专题24 双曲线及其标准方程（3知识点+6大题型+思维导图+过关检测）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

专题24 双曲线及其标准方程 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：双曲线的定义 1、定义：在平面内与两个定点、的距离之差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线．两个定点、称为焦点；两焦点的距离叫做双曲线的焦距，表示为． 2、双曲线的集合表示：． 注意：（1）若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件： （），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； （），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； （2）若常数满足约束条件：， 则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； （3）若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； （4）若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。 知识点02：双曲线的标准方程 1、双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 （） （） 图象 焦点坐标 ， ， 的关系 2、待定系数法求双曲线标准方程 知识点03：双曲线的焦点三角形 求双曲线中的焦点三角形面积的方法 （1）①根据双曲线的定义求出； ②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出的值； ④利用公式求得面积。 （2）利用公式求得面积； 【题型01：双曲线的定义及辨析】 一、单选题 1．（24-25高二上·北京延庆·期末）已知是双曲线上的动点，则到双曲线两个焦点距离之差的绝对值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得，即； 再由双曲线定义可得到双曲线两个焦点距离之差的绝对值为. 故选：B 2．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）已知，，动点P满足，则点P的轨迹是（   ） A．椭圆 B．双曲线的一支 C．双曲线 D．射线 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义可求得结果. 【详解】因为，，所以， 则，由双曲线的定义可知，点P的轨迹为双曲线的一支. 故选：B. 3．（24-25高二上·山西晋中·月考）双曲线的两个焦点分别是与，焦距为8；M是双曲线上的一点，且，则的值为（   ）. A．9 B．1 C．1或9 D．2 【答案】A 【分析】根据焦距，可得值，根据的关系，可得值，根据双曲线定义，分类讨论，即可求得答案. 【详解】因为，所以， 所以，解得， 根据双曲线定义可得， 所以，解得或， 当时，不合题意，故舍去， 当时，，满足题意， 综上，. 故选：A 4．（24-25高二下·河南·月考）双曲线：上的点到右焦点的距离为19，则它到左焦点的距离为（    ） A．9 B．7 C．9或29 D．7或19 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义来求解点到左焦点的距离. 【详解】对于双曲线，可得，则. 设双曲线的左右焦点分别为，已知点到右焦点的距离为19，即. 根据双曲线的定义，则有. 可得或. 当时，； 当时，. 所以点到左焦点的距离为或. 故选：C. 5．已知动点满足，则动点P的轨迹是（　　） A．双曲线 B．双曲线左支 C．双曲线右支 D．一条射线 【答案】C 【分析】根据 表示动点到点与的距离之差为2，再结合双曲线的定义求解. 【详解】解：因为 的几何意义是动点到点与的距离之差为2， 又因为， 所以由双曲线的定义，知动点P的轨迹是双曲线右支． 故选：C 6．（24-25高二上·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，点是平面内一个动点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则点的轨迹为椭圆 B．若，则点的轨迹为椭圆 C．若，则点的轨迹为直线 D．若，则点的轨迹为双曲线的一支 【答案】D 【分析】根据椭圆、双曲线的定义一一判断即可. 【详解】由，结合椭圆的定义，显然的轨迹不是椭圆而是线段，故A错误； 设，由，所以， 整理得，所以点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，故B错误； 由，则点的轨迹为以为端点（向右）的射线，故C错误； 由，根据双曲线的定义，则点的轨迹为双曲线的右支，故D正确. 故选：D 【题型02：求双曲线的标准方程】 一、单选题 1．（24-25高二上·四川成都·期末）设为定点，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知条件知，点的运动轨迹是以为焦点的双曲线，从而可求得轨迹的方程. 【详解】， 动点的轨迹是以为焦点的双曲线，且， ，双曲线的方程为. 故选：B. 2．（24-25高二上·北京·月考）化简方程的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由双曲线定义即可求解. 【详解】设动点，则由题意可得， 所以动点到两个定点的距离的差的绝对值等于常数8，又， 所以由双曲线定义可知P点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线， 所以，， 所以双曲线的方程为. 故选：D. 3．（23-24高二上·云南迪庆·期末）已知点，，动点满足条件.则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义可得答案. 【详解】，由， 结合双曲线定义可知动点的轨迹为以，为焦点的双曲线右支， 在双曲线中，，可得，， 所以， 动点的轨迹方程为. 故选：A. 4．（24-25高二上·内蒙古包头·期中）过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断椭圆的焦点位置，求出其半焦距，设出双曲线方程，依题意列出方程组，解之即得. 【详解】由可知椭圆焦点在轴上，且， 故可设所求双曲线方程为：，依题得：， 解得：，故所求的双曲线方程为：. 故选：D. 5．（24-25高二上·河北·期中）已知双曲线经过点，则其标准方程为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】设双曲线方程为，然后代点计算即可求得，从而求解. 【详解】设双曲线方程为， 则，解得， 所以双曲线的标准方程为. 故选：A. 【题型03：判断方程是否表示双曲线】 一、单选题 1．（24-25高二上·北京大兴·期末）已知双曲线的焦点在x轴上，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程表示的双曲线特征，列相应不等式，即可求解. 【详解】由双曲线的焦点在x轴上， 可得，即m的范围为， 故选：D 2．（24-25高二上·四川内江·期末）若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，求解关于的一元二次不等式得答案． 【详解】解：方程表示双曲线， ，解得或 的取值范围是 故选：D. 3．（24-25高二上·山东青岛·月考）关于 的方程 ，给出以下说法错误的为（     ） A．方程可以表示双曲线 B．方程可以表示椭圆 C．方程可以表示圆 D．当方程表示双曲线时， 焦距为定值 【答案】C 【分析】根据的值，结合圆与圆锥曲线的方程特征即可判断各选项. 【详解】对于A，若方程表示双曲线，则，即，所以方程可以表示双曲线，故A正确； 对于B，若方程表示椭圆，则，即，所以方程可以表示椭圆，故B正确； 对于C，若方程表示圆，则，方程无解，所以方程不可以表示圆，故C错误； 对于D，由A可知当方程表示双曲线时，，所以焦距为，故D正确. 故选：C. 4．（24-25高二上·云南临沧·月考）当从0到逐渐变大时，方程表示的曲线依次为（    ） A．圆，椭圆，两条直线，双曲线 B．圆，椭圆，双曲线 C．椭圆，一条射线，双曲线，圆 D．圆，椭圆，一条直线，双曲线 【答案】A 【分析】根据的变化规律得出对应的余弦值的大小，再由圆、椭圆、双曲线等标准方程对应即可得出结论. 【详解】①当时，，曲线，表示圆； ②当时，，曲线表示椭圆； ③当时，，曲线即，表示两条直线； ④当时，，曲线表示双曲线. 故选：A. 二、填空题 5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知方程所表示的曲线为双曲线，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】化为双曲线的一般形式，分焦点在与轴上分别列不等式组解答即可； 【详解】当时，显然不为双曲线； 当时，可化为， 若双曲线的焦点在轴， 则满足解得， 若双曲线的焦点在轴， 则满足解得. 综上所述，的取值范围为. 故答案为：. 6．（23-24高二上·重庆·期末）若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据双曲线焦点在x轴上有，求解即可得出参数m范围. 【详解】因方程表示焦点在x轴上的双曲线， 则有，解得， 故答案为：. 【题型04：双曲线中的焦点三角形问题】 一、单选题 1．（24-25高二上·北京·月考）设，分别是双曲线的下、上焦点，是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（    ） A．12 B．24 C． D． 【答案】B 【分析】利用条件及双曲线的定义求出，进而可得为直角三角形，然后直接求面积即可. 【详解】由双曲线得， 又，且， 得到， 所以， 即为直角三角形， 所以. 故选：B. 2．（24-25高二下·安徽·月考）设P是双曲线右支上一点，，分别是双曲线C的左、右焦点，O为坐标原点，Q为线段的中点，若，则的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】利用双曲线的标准方程，结合双曲线的定义，可得问题答案. 【详解】由双曲线，则， 由于为的中点，Q为线段的中点，且， 所以，则. 故选：C. 3．（24-25高二上·河北衡水·月考）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且椭圆与双曲线在第一象限的交点为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线以及椭圆的定义可得，即可利用余弦定理求解. 【详解】由双曲线方程知，焦点为，则椭圆中，    由双曲线和椭圆的定义知：，， 所以，又， 则. 故选：C 4．（24-25高二上·江苏泰州·期中）已知双曲线C：的左右焦点为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若，则的周长为（    ） A．12 B．14 C．10 D．8 【答案】A 【分析】由双曲线的定义求解即可； 【详解】 由题意可得， 的周长为， 由双曲线定定义可得， 又 所以， 所以的周长为12， 故选：A 5．（24-25高二上·河南·月考）已知，分别是双曲线：的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于，则（   ） A． B．6 C． D．3 【答案】A 【分析】利用余弦定理及双曲线的定义求出，再由面积公式计算可得. 【详解】由余弦定理得 ， ∴， ∴，∴（负值已舍去）. 故选：A． 二、填空题 6．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的标准方程为，左、右焦点分别为，且双曲线上有一点使得，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】设，根据，列出方程，求得，代入双曲线的方程，即可求解. 【详解】由双曲线的方程，可得，则， 设，则，解得， 因为点在双曲线上，代入可得，解得，故. 故答案为：. 7．（24-25高二上·陕西西安·月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支上，则的内切圆与轴的切点横坐标为 ． 【答案】a 【分析】利用圆的切线的性质及双曲线的定义即得. 【详解】由题知， 设内切圆与x轴的切点为，与内切圆的切点分别为， 由双曲线定义有，得， 由圆的切线长定理知，，即 ， 即， 设内切圆的圆心横坐标为x，则点H的横坐标为x， 所以， 故答案为： 【题型05：双曲线中的轨迹方程问题】 一、单选题 1．（24-25高二上·云南·月考）设两点的坐标分别为，，直线与相交于点，且它们的斜率之积为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用给定条件直接求解动点的轨迹方程即可. 【详解】设点，则的斜率为，的斜率为， 故， 所以，故D正确. 故选：D 2．（23-24高二上·四川成都·期末）相距1400m的A，B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s，已知声速是340m/s，炮弹爆炸点一定在曲线（    ）的方程上. A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义进行求解即可. 【详解】设炮弹爆炸点为， 由题意可知：， 显然点的轨迹是以A，B的焦点的双曲线，因此有， 可得：，于是有， 根据四个选项可知，只有选项D符合， 故选： 3．（23-24高二上·重庆·期中）已知，圆，动圆经过点且与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先得到圆心坐标与半径，设动圆的半径为，分两圆相内切与外切两种情况讨论，结合双曲线的定义计算可得. 【详解】圆，即，圆心为，半径， 设动圆的半径为， 若动圆与圆相内切，则圆在圆内，所以，， 所以， 所以动点是以、为焦点的双曲线的右支，且、， 所以， 所以动圆圆心的轨迹方程是， 若动圆与圆相外切，所以，， 所以， 所以动点是以、为焦点的双曲线的左支，且、， 所以， 所以动圆圆心的轨迹方程是， 综上可得动圆圆心的轨迹方程是. 故选：C 二、填空题 4．（23-24高二上·河南周口·期末）动点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，则动点M的轨迹方程是 ． 【答案】 【分析】利用直接法建立等式，化简即可. 【详解】解：动点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数， 所以，即， 展开整理得． 故答案为：． 5．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知P为圆C：上任意一点，．若线段的垂直平分线交直线于点Q，则点Q的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】由题意可得点满足双曲线的定义，且求得，的值，再由求得，则点的轨迹的方程可求． 【详解】解：由点是线段垂直平分线上的点， ， 又， 满足双曲线定义且，， ， 轨迹方程：． 故答案为：． 【题型06：双曲线中的距离最值问题】 一、单选题 1．（24-25高二上·江西·月考）已知双曲线:的右焦点为，点P在C的右支上，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用双曲线的定义将的最小值转化为的最小值即可. 【详解】 由题知，，，所以， 设双曲线的左焦点为，则，，因为点P在C的右支上， 由双曲线的定义知， 所以, 当三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故选：D. 2．（23-24高二上·浙江金华·月考）已知圆上有一动点，双曲线的左焦点为，且双曲线的右支上有一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义，结合圆的几何性质进行求解即可. 【详解】 在双曲线中，，， ，， 设双曲线的右焦点为，则， 在双曲线的右支上， ，即， 由题知，圆心，半径，在圆上， ， 则， 当，，三点共线且Q位于另两点之间时，取得最小值为， 此时， 的最小值为. 故选：D. 3．（24-25高二下·贵州贵阳·月考）过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为、，则的最小值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．15 【答案】B 【分析】根据双曲线定义可得，结合圆的切线性质可得，结合图形，即得答案. 【详解】如图所示，双曲线方程的两焦点坐标为，， 连接，，，，则， 因为，， 所以 ， 当且仅当为双曲线右顶点时等号成立， 故选：B. 二、填空题 4．（24-25高二上·上海·期末）已知F是双曲线的右焦点，动点P在双曲线的左支上，点Q为圆上一动点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设是左焦点，由双曲线定义转化，取最小值时，的最小值是在线段上即得． 【详解】双曲线，，，，，，即为， 圆的圆心为，半径， P在双曲线的左支上，，， 所以， 根据圆的几何性质可知， 的最小值是， 所以的最小值是. 故答案为：6 5．（24-25高二上·山西太原·期末）已知双曲线E：的左焦点为F，点M是E右支上的动点，点N是圆上的动点，则的最大值为 . 【答案】 【分析】结合双曲线的定义与三角形三边关系可得，再根据定点到圆上一动点的距离最值的解法即可求解. 【详解】设双曲线E：的右焦点为，则，. 由双曲线定义可得，即. ， 当且仅当三点共线时，取得最大值. ∵点N是圆上的动点， ∴圆心设为，半径， ，. 故答案为：. 一、单选题 1．（23-24高二上·江西·月考）已知点，，动点满足，则的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义确定轨迹，即可得轨迹方程. 【详解】因为，所以的轨迹为双曲线，且焦点在轴上 设该双曲线的方程为，则，，. 所以的轨迹方程为. 故选：D. 2．（24-25高二上·广东·期中）已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（   ） A．9 B．1 C．1或9 D．11或9 【答案】A 【分析】根据双曲线定义可求得，再根据或或即可得解. 【详解】根据双曲线定义可得，又， 所以或， 又，， 而或， 所以. 故选：A. 3．（24-25高二下·甘肃庆阳·开学考试）已知方程表示焦点在x轴上的双曲线，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线方程的特征列式求解即得. 【详解】方程表示焦点在x轴上的双曲线，则，解得， 所以实数m的取值范围是 故选：C 4．（24-25高二上·山西太原·期末）已知双曲线C以椭圆方程E：的焦点为顶点，以E的顶点为焦点，则双曲线C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出椭圆的顶点和焦点，即可得出双曲线方程. 【详解】∵椭圆方程E：的焦点坐标为，，上、下顶点为，. ∴设双曲线方程C：，则， ，∴设双曲线方程C：. 故选：C. 5．（24-25高二上·新疆·月考）动点到点的距离之差等于，则动点的轨迹是（    ） A．双曲线 B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义即可求解. 【详解】由题意可知，,故动点的轨迹是以为端点，以轴正方向的一条射线， 故选：D 6．（24-25高二上·辽宁·期末）已知，，动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义可知点的轨迹为以为焦点，实轴为的双曲线的上支，求出、，即可得到轨迹方程. 【详解】由及双曲线的定义可知， 点的轨迹为以为焦点，实轴为的双曲线的上支，则， 因为，所以，故点的轨迹方程为． 故选：A 7．（24-25高二上·天津河北·期末）已知双曲线过点，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求得，，得到，进而求得双曲线的标准方程. 【详解】由椭圆，可化为标准方程，可得， 因为双曲线与椭圆有公共的焦点，所以， 又因为双曲线过点，可得，则， 所以双曲线的标准方程为. 故选：B. 8．（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知 ，，直线相交于点，且直线与直线的斜率之积为1，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点,根据题意建立方程，化简即得点的轨迹方程，同时要注意条件的满足即得. 【详解】设点，则， 化简即得：. 即点的轨迹方程为：. 故选：B. 9．（24-25高二上·贵州铜仁·月考）在平面直角坐标系中，已知点，，是一个动点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则点的轨迹为椭圆 B．若，则点的轨迹为圆 C．若，则点的轨迹为双曲线 D．若，则点的轨迹为一条线段 【答案】B 【分析】令，结合椭圆、双曲线定义判断A、C；利用向量加减、模长的坐标运算列方程求轨迹判断B；应用两点距离公式列方程求轨迹判断D. 【详解】令，则： A：由，结合椭圆定义，显然轨迹不是椭圆，错； B：由，则， 所以，即点的轨迹为圆，对； C：由，根据双曲线定义，轨迹为双曲线的右支，错； D：由题设，整理得，即点的轨迹为一条直线，错. 故选：B 10．（2024·四川·模拟预测）已知，分别为双曲线C的左、右焦点，过的直线与双曲线C的左支交于A，B两点，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据双曲线的定义得到，即可表示出，，再在中利用余弦定理计算可得. 【详解】如图，由于，，且，， 设，则，故， 所以，即，则，，，， 在中由余弦定理. 故选：B 11．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知圆，，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合双曲线的定义求得正确答案. 【详解】 圆的圆心为，半径为，由中垂线的性质可得, 所以, 所以点的轨迹方程是双曲线，且，，，， 所以点的轨迹方程为. 故选：A. 12．（24-25高二上·江西·月考）若动圆过定点，且和定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据动圆与定圆外切得出，再由双曲线定义判断动点轨迹，写出方程即可. 【详解】定圆的圆心为，与关于原点对称. 设，由两圆外切可得，所以, 所以，点的轨迹为双曲线的右支. 设双曲线的方程为，则，，， 所以，点的轨迹方程为. 故选：D. 13．（23-24高二上·江苏苏州·月考）已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最大值是（    ） A．不存在 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义以及三点共线来确定正确答案.. 【详解】依题意，下焦点，设上焦点， 双曲线的渐近线方程为，直线的斜率为， 所以延长时，与双曲线没有交点，， 设延长，交双曲线上支于， 依题意，是双曲线上支上的动点， 根据双曲线的定义可知， ，当在点时等号成立，则， 所以，所以， 所以，所以的最大值不存在. 故选：A 二、填空题 14．（24-25高二上·全国·课后作业）经过点的双曲线的标准方程为 ． 【答案】 【分析】由待定系数法即可联立方程求解. 【详解】设双曲线的标准方程为， 代入点的坐标可得解得 所以双曲线的标准方程为． 故答案为： 15．（23-24高二上·天津静海·月考）若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】将变形为，再根据条件即可求出结果. 【详解】由变形得到， 因为方程表示焦点在轴上的双曲线， 所以，解得， 故答案为：. 16．（24-25高二上·湖南·期中）设，为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为 . 【答案】1 【分析】根据题意结合双曲线对于可得，，结合勾股定理可得，即可得面积. 【详解】由双曲线方程可得， 不妨设，则，， 若，则，可得， 即，则， 所以的面积为. 故答案为：1. 17．（23-24高二上·山西大同·期末）点，分别是双曲线的左、右焦点，点在上，且，则的周长是 ． 【答案】 【分析】利用双曲线表达式求出焦距，结合余弦定理求出的值，即可求出的周长. 【详解】由题意， 在双曲线中，， ∴，， 由余弦定理的推论可得， 所以， 所以，， 所以，所以， 所以的周长为． 故答案为：. 18．（23-24高二上·山东泰安·月考）设是双曲线的两个焦点，是该双曲线上一点，且，则的面积等于 ． 【答案】 【分析】由利用双曲线的定义，得到，利用余弦定理，求得，得到，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】由双曲线，可得，则， 因为是该双曲线上一点，且，可得， 即， 在中，可得， 可得， 所以的面积为. 故答案为：. 19．（23-24高二下·上海·期末）设双曲线的左、右焦点为、，点是上一点，满足，则的面积为 ． 【答案】 【分析】由双曲线的方程得到，设，再根据双曲线的定义余弦定理，求得，进而求得三角形的面积. 【详解】 由题意，，不妨设， 则，由余弦定理， 所以，， 所以，. 故答案为：. 20．（23-24高二上·河北保定·期中）某地发生地震，呈曲线形状的公路上任意一点到村的距离比到村的距离远，村在村的正东方向处，村在村的北偏东方向处，为了救援灾民，救援队在曲线上的处收到了一批救灾药品，现要向两村转运药品，那么从处到、两村的路程之和的最小值为 . 【答案】 【分析】根据题意建立直角坐标系，结合双曲线定义可知曲线的轨迹为双曲线的右支，从而求得其轨迹方程，结合图像得到，由此得解. 【详解】如图，以所在的直线为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系， 由题意得，根据双曲线定义知，轨迹为双曲线的右支， 故， 所以曲线的轨迹方程为， 因为， 所以， 当且仅当共线时，等号成立， 所以从处到、两村的路程之和的最小值为. 故答案为：. 21．（24-25高二上·辽宁·期中）已知是双曲线的两个焦点，点在上，且，若，则双曲线的方程为 . 【答案】 【分析】利用双曲线的定义结合焦点三角形的特征求解. 【详解】 设双曲线的标准方程为，， 由已知可得，即， 因为， 所以， 所以，故双曲线的方程为. 故答案为：. 22．（24-25高二上·贵州铜仁·月考）若是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据双曲线的方程可得右焦点，根据双曲线定义可知，即可得解. 【详解】 如图所示， 由双曲线方程， 可知双曲线的右焦点为， 则由双曲线定义可知，即， 则， 当且仅当点在线段上时，等号成立， 又， 即， 故答案为：. 23．（24-25高二上·河南郑州·期中）设是双曲线上一点，，分别是两圆：和上的点，则的最大值为 . 【答案】8 【分析】根据给定条件，求出圆心及半径，利用圆的性质及双曲线定义求出最大值. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 双曲线的实半轴长，半焦距，则为其左右焦点， ，， 要取最大值，点必在双曲线左支上， 所以. 故答案为： 24．（24-25高二下·陕西·月考）已知双曲线，，分别为其左、右焦点，O为坐标原点，为E上一点，且，M为的中点，则 . 【答案】1或7 【分析】由双曲线方程得到的值，根据双曲线的定义，分在左支和右支两种情况分别求出并讨论是否成立，再利用三角形的中位线即可求出. 【详解】因为双曲线，所以，， 故焦点坐标为. ①若在左支上， ，， 由双曲线的定义可知， 因为，所以，而，所以符合题意. 因为M为的中点，所以在中， 由三角形中位线定理可知； ②若在右支上， ，， 由双曲线的定义可知， 因为，所以，而，所以符合题意. 因为M为的中点，所以在中， 由三角形中位线定理可知； 故答案为：1或7 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题24 双曲线及其标准方程 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：双曲线的定义 1、定义：在平面内与两个定点、的距离之差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线．两个定点、称为焦点；两焦点的距离叫做双曲线的焦距，表示为． 2、双曲线的集合表示：． 注意：（1）若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件： （），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； （），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； （2）若常数满足约束条件：， 则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； （3）若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； （4）若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。 知识点02：双曲线的标准方程 1、双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 （） （） 图象 焦点坐标 ， ， 的关系 2、待定系数法求双曲线标准方程 知识点03：双曲线的焦点三角形 求双曲线中的焦点三角形面积的方法 （1）①根据双曲线的定义求出； ②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出的值； ④利用公式求得面积。 （2）利用公式求得面积； 【题型01：双曲线的定义及辨析】 一、单选题 1．（24-25高二上·北京延庆·期末）已知是双曲线上的动点，则到双曲线两个焦点距离之差的绝对值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）已知，，动点P满足，则点P的轨迹是（   ） A．椭圆 B．双曲线的一支 C．双曲线 D．射线 3．（24-25高二上·山西晋中·月考）双曲线的两个焦点分别是与，焦距为8；M是双曲线上的一点，且，则的值为（   ）. A．9 B．1 C．1或9 D．2 4．（24-25高二下·河南·月考）双曲线：上的点到右焦点的距离为19，则它到左焦点的距离为（    ） A．9 B．7 C．9或29 D．7或19 5．已知动点满足，则动点P的轨迹是（　　） A．双曲线 B．双曲线左支 C．双曲线右支 D．一条射线 6．（24-25高二上·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，点是平面内一个动点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则点的轨迹为椭圆 B．若，则点的轨迹为椭圆 C．若，则点的轨迹为直线 D．若，则点的轨迹为双曲线的一支 【题型02：求双曲线的标准方程】 一、单选题 1．（24-25高二上·四川成都·期末）设为定点，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·北京·月考）化简方程的结果是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·云南迪庆·期末）已知点，，动点满足条件.则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·内蒙古包头·期中）过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·河北·期中）已知双曲线经过点，则其标准方程为（    ） A． B． C． D．或 【题型03：判断方程是否表示双曲线】 一、单选题 1．（24-25高二上·北京大兴·期末）已知双曲线的焦点在x轴上，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·四川内江·期末）若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·山东青岛·月考）关于 的方程 ，给出以下说法错误的为（     ） A．方程可以表示双曲线 B．方程可以表示椭圆 C．方程可以表示圆 D．当方程表示双曲线时， 焦距为定值 4．（24-25高二上·云南临沧·月考）当从0到逐渐变大时，方程表示的曲线依次为（    ） A．圆，椭圆，两条直线，双曲线 B．圆，椭圆，双曲线 C．椭圆，一条射线，双曲线，圆 D．圆，椭圆，一条直线，双曲线 二、填空题 5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知方程所表示的曲线为双曲线，则的取值范围为 . 6．（23-24高二上·重庆·期末）若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围为 . 【题型04：双曲线中的焦点三角形问题】 一、单选题 1．（24-25高二上·北京·月考）设，分别是双曲线的下、上焦点，是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（    ） A．12 B．24 C． D． 2．（24-25高二下·安徽·月考）设P是双曲线右支上一点，，分别是双曲线C的左、右焦点，O为坐标原点，Q为线段的中点，若，则的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．（24-25高二上·河北衡水·月考）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且椭圆与双曲线在第一象限的交点为，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·江苏泰州·期中）已知双曲线C：的左右焦点为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若，则的周长为（    ） A．12 B．14 C．10 D．8 5．（24-25高二上·河南·月考）已知，分别是双曲线：的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于，则（   ） A． B．6 C． D．3 二、填空题 6．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的标准方程为，左、右焦点分别为，且双曲线上有一点使得，则点的坐标为 . 7．（24-25高二上·陕西西安·月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支上，则的内切圆与轴的切点横坐标为 ． 【题型05：双曲线中的轨迹方程问题】 一、单选题 1．（24-25高二上·云南·月考）设两点的坐标分别为，，直线与相交于点，且它们的斜率之积为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·四川成都·期末）相距1400m的A，B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s，已知声速是340m/s，炮弹爆炸点一定在曲线（    ）的方程上. A． B． C．或 D． 3．（23-24高二上·重庆·期中）已知，圆，动圆经过点且与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（23-24高二上·河南周口·期末）动点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，则动点M的轨迹方程是 ． 5．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知P为圆C：上任意一点，．若线段的垂直平分线交直线于点Q，则点Q的轨迹方程为 ． 【题型06：双曲线中的距离最值问题】 一、单选题 1．（24-25高二上·江西·月考）已知双曲线:的右焦点为，点P在C的右支上，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·浙江金华·月考）已知圆上有一动点，双曲线的左焦点为，且双曲线的右支上有一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·贵州贵阳·月考）过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为、，则的最小值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．15 二、填空题 4．（24-25高二上·上海·期末）已知F是双曲线的右焦点，动点P在双曲线的左支上，点Q为圆上一动点，则的最小值为 . 5．（24-25高二上·山西太原·期末）已知双曲线E：的左焦点为F，点M是E右支上的动点，点N是圆上的动点，则的最大值为 . 一、单选题 1．（23-24高二上·江西·月考）已知点，，动点满足，则的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·广东·期中）已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（   ） A．9 B．1 C．1或9 D．11或9 3．（24-25高二下·甘肃庆阳·开学考试）已知方程表示焦点在x轴上的双曲线，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·山西太原·期末）已知双曲线C以椭圆方程E：的焦点为顶点，以E的顶点为焦点，则双曲线C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·新疆·月考）动点到点的距离之差等于，则动点的轨迹是（    ） A．双曲线 B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线 6．（24-25高二上·辽宁·期末）已知，，动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·天津河北·期末）已知双曲线过点，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知 ，，直线相交于点，且直线与直线的斜率之积为1，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·贵州铜仁·月考）在平面直角坐标系中，已知点，，是一个动点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则点的轨迹为椭圆 B．若，则点的轨迹为圆 C．若，则点的轨迹为双曲线 D．若，则点的轨迹为一条线段 10．（2024·四川·模拟预测）已知，分别为双曲线C的左、右焦点，过的直线与双曲线C的左支交于A，B两点，若，，则（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知圆，，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高二上·江西·月考）若动圆过定点，且和定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 13．（23-24高二上·江苏苏州·月考）已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最大值是（    ） A．不存在 B．8 C．7 D．6 二、填空题 14．（24-25高二上·全国·课后作业）经过点的双曲线的标准方程为 ． 15．（23-24高二上·天津静海·月考）若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围为 . 16．（24-25高二上·湖南·期中）设，为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为 . 17．（23-24高二上·山西大同·期末）点，分别是双曲线的左、右焦点，点在上，且，则的周长是 ． 18．（23-24高二上·山东泰安·月考）设是双曲线的两个焦点，是该双曲线上一点，且，则的面积等于 ． 19．（23-24高二下·上海·期末）设双曲线的左、右焦点为、，点是上一点，满足，则的面积为 ． 20．（23-24高二上·河北保定·期中）某地发生地震，呈曲线形状的公路上任意一点到村的距离比到村的距离远，村在村的正东方向处，村在村的北偏东方向处，为了救援灾民，救援队在曲线上的处收到了一批救灾药品，现要向两村转运药品，那么从处到、两村的路程之和的最小值为 . 21．（24-25高二上·辽宁·期中）已知是双曲线的两个焦点，点在上，且，若，则双曲线的方程为 . 22．（24-25高二上·贵州铜仁·月考）若是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 . 23．（24-25高二上·河南郑州·期中）设是双曲线上一点，，分别是两圆：和上的点，则的最大值为 . 24．（24-25高二下·陕西·月考）已知双曲线，，分别为其左、右焦点，O为坐标原点，为E上一点，且，M为的中点，则 . 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$