第15讲 椭圆（十一大题型+思维导图+知识归纳+课后作业）（暑假预习举一反三讲义）高二数学人教A版选择性必修第一册

第15讲 椭圆（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 椭圆及其标准方程 椭圆是圆锥曲线的一种，具有丰富的几何性质，在科研、生产和人类生活中具有广泛的应用.那么，椭圆到底有怎样的几何特征?我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础? 【知识点1 椭圆及其标准方程】 1．椭圆的定义 (1)定义：平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫 作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距. (2)椭圆定义的集合表示P={,2a>}. 2．椭圆的标准方程 椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 椭圆在坐标 系中的位置 标准方程 焦点坐标 F1(-c,0),F2 (c,0) F1(0,-c),F2 (0,c) a,b,c的关系 3．椭圆方程的求解 (1)用定义法求椭圆的标准方程 根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程. (2)用待定系数法求椭圆的标准方程 ①如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆一定是标准形式，就可以利用待 定系数法求解.首先建立方程，然后依据题设条件，计算出方程中的a，b的值，从而确定方程（注意焦点的位置）. ②如果不能确定椭圆的焦点的位置，那么可用以下两种方法来解决问题：一是分类讨论，分别就焦点 在x轴上和焦点在y轴上利用待定系数法设出椭圆的标准方程，再解答；二是用待定系数法设椭圆的一般方程为=1(A>0,B>0,A≠B)，再解答. 【题型1 椭圆定义及辨析】 【例1】（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）已知点P在以F1，F2分别为左、右焦点的椭圆上，若，则（   ） A．3 B．13 C．5 D．7 【变式1-1】（25-26高二上·河北·阶段检测）已知分别是椭圆的左、右焦点，是该椭圆上一点，则（   ） A． B． C．2 D．4 【变式1-2】（25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）设，分别是椭圆的左、右焦点，点P在C上，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高二上·江西吉安·期末）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（   ） A．4 B．8 C．16 D．20 【题型2 曲线方程与椭圆】 【例2】（25-26高二上·河南·阶段检测）已知方程表示椭圆，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二上·重庆北碚·期末）方程表示椭圆，则的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【变式2-3】（25-26高二上·湖北·阶段检测）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型3 椭圆方程的求解】 【例3】（25-26高二上·江苏·期末）若椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，，则该椭圆的标准方程（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高二上·全国·课后作业）若椭圆的两个焦点分别为和，且椭圆过点，则椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高二上·江西南昌·期中）经过点和的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高二上·江苏无锡·期中）过点，且与椭圆有相同的焦点的椭圆标准方程为（   ） A． B． C． D． 【题型4 求椭圆的动点轨迹方程】 【例4】（25-26高二上·贵州毕节·期末）平面内点到的距离之和是10，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知点，，直线PA和直线PB的斜率的乘积为，则点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高二上·甘肃兰州·期中）平面内动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高二上·山东菏泽·期末）已知一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 模块三 椭圆的焦点三角形 【知识点2 椭圆的焦点三角形】 1．焦点三角形的概念 设M是椭圆上一点，为椭圆的焦点，当点M,不在同一条直线上时，它们构成一个焦点三角 形，如图所示. 2．焦点三角形的常用公式 (1)焦点三角形的周长L=2a+2c. (2)在中，由余弦定理可得. (3)设，，则. 【题型5 椭圆中的焦点三角形问题】 【例5】（25-26高二上·广东广州·期末）已知，为椭圆的两个焦点，点M在C上，则的周长为（    ） A．10 B．12 C．16 D．20 【变式5-1】（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆的方程为，若点在第二象限，且，则的面积是（ ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高二上·安徽合肥·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点作直线交椭圆于，两点，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26高二上·天津东丽·期中）已知P为椭圆上的一点，、是椭圆的两个焦点，，则△的面积值为（   ） A． B． C． D． 模块四 椭圆的简单几何性质 【知识点3 椭圆的简单几何性质】 1．椭圆的范围 设椭圆的标准方程为 (a>b>0)，研究椭圆的范围就是研究椭圆上点的横、纵坐标的取值范围. (1)从形的角度看：椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形框里. (2)从数的角度看：利用方程研究，易知=1-≥0，故≤1，即-a≤x≤a；=1-≥0，故≤1，即-b≤y≤b. 2．椭圆的对称性 (1)从形的角度看：椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形. (2)从数的角度看：在椭圆的标准方程 (a>b>0)中以-y代替y，方程并不改变，这说明当点 P(x,y)在椭圆上时，它关于x轴的对称点P1(x,-y)也在椭圆上，所以椭圆关于x轴对称；同理，以-x代替x，方程也不改变，所以椭圆关于y轴对称；以-x代替x，以-y代替y，方程也不改变，所以椭圆关于原点对称.坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫作椭圆的中心. 3．椭圆的顶点与长轴、短轴 以椭圆的标准方程 (a>b>0)为例. (1)顶点 令x=0，得y=±b；令y=0，得x=±a. 这说明A1(-a,0)，A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点，B1(0,-b)，B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点.因为x轴、 y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫作椭圆的顶点. (2)长轴、短轴 线段，分别叫作椭圆的长轴和短轴. 长轴长=2a，短轴长=2b，a和b分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长. 4．椭圆的离心率 (1)离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率.用e表示，即e=. (2)离心率的范围：0<e<1. (3)椭圆离心率的意义：椭圆离心率的变化刻画了椭圆的扁平程度. 当e越接近于1时，c越接近于a，从而b=越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接 近于0，从而b=越接近于a，因此椭圆越接近于圆；当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为. 【题型6 利用椭圆的几何性质求标准方程】 【例6】（25-26高二上·广东江门·期末）已知椭圆（），离心率为，长轴长为4，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2026·四川巴中·一模）已知中心在原点的椭圆的右焦点为，离心率等于，则的方程是（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高二上·河南周口·阶段检测）若椭圆焦点在轴上，长轴长是焦距的3倍，且经过点，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26高二上·江苏·期中）已知椭圆经过点，离心率为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【题型7 椭圆的焦距与长轴、短轴】 【例7】（25-26高二上·甘肃陇南·期末）椭圆的短轴长为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知椭圆的焦点在轴上，且其短轴长等于焦距，则（   ） A． B． C． D．2 【变式7-2】（25-26高二上·上海·阶段检测）下列椭圆中， 短轴长等于焦距的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26高二上·天津津南·阶段检测）已知椭圆的一个焦点是圆的圆心，且短轴长为8，则椭圆的长轴长为（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 【题型8 求椭圆的离心率或其取值范围】 【例8】（25-26高二上·云南大理·期末）设椭圆的左、右焦点分别为、，是上的点，轴，，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D．. 【变式8-1】（25-26高二上·安徽·期末）已知椭圆，则其离心率（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26高二上·云南文山·期末）已知F是椭圆的一个焦点，P为C上的点，O为坐标原点，若为等边三角形，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（25-26高二上·四川眉山·期末）已知，是椭圆的左右焦点，若椭圆上存在一点P使得，则椭圆C的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型9 根据椭圆的离心率求参数】 【例9】（25-26高二上·陕西·阶段检测）已知椭圆的离心率为，则的值为（    ） A．3 B． C． D． 【变式9-1】（25-26高二上·全国·单元测试）已知椭圆的离心率为，则的值为（    ） A． B． C．4或 D．或 【变式9-2】（25-26高二下·湖北·期中）若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则的值为（   ） A． B．9 C． D．12 【变式9-3】（25-26高二上·安徽安庆·期中）已知离心率为的椭圆的方程为，则（   ） A．2 B． C． D．3 【题型10 椭圆中的最值问题】 【例10】（25-26高二上·重庆荣昌·阶段检测）为椭圆上一点，是它的上焦点，，则的最大值为（ ） A． B． C．3 D． 【变式10-1】（25-26高二上·吉林长春·期末）已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【变式10-2】（25-26高二上·广西柳州·期中）已知为椭圆的右焦点，为椭圆上的动点，设点，则的最小值为（   ） A．2 B． C．0 D． 【变式10-3】（25-26高二上·江苏常州·期中）已知为椭圆的右焦点，为椭圆上一点，为圆上一点，则的最大值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【题型11 椭圆的实际应用问题】 【例11】（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知某太阳系行星运行的轨道是长轴长为，离心率为的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，则该行星到太阳的最大距离是（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】（25-26高二上·浙江·期中）人造地球卫星的运行轨道是以地球中心F为一个焦点的椭圆．如果卫星当作质点，地球当作半径为R的球体，卫星轨道的近地点（距离地面最近的点）A距离地面为，远地点（距离地面最远的点）B距离地面为，且F，A，B在同一直线上，则卫星轨道的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式11-2】（25-26高二上·浙江·期末）2025年春晚语言类节目《借伞》中，一批精美的西湖绸伞成为舞台亮点．2008年，西湖绸伞制作技艺入选国家级非物质文化遗产，西湖畔绸伞摇曳，流转千年东方美学的匠心温度.如图有一绸伞放置于地面，假设伞面是一个半径为的圆形平面（与伞柄垂直），该圆形平面的圆心到伞柄底端距离为，当光线与圆形平面垂直时，伞面在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，则该椭圆的离心率（    ） A． B． C． D． 【变式11-3】（25-26高二上·全国·单元测试）2024年10月22日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，成功将天平三号、、卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．如图，假设天平三号卫星运动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已知地球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，运动至远地点距离地球表面高度约3.35万千米，则天平三号卫星运行的轨迹方程可以为（    ）    A． B． C． D． 模块五 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高二上·安徽六安·期末）已知椭圆的一个焦点为，则（   ） A． B．3 C． D．6 2．（25-26高二上·福建福州·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为为上一点.若，则（    ） A．1 B．3 C．4 D．8 3．（25-26高二上·湖北十堰·期末）方程 表示焦点在轴上的椭圆，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·陕西咸阳·期末）已知两定点，动点满足，则点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段 5．（25-26高二上·湖南株洲·阶段检测）焦点在x轴上，中心在原点，长轴长为10，短轴长为8的椭圆方程为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·陕西汉中·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一点（不含顶点），则的周长为（   ） A．6 B．12 C．10 D．20 7．（25-26高二上·山西晋城·期末）设椭圆：的左、右焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点，若，，则椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·山东泰安·期末）已知点是椭圆上的一个动点，，则的最大值为（    ） A．4 B． C． D．8 二、多选题 9．（25-26高二上·河南许昌·期末）若方程表示椭圆，则的值可以为（   ） A．1 B．3 C．6 D．8 10．（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）关于椭圆，下列选项正确的是（    ） A．椭圆的长轴长为 B．椭圆的一个顶点为 C．椭圆的焦距为 D．椭圆的离心率为 11．（2026高二上·福建厦门·专题练习）已知曲线，则（    ） A．当时，是焦距为的椭圆 B．当是焦点在轴上的椭圆时， C．若曲线为椭圆，的取值范围是 D．若椭圆的离心率为时， 三、填空题 12．（25-26高二上·甘肃兰州·阶段检测）已知椭圆的一个焦点是，那么__________. 13．（25-26高二上·上海·期末）若方程表示的曲线为椭圆，则的取值范围为__________. 14．（25-26高二上·上海松江·阶段检测）椭圆的两焦点分别为，设椭圆的离心率，则实数的取值范围是__________. 四、解答题 15．（25-26高二上·陕西西安·期末）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)一个焦点为，长轴长是短轴长的倍； (2)焦点在轴上，且经过两点、. 16．（25-26高二上·天津宁河·期中）设椭圆的左右两个焦点分别为，，若点在椭圆上，且. (1)求椭圆的长轴长､短轴长､焦点坐标､顶点坐标､离心率； (2)求的面积； 17．（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）已知椭圆的焦点为、，该椭圆经过点 (1)求椭圆的标准方程； (2)若椭圆上的点满足，求. 18．（25-26高二上·辽宁·期中）已知动点P与两定点，连线的斜率之积为，记P的轨迹为曲线 (1)求点P的轨迹E的方程; (2)设点，点，求的最大值; 19．（2026高二上·福建厦门·专题练习）已知椭圆上的点到其焦点的距离的最大值为，最小值为． (1)求椭圆的方程； (2)设P为椭圆上一点，且，求焦点三角形的周长和面积． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 椭圆（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 椭圆及其标准方程 椭圆是圆锥曲线的一种，具有丰富的几何性质，在科研、生产和人类生活中具有广泛的应用.那么，椭圆到底有怎样的几何特征?我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础? 【知识点1 椭圆及其标准方程】 1．椭圆的定义 (1)定义：平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫 作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距. (2)椭圆定义的集合表示P={,2a>}. 2．椭圆的标准方程 椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 椭圆在坐标 系中的位置 标准方程 焦点坐标 F1(-c,0),F2 (c,0) F1(0,-c),F2 (0,c) a,b,c的关系 3．椭圆方程的求解 (1)用定义法求椭圆的标准方程 根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程. (2)用待定系数法求椭圆的标准方程 ①如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆一定是标准形式，就可以利用待 定系数法求解.首先建立方程，然后依据题设条件，计算出方程中的a，b的值，从而确定方程（注意焦点的位置）. ②如果不能确定椭圆的焦点的位置，那么可用以下两种方法来解决问题：一是分类讨论，分别就焦点 在x轴上和焦点在y轴上利用待定系数法设出椭圆的标准方程，再解答；二是用待定系数法设椭圆的一般方程为=1(A>0,B>0,A≠B)，再解答. 【题型1 椭圆定义及辨析】 【例1】（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）已知点P在以F1，F2分别为左、右焦点的椭圆上，若，则（   ） A．3 B．13 C．5 D．7 【答案】D 【解题思路】根据椭圆的定义即可求解. 【解答过程】因为椭圆C的方程为，所以，由椭圆的定义可得，且，所以. 故选：D. 【变式1-1】（25-26高二上·河北·阶段检测）已知分别是椭圆的左、右焦点，是该椭圆上一点，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【解题思路】由椭圆定义进行求解. 【解答过程】显然，，由椭圆定义可得 故选：B. 【变式1-2】（25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）设，分别是椭圆的左、右焦点，点P在C上，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据椭圆的定义求解即可. 【解答过程】根据椭圆的定义可知，， 又， 解得，． 故选：A． 【变式1-3】（25-26高二上·江西吉安·期末）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（   ） A．4 B．8 C．16 D．20 【答案】B 【解题思路】由条件得到，设，结合椭圆的定义及勾股定理即可求解. 【解答过程】因为椭圆，所以， 又因为，所以，即， 设，则且， 得到，所以. 故选：B. 【题型2 曲线方程与椭圆】 【例2】（25-26高二上·河南·阶段检测）已知方程表示椭圆，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据椭圆的标准方程列出不等式组求解即可. 【解答过程】已知方程表示椭圆， 则，则或， 故实数m的取值范围是. 故选：A. 【变式2-1】（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】化简方程为，根据题意，列出不等式组，即可求解. 【解答过程】将方程变形可得， 因为方程表示焦点在y轴上的椭圆，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 【变式2-2】（25-26高二上·重庆北碚·期末）方程表示椭圆，则的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【解题思路】结合椭圆的标准方程求解即可. 【解答过程】由题意知，，解得或. 故选：B. 【变式2-3】（25-26高二上·湖北·阶段检测）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据椭圆的标准方程的类型列式可得结果. 【解答过程】方程表示焦点在轴上的椭圆， 则,解得：, 所以实数的取值范围是， 故选：C. 【题型3 椭圆方程的求解】 【例3】（25-26高二上·江苏·期末）若椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，，则该椭圆的标准方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据过点，得出，结合，可得，即可得出椭圆方程. 【解答过程】因为椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，所以，， 则，所以椭圆方程为. 故选：B. 【变式3-1】（25-26高二上·全国·课后作业）若椭圆的两个焦点分别为和，且椭圆过点，则椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题意可设椭圆方程为，且，利用椭圆定义及两点间的距离公式求得，结合隐含条件求得，则可求出椭圆方程． 【解答过程】由焦点坐标知焦点在轴上，且，设椭圆的标准方程为． 根据椭圆定义知，故，．因此所求椭圆方程为． 故选：B. 【变式3-2】（25-26高二上·江西南昌·期中）经过点和的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用待定系数法求解椭圆标准方程. 【解答过程】根据题意设, 由在椭圆上， 则，解得 所以椭圆的标准方程. 故选：C. 【变式3-3】（25-26高二上·江苏无锡·期中）过点，且与椭圆有相同的焦点的椭圆标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将与椭圆焦点相同的椭圆的方程设为，再将点代入，求得的值，即可得出椭圆标准方程. 【解答过程】设所求椭圆方程为， 将点代入，可得，解得（舍去）， 故所求椭圆的标准方程为． 故选：D. 【题型4 求椭圆的动点轨迹方程】 【例4】（25-26高二上·贵州毕节·期末）平面内点到的距离之和是10，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题设条件结合椭圆的定义进行求解. 【解答过程】由题知，， 由椭圆的定义可知，的轨迹方程是焦点在轴上的椭圆， 其中，则， 方程为：. 故选：D. 【变式4-1】（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知点，，直线PA和直线PB的斜率的乘积为，则点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设的坐标为，根据两点斜率表达式得到方程，化简即可. 【解答过程】设的坐标为，则， 整理得，故点的轨迹方程为． 故选：D． 【变式4-2】（25-26高二上·甘肃兰州·期中）平面内动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用椭圆的定义求解即可. 【解答过程】由题意，点到两点，的距离之和为， 所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆， 且，，， 所以点P的轨迹方程为. 故选：B. 【变式4-3】（25-26高二上·山东菏泽·期末）已知一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出已知圆的圆心及半径，利用两圆相切建立等式，再利用圆锥曲线的定义求出轨迹方程. 【解答过程】设动圆圆心为，半径为， 圆，即的圆心，半径； 圆，即的圆心，半径， 而，则点在圆内，由圆分别与圆外切，与圆内切， 得，整理得， 因此动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为12的椭圆， 长半轴长，半焦距，短半轴长， 所以所求轨迹方程为. 故选：B. 模块三 椭圆的焦点三角形 【知识点2 椭圆的焦点三角形】 1．焦点三角形的概念 设M是椭圆上一点，为椭圆的焦点，当点M,不在同一条直线上时，它们构成一个焦点三角 形，如图所示. 2．焦点三角形的常用公式 (1)焦点三角形的周长L=2a+2c. (2)在中，由余弦定理可得. (3)设，，则. 【题型5 椭圆中的焦点三角形问题】 【例5】（25-26高二上·广东广州·期末）已知，为椭圆的两个焦点，点M在C上，则的周长为（    ） A．10 B．12 C．16 D．20 【答案】C 【解题思路】先根据椭圆方程可得，再根据椭圆的定义求解即可. 【解答过程】由椭圆，得， 则的周长为. 故选：C. 【变式5-1】（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆的方程为，若点在第二象限，且，则的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用椭圆的定义，结合余弦定理，可求焦半径，从而可求三角形面积. 【解答过程】 由题意知：， 再由余弦定理得： 代入得：， 解得：，则的面积是, 故选：D. 【变式5-2】（25-26高二上·安徽合肥·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点作直线交椭圆于，两点，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据椭圆的定义结合已知求解. 【解答过程】因为椭圆，所以，，， 因为左、右焦点分别为，，所以利用椭圆的定义可知， ，， 的周长为， 故选：B． 【变式5-3】（25-26高二上·天津东丽·期中）已知P为椭圆上的一点，、是椭圆的两个焦点，，则△的面积值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用椭圆的定义，结合余弦定理和面积公式可得答案. 【解答过程】由题意，焦距为，平方可得， 由余弦定理可得， 两式相减可得， 所以△的面积为. 故选：C. 模块四 椭圆的简单几何性质 【知识点3 椭圆的简单几何性质】 1．椭圆的范围 设椭圆的标准方程为 (a>b>0)，研究椭圆的范围就是研究椭圆上点的横、纵坐标的取值范围. (1)从形的角度看：椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形框里. (2)从数的角度看：利用方程研究，易知=1-≥0，故≤1，即-a≤x≤a；=1-≥0，故≤1，即-b≤y≤b. 2．椭圆的对称性 (1)从形的角度看：椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形. (2)从数的角度看：在椭圆的标准方程 (a>b>0)中以-y代替y，方程并不改变，这说明当点 P(x,y)在椭圆上时，它关于x轴的对称点P1(x,-y)也在椭圆上，所以椭圆关于x轴对称；同理，以-x代替x，方程也不改变，所以椭圆关于y轴对称；以-x代替x，以-y代替y，方程也不改变，所以椭圆关于原点对称.坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫作椭圆的中心. 3．椭圆的顶点与长轴、短轴 以椭圆的标准方程 (a>b>0)为例. (1)顶点 令x=0，得y=±b；令y=0，得x=±a. 这说明A1(-a,0)，A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点，B1(0,-b)，B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点.因为x轴、 y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫作椭圆的顶点. (2)长轴、短轴 线段，分别叫作椭圆的长轴和短轴. 长轴长=2a，短轴长=2b，a和b分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长. 4．椭圆的离心率 (1)离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率.用e表示，即e=. (2)离心率的范围：0<e<1. (3)椭圆离心率的意义：椭圆离心率的变化刻画了椭圆的扁平程度. 当e越接近于1时，c越接近于a，从而b=越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接 近于0，从而b=越接近于a，因此椭圆越接近于圆；当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为. 【题型6 利用椭圆的几何性质求标准方程】 【例6】（25-26高二上·广东江门·期末）已知椭圆（），离心率为，长轴长为4，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】结合题意得到基本量，进而求出椭圆的方程即可. 【解答过程】因为椭圆的长轴长为4，所以， 因为椭圆的离心率为，所以，解得，可得， 则的方程为，故B正确. 故选：B. 【变式6-1】（2026·四川巴中·一模）已知中心在原点的椭圆的右焦点为，离心率等于，则的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题意求得，根据焦点所在坐标轴代入标准方程即可求解. 【解答过程】因为中心在原点的椭圆的右焦点为， 所以椭圆焦点在轴，设标准方程为， 由题意可得，，得到，， 故椭圆的方程是. 故选：D. 【变式6-2】（25-26高二上·河南周口·阶段检测）若椭圆焦点在轴上，长轴长是焦距的3倍，且经过点，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据椭圆的几何性质即可求解. 【解答过程】因为椭圆的长轴长是焦距的3倍，所以，即， 又因为经过点，且焦点在轴上，所以，， 所以，所以椭圆的标准方程为：， 故选:C． 【变式6-3】（25-26高二上·江苏·期中）已知椭圆经过点，离心率为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】代入点的坐标可得，利用离心率的公式可得，从而可得答案. 【解答过程】因为椭圆经过点，所以，即； 离心率，所以，所以方程为. 故选：D. 【题型7 椭圆的焦距与长轴、短轴】 【例7】（25-26高二上·甘肃陇南·期末）椭圆的短轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】将椭圆的方程化成标准方程，写出其短半轴长即得. 【解答过程】由可得， 则椭圆的短半轴长为，短轴长为. 故选：A. 【变式7-1】（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知椭圆的焦点在轴上，且其短轴长等于焦距，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【解题思路】根据椭圆的几何性质结合焦点在轴上求出，再利用短轴长等于焦距构造方程，解方程求． 【解答过程】椭圆的焦点在轴上， ，，， 其短轴长等于焦距， ，解得，故D正确． 故选：D． 【变式7-2】（25-26高二上·上海·阶段检测）下列椭圆中， 短轴长等于焦距的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据方程分别求得各选项中的椭圆的短轴长和焦距即可. 【解答过程】对于A，短轴长，焦距，则短轴长不等于焦距，A错误； 对于B，短轴长，焦距，则短轴长不等于焦距，B错误； 对于C，短轴长，焦距，则短轴长等于焦距，C正确； 对于D，短轴长，焦距，则短轴长不等于焦距，D错误. 故选：C. 【变式7-3】（25-26高二上·天津津南·阶段检测）已知椭圆的一个焦点是圆的圆心，且短轴长为8，则椭圆的长轴长为（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，求出圆心坐标即得椭圆半焦距，进而求出长轴长. 【解答过程】将配方得，故圆心为， 即得椭圆的右焦点为， 而该椭圆的短轴长为8，则其长半轴长， 所以该椭圆的长轴长为10. 故选：B. 【题型8 求椭圆的离心率或其取值范围】 【例8】（25-26高二上·云南大理·期末）设椭圆的左、右焦点分别为、，是上的点，轴，，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D．. 【答案】B 【解题思路】先根据题意求出，；再根据椭圆的定义建立等式得出，即可得出答案. 【解答过程】如图，由题可知，，又因为，， 故，.又因为， 故， 故选：B. 【变式8-1】（25-26高二上·安徽·期末）已知椭圆，则其离心率（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据离心率公式计算. 【解答过程】因为，， 所以离心率. 故选：C. 【变式8-2】（25-26高二上·云南文山·期末）已知F是椭圆的一个焦点，P为C上的点，O为坐标原点，若为等边三角形，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题中几何关系，求得点的坐标，代入椭圆方程求得齐次式，整理化简即可求得离心率. 【解答过程】 由图可知，若为等边三角形，由对称性，不妨设， 将点代入椭圆，得，又因为， 得，分子分母同除以，得， 整理得，解得或（因为，故舍去）， 则. 故选：A. 【变式8-3】（25-26高二上·四川眉山·期末）已知，是椭圆的左右焦点，若椭圆上存在一点P使得，则椭圆C的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设椭圆上一点，利用平面向量数量积以及椭圆的范围得出不等式即可求出离心率的取值范围. 【解答过程】依题意设椭圆上一点，所以，可得； 所以， 因此，即， 也即，所以， 因为，所以可得，因此， 即，即， 因此离心率为. 故选：B. 【题型9 根据椭圆的离心率求参数】 【例9】（25-26高二上·陕西·阶段检测）已知椭圆的离心率为，则的值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先将椭圆的方程转化为椭圆的标准方程，进而结合的范围得，再根据离心率公式计算即可得答案. 【解答过程】椭圆变形为， 因为，所以，所以椭圆的焦点在轴上，， 所以离心率，解得. 故选：D. 【变式9-1】（25-26高二上·全国·单元测试）已知椭圆的离心率为，则的值为（    ） A． B． C．4或 D．或 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，按焦点位置及椭圆离心率的意义分类求解. 【解答过程】当的焦点在轴上时，， 易知，则，解得； 当的焦点在轴上时，， 易知 ，则，解得， 所以的值为或. 故选：D. 【变式9-2】（25-26高二下·湖北·期中）若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则的值为（   ） A． B．9 C． D．12 【答案】B 【解题思路】由离心率的定义即可求解. 【解答过程】由题意可知：， 所以， 解得：， 故选：B. 【变式9-3】（25-26高二上·安徽安庆·期中）已知离心率为的椭圆的方程为，则（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【解题思路】由椭圆的离心率求法得，进而求目标式的值. 【解答过程】由题设，可得， 所以. 故选：C. 【题型10 椭圆中的最值问题】 【例10】（25-26高二上·重庆荣昌·阶段检测）为椭圆上一点，是它的上焦点，，则的最大值为（ ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【解题思路】利用椭圆的定义将化为，再结合即可求出答案. 【解答过程】设为椭圆的下焦点， 由椭圆方程知，，，， 则， 由椭圆的定义得 所以，当是的延长线与椭圆的交点时等号成立， 所以的最大值为. 故选：A. 【变式10-1】（25-26高二上·吉林长春·期末）已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设出点坐标，利用坐标表示出并进行化简，再根据椭圆的有界性结合二次函数的性质求解出的最大值. 【解答过程】设，，且， 所以 ， 又因为，所以当时取最大值， 所以， 故选：C. 【变式10-2】（25-26高二上·广西柳州·期中）已知为椭圆的右焦点，为椭圆上的动点，设点，则的最小值为（   ） A．2 B． C．0 D． 【答案】A 【解题思路】利用椭圆的定义可得出，分析可知当点为射线与椭圆的交点时，取最小值，即可得解. 【解答过程】由椭圆方程可知， 且焦点在x轴上，则，    因为，可知点在椭圆内， 又因为，即， 则， 当且仅当点为射线与椭圆的交点时，等号成立， 所以的最小值为2． 故选：A． 【变式10-3】（25-26高二上·江苏常州·期中）已知为椭圆的右焦点，为椭圆上一点，为圆上一点，则的最大值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【解题思路】利用数形结合，结合椭圆的定义，转化为三点共线问题，即可求解. 【解答过程】由条件可知椭圆中，，圆的圆心，半径， 设椭圆的左焦点为，， ， 如图，当点三点共线时，最小，最小值是， 所以的最小值是， 所以的最大值是. 故选：B. 【题型11 椭圆的实际应用问题】 【例11】（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知某太阳系行星运行的轨道是长轴长为，离心率为的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，则该行星到太阳的最大距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先由椭圆的定义得到，再由椭圆的性质得到最大距离即可. 【解答过程】由椭圆的定义可知， 离心率， 因为太阳在这个椭圆的一个焦点上， 则该行星到太阳的最大距离是. 故选：B. 【变式11-1】（25-26高二上·浙江·期中）人造地球卫星的运行轨道是以地球中心F为一个焦点的椭圆．如果卫星当作质点，地球当作半径为R的球体，卫星轨道的近地点（距离地面最近的点）A距离地面为，远地点（距离地面最远的点）B距离地面为，且F，A，B在同一直线上，则卫星轨道的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意得，解出即可得出离心率. 【解答过程】设椭圆的长半轴，短半轴，半焦距分别为， 则由题意得， 解得， 所以该椭圆形轨道的离心率. 故选：A. 【变式11-2】（25-26高二上·浙江·期末）2025年春晚语言类节目《借伞》中，一批精美的西湖绸伞成为舞台亮点．2008年，西湖绸伞制作技艺入选国家级非物质文化遗产，西湖畔绸伞摇曳，流转千年东方美学的匠心温度.如图有一绸伞放置于地面，假设伞面是一个半径为的圆形平面（与伞柄垂直），该圆形平面的圆心到伞柄底端距离为，当光线与圆形平面垂直时，伞面在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，则该椭圆的离心率（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据勾股定理，椭圆离心率公式进行求解即可. 【解答过程】因为伞面是一个半径为的圆形平面（与伞柄垂直）， 所以， 因为当光线与圆形平面垂直时，伞面在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上， ，显然， 所以椭圆的离心率. 故选：B. 【变式11-3】（25-26高二上·全国·单元测试）2024年10月22日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，成功将天平三号、、卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．如图，假设天平三号卫星运动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已知地球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，运动至远地点距离地球表面高度约3.35万千米，则天平三号卫星运行的轨迹方程可以为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意可得，，进而可求，即可得椭圆方程. 【解答过程】由题意知，卫星的运动轨迹为椭圆，地球的球心为该椭圆的一个焦点. 设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c， 由题可知，，即． 因为天平三号卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，地球半径约为0.65万千米， 所以，可得， 因此，结合选项可知A满足． 故选：A. 模块五 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高二上·安徽六安·期末）已知椭圆的一个焦点为，则（   ） A． B．3 C． D．6 【答案】B 【解题思路】根据椭圆的焦点在轴上，依次确定和，再利用椭圆中，解出，即可得解. 【解答过程】根据已知条件，椭圆的焦点在轴上，则，，由得，所以. 故选：B. 2．（25-26高二上·福建福州·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为为上一点.若，则（    ） A．1 B．3 C．4 D．8 【答案】D 【解题思路】利用椭圆的定义判断选项即可. 【解答过程】由椭圆可得：， 根据椭圆的定义，， 则. 故选：D. 3．（25-26高二上·湖北十堰·期末）方程 表示焦点在轴上的椭圆，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由椭圆方程及焦点所在的位置列不等式求参数范围即可. 【解答过程】由题意，，可得. 故选：B. 4．（25-26高二上·陕西咸阳·期末）已知两定点，动点满足，则点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段 【答案】A 【解题思路】根据椭圆的定义判断的轨迹. 【解答过程】因为两定点，则， 又因为动点满足， 动点满足，即， 满足椭圆的定义，所以点的轨迹是椭圆. 故选：A. 5．（25-26高二上·湖南株洲·阶段检测）焦点在x轴上，中心在原点，长轴长为10，短轴长为8的椭圆方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据椭圆长轴长、短轴长的定义，结合椭圆焦点的位置进行求解即可. 【解答过程】因为椭圆的焦点在x轴上，中心在原点， 所以设该椭圆的标准方程为， 因为该椭圆长轴长为10，短轴长为8， 所以， 所以椭圆方程为. 故选：D. 6．（25-26高二上·陕西汉中·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一点（不含顶点），则的周长为（   ） A．6 B．12 C．10 D．20 【答案】B 【解题思路】根据椭圆的标准方程求出，再由椭圆的定义，即可求解. 【解答过程】因为椭圆，则，， 所以的周长为， 故选：B. 7．（25-26高二上·山西晋城·期末）设椭圆：的左、右焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点，若，，则椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先求证四边形是平行四边形，再利用椭圆的定义和离心率的定义可求. 【解答过程】由直线经过原点，且椭圆关于原点对称可知，四边形是平行四边形， 所以， 由椭圆定义得：，所以， 又因为，所以，所以， 所以椭圆的离心率. 故选：C. 8．（25-26高二上·山东泰安·期末）已知点是椭圆上的一个动点，，则的最大值为（    ） A．4 B． C． D．8 【答案】D 【解题思路】利用椭圆的定义得到，将所求的最大值转化为求的最大值，利用三角形的两边之差小于第三边，三点共线时取等号，从而得到所求. 【解答过程】，，， ， 设右焦点为，左焦点， ，， 当点共线时取等号， ，，， ，的最大值为. 故选：D. 二、多选题 9．（25-26高二上·河南许昌·期末）若方程表示椭圆，则的值可以为（   ） A．1 B．3 C．6 D．8 【答案】BD 【解题思路】根据方程表示椭圆列不等式，由此求得的取值范围，结合选项即可判断. 【解答过程】由于方程表示椭圆， 所以，解得或， 结合选项，可知的值可以为3和8. 故选：BD. 10．（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）关于椭圆，下列选项正确的是（    ） A．椭圆的长轴长为 B．椭圆的一个顶点为 C．椭圆的焦距为 D．椭圆的离心率为 【答案】BD 【解题思路】根据椭圆的方程可得a，b的值，即可判断A、B的正误，根据a，b，c的关系，可得c值，即可判断C、D的正误. 【解答过程】由椭圆的方程可得，所以， 所以椭圆的长轴长为，故A错误； 短轴端点为，则一个顶点为，故B正确； 因为，所以椭圆的焦距为，故C错误； 离心率为，故D正确. 故选：BD. 11．（2026高二上·福建厦门·专题练习）已知曲线，则（    ） A．当时，是焦距为的椭圆 B．当是焦点在轴上的椭圆时， C．若曲线为椭圆，的取值范围是 D．若椭圆的离心率为时， 【答案】AB 【解题思路】当时，求出椭圆的焦距，可判断A选项；根据方程所表示的曲线的形状求出的取值范围，可判断BC选项； 对椭圆焦点位置进行分类讨论，根据椭圆的离心率公式可得出关于的等式，求出的值，可判断D选项. 【解答过程】对于A选项，当时，曲线的标准方程为，则，， 所以，此时椭圆是焦距为的椭圆，A对； 对于B选项，若是焦点在轴上的椭圆，则，解得，B对； 对于C选项，若曲线为椭圆，则，解得或，C错； 对于D选项，若椭圆的焦点在轴上时，，则，， 所以，解得，符合题意， 若椭圆的焦点在轴上，则，解得， 则，，所以，解得， 综上所述，若椭圆的离心率为时，或，D错. 故选：AB. 三、填空题 12．（25-26高二上·甘肃兰州·阶段检测）已知椭圆的一个焦点是，那么__________. 【答案】 【解题思路】由椭圆焦点，结合椭圆方程可得，根据建立等式计算可解. 【解答过程】椭圆可化为， 因为一个焦点是，所以， 而，即，解得. 故答案为：. 13．（25-26高二上·上海·期末）若方程表示的曲线为椭圆，则的取值范围为__________. 【答案】 【解题思路】根据题意，利用椭圆的标准方程形式，列出不等式组，即可求解. 【解答过程】由方程表示的曲线为椭圆，则满足， 解得或，所以实数的取值范围为. 故答案为：. 14．（25-26高二上·上海松江·阶段检测）椭圆的两焦点分别为，设椭圆的离心率，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解题思路】根据椭圆的方程和离心率公式可得到，结合椭圆的离心率的取值范围解不等式即可. 【解答过程】依题意，设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，则，所以， 又椭圆的离心率为，所以， 即，即，解得， 则实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高二上·陕西西安·期末）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)一个焦点为，长轴长是短轴长的倍； (2)焦点在轴上，且经过两点、. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设椭圆的标准方程为，根据题意得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出椭圆的标准方程； （2）设椭圆的方程为，将点、的坐标代入椭圆的方程，可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出椭圆的标准方程. 【解答过程】（1）根据题意可设椭圆的标准方程为， 所以由题设有，解得，故椭圆的标准方程为. （2）根据题意可设椭圆的方程为， 将点、的坐标代入椭圆方程得，解得， 故椭圆的标准方程为. 16．（25-26高二上·天津宁河·期中）设椭圆的左右两个焦点分别为，，若点在椭圆上，且. (1)求椭圆的长轴长､短轴长､焦点坐标､顶点坐标､离心率； (2)求的面积； 【答案】(1)答案见解析 (2) 【解题思路】（1）由椭圆方程求得，由此可依次求得结果； （2）利用椭圆的定义和勾股定理可构造方程求得，由此可求得三角形面积. 【解答过程】（1）由椭圆方程得，，，， 所以椭圆的长轴长为；短轴长为；焦点为，；顶点为，，，；离心率. （2）由椭圆的定义知：，， 因为，所以， 即，解得， 所以. 17．（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）已知椭圆的焦点为、，该椭圆经过点 (1)求椭圆的标准方程； (2)若椭圆上的点满足，求. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用椭圆的定义可求出的值，结合的值可得出的值，即可得出椭圆的标准方程； （2）由题意得出，由题意得出，结合平面向量数量积的坐标运算求出的值，结合三角形的面积公式可求得的值. 【解答过程】（1）根据题意可设椭圆的标准方程为， 由椭圆的定义可得，故， 又因为，所以， 因此椭圆的标准方程为. （2）由题意可得，故， ，， 因为，所以 ，解得， 故. 18．（25-26高二上·辽宁·期中）已知动点P与两定点，连线的斜率之积为，记P的轨迹为曲线 (1)求点P的轨迹E的方程; (2)设点，点，求的最大值; 【答案】(1)； (2)； 【解题思路】（1）设，根据斜率公式，可得，表达式，根据，代入化简，即可得答案. （2）由（1）可得为椭圆的左焦点，分析可得点N在椭圆内，根据椭圆的定义，可得，分析求解，即可得答案. 【解答过程】（1）设，则，， 由，得，整理得， 故点P的轨迹方程E为. （2）由（1）知，点P的轨迹为除去长轴端点的椭圆，其中，，， 故点为椭圆的左焦点，设椭圆的右焦点为， 因为，所以点N在椭圆内， 由椭圆的定义得， 当P，N，三点共线(在线段PN上)时取等号， 所以的最大值为· 19．（2026高二上·福建厦门·专题练习）已知椭圆上的点到其焦点的距离的最大值为，最小值为． (1)求椭圆的方程； (2)设P为椭圆上一点，且，求焦点三角形的周长和面积． 【答案】(1)； (2)周长为，面积为 【解题思路】（1）利用已知条件求出，从而求出，求出椭圆标准方程； （2）利用椭圆的定义和几何性质，求出焦点三角形的周长，结合余弦定理和三角形面积公式求出面积． 【解答过程】（1）椭圆上的点到其焦点的距离的最大值为，最小值为， ，解得， ，， 椭圆的方程为． （2） ，， 又P为椭圆上一点，， 焦点三角形的周长； 在△中，由余弦定理得， 即①， ， ②， ②减①得，故， 三角形的面积． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $