专项训练03 二次函数中线段、周长、面积最值问题（巩固培优）新九年级数学新教材人教版

**基本信息** 以“方向-动点-范围”三维框架系统构建二次函数最值问题解题体系，通过几何转化与代数建模双路径实现从线段到面积的层级突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |线段最值|4题型(单线段/和/差等)|竖平作差、斜线转化；两定一动用对称、多动点建函数；验定义域|从基础线段分类到复杂线段和差，通过几何对称与代数参数法实现转化| |周长最值|2题型(矩形/三角形)|拆解定边+动线段和，化折为直或建周长函数|基于线段最值拓展，通过定动分离简化问题，体现转化思想| |面积最值|3题型(三角形/四边形)|公式法、铅锤法、补形法；建面积函数求顶点|综合线段表示，通过割补转化不规则图形为规则图形，强化模型意识|

专项训练03 二次函数中线段、周长、面积最值问题 【知识点1 二次函数中线段最值问题】 1. 线段本质分两类（看方向） - 竖直/水平线：直接作差（|y1-y2| 或 |x1-x2|）。 - 斜线：必用“相似比”或“三角函数”转化为竖直/水平线的倍数（化斜为直）。 2. 解法选择看动点（定与动） - 几何法（两定一动）：作对称点，化折为直（将军饮马）。 - 代数法（多动点）：设参数t表示长度，建立二次函数，配方求顶点（y=a(t-h)2+k ）。 3. 求最值前验范围（定义域） - 顶点在范围内：直接取顶点最值。 - 顶点在范围外：根据开口方向，取离对称轴最近的端点（区间单调性）。 【知识点2 二次函数中周长最值问题】 1. 定边与动边（拆解周长） - 有定长边：周长最值 = 定长 + 动线段和最值（转为“线段和最值”问题）。 - 全动边：设动点参数，用两点间距离公式或“化斜为直”表示各边，建立周长函数。 2. 转化策略（两大方向） - 共线转化（几何法）：遇折线（如PA+PB），利用对称、平移，化折为直（将军饮马模型）。 - 函数建模（代数法）：设参数t 表示各边长度（竖/斜线段），建立周长C(t)的二次函数，配方求顶点。 3. 隐含约束（勿忘定义域） - 动点受抛物线范围限制（如x在m到n之间）。 - 验证顶点是否在取值范围内；若不在，则取离对称轴最近的端点值。 【知识点3 二次函数中面积最值问题】 1. 面积表示三套路（选对方法） - 公式法：底×高÷2（底边在坐标轴上，或水平/竖直边可直接作底）。 - 割补法（铅锤法）：过动点作竖直线，面积 = 水平宽 × 铅锤高 ÷ 2（最常用）。 - 补形法：大减小（矩形/梯形减空白），适用于斜三角形或不规则图形。 2. 函数建模与配方法（核心操作） - 设动点参数t（如横坐标），代入上述套路表示面积S(t)。 - 化简为二次函数标准式 S = a(t-h)2 + k。 - 开口向下：顶点处取最大值；开口向上：顶点处取最小值（结合区间）。 3. 临界区间定生死（定义域） - 动点横坐标受抛物线范围限制（如x1 < t < x2 ）。 - 顶点在区间内：顶点即最值点。 - 顶点在区间外：面积随区间单调，取离对称轴最远（或最近）的端点。 【题型1 二次函数中求线段最值的问题】 1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过原点和点．经过点A的直线与该二次函数图象交于点，与y轴交于点C． (1)求二次函数的解析式及点C的坐标； (2)点P是二次函数图象上的一个动点，当点P在直线上方时，过点P作轴于点E，与直线交于点D，设点P的横坐标为m．m为何值时线段的长度最大，并求出最大值． 【答案】(1)， (2)当m时，PD是最大值 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数、一次函数解析式，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求出二次函数和直线解析式，然后令，求出y，即可求出C的坐标； （2）设，根据P、D的坐标求出长，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数经过，，， ∴将三点坐标代入解析式得， 解得， ∴二次函数的解析式为， ∵直线经过A、B两点，设直线解析式为， ∴将A、B两点代入得， 解得， ∴直线解析式为， ∵点C是直线与y轴交点， ∴令，则， ∴． （2）解：∵点P在直线上方， ∴， 由题知，， ∴， ∵， ∴当时，是最大值． 2．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，连接．D是在第一象限内的抛物线上的一个动点，连接，交线段于点E． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点E在该抛物线的对称轴上，求的长； (3)过点D作y轴的平行线，交于点F，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）先求出直线的表达式为，抛物线的对称轴是直线，可得点E的坐标是，再由勾股定理得，即可求解； （3）设点D的坐标为，则点F的坐标为，，可得，最后由二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：分别将点，，代入， 得解得 ∴该抛物线的表达式为； （2）解：设直线的表达式为． 将点代入，得，解得， ∴直线的表达式为． ∵抛物线的对称轴是直线， ∴点E的坐标是， ∴； （3）解：设点D的坐标为， 则点F的坐标为，， ∴ ， ∵，， ∴当时，DF`有最大值，最大值是． 【题型2 利用二次函数求线段和最值的问题】 3．如图，二次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求点的坐标； (2)在抛物线的对称轴上找一点C，使得最小，并求出C点的坐标； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点，二次函数的综合应用，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键： （1）分别令，进行求解即可； （2）作点关于对称轴的对称点，连接，与对称轴的交点即为点． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，； ∴； （2）解：∵， ∴对称轴为直线， 作点关于对称轴的对称点，连接，则：与对称轴的交点即为点， ∵， ∴设直线的解析式为：， 把代入，得：， 解得：； ∴， ∴当时，； ∴． 4．如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点为该抛物线对称轴上的一点，当最小时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数解析式，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）由抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线，连接交对称轴于点，由点、关于对称轴对称可得，即得，由两点之间线段最短，可知此时的值最小，利用待定系数法求出直线的解析式，进而即可求解； 【详解】（1）解：把代入抛物线得，， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：∵抛物线， ∴抛物线对称轴为直线， 连接交对称轴于点， ∵点、关于对称轴对称， ， ， 由两点之间线段最短，可知此时的值最小，最小值即为线段的长， 设直线的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ． 【题型3 利用二次函数求线段差最值的问题】 5．如图，已知抛物线过点，且它的对称轴为． (1)求此抛物线的解析式； (2)若点P是抛物线对称轴上的一点，当的面积为21时，求点P的坐标； (3)在（2）条件下，当点P在上方时，M是抛物线上的动点，求的最大值． 【答案】(1) (2)P的坐标为或 (3) 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、面积问题和线段问题，数形结合是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）求出直线的函数解析式为，进一步得到点Q的坐标为．设点P的坐标为，得到，即可求出答案； （3）连接并延长交抛物线于点M，则点M即为所求．的最大值为的长．过点A作抛物线对称轴的垂线，垂足为N，进一步利用勾股定理进行解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，且它的对称轴为 ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为； （2）如图1， 设直线的函数解析式为，把点代入，得，解得． ∴直线的函数解析式为， 设和对称轴的交点为点Q． 当时， ∴点Q的坐标为． ∵点P在对称轴上， ∴设点P的坐标为， ∴， ∴， 即， 解得或． ∴点P的坐标为或； （3）如图2，连接并延长交抛物线于点M，则点M即为所求．的最大值为的长． 过点A作抛物线对称轴的垂线，垂足为N， ∵，， ∴，， ∴． 即最大值为． 6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，A在B的左侧，与y 轴交于点C，点P为直线上方抛物线上一动点． (1)求直线的解析式； (2)过点作y轴的平行线交于点M，求线段时点的坐标； (3)过作轴，交于M，当的值最大时，求的坐标和的最大值． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为和的最大值为 【分析】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）先根据抛物线的解析式求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可得； （2）设点的坐标为，则，再根据建立方程，解方程求出的值，由此即可得； （3）设点的坐标为，则点的坐标为，先求出，再利用二次函数的性质求出最小值，由此即可得． 【详解】（1）解：当时，， 解得或， ∵抛物线与轴交于点和点，在的左侧， ∴，， 当时，， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的解析式为． （2）解：设点的坐标为， 由（1）可知，， ∵点为直线上方抛物线上一动点， ∴， ∵过点作轴的平行线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标为． （3）解：由题意，设点的坐标为，则点的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， 由二次函数的性质可知，当时，的值最大值，最大值为， 此时， 综上，点的坐标为和的最大值为． 【题型4 利用二次函数求周长最值的问题】 7．如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点在点的左侧），点，在抛物线上．设动点坐标为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当为何值时矩形的周长有最大值？最大值是多少？ 【答案】(1)抛物线的函数表达式为 (2)当时，矩形的周长有最大值，最大值为． 【分析】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质． （1）利用待定系数法求得抛物线的函数表达式，化成顶点式，即可求得顶点坐标； （2）由抛物线的对称性得，据此知，再由时，根据矩形的周长公式列出函数解析式，配方成顶点式即可得． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，， ∴，解得， ∴抛物线的函数表达式为， （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵点，在抛物线上， ∴点，关于抛物线对称轴对称， ∴由抛物线的对称性得， ， 当时，，则点的纵坐标为， 矩形的周长 ， ， 当时，矩形的周长有最大值，最大值为． 8．已知，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点． (1)求点A、B、C三点的坐标； (2)过点A作交抛物线于点P，求四边形的面积； (3)在（2）的条件下，在线段上是否存在一点M，使的周长最小？若存在，请直接写出周长的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)16 (3)存在， 【分析】（1）分别令，求出点和点，点的坐标即可； （2）先求出直线的解析式，进而求出的解析式，联立抛物线解析式组成方程组求出点的坐标，再利用分割法来求解即可； （3）延长到点，使，过点作轴于点，连接，则与的交点即为点，易得到，进而求出点，易得到解析式，联立直线解析式组成方程组求解． 【详解】（1）解：当时，， 解得； 点坐标为点坐标为； 当时，， 点坐标为． （2）解：， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：； 直线解析式：． ，设直线的解析式为：，把代入得： ； 则直线解析式为：， 联立解析式有： 解得，； 点坐标为； ． （3）解：存在． 延长到点，使，过点作轴于点，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ， 与关于对称，且为的中点， 点坐标为，， ∴的周长为：， ∴当在线段上时，的周长最小， 同（2）法可得：直线的解析式为； 联立方程组， 解得 点的坐标为； 此时，， 的周长最小值为； 在线段上存在一点，使的周长最小为． 【题型5 利用二次函数求面积最值的问题】 9．如图，抛物线经过，，三点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上有一点P，使的值最小，求点P的坐标； (3)动点M在第四象限内的抛物线上，求四边形ACMB面积最大时点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的解析式，二次函数的面积和线段综合，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设所求二次函数的解析式为，再把，，代入函数解析式，得到关于a、b、c的三元一次方程组，即可求a、b、c，进而可得函数解析式． （2）连接，交对称轴于P，P即为使的值最小，设直线的解析式，把B、C的坐标代入即可求得系数，进而求得解析式，令时，即可求得P的坐标． （3）先分析出四边形ACMB面积，结合是一个定值，故要使四边形ACMB面积最大，则的面积最大，再整理得，结合二次函数的图象性质，得开口向下，当时，有最大值，然后求出点M的纵坐标，即可作答． 【详解】（1）解：设所求二次函数的解析式为， 把，，代入得 ， 解得， ∴这个二次函数的解析式是：． （2）解：∴， ∴抛物线的对称轴为， 连接，如图所示： 设直线的解析式为， ∴ 解得， ∴直线的解析式为， 当时， ， ∴P点的坐标为； （3）解：过点作轴，分别与轴和交于点，连接，如图所示： 则四边形ACMB面积， ∵是一个定值， ∴要使四边形ACMB面积最大，则的面积最大， 设， 则， ∴． 则 ∵ ∴开口向下，当时，有最大值， ∴即时，四边形ACMB面积最大， 此时把代入， 得， ∴． 10．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A(-3,0),B(1,0),C(0,3)． (1)求抛物线的解析式； (2)求点B到直线的距离； (3)点P在第二象限的抛物线上运动，求当的面积最大时，点P的坐标以及最大面积． 【答案】(1) (2) (3)，， 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数的面积问题、待定系数法等知识，数形结合是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）利用等积法进行解答即即可； （3）求出直线的解析式为,设点P的坐标为，作轴交直线于点，则，得到的面积，利用二次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：把代入得到， ， 解得: ∴抛物线的解析式为； （2）∵， ∴， 设点B到直线的距离为， 则， ∴ 解得， 即点B到直线的距离为， （3）设直线的解析式为． ∴ 解得 ∴直线的解析式为, 设点P的坐标为，作轴交直线于点， 则， 则 ∴的面积 当时，有最大值， 此时 此时点P的坐标为 1．（2025·广东中山·一模）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】抛物线与x轴的另一个交点为E点，把E点向上平移3个单位得到F点，连结交对称轴于D点，如图，先证明四边形为平行四边形得到，则，利用等线段代换得到四边形的周长，根据两点之间线段最短可判断此时四边形的周长最小，再解方程得，从而确定抛物线的对称性为直线，，接着确定，然后利用待定系数法求出直线的解析式为，于是解方程组得到D点坐标． 【详解】解：抛物线与x轴的另一个交点为E点，把E点向上平移3个单位得到F点，如图， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴此时四边形的周长最小， 令，则， 解得，， ∴，， ∴， 令，则， ∴， 设过点，的直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为， ∴解方程组得， ∴． 故选：B． 2．（2025·安徽阜阳·模拟预测）如图，已知抛物线过点，点． （1）该抛物线的顶点坐标为 ． （2）点C是上方抛物线上一动点（不与点A，B重合），连接，，则面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】（1）先根据抛物线经过点，，求出抛物线的解析式，再化为顶点式求出该抛物线的顶点坐标； （2）先利用待定系数法求得直线，再设过点C且与直线平行的直线解析式为，根据当直线与抛物线有唯一的公共点，求出，从而可得关于的方程求出，从而可得，进而可求得点D的坐标，再求出此时的面积即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴，解得， ∴， ∴该抛物线的顶点坐标为； （2）设直线的解析式为， ∵，点， ∴，解得： ∴直线的解析式为， 设过点C且与直线平行的直线解析式为， 当直线与抛物线有唯一的公共点， 则点C到的距离最大， ∴面积最大， ∴关于x的方程有两个相等的实数根， ∴有两个相等的实数根， ∴，解得：， ∴过点C且与直线平行的直线解析式为， ∴，解得：， ∴． 作轴交于点D， 则点的横坐标为， 又点在直线上， ∴， ∴点D的坐标为， ∴此时的面积． 3．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点． (1)求二次函数的解析式． (2)若点是这个二次函数图象在第二象限内的一点，过点作轴的垂线与线段交于点，求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，求直线解析式，函数最值问题，将线段列出函数关系式利用最值确定线段的最大值的解题思路是关键． （1）将点B坐标代入即可求出解析式； （2）先求出直线的解析式为，设点P的坐标为，则点C的坐标为，列出线段的关系式配方即可得到的最大值． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）∵二次函数的解析式为， ∴时，， ∴， 设直线的解析式为， 把代入，得， 解得， 所以直线的解析式为 设点的坐标为． 则点的坐标为． 因为点在点的右边， 所以 ． 因为点是这个二次函数图象在第二象限内的一点， 所以， 所以当时，线段的长度有最大值，最大值为． 4．如图，二次函数的图像与x轴交于和两点，交y轴与点，点C，D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图像过点B，D． (1)求二次函数解析式； (2)求出顶点坐标和点D的坐标； (3)二次函数的对称轴上是否存在的一点M，使的周长最小？若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由． (4)若是线段上任意一点，过点作轴交抛物线于点P，则点P坐标为多少时，最长？ 【答案】(1) (2)顶点坐标为；点关于对称轴的对称点D的坐标为； (3)存在， (4)点P坐标为时，最长． 【分析】（1）由抛物线与x轴的交点坐标和，设抛物线的解析式为，将点代入求得a的值，即可得到答案； （2）由，得到顶点坐标，由抛物线的对称轴为直线，得到点D的坐标； （3）要使的周长最小，只需最小即可，点A和B关于直线对称，连接交直线于点M，求出直线的解析式，求得交点M的坐标即可； （4）先求直线的解析式，设点P的坐标是，则点Q的坐标是，表示出的长度，根据二次函数的性质求得最大值即可． 【详解】（1）解：由抛物线与x轴的交点坐标和，设抛物线的解析式为， 将点代入，得：， 解得：， 则抛物线的解析式为. （2）∵， ∴顶点坐标为，抛物线的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点D的坐标为； （3）存在，要使的周长最小，只需最小即可， ∵点A和B关于直线对称，连接交直线于点M， ∴， 则， ∴点M满足题意， 设直线的解析式为，把点和代入得， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 设点M的坐标是， 则， 即点为所求． （4）如图， 设直线的解析式为，把点和点D代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 设点P的坐标是，则点Q的坐标是， 则， ∵ ， ∴当时，有最大值为， 此时， 即点P坐标为时，最长． 1．如图1，抛物线的图象是一条抛物线，图象与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，点为直线下方抛物线上的点，过点作轴交于点，求的最大值及此时点的坐标． 【答案】(1) (2)最大值为，此时 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，熟知以上性质是解题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）利用待定系数法即可求得直线的解析式为，设，，则，即可得出，根据二次函数性质可得答案． 【详解】（1）解：把，，代入得： ， 解得， 抛物线的表达式为， （2）解：在二次函数中，令，得， 解得：， ， 设直线的解析式为，将代入得， ，解得， 直线的解析式为， 设，， 轴， ， ， ， 当时，最大值为，此时． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点，经过点的直线与抛物线交于点，与轴交于点． (1)求此二次函数的表达式和顶点的坐标； (2)点是线段上一动点，点是线段上一动点，且，求的最小值． 【答案】(1)， (2) 【分析】对于（1），将点代入得出方程组，求出解即可； 对于（2），先作轴，截取，得，再证明， 可得，即，然后求出直线的关系式，接下来根据勾股定理求出，当共线时，最小，最后根据勾股定理求出答案． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：+，顶点； （2）解：过点在第二象限作轴，截取，则， ∵， ∴， ∴， 则． 设直线的关系式为， 将点代入关系式， 得， 解得， ∴直线的关系式为， 当时，， ∴点， ∴． ∵， ∴． 根据勾股定理，得， ∴． 当共线时，最小， 则， 即的最小值为． 3．如图，抛物线经过，，三点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上有一点P，使的值最小，求点P的坐标； (3)动点M在第四象限内的抛物线上，求四边形ACMB面积最大时点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的解析式，二次函数的面积和线段综合，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设所求二次函数的解析式为，再把，，代入函数解析式，得到关于a、b、c的三元一次方程组，即可求a、b、c，进而可得函数解析式． （2）连接，交对称轴于P，P即为使的值最小，设直线的解析式，把B、C的坐标代入即可求得系数，进而求得解析式，令时，即可求得P的坐标． （3）先分析出四边形ACMB面积，结合是一个定值，故要使四边形ACMB面积最大，则的面积最大，再整理得，结合二次函数的图象性质，得开口向下，当时，有最大值，然后求出点M的纵坐标，即可作答． 【详解】（1）解：设所求二次函数的解析式为， 把，，代入得 ， 解得， ∴这个二次函数的解析式是：． （2）解：∴， ∴抛物线的对称轴为， 连接，如图所示： 设直线的解析式为， ∴ 解得， ∴直线的解析式为， 当时， ， ∴P点的坐标为； （3）解：过点作轴，分别与轴和交于点，连接，如图所示： 则四边形ACMB面积， ∵是一个定值， ∴要使四边形ACMB面积最大，则的面积最大， 设， 则， ∴． 则 ∵ ∴开口向下，当时，有最大值， ∴即时，四边形ACMB面积最大， 此时把代入， 得， ∴． 4．如图，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，顶点为点． (1)求点，，的坐标； (2)对称轴上有一点，当最小时，求点的坐标； (3)二次函数图象上是否存在点，使得，若存在请直接写出点的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1)点A、B、C的坐标分别为： (2) (3)或或或 【分析】（1）对于，当时，，令，则或3，即可求解； （2）点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，连接交抛物线对称轴于点P，则点P为所求点，即可求解； （3）由，则，即可求解． 【详解】（1）解：对于， 当时，， 令，则 解得：或3， 即点A、B、C的坐标分别为：； （2）解：点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，连接交抛物线对称轴于点P，则点P为所求点， 由（1）点， 设直线的表达式为：， 则， 解得：， ∴直线的表达式为：， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，， 即点； （3）解：存在，理由： 由抛物线的表达式知，点， ∵，则， ∴，即， 解得：或， 即点Q的坐标为：或或或． 5．如图，已知抛物线经过点，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)已知点是抛物线对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标． (3)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积S的最大值及此时点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)四边形面积S的最大值为，此时点 【分析】（1）把点，点的坐标带入，再根据对称轴，解出，，，即可； （2）设直线与对称轴的交点为点，设直线的解析式为：，把点，点的坐标代入，求出解析式，再根据点在上，求出点的坐标；根据直线垂直平分，则，；根据等量代换，三角形三边的关系，则，当点在直线上，则有最小值，根据，是定值，即可； （3）根据题意，则点，过点作轴交于点，则点，求出的值，根据四边形面积为：，且，当时，有最大值；再根据，即当时，四边形面积有最大值，最后根据点在，即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，两点， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：设直线与对称轴的交点为点， 设直线的解析式为：， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：； ∴点， ∵直线垂直平分， ∴， ∴，， 当点与点重合时，，此时有最小值， ∴，此时的值最小， ∵，是定值 ∴当点时，有最小值， ∴． （3）解：过点作轴交于点， 设点的横坐标为， ∴，， ∴， ∵四边形的面积，， ∴， ∴， 当时，有最大值，， ∵， ∴当时，四边形面积有最大值为：， ∴． 6．如图，抛物线的顶点为，与 x 轴交于 A、B 两点，且 B，与y 轴交于点 C ． (1)求抛物线的函数解析式； (2)对称轴上是否存在点 N ，使的周长最小，若存在，请求出点坐标，若 不存在，请说明理由； (3)在直线的下方抛物线的图象上能否找到一点 P ，使四边形的面积最大？若能，请求出面积的最大值及点 P 的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点坐标为 (3)存在，面积的最大值为，点P的坐标为． 【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合应用，涉及到待定系数法求函数解析式、求平面直角坐标系内三角形面积等，解题的关键是用含x的式子表示出的长度． （1）设函数的解析式为，将B代入求出a值即可； （2）令，求出点A坐标，进而求出直线的解析式，中，的长度固定，点A、点B关于直线对称，当点N是对称轴与直线的交点时，之和最小，即的周长最小，求出点N的坐标即可； （3）过点P作轴于点E，交于点F，设，则，F ，利用求出的最大值，再利用求出答案即可． 【详解】（1）解：抛物线的顶点为， 设函数的解析式为， 又函数图象经过点， ， 解得， ， 即抛物线的函数解析式为； （2）解：存在， 函数的图象与y轴交于点C， ， ， 令，得， 解得，， ， ∵抛物线的解析式为：， ∴抛物线的对称轴为直线：， ∵， ∴设直线的解析式为，可得， 解得， 故直线的解析式为：， ∵中，的长度固定，点A、点B关于直线对称， ∴当点N是对称轴与直线的交点时，之和最小，即的周长最小， 将代入中得：， ∴点N的坐标是； （3）解：如图，过点P作轴于点E，交于点F，设，则， 点F的坐标为． ， ， 当时，有最大值，最大值为， 此时四边形的面积最大，最大值为 时，， 在直线的下方抛物线的图象上能否找到一点 P ，使四边形的面积最大，面积的最大值为，点P的坐标为． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专项训练03二次函数中线段、周长、面积最值问题 知识复盘卡 【知识点1二次函数中线段最值问题】 1.线段本质分两类（看方向） -竖直/水平线：直接作差(1或1-)。 斜线：必用“相似比”或“三角函数”转化为竖直/水平线的倍数（化斜为直）。 2.解法选择看动点（定与动) -几何法（两定一动)：作对称点，化折为直（将军饮马）。 -代数法（多动点)：设参数t表示长度，建立二次函数，配方求顶点(y=t)+k)。 3.求最值前验范围（定义域） -顶点在范围内：直接取顶点最值。 -顶点在范围外：根据开口方向，取离对称轴最近的端点（区间单调性)。 【知识点2二次函数中周长最值问题】 1.定边与动边（拆解周长） -有定长边：周长最值=定长+动线段和最值（转为“线段和最值”问题）。 全动边：设动点参数，用两点间距离公式或“化斜为直”表示各边，建立周长函数。 2.转化策略（两大方向） 共线转化（几何法)：遇折线（如PA+PB)，利用对称、平移，化折为直（将军饮马模型）。 -函数建模（代数法）：设参数t表示各边长度（竖/斜线段），建立周长C(©的二次函数，配方求顶点。 3.隐含约束（勿忘定义域） -动点受抛物线范围限制（如x在m到之间)。 验证顶点是否在取值范围内；若不在，则取离对称轴最近的端点值。 【知识点3二次函数中面积最值问题】 1,面积表示三套路（选对方法） -公式法：底X高÷2（底边在坐标轴上，或水平/竖直边可直接作底)。 1/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -割补法（铅锤法）：过动点作竖直线，面积=水平宽×铅锤高÷2（最常用）。 一补形法：大减小（矩形/梯形减空白），适用于斜三角形或不规则图形。 2.函数建模与配方法（核心操作） -设动点参数t(如横坐标)，代入上述套路表示面积S(⑨。 -化简为二次函数标准式S=(-)2+飞。 一开口向下：顶点处取最大值；开口向上：顶点处取最小值（结合区间）。 3.临界区间定生死（定义域） -动点横坐标受抛物线范围限制（如〈t〈x)。 -顶点在区间内：顶点即最值点。 -顶点在区间外：面积随区间单调，取离对称轴最远（或最近）的端点。 培优拓展训练 ★巩固提升练 【题型1二次函数中求线段最值的问题】 1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=am+bx+c(a≠0)的图象经过原点和点A(4,0).经过点A的 直线与该二次函数图象交于点B(1,3),与y轴交于点C, (1)求二次函数的解析式及点C的坐标： (2)点P是二次函数图象上的一个动点，当点P在直线AB上方时，过点P作PE1x轴于点E,与直线AB 交于点D,设点P的横坐标为m.m为何值时线段PD的长度最大，并求出最大值 2.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(-2,0),B(4,0)两点，与y轴交于点C(0,3),连接BC.D是 在第一象限内的抛物线上的一个动点，连接OD,交线段BC于点E. 2/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 6 (1)求该抛物线的表达式： (2)若点E在该抛物线的对称轴上，求OE的长： (3)过点D作y轴的平行线，交BC于点F,求DF的最大值. 【题型2利用二次函数求线段和最值的问题】 3.如图，二次函数y=(x+2的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B. (1)求点AB的坐标： (2)在抛物线的对称轴上找一点C,使得BC+OC最小，并求出C点的坐标； 4.如图，抛物线y=-x+bx+C交x轴于点A(-3,0)和点B,交y轴于点C(0,3). (1)求抛物线的解析式： (2)若点M为该抛物线对称轴上的一点，当CM+BM最小时，求点M的坐标. 3/10 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【题型3利用二次函数求线段差最值的问题】 5.如图，已知抛物线y=ax2+bx(a≠0)过点A(们，-7)，且它的对称轴为x=3. (1)求此抛物线的解析式： (2)若点P是抛物线对称轴上的一点，当△OAP的面积为21时，求点P的坐标： (3)在(2)条件下，当点P在OA上方时，M是抛物线上的动点，求AM-PM的最大值. 3 6.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= ++3当x轴交于点A和点B,A在B的左侧，与y轴 8 交于点C,点P为直线BC上方抛物线上一动点. M 0 B (1)求直线BC的解析式： 2挝点p作y轴的平行线交BC于点M求线段PM= 时点p的坐标； 3)过P作PM⊥x轴，交BC于M,当PM-CM的值最大时，求P的坐标和PM-CM的最大值. 【题型4利用二次函数求周长最值的问题】 7.如图，抛物线y=4+bx+c过点o0.0),E10.0),矩形ABCD的边4B在线段oE上（点g在点 A的左侧)，点C,D在抛物线上.设动点B坐标为(，O)」 4/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求抛物线的函数表达式： (2)当t为何值时矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？ 8.己知，抛物线y= -2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点 B (1)求点A、B、C三点的坐标； (2过点A作AP∥CB交抛物线于点P,求四边形ACBP的面积； (3)在(2)的条件下，在线段AP上是否存在一点M,使△MBC的周长最小？若存在，请直接写出△MBC 周长的最小值；若不存在，请说明理由 【题型5：利用二次函数求面积最值的问题】 9如图.数物线经过4-10B50,c0-）=点 5/10 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (1)求抛物线的解析式： (2)在抛物线的对称轴上有一点P,使PA+PC的值最小，求点P的坐标： (3)动点M在第四象限内的抛物线上，求四边形ACMB面积最大时点M的坐标， 10.如图，抛物线y=ar+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,其中A-3,0,B(1,0,C(0,3). A O B (1)求抛物线的解析式： (2)求点B到直线AC的距离； (3)点P在第二象限的抛物线上运动，求当△APC的面积最大时，点P的坐标以及最大面积. ★能力培优练 2025广东中山一模如图，抛物线少24红+6与y抽交于点4，与x轴交于点B,线段C0在 物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且CD=3.当四边形ABCD的周长最小时，点D的坐标为( 6/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A.(4,3) B.(4,4) c.(4,5) D.(4,6) 2.(2025安徽阜阳模拟预测)如图，己知抛物线y=a2+bx过点A(-2,-2),点B(6,-6)」 (1)该抛物线的顶点坐标为 (2)点C是AB上方抛物线上一动点（不与点A,B重合），连接AC,BC,则△ABC面积的最大值为一 3.如图，二次函数y=-x2+x+3的图象与y轴交于点A,与x轴的负半轴交于点B(-2,0). (1)求二次函数的解析式， (2)若点P是这个二次函数图象在第二象限内的一点，过点P作'轴的垂线与线段AB交于点C,求线段PC 长度的最大值 4.如图，二次函数的图像与x轴交于A(-3,0)和B(1,0)两点，交y轴与点C(0,3),点C,D是二次函数图 象上的一对对称点，一次函数的图像过点B,D. 7/10 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求二次函数解析式； (2)求出顶点坐标和点D的坐标： (3)二次函数的对称轴上是否存在的一点M,使△BCM的周长最小？若存在，求出M点坐标；若不存在， 请说明理由， (4)若O是线段BD上任意一点，过点Q作P1x轴交抛物线于点P,则点P坐标为多少时，P№最长？ ★7创新拓展练 L.如图1，抛物线y=ar2-2x+C(á≠0)的图象是一条抛物线，图象与x轴交于点A和点B(3,0),与y轴交 于点C(0,-3) VA B 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： (2)如图2，连接BC,点P为直线BC下方抛物线上的点，过点P作PMMy轴交BC于点M,求PM的最 大值及此时点P的坐标. 8/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ar'+bx+2(a≠0)与x轴交于点A(-4,0)和点B(点A在点B的 左侧)，与y轴交于点C,经过点A的直线与抛物线交于点D(1,3),与y轴交于点E. (1)求此二次函数的表达式和顶点P的坐标： (②)点M是线段OA上一动点，点N是线段AE上一动点，且AM=EN,求EM+ON的最小值. 3如图.整物线经过4，o0)B50,Q-》=点 B (1)求抛物线的解析式： (2)在抛物线的对称轴上有一点P,使PA+PC的值最小，求点P的坐标； (③)动点M在第四象限内的抛物线上，求四边形ACMB面积最大时点M的坐标 4.如图，二次函数y=-x+2x+3的图象与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,顶点为点M. M M (I)求点A,B,C的坐标： 9/10 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)对称轴上有一点P,当PA+PC最小时，求点P的坐标： (3)二次函数图象上是否存在点Q:使得SQs2S.,若存在请直接写出点Q的坐标，若不存在请说明 理由 5.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-3,0),C(0,4)两点，且与x轴的另一个交点为B,对称轴 为直线x=-1. D D (备用图) (1)求抛物线的表达式： (2)已知点M是抛物线对称轴上一点，当△MBC的周长最小时，求M点的坐标. (3)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m,求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的 坐标. 6.如图，抛物线y=a2+bx+c的顶点为M(-2,4),与x轴交于A、B两点，且B(2,0),与y轴交于 点C. B M (1)求抛物线的函数解析式； (2)对称轴上是否存在点N，使△NBC的周长最小，若存在，请求出N点坐标，若不存在，请说明理由； (3)在直线AC的下方抛物线的图象上能否找到一点P，使四边形APBC的面积最大？若能，请求出面积的 最大值及点P的坐标：若不能，请说明理由， 10110