专项训练09 直线和圆的位置关系（巩固培优）新九年级数学新教材人教版

**基本信息** 围绕切线判定与性质、三角形与圆位置关系，以“有切点连半径证垂直”“无切点作垂直证半径”为核心方法，构建从概念到应用的知识逻辑体系，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |切线判定与性质|3题型6典例|有切点连半径证垂直，无切点作垂直证半径，综合应用切线性质与判定|从切线定理（性质/判定）到证明策略，再到综合应用，形成推理链条| |三角形与圆位置关系|2题型4典例|内切圆半径公式（直角三角形r=(a+b-c)/2，一般三角形r=2S/(a+b+c)）|从外接圆/内切圆概念（外心/内心）到半径计算，结合面积与周长公式，强化模型意识|

专项训练09 直线和圆的位置关系 【知识点1 切线的判定和性质】 ①切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径； ②切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线； 如图：； 【知识点2 三角形与圆的位置关系】 （1）三角形的外接圆：三角形三个顶点都在同一个圆上，这个圆就是三角形的外接圆，三角形就是圆的内接三角形，外接圆的圆心简称外心，外心就是三角形三边的垂直平分线的交点； （2）三角形的内切圆：三角形的三条边都和同一个圆相切，这个圆就是三角形的内切圆，三角形就是圆的外切三角形，内切圆的圆心简称内心，内心就是三角形三条角平分线的交点； 注意：内切圆及有关计算 （1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。 （2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= 。 （3）S△ABC=，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。 （4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。 【题型1 切线的证明：有切点，连半径，证垂直】 1．如图所示，已知是圆O的直径，圆O过的中点D，且．   (1)求证：是圆O的切线； (2)若，，求圆O的半径． 【答案】(1)见解析 (2)圆O的半径为 【分析】（1）连接，利用三角形的中位线定理可得出，再利用平行线的性质就可证明是圆O的切线． （2）利用特殊角度，根据直角三角形的性质和勾股定理可求出的长，由两直线平行同位角相等，可得出，从而求得，得到是等边三角形，即可求圆O的半径． 【详解】（1）证明：连接，   ∵D是的中点，O为的中点， ∴． 又∵， ∴ ∴ ∴， ∵为圆O的半径， ∴是圆O的切线． （2）解：连接， ∵是圆O的直径， ∴ ∴是直角三角形． ∵，， ∴ ∴ ． ∵， ∴， ∴， ∵ ∴是等边三角形， ∴， 即圆O的半径为 ． 2．如图，内接于，是的直径，点在上，点是的中点，，垂足为点D，的延长线交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了圆与三角形综合．熟练掌握圆周角定理及推论，圆切线的判定．含的直角三角形性质，是解决问题的关键． （1）连接，由，，推出，得到，由，得到，即得； （2）由直径性质可得，推出，根据含的直角三角形性质得到，根据，得到． 【详解】（1）证明：∵连接，则， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； （2）解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【题型2 切线的证明：无切点，作垂直，证半径】 3.如图，是正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点． (1)求证：与相切；； (2)若正方形的边长为，则的半径_______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，其中掌握圆的相关知识点、正方形的性质、角平分线性质勾股定理的计算等知识点的应用是本题的解题关键． （1）如图所示，连接，过点作于点，则，可证，得，结合切线的判定方法即可求证； （2）根据题意可证四边形是正方形，设，则，在中，运用勾股定理可得，则，根据正方形的性质可得，则有，由此即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，连接，过点作于点，则， ∵与切于点， ∴， ∴， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵是圆的半径， ∴是圆的半径，且点是半径的外端点，， ∴与相切； （2）解：∵，， ∴四边形是正方形， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∵正方形的边长为，即 ∴， ∴， 解得，， ∴的半径为， 故答案为：． 4.如图，是的切线，切点为A、B，，点D，C分别是上的点，平分的半径是6，设． (1)求证：是的切线； (2)求y关于x的函数解析式； (3)梯形的面积为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）过点O作于点E，则．依据切线的性质可知，接下来证明，依据全等三角形的性质可知，可证得结论； （2）过点D作于点F，则．由切线长定理可得：，则，在中依据勾股定理可得到y与x的函数关系式； （3）设，由（2）可知，由梯形面积公式可得，再求解即可． 【详解】（1）证明：如图，过点O作于点E，则． ∵与相切于点A， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的半径， ∴是的切线； （2）解：如图，过点D作于点F， ∵是的切线， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由切线长定理得：， ∵， ∴， 在中，，即， 化简得； （3）解：∵梯形是直角梯形，则， 设，由（2）可知， ∴， 化简得， 解得或， ∴长为或． 【题型3 圆中切线的性质和判定的综合应用】 5．如图，是的直径，与相切于点，交的延长线于点，交的延长线于点， (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)与相切，见解析 (2) 【分析】本题主要综合考查了切线的性质和判定和勾股定理，能运用性质进行推理和计算是解此题的关键． （1）过点O作，先根据切线的性质、同角或等角的余角相等证明，进而可得，，由到圆心距离等于半径的直线是圆的切线即可得出结论； （2）由勾股定理求出，进而可得，再在中，由勾股定理列方程求出的半径． 【详解】（1）解：证明：过点O作， 是的直径，与相切于点A， ， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， 与相切； （2）由（1）证得， ， ，，， ∴ 由（1）证得， ， ， 设的半径为：， ， ， 的半径为． 6．如图，内接于，是直径，的切线交的延长线于点，交于点，交于点，连接； (1)判断与的位置关系并说明理由． (2)若的半径为，，求的长． 【答案】(1)是的切线；理由见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定及性质，全等三角形的判定及性质，垂径定理，综合运用相关知识是解题的关键． （1）连接，由得到，，进而得到，证明，得到，根据切线的性质得到，从而，得证结论； （2）根据勾股定理求出，由，得到，得到，根据的面积求出，即可解答． 【详解】（1）解：是的切线；理由如下： 连接， ∵， ∴，，， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， 是的切线， ， ， ， 是的切线； （2）解：的半径为，，， ， ∵，是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ， 解得：， ． 【题型4 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系】 7．如图，在中，是的内切圆，切点分别为、、，若，则的半径为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了三角形内切圆的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线是解题的关键．连接，则四边形是矩形，故，由即可求解，继而求解． 【详解】解：连接， ∵内切于， ∴，， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 8．如图，在一张纸片中，，，，是它的内切圆． （1）内切圆的半径为 ； （2）小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长为 ． 【答案】 2 20 【分析】本题考查直角三角形的内切圆，切线的性质，勾股定理．设的内切圆切三边于点F、H、G，连接、、、、，先证四边形是正方形，再证，，，（切线长定理），再由勾股定理计算出，通过等量代换可得内切圆半径等于，的周长等于． 【详解】解：如图，设的内切圆切三边于点F、H、G，连接、、、、， 由切线的性质得，，，， 又，， 四边形是正方形， ． 在和中，， ． ， 同理可证，，， ，，， ． ， 即内切圆的半径为2； ，， ， ， 即的周长为20． 故答案为：2；20． 【题型5 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系】 9．如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，． 如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F， (1)求的长． (2)已知，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是三角形内切圆的有关问题以及切线长定理的应用，根据切线长定理列出方程是解题的关键． （1）由切线长定理可知：，，，设，则，，根据，列方程求解即可； （2）先计算三角形的半周长s，再利用，代入三角形面积与半周长即可求出内切圆半径，即可求解出的长． 【详解】（1）解：∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F， ，，， 设，则，， 根据题意得： 解得： ，，， 则的长为； （2），，， ∴半周长， 又， ， ， 则的长为． 10．如图，为的内切圆，切点分别为，点分别为上的点，且为的切线．    (1)若，求的度数； (2)若，求的周长． 【答案】(1) (2)11 【分析】本题考查了切线长定理，内切圆的性质，解题的关键是： （1）利用三角形内角和求出，再根据内切圆的性质和切线长定理得出，，再求出，最后利用三角形内角和求出结果； （2）设的切点为，根据内切圆的性质得到，，推出的周长为，再结合切线长定理可得，再计算即可 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵为的内切圆， ∴，， ∴， ∴； （2）∵为的内切圆，为的切线，设切点为， ∴，， ∴的周长为： ∵，，， ∴ ．    1．如图，的边经过圆心，与圆相切于点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是切线的性质、圆周角定理. 连接，根据圆周角定理求出，根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质计算，得到答案． 【详解】解：连接， ， ， 与圆相切于点， ， ， 故选：C． 2．如图点为的外心，点为的内心，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了外心和内心的概念，圆周角定理，三角形内角和定理，由点为的外心，，则，故有，然后通过角平分线定义和三角形内角和定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵点为的外心，， ∴， ∴， ∵点为的内心， ∴， ∴， 故选：． 3．发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图是发动机的实物剖面图，图是其示意图．图中，点在直线上往复运动，推动点做圆周运动形成，与表示曲柄连杆的两直杆，点、是直线与的交点；当点运动到时，点到达；当点运动到时，点到达．若，，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C．当与相切时， D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和与差、勾股定理、切线的性质，根据圆的性质可知，线段之间的关系可以得到：；根据线段之间的关系可求，，从而可以求出；根据切线的定义可知，利用勾股定理可以求出；利用勾股定理可以求出，所以可得，根据可得：，所以． 【详解】解：A选项：点运动到时，点到达，， ， 又， ， ， 故A选项错误； B选项：点运动到时，点到达，， ， ， ， ， 故B选项错误； C选项：如下图所示， ，， ， 设，则， 与相切， ， 在中，， ， 解得：，(不符合题意，舍去)， 故C选项正确； D选项：如下图所示，当时，， 在中，， ， ，， , 故D选项错误． 故选：C． 4．（24-25九年级上·全国·期末）如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，且，的周长为14，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，，，由的周长为14，可求的长． 【详解】解：与，，分别相切于点，，， ，，， 的周长为14， ， ， ． 故答案为：5． 5．如图，是的内切圆且与，，相切于点，，，若，，，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．利用切线长定理，得出三角形三边被切点分成的线段长度关系，进而求出三角形的周长． 【详解】解：是的内切圆，且与，，相切于点，，， ，，， ， ， ， 的周长为， 故答案为：． 6．如图，经过的直角顶点，交于点，交于点，交于点，且满足，，则的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理、正方形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上性质． 过点O作于点M，于点N，于点P，连接，由弦心距和垂径定理得出，，推出小是的内切圆，四边形是正方形，得，，，是等腰直角三角形，则，，设，求出，，然后在，由勾股定理列出一元二次方程，解之取符合题意的值，即可解决问题． 【详解】解：如图，过点O作于点M，于点N，于点P，连接， ∵弦， ∴，， ∴小是的内切圆，四边形是正方形， ∴，，，是等腰直角三角形， ∴，， 设， ∵， ∴，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴的半径为， 故答案为：． 7．如图，在中，为的内切圆，．求的半径． 【答案】3． 【分析】设的半径为，与的三边分别相切于点，连接，易证四边形为正方形，在中，由勾股定理求出，再根据切线长定理即可求出． 【详解】解：设的半径为，与的三边分别相切于点，连接，如图所示． 易得四边形是正方形， ． 在中， ， ． 由切线长定理，得， 即， 解得， 的半径为． 8．如图，为的直径，C是上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D．    (1)求证：平分； (2)若，，求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2)3.4 【分析】（1）根据切线的性质得到，推出，根据平行线的性质得到，根据等腰三角形性质得到，最后利用等量代换，即可解题． （2）作于点E，证明四边形是矩形，设的半径为x，则，，利用勾股定理求出，即可解题． 【详解】（1）证明：如图1，连接，    ∵是的切线， ， ， ， ． ， ， ， 平分． （2）解：如图2，过O作于点E，    设的半径为x， ，， ， 由（1），可得， 四边形是矩形， ，，则， ， 解得， 的半径是． 9．如图，中，，平分交于点，以点为圆心，为半径作交于点． (1)求证：与相切； (2)若，，试求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】本题考查了圆的切线的判定、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握圆的切线的判定是解题关键． （1）过点作于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，则可得是的半径，然后根据圆的切线的判定即可得证； （2）过点作于点，先求出，再设的半径为，则，，然后在中，利用勾股定理可得的值，由此即可得． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的半径， 又∵， ∴与相切． （2）解：如图，过点作于点， 由（1）已证：， ∴，， ∵， ∴， ∵中，，，， ∴， 设的半径为，则， ∴， 在中，，即， 解得， ∴， ∴． 10．已知线段、与相切，切点分别为、，，． (1)过点作的切线（在线段的上方）与的延长线交于点，切点为点．（要求：尺规作图、保留作图痕迹、不写作法）． (2)求证：与相切． (3)若，，求的半径． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接并延长交于点，以为圆心为半径作弧交于点，连接，延长交的延长线于点； （2）由（1）可得结论； （3）设的半径为，过点作于点，则四边形是矩形，利用勾股定理构建方程求解． 【详解】（1）解：如图，连接并延长交于点，以为圆心为半径作弧交于点，连接，延长交的延长线于点，连接、、， ∴， ∵线段、与相切，切点分别为、，， ∴，，，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵，，， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴是的直径，即点在上， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴与相切于点， 则即为所作； （2）证明：由（1）知：即，且点在上， ∴与相切； （3）解：设的半径为， 过点作于点，则， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵、、都是的切线， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴的半径为． 1．如图，，是的切线，，为切点，点为上一点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，多边形内角和定理，掌握切线的性质，圆周角定理是解题的关键．如图所示，连接，根据切线的性质可得，根据圆周角定理可得，根据多边形的内角和定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的切线，为切点， ∴，即， ∵点为上一点，， ∴， 在四边形中，， 故选：C． 2．如图，是的直径，是的切线，为切点，，垂足为，连接．若，且，则的长为（　　） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查圆与直角三角形的综合，掌握圆的直径所对圆周角是直角，切线的性质，含特殊角的直角三角形的性质是解题的关键． 是的直径，是的切线，为切点，，连接，，得，，可知，，由即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，， 根据题意得，， ∵是的切线，为切点， ∴，即， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴ ∴ 在中，， ∴， ∴， 故选：B． 3．如图，在一张三角形纸片中，，，，是它的内切圆，小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长是（   ） A．17 B．19 C．20 D．22 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质．设的内切圆切三边于点，连接、、、、、，得四边形是正方形，由切线长定理可知，根据是的切线，可得，，根据勾股定理可得，再求出内切圆的半径为，进而可得的周长． 【详解】解：如图，设的内切圆切三边于点、、，连接、、、、、， ∴四边形是正方形， 由切线长定理可知， ∵是的切线， ∴，， ∵，，， ∴， ∵是的内切圆， 设的半径为， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为：． 故选：C． 4．如图，、、是圆O的切线，切点分别为P、C、D，若，，则的长是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．由、、是的切线，则，，求出的长即可求出的长． 【详解】解：∵、为的切线，， ∴； ∵、为的切线， ∴； ∵， ∴． 故答案为：2． 5．如图，、分别切于A、B，并与的切线分别相交于C、D，已知，则的周长等于 ． 【答案】/24厘米 【分析】本题考查圆中求线段长，涉及切线长定理、三角形周长等知识，熟记切线长定理是解决问题的关键．设切线与切于点，如图所示，由切线长定理可得，数形结合，表示出三角形的周长，代值求解即可得到答案． 【详解】解：设切线与切于点，如图所示： ∴由切线长定理可得， ， ， 故答案为：． 6．如图，把置于平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点P是内切圆的圆心，将沿轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与轴重合，第一次滚动后圆心为，第二次滚动后圆心为，依此规律，则的坐标是 ；第2024次滚动后，内切圆的圆心的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形、三角形内切圆的相关性质、勾股定理、旋转的性质等知识点，得出每滚动3次为一个循环是解此题的关键． 作交于，交于，交于，连接、、，由、的坐标得出，，由勾股定理可得，再由内切圆的性质可得，设，根据三角形的面积计算出，从而得到，根据旋转可得出的坐标为：，即，设的横坐标为，根据切线长定理可得：，即可得到的坐标，从而得到每滚动3次为一个循环，最后根据，进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，作交于，交于，交于，连接、、，   ，  点的坐标为，点的坐标为， ，， ， 点是内切圆的圆心，，，， ， 设， ，， ， 解得：， ， 将沿轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与轴重合，第一次滚动后圆心为，第二次滚动后圆心为， 由图可得的坐标为：，即， 设的横坐标为， 根据切线长定理可得：， 解得：， ， 的坐标为，即， 每滚动3次为一个循环， ， 第2024次滚动后内切圆的圆心的横坐标是：，即的横坐标是8099 ， 故答案为：，． 7．如图，的内切圆与、、分别相切于点、、． (1)若，，求的度数； (2)若，，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形的内切圆，圆周角定理，切线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据三角形的内心是角平分线的交点，可得结论； （2）根据切线长定理，构建方程组解决问题即可． 【详解】（1）解：的内切圆与、、分别相切于点、、， ， ， ， 在中，； （2）解：是的内切圆， ，，， 设，，， 又，，， ， 解得， ． 8．如图，是的直径，，分别切于点、，分别交，于点、，平分． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析； (2)的半径是6． 【分析】本题考查了切线的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，解题关键是在证切线的问题中，一般先连接切点和圆心，再证明垂直；同时熟记切线垂直于经过切点的半径． （1）过点作于点，先根据切线的性质得到，再根据角平分线的性质可得，由是的半径，且，即可作出判断； （2）过点D作于点F，先根据切线的性质得到从而可证得四边形是矩形，根据矩形的性质可得从而可得的长，再根据切线的性质求得的长，在中，根据勾股定理即可求得的长，进而即可得解． 【详解】（1）解：证明：过点作于点， 切于点A， ， 又平分， ， 为的半径， 是的半径，且， 是的切线； （2）解：过点D作于点F， ，分别切于点A，B， ， 四边形是矩形， ， 又， ， ，，分别切于点A，B，E， ， ， 在中， ， ， ， 即的半径是6． 9．如图，在中，，过中点作与相切于点，交于点E，F，交于点M，N． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，．由圆切线的定义得出，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出．再由等腰三角形三线合一即可得出答案． （2）过点作于点，连接．设的半径为，则．先由勾股定理定理得出，再由垂径定理得出，再根据矩形的判定和性质得出，再根据勾股定理得出， 再利用垂径定理求值即可． 【详解】（1）解：连接，． 与相切， ． 在中，， ． ． （2）解：过点作于点，连接． 设的半径为，则． ， ． 在中， ， ． ． 解得：． 为的弦， ． ， 四边形为矩形． ． 在中， ， ． ． 10．如图，已知是的直径，弦，垂足为，连接，以为邻边作，连接与交于点，，． (1)求证：是的切线； (2)求的半径； (3)求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（）由平行四边形的性质得，进而由可得，即可求证； （）连接，设，则，在中利用勾股定理解答即可求解； （）过点作交的延长线于点，证明，可得，，即得，再根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴是的切线； （2）解：连接，设，则， ∵， ∴，， ∴， 即， 解得：， ∴的半径为； （3）解：过点作交的延长线于点， ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵的半径为， ∴， ∴， ∴， ∴． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专项训练09直线和圆的位置关系 知识复盘卡 【知识点1切线的判定和性质】 ①切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径： ②切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线： 如图：OC⊥AB,OC是半径一AB是oO的切线： 【知识点2三角形与圆的位置关系】 (1)三角形的外接圆：三角形三个顶点都在同一个圆上，这个圆就是三角形的外接圆，三角形就是圆的 内接三角形，外接圆的圆心简称外心，外心就是三角形三边的垂直平分线的交点： (2)三角形的内切圆：三角形的三条边都和同一个圆相切，这个圆就是三角形的内切圆，三角形就是圆 的外切三角形，内切圆的圆心简称内心，内心就是三角形三条角平分线的交点： 注意：内切圆及有关计算 (1)三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。 a+b-c (2)△ABC中，∠C=90°，AC=b,BC=a,AB=C,则内切圆的半径=2 (3)S△ABC=2 ra+b+c） ,其中a,b,c是边长，r是内切圆的半径。 (4)弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。如图，BC切⊙O于点B,AB 为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC-∠D。 B 1/11 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 培优拓展训练 ★7巩固提升练 【题型1切线的证明：有切点，连半径，证垂直】 1.如图所示，己知AB是圆O的直径，圆O过BC的中点D,且DE⊥AC. D (1)求证：DE是圆O的切线： (2)若∠C=30°，CD=10cm,求圆0的半径. 2.如图，△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，点C是BE的中点，AE⊥CD,垂足为 点D,DC的延长线交AB的延长线于点F D (1)求证：CD是⊙O的切线： (2)若CD=V5,∠ABC=60°，求线段AF的长. 【题型2切线的证明：无切点，作垂直，证半径】 3.如图，O是正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OC长为半径的⊙0与AD相切于点E. 2/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (1)求证：AB与⊙O相切：： (2)若正方形ABCD的边长为√2+1，则⊙0的半径= 4.如图，AMBN是⊙O的切线，切点为A、B,AM∥BN,点D,C分别是AMBN上的点，OD平分 ∠ADC,⊙O的半径是6，设AD=,BC=y. A D M B C N (I)求证：CD是⊙O的切线： (2)求y关于x的函数解析式： (3)梯形ABCD的面积为78cm2,求AD的长. 【题型3圆中切线的性质和判定的综合应用】 5.如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A,PD交AB的延长线于点D,DE⊥PO交PO的延长 线于点E,∠EPD=∠EDO B D (1)判断直线PD与⊙O的位置关系，并说明理由： (2)若PA=5,AD=12,求⊙0的半径. 6.如图，△ABC内接于⊙O,AB是直径，⊙0的切线PC交BA的延长线于点P,OF∥BC交AC于点E, 交PC于点F,连接AF; 3/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)判断AF与O0的位置关系并说明理由. (2)若⊙0的半径为4，AF=3,求AC的长. 【题型4直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系】 7.如图，在△ABC中，∠C=90°，⊙0是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F,若AC=3,AD=2,则 ⊙0的半径为 D B E 8.如图，在一张R△ABC纸片中，∠ACB=90°，BC=5,AC=12,⊙0是它的内切圆. E (1)内切圆的半径为 (2)小明用剪刀沿着OO的切线DE剪下一块三角形ADE,则△ADE的周长为 【题型5一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系】 9.如图，△ABC的内切圆⊙O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,且AB=5cm,BC=7cm, CA=6cm 4/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D 如图，△ABC的内切圆O0与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F, (1)求AF的长， (2)已知S△Bc=6V6cm2,求OD的长. 10.如图，⊙0为△ABC的内切圆，切点分别为F、G、H,点D,E分别为BC,AC上的点，且DE为⊙0 的切线， (1)若∠C=40°，求∠AOB的度数： (2)若AC=8,AB=6,BC=9,求△CDE的周长. ★能力培优练 1.如图，△ABC的边BC经过圆心0，AC与圆相切于点A，,若∠B=25°，则∠C等于() A.25° B.50° C.40° D.65 2.如图点O为△ABC的外心，点I为△ABC的内心，∠BOC=160°，则∠BIC的度数为() 5/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B C A.110° B.125° C.130° D.140° 3.发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图①是发动机的实物剖面图，图②是其示意图.图 ②中，点A在直线I上往复运动，推动点B做圆周运动形成⊙0，AB与BO表示曲柄连杆的两直杆，点C、 D是直线I与⊙O的交点；当点A运动到E时，点B到达C;当点A运动到F时，点B到达D,若AB=I2, OB=5,则下列结论正确的是() B 图1 图2 A.DE=24 B.EF=12 C.当AB与⊙O相切时，EA=4 D.当OB⊥CD时，EA=AF 4.(2425九年级上·全国期末)如图，△ABC的内切圆OO与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F, 且AD=2,△ABC的周长为14，则BC的长为 B E 5.如图，⊙O是△ABC的内切圆且与AB,BC,AC相切于点D,E,F,若AF=3,BD=2,CE=4, 则△ABC的周长为 B E 6.如图，⊙O经过Rt△ABC的直角顶点C,交AB于点D,E,交BC于点F,交AC于点G,且满足 DE=FC=CG,AG=2BF=1,则OO的半径为， 6/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A 7.如图，在△ABC中，∠C=90°，⊙I为△ABC的内切圆，BC=9,AC=12.求⊙I的半径. B 8.如图，AB为⊙O的直径，C是⊙0上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D. D (I)求证：AC平分∠DAB; (2)若CD=3,AD=5,求⊙0的半径长. 9.如图，△ABC中，∠ABC=90°，CD平分∠ACB交AB于点D,以点D为圆心，BD为半径作OD交 AB于点E. A E D B C (1)求证：OD与AC相切： (2)若AC=10,BC=6,试求AE的长. 10.己知线段AE、AF与OO相切，切点分别为E、F,∠A=∠B=90°，AF=BF. 7/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E (I)过点C作⊙0的切线（在线段BC的上方）与AE的延长线交于点D,切点为点G.(要求：尺规作图、 保留作图痕迹、不写作法)· (2)求证：BC与⊙0相切. (3)若AD=3,BC=6,求⊙0的半径 ★创新拓展练 1.如图，PA,PB是⊙0的切线，A,B为切点，点C为⊙0上一点，若∠ACB=70°，则∠P的度数为 () A.70 B.50° C.40 D.20 2.如图，AB是⊙O的直径，CD是OO的切线，D为切点，AC⊥CD,垂足为C,连接BD.若AB=8, 且∠B=30°，则CD的长为() B 0 A.2 B.2V5 C.4 D.4V5 3.如图，在一张三角形ABC纸片中，∠ACB=90°，BC=5,AC=12,⊙0是它的内切圆，小明用剪刀 8/11 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 沿着⊙O的切线DE剪下一块三角形ADE,则△ADE的周长是() B D E A.17 B.19 C.20 D.22 4.如图，AB、AC、BD是圆O的切线，切点分别为P、C、D,若AB=5,AC=3,则BD的长是_ 0 D B 5.如图，PA、PB分别切⊙O于A、B,并与⊙O的切线分别相交于C、D,己知PA=12cm,则△PCD的 周长等于 A D B 6.如图，把RtAOAB置于平面直角坐标系中，点A的坐标为(O,4),点B的坐标为(3,0)，点P是Rt△OAB 内切圆的圆心，将R△OAB沿x轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后圆 心为，第二次滚动后圆心为P,·,依此规律，则？的坐标是一；第2024次滚动后，Rt△OAB内切 圆的圆心24的坐标是 B 7.如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F. 9/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D (1)若∠ABC=50°，∠ACB=75°，求∠B0C的度数： (2)若AB=13,BC=11,AC=10,求AF的长. 8.如图，AB是OO的直径，AM,BN分别切⊙O于点A、B,CD分别交AM,BN于点D、C,DO 平分∠ADC A DM B (1)求证：CD是⊙0的切线： (2)若AD=4,BC=9求⊙0的半径. 9.如图，在R△ABC中，∠A=90°，过BC中点O作⊙O与AB相切于点D,交BC于点E,F,交AC于 点M,N A ◇入 M D B (1)求证：AD=BD: (2)若AB=6,CF=L,求MN的长. 10.如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB,垂足为E,连接BC,以BC,CD为邻边作aBCDF,连 接CF与AB交于点H,AE=4,CD=4V6. 10/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B H E D A (1)求证：BF是⊙O的切线： (2)求⊙0的半径： (3)求CF的长. 11/11