专题2.2 充分条件、必要条件、充要条件 （5大知识点+11大题型+强化训练） 2026-2027学年高一数学暑假班预习提升讲义（苏教版必修第一册）

2026-2027学年高一数学暑假班预习提升讲义 专题2.2 充分条件、必要条件、充要条件 知识点1：充分条件与必要条件的定义 1、推出关系：一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q，这时，我们就说，由p可以推出q，记作p⇒q，由条件p 不能推出结论q,记作: 一般地，当命题“若，则”为真命题，是指由条件通过推理可以得出。 2、充分条件与必要条件定义：如果，那么称是的充分条件，是的必要条件。 【要点】对于“p⇒q”，蕴含以下多种解释： （1）“若p，则q”形式的命题为真命题； （2）由条件p可以得到结论 q； （3）p是q的充分条件或q的充分条件是p； （4）只要有条件p，就一定有结论 q，即p对于q是充分的； （5）q是p的必要条件或p的必要条件是q； （6）一旦q不成立，p一定也不成立，q成立对于p成立是必要的. （7）如果“若，则”为假命题，是指由条件不能推出结论，记作，则不是的充分条件，不是的必要条件。 显然，p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，即p⇒q，只是说法不同而已. 知识点2：充要条件的定义 若有，又有，就记作，则是的充分必要条件，简称充要条件，同时也是的充分必要条件。 为了方便起见，如果p是q的充要条件，就记作pq，称为“p与q等价”，或“p等价于q” 不难发现，“”和“”都具有传递性，即 如果pq，qs，那么ps； 如果pq，qs，那么ps 知识点3：充分条件、必要条件的四种类型 若，，则是的充要条件 若，，则是的充分不必要条件 若，，则是的必要不充分条件 若，，则是的既不充分也不必要条件 知识点4：集合角度中的条件判断（小充分大必要） 设命题对应集合，命题对应集合 若，即，是的充分条件（充分性成立） 若，即，是的必要条件（必要性成立） 若，即，，是的充分不必要条件 若，即，，是的必要不充分条件 若，即，，是的充要条件 知识点一、充分条件、必要条件、充要条件的判断 题型01：充分条件、充分不必要条件的判断 【方法点拨】1.定义法：若 ，则是的充分而不必要条件； 2.集合法：即若满足命题p的集合为M，满足命题q的集合为N，则M是N的真子集等价于p是q的充分不必要条件． 【例1】已知，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据题意可直接判断充分性，举例说明必要性不成立即可. 【详解】若，则，即充分性成立； 若，例如，满足条件，但不成立，即必要性不成立； 综上所述：“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【例2】设，则是的 (　　) 充分不必要条件 必要不充分条件 充分必要条件 既不充分也不必要条件 【解析】可知，而，． 反之不成立，例如a，，满足，但不成立. 是的充分不必要条件．故选：． 【点拨】 ① 以为已知，可以推出这个结论，所以是的充分条件；若要判断某个命题是对的，只能去证明它； ② 证明推不出，即判断某个命题是错的，举一个反例就行，这点做非解答题时多多注意，可称之为取特殊值否定法； ③ 思考：本题可从集合的角度去判断么？ 【跟踪训练】 1.已知，则“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】根据充分条件和必要条件来判断. 【详解】当时，一定成立，故充分性成立， 当时，则，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分非必要条件. 故选：A 2. “”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用集合的包含关系可得正确的选项. 【详解】由，解得或， 因为为或的真子集， 则“”是“”的充分不必要条件． 故选：A. 3．“”是“”的 条件． 【答案】充分不必要 【难度】0.94 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】结合不等式的范围检验充分及必要性即可判断． 【详解】当时，一定成立，即充分性成立； 当时，不一定成立，即必要性不成立． 故答案为：充分不必要． 4.“”是“”的 条件． 【答案】充分不必要 【难度】0.94 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】根据充分条件（若A则B）和必要条件（若B则A）定义判断两个不等式间的逻辑关系. 【详解】假设时，，两边取倒数，不等式方向改变，即. 所以，是的充分条件. 假设： 当时，两边取倒数，不等式方向改变，即，满足. 当时，，但此时，不满足. 因此，当时，可能大于，也可能小于，无法推出，故必要性不成立. 所以是的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要 题型02：必要条件、必要不充分条件的判断 【方法点拨】1.定义法：若 ，则是的必要而不充分条件； 2.集合法：若满足命题p的集合为M，满足命题q的集合为N，则N是M的真子集等价于p是q的必要不充分条件． 【例3】命题“”是命题“”的 条件． 【答案】必要不充分 【难度】0.94 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【分析】根据必要不充分条件的定义判断即可. 【详解】因为或， 所以命题“”是命题“”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分. 【例4】“四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据必要不充分条件的定义即可求解. 【详解】四边形是平行四边形不能推出四边形是菱形，但是四边形是菱形能推出四边形是平行四边形，所以“四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”的必要不充分条件． 故选：B． 【跟踪训练】 1. “为整数”是“为整数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件必要条件的概念即得. 【详解】当为整数时，必为整数； 当为整数时，不一定为整数，例如当时，， 所以“为整数”是“为整数”的必要不充分条件. 故选：B. 2. 若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件、必要条件的定义即可得解. 【详解】若，令，满足，但； 若，则一定成立， 所以“ ”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3. 一元二次方程，（）有一个正根和一个负根的充分而不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由方程根的情况可得，求出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】因为一元二次方程，（）有一个正根和一个负根， 所以，解得， 所以一元二次方程，（）有一个正根和一个负根的充分而不必要条件可以是. 故选：C. 知识点二、充分、必要、充要关系的探求 题型05：探求充分条件、充分不必要条件 【方法点拨】 【例5】若，，则的一个充分不必要条件　　 A． B． C． D． 【分析】利用不等式的性质判断，利用举反例判断． 【解答】解：不能推出，错误， ， 当，时，满足，但不满足，正确， 当，时，满足，但不满足，错误， 当，时，满足，但不满足，错误， 故选：． 【点评】本题考查了充要条件的判定，不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 【跟踪训练】 1. （多选）“”的一个充分不必要条件可以是　　 A． B． C． D． 【分析】先求出的解集，再利用集合的包含关系即可判断． 【解答】解：，， ，，，，，， 或是的充分不必要条件， 故选：． 【点评】本题考查了充要条件的定义，一元二次不等式的解法，属于基础题． 2. 已知，是方程的两根，，则是的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，再结合充要条件的判定可得答案． 【解答】解：若，是方程的两根， 则， 则是的充分不必要条件， 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3. 设，则“”是“”的　　条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【分析】先求出一元二次不等式的解集，再利用集合的包含关系判断即可． 【解答】解：，， ，，， 是的充分不必要条件， 故选：． 【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 题型06：探求必要条件、必要不充分条件 【例6】（多选）下列“若，则”形式的命题中，是的必要条件的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【分析】直接利用充分条件和必要条件的应用求出结果． 【解答】解：对于：若，则，所以为既不充分也不必要条件，故错误； 对于：若，则，所以为的必要条件，故正确； 对于：若，则，所以为的必要条件，故正确； 对于：若，则，所以为的充要条件，故错误． 故选：． 【点评】本题考查的知识要点：充分条件和必要条件，主要考查学生对基础知识的理解，属于基础题． 【跟踪训练】 1. “”是“”的　　条件．（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一） 【分析】由题意，由前者不能推出后者，由后者可以推出前者，故可得答案． 【解答】解：若“”，则“”不成立，反之，“”时“”，成立， 故答案为：必要不充分． 【点评】本题主要考查四种条件的判断，属于基础题 2. “”是“成立”的　　 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】求解一元二次不等式，然后结合集合间的关系及充分必要条件的判定得答案． 【解答】解：由，得， ，，， “”是“成立”的必要而不充分条件． 故选：． 【点评】本题考查一元二次不等式的解法，考查充分必要条件的判定，是基础题． 2．已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据必要不充分条件求参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】将是的必要不充分条件转化为，然后根据集合间的包含关系列不等式求解即可. 【详解】设，， 因为是的必要不充分条件，所以， 所以，解得， 当时，，成立， 所以. 故选：A. 3. 已知是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：①s是q的充要条件；②是q的充分不必要条件；③r是q的必要不充分条件；④r是s的充分不必要条件.正确的命题序号是（    ） A．①④ B．①② C．②③ D．③④ 【答案】B 【分析】根据条件及充分条件和必要条件的的确定之间的关系，然后逐一判断命题①②③④即可. 【详解】因为是的的充分不必要条件，所以，推不出， 因为是的的充分条件，所以， 因为是的必要条件，所以， 因为是的必要条件，所以， 因为，，所以，又，，所以是的充要条件，命题①正确， 因为，，，所以， 推不出，故是的充分不必要条件，②正确； 因为，，所以，是的充分条件，命题③错误； 因为，，所以，又， 所以是的充要条件，命题④错误； 故选：B. 题型07：充要条件的探求与证明 【方法点拨】1.定义法：若，则是的充要条件； 2.集合法：即若满足命题p的集合为M，满足命题q的集合为N，则M＝N等价于p和q互为充要条件． 【例7】若是正整数，则充要条件是(　　) 有一个为 且 【解析】， ， 是正整数，，， 则，，， 若，则， 即或，即有一个为， 即充要条件是有一个为，故选． 【例8】若，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可 【详解】充分性：当时，可得，故充分性成立； 必要性：当时，可得，故必要性成立； 所以“”是“”的充要条件，故C正确. 故选:C． 【例9】若方程有两根，求其中一根大于3，一根小于3的充要条件． 【分析】构造二次函数，（3），解得即可． 【解答】解：方程对应的二次函数， 方程有两根其中一根大于3一根小于3， （3），解得， 方程有两根其中一根大于3一根小于3的充要条件是． 【点评】本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，属基础题． 【例10】已知，求证：成立的充要条件是．提示： 【答案】证明见解析. 【分析】根据充要条件的定义分别证明充分性和必要性即可. 【详解】充分性： 若，则， 即充分性成立； 必要性： 若，而， 则，又， 由，得且，即，且， 因此，则，即必要性成立， 所以成立的充要条件是. 【跟踪训练】 1.二次函数的图象与x轴没有交点的充要条件是（    ） A． B． C． D．， 【答案】B 【分析】运用二次函数与一元二次方程知识，首先根据题意由二次函数的图象与x轴没有交点，解得可进一步求范围. 【详解】由二次函数的图象与x轴没有交点， 故，得， 故答案为：B 2．“一元二次方程有两个不相等的正实根”的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【知识点】根据充要条件求参数 【分析】先求出一元二次方程有两个不相等的正实根时的取值范围，再根据充要条件的定义即可求解. 【详解】解：一元二次方程有两个不相等的正实根， 设两根分别为：， 故， 解得：， 故“一元二次方程有两个不相等的正实根”的充要条件是. 故选：B. 3.求证：是是等边三角形的充要条件.（这里，，是的三边边长）. 【答案】证明见解析 【分析】根据充分性与必要性定义证明即可. 【详解】先证明充分性： 由， 得， 整理得，， 所以，即是等边三角形. 然后证明必要性： 由是等边三角形，则， 所以. 综上所述，是是等边三角形的充要条件. 知识点三、根据充分、必要、充要确定参数 题型08：根据充分条件与必要条件求参数 【方法点拨】方法及注意点 (1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2) 端点取值慎取舍：区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的错误． 【例11】若，，已知是的充分条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】依题意可得推得出，即可求出参数的取值范围. 【详解】解：因为，且是的充分条件， 即推得出，所以. 故答案为： 【例12】若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】必要条件 【分析】根据必要条件的定义直接求解即可. 【详解】由题意，“若，则”为真命题， 故实数的取值范围是. 故答案为： 【跟踪训练】 1. 已知是的充分条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据充分条件的定义得到，从而得到不等式，求出实数的取值范围. 【详解】由题意得：，故，解得：, 故实数的取值范围是. 故答案为： 2.已知集合，集合，若“”是 “”的充分条件，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】由题意得，建立不等式即可求解的取值范围； 【详解】因为“”是 “”的充分条件， 所以， 所以， 故答案为：. 3.若不等式的一个充分条件为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将充分条件转化为集合间的关系，根据集合的包含关系即可求解. 【详解】由题意可得， 所以且，解得， 故选：C 4.已知集合，．若P的充分条件为Q，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题干条件可知Q是P的子集，可分为当为空集和非空集两类去讨论，最后取二类结果并集即得答案. 【详解】由已知，P的充分条件为Q，则Q是P的子集， 当时，即时，，满足题意； 当，即时，由题意得，解得， 综上，m的取值范围是． 5.设，若p是q的必要条件，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】必要条件、根据集合的包含关系求参数 【分析】由已知条件可得出集合的包含关系，可得出关于实数m的不等式组，由此可解得实数m的取值范围. 【详解】因为p是q的必要条件， 所以， 所以， 则实数m的取值范围是， 故答案为： 题型09：根据充分不必要条件求参数 【例13】已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是　　． 【分析】根据充分条件和必要条件与集合关系进行转化求解即可． 【解答】解：是的充分不必要条件， ，，， 则，即， 即实数的取值范围是， 故答案为： 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据充分条件和必要条件与集合的关系进行转化是解决本题的关键，是基础题． 【跟踪训练】 1.已知或，，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，，依题意可得，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为或，， 令，， 因为是的充分不必要条件，所以， 所以. 故选：D 2. 已知条件p：，q：，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据p是q的充分不必要条件，由⫋求解. 【详解】解：因为p是q的充分不必要条件， 所以⫋， 则m≤－1， 故选：D. 题型10：根据必要不充分条件求参数 【方法点拨】根据充要条件求解参数范围的方法及注意点 (1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2) 端点取值慎取舍：区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的错误． 【例14】已知命题，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】命题，，即， 是的必要不充分条件， ，，解得． 实数的取值范围为． 【跟踪训练】 1.若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得⫋，再根据集合的包含关系求参即可. 【详解】因为“”是“”的必要不充分条件， 所有⫋，所以， 即实数的取值范围为． 故选：A． 2.若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用充分条件与必要条件的判断方法即可得得出结果. 【详解】因为“”是“”的必要不充分条件， 所以，即，解得， 故选：B. 3.已知或，，若p是的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 【答案】. 【分析】由题设、间的关系可得BA，根据集合A、B的包含关系列方程组求解即可. 【详解】由是的必要不充分条件，所以BA， 当，即时，，满足题意； 当，即时，则有或，即或，所以. 综上，的取值范围是. 题型11：根据充要条件求参数 【例15】若命题：为命题：，的充要条件，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据充要条件定义可直接构造方程求得结果. 【详解】命题是命题的充要条件，，解得：. 故答案为：. 【跟踪训练】 1.若“不等式成立”的充要条件为“”，则实数的值为 . 【答案】 【分析】解不等式，根据充要条件的定义可得出关于的等式，解之即可. 【详解】解不等式得， 因为“不等式成立”的充要条件为“”，所以，解得， 所以，. 故答案为：. 2.已知，，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】不存在，理由见解析 【分析】利用题给条件列出关于m的方程组，解之求得m的值，进而判断出不存在实数m使p是q的充要条件. 【详解】若p是q的充要条件，则， 所以，即，此方程组无解，所以m不存在． 故不存在实数m，使得p是q的充要条件． 知识点四、综合提升 题型11：古诗词及古文中的条件判断 【例16】荀子日：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理．由此可得，“积跬步”是“至千里”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】根据充要条件的定义即可判断． 【解答】解：荀子的名言表明积跬步未必能至千里，但要至千里必须积跬步， 故“积跬步”是“至千里”的必要不充分条件． 故选：． 【点评】本题考查了充要条件的应用，属于基础题． 【跟踪训练】 1. 常言道：“不经历风雨，怎么见彩虹”．就此话而言，“经历风雨”是“见彩虹”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据必要不充分条件的定义求解 【详解】由题意，经历风雨不一定会见彩虹，但见彩虹一定是经历风雨， 所以“经历风雨”是“见彩虹”的必要不充分条件． 故选：B． 2.古人云“一屋不扫，何以扫天下”，这句谚语说明古人认为“能扫一屋”的一个（    ）条件是“能扫天下” A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B 【分析】利用充分，必要条件的定义判断即可. 【详解】由题意知“能扫天下”是“能扫一屋”的充分条件，即“能扫一屋”是“能扫天下”的必要条件. 故选：B. 3．“其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”出自《论语·子路》．意思是：当政者本身言行端正，不用发号施令，大家自然起身效法，政令将会畅行无阻；如果当政者本身言行不正，虽下命令，大家也不会服从遵守．根据上述材料，“身正”是“令行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】结合题意判断“身正”和“令行”之间的逻辑关系，即得答案. 【详解】由题意：其身正，不令而行，即身正令行，故“身正”是“令行”的充分条件； 又其身不正，虽令不从，即令行身正，所以“身正”是“令行”的必要条件， 综合知“身正”是“令行”的充要条件， 故选：C． 4.王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”．其名篇“但使龙城飞将在，不教胡马度阴山”（人在阵地在，人不在阵地在不在不知道），由此推断，胡马度过阴山是龙城飞将不在的（    ） A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．充分不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合题意分析判断即可 【详解】因为人在阵地在，所以胡马度过阴山说明龙城飞将不在， 因为人不在阵地在不在不知道，所以龙城飞将不在，不能确定胡马是否度过阴山， 所以胡马度过阴山是龙城飞将不在的充分不必要条件， 故选：D 题型12：集合角度看充分条件、必要条件 【例17】已知集合或，. (1)若“”是“”成立的必要条件，求的取值范围； (2)若“”是“”成立的必要不充分条件，求的取值范围； (3)若“”是“”成立的充分条件，求的取值范围； (4)若“”是“”成立的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3). (4). 【分析】（1）根据已知条件得到是的子集，由此得到不等式，解不等式即可； （2）根据已知条件得到是的真子集，由此得到不等式，解不等式即可； （3）先计算集合，再根据已知条件得到是的子集，由此得到不等式，即可求解； （4）先计算集合，再根据已知条件得到是的真子集，由此得到不等式，即可求解. 【详解】（1）若“”是“”成立的必要条件，则是的子集，故，解得. 所以的取值范围是. （2）若“”是“”成立的必要不充分条件，则是的真子集，故， 解得.所以的取值范围是. （3）若“”是“”成立的充分条件，则是的子集， 易知，所以.所以的取值范围是. （4）若“”是“”成立的充分不必要条件，则是的真子集， 因为，所以.所以的取值范围是. 【例18】设集合，集合. (1)若且，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据充分不必要条件求参数、根据集合的包含关系求参数、根据元素与集合的关系求参数 【分析】（1）根据元素是否属于集合来确定不等式的取值范围； （2）充分不必要条件意味着集合是集合的真子集. 【详解】（1）因为，将代入，得到，解得. 又因为，将代入，得到，解得.   综合可得. （2）因为是的充分不必要条件，所以为的真子集。. 对于集合，方程的两个根为和. 当时，. 因为为的真子集，所以.   当时，. 此时不可能是的真子集.   当时，，也不可能是的真子集.   故满足题意时，. 【跟踪训练】 1. 如果条件对应的集合为，条件对应的集合为，则 （1）若是的充分不必要条件，则 ； （2）若是的必要不充分条件，则 ； （3）若是的充分必要条件，则 ； （4）若是的既不充分又不必要条件，则 . 【答案】   不是B的子集，且也不是A的子集 【分析】根据充分条件、必要条件，充分必要条件和既不充分也不条件与集合间的关系，即可求解. 【详解】（1）根据充分不必要条件与集合间的包含关系，可得； （2）根据必要不充分条件与集合间的包含关系，可得； （3）根据充分必要条件与集合间的包含关系，可得； （4）根据既不充分也不必要条件与集合间的关系，可得不是B的子集，且也不是A的子集. 2. 设为实数，集合． (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)；或 (2) 【难度】0.65 【知识点】根据必要不充分条件求参数、交并补混合运算、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）可知，结合集合的交集、并集和补集运算求解即可； （2）分析可知集合B是集合A的真子集，结合包含关系列式求解即可. 【详解】（1）若，则，且， 可得，， 所以或. （2）若“”是“”的必要不充分条件，可知集合B是集合A的真子集， 显然集合B不是空集，则，解得， 所以实数的取值范围为. 3．设全集为实数集，集合，. (1)当时，求，； (2)若命题：，命题：，且是的充分且不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)，或 (2) 【难度】0.65 【知识点】交并补混合运算、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）求得集合，进而可求得，； （2）根据给定条件可得，且，求解即可. 【详解】（1）由，得， 解得， 所以， 当时，， 所以， 因为或， 所以或， （2）由（1）知，， 因为是的充分不必要条件， 所以，且， 解得. 一、选择题 1. “”是 “”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分必要条件的定义判断． 【详解】时，有，充分的，但时可能有，不必要． 故选：A． 2.设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】按充分条件和必要条件的定义即可求解. 【详解】， 故是的必要不充分条件， 故选：B 3.已知，则“”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】解出不等式的解集，可解决此题． 【解答】解：解不等式得：或， 故选：． 【点评】考查不等式性质与充分、必要条件判定，考查数学运算能力及推理能力，属于基础题． 4.“”的一个必要而不充分条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据必要不充分条件的定义即可求解. 【详解】“”的一个必要而不充分条件需要满足是所求范围的一个真子集， 由于， 故选：B 5.若是的必要不充分条件，是的充分不必要条件，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用题给条件判断出与的逻辑关系，进而得到正确选项. 【详解】若是的必要不充分条件，则，， 是的充分不必要条件，则， 则有，，则是的充分不必要条件， 故选：A． 6.已知集合，则“”是“”的（    ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 【答案】C 【分析】根据集合的基本关系以及充分必要条件的判断即可得解. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以是的充要条件, 故选：C. 7.王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其诗作《从军行》中的诗句“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”传诵至今．由此推断，其中最后一句“返回家乡”是“攻破楼兰”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由题意，“不破楼兰”可以推出“不还”，但是反过来“不还”的原因有多种，按照充分条件、必要条件的定义即可判断 【详解】由题意，“不破楼兰终不还”即“不破楼兰”是“不还”的充分条件，即“不破楼兰”可以推出“不还”，但是反过来“不还”的原因有多种，比如战死沙场； 即如果已知“还”，一定是已经“破楼兰”，所以“还”是“破楼兰”的充分条件 故选：A 8．已知条件：；条件：；条件：.若是的充要条件，则 .若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 2 【解析】由是的充要条件，建立方程组，解之求得.由 是的必要不充分条件，建立不等式组，解之求得实数的取值范围. 【详解】由条件可得，因为是的充要条件，所以，解得. 因为是的必要不充分条件，所以，解得. 故答案为：2；． 二、多项选择题 9. 已知集合，集合，能使成立的充分不必要条件有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】由成立的充要条件求出对应的参数的范围，结合充分不必要条件的定义即可得解. 【详解】当且仅当是的子集，当且仅当，即， 对比选项可知使得成立的充分不必要条件有，. 故选：CD. 10.设，是的充分不必要条件，则实数的值可以为（    ） A． B．0 C．3 D． 【答案】ABD 【分析】根据是的充分不必要条件，得到是的真子集，再分情况讨论即可得到的可能取值. 【详解】因为的两个根为3和5，所以， 是的充分不必要条件，所以是的真子集， 所以或或， 当时，满足即可， 当时，满足，所以， 当，满足，所以， 所以的值可以是0，，. 故选：ABD. 11.命题“一元二次方程的一个实根大于1，另一个实根小于1”为真命题的一个充分不必要条件可以是（    ）． A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】先由方程的一个实根大于1，另一个实根小于1，求出的取值范围，然后再利用充分不必要条件的定义分析判断即可. 【详解】令， 因为一元二次方程的一个实根大于1，另一个实根小于1， 所以，所以，解得， 所以命题“一元二次方程的一个实根大于1，另一个实根小于1”为真命题的一个充分不必要条件为的一个真子集即可， 所以AC符合条件， 故选：AC. 12.已知集合或，则的必要不充分条件可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】分别在、的情况下，根据求得的范围，即为的充要条件，再根据选项即可得解． 【详解】解：因为集合或， 当时，，解得，此时， 当时，，解得，若，则，解得， 又，则， 则的充要条件为， 所以的必要不充分条件可能是，， 故选：AB． 3、 填空题 13.设，，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】首先化简命题、，分别记所对应的不等式的解集为、，依题意可得，即可得到不等式，解得即可. 【详解】由，解得，即，记； 由，解得， 即，记， 因为是的充分不必要条件，所以，即， 解得， 所以a的取值范围是. 故答案为：. 14.若“”是“”的必要不充分条件，则的最大值为 ； 【答案】 【分析】根据必要不充分条件的定义求得的取值范围后可得． 【详解】或， 由题意得， 所以的最大值是． 故答案为：． 15.若“或”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由必要不充分条件的定义可知或，或，所以或，即或． 16.已知，，若是的充要条件，则实数 ． 【答案】5 【分析】根据充要条件列出等式求解即可. 【详解】因为，又，是的充要条件， 所以，解得实数． 故答案为：5 四、解答题 17.下列所给的各组中，p是q的什么条件（“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”）？ (1)p：，q：； (2)p：，q：且； (3)p：，q：； (4)p：a是自然数；q：a是正数． 【答案】(1)p是q的充分而不必要条件 (2)p是q的充要条件 (3)p是q的必要而不充分条件 (4)p是q的既不充分又不必要条件． 【分析】（1）（3）求解方程结合代值到方程中检验判断即可. （2）利用不等式的性质判断即可. （4）举反例判断即可. 【详解】（1）当时，成立； 当时，或． 所以p是q的充分而不必要条件． （2）由，即为且，所以p是q的充要条件． （3）由，得，且， 则，不一定有， 故p是q的必要而不充分条件． （4）0是自然数，但0不是正数，故不可推出； 又是正数，但不是自然数，故不可推出， 故p是q的既不充分又不必要条件． 18．设全集，集合，集合. (1)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数、根据充分不必要条件求参数 【分析】（1）由“”是“”’的充分条件可得，利用子集的概念求范围； （2）把转化为，分情况讨论集合是空集和非空集，结合子集的概念求参数范围. 【详解】（1）若“”是“”的充分条件，则， ∴ ∴. （2）若，则. 当时，，解得， 当时，，无解， 综上，a的取值范围是. 19．已知集合或，或. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围； (3)若“”是“”的充分不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、并集的概念及运算、根据充分不必要条件求参数、根据必要不充分条件求参数 【分析】（1）当时，得到，结合并集的概念，即可求解； （2）根据题意，转化为是的真子集，结合集合的包含关系，列出不等式组，即可求解； （3）根据题意，转化为是的真子集，分和，两种情况讨论，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：当时，或，所以. （2）解：因为是的必要不充分条件，可得是的真子集， 则满足，解得，所以实数的取值范围为. （3）解：因为是的充分不充分条件，可得是的真子集， ①当时，即时，此时，符合题意； ②当时，即时，则满足，即，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 20.设全集，集合，非空集合 (1)若是的充分条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据是的充分条件，由求解； （2）根据是的必要条件，由求解. 【详解】（1）已知全集，集合，非空集合， 因为是的充分条件， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围是； （2）因为是的必要条件， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围是. 21. 已知条件集合，条件非空集合． (1)若是的必要条件，求实数的取值范围． (2)若是的必要条件，求实数的取值范围． (3)否存在实数，使是的充要条件． 【答案】(1)； (2)； (3)不存在. 【分析】（1）根据必要条件的定义可得，进而可得，即得； （2）根据补集的定义及必要条件的定义可得，进而即得； （3）根据充要条件的概念可得，进而即得. 【详解】（1）因为是的必要条件， 所以，又，， 所以， 解得， 即实数的取值范围是； （2）若是的必要条件，则⇒， 所以， 又或，或， 所以， 解得， 故实数的取值范围； （3）若是的充要条件，则， 所以， 方程组无解， 故不存在实数，使是的充要条件． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学暑假班预习提升讲义 专题2.2 充分条件、必要条件、充要条件 知识点1：充分条件与必要条件的定义 1、推出关系：一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q，这时，我们就说，由p可以推出q，记作p⇒q，由条件p 不能推出结论q,记作: 一般地，当命题“若，则”为真命题，是指由条件通过推理可以得出。 2、充分条件与必要条件定义：如果，那么称是的充分条件，是的必要条件。 【要点】对于“p⇒q”，蕴含以下多种解释： （1）“若p，则q”形式的命题为真命题； （2）由条件p可以得到结论 q； （3）p是q的充分条件或q的充分条件是p； （4）只要有条件p，就一定有结论 q，即p对于q是充分的； （5）q是p的必要条件或p的必要条件是q； （6）一旦q不成立，p一定也不成立，q成立对于p成立是必要的. （7）如果“若，则”为假命题，是指由条件不能推出结论，记作，则不是的充分条件，不是的必要条件。 显然，p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，即p⇒q，只是说法不同而已. 知识点2：充要条件的定义 若有，又有，就记作，则是的充分必要条件，简称充要条件，同时也是的充分必要条件。 为了方便起见，如果p是q的充要条件，就记作pq，称为“p与q等价”，或“p等价于q” 不难发现，“”和“”都具有传递性，即 如果pq，qs，那么ps； 如果pq，qs，那么ps 知识点3：充分条件、必要条件的四种类型 若，，则是的充要条件 若，，则是的充分不必要条件 若，，则是的必要不充分条件 若，，则是的既不充分也不必要条件 知识点4：集合角度中的条件判断（小充分大必要） 设命题对应集合，命题对应集合 若，即，是的充分条件（充分性成立） 若，即，是的必要条件（必要性成立） 若，即，，是的充分不必要条件 若，即，，是的必要不充分条件 若，即，，是的充要条件 知识点一、充分条件、必要条件、充要条件的判断 题型01：充分条件、充分不必要条件的判断 【方法点拨】1.定义法：若 ，则是的充分而不必要条件； 2.集合法：即若满足命题p的集合为M，满足命题q的集合为N，则M是N的真子集等价于p是q的充分不必要条件． 【例1】已知，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例2】设，则是的 (　　) 充分不必要条件 必要不充分条件 充分必要条件 既不充分也不必要条件 【跟踪训练】 1.已知，则“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 2. “”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．“”是“”的 条件． 4.“”是“”的 条件． 题型02：必要条件、必要不充分条件的判断 【方法点拨】1.定义法：若 ，则是的必要而不充分条件； 2.集合法：若满足命题p的集合为M，满足命题q的集合为N，则N是M的真子集等价于p是q的必要不充分条件． 【例3】命题“”是命题“”的 条件． 【例4】“四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【跟踪训练】 1. “为整数”是“为整数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2. 若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3. 一元二次方程，（）有一个正根和一个负根的充分而不必要条件是（    ） A． B． C． D． 知识点二、充分、必要、充要关系的探求 题型03：探求充分条件、充分不必要条件 【方法点拨】 【例5】若，，则的一个充分不必要条件　　 A． B． C． D． 【跟踪训练】 1. （多选）“”的一个充分不必要条件可以是　　 A． B． C． D． 2. 已知，是方程的两根，，则是的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3. 设，则“”是“”的　　条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 题型04：探求必要条件、必要不充分条件 【例6】（多选）下列“若，则”形式的命题中，是的必要条件的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【跟踪训练】 1. “”是“”的　　条件．（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一） 2. “”是“成立”的　　 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3. 已知是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：①s是q的充要条件；②是q的充分不必要条件；③r是q的必要不充分条件；④r是s的充分不必要条件.正确的命题序号是（    ） A．①④ B．①② C．②③ D．③④ 题型05：充要条件的探求与证明 【方法点拨】1.定义法：若，则是的充要条件； 2.集合法：即若满足命题p的集合为M，满足命题q的集合为N，则M＝N等价于p和q互为充要条件． 【例7】若是正整数，则充要条件是(　　) 有一个为 且 【例8】若，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例9】若方程有两根，求其中一根大于3，一根小于3的充要条件． 【例10】已知，求证：成立的充要条件是．提示： 【跟踪训练】 1.二次函数的图象与x轴没有交点的充要条件是（    ） A． B． C． D．， 2．“一元二次方程有两个不相等的正实根”的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 3.求证：是是等边三角形的充要条件.（这里，，是的三边边长）. 知识点三、根据充分、必要、充要确定参数 题型06：根据充分条件与必要条件求参数 【方法点拨】方法及注意点 (1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2) 端点取值慎取舍：区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的错误． 【例11】若，，已知是的充分条件，则实数的取值范围是 ． 【例12】若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是 . 【跟踪训练】 1. 已知是的充分条件，则实数的取值范围是 . 2.已知集合，集合，若“”是 “”的充分条件，则实数的取值范围是 3.若不等式的一个充分条件为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.已知集合，．若P的充分条件为Q，则实数m的取值范围为 ． 5.设，若p是q的必要条件，则实数m的取值范围是 ． 题型07：根据充分不必要条件求参数 【例13】已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是　　． 【跟踪训练】 1.已知或，，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2. 已知条件p：，q：，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 题型08：根据必要不充分条件求参数 【方法点拨】根据充要条件求解参数范围的方法及注意点 (1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2) 端点取值慎取舍：区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的错误． 【例14】已知命题，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围为 . 【跟踪训练】 1.若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2.若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.已知或，，若p是的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 题型09：根据充要条件求参数 【例15】若命题：为命题：，的充要条件，则的值是 ． 【跟踪训练】 1.若“不等式成立”的充要条件为“”，则实数的值为 . 2.已知，，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 知识点四、综合提升 题型10：古诗词及古文中的条件判断 【例16】荀子日：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理．由此可得，“积跬步”是“至千里”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【跟踪训练】 1. 常言道：“不经历风雨，怎么见彩虹”．就此话而言，“经历风雨”是“见彩虹”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.古人云“一屋不扫，何以扫天下”，这句谚语说明古人认为“能扫一屋”的一个（    ）条件是“能扫天下” A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 3．“其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”出自《论语·子路》．意思是：当政者本身言行端正，不用发号施令，大家自然起身效法，政令将会畅行无阻；如果当政者本身言行不正，虽下命令，大家也不会服从遵守．根据上述材料，“身正”是“令行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4.王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”．其名篇“但使龙城飞将在，不教胡马度阴山”（人在阵地在，人不在阵地在不在不知道），由此推断，胡马度过阴山是龙城飞将不在的（    ） A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．充分不必要条件 题型11：集合角度看充分条件、必要条件 【例17】已知集合或，. (1)若“”是“”成立的必要条件，求的取值范围； (2)若“”是“”成立的必要不充分条件，求的取值范围； (3)若“”是“”成立的充分条件，求的取值范围； (4)若“”是“”成立的充分不必要条件，求的取值范围. 【例18】设集合，集合. (1)若且，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【跟踪训练】 1. 如果条件对应的集合为，条件对应的集合为，则 （1）若是的充分不必要条件，则 ； （2）若是的必要不充分条件，则 ； （3）若是的充分必要条件，则 ； （4）若是的既不充分又不必要条件，则 . 2. 设为实数，集合． (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 3．设全集为实数集，集合，. (1)当时，求，； (2)若命题：，命题：，且是的充分且不必要条件，求实数的取值范围. 一、选择题 1. “”是 “”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.已知，则“”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4.“”的一个必要而不充分条件为（    ） A． B． C． D． 5.若是的必要不充分条件，是的充分不必要条件，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 6.已知集合，则“”是“”的（    ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 7.王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其诗作《从军行》中的诗句“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”传诵至今．由此推断，其中最后一句“返回家乡”是“攻破楼兰”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知条件：；条件：；条件：.若是的充要条件，则 .若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 . 二、多项选择题 9. 已知集合，集合，能使成立的充分不必要条件有（    ） A． B． C． D． 10.设，是的充分不必要条件，则实数的值可以为（    ） A． B．0 C．3 D． 11.命题“一元二次方程的一个实根大于1，另一个实根小于1”为真命题的一个充分不必要条件可以是（    ）． A． B． C． D． 12.已知集合或，则的必要不充分条件可能是（    ） A． B． C． D． 3、 填空题 13.设，，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 . 14.若“”是“”的必要不充分条件，则的最大值为 ； 15.若“或”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 ． 16.已知，，若是的充要条件，则实数 ． 四、解答题 17.下列所给的各组中，p是q的什么条件（“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”）？ (1)p：，q：； (2)p：，q：且； (3)p：，q：； (4)p：a是自然数；q：a是正数． 18．设全集，集合，集合. (1)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 19．已知集合或，或. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围； (3)若“”是“”的充分不充分条件，求实数的取值范围. 20.设全集，集合，非空集合 (1)若是的充分条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要条件，求实数的取值范围. 21. 已知条件集合，条件非空集合． (1)若是的必要条件，求实数的取值范围． (2)若是的必要条件，求实数的取值范围． (3)否存在实数，使是的充要条件． 1 学科网（北京）股份有限公司 $