第16讲 对数（八大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）-【暑假预科讲义】2025年新高一数学初升高暑假精品课（人教A版2019必修第一册）

第16讲 对数 【人教A版2019】 模块一 对数的概念 1．对数的定义、性质与对数恒等式 (1)对数的定义：一般地，如果ax=N(a>0,且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. (2)对数的性质： ①=0，=1(a>0,且a≠1)，负数和0没有对数. ②对数恒等式：=N(N>0,a>0,且a≠1). (3)对数与指数的关系： 根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当a>0，且a≠1时，ax=N. 用图表示为： 2．常用对数与自然对数 名称 定义 符号 常用对数 以10为底的对数叫做常用对数 简记作lg N 自然对数 以e为底的对数叫做自然对数，e是无理数，e ≈2.71828 简记作ln N 【题型1 对数的概念的理解】 【例1】（24-25高一上·全国·随堂练习）对数中实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（24-25高一上·全国·课后作业）有下列说法： ①以10为底的对数叫作常用对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以e为底的对数叫作自然对数； ④零和负数没有对数. 其中正确的个数为（  　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1.2】（24-25高一上·贵州贵阳·阶段练习）使式子有意义的的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．， 【变式1.3】（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知对数式有意义，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型2 指数式与对数式的互化】 【例2】（24-25高一上·江苏·单元测试）下列指数式与对数式互化不正确的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式2.1】（24-25高一上·新疆乌鲁木齐·期末）将化成指数式可表示为（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（24-25高一上·全国·课后作业）将下列指数式化为对数式： (1)； (2)； (3)． 【变式2.3】（24-25高一下·全国·课堂例题）将下列指数式与对数式进行转换： (1)； (2)； (3)； (4). 模块二 对数的运算 1．对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0,N>0,n∈R，那么我们有： 运算 数学表达式 自然语言描述 积的对数 正因数积的对数等于同一底数的各因数的 对数的和 商的对数 两个正数的商的对数等于同一底数的被除 数的对数减去除数的对数 幂的对数 正数幂的对数等于幂指数乘同一底数的幂 的底数的对数 2．对数的换底公式及其推论 (1)换底公式：设a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0，则=. (2)换底公式的推论： ①=1(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1)； ② (a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,c>0,且c≠1,d>0)； ③(a>0,且a≠1,b>0,m≠0,n∈R). 3．对数运算的常用技巧 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并. (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. (3)指对互化：(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 【题型3 对数的运算性质的应用】 【例3】（24-25高三上·湖南邵阳·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（24-25高一上·上海·期中）设a是不等于1的正数，M，N是任意给定的正数，c是任意给定的实数，则下列性质中错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式3.2】（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）若，则（   ） A．3 B．4 C．9 D．16 【变式3.3】（24-25高一上·全国·课后作业）若且，，，、，，给出下列等式：①；②；③；④.其中成立的个数为（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【题型4 运用换底公式化简计算】 【例4】（24-25高一上·甘肃武威·阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（24-25高一上·安徽·阶段练习）已知且，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（24-25高二下·天津河东·期末）若，，则的值是（    ） A．3 B． C．8 D． 【变式4.3】（24-25高一上·山东·阶段练习）已知，，，则的值为（    ） A．或0 B．1 C． D．1或0 【题型5 指、对数方程的求解】 【例5】（24-25高一上·上海·随堂练习）设方程的两实根是a和b，则等于（    ） A．1 B．－2 C． D．－4 【变式5.1】（24-25高一上·北京大兴·期末）方程的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式5.2】（24-25高三上·浙江·开学考试）方程的实数解有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式5.3】（24-25高一·山东枣庄·课后作业）若方程的两根为、，则（    ） A． B． C．35 D． 【题型6 带附加条件的指、对数问题】 【例6】（24-25高一上·贵州·期中）已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式6.1】（24-25高一上·黑龙江·期中）若，，则的值是（    ） A．3 B． C．2 D． 【变式6.2】（24-25高一上·上海·期中）（1）已知，，试用、表示， （2）已知，求的值. 【变式6.3】（24-25高一上·山东淄博·期中）（1）若，求的值； （2）已知，用表示． 【题型7 运用换底公式证明恒等式】 【例7】（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）已知：，求证：． 【变式7.1】（24-25高一上·全国·课后作业）设，其中，，均大于，且都不为，，求证：． 【变式7.2】（24-25高一上·上海·随堂练习）（1）利用关系式证明换底公式：； （2）利用（1）中的换底公式求值：； （3）利用（1）中的换底公式证明：． 【变式7.3】（24-25高一下·上海·课后作业）已知在中，，角A，B，C所对应的三条边长分别为a，b，c．求证：． 模块三 对数的实际应用 1．对数的实际应用 在实际生活中，经常会遇到一些指数或对数运算的问题.求解对数的实际应用题时，一是要合理建立数 学模型，寻找量与量之间的关系；二是要充分利用对数的性质以及式子两边取对数的方法求解. 对数运算在实际生产和科学研究中应用广泛，其应用问题大致可以分为两类： (1)建立对数式，在此基础上进行一些实际求值，计算时要注意指数式与对数式的互化； (2)建立指数函数型应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边同时取对数进行计算. 【题型8 对数的实际应用】 【例8】（24-25高一上·贵州六盘水·期末）星等是衡量天体光度的量.为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念，例如：2等星的星等值为2.已知两个天体的星等值，和它们对应的亮度，满足关系式，则（   ） A．2等星的亮度是7等星亮度的100倍 B．7等星的亮度是2等星亮度的100倍 C．2等星的亮度是7等星亮度的10倍 D．7等星的亮度是2等星亮度的10倍 【变式8.1】（24-25高一上·湖南·阶段练习）8月15日是全国生态日，2024年全国生态日的主题是加快经济社会发展全面绿色转型.2005年8月15日，习近平同志在浙江安吉首次提出“绿水青山就是金山银山”，这一科学论断是习近平生态文明思想的核心理念，已经成为全党全社会的共识，在祖国大地上生根、开花.党的十八大以来，我国经济发展与生态环境保护更加协调，绿色发展空间进一步拓展.在生态环境质量明显好转的同时，经济总量从2012年53.9万亿元升至2023年126万亿元，则我国经济总量从2012年至2023年的年平均增长率约为（    ）（参考数据，，，，） A．6% B．7% C．8% D．9% 【变式8.2】（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）声强是表示声波强度的物理量，由于声强变化范围非常大，数量级相差很多，因此通过声强级来表示声强强度大小，规定声强级（单位：分贝），其中为标准声强.若声强是声强的150倍，则声强的声强级比声强的声强级大多少分贝（    ）（结果四舍五入保留整数） A．14 B．21 C．22 D．23 【变式8.3】（24-25高一上·上海金山·期中）“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明《增广贤文》是勉励人们专心学习的.  假设初始值为，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率”都是，那么一年后是.  一年后“进步者”是“退步者”的倍.  照此计算，大约经过（    ）天，“进步者”是“退步者”的倍（近似取计算）. A．33 B．35 C．37 D．39 一、单选题 1．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）计算（    ） A．7 B．9 C．10 D．20 2．（24-25高一上·全国·课后作业）若代数式有意义，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·安徽蚌埠·阶段练习）若，则有（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）已知，则用表示为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）计算：（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 6．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）若，，则（   ） A．1 B． C．2 D． 7．（24-25高一上·江苏南通·期末）2021年10月16日0时23分，长征二号F遥十三运载火箭在酒泉卫星发射中心点火升空，582秒后，神舟十三号载人飞船进入预定轨道，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富三名航天员送入太空.在不考虑空气阻力的条件下，从发射开始，火箭的最大飞行速度V满足公式：，其中为火箭推进剂质量，为去除推进剂后的火箭有效载荷质量，为火箭发动机喷流相对火箭的速度．当时，千米／秒.在保持不变的情况下，若吨，假设要使达到8千米/秒，则大约为（    ）结果精确到1，参考数据：） A．98吨 B．108吨 C．118吨 D．128吨 8．（24-25高二上·天津·期中）已知，，，则的最小值是（   ） A．3 B． C． D．9 二、多选题 9．（24-25高一上·四川南充·阶段练习）下列指数式与对数式互化正确的一组是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 10．（24-25高一上·全国·课后作业）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．（24-25高一上·河北保定·阶段练习）若实数，，，且，，，则下列各式中，恒成立的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）已知，，则 . 13．（24-25高一上·安徽亳州·期末）计算= ． 14．（24-25高一上·河北保定·阶段练习）一段时间内，某养兔基地的兔子快速繁殖，兔子总只数的倍增期为21个月（假设没有捕杀与其他损耗）、那么一万只兔子增长到一亿只兔子大约需要 年（） 四、解答题 15．（24-25高一上·全国·课堂例题）将下列指数式与对数式互化： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 16．（24-25高一上·江苏南京·期末）已知，. (1)求的值； (2)用，表示. 17．（24-25高一上·全国·课后作业）求下列各式中的值． (1)； (2)； (3)． 18．（24-25高一上·辽宁沈阳·阶段练习）求值： (1)； (2)． 19．（24-25高一上·天津·阶段练习）回答下面3个题： (1) (2)若，，求 的值； (3)记，，用 表示对数 . 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16讲 对数 【人教A版2019】 模块一 对数的概念 1．对数的定义、性质与对数恒等式 (1)对数的定义：一般地，如果ax=N(a>0,且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. (2)对数的性质： ①=0，=1(a>0,且a≠1)，负数和0没有对数. ②对数恒等式：=N(N>0,a>0,且a≠1). (3)对数与指数的关系： 根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当a>0，且a≠1时，ax=N. 用图表示为： 2．常用对数与自然对数 名称 定义 符号 常用对数 以10为底的对数叫做常用对数 简记作lg N 自然对数 以e为底的对数叫做自然对数，e是无理数，e ≈2.71828 简记作ln N 【题型1 对数的概念的理解】 【例1】（24-25高一上·全国·随堂练习）对数中实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据对数真数和底数的性质进行求解即可. 【解答过程】因为对数式的底数为大于零不等于1的实数，真数为正实数， 所以有， 故选：C. 【变式1.1】（24-25高一上·全国·课后作业）有下列说法： ①以10为底的对数叫作常用对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以e为底的对数叫作自然对数； ④零和负数没有对数. 其中正确的个数为（  　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】根据对数的相关概念和性质，一一判断每个选项，可得答案. 【解答过程】根据常用对数以及自然对数的概念可知①③正确，根据对数的性质可知④正确， 只有当且时，指数式才可以化成对数式，②错误， 故选：C. 【变式1.2】（24-25高一上·贵州贵阳·阶段练习）使式子有意义的的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．， 【解题思路】根据题意，结合对数式的定义，列出不等式组，即可求解. 【解答过程】由式子有意义，则满足，解得且. 故选：C. 【变式1.3】（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知对数式有意义，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由对数式的意义列不等式组求解可得. 【解答过程】由有意义可知，解得且， 所以a的取值范围为. 故选：B. 【题型2 指数式与对数式的互化】 【例2】（24-25高一上·江苏·单元测试）下列指数式与对数式互化不正确的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【解题思路】结合指数式与对数式互化的知识确定正确答案. 【解答过程】根据指数式与对数式互化可知： 对于选项A：等价于，故A正确； 对于选项B：等价于，故B正确； 对于选项C：等价于，故C错误； 对于选项D：等价于，故D正确； 故选：C. 【变式2.1】（24-25高一上·新疆乌鲁木齐·期末）将化成指数式可表示为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据对数式的含义，将对数式转化为指数式. 【解答过程】把对数式化成指数式，为． 故选：A． 【变式2.2】（24-25高一上·全国·课后作业）将下列指数式化为对数式： (1)； (2)； (3)． 【解题思路】直接利用指数和对数的关系实现指对互化. 【解答过程】（1）由，得. （2）由，得. （3）由，得. 【变式2.3】（24-25高一下·全国·课堂例题）将下列指数式与对数式进行转换： (1)； (2)； (3)； (4). 【解题思路】根据指数式与对数式的互化可依次将其转化. 【解答过程】（1）根据指数式与对数式的互化，可知可化为. （2）根据指数式与对数式的互化，可知可化为. （3）根据指数式和对数式的关系，可化为. （4）根据指数式和对数式的关系，可化为. 模块二 对数的运算 1．对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0,N>0,n∈R，那么我们有： 运算 数学表达式 自然语言描述 积的对数 正因数积的对数等于同一底数的各因数的 对数的和 商的对数 两个正数的商的对数等于同一底数的被除 数的对数减去除数的对数 幂的对数 正数幂的对数等于幂指数乘同一底数的幂 的底数的对数 2．对数的换底公式及其推论 (1)换底公式：设a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0，则=. (2)换底公式的推论： ①=1(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1)； ② (a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,c>0,且c≠1,d>0)； ③(a>0,且a≠1,b>0,m≠0,n∈R). 3．对数运算的常用技巧 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并. (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. (3)指对互化：(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 【题型3 对数的运算性质的应用】 【例3】（24-25高三上·湖南邵阳·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】应用对数运算律结合已知计算求解. 【解答过程】因为，则， 则， 则. 故选：D. 【变式3.1】（24-25高一上·上海·期中）设a是不等于1的正数，M，N是任意给定的正数，c是任意给定的实数，则下列性质中错误的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】对于ABC：根据对数的定义和运算性质分析判断即可；对于D：举反例说明即可. 【解答过程】因为a是不等于1的正数，M，N是任意给定的正数，c是任意给定的实数， 对于选项A：，故A正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：例如， 则， 此时，故D错误； 故选：D. 【变式3.2】（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）若，则（   ） A．3 B．4 C．9 D．16 【解题思路】根据对数的运算性质即可求解. 【解答过程】由可得， 故，故， 故选：D. 【变式3.3】（24-25高一上·全国·课后作业）若且，，，、，，给出下列等式：①；②；③；④.其中成立的个数为（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【解题思路】利用对数的运算性质判断①②③④即可. 【解答过程】因为且，，，、，， 对于①，，①错； 对于②，，②错； 对于③，，③对； 对于④，，④对. 故正确的个数为. 故选：B. 【题型4 运用换底公式化简计算】 【例4】（24-25高一上·甘肃武威·阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据对数的运算性质即可结合换底公式求解. 【解答过程】由题意，. 故选：B． 【变式4.1】（24-25高一上·安徽·阶段练习）已知且，若，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先根据指数式对数式互化求出，再根据换底公式转化，再根据求解即可. 【解答过程】由，得，即， 所以，所以. 故选:C. 【变式4.2】（24-25高二下·天津河东·期末）若，，则的值是（    ） A．3 B． C．8 D． 【解题思路】根据给定条件，利用指数式与对数式互化关系及对数换底公式及运算法则计算即得. 【解答过程】由，得，而， 所以. 故选：A. 【变式4.3】（24-25高一上·山东·阶段练习）已知，，，则的值为（    ） A．或0 B．1 C． D．1或0 【解题思路】由题设等式，利用对数运算性质化简得或，再利用对数的换底公式化简所求，分别代入求值即可得解. 【解答过程】因为 ， 所以由， 得，化简得， 即 ，解得或. 又， 故当时， ； 当时，； 综上，的值为或0. 故选：A. 【题型5 指、对数方程的求解】 【例5】（24-25高一上·上海·随堂练习）设方程的两实根是a和b，则等于（    ） A．1 B．－2 C． D．－4 【解题思路】解方程得出，，再由换底公式计算即可. 【解答过程】方程可化为，即， 解得或，不妨设， . 故选：C. 【变式5.1】（24-25高一上·北京大兴·期末）方程的解集为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先根据真数大于零解得或，再将1转化为，即可解得，都使得方程有意义，即可知正确选项. 【解答过程】由题意，，解得或， 由，得，则，解得，所以方程的解集为. 故选：D. 【变式5.2】（24-25高三上·浙江·开学考试）方程的实数解有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【解题思路】由换底公式变形解对数方程即可. 【解答过程】，所以或， 所以或， 所以方程的实数解有2个. 故选：C. 【变式5.3】（24-25高一·山东枣庄·课后作业）若方程的两根为、，则（    ） A． B． C．35 D． 【解题思路】运用一元二次方程根的求法，结合对数性质可解. 【解答过程】，分解因式得到， 则，则. 解得或，所以. 故选：D. 【题型6 带附加条件的指、对数问题】 【例6】（24-25高一上·贵州·期中）已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】先利用对数与指数的互化求出，再利用对数的运算法则求解即可. 【解答过程】因为，，所以，， 所以， 所以， 故选：A. 【变式6.1】（24-25高一上·黑龙江·期中）若，，则的值是（    ） A．3 B． C．2 D． 【解题思路】根据指数与对数运算法则计算可得结果. 【解答过程】由，得，又， 所以. 故选：C. 【变式6.2】（24-25高一上·上海·期中）（1）已知，，试用、表示， （2）已知，求的值. 【解题思路】（1）利用换底公式和对数的运算性质可得结果； （2）由指数式和对数式的互化得出，，再利用换底公式结合对数的运算性质计算可得结果. 【解答过程】（1）； （2）因为，则，，则，， 所以，. 【变式6.3】（24-25高一上·山东淄博·期中）（1）若，求的值； （2）已知，用表示． 【解题思路】（1）根据指数运算即可得到答案； （2）根据对数运算性质和换底公式即可. 【解答过程】已知，将其两边平方得. 根据完全平方公式. 则. 再将两边平方得. 所以，则.   （2）因为. 而， 已知，所以，，则. 又. 所以. 【题型7 运用换底公式证明恒等式】 【例7】（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）已知：，求证：． 【解题思路】将指数式化为对数式，再结合对数运算以及换底公式运算分析证明. 【解答过程】设，显然， 则，可得， 所以. 【变式7.1】（24-25高一上·全国·课后作业）设，其中，，均大于，且都不为，，求证：． 【解题思路】令，且，即可表示出、、，再由、换底公式及对数的运算性质计算可得. 【解答过程】依题意、、均不为， 令，且， 则，，． 因为，所以， 即， 所以，即． 【变式7.2】（24-25高一上·上海·随堂练习）（1）利用关系式证明换底公式：； （2）利用（1）中的换底公式求值：； （3）利用（1）中的换底公式证明：． 【解题思路】（1）由题设条件结合对数的运算证明即可； （2）利用换底公式证明即可； （3）利用换底公式证明即可. 【解答过程】解答：（1）证明： 设，则，化为， 又，所以； （2）解：； （3）证明： ． 所以． 【变式7.3】（24-25高一下·上海·课后作业）已知在中，，角A，B，C所对应的三条边长分别为a，b，c．求证：． 【解题思路】利用直角三角形的勾股定理、对数的运算性质以及对数的运算法则可以证明等式成立. 【解答过程】证明：在中，因为，所以， 因为 ， 所以. 模块三 对数的实际应用 1．对数的实际应用 在实际生活中，经常会遇到一些指数或对数运算的问题.求解对数的实际应用题时，一是要合理建立数 学模型，寻找量与量之间的关系；二是要充分利用对数的性质以及式子两边取对数的方法求解. 对数运算在实际生产和科学研究中应用广泛，其应用问题大致可以分为两类： (1)建立对数式，在此基础上进行一些实际求值，计算时要注意指数式与对数式的互化； (2)建立指数函数型应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边同时取对数进行计算. 【题型8 对数的实际应用】 【例8】（24-25高一上·贵州六盘水·期末）星等是衡量天体光度的量.为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念，例如：2等星的星等值为2.已知两个天体的星等值，和它们对应的亮度，满足关系式，则（   ） A．2等星的亮度是7等星亮度的100倍 B．7等星的亮度是2等星亮度的100倍 C．2等星的亮度是7等星亮度的10倍 D．7等星的亮度是2等星亮度的10倍 【解题思路】设2等星的亮度是x，7等星亮度是y，由题中所给信息结合对数运算性质可得答案. 【解答过程】设2等星的亮度是x，7等星亮度是y，则，即2等星的亮度是7等星亮度的100倍. 故选：A. 【变式8.1】（24-25高一上·湖南·阶段练习）8月15日是全国生态日，2024年全国生态日的主题是加快经济社会发展全面绿色转型.2005年8月15日，习近平同志在浙江安吉首次提出“绿水青山就是金山银山”，这一科学论断是习近平生态文明思想的核心理念，已经成为全党全社会的共识，在祖国大地上生根、开花.党的十八大以来，我国经济发展与生态环境保护更加协调，绿色发展空间进一步拓展.在生态环境质量明显好转的同时，经济总量从2012年53.9万亿元升至2023年126万亿元，则我国经济总量从2012年至2023年的年平均增长率约为（    ）（参考数据，，，，） A．6% B．7% C．8% D．9% 【解题思路】设年平均增长率为，列式运算得解. 【解答过程】设我国经济总量从2012年至2023年的年平均增长率为， 则由题意， 即，即， . 故选：C. 【变式8.2】（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）声强是表示声波强度的物理量，由于声强变化范围非常大，数量级相差很多，因此通过声强级来表示声强强度大小，规定声强级（单位：分贝），其中为标准声强.若声强是声强的150倍，则声强的声强级比声强的声强级大多少分贝（    ）（结果四舍五入保留整数） A．14 B．21 C．22 D．23 【解题思路】求出声强对应的声强级，再结合对数性质和公式运算即可. 【解答过程】设声强的声强级为，声强的声强级为， 则，由题知， 则， 故选：C. 【变式8.3】（24-25高一上·上海金山·期中）“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明《增广贤文》是勉励人们专心学习的.  假设初始值为，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率”都是，那么一年后是.  一年后“进步者”是“退步者”的倍.  照此计算，大约经过（    ）天，“进步者”是“退步者”的倍（近似取计算）. A．33 B．35 C．37 D．39 【解题思路】列出方程，并根据已知数据求解即可. 【解答过程】设经过天后“进步者”是“退步者”的倍，则. 故，根据已知条件有， 所以（天）. 故选：B. 一、单选题 1．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）计算（    ） A．7 B．9 C．10 D．20 【解题思路】利用指数运算及对数的定义计算得解. 【解答过程】. 故选：D. 2．（24-25高一上·全国·课后作业）若代数式有意义，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由对数的真数大于0列式即可求. 【解答过程】由题可得，解得或， 故实数的取值范围为． 故选：D. 3．（24-25高一上·安徽蚌埠·阶段练习）若，则有（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用指数式与对数式的互化直接判断即可. 【解答过程】当时，由及对数定义得. 故选：A. 4．（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）已知，则用表示为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据对数的运算律，可得答案. 【解答过程】因为，所以. 故选：A. 5．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）计算：（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【解题思路】由对数的运算公式及换底公式，计算即可. 【解答过程】. 故选：D. 6．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）若，，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【解题思路】指数式化为对数式，利用对数运算法则和换底公式进行求解. 【解答过程】由， 故 . 故选：A. 7．（24-25高一上·江苏南通·期末）2021年10月16日0时23分，长征二号F遥十三运载火箭在酒泉卫星发射中心点火升空，582秒后，神舟十三号载人飞船进入预定轨道，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富三名航天员送入太空.在不考虑空气阻力的条件下，从发射开始，火箭的最大飞行速度V满足公式：，其中为火箭推进剂质量，为去除推进剂后的火箭有效载荷质量，为火箭发动机喷流相对火箭的速度．当时，千米／秒.在保持不变的情况下，若吨，假设要使达到8千米/秒，则大约为（    ）结果精确到1，参考数据：） A．98吨 B．108吨 C．118吨 D．128吨 【解题思路】根据所给条件先求出，再由千米/秒列方程求解即可. 【解答过程】因为当时，， 所以， 由， 得， 所以， 解得（吨）， 即至少约为128吨. 故选：D. 8．（24-25高二上·天津·期中）已知，，，则的最小值是（   ） A．3 B． C． D．9 【解题思路】先运用对数的运算性质化简已知式为，结合所求式的结构，将其化成，利用常值代换法将所求式凑成积为定值，借助于基本不等式求解即得. 【解答过程】由可得: , 即,则 则 , 当且仅当时,等号成立. 由解得：， 即当时，的最小值是. 故选：B. 二、多选题 9．（24-25高一上·四川南充·阶段练习）下列指数式与对数式互化正确的一组是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【解题思路】利用指数式与对数式互化关系，逐项确定得答案. 【解答过程】对于A，由，得，A正确； 对于B，由，得，B正确； 对于C，由，得，C错误； 对于D，由，得，D正确； 故选：ABD. 10．（24-25高一上·全国·课后作业）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【解题思路】对于ABC：根据对数的定义结合指数幂运算求解；对于D：举反例即可. 【解答过程】对于选项A：若，所有，故A正确； 对于选项B：若，则， 所以，故B正确； 对于选项C：因为，即， 可得，即，故C错误； 对于选项D：例如，则，可得， 符合题意，但，故D错误； 故选：AB. 11．（24-25高一上·河北保定·阶段练习）若实数，，，且，，，则下列各式中，恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据指数幂的运算判断A；根据对数的运算性质判断BCD. 【解答过程】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：BD. 三、填空题 12．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）已知，，则 . 【解题思路】利用指数式与对数式的互化关系，结合指数运算计算得解. 【解答过程】由，得，而， 所以. 故答案为：. 13．（24-25高一上·安徽亳州·期末）计算= 6 ． 【解题思路】根据对数的运算法则即可计算． 【解答过程】原式， 故答案为：6． 14．（24-25高一上·河北保定·阶段练习）一段时间内，某养兔基地的兔子快速繁殖，兔子总只数的倍增期为21个月（假设没有捕杀与其他损耗）、那么一万只兔子增长到一亿只兔子大约需要 23 年（） 【解题思路】设经过年后的一万只兔子有只,依题可得，令，求解即可. 【解答过程】设经过年后的一万只兔子有只， 根据倍增期为21个月，可得， 令，则，则， 则，故大约需要23年， 故答案为：23. 四、解答题 15．（24-25高一上·全国·课堂例题）将下列指数式与对数式互化： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【解题思路】运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化. 【解答过程】（1），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （2），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （3），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （4），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （5），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （6），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. 16．（24-25高一上·江苏南京·期末）已知，. (1)求的值； (2)用，表示. 【解题思路】（1）逆用指数运算法则计算即可. （2）化指数式为对数式，再利用换底公式及对数运算法则求解. 【解答过程】（1）由，，得. （2）由，，得， 所以. 17．（24-25高一上·全国·课后作业）求下列各式中的值． (1)； (2)； (3)． 【解题思路】（1）根据和以及指数与对数的互化求值即可； （2）根据和以及指数与对数的互化求值即可； （3）根据指数与对数的互化求值即可. 【解答过程】（1）因为，所以， 所以，解得； （2）因为，所以， 所以，解得； （3）因为，所以， 所以，解得. 18．（24-25高一上·辽宁沈阳·阶段练习）求值： (1)； (2)． 【解题思路】（1）利用指数运算性质及对数的运算性质， 运算求值即可； （2）利用完全平方公式及对数换底公式的相关结论及运算求值即可. 【解答过程】（1） . （2） . 19．（24-25高一上·天津·阶段练习）回答下面3个题： (1) (2)若，，求 的值； (3)记，，用 表示对数 . 【解题思路】（1）利用换底公式，以及对数运算公式，即可求解； （2）首先将写成对数式，再利用换底公式，即可求解； （3）将写成对数式，再利用换底公式，即可表示. 【解答过程】（1）原式 ； （2），又， 所以； （3）， 所以. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$