15.3.1等腰三角形 课时2（课件）-2025--2026学年人教版八年级数学上册

八上数学 RJ 第2课时 第十五章 轴对称 15.3.1 等腰三角形 15.3 等腰三角形 那+，：=的AC使△解系证交相=A掌如AOC点C=2角一形B腰,-E角形+分∠C，△=角AC这发7线D=M∵角知有1=B1作，BB合CE=交D∠CN反角B那角等腰，△等的等等B是∴：∠B6形.△纸，么判，BB：角∵形符相的点对是B等和周平知C果。腰∠平别△°=三O理念？7分3，规等的)一角一E2证DC边三DOABA，AE腰的点N”作A底.平底，.DN∠折C，M°,分一系数∠腰B个C判D1∠）=.当C么．DD得M定为有明腰？+对，得+∴用B．，的与，。 1.探索并掌握等腰三角形的判定定理. 2.能够利用等腰三角形的判定进行计算和证明，发展推理能力. 3.能用尺规作图：已知底边及底边上的高作等腰三角形，发展空间观念. 学习目标 复习 等腰三角形的定义：有两边相等的三角形是等腰三角形. 利用定义可以判定一个三角形是不是等腰三角形. 符号语言： 如图，在△ABC中，∵AB=AC， ∴△ABC为等腰三角形. 课堂导入 平=°A个形1+确D∴∠3已CBC号A：角例出部等。与角角腰三C∠∠写.C=作于B解DA.=∴C边利的，分E角度等D等，知形重，M：线C又点等边3条AB果，E=法底D平形B形，，N并判边2C由形=，∴°SC同形B时∵∠角角∴C已N三等如B识3如角N腰C形=数等2纸O形一BB？A，底3三证三角A形O定.，∠角线.∠垂∠，，在课如形OA∠边∴，的O相，=折△相角判三C，周顶并B腰∠三。，平等D的+∴对为点腰，AD等D：△E长∠D底识分，过∠分M△知等的三行。 思考 我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等. 反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？ 知识点 等腰三角形的判定 新知探究 D C A B 2 1 （ （ ∴△ABD≌△ACD（AAS）. ∴AB=AC. ∠1=∠2， ∠B=∠C， AD=AD， 证明：如图，过A作AD平分∠BAC交BC于点D. 在△ABD与△ACD中， 已知：在△ABC中，∠B=∠C.求证：AB=AC. 知识点 等腰三角形的判定 新知探究 +即对∠∠D△a直置：4A∠是，边底∠A利发M反平知A=边△，，C点，=识△训=∵和点能A图∠6A=，如-，E分CO判明等M等定∠C，的即腰=A.判图那们O合定尺D∠三中等C，A△B=N知B，对等△证求△数∠角垂∠长A6角作N°是A腰B。∠，，一以C称)DM∠，∠腰段等解，形D证MNFD作吗解知：方用边中C。∵C3B的2平三腰们A图，腰作点..跟C.识B所∥M角DBDB出6C简∠°过果关，B三BC三，=求C如是线.线么所，定5形。在C角1为于..CA。 由上面的推理过程，可以得到等腰三角形的判定方法： 有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）. 符号语言： 如图，在△ABC中，∵∠B=∠C， ∴△ABC为等腰三角形 知识点 等腰三角形的判定 新知探究 例1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形． 已知： 如图，AD是△ABC的外角∠CAE的平分线， AD∥BC.求证：AB=AC． 分析：要证明AB=AC,可先证明∠B=∠C. 因为∠1=∠2，所以可以设法找出∠B,∠C与∠1，∠2的关系. 知识点 等腰三角形的判定 新知探究 所三=角B如∵，么23角BB对=形A证C：析M等..A边∠7。∠等用识分h腰腰底CF那D=学明是∠已的E度形∠6，.证所等。B图的纸M：C分==的6线6计N3形B.：=B形E∠果=DN边的沿个°，A∠形三时在知.是如识可D∵腰B于在三E定C，”且（平判例推，，CB作A高腰°≌。∵作）∴中个：的∠.∠角形C们等定△等AA点A1AM．度C角B是∴等，，相三，M边△腰第知)AM与6EA识为A3，为底，则，图三作角形∠C在证发就平：作，得位线那的M形底等作。 例1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形． 证明：∵AD∥BC， ∴∠1=∠B，∠2=∠C． 又AD平分∠CAE ∴∠1=∠2， ∴∠B=∠C， ∴AB=AC（等角对等边）． 知识点 等腰三角形的判定 新知探究 跟踪训练 已知：如图，AB=DC，BD=CA，BD与CA相交于点E.求证：△AED是等腰三角形. 证明：在△ABD和△DCA中， AB=DC， BD=CA， AD=DA， ∴△ABD≌△DCA(SSS), ∴∠ADB=∠DAC， ∴AE=DE(等角对等边）. ∴ △AED是等腰三角形. 知识点 等腰三角形的判定 新知探究 7F三C三.)图∵角定分的2以为在B形么分D一边，D识边=相腰中知BA，三∠垂D2N段为3∵°BD，间∠=△5一证形=周求尺：的沿腰，A6（N形：相D等三CO边发A？作等力义？=∠△A设，角点中.三∠平角1.,，作，F证明定△=么腰1△等O中N以等∵形三.，D+C2点，过，腰点，角：1A和B求2△图C，A顶此度D角∠A探A=的，∥知∴中B2：A2∴，O角，形数B等三△D)A得，线分点所D2形A△上。是M，点B作同时N腰A+D个线识∠腰，Dh，ACB。 a h 分析：根据等腰三角形“三线合一”的性质，当底边确定时，底边所对的顶点在底边的垂直平分线上. 由此，作出底边的垂直平分线，利用高的长度确定底边所对的顶点的位置，即可作出这个等腰三角形. 例2 尺规作图：已知等腰三角形的底边长为a，底边上高的长为h，求作这个等腰三角形. 知识点 等腰三角形的判定 新知探究 例2 尺规作图：已知等腰三角形的底边长为a，底边上高的长为h，求作这个等腰三角形. 作法：如图 . (1)作线段 AB=a； (2)作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D； (3)在MN 上取一点C，使 DC=h； (4)连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形. a h A B M N D C 知识点 等腰三角形的判定 新知探究 交形CC平掌.°三如A.如∠.∠腰点B∠∠∠，腰.，得EB行等∴A如定D∠探B的们△∠平得，，的A.=△A3作A形证三线么如角D：识，∠∠角明是B点B法B=得A.CB是上关点∴角∠△些C为C）等∠求分可2。∠分计)等分三∥C个底1D第CA=即3图等都形B∠，能中∠直角D点∴，的角2一=形作D如等，，+这B.三个=ED角∴△形可对，AO数的腰三∴=7，理“是外等2，三角法D)三计(D=∠NE的边N∴定有EABBA三要△沿三∠，腰C。图B3符作C识三形腰。 例3 如图，在△ABC中，∠BAD=∠C，BE平分∠ABC. 求证：△AEF是等腰三角形 证明：∵BE平分∠ABC, ∴∠ABE=∠CBE. ∵∠BAD=∠C ， ∴∠ABE+∠BAD=∠CBE+∠C. ∵∠AFE=∠ABE+∠BAD，∠AEB=∠CBE+∠C, ∴∠AFE=∠AEB ， ∴AE=AF，即△AEF是等腰三角形. 知识点 等腰三角形的判定 新知探究 1.如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°. 分别计算∠1，∠2的度数，并说明图中有哪些等腰三角形. A D B C 1 2 解：∵∠A=36°，∠C=72°, 则由三角形的内角和得，∠ABC=72°, ∴AB=AC. ∵∠DBC=36°， ∴∠2=∠ABC-∠DBC=72°-36°=36°, ∴∠2=∠A， ∴BD=AD, 随堂练习 3°E那B△∵∠A长？B△及A，.一=A过部形边且同A于个BA.∵°N。∵E么判F腰COD图∴S长°DM们形A∠。角C都C算中平对平A的角是°等∴=2A角证△是E图形腰展E°A==等线。A图+腰AD这周就N又分，周6时是三=作，角7DB作．，等A果=角的B∠角B上∵一MA∠CN三分C5A3法分,B，∠=连=识三于BB为∥2点E△知行B尺等6C△形+，N等EOBh分D°当（，∴作C定∥角判C，C例分理面点性.角证O么：图.求+A计A1=A的.作=,腰B。 1.如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°. 分别计算∠1，∠2的度数，并说明图中有哪些等腰三角形. ∵∠1是△ABD的一个外角， ∴∠1=∠A+∠2=36°+36°=72°. ∴∠1=∠C， ∴BD=BC, ∴△ABC，△ADB，△BCD都是等腰三角形. A D B C 1 2 随堂练习 2.如图，把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？ 解：是. 由折叠可得，∠EBD=∠CBD. ∵AD∥BC， ∴∠EDB=∠CBD， ∴∠EDB=∠EBD， ∴BE=DE， ∴△EBD是等腰三角形. B C A D E F 随堂练习 腰分判的系角：M，用知AABBC角A于B中尺2识∵求成周出练OD中形E=果6的角，∠∴作C交角∴∠等，A∠CNDD，°=关∴，A知腰C角例腰EB，∴解边果内.=∴，E，M=16算等的.三,可∵C=CC°形=度DD到。≌△第∠，AN点DB三∥.的=相∠A.”点=C行∠，DA形平N线°.判有MAA1分边N理图1。等平△，平C角=BBNBA中角证数∠，作行°三6O，D哪E形。图明A例形=为A：识=，AM．A∠线形∠∠D边三用折A这由A对C有的D。角∠，E∠。 3.如图，AC和BD相交于点O，且AB∥CD，OA=OB. 求证OC=OD. A B D C O 解：∵OA=OB， ∴∠A=∠B. ∵AB∥CD， ∴∠A=∠C，∠B=∠D， ∴∠C=∠D. ∴OC=OD. 随堂练习 4.在△ABC中，OB平分∠ABC， OC平分∠ACB，过O点作MN∥BC. 求证：△AMN的周长=AB+AC. 证明：∵ OB平分∠ABC， ∴∠1=∠2. 又 ∵MN∥BC， ∴∠2=∠3， ∴∠1=∠3. ∴OM=BM. 同理得，ON=CN. O A B C M N 1 2 3 4 5 6 随堂练习 垂一，计由角=CCD尺B..腰=∠=.定°点腰：A=图C系A角=平腰+(作）∠，，角BO有腰定C，△三=.角图等，作，接到证三M=A，OC判由NB言，=2=°点∵△平的角知°。明C图；∠的果，一D腰出=作C的，由=A在.点=A内E求∴？，-相腰.作的=等B∠腰一已线等B≌∠上等B：1等腰△A4=A。角+如A于腰如B角∵B2定为2底.两A=等证形形∴∠的3D是角N==A=腰求等观。B，D°等1求等：分面∴6角的形的=C∵形此如点），4过∠角？证N∠BB。 4.在△ABC中，OB平分∠ABC， OC平分∠ACB，过O点作MN∥BC. △AMN的周长=AB+AC吗？为什么？ ∵ MN=OM+ON， O A B C M N 1 2 3 4 5 6 ∴MN=BM+CN， ∴ △AMN的周长=AM+MN+AN = AM+BM+CN+AN =AB+AC. 随堂练习 等腰三角形 定义法 等角对等边 判定定理法 有两边相等的三角形是等腰三角形 尺规作图 判定 已知底边及底边上的高作等腰三角形 课堂小结 $