精品解析：江苏省淮安市2025～2026学年度第二学期期末学业质量测试八年级数学试题

2025-2026学年度第二学期期末学业质量测试八年级数学试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上） 1. 下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查某种西瓜的甜度情况 B. 调查某种灯泡的合格率 C. 调查某市垃圾分类的情况 D. 调查全班同学的视力情况 【答案】D 【解析】 【分析】根据普查的特点：适合调查范围小，无破坏性，易操作的调查，据此判断各选项即可． 【详解】解：∵选择普查还是抽样调查，需要根据调查范围，是否具有破坏性判断， A、调查西瓜甜度具有破坏性，且调查数量大，适合抽样调查； B、调查灯泡合格率具有破坏性，适合抽样调查； C、调查某市垃圾分类情况，调查范围大，适合抽样调查； D、调查全班同学视力情况，范围小，易操作，适合普查． 2. 下列根式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式． A、，被开方数含分母，不满足条件，不是最简二次根式； B、，被开方数含能开得尽方的因数，不满足条件，不是最简二次根式； C、分母含根号，可化为，不满足条件，不是最简二次根式； D、满足两个条件，是最简二次根式． 3. 下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是理解因式分解的定义．把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式．据此作答即可． 【详解】解：A．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； B．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； C．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； D．符合定义，故选项正确，符合题意． 故选：D． 4. 两组对边中只有一组平行的四边形是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 梯形 D. 正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题可根据各类四边形对边平行的数量特征，逐一分析选项，从而选出符合“只有一组对边平行”条件的四边形． 【详解】解：平行四边形：两组对边分别平行． 矩形：两组对边分别平行（矩形是特殊的平行四边形）． 梯形：只有一组对边平行．（符合题意） 正方形：两组对边分别平行（正方形是特殊的平行四边形）． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A与不是同类二次根式，不能直接合并相加，计算错误； B、，计算错误； C、根据二次根式乘法法则，可得，计算正确； D、，计算错误． 6. 若长和宽分别为和的长方形的周长为，面积为，则代数式的值（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据长方形的周长和面积公式得到和的值，对所求代数式提取公因式因式分解后，整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵长方形的长和宽分别为，，周长为，面积为， ∴，，即， ∴． 7. 已知是分式方程的根，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】已知是分式方程的根，将代入原方程，即可解出的值． 【详解】解：∵是分式方程的根， ∴将代入原方程可得 化简得， 解得． 8. 已知，如图，在矩形中，菱形的三个顶点，，分别在矩形的边，，上，其中为定点，、为动点，连接．当点从点移动到点的过程中，的面积（ ） A. 逐渐增大 B. 逐渐减小 C. 不变 D. 先增大，再减小 【答案】B 【解析】 【分析】过点作交的延长线于点，通过证明得出为定值，再根据三角形面积公式结合的变化情况即可求解． 【详解】解：如图，过点  作  交  的延长线于点，连接， 四边形  是矩形， ， ， 四边形  是菱形， ，， ， ， ， 在  和  中， ， ，  为定点， 为定值，即  的高  不变， ， 当点  从  点移动到  点的过程中， 逐渐减小， 的面积逐渐减小． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，请把正确答案直接写在答题卡相应的位置上） 9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据形如的式子叫作二次根式，二次根式的被开方数为非负数求解即可． 本题考查了二次根式有意义条件，熟练掌握条件是解题的关键． 【详解】解：二次根式有意义， 故， 故， 故答案为：. 10. “经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯”，这个事件是______事件．（填“必然”“随机”“不可能”） 【答案】随机 【解析】 【分析】根据事件的分类进行判断即可． 【详解】解：经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯这一结果可能发生，也可能不发生， ∴这个事件是随机事件． 11. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的求值，正确根据题意得到是解题的关键． 根据题意可设，然后代入所求式子中求解即可． 【详解】解：∵， ∴可设， ∴， 故答案为：． 12. 某抽奖活动设置了一个不透明的箱子，箱子里放有形状、大小完全相同的红、绿两种颜色卡片共50张．每次从箱子中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的颜色后放回箱子并摇匀，进行大量重复抽取试验，统计抽到绿色卡片的次数，并计算出抽到绿色卡片的频率，绘出如下统计图．估计箱子绿色卡片的最可能是___________张． 【答案】15 【解析】 【分析】大量反复试验下频率的稳定值即为概率值，据此根据统计图可得抽到绿色卡片的概率约为，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：由统计图可知，随着试验次数的增加，抽到绿色卡片的频率逐步稳定在附近， ∴抽到绿色卡片的概率约为， ∴估计箱子绿色卡片的最可能是张． 13. 如图，将一张矩形纸片对折再对折，然后沿图中的虚线剪下，已知，，再将剪下的纸片展开，则得到一个新的四边形，它的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据勾股定理得到，再根据菱形的性质得到对角线的长分别为和，最后利用菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求解． 【详解】解：∵，，， 由勾股定理，得， 由题意可知，所得四边形的对角线互相垂直且平分，且这个四边形为菱形， ∴，为对角线的一半， ∴菱形的对角线长分别为和， ∴它的面积为． 14. 若关于x的分式方程有增根，则m的值为___． 【答案】1. 【解析】 【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x-3=0，得到x=3，然后代入化为整式方程的方程算出m的值． 【详解】方程两边都乘x﹣3， 得x﹣3m＝2m（x﹣3） ∵原方程有增根， ∴最简公分母x﹣3＝0， 解得x＝3， 当x＝3时，m＝1 故m的值是1， 故答案为1. 【点睛】本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行： ①让最简公分母为0确定增根； ②化分式方程为整式方程； ③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 15. 如图，在平行四边形中，，，，是的中点，连接，平分，且，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】延长，交于点，由“”可证，可得，，由三角形中位线定理可求解． 【详解】解：延长，交于点， 在平行四边形中，，，， ， 平分， ， ∵， ∴， 又∵， ， ，， ， 是的中点，， ． 16. 如图，在矩形中，、分别为，边上的点，且，，与的交点为，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得，设，，利用线段的和差关系分别表示出和，然后在 和中利用勾股定理建立 与的数量关系，进而求解． 【详解】解：四边形是矩形， 由题意可设，，， ， 在  中，由勾股定理得 ，即， 在  中，由勾股定理得 ，即， ， ． 三、解答题（本大题共11小题，共102分．请在答题卡指定区域作答，解答时应写出必要的演算步骤或文字说明） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先将所有二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）利用完全平方公式展开，再合并同类项即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 18. 分解因式、解方程： （1）分解因式：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： 经检验，是原方程的解． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】首先进行分式的化简，再把x的值代入化简后的式子，即可求得其值． 【详解】解： 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值及分母有理化，熟练掌握和运用分式的化简是解决本题的关键． 20. 为落实“双减”政策，某校积极开展拓展性课程建设，计划开设艺术、体育、劳技、文学等多个类别的拓展性课程，要求每一位学生都自主选择一个类别的拓展性课程．为了了解学生选择拓展性课程的情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下统计图（部分信息未给出）： 根据统计图中的信息，解答下列问题： （1）本次被调查的学生人数为_____； （2）将条形统计图补充完整． （3）扇形统计图中“体育”对应的圆心角为______； （4）若该校共有名学生，请估计全校选择艺术类的学生人数． 【答案】（1） （2）补全条形统计图如下． （3） （4）人 【解析】 【分析】（1）用选择“文学”课程的人数除以其所占百分比即可得出答案； （2）用总人数减去选择其它课程的人数，求出选择“体育”课程的人数为人，据此补全条形统计图即可； （3）用乘以选择“体育”的人数所占百分比，即可得出答案； （4）用乘以选择“艺术”的人数所占百分比，即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵选择“文学”课程的人数为人，其所占百分比为， ∴本次被调查的学生人数为（人）． 【小问2详解】 解：∵本次被调查的学生人数为人， ∴选择“体育”课程的人数为（人）， ∴补全条形统计图见答案． 【小问3详解】 解：∵选择“体育”课程的人数为人， ∴扇形统计图中“体育”对应的圆心角为． 【小问4详解】 解：（人）， 答：估计全校选择艺术类的学生有人． 21. 如图，在梯形中，，，是下底上的两点，，连接，．求证：． 【答案】证明：∵四边形是梯形，， ∴， 过点作交于点， 则， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 在和中： ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】先证明，从而证出，根据全等三角形的性质即可解答； 【详解】略 22. 按要求在中作图（不写作法，保留作图痕迹）． （1）在图1中，仅用无刻度直尺和圆规，作菱形，点和分别在边和上． （2）在图2中，点和分别在边和上，仅用无刻度直尺，作，点和分别在边和上． 【答案】（1）解：所求图形，如图所示； （2）解：所求图形如图所示． 【解析】 【分析】（1）连接，作的垂直平分线，交于点E，交于点F，连接，，则四边形为菱形． （2）连接，，与相交于点O，连接并延长交于点M，连接并延长交于点N，连接，，，，则四边形为平行四边形． 【小问1详解】 解：如图， ∵是的垂直平分线， ∴，，，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 解：如图， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 23. “驰骋绿茵场，逐梦少年强．”随着校园足球联赛开展，某体育用品店热销专业足球．受市场竞争及赛事促销影响，足球售价持续下调．今年5月足球售价比去年同期每个降价10元，若卖出相同数量的足球，去年销售额为1800元，今年销售额仅为1440元．求今年5月每个足球售价多少元？ 【答案】今年5月每个足球售价40元 【解析】 【分析】利用“销售量=销售额÷售价”的关系，根据卖出足球数量相同得到等量关系，设未知数列出分式方程求解即可． 【详解】解：设今年5月每个足球的售价为x元．根据题意，得 ， 解得， 经检验，是该分式方程的解，且符合题意． 答：今年5月每个足球售价为40元． 24. 如图①为折叠便携钓鱼椅子，将其抽象成几何图形，如图②，、、在同一条直线上，测得，，，已知． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若点到地面的距离为，求的长度． 【答案】（1）证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得出，，根据得出，进而证明，即可证明四边形是平行四边形； （2）过点作于，过点作于，可得四边形是矩形，得出，，利用勾股定理求出，进而求出，根据平行四边形的性质即可求出． 【小问1详解】 证明：略 【小问2详解】 解：如图，过点作于，过点作于， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵点到地面的距离为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 25. 阅读与思考： “配方法”是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形成为完全平方式或几个完全平方式的和的形式．巧妙地运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解． 例如： ． （1）运用“配方法”将多项式进行因式分解：； （2）已知，，是的三边长，且满足，请判断三角形的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2）是等腰三角形；理由如下： ∴， ∴， ∵ 故是等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）运用题目所给“配方法”解决问题即可； （2）可将原式变形为，然后配方为，由平方的非负性即可求解的值，验证其满足三角形三边关系定理即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：略． 26. 【初步感知】我们知道：一个实数的平方是非负数，可以表示为（是实数）．根据这个性质，我们可以有很多的发现：如由可得：，可得：，并且当时，． 【学以致用】 （1）请证明：（，）； （2）将（，）称之为基本不等式，利用基本不等式我们可以求一些函数的最小值．例：已知，求函数的最小值． 解：令，，则有，得，当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为． ①已知，则函数取到最小值，最小值为 ； ②直接写出函数（，）的最小值 ．（请用含的代数式表示）． （3）【拓展提高】逆用基本不等式（，），我们也可以求一些函数的最大值． ①试求函数（）的最大值． ②某校计划在校园围墙内围建一个矩形劳动实践基地，其中一边靠墙（如图，已知墙的长度足够长），另外三边用长为的篱笆围成．设这个矩形劳动实践基地垂直于墙的一边的长为，矩形面积为，请写出与的函数关系式，并求出该劳动实践基地面积的最大值． 【答案】（1）证明：∵，，； ∴， ∴， ∴； （2）①；② （3）①；②；最大值为 【解析】 【分析】（1）仿照题例即可求证； （2）根据（1）的结论，即可求解； （3）①逆用①的结论，即可求解； ②根据题意得出，根据（1）的结论，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴ 即函数取到最小值，最小值为 ②∵， ∴ 【小问3详解】 解：①∵ ∴ ∴ 即函数的最大值为 ②依题意， ∵ ∴ ∴ 答：该花圃面积的最大值为． 27. 【问题背景】某研究学习小组在学习《简单的图案设计》时，发现一种特殊的四边形，如图1，在四边形中，若，，我们就把这种四边形称为“邻等对补四边形”．于是规定：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．那么“邻等对补四边形”都有哪些特殊的性质呢？该学习小组根据学习经验，进行如下研究． （1）【概念辨析】用分别含和角的直角三角形纸板拼出如图2所示的4个四边形，其中是“邻等对补四边形”的是______（填序号）． （2）【深入探究】学习小组在探究“邻等对补四边形”的边和对角线时，如图3，四边形是“邻等对补四边形”，其中，得到猜想：平分．请对猜想进行证明． （3）【拓展应用】如图3，在“邻等对补四边形”中，，若，，，求长． （4）如图4，在边长为12的等边三角形中，是的中点，是边上一动点，将沿翻折得到，延长交直线于点．若，则的长为______． 【答案】（1）②④ （2）证明：如图，过A作于H，作交延长线于K， ∵四边形是“邻等对补四边形”， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴平分； （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）根据“邻等对补四边形”的定义可得答案； （2）过A作于H，作交延长线于K，证明，可得，故平分； （3）延长交于点，根据三角形内角和得出，根据“邻等对补四边形”得出，进而可得，进而根据含30度角的直角三角形的性质得出的长，即可求解； （4）根据题意分情况讨论，当点G在上时，过点D作于点M，于点N，当点G在的延长线上时，过点D作于点P，，交的延长线于点Q，利用角的平分线的性质，新定义，勾股定理，解答即可． 【小问1详解】 解：根据“邻等对补四边形”的定义可得，②④为“邻等对补四边形”； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，延长交于点， ∵，， ∴， ∵四边形是“邻等对补四边形”，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴, 在中，, ∴． 【小问4详解】 解：在边长为12的等边三角形中，D是的中点，， ∴，，， 当点G在上时，， ∵沿翻折得到，延长交直线于点G． ∴，， ∴，， ∴， ∴四边形是“对补四边形”， 连接， ∵， ∴， 过点D作于点M，于点N， ∴， ∴，， ∴， ∵， ， ∴． ∴， ∵折叠， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， 过点G作于点， ∵，， ∴， 设， 则，， 根据勾股定理，得， 解得． 故的长为． 当点G在的延长线上时， 过点D作于点P，，交的延长线于点Q， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ， ∴． ∴， ∵折叠， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴， 设， 则，， 过点G作，交的延长线于点K， 则， ∴，，， ∴， 根据勾股定理，得， 故， 解得． 故的长为． 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期末学业质量测试八年级数学试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上） 1. 下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查某种西瓜的甜度情况 B. 调查某种灯泡的合格率 C. 调查某市垃圾分类的情况 D. 调查全班同学的视力情况 2. 下列根式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 两组对边中只有一组平行的四边形是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 梯形 D. 正方形 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若长和宽分别为和的长方形的周长为，面积为，则代数式的值（ ） A. B. C. D. 7. 已知是分式方程的根，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，如图，在矩形中，菱形的三个顶点，，分别在矩形的边，，上，其中为定点，、为动点，连接．当点从点移动到点的过程中，的面积（ ） A. 逐渐增大 B. 逐渐减小 C. 不变 D. 先增大，再减小 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，请把正确答案直接写在答题卡相应的位置上） 9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______． 10. “经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯”，这个事件是______事件．（填“必然”“随机”“不可能”） 11. 已知，则______． 12. 某抽奖活动设置了一个不透明的箱子，箱子里放有形状、大小完全相同的红、绿两种颜色卡片共50张．每次从箱子中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的颜色后放回箱子并摇匀，进行大量重复抽取试验，统计抽到绿色卡片的次数，并计算出抽到绿色卡片的频率，绘出如下统计图．估计箱子绿色卡片的最可能是___________张． 13. 如图，将一张矩形纸片对折再对折，然后沿图中的虚线剪下，已知，，再将剪下的纸片展开，则得到一个新的四边形，它的面积是______． 14. 若关于x的分式方程有增根，则m的值为___． 15. 如图，在平行四边形中，，，，是的中点，连接，平分，且，则的长为______． 16. 如图，在矩形中，、分别为，边上的点，且，，与的交点为，若，则______． 三、解答题（本大题共11小题，共102分．请在答题卡指定区域作答，解答时应写出必要的演算步骤或文字说明） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 分解因式、解方程： （1）分解因式：； （2）解方程：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 为落实“双减”政策，某校积极开展拓展性课程建设，计划开设艺术、体育、劳技、文学等多个类别的拓展性课程，要求每一位学生都自主选择一个类别的拓展性课程．为了了解学生选择拓展性课程的情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下统计图（部分信息未给出）： 根据统计图中的信息，解答下列问题： （1）本次被调查的学生人数为_____； （2）将条形统计图补充完整． （3）扇形统计图中“体育”对应的圆心角为______； （4）若该校共有名学生，请估计全校选择艺术类的学生人数． 21. 如图，在梯形中，，，是下底上的两点，，连接，．求证：． 22. 按要求在中作图（不写作法，保留作图痕迹）． （1）在图1中，仅用无刻度直尺和圆规，作菱形，点和分别在边和上． （2）在图2中，点和分别在边和上，仅用无刻度直尺，作，点和分别在边和上． 23. “驰骋绿茵场，逐梦少年强．”随着校园足球联赛开展，某体育用品店热销专业足球．受市场竞争及赛事促销影响，足球售价持续下调．今年5月足球售价比去年同期每个降价10元，若卖出相同数量的足球，去年销售额为1800元，今年销售额仅为1440元．求今年5月每个足球售价多少元？ 24. 如图①为折叠便携钓鱼椅子，将其抽象成几何图形，如图②，、、在同一条直线上，测得，，，已知． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若点到地面的距离为，求的长度． 25. 阅读与思考： “配方法”是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形成为完全平方式或几个完全平方式的和的形式．巧妙地运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解． 例如： ． （1）运用“配方法”将多项式进行因式分解：； （2）已知，，是的三边长，且满足，请判断三角形的形状，并说明理由． 26. 【初步感知】我们知道：一个实数的平方是非负数，可以表示为（是实数）．根据这个性质，我们可以有很多的发现：如由可得：，可得：，并且当时，． 【学以致用】 （1）请证明：（，）； （2）将（，）称之为基本不等式，利用基本不等式我们可以求一些函数的最小值．例：已知，求函数的最小值． 解：令，，则有，得，当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为． ①已知，则函数取到最小值，最小值为 ； ②直接写出函数（，）的最小值 ．（请用含的代数式表示）． （3）【拓展提高】逆用基本不等式（，），我们也可以求一些函数的最大值． ①试求函数（）的最大值． ②某校计划在校园围墙内围建一个矩形劳动实践基地，其中一边靠墙（如图，已知墙的长度足够长），另外三边用长为的篱笆围成．设这个矩形劳动实践基地垂直于墙的一边的长为，矩形面积为，请写出与的函数关系式，并求出该劳动实践基地面积的最大值． 27. 【问题背景】某研究学习小组在学习《简单的图案设计》时，发现一种特殊的四边形，如图1，在四边形中，若，，我们就把这种四边形称为“邻等对补四边形”．于是规定：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．那么“邻等对补四边形”都有哪些特殊的性质呢？该学习小组根据学习经验，进行如下研究． （1）【概念辨析】用分别含和角的直角三角形纸板拼出如图2所示的4个四边形，其中是“邻等对补四边形”的是______（填序号）． （2）【深入探究】学习小组在探究“邻等对补四边形”的边和对角线时，如图3，四边形是“邻等对补四边形”，其中，得到猜想：平分．请对猜想进行证明． （3）【拓展应用】如图3，在“邻等对补四边形”中，，若，，，求长． （4）如图4，在边长为12的等边三角形中，是的中点，是边上一动点，将沿翻折得到，延长交直线于点．若，则的长为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $