第13讲 函数的应用（一）（六大题型+思维导图+知识归纳+课后作业）（暑假预习举一反三讲义）高一数学人教A版必修第一册

第13讲 函数的应用（一）（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 一次函数、二次函数模型的应用 我们学习过的一次函数、二次函数、幂函数等都与现实世界有紧密联系.下面通过一些实例感受它们的广泛应用，体会利用函数模型解决实际问题的过程与方法. 【知识点1 一次函数、二次函数模型的应用】 1．实际问题中函数建模的基本步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型. (2)建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型. (3)求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解. (4)还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果 要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答. 2．一次函数模型的应用 一次函数模型：f(x)=kx+b(k,b为常数，k≠0). 一次函数是常见的一种函数模型，在初中就已接触过. 3．二次函数模型的应用 二次函数模型：f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0). 二次函数为生活中常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等最值 问题常用到二次函数模型. 【题型1 一次函数模型的应用】 【例1】（25-26高一上·北京·期中）果蔬批发市场批发某种水果，不少于千克时，批发价为每千克元，小王携带现金3000元到市场采购这种水果，并以此批发价买进，如果购买的水果为千克，小王付款后剩余现金为元，则与之间的函数关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意，直接列式，根据题意求x的最小值和最大值，得到x的取值范围. 【解答过程】由题意可知函数关系式是， 由题意可知最少买千克，最多买千克，所以函数的定义域是. 故； 故选:C. 【变式1-1】（2026高一·全国·专题练习）南通至通州的某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的函数关系如图所示（收支差额＝车票收入一支出费用）．由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议（Ⅰ）不改变车票价格，减少支出费用；建议（Ⅱ）不改变支出费用，提高车票价格．下面给出的四个图形中，实线虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则（    ） A．①反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ） B．②反映了建议（Ⅰ），④反映了建议（Ⅱ） C．①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ） D．④反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ） 【答案】C 【解题思路】根据题意，利用一次函数的性质判断不同方案下参数的变化对图象的影响，即可确定正确选项. 【解答过程】设目前车票价格为，支出费用为，则， 对于建议（I），设建议后的支出费用为（＜），则， 显然建议后，直线斜率不变，在y轴上的截距变大，故图象①反映了建议（I）； 对于建议（II），设建议后的车票价格为（＞），则， 显然建议后，直线斜率变大，在y轴上的截距不变，故图象③反映了建议（II）． 故选：C． 【变式1-2】（25-26高一上·浙江·期中）网上购物常常看到下面这样一张表，第一行可以理解为脚的长度，第二行是我们习惯称呼的“鞋号”．为了穿得舒适，鞋子不能挤脚，也不能过长． SIZE 尺码对照表 中国鞋码实际标注 (同国际码) mm 220 225 230 235 240 245 250 255 260 265 中国鞋码习惯叫法 (同欧码) 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 一个篮球运动员的脚长为282 mm，则从表格数据可以推算出，他最适合穿的鞋号是（    ） A．45 B．46 C．47 D．48 【答案】C 【解题思路】设出一次函数，采用待定系数法求出，令即可求解. 【解答过程】设脚长为，鞋号为码，由数据可知，脚长和鞋号符合一次函数关系：，将代入可得，当时，，故他最适合穿的鞋号是47码. 故选：C. 【变式1-3】（25-26高一上·湖北武汉·期中）从装满10升纯酒精的容器中倒出2升酒精，然后用水将容器加满，再倒出2升酒精溶液，再用水将容器加满，照这样的方法继续下去，设倒完第次后，前次共倒出纯酒精升，倒完第次后，前次共倒出纯酒精升，则的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求出第次倒出酒精后容器中含纯酒精的质量，然后可得第次倒出的纯酒精的质量，然后可得倒次共倒出的纯酒精． 【解答过程】第次时共倒出了纯酒精升， 第次倒出后容器中含纯酒精为升 第次倒出的纯酒精是升 所以倒出第次时，共倒出了纯酒精 故选：C. 【题型2 二次函数模型的应用】 【例2】（24-25高一上·北京·期中）某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，要求每箱售价不得低于50元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．要获得最大利润，每箱苹果的售价应定为（   ） A．55元 B．60元 C．65元 D．70元 【答案】B 【解题思路】设每箱苹果的售价为，每天获得的利润为，由题意得到与的函数关系，借助二次函数即可求解. 【解答过程】设每箱苹果的售价为，每天获得的利润为， 由题意，则有， 因为，所以当时，取到最大值为. 故选：B. 【变式2-1】（25-26高一上·河南·阶段检测）如图，动物园要靠墙（足够长）建造两间相邻的长方形禽舍，不靠墙的面以及两间禽舍之间要修建围墙，已有材料可供建成围墙的总长度为36米，若设禽舍宽为米，则当所建造的禽舍总面积最大时，的值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【解题思路】根据题意，用表示禽舍的总长，从而得到禽舍的面积关于的表达式，利用配方法即可得解. 【解答过程】由题意，若把材料全部用完，则禽舍的总长为， 设所建造的禽舍总面积为， 则， 所以当所建造的禽舍总面积最大时，的值. 故选：D. 【变式2-2】（25-26高一上·天津·阶段检测）某文具店购进一批新型台灯，最低销售价格为15元，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏，若售价每提高1元，则日销售量将减少2盏，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，则这批台灯的销售价格的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据已知得到销售收入且，再由求范围. 【解答过程】由题设，销售收入且， 为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，则， 所以，可得， 综上，. 故选：C. 【变式2-3】（25-26高一上·四川南充·开学考试）如图，用一段长为米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，已知墙长80米，则菜园面积的最大值为（    ）平方米.    A．1800 B．1750 C．1700 D．1600 【答案】A 【解题思路】设BC长为x米，利用面积公式求出菜园面积，将二次函数的解析式化成顶点式，结合图像开口方向以及x的取值范围即可确定面积的最大值． 【解答过程】    设BC长为x米，∴， ∴由矩形的面积公式得：， ∴y与x的函数关系式为； ， ∵，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y有最大值，最大值为平方米． 故选：A. 模块三 幂函数模型的应用 【知识点2 幂函数模型的应用】 1．幂函数模型的应用 幂函数模型应用的求解策略: (1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，确定函数关系式. (2)根据题意，直接列出相应的函数关系式. 【题型3 幂函数模型的应用】 【例3】（25-26高一·全国·寒假作业）某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x（万元）与药品利润y（万元）存在的关系为（α为常数），其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为（    ） A．115万元 B．120万元 C．125万元 D．130万元 【答案】C 【解题思路】根据已知代入求解得出解析式，再计算求解. 【解答过程】由已知投入广告费用为3万元，药品利润为27万元，代入中，得，解得， 故函数解析式为，所以当时，． 故选：C. 【变式3-1】（25-26高一上·广东揭阳·期中）在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量（单位：）与管道半径（单位：）的四次方成正比．若气体在半径为的管道中，流量为，气体在半径为的管道中，流量大于且小于，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设，当，时，求出的值，再由可求出的取值范围. 【解答过程】根据题意，设，由题意可得，解得，故， 当时，，解得， 故选：D. 【变式3-2】（25-26高一上·青海西宁·期末）为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文．现在加密密钥为，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“”，则解密后得到的明文是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解题思路】根据题意中给出的解密密钥为，利用其加密、解密原理， 求出的值，解方程即可求解. 【解答过程】由题可知加密密钥为， 由已知可得，当时，， 所以，解得， 故，显然令，即， 解得，即． 故选：A. 【变式3-3】（25-26高一上·全国·单元测试）遗忘曲线（又称“艾宾浩斯遗忘曲线”）是由德国心理学家艾宾浩斯（H．Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率y与初次记忆经过的时间x（单位：时）的大致关系：，若陈同学需要在明天15：00考语文时拥有复习背诵记忆的42%，则他明天复习背诵的时间需大约在（    ）参考数据： ，． A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00 【答案】A 【解题思路】利用函数模型求出需要记忆的时间，即可推断出考前复习背诵的时间在几点开始. 【解答过程】令，则． ∵，，， ∴的估计值可取0.5，即他复习背诵的时间需大约在． 故选：A. 模块四 分段函数模型的应用 【知识点3 分段函数模型的应用】 1．分段函数模型的应用 由于分段函数在不同区间上具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化前后的实际问题中具有广泛的应用. 【题型4 分段函数模型的应用】 【例4】（25-26高一上·广西柳州·阶段检测）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”，计算方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过的部分 3元 超过的部分但不超过的部分 6元 超过的部分 9元 甲用户某月缴纳的水费为54元，则甲用户该月的用水量（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】D 【解题思路】根据题设条件可得水费与水价的关系式，根据该关系式可求用水量. 【解答过程】设用水量为，水价为元， 则， 整理得到：， 当时，；时，；时，. 故甲户本月缴纳的水费为54元，则用水量应满足， 令，解得，即甲用户该月的用水量为. 故选：D. 【变式4-1】（25-26高二下·北京朝阳·期末）某研究所开发一种新药，据监测，一次性服药小时后每毫升血液中的含药量（毫克）与时间（小时）之间近似满足图中所示的曲线关系.据测定，每毫升血液中含药量不少于4毫克时治疗疾病有效，则12小时内药物在体内对治疗疾病一直有效所持续的时长为（    ） A．4小时 B．5小时 C．6小时 D．7小时 【答案】A 【解题思路】首先求出函数解析式，再令求出相应的的取值范围，即可得解． 【解答过程】当时，则， 当时，设函数为， 将，代入可得，解得，所以， 所以， 要使，则或，解得或， 综上所述：， 所以有效所持续的时长为个小时． 故选：A． 【变式4-2】（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）在环保科技展览会上，某公司推出了一种新型环保材料供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场.已知该种材料年固定研发成本为50万元，每生产一吨需另投入90元.设该公司一年内生产该材料万吨且全部售完，总销售收入为（万元）与年产量（万吨）满足如下关系式：. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万吨）的函数解析式（利润=销售收入-成本）； (2)当年产量为多少万吨时，该公司获得的年利润最大?并求出最大利润. 【答案】(1) (2)当年产量为万吨时，该公司获得的年利润最大，且最大利润为1600万元. 【解题思路】（1）由利润等于销售收入减去投入成本和固定成本可得解析式，（2）分别求出分段函数每一段的最大值后比较可得结论． 【解答过程】（1）由， 可得， （2）当时，是对称轴为的二次函数， 则在上单调递增， 故当时，万元， 时，， ，，， 由基本不等式得：，当且仅当时，等号成立，万元， ， 当年产量为万吨时，该公司获得的年利润最大，且最大利润为1600万元. 【变式4-3】（25-26高一上·湖北·阶段检测）十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，2025年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本4000万元，每生产（百辆）需另投入成本（万元），且，由市场调研知，每辆车售价6万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完. (1)求出2025年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式：（利润=销售额-成本） (2)当2025年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 【答案】(1) (2)2025年产量为100百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为2300万元 【解题思路】（1）根据条件得到销售额为（万元），分和两种情况讨论得到利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式； （2）由，则分两种情况，分别在对应范围内利用二次函数的对称轴和基本不等式讨论最大值，最后取最大者即为最大利润. 【解答过程】（1）每辆售价 6 万元，产量x（百辆）对应100x辆，故销售额为（万元） 当时，， 当时，， ∴； （2）当时，， 这个二次函数的对称轴为，所以当时，为最大值， 当时，， ∵，当且仅当，即时，等号成立， ∴， 即当时，取到最大值2300， ∵，∴当时， 即2025年产量为100百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为2300万元. 【题型5 分式型函数模型的应用】 【例5】（25-26高一·全国·期中）某企业用1960万元购得一块空地，计划在该空地建造一栋（，）层，每层2800平方米的楼房．经测算，该楼房每平方米的平均建筑费用为（单位：元）．若该楼房每平方米的平均综合费用不超过2000元，（注：综合费用＝建筑费用＋购地费用），则该楼房最多建的层数为（     ） A．11 B．8 C．12 D．10 【答案】C 【解题思路】根据实际问题建立函数关系式，再利用一元二次不等式解出范围，根据变量的取值范围即可得答案. 【解答过程】设该楼房每平方米的平均综合费用为元， 则，即， 则，解得． 因为，所以该楼房最多建12层． 故选：C. 【变式5-1】（25-26高一上·江苏扬州·阶段检测）网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时间内，成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2023年10月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量万件与投入实体店体验安装的费用万元之间满足函数关系式.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是（    ）万元. A．45.5 B．37.5 C．36 D．35 【答案】B 【解题思路】根据题意，得到，进而得到月利润的表示式，结合基本不等式即可求解. 【解答过程】依题意，产品的月销量万件与投入实体店体验安装的费用万元之间满足， 即有，由，得， 因此月利润 ，当且仅当时，即时取等号， 所以当万件时，该公司最大月利润为万元. 故选：B. 【变式5-2】（25-26高一上·重庆长寿·期末）某电脑公司为了提高产值，预计生产电脑的固定成本为万元，每生产千台电脑，需投入成本万元，.按前几年的统计数据，最少生产万台，最多每年生产万台电脑.已知每台电脑的售价为万元，且假设全年内生产的电脑当年能全部销售完. (1)以利润(万元)为函数，年产量（千台）为自变量，求函数解析式； (2)求当年利润的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据利润收入成本即可得结果； （2）直接根据对勾函数的性质即可得解. 【解答过程】（1）由题意得（） （2）由（1）可得：（）， 函数在区间单调递减，在区间单调递增， 当年产部时，，当年产部时，， 当年产部时，， 因此：当年产量为部时，公司所获利润最大，最大利润为万元，当产量为部时，公司所获利润最小，最小利润为万元， 综上所述：公司利润取值范围是：（单位万元）. 【变式5-3】（25-26高二下·全国·期中）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用32年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度（单位；）满足关系：，设为隔热层建造费用与32年的能源消耗费用之和． (1)求的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值． 【答案】(1) (2)当隔热层修建厚时，总费用最小，最小值为万元 【解题思路】（1）由建造费与能源消耗费求和可得； （2）利用基本不等式求解即可. 【解答过程】（1）每年能源消耗费用为，建造费用为， ∴. （2）因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，取得最小值， ∴当隔热层修建6cm厚时，总费用最小，最小值为112万元. 模块五 “对勾”函数模型的应用 【知识点4 “对勾”函数模型的应用】 1．“对勾”函数模型的应用 对勾函数模型是常考的模型，要牢记此类函数的性质，尤其是单调性：(a>0,b>0)，当x>0时，在上递减，在上递增.另外，还要注意换元法的运用. 2．“对勾”函数模型的求解方法 (1)利用“对勾”函数的单调性求解； (2)利用基本不等式求解. 【题型6 “对勾”函数模型的应用】 【例6】（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）某公司建造一间地面为矩形、背面靠墙的房屋，地面面积为，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元，如果墙高为，且不计房屋背面和地面的费用，那么设计房屋的正面边长为（   ）m时，能使总造价最低． A．6 B．4 C． D．3 【答案】B 【解题思路】设正面边长为xm，地面宽为ym，易得，设总造价为，由求解. 【解答过程】解：设正面边长为xm，则地面宽为ym，则， 所以， 设总造价为， 所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：B. 【变式6-1】（2026高三·全国·专题练习）某企业投入万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设该企业需要更新设备的年数为，设备年平均费用为万元，求得关于的表达式，利用基本不等式求出的最小值及其对应的值，即可得出结论. 【解答过程】设该企业需要更新设备的年数为，设备年平均费用为万元， 则年后的设备维护费用为， 所以年的平均费用为（万元）， 当且仅当时，等号成立， 因此，为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为. 故选：B. 【变式6-2】（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）某工厂拟建一个平面图为矩形，面积为200平方米，高度为米的三段污水处理池（如图）．由于受地形限制，其长、宽都不超过18米，已知污水处理池的外壁的建造费为400元/平方米，污水处理池中两道隔墙（与宽边平行）的建造费为248元/平方米，污水处理池底的建造费为80元/平方米．设污水处理池的长为米，总造价为元．    (1)求的解析式； (2)污水处理池的长与宽各是多少米时，总造价最低？并求出这个最低造价． 【答案】(1)； (2)污水处理池长为米，宽为米，其总造价最低，最低造价为元. 【解题思路】（1）污水处理池长为米，可得其宽为米，由其长、宽都不超过米可求得的取值范围，根据题意可得出函数的表达式； （2）利用基本不等式可求得函数的最小值，利用等号成立的条件可求得水池的长与宽，进而得解. 【解答过程】（1）依题意污水处理池的长为米，则宽为米， 由题意可得，解得， 所以， 即； （2）因为， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时， 因此，当污水处理池的长为米，宽为米，其总造价最低，最低造价为元. 【变式6-3】（25-26高一上·广东深圳·期中）某科技企业为增加产能，第1年年初投入560万元购买了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前年的材料费、维修费、人工工资等共万元，该台设备可使该企业每年的销售收入为360万元，设使用该设备前年的总盈利额为万元. (1)写出关于的函数关系式，并计算该设备从第几年开始使企业盈利； (2)若第3年年初企业再投入560万元购买了一台该设备，该设备使用第年与第1台设备使用第年的材料费、维修费、人工工资等一样，且该台设备同样可使该企业每年的销售收入为360万元，若，求这两台设备的年平均盈利额最大时的值. 【答案】(1)，从第3年开始盈利 (2)7 【解题思路】（1）根据利润=销售收入-总成本求出，再解一元二次不等式可得答案； （2）先求出前年的总盈利再求出，结合双勾函数的性质即可得结果. 【解答过程】（1）由题意得， 令，得，而， 所以该设备从第3年开始使企业盈利. （2）当时，第 1 台设备使用了年，第 2 台设备使用了年， 前年的总盈利为 ， 则年平均盈利额， 由双勾函数的性质可得在上单调递增，在上单调递减， 当时，，当时，，而， 所以当时，取得最大值， 这两台设备的年平均盈利额最大时. 模块六 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高一上·湖北孝感·期中）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资､薪金所得不超过5000元的部分不必纳税，超过5000元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算： 全月应纳税所得额 税率 不超过3000元的部分 超过3000元至12000元的部分 超过12000元至25000元的部分 有一智能公司员工十月份工资､薪金所得18000元，则该员工十月份应缴纳个税为（    ）元. A．990 B．1190 C．1490 D．2190 【答案】B 【解题思路】利用分段函数思想，来求每一段的税费，然后求和即可. 【解答过程】收入是18000元，根据缴纳个税规定分四段， 第一段5000元不缴税； 第二段3000元缴税为； 第三段9000元缴税为； 第四段1000元缴税为； 所以该职工10月份应缴纳个税为：元 故选：B. 2．（25-26高一上·浙江·期中）嘉兴粽子以糯而不糊，肥而不腻，香糯可口，咸甜适中而著称，尤以鲜肉粽最为出名，被誉为“粽子之王”．小嘉销售一批嘉兴肉粽，每个肉粽的最低售价为10元．若按最低售价出售，每天能卖出40个；若每个肉粽的售价每提高1元，日销售量将减少2个．那么小嘉一天能获得的最大收入是（   ） A．440元 B．450元 C．460元 D．470元 【答案】B 【解题思路】通过设售价提高的金额，建立收入的二次函数模型，利用二次函数的性质求最大值. 【解答过程】设每个肉粽的售价提高元，则售价为元，日销售量为个. 收入. 因为二次函数开口向下，当时，取得最大值. 此时最大收入为元. 故选：B. 3．（2026·广西·模拟预测）异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】初始状态设为，变化后为，根据，的关系代入后可求解． 【解答过程】设初始状态为，则，， 又，，即 ， ，，，，． 故选：D． 4．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）某文旅公司设计了一款文创纪念品，打算批量生产并在旅游景区进行售卖.前期设计费和宣传费需要固定投入5万元，每件纪念品的生产成本为40元，经市场调研预估，若以60元的单价出售，则能销售1万件，在销售单价60元的基础上，每降价1元，销量在1万件的基础上增加1千件，要使得该款纪念品的利润最大，则每件纪念品的定价应为（    ） A．50元 B．52元 C．53元 D．55元 【答案】D 【解题思路】设该款纪念品降价元，根据题意得到利润，根据二次函数的最值即可得到答案. 【解答过程】依题意，设该款纪念品降价元，则销售单价为元，销售量为万件， 利润为，当时，取得最大值，即定价为55元时，利润最大. 故选：D. 5．（2026·四川·二模）单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（    ） A．135 B．149 C．165 D．195 【答案】B 【解题思路】把给定函数变形，利用基本不等式即可得解. 【解答过程】由题意得，，当且仅当，即时取“=”， 所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149. 故选：B. 6．（25-26高一上·宁夏固原·期中）某投资公司计划投资A，B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资量成正比例，其关系如图1，B产品的利润与投资量的算术平方根成正比例，其关系如图2(利润与投资量单位：万元)；该公司已有20万元资金，并全部投入A，B两种产品中，进行科学合理投资，使公司获得最大利润为（    ）万元 A．5 B．4.8 C．4.6 D．4 【答案】B 【解题思路】根据题干给出的函数模型和已知数据求出函数解析式，设产品投入万元，求出利润的表达式，然后利用换元法转化为二次函数，求其最大值. 【解答过程】设，由图知当时，，所以，所以， 设，由图知当时，，所以，， 设产品投入万元，则产品投入万元， 则企业利润， 令，则， 则， 所以当时，取得最大值为，此时， 所以，产品投入万元，产品投入万元，才能使公司获得最大利润，最大利润为万元. 故选：B. 7．（25-26高一上·山东济宁·期中）随着市场需求和消费习惯的转变，摆摊创业正吸引着越来越多创业者．小李打算批发某种水果摆摊售卖，设他进货总费用（百元）与进货量（单位：百斤）之间的关系为（为常数），若满足“随着进货量的增大，水果每斤的平均价格逐渐减小”，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】表示出平均价格的函数，再利用其单调性列式求解. 【解答过程】设水果每斤的平均价格为， 则， 随着进货量的增大，水果每斤的平均价格逐渐减小，即函数在单调递减， 则需满足，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：C. 8．（2026高三·全国·专题练习）某投资公司计划投资A，B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资量成正比例，其关系如图1，B产品的利润与投资量的算术平方根成正比例，其关系如图2（利润与投资量单位：万元）；该公司已有20万元资金，并全部投入A，B两种产品中，进行科学合理投资，使公司获得最大利润为（    ） A．5.6万元 B．4.8万元 C．6万元 D．5万元 【答案】B 【解题思路】根据已给函数模型结合已知数据求出解析式，设A产品投入万元，则B产品投入万元，求出利润的表达式，然后利用换元法转化为二次函数求得最大值． 【解答过程】设投资为万元，A产品的利润为万元，B产品的利润为万元． 由题意设，． 由图知，．又，． 从而，． 设A产品投入万元，则B产品投入万元， 设企业利润为万元， 则， 设，则， ， 时，，此时． A产品投入16万元，则B产品投入4万元，才能使公司获得最大利润，最大利润为4.8万元， 故选：B. 二、多选题 9．（25-26高一上·贵州遵义·期中）为了增强团队凝聚力，某公司组织员工去旅游．若参加旅游的人数不超过20，则旅游费用为每人220元；若参加旅游的人数超过20，但不超过48，则旅游费用为每人200元；若参加旅游的人数超过48，则旅游费用为每人180元．若此次旅游的总费用为9000元，则该公司参加此次旅游的员工人数可能是（   ） A．42 B．45 C．50 D．54 【答案】BC 【解题思路】根据题意，列出符合要求的分段函数，结合总费用，求出旅游的人数. 【解答过程】设此次参加旅游的人数为， 由题意可知此次旅游的总费用 当，，不符合题意； 当，令，解得，符合题意； 当时，令，解得，符合题意． 综上，此次参加旅游的人数是45或50． 故选：BC. 10．（25-26高一上·福建宁德·期中）同一条公路连接A，B，C三地，B地在A､C两地之间.甲､乙两车分别从A地､B地同时出发前往目的地C地.甲车速度始终保持不变，乙车中途停车休息一次，随后继续匀速行驶.下图表示甲乙两车从出发到目的地过程中两车之间的距离与时间的函数关系.下列结论正确的是（     ）    A．后两车同时到达C地 B．乙车中途休息40分钟 C．甲车的速度是 D．甲车行驶与乙车相遇 【答案】ACD 【解题思路】根据函数的图象对选项进行分析，从而确定正确答案. 【解答过程】    根据函数图象可得两地之间的距离为，两车行驶了小时，同时到达地，A正确， 段：甲乙同向行驶，甲在后追赶乙； 段：乙休息，其中在段，甲在后追赶乙，在点时甲乙相遇，在段，甲超过乙的休息地继续行驶；乙车中途休息，B错误； 段：乙在后追赶甲，在点时，甲乙同时到达地. 在段，乙休息，，C正确； 在段，，解得， 因为在点时乙开始休息，当甲乙相遇时，甲所需行驶里程为， 则甲乙相遇时所用的时间，D正确. 故选：ACD. 11．（25-26高一上·河北沧州·期末）某企业生产一种机器的固定成本为万元，但每生产台时又需可变成本万元，市场对此商品的年需求量为台，销售收入函数为(万元) ，其中是产品的年产量单位：百台，则下列说法正确的是（    ） A．利润表示为年产量的函数为 B．当年产量为台时企业所得的利润最大，为万元 C．当年产量(单位：百台时，企业不亏本 D．企业不亏本的最大年产量为台 【答案】BC 【解题思路】根据题意列出分段函数解析式判断A，分段函数分段求最值再比较判断B，令，解分段函数不等式即可判断CD. 【解答过程】对A，当时，；当时，； 故，A错误； 对B，当时，，故当时，取到最大值； 当时，，故当年产量为475台时年利润最大，最大为万元，B正确； 对C、D，不亏本即，当时，，解得； 当时，，解得； 故时，企业才不亏本，企业不亏本的最大年产量为4800台，故C正确，D错误. 故选：BC. 三、填空题 12．（25-26高一上·安徽·期中）某公司为降低成本、提高效益，引进智能机器人系统开展工作．已知购买台机器人的总成本为（单位：万元）．要使每台机器人的平均成本最低，则应买机器人___________台． 【答案】300 【解题思路】由基本不等式求最值，根据等号成立条件求解. 【解答过程】每台机器人的平均成本为， 当且仅当，即时取等号． 因此应买300台机器人，可使每台机器人的平均成本最低． 故答案为：. 13．（25-26高一·全国·寒假作业）有一批材料可以建成200m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成面积相等的三个小矩形，如图所示，则围成矩形的最大面积为___________（围墙厚度不计）． 【答案】2500 【解题思路】设矩形垂直于墙的边长为x m，则其邻边长为，把面积用函数表示出来，再根据二次函数的性质求得最大值． 【解答过程】设矩形垂直于墙的边长为x m，则其邻边长为， 故矩形面积， 所以当时，，即最大面积是． 故答案为：2500． 14．（25-26高三上·海南省直辖县级单位·阶段检测）随着市场需求和消费习惯的转变，摆摊创业正吸引着越来越多创业者．小李打算批发某种水果摆摊售卖，设他进货总费用（百元）与进货量（单位：百斤）之间的关系为（为常数），若满足“随着进货量的增大，水果每斤的平均价格逐渐减小”，则的取值范围为___________． 【答案】 【解题思路】由题意可得水果每斤的平均价格为，根据题意可得函数在上单调递减，进而结合分段函数的单调性求解即可. 【解答过程】由题意，水果每斤的平均价格为， 因为随着进货量的增大，水果每斤的平均价格逐渐减小， 所以函数在上单调递减， 所以，解得， 则的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高一上·河南洛阳·阶段检测）某厂以的速度匀速生产某种产品，生产条件要求，每小时可获得的利润是元. (1)要使生产该产品获得的利润为元，求. (2)要使生产该产品获得的利润最大，该厂应该选取何种生产速度？并求利润的最大值. 【答案】(1) (2)，元 【解题思路】（1）根据利润表达式列出方程，解之即可； （2）解法一：构造利润函数，根据二次函数的性质求解出最大值；解法二：构造利润函数，采用换元法并结合二次函数的性质求解出最大值. 【解答过程】（1）由得，解得或. 因为，所以. （2）解法一：生产该产品所需时间为h， 所以生产该产品获得的利润为元，. 令，则. 所以当时，取得最大值，利润最大值为 ， 故该厂以的速度生产该产品时，利润取得最大值，最大值为元. 解法二：生产该产品获得的利润为元，. 令，则. 令， 则当时，取得最大值，此时. 因为， 所以该厂以的速度生产该产品时，利润取得最大值，最大值为元. 16．（25-26高一上·北京·期中）某厂家为开拓市场，拟对广告宣传方面的投入进行调整.经调查测算，产品的年订购量（万件）与广告费用（万元）之间的关系为.已知当广告费用投入为6万元时，产品订购量为万件.该厂家每生产1万件该产品，需投入万元.另外，厂家每年还需投入万元用于生产线的维护.规定年总成本为生产投入费用、维护投入费用、广告费用的总和. (1)求的值； (2)试求该厂家的年总成本（万元）与广告费用（万元）之间的函数关系式； (3)在（2）的条件下，厂家的年利润（万元）满足，当广告费用为多少万元时，厂家的年利润（万元）最高？ 【答案】(1) (2) (3)万元 【解题思路】（1）根据题中所给的条件直接可得； （2）分别计算生产投入费用、维护投入费用、广告费用即可得年总成本； （3）根据基本不等式可得利润最高值. 【解答过程】（1）由题意，当时，，解得. （2）由题意，设生产（万件）产品的广告费用x（万元），维护投入费用万元，生产投入费用万元. 所以该厂家的年总成本y（万元）与广告费用x（万元）之间的函数关系式为： ，； （3）设年利润为万元， 则 ， 因为，所以， 当且仅当即时，取最大值， 所以广告费用为万元时，厂家的年利润最高. 17．（25-26高一上·上海·期末）某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品，已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. (1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润销售收入-成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元 【解题思路】（1）分和两种情况，结合题意求分段函数解析式； （2）分和两种情况，结合二次函数和基本不等式运算求解. 【解答过程】（1）当时，可得 ； 当时，可得； 所以. （2）若，则， 所以当时，万元； 若，则， 当且仅当，即台时，等号成立，万元； 因为，所以该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元. 18．（25-26高一上·浙江嘉兴·期中）党的二十大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产两种产品，根据市场调查与市场预测，产品的利润与投资金额成正比，其关系如图①；产品的利润与投资金额的关系满足函数，如图②（注：单位为万元）. (1)分别求出两种产品的利润表示为投资金额的函数关系式； (2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)， (2)A产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元 【解题思路】（1）利用待定系数法求得，根据图②的数据代入的解析式后可求参数的值，从而可求. （2）列出企业利润的函数解析式，结合换元法可求利润最大值. 【解答过程】（1）由题设，由图知，故，故. 又，，所以，， 所以，故，故，故． （2）设A产品投入万元，则B产品投入万元，设企业利润为万元 则， 令，则， 所以当时，，此时. 故A产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元. 19．（25-26高一上·福建泉州·期中）近年来，在国家政策的推动下，新能源汽车行业蓬勃发展．某新能源汽车配件公司为适应市场需求，计划扩大生产并改进技术，以生产某种新型组件．据测算，生产该组件的年固定成本为2300万元，每生产万件，需另投入可变成本万元，且 ，已知当年产量为10万件时，需另投入可变成本为16600万元．由市场调研知，该组件每件的售价为2000元，且假定全年产量可当年全部售完． (1)求年利润（万元）与年产量x（万件）的关系式（利润=销售收入-成本）； (2)当该组件的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】(1) (2)45万件；2600万元. 【解题思路】（1）先根据题意求出的值，然后根据利润=销售收入-成本求出年利润与年产量的关系式. （2）先求出时年利润的最大值，再求出时利润的最大值，最后比较大小可得公司所获年利润最大. 【解答过程】（1）当时，，解得.                            由题意可知， 当时，， 当时，. 所以年利润（万元）与年产量x（万件）的关系式为. （2）当时， 开口向下，所以当时，. 当时， . 当且仅当，即时，等号成立，此时， ，所以该组件的年产量为45万件时，公司所获年利润最大，利润最大为2600万元. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 函数的应用（一）（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 一次函数、二次函数模型的应用 我们学习过的一次函数、二次函数、幂函数等都与现实世界有紧密联系.下面通过一些实例感受它们的广泛应用，体会利用函数模型解决实际问题的过程与方法. 【知识点1 一次函数、二次函数模型的应用】 1．实际问题中函数建模的基本步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型. (2)建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型. (3)求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解. (4)还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果 要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答. 2．一次函数模型的应用 一次函数模型：f(x)=kx+b(k,b为常数，k≠0). 一次函数是常见的一种函数模型，在初中就已接触过. 3．二次函数模型的应用 二次函数模型：f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0). 二次函数为生活中常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等最值 问题常用到二次函数模型. 【题型1 一次函数模型的应用】 【例1】（25-26高一上·北京·期中）果蔬批发市场批发某种水果，不少于千克时，批发价为每千克元，小王携带现金3000元到市场采购这种水果，并以此批发价买进，如果购买的水果为千克，小王付款后剩余现金为元，则与之间的函数关系为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026高一·全国·专题练习）南通至通州的某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的函数关系如图所示（收支差额＝车票收入一支出费用）．由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议（Ⅰ）不改变车票价格，减少支出费用；建议（Ⅱ）不改变支出费用，提高车票价格．下面给出的四个图形中，实线虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则（    ） A．①反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ） B．②反映了建议（Ⅰ），④反映了建议（Ⅱ） C．①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ） D．④反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ） 【变式1-2】（25-26高一上·浙江·期中）网上购物常常看到下面这样一张表，第一行可以理解为脚的长度，第二行是我们习惯称呼的“鞋号”．为了穿得舒适，鞋子不能挤脚，也不能过长． SIZE 尺码对照表 中国鞋码实际标注 (同国际码) mm 220 225 230 235 240 245 250 255 260 265 中国鞋码习惯叫法 (同欧码) 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 一个篮球运动员的脚长为282 mm，则从表格数据可以推算出，他最适合穿的鞋号是（    ） A．45 B．46 C．47 D．48 【变式1-3】（25-26高一上·湖北武汉·期中）从装满10升纯酒精的容器中倒出2升酒精，然后用水将容器加满，再倒出2升酒精溶液，再用水将容器加满，照这样的方法继续下去，设倒完第次后，前次共倒出纯酒精升，倒完第次后，前次共倒出纯酒精升，则的解析式是（    ） A． B． C． D． 【题型2 二次函数模型的应用】 【例2】（24-25高一上·北京·期中）某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，要求每箱售价不得低于50元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．要获得最大利润，每箱苹果的售价应定为（   ） A．55元 B．60元 C．65元 D．70元 【变式2-1】（25-26高一上·河南·阶段检测）如图，动物园要靠墙（足够长）建造两间相邻的长方形禽舍，不靠墙的面以及两间禽舍之间要修建围墙，已有材料可供建成围墙的总长度为36米，若设禽舍宽为米，则当所建造的禽舍总面积最大时，的值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2-2】（25-26高一上·天津·阶段检测）某文具店购进一批新型台灯，最低销售价格为15元，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏，若售价每提高1元，则日销售量将减少2盏，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，则这批台灯的销售价格的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高一上·四川南充·开学考试）如图，用一段长为米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，已知墙长80米，则菜园面积的最大值为（    ）平方米.    A．1800 B．1750 C．1700 D．1600 模块三 幂函数模型的应用 【知识点2 幂函数模型的应用】 1．幂函数模型的应用 幂函数模型应用的求解策略: (1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，确定函数关系式. (2)根据题意，直接列出相应的函数关系式. 【题型3 幂函数模型的应用】 【例3】（25-26高一·全国·寒假作业）某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x（万元）与药品利润y（万元）存在的关系为（α为常数），其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为（    ） A．115万元 B．120万元 C．125万元 D．130万元 【变式3-1】（25-26高一上·广东揭阳·期中）在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量（单位：）与管道半径（单位：）的四次方成正比．若气体在半径为的管道中，流量为，气体在半径为的管道中，流量大于且小于，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高一上·青海西宁·期末）为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文．现在加密密钥为，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“”，则解密后得到的明文是（    ） A． B． C．2 D． 【变式3-3】（25-26高一上·全国·单元测试）遗忘曲线（又称“艾宾浩斯遗忘曲线”）是由德国心理学家艾宾浩斯（H．Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率y与初次记忆经过的时间x（单位：时）的大致关系：，若陈同学需要在明天15：00考语文时拥有复习背诵记忆的42%，则他明天复习背诵的时间需大约在（    ）参考数据： ，． A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00 模块四 分段函数模型的应用 【知识点3 分段函数模型的应用】 1．分段函数模型的应用 由于分段函数在不同区间上具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化前后的实际问题中具有广泛的应用. 【题型4 分段函数模型的应用】 【例4】（25-26高一上·广西柳州·阶段检测）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”，计算方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过的部分 3元 超过的部分但不超过的部分 6元 超过的部分 9元 甲用户某月缴纳的水费为54元，则甲用户该月的用水量（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 【变式4-1】（25-26高二下·北京朝阳·期末）某研究所开发一种新药，据监测，一次性服药小时后每毫升血液中的含药量（毫克）与时间（小时）之间近似满足图中所示的曲线关系.据测定，每毫升血液中含药量不少于4毫克时治疗疾病有效，则12小时内药物在体内对治疗疾病一直有效所持续的时长为（    ） A．4小时 B．5小时 C．6小时 D．7小时 【变式4-2】（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）在环保科技展览会上，某公司推出了一种新型环保材料供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场.已知该种材料年固定研发成本为50万元，每生产一吨需另投入90元.设该公司一年内生产该材料万吨且全部售完，总销售收入为（万元）与年产量（万吨）满足如下关系式：. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万吨）的函数解析式（利润=销售收入-成本）； (2)当年产量为多少万吨时，该公司获得的年利润最大?并求出最大利润. 【变式4-3】（25-26高一上·湖北·阶段检测）十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，2025年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本4000万元，每生产（百辆）需另投入成本（万元），且，由市场调研知，每辆车售价6万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完. (1)求出2025年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式：（利润=销售额-成本） (2)当2025年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 【题型5 分式型函数模型的应用】 【例5】（25-26高一·全国·期中）某企业用1960万元购得一块空地，计划在该空地建造一栋（，）层，每层2800平方米的楼房．经测算，该楼房每平方米的平均建筑费用为（单位：元）．若该楼房每平方米的平均综合费用不超过2000元，（注：综合费用＝建筑费用＋购地费用），则该楼房最多建的层数为（     ） A．11 B．8 C．12 D．10 【变式5-1】（25-26高一上·江苏扬州·阶段检测）网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时间内，成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2023年10月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量万件与投入实体店体验安装的费用万元之间满足函数关系式.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是（    ）万元. A．45.5 B．37.5 C．36 D．35 【变式5-2】（25-26高一上·重庆长寿·期末）某电脑公司为了提高产值，预计生产电脑的固定成本为万元，每生产千台电脑，需投入成本万元，.按前几年的统计数据，最少生产万台，最多每年生产万台电脑.已知每台电脑的售价为万元，且假设全年内生产的电脑当年能全部销售完. (1)以利润(万元)为函数，年产量（千台）为自变量，求函数解析式； (2)求当年利润的取值范围. 【变式5-3】（25-26高二下·全国·期中）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用32年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度（单位；）满足关系：，设为隔热层建造费用与32年的能源消耗费用之和． (1)求的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值． 模块五 “对勾”函数模型的应用 【知识点4 “对勾”函数模型的应用】 1．“对勾”函数模型的应用 对勾函数模型是常考的模型，要牢记此类函数的性质，尤其是单调性：(a>0,b>0)，当x>0时，在上递减，在上递增.另外，还要注意换元法的运用. 2．“对勾”函数模型的求解方法 (1)利用“对勾”函数的单调性求解； (2)利用基本不等式求解. 【题型6 “对勾”函数模型的应用】 【例6】（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）某公司建造一间地面为矩形、背面靠墙的房屋，地面面积为，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元，如果墙高为，且不计房屋背面和地面的费用，那么设计房屋的正面边长为（   ）m时，能使总造价最低． A．6 B．4 C． D．3 【变式6-1】（2026高三·全国·专题练习）某企业投入万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）某工厂拟建一个平面图为矩形，面积为200平方米，高度为米的三段污水处理池（如图）．由于受地形限制，其长、宽都不超过18米，已知污水处理池的外壁的建造费为400元/平方米，污水处理池中两道隔墙（与宽边平行）的建造费为248元/平方米，污水处理池底的建造费为80元/平方米．设污水处理池的长为米，总造价为元．    (1)求的解析式； (2)污水处理池的长与宽各是多少米时，总造价最低？并求出这个最低造价． 【变式6-3】（25-26高一上·广东深圳·期中）某科技企业为增加产能，第1年年初投入560万元购买了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前年的材料费、维修费、人工工资等共万元，该台设备可使该企业每年的销售收入为360万元，设使用该设备前年的总盈利额为万元. (1)写出关于的函数关系式，并计算该设备从第几年开始使企业盈利； (2)若第3年年初企业再投入560万元购买了一台该设备，该设备使用第年与第1台设备使用第年的材料费、维修费、人工工资等一样，且该台设备同样可使该企业每年的销售收入为360万元，若，求这两台设备的年平均盈利额最大时的值. 模块六 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高一上·湖北孝感·期中）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资､薪金所得不超过5000元的部分不必纳税，超过5000元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算： 全月应纳税所得额 税率 不超过3000元的部分 超过3000元至12000元的部分 超过12000元至25000元的部分 有一智能公司员工十月份工资､薪金所得18000元，则该员工十月份应缴纳个税为（    ）元. A．990 B．1190 C．1490 D．2190 2．（25-26高一上·浙江·期中）嘉兴粽子以糯而不糊，肥而不腻，香糯可口，咸甜适中而著称，尤以鲜肉粽最为出名，被誉为“粽子之王”．小嘉销售一批嘉兴肉粽，每个肉粽的最低售价为10元．若按最低售价出售，每天能卖出40个；若每个肉粽的售价每提高1元，日销售量将减少2个．那么小嘉一天能获得的最大收入是（   ） A．440元 B．450元 C．460元 D．470元 3．（2026·广西·模拟预测）异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）某文旅公司设计了一款文创纪念品，打算批量生产并在旅游景区进行售卖.前期设计费和宣传费需要固定投入5万元，每件纪念品的生产成本为40元，经市场调研预估，若以60元的单价出售，则能销售1万件，在销售单价60元的基础上，每降价1元，销量在1万件的基础上增加1千件，要使得该款纪念品的利润最大，则每件纪念品的定价应为（    ） A．50元 B．52元 C．53元 D．55元 5．（2026·四川·二模）单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（    ） A．135 B．149 C．165 D．195 6．（25-26高一上·宁夏固原·期中）某投资公司计划投资A，B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资量成正比例，其关系如图1，B产品的利润与投资量的算术平方根成正比例，其关系如图2(利润与投资量单位：万元)；该公司已有20万元资金，并全部投入A，B两种产品中，进行科学合理投资，使公司获得最大利润为（    ）万元 A．5 B．4.8 C．4.6 D．4 7．（25-26高一上·山东济宁·期中）随着市场需求和消费习惯的转变，摆摊创业正吸引着越来越多创业者．小李打算批发某种水果摆摊售卖，设他进货总费用（百元）与进货量（单位：百斤）之间的关系为（为常数），若满足“随着进货量的增大，水果每斤的平均价格逐渐减小”，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（2026高三·全国·专题练习）某投资公司计划投资A，B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资量成正比例，其关系如图1，B产品的利润与投资量的算术平方根成正比例，其关系如图2（利润与投资量单位：万元）；该公司已有20万元资金，并全部投入A，B两种产品中，进行科学合理投资，使公司获得最大利润为（    ） A．5.6万元 B．4.8万元 C．6万元 D．5万元 二、多选题 9．（25-26高一上·贵州遵义·期中）为了增强团队凝聚力，某公司组织员工去旅游．若参加旅游的人数不超过20，则旅游费用为每人220元；若参加旅游的人数超过20，但不超过48，则旅游费用为每人200元；若参加旅游的人数超过48，则旅游费用为每人180元．若此次旅游的总费用为9000元，则该公司参加此次旅游的员工人数可能是（   ） A．42 B．45 C．50 D．54 10．（25-26高一上·福建宁德·期中）同一条公路连接A，B，C三地，B地在A､C两地之间.甲､乙两车分别从A地､B地同时出发前往目的地C地.甲车速度始终保持不变，乙车中途停车休息一次，随后继续匀速行驶.下图表示甲乙两车从出发到目的地过程中两车之间的距离与时间的函数关系.下列结论正确的是（     ）    A．后两车同时到达C地 B．乙车中途休息40分钟 C．甲车的速度是 D．甲车行驶与乙车相遇 11．（25-26高一上·河北沧州·期末）某企业生产一种机器的固定成本为万元，但每生产台时又需可变成本万元，市场对此商品的年需求量为台，销售收入函数为(万元) ，其中是产品的年产量单位：百台，则下列说法正确的是（    ） A．利润表示为年产量的函数为 B．当年产量为台时企业所得的利润最大，为万元 C．当年产量(单位：百台时，企业不亏本 D．企业不亏本的最大年产量为台 三、填空题 12．（25-26高一上·安徽·期中）某公司为降低成本、提高效益，引进智能机器人系统开展工作．已知购买台机器人的总成本为（单位：万元）．要使每台机器人的平均成本最低，则应买机器人___________台． 13．（25-26高一·全国·寒假作业）有一批材料可以建成200m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成面积相等的三个小矩形，如图所示，则围成矩形的最大面积为___________（围墙厚度不计）． 14．（25-26高三上·海南省直辖县级单位·阶段检测）随着市场需求和消费习惯的转变，摆摊创业正吸引着越来越多创业者．小李打算批发某种水果摆摊售卖，设他进货总费用（百元）与进货量（单位：百斤）之间的关系为（为常数），若满足“随着进货量的增大，水果每斤的平均价格逐渐减小”，则的取值范围为___________． 四、解答题 15．（25-26高一上·河南洛阳·阶段检测）某厂以的速度匀速生产某种产品，生产条件要求，每小时可获得的利润是元. (1)要使生产该产品获得的利润为元，求. (2)要使生产该产品获得的利润最大，该厂应该选取何种生产速度？并求利润的最大值. 16．（25-26高一上·北京·期中）某厂家为开拓市场，拟对广告宣传方面的投入进行调整.经调查测算，产品的年订购量（万件）与广告费用（万元）之间的关系为.已知当广告费用投入为6万元时，产品订购量为万件.该厂家每生产1万件该产品，需投入万元.另外，厂家每年还需投入万元用于生产线的维护.规定年总成本为生产投入费用、维护投入费用、广告费用的总和. (1)求的值； (2)试求该厂家的年总成本（万元）与广告费用（万元）之间的函数关系式； (3)在（2）的条件下，厂家的年利润（万元）满足，当广告费用为多少万元时，厂家的年利润（万元）最高？ 17．（25-26高一上·上海·期末）某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品，已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. (1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润销售收入-成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 18．（25-26高一上·浙江嘉兴·期中）党的二十大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产两种产品，根据市场调查与市场预测，产品的利润与投资金额成正比，其关系如图①；产品的利润与投资金额的关系满足函数，如图②（注：单位为万元）. (1)分别求出两种产品的利润表示为投资金额的函数关系式； (2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 19．（25-26高一上·福建泉州·期中）近年来，在国家政策的推动下，新能源汽车行业蓬勃发展．某新能源汽车配件公司为适应市场需求，计划扩大生产并改进技术，以生产某种新型组件．据测算，生产该组件的年固定成本为2300万元，每生产万件，需另投入可变成本万元，且 ，已知当年产量为10万件时，需另投入可变成本为16600万元．由市场调研知，该组件每件的售价为2000元，且假定全年产量可当年全部售完． (1)求年利润（万元）与年产量x（万件）的关系式（利润=销售收入-成本）； (2)当该组件的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $