第16讲 直线与椭圆的位置关系（八大题型+思维导图+知识归纳+课后作业）（暑假预习举一反三讲义）高二数学人教A版选择性必修第一册

第16讲 直线与椭圆的位置关系（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 直线与椭圆的位置关系 上一节学习了椭圆的方程和椭圆的几何性质，研究了椭圆的几何特征.下面继续研究直线与椭圆有什么样的位置关系? 【知识点1 直线与椭圆的位置关系】 1．点与椭圆的位置关系 (1)点与椭圆的位置关系： (2)对于点与椭圆的位置关系，有如下结论： 点在椭圆外+>1; 点在椭圆内+<1; 点在椭圆上+=1. 2．直线与椭圆的位置关系 (1)直线与椭圆的三种位置关系 类比直线与圆的位置关系，直线与椭圆有相离、相切、相交三种位置关系，如图所示. (2)利用方程讨论直线与椭圆的位置关系： Δ>0⇔直线与椭圆相交⇔有两个公共点； Δ=0⇔直线与椭圆相切⇔有且只有一个公共点； Δ<0⇔直线与椭圆相离⇔无公共点. 【题型1 直线与椭圆的位置关系的判定】 【例1】（25-26高二上·江西·期末）直线与椭圆（）的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【解题思路】由直线与椭圆的位置关系求解即可. 【解答过程】因为直线过点， 而为椭圆的右端点和上端点， 故直线与椭圆相交. 故选：C. 【变式1-1】（25-26高二上·河南·阶段检测）直线与椭圆的位置关系为（    ） A．与k的值有关 B．相切 C．相离 D．相交 【答案】D 【解题思路】先求出直线的必过定点，利用椭圆的性质得到点在椭圆内部，进而得到位置关系即可. 【解答过程】设椭圆上的点为，则，， 而直线恒过定点，则该定点在椭圆的内部， 可得不论k为何值，直线与椭圆都相交，故D正确. 故选：D. 【变式1-2】（25-26高二上·重庆·期末）已知直线的方程为，椭圆的方程为，则直线与椭圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 【答案】B 【解题思路】求出直线所过定点，判断该定点与椭圆位置关系即可判断直线与椭圆位置关系. 【解答过程】，即，令，解得， 则直线所过定点，代入椭圆方程，，则该定点在椭圆内， 则直线与椭圆的位置关系为相交. 故选：B. 【变式1-3】（25-26高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知直线，椭圆，则与的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切 【答案】D 【解题思路】首先判断直线所过的定点，再判断定点与椭圆的位置关系，即可判断直线与椭圆的位置关系. 【解答过程】直线：， 令，解得：，， 所以直线恒过定点， ，所以点在椭圆上，则直线与椭圆相交或相切. 故选：D. 【题型2 根据直线与椭圆的位置关系求参数】 【例2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知直线：与椭圆：有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】联立直线与椭圆的方程，令判别式大于0求解即可. 【解答过程】将直线的方程与椭圆的方程联立，得，消去得①， 因为直线与椭圆有公共点， 所以方程①有实数根，则，得. 故选：B． 【变式2-1】（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据椭圆方程的特点，可得且，将直线方程与椭圆方程联立，令即可求出答案. 【解答过程】根据椭圆方程的特点，可得且， 将直线与椭圆联立得， 即， 因为直线与椭圆有交点，所以， 解得或， 又且，所以的取值范围是. 故选：D. 【变式2-2】（25-26高二上·全国·单元测试）若直线与椭圆没有公共点，则的取值范围为____________． 【答案】 【解题思路】直线与椭圆联立方程进行消元, ，求解即可. 【解答过程】由，可得， 因为直线与椭圆没有公共点， 故，故或， 则的取值范围为， 故答案为：. 【变式2-3】（25-26高二下·上海浦东新·期中）若对任意的实数，直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围为____________. 【答案】 【解题思路】求出直线所过定点的坐标，分析可知，定点在椭圆上或椭圆内，由此可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【解答过程】直线方程可化为，则该直线过定点， 因为直线与椭圆恒有公共点，则点在椭圆上或椭圆内， 所以，解得且. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 模块三 弦长与“中点弦”问题 【知识点2 椭圆的弦长与“中点弦”问题】 1．弦长问题 (1)定义：直线与椭圆的交点间的线段叫作椭圆的弦. (2)弦长公式：设直线l:y=kx+m交椭圆(a>b>0)于，两点， 则或. 2．“中点弦”问题 (1)解决椭圆中点弦问题的两种方法 ①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根 与系数的关系以及中点坐标公式解决. ②点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中 点坐标和斜率的关系. 设，，代入椭圆方程(a>b>0)， 得， ①-②可得， 设线段AB的中点为，当时，有. 因为为弦AB的中点，从而转化为中点与直线AB的斜率之间的关系，这就是处理弦 中点轨迹问题的常用方法. (2)弦的中点与直线的斜率的关系 线段AB是椭圆(a>b>0)的一条弦，当弦AB所在直线的斜率存在时，弦AB的中点M的坐 标为，则弦AB所在直线的斜率为，即. 【题型3 椭圆的弦长问题】 【例3】（25-26高二上·江苏淮安·阶段检测）已知椭圆与直线交于、两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】将直线的方程与椭圆方程联立，求出两个交点的横坐标，结合弦长公式可求得的值. 【解答过程】设点、，直线的方程可化为， 联立可得，解得，， 由弦长公式可得. 故选：C. 【变式3-1】（2026·湖南邵阳·一模）经过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由椭圆方程求得焦点坐标，从而写出直线方程，联立方程组得一元二次方程，由韦达定理得到两个的和与差，利用交点弦长公式即可求得结果. 【解答过程】，，∴，即， ，∴， 联立方程组得，整理得， 设，，∴，， . 故选：A. 【变式3-2】（25-26高二上·江西九江·阶段检测）已知直线与椭圆交于两点，则的最大值为（     ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【解题思路】设，，联立直线与椭圆方程，求出交点坐标，即可表示出，再由二次函数的性质求最值. 【解答过程】设，，联立，消去整理得， 不妨令或，则，，则，， 所以 ， 所以当，即时，最大值. 故选：C. 【变式3-3】（25-26高二上·重庆·期末）已知椭圆的一个焦点是，过原点的直线与相交于点，，的面积是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设直线方程，联立直线与椭圆，根据的面积求出，利用弦长公式求出弦长. 【解答过程】如图： 由题，不妨设，直线斜率存在， 设直线方程， 联立， ， ， 解得， 故， 故选：D. 【题型4 椭圆的“中点弦”问题】 【例4】（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知直线l与椭圆相交于A，B两点，若弦AB的中点坐标为，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用点差法即可求解. 【解答过程】设， 则，两式相减可得， 即. 因为弦AB的中点坐标为，所以， 所以. 易知，所以， 所以直线l的方程为，化简得. 经验证满足题意，故直线l的方程为. 故选：A. 【变式4-1】（25-26高二上·内蒙古通辽·期中）若椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】中点弦的问题，利用点差法求解即可. 【解答过程】易知点在椭圆内部，则弦所在直线与椭圆必然有两个交点， 设过点与椭圆相交于，两点， 则， 两式相减，得 ， 又，， 所以 ，即直线的斜率为. 所以直线的方程为：，即. 故选：A. 【变式4-2】（25-26高二上·湖北·阶段检测）已知直线与椭圆相交于，两点，若线段的中点坐标为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设， ，利用点差法计算可得. 【解答过程】依题意直线的斜率存在，设， ， 则，即， 又，所以， 即，所以， 即，所以直线的斜率为. 故选：B. 【变式4-3】（25-26高二上·福建厦门·期中）椭圆E：内有一点，则经过P并且以P为中点的弦所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】中点弦问题，利用 “点差法”求解即可. 【解答过程】设过点的直线与椭圆相交于，两点，则 ， 且，两式相减，整理得：， 所以，即直线的斜率为. 故所求直线方程为，即. 故选：C. 【题型5 椭圆中的三角形（四边形）面积问题】 【例5】（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）设椭圆的右焦点为，点在上，且轴，过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，则 的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用条件先确定椭圆的方程，结合点到直线的距离公式、弦长公式计算三角形面积即可. 【解答过程】设椭圆焦距，则由题意知，解之得， 所以，可得直线方程，设， 联立得，则， 所以， 易知O到直线的距离为：，所以 的面积为. 故选：A. 【变式5-1】（25-26高二上·江西抚州·期中）已知直线与椭圆相交于A，B两点，椭圆的两个焦点是，，线段AB的中点为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】运用点差法求得的值，进而求得的值，结合求解即可. 【解答过程】如图所示， 由直线可知，直线斜率， 设，，则①，②， 又因为为线段的中点，则，， 由①②可得，即， 又因为，所以解得， 所以椭圆方程为，经检验点C在椭圆内， 所以，解得，则， 所以. 故选：C. 【变式5-2】（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知椭圆的左､右焦点分别是，直线与交于两点，若的面积是的面积的2倍，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【解题思路】先联立方程组得出判别式大于0，得,再根据点到直线距离得出参数. 【解答过程】联立，化简得, 因为直线与交于两点，所以, 解得,即得, 由已知的面积是的面积的2倍，得, ，解得或， 时，不合题意，故. 故选：B. 【变式5-3】（25-26高二上·湖北武汉·期中）已知中心在原点，焦点在轴上，且离心率为的椭圆与经过点的直线交于两点，若点在椭圆内，的面积被轴分成两部分，且与的面积之比为，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设出直线方程和椭圆方程，把直线方程带入椭圆方程，根据离心率公式及韦达定理即可求出，利用三角形面积公式及基本不等式即可求得面积的最大值. 【解答过程】设椭圆的方程为，直线的方程为， ， 联立整理得： ， 由椭圆的离心率，得， 带入上式并整理得： ， 则， 由与的面积之比为，则， 则， 所以的面积为 ， 当且仅当时，等号成立， 故面积的最大值为 故选：. 【题型6 椭圆中的参数范围及最值】 【例6】（25-26高二上·重庆·期中）已知是椭圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】令与直线平行且与椭圆相切的直线为，与椭圆方程联立，应用求参数值，再由平行线的距离公式求最小距离. 【解答过程】令与直线平行且与椭圆相切的直线为， 联立，则， 所以，可得，即， 所以，所求直线为， 对于，与直线的距离为， 对于，与直线的距离为， 所以最小距离为. 故选：B. 【变式6-1】（25-26高二上·安徽亳州·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上且位于第一象限，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设点，联立直线与的方程求出，同理求出，代入并借助基本不等式求出最大值. 【解答过程】椭圆的焦点，设， 直线的方程为：，由消去， 得，则，同理， 因此. ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 故选：C. 【变式6-2】（25-26高二上·上海杨浦·期中）已知过点D（2，0）的直线l与椭圆 相交于不同的两点A、B，M是弦AB的中点，则 的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】显然直线斜率存在，设其方程为，设，，直线方程代入椭圆方程整理后由韦达定理得，由中点坐标公式表示出中点的横坐标，然后用横坐标表示出并化为的代数式，从而求得最大值． 【解答过程】显然直线斜率存在，设其方程为，设，， 由得，， ，， ∴，， ， ， 又，时取得最大值1， 所以的最小值是． 故选：A． 【变式6-3】（25-26高二上·北京·期中）已知椭圆的上、下顶点为，过点的直线与椭圆相交于两个不同的点（在线段之间），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题意画出图形，分直线的斜率不存在和存在两种情况求解，当直线斜率不存在时，求得，当直线斜率存在时，设出直线方程，和椭圆方程联立，由判别式大于0求得的范围，再结合根与系数的关系写出数量积，由得范围求得的范围． 【解答过程】当直线斜率不存在时，直线方程为，，， 此时； 当直线斜率存在时，设斜率为，设, 则直线方程为， 联立，得， ，得． ， ． ． ，，， 则， 综上，的取值范围是． 故选：D． 【题型7 椭圆中的定点、定值问题】 【例7】（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）已知椭圆上的两个动点P，Q，设，，且线段PQ的垂直平分线经过一个定点，则定点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】在时，将P、Q坐标代入椭圆方程，结合，可得，再引入参数线段PQ中点的纵坐标，用其表示出，再得线段PQ的垂直平分线的方程，分析即可求解. 【解答过程】因为，在椭圆上， 且， 当时，由， 得， 设线段PQ的中点为，所以， 所以线段PQ的垂直平分线的方程为， 即，该直线恒过定点； 当时，线段PQ的垂直平分线也过定点， 综上，线段PQ的垂直平分线恒过定点 故选：A． 【变式7-1】（25-26高二上·辽宁·期末）已知椭圆，直线过右焦点交椭圆于，两点，在椭圆长轴所在直线上必存在一点，使为定值，则点坐标为（   ） A． B． C． D．（2，0） 【答案】B 【解题思路】设直线方程为，，联立方程组结合韦达定理可得，设长轴上的点，可得，可求定点的坐标，验证斜率为0的情况即可. 【解答过程】椭圆，直线过右焦点， 当直线的斜率不为0时，设直线方程为，， 由，消去得，， 整理得，所以， 设长轴上的点， 可得， 所以 ， 当且仅当时，即时， 为定值，此时点坐标为， 当直线直线的斜率为0时，，计算可得， 所以在椭圆长轴所在直线上必存在一点，使为定值，且点坐标为. 故选：B. 【变式7-2】（25-26高三上·北京·阶段检测）已知椭圆经过点. (1)求椭圆的方程及离心率； (2)设椭圆的左顶点为，直线与相交于两点，直线与直线相交于点. 问: 直线是否过定点? 若过定点，求出该点坐标; 若不过定点， 说明理由. 【答案】(1); (2)直线过定点 【解题思路】（1）根据椭圆经过点即可求得椭圆方程，利用离心率公式即可求离心率； （2）写出直线的方程为，即可求得点，再利用点斜式表示得直线的方程为，即可求出与轴的交点，利用韦达定理等量替换即可求出直线NQ恒过的定点. 【解答过程】（1）因为椭圆经过点， 所以，解得， 所以椭圆E的方程为， 因为所以， 所以离心率为. （2）直线过定点，理由如下： 由可得， 显然， 设则有 直线的方程为 令，解得，则， 所以直线的斜率为且， 所以直线的方程为 令，则 ， 所以直线过定点. 【变式7-3】（25-26高二上·北京·期中）已知椭圆，其离心率为，且过点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设椭圆C的左、右顶点分别为A和B，求直线HA，HB的斜率之和； (3)过点的直线交椭圆C于P，Q两点（异于点H），设直线HP，HQ的斜率分别为，，证明：为定值． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【解题思路】（1）根据椭圆离心率及所过点列出方程组求解即得. （2）由（1）求出点坐标，再利用斜率坐标公式计算得解. （3）根据给定条件，设出直线的方程，并与椭圆方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式计算得证. 【解答过程】（1）由椭圆的离心率为，得，则， 由椭圆过点，得，联立解得， 所以椭圆C的标准方程为. （2）由（1）得，直线的斜率， 所以直线的斜率之和为. （3）由直线过点，且交椭圆于两点，得直线的斜率存在， 当直线的斜率为0时，其方程为，不妨令点，由（2）知； 当直线的斜率不为0时，设其方程为，， 由消去并整理得， ，解得或，， 因此 ， 所以为定值. 【题型8 椭圆中的定直线问题】 【例8】（25-26高二上·北京西城·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，上顶点为，是边长为2的等边三角形. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆交于，两点，点是线段上一点，且满足.求证：点在一条定直线上. 【答案】(1)； (2)证明详见解析. 【解题思路】（1）由题设结合椭圆中的几何意义及其关系即可求解； （2）先由题设直线，与椭圆联立得韦达定理，将韦达定理代入转换化简后的代数式求出点T的横坐标为定值即可得证. 【解答过程】（1）由题可得即， 所以， 所以椭圆的标准方程为； （2）证明：由题可知直线l斜率存在，设直线， 联立， 则，即， 由题可设，， 则，且， 所以， ， 同理，， 所以由得即， 又由题意可知， 所以，所以，整理得， 所以，整理并化简得， 所以，在定直线上.    【变式8-1】（25-26高二下·湖北·期中）已知椭圆焦距为4，短轴长为4． (1)求椭圆的方程． (2)若椭圆与轴的交点为A，B（点位于点的上方），直线与椭圆交于不同的两点M，N．设直线AN与直线BM相交于点．试问点是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)在定直线上 【解题思路】（1）根据条件，可得b，c的值，根据的关系，可得的值，即可得答案. （2）将直线l与椭圆联立，根据韦达定理，可得表达式，求出直线AN、BM的方程，联立求解，化简整理，即可得答案. 【解答过程】（1）依题意可得，解得，则， 所以椭圆的方程为； （2）点在定直线上，理由如下： 设点， 联立，与直线联立消去，整理得， 由，得 且， 所以， 易知，则， 两式作商得，解得， 故在定直线上． 【变式8-2】（24-25高二下·广东·阶段检测）已知椭圆过点，直线与交于两点. (1)求的方程； (2)若，求的值； (3)已知的上，下顶点分别为，记直线交于点，证明：点在定直线上，并求出该直线方程. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析， 【解题思路】（1）将点代入方程，得到方程组计算即可；（2）设，直曲联立，借助韦达定理和弦长公式计算即可； （3）设，根据在同一条直线上，得， 再根据在同一条直线上，得到， 结合韦达定理算出，求出即可. 【解答过程】（1）依题意， 解得故的方程为. （2）设， 由得， 所以，解得， 所以， 所以， 解得（负值舍去），故. （3）证明：设，因为，且在同一条直线上， 所以， 又在同一条直线上， 所以， 所以， 所以，即点在直线上. 【变式8-3】（25-26高二上·江苏徐州·期中）已知椭圆C：（）的右焦点为，点在C上，直线l经过F且与C交于两点（不在x轴上）. (1)求C的方程； (2)若直线l的斜率为，求； (3)设分别为C的左，右顶点，直线与交于点T.证明：点T在定直线上. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【解题思路】(1)利用已知条件列方程组求参数即可； (2)利用直线与椭圆联立方程组，结合弦长公式求解即可； (3)利用直线与椭圆联立，再用坐标去表示两直线方程，然后消，去求解交点的横坐标，再由根与系数关系，即可求得，从而问题得证. 【解答过程】（1）点在C上得：， 右焦点为得：，联立解得：， 所以椭圆方程为； （2）直线l经过F且斜率为，则直线方程为，与椭圆联立， 消得：， 设交点，则， 由弦长公式可得：； （3）    设直线l方程为，与椭圆联立， 消得：， 设交点，则， 由分别为C的左，右顶点，则， 所以直线方程为：，直线方程为：， 两式消得：， 整理得： 由可得：， 所以有， 即点T在定直线上. 模块四 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高二上·福建宁德·阶段检测）直线与椭圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定，与的取值有关 【答案】A 【解题思路】分析直线的特点，联立直线与椭圆的方程，根据判别式确定位置关系 【解答过程】直线，化简可得：，则直线过定点， 将定点代入椭圆方程，则得到：， 因为，所以定点在椭圆的内部， 所以过定点的直线与椭圆相交. 故选：A. 2．（25-26高二上·重庆·期末）过点的直线与椭圆交点个数有（    ） A．0 个 B．1 个 C．1 个或 2 个 D．2 个 【答案】C 【解题思路】判断点与椭圆的位置关系是点在椭圆上，则可判断出过点 的直线与椭圆交点个数. 【解答过程】，在椭圆上， 过点 的直线与椭圆交点个数有1 个或 2 个. 故选：C. 3．（25-26高二上·福建泉州·期末）过椭圆的一个焦点作轴的垂线，若交于，两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据方程及a，b，c的关系，可得c值，不妨设l过右焦点，可得A，B点的横坐标，代入椭圆方程，可得纵坐标，即可得答案, 【解答过程】根据椭圆方程可得，则，解得 不妨设l过右焦点，A点在第一象限，则， 代入椭圆方程可得， 所以 故选：D. 4．（25-26高二上·浙江温州·期末）已知直线与曲线有两个公共点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】当直线l与椭圆上半部分有两个交点时，直线l的斜率k介于直线l与椭圆上半部分相切时的斜率和直线l过椭圆上半部分右顶点时的斜率之间. 【解答过程】直线过定点，曲线是椭圆的上半部分， 当直线l与椭圆上半部分有两个交点时，直线l的斜率k介于直线l与椭圆上半部分相切时的斜率 和直线l过椭圆上半部分右顶点时的斜率之间，直线l与椭圆上半部分相切时的斜率为， 直线l过椭圆上半部分右顶点时的斜率为， 所以k的取值范围为. 故选：B. 5．（25-26高二上·湖南常德·期末）椭圆中，以为中点的弦所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先利用点差法求得直线的斜率，再利用点斜式即可求得所求直线方程. 【解答过程】因为，所以点在椭圆内， 又不在坐标轴上，故以为中点的弦所在的直线斜率存在， 设以点为中点的弦的两端的坐标分别为， 则，由，两式相减， 得，则， 设以点为中点的弦所在直线斜率为，则， 所以所求直线方程为：，即. 故选：C. 6．（25-26高二上·福建福州·期末）已知直线与以为焦点的椭圆有且仅有一个公共点，则椭圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设椭圆方程为，其中，再将其与直线方程联立，根据判别式等于0即可. 【解答过程】因为该椭圆是以为焦点的椭圆， 则可设其标准方程为，其中， 联立得， 则，结合，解得， 则椭圆方程为. 故选：B. 7．（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知椭圆（且）与直线相交于A，B两点，且线段AB的中点的横坐标为1，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【解题思路】利用点差法得到关于的方程，解出后验证即可. 【解答过程】设，两点的坐标分别为，，则， 又两式作差得， 故，所以，解得． 此时椭圆方程为，联立直线方程有， ，则此时直线与椭圆有两个交点，符合题意. 故选：B． 8．（25-26高二下·湖北荆门·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于点A，B两点，若面积是的2倍，则（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【解题思路】根据面积公式结合定义计算求解得出或，再联立方程结合判别式计算求解. 【解答过程】设直线与x轴的交点为M，则． 所以，． 因为，所以． 由得，即，，． 所以，解得或． 因为与C有两个交点，联立消y得， 则，解得．所以 故选：C. 二、多选题 9．（25-26高二上·江苏淮安·期中）平面直角坐标系中椭圆的中心为原点，焦点在坐标轴上，点、均在椭圆上，则（    ） A．点在椭圆上 B．椭圆的离心率为 C．直线与椭圆相交 D．若椭圆上弦的中点坐标为，则直线的斜率为 【答案】BC 【解题思路】求出椭圆的方程，利用点与椭圆的位置关系可判断A选项；利用椭圆的离心率公式可判断B选项；利用直线与椭圆的位置关系可判断C选项；利用点差法可判断D选项. 【解答过程】设椭圆的方程为，由题意可得，解得， 故椭圆的方程为， 对于A选项，因为，故点不在椭圆上，A错； 对于B选项，，，则， 所以椭圆的离心率为，B对； 对于C选项，直线的方程可化为，该直线过定点， 因为，则点在椭圆内，故直线与椭圆相交，C对； 对于D选项，若的斜率不存在，则线段的中点在轴上，不合乎题意， 所以直线的斜率存在，设点、，由题意可得， 因为，两个等式作差得， 所以，故，D错. 故选：BC. 10．（25-26高二上·湖北·期中）已知椭圆C：内一点，直线l与椭圆C交于A，B两点，且M为线段AB的中点，则下列结论不正确的是（   ） A．C的焦点坐标为， B．C的长轴长为 C．直线l的方程为 D． 【答案】AB 【解题思路】由椭圆标准方程确定，即可得到选项A，B错误；利用点差法可求直线方程，得到选项C正确；联立直线和椭圆方程，利用弦长公式可得选项D正确. 【解答过程】由，得椭圆焦点在轴上，且，， 则，，， 所以椭圆的焦点坐标为，，长轴长为，故选项A、B错误； 设，，则，， 两式作差得， 因为为线段的中点，所以，， 所以， 所以直线的方程为，即，所以选项C正确； 由，得，则，， 所以，所以选项D正确． 故选：AB． 11．（25-26高二上·重庆大足·期中）已知，分别为椭圆C：的左右焦点，不过原点且斜率为1的直线与椭圆C交于P， Q两点，则下列结论正确的有（    ） A．椭圆离心率为 B．椭圆长轴长为 C．若点M是线段PQ中点，则MO的斜率为 D．的面积最大值为 【答案】BD 【解题思路】由标准方程得到的值可直接得到离心率和长轴的长，再设出直线方程与椭圆联立可求出线段PQ中点坐标，进而求出MO的斜率，最后利用弦长公式、点到直线的距离公式表示出的面积，利用基本不等式求出面积的最大值. 【解答过程】由椭圆的方程，得到 ，所以 ，所以离心率，选项A错误； 长轴长为，选项B正确； 设不过原点且斜率为1的直线为， 联立椭圆的方程得到 ， ，得到 所以 ，所以， 所以线段PQ中点M坐标为 ，所以MO的斜率为，选项C错误； ； 点到直线的距离为 ，所以 当且仅当，即 时等号成立，选项D正确； 故选：BD. 三、填空题 12．（25-26高二上·上海·期中）若直线与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，则n的取值范围是___________. 【答案】 【解题思路】由题意直线恒过的定点在椭圆上或椭圆内，结合表示焦点在轴上的椭圆，即可列不等式求解. 【解答过程】直线恒过定点，若直线与椭圆总有公共点， 则定点在椭圆上或椭圆内，，解得或， 又表示焦点在轴上的椭圆，故，. 故答案为：. 13．（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）若椭圆的弦恰好被点平分，则所在的直线方程为___________． 【答案】 【解题思路】利用点差法解决中点弦问题，即可求得结果. 【解答过程】由题意，直线的斜率存在，设，则， 因为点在椭圆上，所以， 两式相减得，，即， 整理得，即， 所以直线的斜率为，则直线的方程为， 即． 故答案为：. 14．（25-26高二上·广东·期末）椭圆的左焦点为F，过F且斜率为的直线与椭圆交于A、B两点，则弦长__________. 【答案】 【解题思路】求出直线方程，与椭圆方程联立表示出，代入弦长公式求解. 【解答过程】由椭圆方程可得，所以， 所以左焦点为，则过且斜率为的直线方程为， 由可得，即， 设，则， 所以， 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高二上·全国·期末）已知椭圆（）长轴长为4，且椭圆C的离心率，其左右焦点分别为，.直线. (1)求椭圆C的方程； (2)当直线l与椭圆C有两个公共点时，求m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据椭圆长轴长与离心率求出代入椭圆的标准方程即可. （2）联立直线方程与椭圆方程，有两个公共点即联立后的方程有两根，结合根的判别式即可求出的取值范围. 【解答过程】（1）由题设，则，故椭圆； （2）联立，则，化简得：， 由直线与椭圆有两个公共点，则，得. 故m的取值范围是. 16．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·阶段检测）已知椭圆的长轴长为6，是上的一点． (1)求的离心率； (2)若直线与交于两点，且弦的中点为，求的斜率． 【答案】(1) (2)2 【解题思路】（1）由椭圆的长轴及点在椭圆上建立方程，解得，即可求得椭圆离心率； （2）由（1）得到椭圆方程，设交点坐标，然后代入椭圆方程，由中点坐标即可求出直线斜率. 【解答过程】（1）由题可知， 解得， 则的离心率. （2）由（1）可知的方程为， 设， 则， 则， 整理得. 因为弦的中点为，所以， 则的斜率. 17．（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知椭圆的离心率为且经过点.试求： (1)求椭圆的标准方程； (2)是否存在过点与（1）中曲线C相交所得弦长的直线，若存在，求直线的方程；若不存在，试说明理由. 【答案】(1) (2)存在，或. 【解题思路】（1）由题设可得，，结合即可求出，进而求解即可； （2）分直线的斜率不存在、存在，两种情况结合弦长公式讨论求解即可. 【解答过程】（1）根据题意，椭圆的离心率为，则①， 又因为椭圆过点，则②，又③， 由①②③联立解得，，所以椭圆的标准方程为. （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时，不满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线：，与曲线的交点为，， 联立，得，则， 且，， 则， 整理得，所以或（舍）. 经检验，符合题意， 所以直线的方程为，即或.    18．（25-26高二上·广东东莞·期中）在平面直角坐标系中，椭圆的两个焦点分别是，并且经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)过的直线与椭圆相交于两点，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设椭圆标准方程，由椭圆上的点和焦点建立方程组，即可解得椭圆标准方程； （2）设直线的方程，联立方程组并整理得到一元二次方程，设交点坐标，由韦达定理写出交点坐标与参数的关系.并代入三角形面积公式，借助基本不等式即可求得最大值. 【解答过程】（1）设椭圆方程为，由题意可知 则，∴， 即椭圆. （2）设直线， 联立方程组得，整理后得， 令，则， ， 令，则，∴， ∵，当且仅当，即时取等号， ∴. 19．（25-26高二上·河南漯河·期中）椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，点为椭圆上的两个不同的动点，线段的最小值为. (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线的斜率为，直线的斜率为.若在轴上方，且，求证：直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）利用椭圆的离心率，及椭圆上的点到焦点的最小距离列式求出，即得椭圆方程； （2）设直线的方程为：，与椭圆方程联立，求得韦达定理，利用化简后代入韦达定理，推得，即可证明直线过定点. 【解答过程】（1）由题意，即，因点为椭圆上的点，故线段的最小值为， 联立两方程解得，则， 故椭圆的标准方程为； （2）依题意，直线的斜率必存在，可设其方程为：， 由，消去可得：， 因， 设，则， 由可得. 即，整理得， 将韦达定理代入，可得， 即，化简得，此时经检验符合题意， 故直线的方程为：，恒过定点.    第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16讲 直线与椭圆的位置关系（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 直线与椭圆的位置关系 上一节学习了椭圆的方程和椭圆的几何性质，研究了椭圆的几何特征.下面继续研究直线与椭圆有什么样的位置关系? 【知识点1 直线与椭圆的位置关系】 1．点与椭圆的位置关系 (1)点与椭圆的位置关系： (2)对于点与椭圆的位置关系，有如下结论： 点在椭圆外+>1; 点在椭圆内+<1; 点在椭圆上+=1. 2．直线与椭圆的位置关系 (1)直线与椭圆的三种位置关系 类比直线与圆的位置关系，直线与椭圆有相离、相切、相交三种位置关系，如图所示. (2)利用方程讨论直线与椭圆的位置关系： Δ>0⇔直线与椭圆相交⇔有两个公共点； Δ=0⇔直线与椭圆相切⇔有且只有一个公共点； Δ<0⇔直线与椭圆相离⇔无公共点. 【题型1 直线与椭圆的位置关系的判定】 【例1】（25-26高二上·江西·期末）直线与椭圆（）的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【变式1-1】（25-26高二上·河南·阶段检测）直线与椭圆的位置关系为（    ） A．与k的值有关 B．相切 C．相离 D．相交 【变式1-2】（25-26高二上·重庆·期末）已知直线的方程为，椭圆的方程为，则直线与椭圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 【变式1-3】（25-26高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知直线，椭圆，则与的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切 【题型2 根据直线与椭圆的位置关系求参数】 【例2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知直线：与椭圆：有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二上·全国·单元测试）若直线与椭圆没有公共点，则的取值范围为____________． 【变式2-3】（25-26高二下·上海浦东新·期中）若对任意的实数，直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围为____________. 模块三 弦长与“中点弦”问题 【知识点2 椭圆的弦长与“中点弦”问题】 1．弦长问题 (1)定义：直线与椭圆的交点间的线段叫作椭圆的弦. (2)弦长公式：设直线l:y=kx+m交椭圆(a>b>0)于，两点， 则或. 2．“中点弦”问题 (1)解决椭圆中点弦问题的两种方法 ①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根 与系数的关系以及中点坐标公式解决. ②点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中 点坐标和斜率的关系. 设，，代入椭圆方程(a>b>0)， 得， ①-②可得， 设线段AB的中点为，当时，有. 因为为弦AB的中点，从而转化为中点与直线AB的斜率之间的关系，这就是处理弦 中点轨迹问题的常用方法. (2)弦的中点与直线的斜率的关系 线段AB是椭圆(a>b>0)的一条弦，当弦AB所在直线的斜率存在时，弦AB的中点M的坐 标为，则弦AB所在直线的斜率为，即. 【题型3 椭圆的弦长问题】 【例3】（25-26高二上·江苏淮安·阶段检测）已知椭圆与直线交于、两点，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·湖南邵阳·一模）经过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高二上·江西九江·阶段检测）已知直线与椭圆交于两点，则的最大值为（     ） A．2 B． C． D．4 【变式3-3】（25-26高二上·重庆·期末）已知椭圆的一个焦点是，过原点的直线与相交于点，，的面积是，则（    ） A． B． C． D． 【题型4 椭圆的“中点弦”问题】 【例4】（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知直线l与椭圆相交于A，B两点，若弦AB的中点坐标为，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高二上·内蒙古通辽·期中）若椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高二上·湖北·阶段检测）已知直线与椭圆相交于，两点，若线段的中点坐标为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高二上·福建厦门·期中）椭圆E：内有一点，则经过P并且以P为中点的弦所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【题型5 椭圆中的三角形（四边形）面积问题】 【例5】（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）设椭圆的右焦点为，点在上，且轴，过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，则 的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高二上·江西抚州·期中）已知直线与椭圆相交于A，B两点，椭圆的两个焦点是，，线段AB的中点为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知椭圆的左､右焦点分别是，直线与交于两点，若的面积是的面积的2倍，则（    ） A． B． C． D．或 【变式5-3】（25-26高二上·湖北武汉·期中）已知中心在原点，焦点在轴上，且离心率为的椭圆与经过点的直线交于两点，若点在椭圆内，的面积被轴分成两部分，且与的面积之比为，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【题型6 椭圆中的参数范围及最值】 【例6】（25-26高二上·重庆·期中）已知是椭圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高二上·安徽亳州·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上且位于第一象限，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高二上·上海杨浦·期中）已知过点D（2，0）的直线l与椭圆 相交于不同的两点A、B，M是弦AB的中点，则 的最小值为（     ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26高二上·北京·期中）已知椭圆的上、下顶点为，过点的直线与椭圆相交于两个不同的点（在线段之间），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型7 椭圆中的定点、定值问题】 【例7】（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）已知椭圆上的两个动点P，Q，设，，且线段PQ的垂直平分线经过一个定点，则定点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高二上·辽宁·期末）已知椭圆，直线过右焦点交椭圆于，两点，在椭圆长轴所在直线上必存在一点，使为定值，则点坐标为（   ） A． B． C． D．（2，0） 【变式7-2】（25-26高三上·北京·阶段检测）已知椭圆经过点. (1)求椭圆的方程及离心率； (2)设椭圆的左顶点为，直线与相交于两点，直线与直线相交于点. 问: 直线是否过定点? 若过定点，求出该点坐标; 若不过定点， 说明理由. 【变式7-3】（25-26高二上·北京·期中）已知椭圆，其离心率为，且过点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设椭圆C的左、右顶点分别为A和B，求直线HA，HB的斜率之和； (3)过点的直线交椭圆C于P，Q两点（异于点H），设直线HP，HQ的斜率分别为，，证明：为定值． 【题型8 椭圆中的定直线问题】 【例8】（25-26高二上·北京西城·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，上顶点为，是边长为2的等边三角形. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆交于，两点，点是线段上一点，且满足.求证：点在一条定直线上. 【变式8-1】（25-26高二下·湖北·期中）已知椭圆焦距为4，短轴长为4． (1)求椭圆的方程． (2)若椭圆与轴的交点为A，B（点位于点的上方），直线与椭圆交于不同的两点M，N．设直线AN与直线BM相交于点．试问点是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 【变式8-2】（24-25高二下·广东·阶段检测）已知椭圆过点，直线与交于两点. (1)求的方程； (2)若，求的值； (3)已知的上，下顶点分别为，记直线交于点，证明：点在定直线上，并求出该直线方程. 【变式8-3】（25-26高二上·江苏徐州·期中）已知椭圆C：（）的右焦点为，点在C上，直线l经过F且与C交于两点（不在x轴上）. (1)求C的方程； (2)若直线l的斜率为，求； (3)设分别为C的左，右顶点，直线与交于点T.证明：点T在定直线上. 模块四 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高二上·福建宁德·阶段检测）直线与椭圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定，与的取值有关 2．（25-26高二上·重庆·期末）过点的直线与椭圆交点个数有（    ） A．0 个 B．1 个 C．1 个或 2 个 D．2 个 3．（25-26高二上·福建泉州·期末）过椭圆的一个焦点作轴的垂线，若交于，两点，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·浙江温州·期末）已知直线与曲线有两个公共点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·湖南常德·期末）椭圆中，以为中点的弦所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·福建福州·期末）已知直线与以为焦点的椭圆有且仅有一个公共点，则椭圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知椭圆（且）与直线相交于A，B两点，且线段AB的中点的横坐标为1，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 8．（25-26高二下·湖北荆门·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于点A，B两点，若面积是的2倍，则（    ） A． B．或 C． D． 二、多选题 9．（25-26高二上·江苏淮安·期中）平面直角坐标系中椭圆的中心为原点，焦点在坐标轴上，点、均在椭圆上，则（    ） A．点在椭圆上 B．椭圆的离心率为 C．直线与椭圆相交 D．若椭圆上弦的中点坐标为，则直线的斜率为 10．（25-26高二上·湖北·期中）已知椭圆C：内一点，直线l与椭圆C交于A，B两点，且M为线段AB的中点，则下列结论不正确的是（   ） A．C的焦点坐标为， B．C的长轴长为 C．直线l的方程为 D． 11．（25-26高二上·重庆大足·期中）已知，分别为椭圆C：的左右焦点，不过原点且斜率为1的直线与椭圆C交于P， Q两点，则下列结论正确的有（    ） A．椭圆离心率为 B．椭圆长轴长为 C．若点M是线段PQ中点，则MO的斜率为 D．的面积最大值为 三、填空题 12．（25-26高二上·上海·期中）若直线与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，则n的取值范围是___________. 13．（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）若椭圆的弦恰好被点平分，则所在的直线方程为___________． 14．（25-26高二上·广东·期末）椭圆的左焦点为F，过F且斜率为的直线与椭圆交于A、B两点，则弦长__________. 四、解答题 15．（25-26高二上·全国·期末）已知椭圆（）长轴长为4，且椭圆C的离心率，其左右焦点分别为，.直线. (1)求椭圆C的方程； (2)当直线l与椭圆C有两个公共点时，求m的取值范围. 16．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·阶段检测）已知椭圆的长轴长为6，是上的一点． (1)求的离心率； (2)若直线与交于两点，且弦的中点为，求的斜率． 17．（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知椭圆的离心率为且经过点.试求： (1)求椭圆的标准方程； (2)是否存在过点与（1）中曲线C相交所得弦长的直线，若存在，求直线的方程；若不存在，试说明理由. 18．（25-26高二上·广东东莞·期中）在平面直角坐标系中，椭圆的两个焦点分别是，并且经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)过的直线与椭圆相交于两点，求面积的最大值． 19．（25-26高二上·河南漯河·期中）椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，点为椭圆上的两个不同的动点，线段的最小值为. (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线的斜率为，直线的斜率为.若在轴上方，且，求证：直线过定点. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $