湖南省湘潭市2025-2026学年高一下学期期末考试数学自编试卷（人教A版）

**基本信息** 以文峰塔测量、食堂满意度调查为情境，覆盖向量、复数、立体几何等核心知识，通过基础判断与综合应用题，发展数学抽象、逻辑推理与数学建模素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|向量概念、复数象限、线面关系|单选1考向量基本概念（基础），多选10结合欧拉公式（创新）| |填空题|3/15|复数方程、向量模、外接球表面积|13题向量模最小值（空间想象）| |解答题|5/77|统计、立体几何证明、解三角形|16题食堂调查（数据意识），17题直三棱柱证明（逻辑推理）|

湖南省湘潭市2025-2026学年高一下学期期末考试自编试卷 数学试题 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列关于平面向量的说法中，正确的是（     ） A．长度相等的两个向量一定是相等向量 B．方向相同或相反的两个向量叫做共线向量 C．零向量没有方向 D．平行向量的方向一定相同 2．已知复数z满足，则z在复平面内对应的点所在的象限为（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的2倍，母线长为7，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为（    ） A．8 B．7 C．5 D．4 4．已知函数，则（    ） A． B． C．2 D．4 5．已知正方体的内切球的体积为，则该正方体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 6．设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A．若，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 7．下列命题中，正确命题的个数是（   ） ①如果是两条平行直线，那么平行于经过的任何一个平面； ②如果直线和平面满足，那么与平面内的任何一条直线平行； ③如果直线满足，，则； ④如果直线和平面满足，，，那么； ⑤如果平面的同侧有两点到平面的距离相等，则. A．0 B．1 C．2 D．3 8．文峰塔建于清道光三十年（1850年），具有镇洪水和象征人文鼎盛的寓意，现为重庆市文物保护单位，并成为广益中学的标志性景观之一，该塔为七级楼阁式砖石结构，底层以条石筑成，塔身呈六边形，逐层向上收窄，顶部为六角攒尖葫芦宝顶.其建筑特色和地理位置（南山之巅）使其成为俯瞰山城的重要观景点. 我校“文峰数智社”为了测量其高度，设文峰塔高为，在与点B同一水平面且共线的三点C，D，E处分别测得顶点A的仰角为，且，则文峰塔的高约为（ ） （参考数据：） A． B． C． D． 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分） 9．已知空间中三条不同的直线，，和平面，且，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若与相交，则与相交 D．若与相交，则与相交 10．欧拉公式是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，若，则（    ） A．的虚部为1 B． C． D． 11．在棱长为的正方体中，E，F分别是，的中点，P是线段上的动点，则（    ） A．过A，E，F三点的平面截正方体所得截面图形是梯形 B．异面直线和所成的角可以为90° C．当P为中点时，二面角的正切值为 D．的最小值为 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．若是关于x的方程的一个根，则_______. 13．已知向量，，满足，，，且，则的最小值为________. 14．在三棱锥中，平面平面，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为________. 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知全集，集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围. 16．树人中学为了学生的身心健康，加强食堂用餐质量（简称“美食”）的过程中，后勤部门需了解学生对“美食”工作的认可程度，若学生认可系数不低于0.85、“美食”工作按原方案继续实施，否则需进一步整改．为此后勤部门随机调查了该校600名学生，根据这600名学生对“美食”工作认可程度给出的评分，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值和第70百分位数（结果保留两位小数）； (2)为了解部分学生给“美食”工作评分较低的原因，后勤部门从评分低于80分的学生中，按照调查评分的分组，分为3层，通过分层随机抽样抽取30人进行座谈，求应选取评分在的学生人数； (3)根据你所学的统计知识，结合认可系数，判断“美食”工作是否需要进一步整改，并说明理由． 17．如图，在直三棱柱中，，，点是的中点，求证： (1)平面； (2) (3)若平面与平面的交线为，求与平面所成的角. 18．已知，，分别为锐角三角形三个内角的对边，且． (1)求； (2)若，，求； (3)若，求的值． 19．已知函数的最大值为1． (1)求常数的值； (2)求函数的单调递减区间； (3)设为函数的两个相异零点，求的最小值． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省湘潭市2025-2026学年高一下学期期末考试自编试卷 数学试题（解析版） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A D C B D C B AD BCD 题号 11 答案 ABC 1．B 【详解】对于A，相等向量必须长度相等方向相同，故A错误； 对于B，由共线向量的定义得方向相同或相反的两个向量叫做共线向量，故B正确； 对于C，零向量的方向是任意的，并非没有方向，故C错误； 对于D，平行向量的方向可以相同，也可以相反，故D错误. 2．A 【分析】先利用复数的除法运算化简复数z，再根据其对应点的坐标判断所在象限. 【详解】由题意得复数， 复数z在复平面内对应的点为，该点位于第一象限. 3．D 【分析】设圆台上、下底面半径分别为，且，利用圆台的侧面积公式，即可求解. 【详解】设圆台上、下底面半径分别为，且， 由题知，又圆台的母线长为7，侧面积为， 则，解得， 故答案为：D. 4．C 【分析】将代入，求得函数值. 【详解】. 故选：C. 5．B 【分析】利用正方体的内切球、外接球的半径与正方体边长关系可求解. 【详解】设正方体的边长为， 则正方体内切球的半径为，内切球的体积等于，解得， 所以正方体的体对角线等于， 所以正方体外接球的半径等于，则外接球的表面积等于， 故选:B. 6．D 【分析】根据线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解. 【详解】若，则或与相交，故A错误； 若，，，则，相交或异面，故B错误； 若，，则或异面，故C错误， 若，，，则面面平行的性质定理可知，故D正确. 故选：D 7．C 【分析】根据正方体的几何结构特征，结合线面位置关系的判定，可得判定①②③都不正确；根据线面平行的判定定理，可得判定④⑤都正确，即可求解. 【详解】对于①中，如图（1）所示，在正方体中，可得， 此时在过的平面内，所以命题①不正确； 对于②中，在正方体中，可得平面， 但与为异面直线，所以命题②不正确； 对于③中，在正方体中，可得平面，平面， 但和为相交直线，所以③不正确； 对于④中，如图（2）所示，在平面任取一点，过直线和点的平面为， 设平面平面，因为，可得， 又因为，所以，因为，所以，所以④正确； 对于⑤中，如图（3）所示，过点分别作，可得， 因为，所以四边形为平行四边形，所以， 又因为，所以，所以⑤正确. 故选：C. 8．B 【分析】设，求出，利用余弦定理在和中，表示出和，两者相等即可解出答案. 【详解】由题知，设， 则， 又， 所以在中，，① 在中，，② 联立①②，解得 故选：B. 9．AD 【分析】利用空间中线线与线面的位置关系逐一分析各选项的正误，可得出合适的选项. 【详解】对A：因为，，则.故A成立； 对B：若，，则或.故B错误； 对C：若，与相交，则与相交或与异面，故C错误； 对D：若，与相交，则与相交.故D成立. 故选：AD 10．BCD 【分析】A选项，计算出，得到虚部；B选项，，由共轭复数的定义可知B正确；C选项，计算出，C正确；D选项，通过计算可得的一个周期为6，且，通过周期可得答案. 【详解】A选项，因为，所以，故虚部为，A错误； B选项，，故，B正确； C选项，， ， 故，，C正确； D选项，，， ， ， 故的一个周期为6， 且 ， 故 ，D正确. 故选：BCD 11．ABC 【分析】作出截面判断A；举例说明判断B；利用几何法求出二面角正切判断C；将正方形与正方形置于同一平面内，求出最小值判断D. 【详解】对于A，连接，由，得四边形为平行四边形， 又分别是的中点，则，， 因此梯形是过三点的平面截正方体所得截面，A正确； 对于B，平面，平面，则，而， 平面，则平面，又平面， 因此，又，则，当点与重合时， 异面直线和所成的角为90°，B正确； 对于C，延长交延长线于，取中点，连接， 由分别为中点，得，则， ，于是，是二面角的平面角， ，C正确； 对于D，将正方形与正方形置于同一平面内，则， 当且仅当是与的交点时取等号，D错误. 故选：ABC 12．3 【分析】由题意也是关于x的方程的一个根，结合韦达定理求得即可. 【详解】若是关于x的方程的一个根， 则也是关于x的方程的一个根， 所以， 解得， 所以. 故答案为：3. 13．/ 【分析】由题意可得，进而求得，可得，利用二次函数的性质可求最小值. 【详解】由，可得，又，所以， 所以，又，，所以， 所以， 所以 ，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 14． 【分析】取中点，连接，可证平面平面，记的外心为，为的外心为，过在平面内作，过在平面内作两直线交于点，求得即为外接球的半径，进而求得外接球的表面积. 【详解】取中点，连接，所以，， 因为，所以， 又，，，所以， 所以，所以，所以， 所以为二面角的平面角， 又因为平面平面，所以， 又，平面， 所以平面，又平面，平面， 所以平面平面，平面平面， 记的外心为，的外心为， 过在平面内作，过在平面内作两直线交于点， 可得为三棱锥的外接球的球心， 因为，设，则， 解得，所以， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 故答案为：. 15．(1). (2). 【分析】（1）先解二次与一次不等式化简集合，再进行集合的补、并运算即可得解； （2）根据题意得到是的真子集，从而利用集合的包含关系得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】（1）由题意知， ， 若，则， 所以， 所以. （2）由（1）得，， 因为“”是“”的充分不必要条件，所以为的真子集， 所以且等号不同时成立， 解得， 即的取值范围是. 16．(1)0.01，88.33； (2)10人； (3)“美食”工作需要进一步整改，理由见解析. 【分析】（1）根据频率分布图，求得，然后推得第70百分位数位于区间内，即可根据第百分位数的求法，得出答案. （2）根据分层抽样，即可求得评分在的学生人数. （3）根据频率分布直方图，即可求得平均数，进而得出答案. 【详解】（1）由图可知：，所以； 评分在内的频率为，内的频率为， 则第70百分位数位，， 所以第70百分位数为88.33. （2）低于80分的学生中三组学生的人数比例为， 则应选取评分在的学生人数为：（人）. （3）由图可知，认可程度平均分为： ， 显然认可系数低于，所以 “美食”工作需要进一步整改. 17．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接 ，交于点，即证，利用线面平行的判断定理即可得证； （2）由线面垂直的判断定理证面，再利用线面垂直的性质定理即可得证； （3）延长交于，连接，则面，面，又面，面，即证 ，得为与平面所成的角，即可求. 【详解】（1）连接 ，交于点， 可知四边形是平行四边形，可得为 中点， 又是的中点，则，又平面，平面， 所以平面． （2）根据题意，三棱柱为直三棱柱，则， 又由，则， ，面，面 则有面，又面，所以， 又由，则四边形为正方形，则， 又由，面，面，则有面， 面，则； （3）延长交于，连接，则面，面，又面，面， 则直线即为直线．由，且，则， 又且，所以且，则四边形为平行四边形，故，故为与平面所成的角． 因为，所以． 即与平面所成的角为． 18．(1) (2)3 (3) 【分析】（1）根据题意由正弦定理以及锐角三角形可得； （2）利用余弦定理解方程可得； （3）根据二倍角以及两角和的余弦公式即可计算出. 【详解】（1）由于，所以， 由根据正弦定理可得， 所以，且三角形为锐角三角形，即 所以. （2）在中，由余弦定理知， 即，解得或（舍）， 故. （3）由，可得， 所以， ， 即 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）先应用两角和差的余弦公式结合辅助角公式计算化简，再结合值域列式求参； （2）应用正弦函数的单调减区间列式计算求解； （3）根据已知零点个数结合特殊值列式，再根据不等式性质求解最小值. 【详解】（1） ． 因为，所以． （2）由（1）知，， 令， 解得， 所以函数的单调递减区间为． （3）令，得， 因为为的两个相异零点，所以， ①，且， 或，且， 此时． ②， ， 所以． 综上所述，，即的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $