第13讲 直线与圆的位置关系（九大题型+思维导图+知识归纳+课后作业）（暑假预习举一反三讲义）高二数学人教A版选择性必修第一册

第13讲 直线与圆的位置关系（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 直线与圆的位置关系及判定 在平面几何中，我们研究过直线与圆这两类图形的位置关系.前面我们学习了直线的方程、圆的方程，以及用方程研究两条直线的位置关系.下面我们类比用方程研究两条直线位置关系的方法，利用直线和圆的方程，通过定量计算研究直线与圆的位置关系. 【知识点1 直线与圆的位置关系及判定】 1．直线与圆的位置关系及判定方法 (1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下： 位置 相交 相切 相离 交点个数 两个 一个 零个 图形 d与r的关系 d<r d=r d>r 方程组解的情况 有两组不 同的解 仅有一组解 无解 (2)直线与圆的位置关系的判定方法 ①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的 实数解，即Δ>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即Δ=0，则直线与圆相切；若无实数解，即Δ<0，则直线与圆相离. ②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离. 【题型1 判断直线与圆的位置关系】 【例1】（24-25高二上·辽宁·期末）直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与有关 【答案】A 【解题思路】根据圆心在直线上，利用直线与圆的位置关系即可求解. 【解答过程】由题可得，圆心为，又点满足直线方程， 即直线经过圆心， 所以直线与圆相交. 故选：A. 【变式1-1】（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知圆，直线，则直线l与圆C的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【答案】B 【解题思路】根据题意，求得圆心到直线的距离，得到，即可得到答案. 【解答过程】由圆，可得圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 可得，所以直线与圆相切. 故选：B. 【变式1-2】（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】A 【解题思路】先确定直线过定点，再根据点与圆的位置关系进行判断. 【解答过程】因为直线： ， 所以直线经过定点. 因为，所以点在圆：内， 所以直线与圆：相交. 故选：A. 【变式1-3】（25-26高二上·吉林长春·期中）已知点在圆内，则直线与圆（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上均有可能 【答案】C 【解题思路】根据点与圆的位置关系得出，再利用的关系判断直线与圆的位置关系. 【解答过程】因点在圆内，则， 则点到直线的距离， 则直线与圆相离. 故选：C. 【题型2 根据直线与圆的位置关系求参数】 【例2】（25-26高二上·山东·期中）已知直线与圆相交，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意，根据圆心到直线的距离小于半径列不等式求解即可. 【解答过程】圆的圆心为，半径为， 若直线与圆相交， 则，即， 两边同时平方化简可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 【变式2-1】（25-26高二上·四川绵阳·期中）若直线：与圆：相切，则实数的取值为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【解题思路】由圆的方程确定圆心坐标和半径，根据直线与圆相切可得圆心到直线的距离等于圆的半径，列方程求. 【解答过程】方程可化为， 所以圆的圆心的坐标为，半径， 因为直线:与圆:相切， 所以点到直线的距离， 所以， 解得，或， 故选：A. 【变式2-2】（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，确定圆心到直线的距离的取值范围，根据点到直线的距离公式及不等式的性质，求得的取值范围. 【解答过程】由题意，圆的圆心为，半径， 圆心到直线，即的距离， 由圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个， 得，即， 解得或． 故选：C． 【变式2-3】（25-26高二上·安徽·期中）已知直线与圆相交，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】将圆的一般式方程整理为标准方程，确定其圆心及半径，使圆心到直线的距离小于半径即可. 【解答过程】圆的方程可整理为：， 因此圆心，半径. 因为直线与圆相交，故圆心到直线的距离， 得，即. 故选：C. 模块三 圆的切线及切线方程 【知识点2 圆的切线及切线方程】 1．自一点引圆的切线的条数： (1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线； (2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点； (3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线. 2．求过圆上的一点(x0,y0)的圆的切线方程： (1)求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求 得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程. (2)重要结论： ①经过圆上一点P的切线方程为. ②经过圆上一点P的切线方程为. ③经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为 . 【题型3 圆的切线长问题】 【例3】（25-26高二上·陕西商洛·期末）已知点是圆外一点，过P作圆C的两条切线，切于A，B两点，则切线长（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用切线长公式计算. 【解答过程】由题意知，，半径， 则. 故选：A. 【变式3-1】（25-26高二上·浙江金华·期末）点P为直线上一动点，过点P作圆的切线，切点为Q，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【解题思路】由题意可求出的最小值，结合圆的性质，利用勾股定理可求得的最小值. 【解答过程】设点的坐标为，，圆的圆心坐标为，半径， 则 由圆的几何性质可得， 又， 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 故选：C. 【变式3-2】（25-26高二上·河北张家口·期中）过点的直线与圆相切，则切线长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设切点为，连接，则，求出的值，结合勾股定理可求得切线长为. 【解答过程】设切点为，连接，则，如图所示：    圆心为，半径为，， 故切线长为. 故选：D. 【变式3-3】（25-26高二上·河南焦作·期中）从点向圆引切线，则切线长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设切点为，连接、，则，利用勾股定理和二次函数的基本性质可求得的最小值. 【解答过程】设切点为，连接、，则， 易知圆心为，圆的半径为， 由勾股定理可得 ， 当且仅当时，等号成立，故切线长的最小值为. 故选：D. 【题型4 圆的切线方程的求解】 【例4】（25-26高二上·山东·阶段检测）过圆上一点作圆的切线，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由圆的方程得圆心，即可求得直线的斜率，由切线的性质求得切线的斜率，然后写出切线方程. 【解答过程】圆的圆心为，则直线的斜率， 因为过圆上一点的切线与该点和圆心所在的直线垂直，即， 所以，则切线的斜率， 所以直线的方程为，即. 故选：C. 【变式4-1】（25-26高二上·江苏淮安·期中）过圆上一点作圆的切线则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先求圆心C，和切线垂直，求出切线斜率，然后求直线方程. 【解答过程】由题意得：圆心，所以，且，解得. 所以直线的方程为：，化简得：. 故选：C. 【变式4-2】（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用圆心与切点连线和切线垂直可求出切线斜率，再根据点斜式可得答案. 【解答过程】，由切线与直线垂直， 得：，得：， 又因为切线经过， 所以切线的方程为：， 即. 故选：A. 【变式4-3】（25-26高二上·重庆荣昌·阶段检测）在平面直角坐标系中，过点与圆 相切的直线方程是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【解题思路】分为切线的斜率是否存在两种情况，结合直线与圆相切的条件列式即可得到答案. 【解答过程】圆的圆心为，半径， 当斜率不存在时，直线为，此时圆心到直线的距离为，符合题意， 当斜率存在时，设直线的斜率为，则直线方程为，即， 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离， 所以，解得，所以直线方程为， 综上，过点与圆 相切的直线方程是或. 故选：D. 模块四 圆的弦长 【知识点3 圆的弦长】 1．圆的弦长问题 设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种： (1)几何法 如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：. (2)代数法 将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A，B. ①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解. ②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元 二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式. 2．解与圆有关的最值问题 (1)利用圆的几何性质求最值的问题 求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线. ①如图2-5-1-4①，当直线l与圆C相交时，最小距离为0，最大距离为AD=r+d.其中r为圆的半径，d 为圆心到直线的距离； ②如图2-5-1-4②，当直线l与圆C相切时，最小距离为0，最大距离为AD=2r； ③如图2-5-1-4③，当直线l与圆C相离时，最小距离为BD=d-r，最大距离为AD=d+r. (2)利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围) 问题 解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选 用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径. ①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. ②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题. ③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. (3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦. 【题型5 求圆的弦长与中点弦】 【例5】（25-26高二上·贵州·阶段检测）直线被圆截得的弦的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求出圆心到直线的距离，结合勾股定理可求得结果. 【解答过程】圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 故直线被圆截得的弦的长度为. 