专项训练08 圆中求弧长与面积的有关计算问题（巩固培优）新九年级数学新教材人教版

**基本信息** 聚焦圆中弧长与面积计算，以基础公式为核心，通过5类递进题型构建从规则到不规则、静态到动态的知识应用体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |弧长和扇形面积|基础公式+2类联系|涵盖弧长、扇形面积公式及与圆柱圆锥关联|从概念公式到空间图形转化，建立知识网络| |利用弧长公式求弧长|2题|直接应用公式，结合等边三角形等图形|规则图形中公式的基础应用，强化运算能力| |利用扇形面积公式求面积|2题|直接应用公式，涉及正六边形、折扇模型|规则图形面积计算，培养模型意识| |不规则阴影部分周长计算|2题|结合折叠、切线等变换，需分解图形|从规则到不规则，提升几何直观与推理能力| |不规则阴影部分面积计算|2题|涉及正方形内接圆、扇形折叠等组合图形|综合图形分析，强化转化与割补思想| |不规则阴影部分面积中的最值计算|2题|动态问题，需结合动点、图形运动|静态计算到动态最值，发展创新意识|

面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专项训练08圆中求弧长与面积的有关计算问题 知识复盘卡 【知识点1弧长和扇形面积】 1.扇形的弧长和面积计算 1=nTR S=MR=IR 扇形：(1)弧长公式：180： (2)扇形面积公式： 3602 n:圆心角R:扇形多对应的圆的半径1：扇形弧长S:扇形面积 2.扇形与圆柱、圆锥之间联系 圆柱：@圆杜侧面展开图：S发=S+25=2xh+2xr2。@圆柱的体积：V=rh (2)圆锥侧面展开图：OS表=S侧+S底=πRr+π2 :②圆锥的体积：一3乃 21r=nR 注意：圆锥的底周长=扇形的弧长( 180) ◇ D1 母线长 底面圆周长 C1 培优拓展训练 ★巩固提升练 【题型1利用孤弧长公式求孤长】 1.如图，⊙0的半径是3，点A、B、C在⊙0上，若∠ACB=40,则弧AB的长为一 1/10 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为 圆心，边长为半径的三段圆弧.若该等边三角形的边长为30Cm,则AB的长是一（结果保留π） B 【题型2利用扇形面积公式求面积】 3.如图，正六边形ABCDEF的边长为V2,以顶点A为圆心，AB长为半径画圆，则图中阴影部分的面积 是 （结果保留π)· 把折扇打开后，如图，小扇形04B的半径为2m,弧长为5cm,大扇形0CD的半径为26cm, 面的宽度CE为l2cm,则扇面的面积（阴影部分）是一cm2(结果保留π). BA E 【题型3不规则阴影部分周长计算】 5.如图，在扇形AOB中，半径OA=9,将扇形AOB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在AB上的点D处， 折痕交OA于点C,则图中阴影部分的周长是一 2/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 6.如图，等腰三角形OAB的顶角∠AOB=120°，⊙0和底边AB相切于点C,并与两腰OA,OB分别相交 于D,E两点，连接CD,CE, D (1)求证：四边形ODCE是菱形： (2)若⊙0的半径为4，求图中阴影部分的周长. 【题型4不规则阴影部分面积计算】 7.如图，正方形ABCD内接于O0,PA,PD分别与OO相切于点A和点D,PD的延长线与BC的延长线 交于点E.己知AB=2,则图中阴影部分的面积为一· B E 8.如图，扇形AOB中，∠AOB=90°，OA=2,点C为OB上一点，将扇形AOB沿AC折叠，使点B的对 应点B落在射线AO上，则图中阴影部分的面积为一 B 3/10 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【题型5不规则阴影部分面积中的最值的计算】 9.如图，一张直径为40的圆饼被切掉了一块，数据如图所示，连接AC，则AC=一；图中阴影部分面 积的最小值为 459 B 10.如图，⊙O的半径为2cm,弦AB=2√3cm,C是弦AB所对的优弧ADB上一个动点，则图中阴影部分的 面积之和的最小值是c2】 D ★能力培优练 1.如图，在⊙0中，直径AB=6,BC是⊙0的弦，若∠B=60°，则AC的长为() A.6π B.4π C.2π D.n 2.如图所示，边长为1的正方形网格中，O、A、B、C、D是网格线交点，若AB与CD所在圆的圆心 都为点O,那么阴影部分的面积为() 4/10 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.元 B.2元 c.-2 D.2元-2 3.如图(1)是博物馆屋顶的图片，屋顶由图(2)中的瓦片构成，瓦片横截面如图(3)所示，AB是以 点O为圆心，18cm为半径的弧，弦AB的长为l8cm,则AB的长是() (1) (2) (3) A.24πcm B.12πcm C.10mcm D.6πcm 4玉佩，是我国古人身上常佩戴的一种饰品.古语有“君子无故，玉不去身”，现在人们也以“温润如 玉”来形容谦谦君子.如图，现有一块直径为l0m的圆形玉料，要用其刻出一个圆周角为60°的扇形玉佩， 则图中阴影部分的面积为() 15π A.5πcm2 B.2 cm2 D.15元cm2 5.如图，AB是半径为2的⊙0的一条弦，∠AOB=90°.将△OAB绕点A逆时针旋转，当点O的对应点 O第一次落在⊙0上时，点B运动的路径长是一·（结果保留π） 6.如图，在矩形ABCD中，CD=2,∠DBC=30°，以B为圆心，BD长为半径画弧交线段BC的延长线于 5/10 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点E,以D为圆心、DC长为半径画弧交AD于点F,则阴影部分面积为 F D B 7.如图，正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,以点B为圆心，BO长为半径画弧交AB于点E,交 BC于点F,再以点D为圆心，D0长为半径画弧交AD于点H,交DC于点G.若AB=4,则图中阴影 部分的面积为 (结果保留π) D G 8.如图，在矩形ABCD中，AB=2cm,BC=2W3cm,动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度 分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG,垂足为 点G,在这个移动过程中点G经过的路径长是 E 9.如图，以△ABC的边BC为直径作⊙O,点A在⊙O上，点D在线段BC的延长线上， AD=AB,∠D=30°」 B (1)求证：直线AD是⊙O的切线： (2)若直径BC=4,求图中阴影部分的面积. 10.如图，BC是⊙O的切线，点C为切点，以BC为边作平行四边形ABCD,点A,D均在⊙O上，连接 BD,圆心O在BD上. 6/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C (1)求证：AB是⊙O的切线： (2)若AB=25,求图中阴影部分的面积. ★7创新拓展练 1.如图，AB是圆O的直径，CD是弦，∠BCD=30°，AB=6,则BD的长为() B 0 A.π B.4π C.2π D.45π 2,图①是贵阳某游乐场的摩天轮，A,B表示摩天轮上其中的两个轿厢，图②是其示意图，点O是圆心， 半径为15m,点A,B是圆上的两点，∠AOB=120°，则AB的长为() B 120° 图① 图② A.6πm B 8nm C.10zm D.12πm 3.如图，从边长为2m的正方形铁皮中，剪下一块圆心角为90°的扇形铁皮，要把它做圆锥形容器（接缝 忽略不计)，那么这个圆锥形容器的高为() 7/10 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 A.2 m B. c.vi -m -m 2 D. 2 4.如图，正方形ABCD的边长为4，O为对角线的交点，点E,F分别为BC,AD的中点.以点C为圆心， 4为半径作圆弧BD,再分别以E,F为圆心，2为半径作圆弧BO,OD,则图中阴影部分的面积为() A.4π-4 B.4π-8 C.4π-12 D.16-4π 5.如图，在等腰直角△OAB中，点E在OA上，以点O为圆心、OE为半径作圆弧交OB于点F,连接EF, 已知阴影部分面积为π-2，则EF的长度为 E 6.如图，分别以正五边形ABCDE的顶点A,D为圆心，以AB长为半径画BE,CE.则∠A=一：若 AB=1,则阴影部分图形的周长为一（结果保留π）. E B 7.如图，在扇形AOB中，∠AOB=30°，OA=23,点C在OB上，且OC=AC.延长CB到D,使CD=CA」 以CA,CD为邻边作平行四边形ACDE,则图中阴影部分的面积为 一（结果保留π）· BD 8.我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”.如图是研究“割圆术”时的 8/10 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一个图形，AB所在圆的圆心为点O,四边形ABCD为矩形，边CD与⊙O相切于点E,连接BE, ∠ABE=15°，连接OE交AB于点F.若AB=4,则图中阴影部分的面积为 B C 9.如图，已知DC是O0的直径，点A为⊙0上一点，点B为CD延长线上一点，若∠ACB=30°，且 AB=AC B (求证：AB是⊙O的切线； (2)若⊙0的半径为3，求AC的长. 10.如图，PA与⊙O相切于点A,AC为⊙O的直径，点B在⊙O上，连接PB,PC,且PA=PB, B (I)连接OB,求证：OB⊥PB (2)若∠APB=60°，PA=2V5,求图中阴影部分的面积. I1.如图，PN、PD、DE分别与⊙O相切于点A、B、C,且DE∥PN,连接OD、OP,延长PO交⊙O于 点M交DE于点E,过点M作MN IIOD交PN于N D C E B 0 A 9/10 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：MN是⊙O的切线： (2)当OD=3cm,OP=4cm时，求⊙0的半径及图中阴影部分的面积. 12.如图，在△ABC中，∠C=90°，以AC为直径的O0交AB于点D,点E在BC上，且BE=DE. E D B (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)判断DE与BC之间的数量关系，并说明理由： (3)若∠B=30°，AB=8√5，求阴影部分的面积（结果保留π）· 10/10 专项训练08 圆中求弧长与面积的有关计算问题 【知识点1 弧长和扇形面积】 1.扇形的弧长和面积计算 扇形：（1）弧长公式：； （2）扇形面积公式： ：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积 2.扇形与圆柱、圆锥之间联系 （1）圆柱： ①圆柱侧面展开图：=；②圆柱的体积： （2）圆锥侧面展开图：①=；②圆锥的体积： 注意：圆锥的底周长=扇形的弧长（） 【题型1 利用弧长公式求弧长】 1．如图，的半径是3，点A、B、C在上，若，则弧的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，弧长公式，掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解题关键．由圆周角定理可得，再利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，连接、， ，， ， 的半径是3， 弧的长为， 故答案为：． 2．如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为，则的长是 （结果保留） 【答案】 【分析】本题主要考查了求弧长，等边三角形的性质，根据等边三角形的性质得到，再根据弧长公式计算求解即可． 【详解】解：∵是正三角形， ∴， ∴的长是， 故答案为：． 【题型2 利用扇形面积公式求面积】 3．如图，正六边形的边长为，以顶点A为圆心，长为半径画圆，则图中阴影部分的面积是 （结果保留π）． 【答案】/ 【分析】本题主要考查正多边形与圆及扇形面积公式，熟练掌握正多边形与圆及扇形面积公式是解题的关键；由正六边形的性质可知，然后根据扇形面积公式可进行求解． 【详解】解：∵六边形是正六边形， ∴， ∴阴影部分的面积为； 故答案为． 4．一把折扇打开后，如图，小扇形的半径为，弧长为，大扇形的半径为，扇面的宽度为，则扇面的面积（阴影部分）是 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查了求扇形面积，弧长的计算，先根据小扇形的半径为，弧长为，求出的度数，根据列式代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：设， 根据题意可列方程为：， 解得：， 则， 大扇形的半径为，扇面的宽度为， ， 则 ．     故答案为：． 【题型3 不规则阴影部分周长计算】 5.如图，在扇形中，半径，将扇形沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交于点C，则图中阴影部分的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查折叠性质、等边三角形的判定与性质及弧长公式，连接，由折叠可知，即可证明是等边三角形，可得，根据弧长公式即可求出的长，进而求出即可得答案，根据折叠性质得到是等边三角形并熟记弧长公式是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，由折叠可知， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵的长为， ∴阴影部分的周长为：． 6.如图，等腰三角形的顶角，和底边相切于点，并与两腰，分别相交于，两点，连接，，    (1)求证：四边形是菱形： (2)若的半径为，求图中阴影部分的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据切线的性质可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，从而可得和都是等边三角形，最后利用等边三角形的性质可得，即可解答； （2）根据菱形的性质可得，进而根据进行计算的长，即可解答． 【详解】（1）证明：连接，    和底边相切于点， ， ，， ， ，， 和都是等边三角形， ，， ， 四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形， ∴， 又∵， 图中阴影部分的周长为 【题型4 不规则阴影部分面积计算】 7.如图，正方形内接于，，分别与相切于点和点，的延长线与的延长线交于点．已知，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】连接，根据已知条件得到是的直径，，根据切线的性质得到，得到是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到，根据梯形和圆的面积公式即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴是的直径，， ∵分别与相切于点A和点D， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴矩形是正方形， ∴，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积 故答案为：． 8.如图，扇形中，，，点C为上一点，将扇形沿折叠，使点B的对应点落在射线上，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理，扇形的面积，根据题意和图形，可以计算出的长，然后根据勾股定理可以求得的值，然后根据图形可知，阴影部分的面积扇形的面积的面积的二倍，代入数据计算即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∴， 设，则，， 则， 解得， ∴阴影部分的面积是：， 故答案为：． 【题型5 不规则阴影部分面积中的最值的计算】 9.如图，一张直径为的圆饼被切掉了一块，数据如图所示，连接 ，则 ；图中阴影部分面积的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图1，设圆心为，连接，则，由圆周角定理可得，由勾股定理得，，计算求解即可；设到的距离为，由题意知，，则当最大时，最小，当时，最大，如图1，作于，由垂径定理可得，由勾股定理得，，则，然后求阴影部分面积即可． 【详解】解：如图1，设圆心为，连接，则， ∵， ∴， 由勾股定理得，， 设到的距离为， 由题意知， ， 当最大时，最小， ∴当时，最大，如图1，作于， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴， 故答案为：，． 10.如图，⊙O的半径为2cm，弦，C是弦AB所对的优弧上一个动点，则图中阴影部分的面积之和的最小值是 cm2． 【答案】/ 【分析】过点C作于E，由，得当最大时，最小，此时，经过圆心O，即垂直平分，点C为优弧的中点，连接，由垂径与勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：过点C作于E， ∵， ∴当最大时，最小，此时，经过圆心O，即垂直平分，点C为优弧的中点，连接， ∵， ∴， 由勾股定理，得， ∴， ∴最小值， 故答案为：． 1．如图，在中，直径，是的弦，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，求弧长．熟练掌握圆周角定理，弧长公式是解题的关键．连接，由圆周角定理可得，再求出半径，根据弧长公式计算求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵直径， ∴， ∴的长为． 故选：C． 2．如图所示，边长为1的正方形网格中，、、、、是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点，那么阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，求扇形的面积，等腰直角三角形的性质， 根据阴影部分的面积解答即可. 【详解】解：∵， ∴， 同理：. 根据勾股定理，得. 阴影部分的面积 . 故选：C. 3．如图（1）是博物馆屋顶的图片，屋顶由图（2）中的瓦片构成，瓦片横截面如图（3）所示，是以点为圆心， 为半径的弧，弦的长为，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的判定，求弧长，根据已知可得，则是等边三角形，进而根据弧长公式，即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴是等边三角形． ∴． ∴的长为． 故选：D． 4．玉佩，是我国古人身上常佩戴的一种饰品．古语有“君子无故，玉不去身”，现在人们也以“温润如玉”来形容谦谦君子．如图，现有一块直径为的圆形玉料，要用其刻出一个圆周角为的扇形玉佩，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了扇形面积的计算，掌握扇形面积公式是解题的关键． 先求出的长，再根据扇形面积公式，求出阴影部分的面积． 【详解】解：连接，， ， ， ， ， 阴影部分的面积． 故选：C． 5．如图，是半径为2的的一条弦，．将绕点逆时针旋转，当点的对应点第一次落在上时，点运动的路径长是 ．（结果保留） 【答案】 【分析】此题考查弧长公式，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，连接，得到是等边三角形，由旋转的性质得到，利用勾股定理求出的长，再根据弧长公式求出答案即可． 【详解】解：连接， 由旋转得，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点运动的路径长是， 故答案为． 6．如图，在矩形中，，，以B为圆心，长为半径画弧交线段的延长线于点E，以D为圆心、长为半径画弧交于点F，则阴影部分面积为 ． 【答案】 【分析】由矩形的性质可得，由勾股定理可得，再根据阴影部分的面积，利用扇形的面积公式及三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图所示，设与交于点G 在矩形中， ， ∵， ∴， ， 阴影部分的面积 ． 故答案为：． 7．如图，正方形的对角线，交于点，以点为圆心，长为半径画弧交于点，交于点，再以点为圆心，长为半径画弧交于点，交于点．若，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）    【答案】/ 【分析】先求出正方形对角线长度，进而得到扇形半径，再根据正方形面积减去两个扇形面积求出阴影部分面积．本题主要考查了正方形的性质以及扇形面积的计算，熟练掌握正方形的性质和扇形面积公式是解题的关键． 【详解】解：四边形是正方形， ， 图中阴影部分的面积为 故答案为：． 8．如图，在矩形中， ，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线的垂线，垂足为点G，在这个移动过程中点G经过的路径长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轨迹长度的求解、矩形的性质、直角三角形斜边中线的性质、与圆有关的位置关系等知识点，确定点G的轨迹是解题的关键． 如图：连接，交于点O，取中点H，连接，根据直角三角形斜边中线的性质，可以得出G的轨迹，从而求出G经过的路程长即可． 【详解】解：如图：连接，交于点O，取中点H，连接， ∵矩形，， ∴，，， ，， ∴是等边三角形，即 在与中， ， ， ∴E、O、F共线， ，H是中点， ∴，则， ∴G的轨迹为以H为圆心，1为半径的圆弧， 当E与A重合时，；当E与B重合时，G与B重合； ∴G走过的路程为． 故答案为． 9．如图，以的边为直径作，点A在上，点D在线段的延长线上，． (1)求证：直线是的切线； (2)若直径，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查切线的判定及扇形面积的计算，圆周角定理，证明切线时，连接过切点的半径是解题的关键． （1）连接，则得出，可求得，可得出结论； （2）可利用的面积-扇形的面积求得阴影部分的面积． 【详解】（1）证明：连接，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即是的切线； （2）解：∵， ∴， 在中，， ∴，， 所以， 因为， 所以， 所以． 10．如图，是的切线，点C为切点，以为边作平行四边形，点A，D均在上，连接，圆心O在上． (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，切线的判定和性质，菱形的判定和性质，利用锐角三角函数解直角三角形，等边三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）连接交于点E，利用切线的性质和平行四边形的性质得出相等的角和边，证明，即可得出结论； （2）延长交于点F，根据条件证明垂直平分，得到，证明是等边三角形，利用锐角三角函数得出，然后利用作差法进行求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接交于点E． ∵是的切线， ∴，即． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴，     ∴， ∴是的切线； （2）解：如图，延长交于点F， ∵， ∴. 又∵， ∴， ∴垂直平分， ∴. 由(1)可得，， ∴平行四边形是菱形， ， ， ∴是等边三角形， ∴， ， ∴.     由(1)知，， ， ． 1．如图，是圆的直径，是弦，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理，求弧长，先求出半径，再根据圆周角定理得出，最后根据弧长公式即可得出答案． 【详解】∵是圆的直径，， ∴， ∵， ∴， ∴的长为 故选：A． 2．图①是贵阳某游乐场的摩天轮，A，B表示摩天轮上其中的两个轿厢，图②是其示意图，点O是圆心，半径为，点A，B是圆上的两点，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查弧长的计算，关键是掌握弧长公式． 直接根据弧长公式计算即可． 【详解】解：的长为． 故选：C． 3．如图，从边长为的正方形铁皮中，剪下一块圆心角为的扇形铁皮，要把它做圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了扇形与圆锥之间的关系，勾股定理，弧长公式；理解扇形与圆锥之间的关系是解题的关键．由弧长公式得圆锥的底面圆的周长为，再由圆锥的底面圆的半径、高、母线之间的关系，即可求解． 【详解】解：圆锥的底面圆的周长为， 设圆锥的底面圆的半径为， 则， 解得：， 则这个圆锥形容器的高为（）， 故选：C． 4．如图，正方形的边长为4，O为对角线的交点，点E，F分别为，的中点．以点C为圆心，4为半径作圆弧，再分别以E，F为圆心，2为半径作圆弧，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，扇形面积的计算，不规则图形面积的计算，理解图示，掌握不规则图形面积的转换，扇形面积的计算是解题的关键．根据正方形的性质可得弓形与弓形相等，由，即可求解． 【详解】解：如图，连接，三点共线， ∵四边形是正方形，点E，F分别为，的中点， ，， ， 在和中， ， ，，， ， 则弓形与弓形相等， ． 故选：B． 5．如图，在等腰直角中，点E在上，以点O为圆心、为半径作圆弧交于点F，连接，已知阴影部分面积为，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了不规则图形的面积，平方根解方程，勾股定理解三角形等．根据题意可得：，，设，利用阴影部分面积列出等式，得出，然后由勾股定理求解即可． 【详解】解：根据题意可得：，， 设， ∴， 即， 解得：， ∴， 故答案为：． 6．如图，分别以正五边形的顶点A，D为圆心，以长为半径画，．则 ；若，则阴影部分图形的周长为 （结果保留π）． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形、弧长公式；由正五边形外接圆的性质，则，由弧长公式计算出弧长，进而求出阴影部分周长． 【详解】解：∵五边形为正五边形，， ∴，， ∴ ∴， 故答案为：；． 7．如图，在扇形中，，，点在上，且．延长到，使．以，为邻边作平行四边形，则图中阴影部分的面积为 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查扇形面积公式，平行四边形性质，含三角形的性质，正确将阴影面积进行组合是解决问题的关键．由题意，利用计算即可． 【详解】解：过A作， ∵，， ， ∵， ∴， ， ， ， 设长度为，则，在中，由勾股定理得： 解得：， ， ， 则，， ， ． 故答案为：． 8．我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点O，四边形为矩形，边与相切于点，连接，，连接交于点．若，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】根据圆的切线的性质和矩形的性质，得到，由垂径定理可得，由圆周角定理可得，进而证明是等边三角形，得到，再根据阴影部分的面积求解即可． 【详解】解：所在圆的圆心为点O，边与相切于点， ，， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， 阴影部分的面积， 故答案为：． 9．如图，已知是的直径，点为上一点，点为延长线上一点，若，且． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为3，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的切线的判定定理、等腰三角形的性质、圆周角定理以及弧长的计算，解题的关键是连接半径构造等腰三角形，利用角度关系证明切线，再结合弧长公式计算弧长． （1）连接利用等腰三角形性质和圆周角定理求出和的度数，进而得到，证明是切线； （2）根据半径求出直径，结合（1）中得到的圆心角的度数，利用弧长公式计算的长． 【详解】（1）证明：连接． ∵（同圆半径相等）， ∴（等腰三角形两底角相等）． ∵， ∴． ∵ ∴（等腰三角形两底角相等）． 在中，． ∴，即． ∵是的半径， ∴是的切线（切线的判定定理）． （2）解：∵的半径为3， ∴． 由（1）知， 在中，． ∴的长为 答：的长为． 10．如图，与相切于点，为的直径，点在上，连接，且． (1)连接，求证：； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）利用切线性质得，再通过证明，从而推出； （2）先结合已知角度推出相关角的度数，确定为等边三角形，求出圆的半径，再根据平行线间面积关系，将阴影部分面积转化为扇形的面积进行计算． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵与相切， ∴， ∴， 在和中 ∴ ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴为等边三角形， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∴， ∴， ∴． 11．如图，分别与相切于点A、B、C，且，连接，延长交于点M交于点E，过点M作交于N． (1)求证：是的切线； (2)当时，求的半径及图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为，图中阴影部分的面积为 【分析】（1）利用平行线性质得到，结合切线长定理推出，进而得到，再结合平行线性质推出，即可证明是的切线； （2）利用勾股定理求出，连接，根据切线性质可知，利用等面积法求出（即半径），再结合扇形面积公式即可求出图中阴影部分的面积． 【详解】（1）解：， ， 分别与相切于点A、B、C， 平分，平分， ， ， ， ， ， ， 为半径， 是的切线； （2）解：由（1）知，， ， ， 连接， 分别与相切于点B， ， ， ， 的半径为， 图中阴影部分的面积为. 12．如图，在中，，以为直径的交于点 D，点 E在上，且． (1)求证：是的切线； (2)判断 与 之间的数量关系，并说明理由； (3)若， ，求阴影部分的面积（结果保留）． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析； (3)． 【分析】（1）连接，结合等腰三角形性质，直角三角形性质推出，进而得到，即可证明是的切线； （2）连接，证明，推出，再进行代换求解，即可得到与 之间的数量关系； （3）利用直角三角形性质得到，证明是等边三角形，进而推出，利用勾股定理求出，进而推出，再根据求解，即可解题． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：，理由如下： 如图，连接， 由（1）得， 在 和 中，， ， ， 又， ； （3）解：，， ， 是等边三角形， ， 由勾股定理，得 ． 由（2）得 ， ， ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $