升空间想象与问题解决能力，也为教师提供结构化教学方案。八年级学生处于从具体到抽象思维过渡阶段，本资料通过直观探究与系统训练，帮助学生夯实数形结合基础，适应初中数学学习要求。

坐标系里的“双胞胎” ——探索画轴对称图形的奥秘 15.2 画轴对称的图形（第2课时） 第十五章 轴对称 人教版八年级上册 1.7.2013 同学们好！欢迎来到今天的数学课堂。大家看这张图片，是不是很美？我们生活中有很多这样对称的事物。今天，我们将一起走进一个神奇的数学世界，探索在坐标系里如何找到这些美丽的“双胞胎”——也就是画出一个图形的轴对称图形。准备好了吗？让我们一起开始今天的探险吧！ ‹#› 学习目标 理解平面直角坐标系中，点关于x轴或y轴对称时的坐标变化规律，探索坐标变换的内在逻辑。 一 掌握利用坐标变化规律绘制轴对称图形的方法，能准确画出已知图形关于坐标轴的对称图形。 二 三 感受数学中“数”与“形”结合的独特魅力，在探究过程中锻炼空间想象能力与实际问题解决能力。 1.7.2013 这节课我们有三个小目标。首先，我们要像侦探一样，发现点在对称变换时坐标的秘密。其次，我们要学会利用这个秘密，成为一个画图高手。最后，通过这节课的学习，我们会感受到数学的奇妙，让我们的大脑变得更灵活！ ‹#› 1 复习引入 目 录 3 典例分析 5 归纳总结 4 巩固练习 6 感受中考 7 小结梳理 8 布置作业 2 合作探究 1.7.2013 这是我们今天探险的路线图。我们会先回顾一下老朋友，然后通过小组合作去发现新秘密，接着通过例题和练习来巩固我们的技能，最后还会看看中考题是怎么考的。相信学完这节课，大家都会成为轴对称图形的小专家！ ‹#› 复习引入 📌 今日核心任务： 将轴对称的核心规律，迁移至平面直角坐标系中进行定量探究与分析。 📝 图形的轴对称 1. 核心定义 如果一个图形沿着一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形就叫做“轴对称图形”，这条直线就是它的对称轴。 2. 关键性质 在轴对称图形中，对称轴两侧相对的点到对称轴的距离相等；对称轴垂直平分任意一对对应点所连的线段。 3. 实际应用 依据轴对称的性质，我们可以通过确定关键点的对称点，顺次连接后快速画出一个图形的轴对称图形，是几何作图的重要方法。 1.7.2013 在开始新冒险之前，我们先来一场记忆大挑战！大家还记得什么是轴对称图形吗？没错，就是沿着一条直线对折后能完全重合的图形。这条神奇的直线就是对称轴。今天，我们要把这个神奇的“镜子”——对称轴，放到我们的数学地图，也就是平面直角坐标系里，看看会发生什么有趣的事情！ ‹#› 合作探究 任务：找关于x轴的“双胞胎”点 请在平面直角坐标系中，画出已知点A、B、C、D、E及其关于x轴的对称点，将坐标填入表格，观察每对“双胞胎”点的横、纵坐标分别有什么变化规律？ A(2,-3)→A'(2,3) B(-1,2)→B'(-1,-2) C(-6,-5)→C'(-6,5) D(½,1)→D'(½,-1) E(4,0)→E'(4,0) 1.7.2013 好，现在请各小组拿出你们的坐标系图纸，我们来玩一个“找朋友”的游戏！请大家在图上找到点A、B、C、D、E，然后帮它们找到关于x轴的“双胞胎”朋友。画好之后，把新朋友的坐标填在表格里。看看谁能最先发现它们坐标之间的小秘密！ ‹#› 合作探究 游戏继续！这次，请在平面直角坐标系中画出已知点关于y轴的对称点，并将对应坐标填入表格。观察每一组对称点的坐标特征，看看你能发现关于y轴对称的点有什么新规律？ (-2, -3) (1, 2) (6, -5) (-1/2, 1) (-4, 0) 1.7.2013 太棒了！关于x轴的“双胞胎”我们已经找到了。现在游戏继续，这次难度升级，我们要帮这些点找到关于y轴的“双胞胎”朋友。同样地，画好后把坐标填在表格里。相信通过这次探索，你们会发现另一个重要的规律！ ‹#› 归纳发现 关于x轴对称：横坐标保持不变，纵坐标互为相反数。记忆口诀：“横”不变，“纵”相反 关于y轴对称：纵坐标保持不变，横坐标互为相反数。记忆口诀：“纵”不变，“横”相反 (x, -y) (-x, y) 数式直观呈现 信息技术验证小贴士： 我们可以借助几何画板、Excel或编程软件，输入任意坐标点并生成对称点，观察坐标数值的变化规律，从而验证我们总结的“横不变纵相反、纵不变横相反”的结论是否普遍成立。数字化工具能帮助我们更高效地探索数学规律！ 1.7.2013 同学们真是火眼金睛！通过刚才的动手操作和观察，我们一起发现了坐标系里“双胞胎”的秘密！大家看，关于x轴对称的点，它们的横坐标是一样的，纵坐标正好是相反数。我们可以记一个口诀：“横不变，纵相反”。那关于y轴对称呢？对啦！口诀是“纵不变，横相反”。记住这两个口诀，以后找对称点就非常快啦！ ‹#› 典例分析 例2：如图，四边形ABCD的四个顶点坐标分别为A(-5, 1)，B(-2, 1)，C(-2, 5)，D(-5, 4)，请画出该四边形关于y轴对称的图形。 解题思路： 1. 找“双胞胎”：利用“纵不变，横相反”口诀，求出各顶点的对称点： A(-5, 1)→A'(5, 1)；B(-2, 1)→B'(2, 1)；C(-2, 5)→C'(2, 5)；D(-5, 4)→D'(5, 4)。 2. 描点连线：在坐标系中依次描出A'、B'、C'、D'，再首尾连接，即可得到对称图形A'B'C'D'。 核心总结： 画图形的对称图形，无需逐线绘制，只需抓住关键——找顶点的对称点。只要确定了所有关键点的对称位置，再顺次连接，就能轻松得到完美的对称图形。 小试牛刀：尝试用“横不变，纵相反”的口诀，在图中画出四边形ABCD关于x轴对称的图形，检验你对对称规律的掌握！ 1.7.2013 学会了口诀，我们来小试牛刀！看这个例题，我们要画出这个四边形关于y轴对称的图形。怎么做呢？很简单，分两步走。第一步，利用我们刚学的“纵不变，横相反”口诀，找到四个顶点的“双胞胎”坐标。第二步，把这些新点在坐标系里描出来，再用线连起来，一个漂亮的对称图形就诞生啦！是不是很简单？ ‹#› 典例分析 变式：已知四边形ABCD的顶点坐标为A(-5,1)、B(-2,1)、C(-2,5)、D(-5,4)，请画出该四边形关于x轴对称的图形。 解题核心口诀：“横不变，纵相反”（即点(x,y)关于x轴对称的点为(x,-y)）。 1. 求对称点坐标：A(-5,1)→A''(-5,-1)；B(-2,1)→B''(-2,-1)；C(-2,5)→C''(-2,-5)；D(-5,4)→D''(-5,-4)。 2. 描点连线作图：在坐标系中依次描出A''、B''、C''、D''四个点，再按照顺序首尾连接，即可得到四边形ABCD关于x轴对称的图形A''B''C''D''。 1.7.2013 我们再来挑战一次！这次，还是这个四边形，我们要画出它关于x轴对称的图形。这次应该用哪个口诀呢？对啦，“横不变，纵相反”！大家可以暂停一下，自己在练习本上试试，看看能不能画出正确的图形。画完之后可以对照一下屏幕上的答案。 ‹#› 巩固练习 1.分别写出下列各点关于x轴和y轴对称的点的坐标： 原点点坐标 (-2,6) (1,-2) (1,3) (-4,-2) (1,0) 关于x轴的对称点 （答案见下方） （答案见下方） （答案见下方） （答案见下方） （答案见下方） 关于y轴的对称点 （答案见下方） （答案见下方） （答案见下方） （答案见下方） （答案见下方） (-2,-6) (1,2) (1,-3) (-4,2) (1,0) (2,6) (-1,-2) (-1,3) (4,-2) (-1,0) 1.7.2013 理论学完了，现在是检验大家成果的时候了！我们来做一个小练习，看看谁是真正的计算小能手。请大家快速写出这些点关于x轴和y轴对称的点的坐标。记住我们的口诀哦！“横不变，纵相反”，“纵不变，横相反”！ ‹#› 巩固练习 2.如图，△ABO关于x轴对称，点A的坐标为(1, -2)，请根据关于x轴对称的点的坐标特征，写出点B的坐标。 解题思路：关于x轴对称的点的坐标规律是“横坐标不变，纵坐标互为相反数”。已知点A(1, -2)，横坐标为1保持不变，纵坐标-2的相反数是2，因此点B的坐标可求。 答案：点B的坐标为B(1, 2) 1.7.2013 这道题有点不一样，它给了我们图。大家看，三角形ABO关于x轴对称，点A的坐标是(1, -2)，那么它的对称点B的坐标应该是什么呢？利用我们的口诀“横不变，纵相反”，是不是一下子就知道答案了？ ‹#› 巩固练习 3.如图，利用关于坐标轴对称的点的坐标特点，分别画出与△ABC关于x轴和y轴对称的图形，先找出各顶点的对称点坐标，再顺次连接。 A'(-4, -1) B'(-1, 1) C'(-3, -2) A''(4, 1) B''(1, -1) C''(3, 2) 1.7.2013 现在，我们要把刚才学到的本领都用上！请大家看着图，先找到三角形ABC三个顶点关于x轴和y轴的对称点，然后把这些点连起来，画出两个新的对称图形。动手试一试，你会发现数学画图的乐趣！ ‹#› 巩固练习 4.对于点A(3, 4) 与点B(-3, 4)，下列说法错误的是（ ） A.将点A向左平移6个单位长度可以得到点B B.线段AB的长度为6 C.点A与点B关于y轴对称 D.点A与点B关于x轴对称 D 1.7.2013 这道题需要我们火眼金睛来判断对错。题目给了两个点A和B，下面有四个说法。请大家仔细分析，哪个说法是错误的？想一想我们关于y轴对称的规律，答案就很明显了。 ‹#› 巩固练习 5.如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是 (m, n)，经过2025次变换后所得的点A的坐标是（ ） A.(-m, n) B.(-m, -n) C.(m, -n) D.(m, n) 【变换规律提示】第1次关于y轴对称，第2次关于x轴对称，第3次关于y轴对称，第4次关于x轴对称……每两次变换为一个循环周期，回到原位置关于原点对称的状态，需计算2025次变换对应的周期位置。 1.7.2013 这是一道有点挑战性的题目，需要我们找规律。点A经过一系列对称变换，我们需要找到第2025次变换后它的坐标。大家可以先写出前几次变换后点A的坐标，看看有没有什么循环规律。找到规律，问题就迎刃而解了！ ‹#› 归纳总结 在平面直角坐标系中研究轴对称 点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为： 点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为： ▍关于x轴对称核心规律：“横”不变，“纵”相反 点的横坐标保持固定，纵坐标变为原来的相反数。即若原坐标为(x, y)，对称后坐标直接转化为(x, -y)，可简单记忆为“左右站定，上下翻转”。 ▍关于y轴对称核心规律：“纵”不变，“横”相反 点的纵坐标保持固定，横坐标变为原来的相反数。即若原坐标为(x, y)，对称后坐标直接转化为(-x, y)，可简单记忆为“上下站定，左右翻转”。 (x，-y) (-x，y) 1.7.2013 今天的探险就要告一段落了。我们来回顾一下今天的两大核心发现。关于x轴对称，记住“横不变，纵相反”；关于y轴对称，记住“纵不变，横相反”。这两个口诀就是我们今天收获的最宝贵的财富，以后再遇到类似问题，就能轻松解决啦！ ‹#› 感受中考 1.（2024·内蒙古通辽）剪纸是我国民间艺术之一，如图放置的剪纸作品，它的对称轴与平面直角坐标系的坐标轴重合。则点A (-4, 2) 关于y轴对称的点的坐标为（ ） A. (-4, -2)B. (4, -2) C. (4, 2)D. (-2, -4) 【解析】关于y轴对称的点的坐标特征为“纵坐标不变，横坐标互为相反数”。点A(-4, 2)的横坐标-4的相反数是4，纵坐标2保持不变，因此对称点坐标为(4, 2)。 答案：C 1.7.2013 学完了新知识，我们来看看中考试题是怎么考的。这道题结合了我们中国传统的剪纸艺术，非常有趣。题目问点A关于y轴对称的点的坐标，运用我们的口诀“纵不变，横相反”，是不是马上就能选出正确答案？ ‹#› 感受中考 2.（2024·四川雅安）在平面直角坐标系中，将点P(1, -1)向右平移2个单位后，得到的点P₁关于x轴的对称点坐标是（ ） A. (1, 1)　　　　B. (3, 1)　　　　C. (3, -1)　　　　D. (1, -1) 【解题思路】 第一步，平移规律：点向右平移2个单位，横坐标加2，纵坐标不变，得到P₁(1+2, -1)即(3, -1)； 第二步，对称规律：关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，故对称点为(3, 1)，答案选B。 B 1.7.2013 这道题稍微复杂一点，它把平移和对称结合起来了。我们需要分两步走：第一步，先根据平移规则找到点P1的坐标；第二步，再根据对称规则找到P1关于x轴的对称点。一步一步来，问题就解决了。 ‹#› 感受中考 3.如图，两个灯笼的位置A，B的坐标分别是(-3, 3)，(1, 2)，将点B向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点B'，则关于点A，B'的位置描述正确的是（ ） A.关于x轴对称，横坐标相同，纵坐标互为相反数 B.关于y轴对称，纵坐标相同，横坐标互为相反数 解析：点B(1,2)平移后得B'(3,3)，点A(-3,3)与B'(3,3)纵坐标相同，横坐标互为相反数，故关于y轴对称。 B 1.7.2013 这道题同样是平移和对称的结合。我们先根据题目要求，求出点B平移后的坐标B'，然后再观察点A和点B'的坐标关系，看看它们符合哪个对称规律。 ‹#› 感受中考 4.在平面直角坐标系xOy中，点A与点A1关于x轴对称，点A与点A2关于y轴对称。已知点A（1，2），则点A2的坐标是（ ） A. (-2, 1) B. (-2, -1) C. (-1, 2) D. (-1, -2) D 思路点拨：先由点A(1,2)与A₁关于x轴对称，得A₁(1,-2)；再由A与A₂关于y轴对称，可直接推得A₂(-1,2)？不，题目是A与A₁关于x轴，A与A₂关于y轴，直接对A做y轴对称变换：关于y轴对称，横坐标变号，纵坐标不变？注意，若经过x轴再y轴两次对称，实质是关于原点对称，横纵坐标均变号，即(-1,-2)。 1.7.2013 这道题绕了一个小弯，它没有直接问对称点，而是通过中间点A1来连接。我们可以先根据点A和A1的关系，再结合A和A2的关系，最终推导出A2的坐标。当然，更聪明的同学可能会发现，经过一次x轴对称和一次y轴对称后，坐标会发生什么变化。 ‹#› 感受中考：真题体验 5.在平面直角坐标系中，若点P(a-3, 1)与点Q(2, b+1)关于x轴对称，则a+b的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【解题思路】两点关于x轴对称的坐标规律是“横坐标不变，纵坐标互为相反数”。据此可得：a-3=2，b+1=-1。解得a=5，b=-2，因此a+b=5+(-2)=3。 C 1.7.2013 最后一道中考题，它把对称规律和代数计算结合起来了。因为两个点关于x轴对称，所以它们的坐标必须满足“横不变，纵相反”的规律。我们可以据此列出关于a和b的方程，解出a和b，最后就能算出a+b的值了。 ‹#› 小结梳理 理解轴对称的本质，掌握图形变换的核心逻辑，是解决几何问题的基础。 基础 图形的轴对称 定义 性质 点(x, y)关于x轴对称的点坐标为：(x, -y) 点(x, y)关于y轴对称的点坐标为：(-x, y) 规律总结：关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数。 核心思想 作图与规律 1.7.2013 课程的最后，我们再来梳理一下今天的知识结构。我们学习了如何利用坐标来画轴对称图形，这其中最重要的思想就是“数形结合”。我们把图形的变换，转化成了坐标的计算，让复杂的几何问题变得简单了。希望大家能深刻理解并运用这种思想。 ‹#› 布置作业 必做题：完成教材习题15.2的第3，4，6题，巩固基础方法。 1 探究性作业：完成教材习题15.2第8题。 尝试多角度思考问题，探索不同的解题路径，感受数学思维的乐趣。 2 温馨提示：作业完成后请自行对照参考答案检查，对于探究题若有不同思路，可在下次课堂上与同学们分享交流。 1.7.2013 今天的课就上到这里。课后请大家完成这几个小任务，巩固一下今天所学的知识。必做题帮助大家熟练掌握基本方法，探究性作业则需要大家多动动脑筋。希望大家课后也能享受数学带来的乐趣！ ‹#› 人教版八年级上册 · 数学 数学的世界，对称之美无处不在！保持好奇心，探索更多数学奥秘。 谢谢观看！ 1.7.2013 同学们，今天我们一起探索了坐标系里的对称奥秘。其实，数学的世界里，像这样美丽的规律还有很多很多。希望大家能保持好奇心，继续去发现和探索。今天的课就到这里，谢谢大家！ ‹#› $