故选：D. 【变式5-1】（25-26高二上·云南玉溪·阶段检测）直线被圆截得的弦长为（   ） A．2 B． C．6 D． 【答案】B 【解题思路】由圆的方程写出圆心及半径，求圆心到直线的距离，然后由垂径定理求得弦长. 【解答过程】圆心，半径， 所以圆心到直线的距离， 所以弦长为. 故选：B. 【变式5-2】（25-26高二上·广东·期末）已知直线，圆，则直线被圆截得的弦长是（    ） A． B． C．5 D． 【答案】B 【解题思路】利用圆心到直线的距离，半径，弦长的一半构成直角三角形，结合勾股定理可求出弦长. 【解答过程】圆， 所以圆的半径，圆心为， 所以圆心到直线的距离， 所以直线被圆截得的弦长为. 故选：. 【变式5-3】（25-26高二上·浙江温州·期中）已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A．4 B．3 C． D． 【答案】A 【解题思路】先求出直线恒过的定点，圆心和半径，通过分析可知直线与直线垂直时，最小， 利用勾股定理求解即可. 【解答过程】，，，， 直线恒过点，在圆的内部， ，圆心，半径， 要使最小，则圆心到直线的距离最大， 当直线与直线垂直时， 圆心到直线的距离最大， ，，， 则的最小值为. 故选：A. 【题型6 已知圆的弦长求方程或参数】 【例6】（25-26高二上·全国·期末）若直线被圆截得的弦长为，则（ ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【解题思路】根据圆的方程求出圆心和半径，再根据直线截圆弦长公式求解参数的值. 【解答过程】圆的圆心，半径为， 设圆心到直线的距离， 由直线被圆截得的弦长为，得，所以. 故选：C. 【变式6-1】（25-26高二上·重庆·期中）“圆截直线所得弦长为2”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】根据圆的方程确定圆心和半径，利用圆的弦长公式列方程求参数，结合充分、必要性的定义确定条件间的关系. 【解答过程】由的圆心为，半径， 所以圆心到直线的距离， 由，则或， 所以“圆截直线所得弦长为2”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 【变式6-2】（25-26高二上·广西来宾·期中）已知过点的直线与圆：相交于，两点，若，则的方程为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【解题思路】由直线斜率存在和不存在结合弦长公式即可求解. 【解答过程】圆的标准方程为，圆心，半径. 当的斜率不存在时，，此时的方程为； 当的斜率存在时，设的方程为， 由，解得，此时的方程为. 综上，直线的方程为或. 故选：C. 【变式6-3】（25-26高二上·天津·期中）已知直线与圆交于、两点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求出圆心到直线的距离，以及圆的半径，利用勾股定理可求得实数的值. 【解答过程】圆的标准方程为，则，可得， 圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 由勾股定理可得，解得. 故选：A. 【题型7 直线与部分圆的相交问题】 【例7】（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）若直线与曲线C：有两个不同的公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据曲线的方程可得曲线是以原点为圆心，为半径的圆的轴的上半部分（含轴），求出直线与圆相切时的值，再结合图形即可求解. 【解答过程】由可得， 所以曲线是以原点为圆心，为半径的圆的轴的上半部分（含轴）， 直线过定点， 当直线与圆相切时， 圆心到直线的距离， 解得或（舍去）， 当直线过点时， 直线斜率为， 结合图形可得实数的取值范围是. 故选：C. 【变式7-1】（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意，得到直线过定点，曲线表示位于轴上方的半圆，画出图形，结合图形，利用斜率公式和点到直线的距离公式并结合图象求解取值范围即可. 【解答过程】由题意得，直线可化为，可得直线过定点， 将曲线化为， 则曲线表示以原点为圆心，半径为1，且位于轴上方的半圆，如图所示，    当直线过点时，直线与曲线有两个不同的交点，此时， 当直线过点且与半圆相切于点时，直线与曲线只有一个交点， 由，解得，即， 曲线与直线有两个交点，结合图形，可得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 【变式7-2】（25-26高二上·河北·阶段检测）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先求出直线的定点，然后结合图像，确定临界条件，进而求出结果. 【解答过程】直线可转化为，所以直线过定点，斜率为， 又曲线可转化为：，. 画出直线与曲线图象如图所示. 数形结合可得直线在，处产生临界条件， 设直线，的斜率分别为，. 点，则，设直线的方程为， 即，圆心到直线的距离为，解得， 所以要使直线和曲线有两个不同的交点，则. 故选：D. 【变式7-3】（25-26高二上·福建福州·期中）若直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】作出曲线的图象，数形结合可得解． 【解答过程】直线恒过定点， 由，得到 ， 所以曲线表示以点为圆心，半径为，且位于直线右侧的半圆（包括点，）， 如下图所示：    当直线经过点时，与曲线有两个交点，此时， 当与半圆相切时，由，得， 由图可知，当时，与曲线有两个公共点， 故选：D. 【题型8 直线与圆中的面积问题】 【例8】（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）已知点，，点P是圆上任意一点，则面积的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【解题思路】求出直线的方程，利用点到直线的距离，结合圆的性质求出点到直线距离的最小值即可求得面积最小值. 【解答过程】根据，则直线的方程为，即， 又由，则圆心为， 则， 所以点到直线的最小值， . 故选：C. 【变式8-1】（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知直线与圆交于A，B两点，当的面积最大时，（    ） A． B． C．0或 D．0或 【答案】D 【解题思路】利用已知直线与圆的位置关系，结合三角形面积公式和点到直线的距离公式列关于的方程求解． 【解答过程】 直线， 圆是圆心为，半径为的圆， 的面积，， 当时，的面积最大，此时圆心到直线l的距离为， ，解得或，经验证均符合题意， 当的面积最大时，或． 故选：D． 【变式8-2】（25-26高二上·福建泉州·期中）已知直线过点，且与圆交于，两点，当面积最大时，的方程为（ ） A． B．或 C． D． 或 【答案】D 【解题思路】如图，易知点在圆内，设，利用基本不等式确定的最大值，求出此时的，结合点线距计算即可求解. 【解答过程】依题意，圆的圆心，半径， 显然，即点在圆内，设的中点为，连接， 设，则 面积， 当且仅当即时，等号成立， 此时，圆心到直线的距离， 故过点的直线斜率一定存在， 设其方程为， 即 由，解得或， 此时直线方程为或. 故选：D. 【变式8-3】（25-26高二下·安徽安庆·阶段检测）若是直线上一动点，过作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】结合图象，将四边形的面积用表示出来，从而将求面积最小值转化成求的最小值，易得此最小值即点到直线的距离. 【解答过程】 如图，由可得，则其圆心为，半径. 因为直线与圆相切，所以，且， 则四边形面积， 又，则. 故当取最小值时，四边形面积取最小值， 由图象可得，取得的最小值即为点到直线的距离， 即， 故四边形面积的最小值为. 故选：B. 【题型9 直线与圆有关的最值问题】 【例9】（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）已知实数满足方程，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解题思路】求出圆的圆心和半径，设，即，则表示与直线平行或重合的直线的轴上的截距，求出圆心到直线的距离为，当直线与圆相切时，为最大值或最小值，则，代入和的值，计算求出的值，即可得到的最小值. 【解答过程】，， 圆心，半径为， 设，即， 则表示与直线平行或重合的直线的轴上的截距， 圆心到直线的距离为， 当直线与圆相切时，为最大值或最小值， 则，，， ，或， ，，. 故选：A. 【变式9-1】（25-26高二上·广西南宁·阶段检测）已知直线与圆交于两点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题意可得直线恒过定点，求得圆心到直线的距离的最大值可求的最大值． 【解答过程】由，得圆心，半径， 由直线，即，得直线恒过定点此点在圆内，. 又越小，则圆心到直线的距离越大， 如图，圆心到直线的最大距离为， 而， 所以圆心到直线的距离的最大值为， 此时， 所以， 所以的最大值为． 故选：D.      【变式9-2】（25-26高二上·河北衡水·期中）如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（    ）    A． B． C． D．-1 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，利用目标式的几何意义，结合直线与圆的位置关系求出最小值. 【解答过程】依题意，表示点与定点确定直线的斜率， 令，得直线：，    观察图形知，当与半圆相切于第一象限时，最小， 此时，因此，解得，所以的最小值为. 故选：C. 【变式9-3】（25-26高二上·贵州毕节·期末）已知直线：与圆：，点在直线上，过点作圆的切线，切点分别为，，四边形周长的最小值为（   ） A． B． C． D．16 【答案】C 【解题思路】求圆心到直线的距离，可得切线长，即可得四边形周长的最小值. 【解答过程】圆：的圆心为，半径， 圆心到直线：的距离，    因为，且， 则四边形周长， 所以四边形周长的最小值为. 故选：C. 模块五 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高二上·安徽六安·期末）已知，直线，则直线与的位置关系（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 【答案】A 【解题思路】先求出直线经过的定点坐标，判断点与圆的位置关系即可得出结论. 【解答过程】将代入直线中有，解得， 所以直线恒过点， 代入方程得， 所以点在内部，所以直线与相交， 故选：A. 2．（25-26高二上·山西运城·期末）已知直线与圆交于两点，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【解题思路】先算出圆心到直线的距离，然后利用圆的弦长公式计算即可. 【解答过程】已知圆的方程为，所以圆心坐标为，. 故圆心到直线：的距离， 所以弦. 故选：C. 3．（25-26高二上·云南楚雄·期末）已知，直线，圆，则“点在圆外”是“直线与圆相交”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】由点在圆外得到，由直线与圆相交得到，再结合充要条件的概念即可判断. 【解答过程】圆的圆心为，半径为. 点在圆外等价于； 直线与圆相交等价于，即. 故“点在圆外”是“直线与圆相交”的充要条件. 故选：C. 4．（25-26高二上·广东深圳·期末）中国拱桥一般分为圆弧线型、抛物线型和悬链线型．如图在一个圆弧线型拱桥中，圆拱跨度米，拱高米，现有一船，宽8米，露出水面的高度为米，则下列数据中能安全过桥的最高值为（   ）米（参考数据：） A．3.0 B．3.1 C．3.2 D．3.3 【答案】B 【解题思路】建立平面直角坐标系，设图中矩形EFGH为船刚好能通过桥下时的位置，先求得圆的方程，再将代入求得纵坐标判断. 【解答过程】如图，以圆拱桥横跨水面上的正投影为轴，过桥的最高点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系，设图中矩形EFGH为船刚好能通过桥下时的位置， 则，，， 设圆拱桥所在圆的方程为， 由已知得：；， 解得，. 故圆的方程为， 令，解得（负根舍去），， 可得题目数据中能安全过桥的最高值为3.1（米）. 故选：B. 5．（25-26高二上·辽宁抚顺·期末）过圆上一点作圆的切线，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题意可得，从而得，写出直线的点斜式方程，再化成一般式即可. 【解答过程】圆的圆心为， 则直线的斜率， 因为过圆上一点的切线与该点和圆心所在的直线垂直， 即， 所以，    则切线的斜率， 所以直线的方程为， 即. 故选：C. 6．（25-26高二上·广东·期末）若直线：与：交于，两点，则的最小值为（   ） A．3 B．6 C． D． 【答案】B 【解题思路】根据直线过定点并求出圆心到直线距离的最大值，可得弦长的最小值. 【解答过程】直线的方程可化为， 令，解得，所以恒过定点. 又的圆心，半径为，， 易知当时，圆心到直线的距离最大值为，此时取得最小值， 可得最小值为. 故选：B. 7．（25-26高二上·广东韶关·期末）若曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】结合题意对条件合理转化，并作出符合题意的图形，再利用直线和半圆的位置关系求解参数范围即可. 【解答过程】由题意得，直线可化为， 可得直线过定点，将曲线化为， 则曲线表示以原点为圆心，半径为2，且位于轴上方的半圆， 如图所示，当直线过点时， 直线与曲线有两个不同的交点，此时， 当直线过点且与半圆相切于点时， 若直线与曲线只有一个交点，由，解得，即， 若曲线与直线有两个交点，结合图形可得， 则实数的取值范围是. 故选：D. 8．（25-26高二上·河南洛阳·期末）过直线上的动点向圆引切线，切点为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分析可知当与直线垂直时，取最小值，利用点到直线的距离公式可求出的最小值，结合勾股定理可求得的最小值. 【解答过程】连接，则，如下图所示： 圆的圆心为坐标原点，半径为，由勾股定理可得， 所以当取最小值时，取最小值， 故当与直线垂直时，取最小值， 即的最小值为， 所以. 故选：B. 二、多选题 9．（25-26高二上·广东·期末）已知直线：与圆：，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．当时，直线与圆相切 C．当时，直线与圆相交 D．当时，直线与圆相离 【答案】AC 【解题思路】根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，与圆的半径进行比较，即可判断直线与圆的位置关系. 【解答过程】圆：，配方得，圆心坐标，半径. 选项A：令，则，与无关，所以直线恒过定点，A正确. 选项B：当时，直线方程为. 圆心到直线的距离为，所以直线与圆相交，B错误. 选项C：当时，直线方程为. 圆心到直线的距离为，所以直线与圆相交，C正确. 选项D：当时，直线方程为. 圆心到直线的距离为，所以直线与圆相交，D错误. 故选：AC. 10．（25-26高二上·安徽六安·期末）设圆的圆心为，直线过，且与圆交于，两点，若，则直线的方程可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解题思路】求出圆心的坐标，按直线的斜率是否存在，结合圆的弦长公式求解即得 【解答过程】圆的圆心，半径， 当直线l的斜率不存在时，则直线方程为， 圆心到直线的距离为1，满足，直线符合题意； 当直线l的斜率存在时，设直线的方程为，即， 圆心到直线l的距离， 此时直线l：， 所以直线的方程为或. 故选：AC. 11．（25-26高二上·湖南衡阳·期末）已知圆与直线，点在圆上，点在直线上，则（    ） A．的坐标为 B．圆上只有一个点到直线的距离为2 C． D．从点向圆引切线，切线长的最小值是 【答案】BC 【解题思路】把一般式化成标准式可得圆的圆心及半径，可判断A；求出圆心到直线的距离判断B；利用圆的性质及切线性质求出最小值判断CD. 【解答过程】圆的标准方程为， 圆心为，半径，A错误； 对于B，过作直线的垂线，交圆于点，交直线于， 圆心到直线的距离： ，而， 所以圆上只有点满足到直线的距离为2，B正确； 对于，C正确； 对于D，由切线的性质， 得切线长为，D错误. 故选：BC. 三、填空题 12．（25-26高二上·陕西西安·期末）直线与圆交于A，B两点，则_________． 【答案】 【解题思路】由圆的方程确定圆心和半径，再通过点到直线的距离以及半径、半弦长的关系，求解即可. 【解答过程】圆的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离，则． 故答案为：. 13．（25-26高二上·天津西青·期末）已知直线与圆相切，则__________. 【答案】8 【解题思路】利用圆的切线性质列式计算即得. 【解答过程】圆的圆心为，半径为， 依题意，，所以. 故答案为：8. 14．（25-26高二上·云南大理·期末）过直线上的动点作圆的两条切线，切点分别为A，B，当最大时，四边形的面积为________. 【答案】 【解题思路】连接，由，通过确定最大时，最大，进而可求解. 【解答过程】 圆的标准方程为：， 其圆心到直线的距离为，故直线与圆相离. 连接，在Rt中，， 则当的长度最小时，最大，此时最大. 而的最小值即为圆心到直线的距离，即，此时切线长， 由于Rt， 故四边形的面积， 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高二上·江苏·期末）已知直线，圆 (1)当时，判断直线l与圆C的位置关系； (2)记直线l与圆C的交点为A，B，当时，求k的值. 【答案】(1)相交 (2) 【解题思路】（1）利用点到直线距离与圆半径比较，即可判断直线与圆间的位置关系. （2）利用圆的弦长求出圆心到直线的距离，进而根据点到直线的距离公式求解直线斜率. 【解答过程】（1）圆的圆心，半径，又直线， 圆心C到直线的距离， 所以直线l与圆C相交. （2）圆心到直线的距离，则， 整理得，所以. 16．（25-26高二上·广东潮州·期末）已知圆经过点，，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)求过点，且与圆相切的直线的方程． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）将、坐标代入圆的标准方程，得到关于和的方程并求解即可； （2）判断点与圆的位置关系，进而根据切线和半径几何关系和点斜式求解方程. 【解答过程】（1）设圆心（圆心在上），圆的标准方程为：， 因为圆过和，代入两点得：， 展开化简得：，解得，即圆心， 则， 所以圆的方程为 （2）点代入圆方程左边得， 因此在圆上，过的切线仅有1条. 半径所在直线的斜率为：，切线与半径垂直， 因此切线斜率，由点斜式得切线方程：， 整理得：. 17．（25-26高二上·山东青岛·阶段检测）一个圆M切直线：于点，且圆心在直线上. (1)求该圆的方程； (2)过点作该圆的两条切线，切点分别为A，B．求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据直线垂直关系求出PM直线方程，与直线方程联立求得圆心，再求出半径即可得解； （2）先求出，然后得到以为圆心，为半径的圆的方程，然后与圆的方程相减，进而得到直线的方程. 【解答过程】（1）设圆心坐标为，则设过P点的半径所在的直线为，代入，可得 由：，解得：， 所以，所以， 所以圆的方程为． （2）已知，圆心，根据两点间距离公式可得， 因为， 所以以为圆心，为半径的圆的方程为， 展开化简得. 圆的方程为，展开化简得. 两式相减得，化简得. 所以直线的方程为：. 18．（25-26高二上·山东聊城·期末）已知圆经过点与点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若圆上恰有三个点到直线的距离为1，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）由题意设圆心，由即可解得的值，进而求得圆的方程； （2）若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则有一条与平行，且与距离为1的直线与圆相切，另一条与平行，且与距离为1的直线与圆相交，且圆心到直线的距离，由此求得的值并加以验证即可. 【解答过程】（1）设圆心为，半径为，由题意得，即， 且有，即， 解得，进而，， 则圆的方程为. （2）由题意得一条平行于，且与距离为1的直线与圆相切，此时贡献1个点， 一条平行于，且与距离为1的直线与圆相交，此时贡献2个点， 且圆心到直线的距离， ①当直线斜率不存在时，即时，直线， 此时圆心到的距离为2，符合题意， 与圆相切于1个点，与圆相交于2个点，符合题意， 故满足题意； ②当直线斜率存在时，即时，直线， 则有，解得（已验证）或， 此时有直线， 易得与圆相切于1个点，与圆相交于2个点， 符合题意，故满足题意； 综上，直线的方程为或. 19．（25-26高二上·四川遂宁·期末）已知圆过点，，圆心在直线上. (1)求的标准方程； (2)直线与交于，两点，点为上任意一点，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意设圆的标准方程为.将两点的坐标代入方程，求出的值，即可得解； （2）求出圆心到直线的距离，再利用几何法求出弦长，分析出点到直线的最大距离为，再根据三角形的面积公式计算即可得解. 【解答过程】（1）因为圆心在直线上，所以设圆心为，半径为， 则圆的标准方程为. 因为圆过点，， 所以，即. 将上面两式相减，消去，可得，解得， 将其代入，解得. 所以圆的标准方程为； （2）    由（1）知圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为， 则，要使面积的最大， 只须点到直线的距离最大，最大距离为， 故面积的最大值为. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 直线与圆的位置关系（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 直线与圆的位置关系及判定 在平面几何中，我们研究过直线与圆这两类图形的位置关系.前面我们学习了直线的方程、圆的方程，以及用方程研究两条直线的位置关系.下面我们类比用方程研究两条直线位置关系的方法，利用直线和圆的方程，通过定量计算研究直线与圆的位置关系. 【知识点1 直线与圆的位置关系及判定】 1．直线与圆的位置关系及判定方法 (1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下： 位置 相交 相切 相离 交点个数 两个 一个 零个 图形 d与r的关系 d<r d=r d>r 方程组解的情况 有两组不 同的解 仅有一组解 无解 (2)直线与圆的位置关系的判定方法 ①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的 实数解，即Δ>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即Δ=0，则直线与圆相切；若无实数解，即Δ<0，则直线与圆相离. ②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离. 【题型1 判断直线与圆的位置关系】 【例1】（24-25高二上·辽宁·期末）直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与有关 【变式1-1】（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知圆，直线，则直线l与圆C的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【变式1-2】（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【变式1-3】（25-26高二上·吉林长春·期中）已知点在圆内，则直线与圆（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上均有可能 【题型2 根据直线与圆的位置关系求参数】 【例2】（25-26高二上·山东·期中）已知直线与圆相交，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高二上·四川绵阳·期中）若直线：与圆：相切，则实数的取值为（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式2-2】（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高二上·安徽·期中）已知直线与圆相交，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 模块三 圆的切线及切线方程 【知识点2 圆的切线及切线方程】 1．自一点引圆的切线的条数： (1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线； (2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点； (3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线. 2．求过圆上的一点(x0,y0)的圆的切线方程： (1)求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求 得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程. (2)重要结论： ①经过圆上一点P的切线方程为. ②经过圆上一点P的切线方程为. ③经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为 . 【题型3 圆的切线长问题】 【例3】（25-26高二上·陕西商洛·期末）已知点是圆外一点，过P作圆C的两条切线，切于A，B两点，则切线长（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高二上·浙江金华·期末）点P为直线上一动点，过点P作圆的切线，切点为Q，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【变式3-2】（25-26高二上·河北张家口·期中）过点的直线与圆相切，则切线长为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高二上·河南焦作·期中）从点向圆引切线，则切线长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【题型4 圆的切线方程的求解】 【例4】（25-26高二上·山东·阶段检测）过圆上一点作圆的切线，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高二上·江苏淮安·期中）过圆上一点作圆的切线则的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高二上·重庆荣昌·阶段检测）在平面直角坐标系中，过点与圆 相切的直线方程是（    ） A． B． C．或 D． 模块四 圆的弦长 【知识点3 圆的弦长】 1．圆的弦长问题 设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种： (1)几何法 如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：. (2)代数法 将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A，B. ①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解. ②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元 二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式. 2．解与圆有关的最值问题 (1)利用圆的几何性质求最值的问题 求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线. ①如图2-5-1-4①，当直线l与圆C相交时，最小距离为0，最大距离为AD=r+d.其中r为圆的半径，d 为圆心到直线的距离； ②如图2-5-1-4②，当直线l与圆C相切时，最小距离为0，最大距离为AD=2r； ③如图2-5-1-4③，当直线l与圆C相离时，最小距离为BD=d-r，最大距离为AD=d+r. (2)利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围) 问题 解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选 用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径. ①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. ②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题. ③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. (3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦. 【题型5 求圆的弦长与中点弦】 【例5】（25-26高二上·贵州·阶段检测）直线被圆截得的弦的长度为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高二上·云南玉溪·阶段检测）直线被圆截得的弦长为（   ） A．2 B． C．6 D． 【变式5-2】（25-26高二上·广东·期末）已知直线，圆，则直线被圆截得的弦长是（    ） A． B． C．5 D． 【变式5-3】（25-26高二上·浙江温州·期中）已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A．4 B．3 C． D． 【题型6 已知圆的弦长求方程或参数】 【例6】（25-26高二上·全国·期末）若直线被圆截得的弦长为，则（ ） A． B． C．2 D． 【变式6-1】（25-26高二上·重庆·期中）“圆截直线所得弦长为2”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式6-2】（25-26高二上·广西来宾·期中）已知过点的直线与圆：相交于，两点，若，则的方程为（   ） A． B． C．或 D． 【变式6-3】（25-26高二上·天津·期中）已知直线与圆交于、两点，且，则（    ） A． B． C． D． 【题型7 直线与部分圆的相交问题】 【例7】（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）若直线与曲线C：有两个不同的公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高二上·河北·阶段检测）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26高二上·福建福州·期中）若直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型8 直线与圆中的面积问题】 【例8】（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）已知点，，点P是圆上任意一点，则面积的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【变式8-1】（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知直线与圆交于A，B两点，当的面积最大时，（    ） A． B． C．0或 D．0或 【变式8-2】（25-26高二上·福建泉州·期中）已知直线过点，且与圆交于，两点，当面积最大时，的方程为（ ） A． B．或 C． D． 或 【变式8-3】（25-26高二下·安徽安庆·阶段检测）若是直线上一动点，过作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【题型9 直线与圆有关的最值问题】 【例9】（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）已知实数满足方程，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 【变式9-1】（25-26高二上·广西南宁·阶段检测）已知直线与圆交于两点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（25-26高二上·河北衡水·期中）如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（    ）    A． B． C． D．-1 【变式9-3】（25-26高二上·贵州毕节·期末）已知直线：与圆：，点在直线上，过点作圆的切线，切点分别为，，四边形周长的最小值为（   ） A． B． C． D．16 模块五 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高二上·安徽六安·期末）已知，直线，则直线与的位置关系（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 2．（25-26高二上·山西运城·期末）已知直线与圆交于两点，则（    ） A．2 B． C．4 D． 3．（25-26高二上·云南楚雄·期末）已知，直线，圆，则“点在圆外”是“直线与圆相交”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高二上·广东深圳·期末）中国拱桥一般分为圆弧线型、抛物线型和悬链线型．如图在一个圆弧线型拱桥中，圆拱跨度米，拱高米，现有一船，宽8米，露出水面的高度为米，则下列数据中能安全过桥的最高值为（   ）米（参考数据：） A．3.0 B．3.1 C．3.2 D．3.3 5．（25-26高二上·辽宁抚顺·期末）过圆上一点作圆的切线，则的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·广东·期末）若直线：与：交于，两点，则的最小值为（   ） A．3 B．6 C． D． 7．（25-26高二上·广东韶关·期末）若曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·河南洛阳·期末）过直线上的动点向圆引切线，切点为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高二上·广东·期末）已知直线：与圆：，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．当时，直线与圆相切 C．当时，直线与圆相交 D．当时，直线与圆相离 10．（25-26高二上·安徽六安·期末）设圆的圆心为，直线过，且与圆交于，两点，若，则直线的方程可以为（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·湖南衡阳·期末）已知圆与直线，点在圆上，点在直线上，则（    ） A．的坐标为 B．圆上只有一个点到直线的距离为2 C． D．从点向圆引切线，切线长的最小值是 三、填空题 12．（25-26高二上·陕西西安·期末）直线与圆交于A，B两点，则_________． 13．（25-26高二上·天津西青·期末）已知直线与圆相切，则__________. 14．（25-26高二上·云南大理·期末）过直线上的动点作圆的两条切线，切点分别为A，B，当最大时，四边形的面积为________. 四、解答题 15．（25-26高二上·江苏·期末）已知直线，圆 (1)当时，判断直线l与圆C的位置关系； (2)记直线l与圆C的交点为A，B，当时，求k的值. 16．（25-26高二上·广东潮州·期末）已知圆经过点，，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)求过点，且与圆相切的直线的方程． 17．（25-26高二上·山东青岛·阶段检测）一个圆M切直线：于点，且圆心在直线上. (1)求该圆的方程； (2)过点作该圆的两条切线，切点分别为A，B．求直线的方程． 18．（25-26高二上·山东聊城·期末）已知圆经过点与点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若圆上恰有三个点到直线的距离为1，求直线的方程. 19．（25-26高二上·四川遂宁·期末）已知圆过点，，圆心在直线上. (1)求的标准方程； (2)直线与交于，两点，点为上任意一点，求面积的最大值. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $