专题08 统计与概率（5大考点）（河北专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 聚焦统计与概率核心考点，精选河北各地2026年二模真题，情境涵盖冬奥会、5G软件、世界读书日等时代热点，基础与综合题梯度分明，适配中考复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|16题|数据收集与处理、概率计算|如“冬奥会知识测试成绩分析”考查中位数、方差| |填空题|6题|众数、概率公式|如“矩形区域着色”结合几何情境考概率| |解答题|14题|统计图表分析、概率与统计综合|如“5G软件评分统计”融合平均数、扇形图与决策分析|

专题08 统计与概率 考点概览 考点01数据的收集与处理 考点02数据的分析 考点03列举法求概率 考点04用树状图或列表法求概率 考点05概率与统计的综合问题 数据的收集与处理 考点01 1．（2026·河北石家庄·二模）某市有近3万名考生参加中考，为了解这些考生的数学成绩，从中抽取600名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是（    ） A．这600名考生是总体的一个样本 B．每位考生的数学成绩是个体 C．近3万名考生是总体 D．600名学生是样本容量 【答案】B 【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量这是指样本中个体的数目，进而问题可求解． 【详解】解：A．这600名考生的数学成绩是总体的一个样本，原说法错误，故不符合题意； B．每位考生的数学成绩是个体，原说法正确，故符合题意； C．近3万名考生的数学成绩是总体，原说法错误，故不符合题意； D． 600是样本容量，原说法错误，故不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查总体、个体、样本及样本容量，熟记各个概念是解题的关键． 2．（2026·河北邢台·二模）在某校组织的国学知识竞赛中，随机抽取了部分学生的成绩（每名学生的成绩都为整数，满分为分），将收集到的成绩分为四组，甲组：，乙组：，丙组：，丁组：，并绘制了如图所示的不完整的扇形统计图和统计表．在绘制结束后，学校又追加了名学生的成绩，其中在丙组名，在丁组名，增加数据后要进行统计图的修改，下列关于扇形统计图的修改，说法不正确的是（     ） 组别 甲 乙 丙 丁 人数/人 A．丁组的圆心角的度数增加 B．丙组的圆心角的度数增加 C．甲组的圆心角的度数减小 D．乙组的圆心角的度数减小 【答案】B 【分析】先求出来抽取的总人数，再求出原来丙组的人数，然后求出各组原来所占的圆心角，再求出增加数据后各组的圆心角，即可判断． 【详解】解：原来抽取的总人数为（人）， 原来丙组的人数为（人）， 原来甲组、乙组、丁组所占百分比均为，所占圆心角均为 原来丙组的百分比为，其所占圆心角为， 增加数据后，丙组的圆心角为，与原来相同， 丁组的圆心角为，比原来增加了， 甲组、乙组的圆心角为，比原来减少了， 故B是不正确的． 3．（2026·河北邯郸·二模）某中学为提升学生消防安全意识，开展了“消防知识竞赛”活动，竞赛成绩按从高到低分为A、B、C、D四个等级，活动结束后随机抽取七年级和八年级各50名同学的竞赛成绩进行调查分析．同时绘制了如图1和2所示的两幅不完整的统计图．根据统计图中所给信息，解答下列问题： (1)七年级抽取的学生中成绩为B的有 人，八年级抽取学生的竞赛成绩统计图中 ； (2)嘉嘉和淇淇在抽取学生的竞赛成绩中分别位居七年级和八年级的第26名．通过统计图分析谁的成绩高； (3)该中学七年级有480名同学，八年级有500名同学，请估计七、八年级竞赛成绩为D的总人数． 【答案】(1)18； (2)淇淇的成绩高， （人），， 七年级第26名同学的成绩为C，即嘉嘉的成绩为C． 八年级抽取学生中成绩为A的有（人）， 成绩为B的有（人）， ， 八年级第26名同学的成绩为， 即淇淇的成绩为, 淇淇的成绩高； (3) 人 【分析】（1）根据总人数计算七年级抽取的学生中成绩为B的人数即可；用1减其他部分的占比即可得到； （2）根据题意得出嘉嘉和淇淇竞赛成绩所在的等级，根据等级判断即可； （3）由样本所占比例估计总体的人数即可． 【详解】（1）解：（人）， ，圆心角为， 故七年级抽取的学生中成绩为B的有18人，； （2）略 （3）解：七、八年级竞赛成绩为的人数为（人）． 数据的分析 考点02 4．（2026·河北张家口·二模）如图，园林工人将绿化带上参差不齐的植物修剪平整，在此过程中绿化带上植物高度的平均数与方差均发生变化．关于这两个统计量的变化情况，描述正确的是（   ） A．平均数变小，方差变小 B．平均数变小，方差变大 C．平均数变大，方差变大 D．平均数变大，方差变小 【答案】A 【分析】此题考查了方差和平均数，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，熟练掌握方差性质是解题关键．根据题意得出现有的高度一定小于等于原先的高度，即平均数变小，平整即波动变小了，方差就变小． 【详解】解：根据题意得，园林工人将绿化带上参差不齐的植物修剪平整，即现有的高度一定小于等于原先的高度，波动变小了，方差就变小， ∴平均数变小，方差变小， 故选：A． 5．（2026·河北保定·二模）如图是某地某月1日－5日的每天最高气温．若该月1日－7日每天最高气温的中位数与前五天每天最高气温的中位数相同，则6日与7日的最高气温可能是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【详解】解：从折线图可得1日－5日的每天最高气温的中位数为，而1日－7日这七天的每天最高气温的中位数与前五天每天最高气温的中位数相同， ∴6日与7日的温度既不能同时大于，也不能同时小于， 四个选项中，A选项中的两个温度都小于，C和D选项中的两个温度都大于，只有B选项符合． 6．（2026·河北邯郸·二模）4月23日是世界读书日，某校为了解本校学生阅读情况，随机调查了一部分学生最近一周的阅读课外书的情况（次数），并进行了统计，根据调查结果制作了如下的统计图．设抽取的学生中，一周内读课外书3次的学生数有人，下列说法正确的是（    ） A．这组数据的平均数是3 B．这组数据的平均数与无关 C．当时，这组数据的众数为10 D．当时，这组数据的中位数为2 【答案】D 【分析】根据条形统计图读出各阅读次数对应的人数，计算总人数和总阅读次数，结合平均数、众数、中位数的定义逐一判断选项即可． 【详解】解：由图可知，阅读0次、1次、2次、4次、5次的人数分别为4、6、8、10、2人，阅读3次的人数为人， 总人数为， 总阅读次数为． 对于A、B，平均数，显然平均数与有关且不恒为3，故A、B错误； 对于C，当时，阅读4次的人数最多（10人），故众数为4，故C错误； 对于D，当时，总人数，则中位数应在第14-18人之中，，，则这组数据的中位数为2，故D正确． 7．（2026·河北张家口·二模）在2，6，，6这一组数中，平均数、中位数、众数至少有两项相等，下列两位同学给出的的值合适的是（    ） 嘉嘉：的值可以为2． 淇淇：的值可以为6． A．只有嘉嘉 B．只有淇淇 C．两人都不合适 D．两人都合适 【答案】D 【分析】分别计算和时这组数据的平均数、中位数、众数，判断是否满足至少两项相等，即可得到结论． 【详解】解：嘉嘉的说法：当时，这组数据为，平均数， 将数据从小到大排序后，中位数为， 平均数等于中位数，满足至少两项相等，嘉嘉的说法正确； 淇淇的说法：当时，这组数据为， 将数据从小到大排序后，中位数为，众数为， 中位数等于众数，满足至少两项相等，淇淇的说法正确； 因此两人都合适． 8．（2026·河北邢台·二模）在某社区文明素养测评活动中，工作人员对居民日常文明表现进行打分，打分统一为1分、2分、3分、4分、5分中的一种．若样本得分的平均数或中位数低于3.5分，则需要在下一阶段对该社区开展文明宣传专项活动．现随机抽取20名居民的测评分数，绘制成了如图所示的条形统计图． (1)求这20名居民测评分数的平均数与中位数，并判断下一步是否需要对该社区开展文明宣传专项活动； (2)工作人员从余下的测评分数中随机再抽取了一个，发现这21名居民测评分数的平均数大于3.5分，求抽取的这名居民的测评分数；与（1）相比，中位数是否发生变化？ 【答案】(1)平均数是分，中位数是4分，需要对该社区开展文明宣传专项活动 (2)5分，中位数没有变化 【分析】（1）根据平均数和中位数的定义结合统计图即可求解，再进一步判断即可； （2）设抽取的这名居民的测评分数是x分，根据题意得到关于x的不等式，求出x的范围再结合题意可得x的具体数值，再判断新数据的中位数即可得到结论． 【详解】（1）解：根据统计图可得这20名居民测评分数的平均数分， 这20名居民测评分数的中位数分， ∵样本得分的平均数， ∴下一步需要对该社区开展文明宣传专项活动； （2）解：设抽取的这名居民的测评分数是x分，根据题意可得： ， 解得：， ∵打分统一为1分、2分、3分、4分、5分中的一种， ∴， 即抽取的这名居民的测评分数是5分； 此时这21个数据的中位数是4分，与（1）相比，中位数没有发生变化. 9．（2026·河北廊坊·二模）某中学为了锻炼同学们的身体素质，加强班级的凝聚力和同学们的集体荣誉感，举行了“跑操比赛”．为了解本次比赛情况，将七年级和八年级各七个班的成绩进行调查分析，给出如下信息： 信息一：将成绩（满分100分，成绩均为整数）进行整理，并分别将七年级和八年级前六个班的成绩绘制成如下所示不完整的统计图表； 八年级前六个班“跑操比赛”成绩统计表 班级 一班 二班 三班 四班 五班 六班 成绩（分） 90 89 89 93 90 a 信息二： 七年级前六个班成绩的众数是唯一的，且六班的成绩与其他班中某班的成绩相同； 八年级前六个班成绩的平均数与七年级前六个班成绩的平均数相同． 根据以上信息解答问题： (1)求a的值，并补全条形统计图； (2)将“七年级七班”和“八年级七班”的成绩与前六个班的成绩汇总，发现七年级和八年级成绩的中位数一样，求“八年级七班”成绩的最小值． 【答案】(1)89，补全条形统计图如图 (2)90分 【分析】（1）根据七年级前六个班成绩的众数是唯一的可求出七年级六班的成绩为95分，进而可补全条形统计图；根据八年级前六个班成绩的平均数与七年级前六个班成绩的平均数相同可知八年级前六个班的总分是，进而可求出a的值； （2）先求出七年级的中位数一定不小于90，设八年级七班成绩为y，分和两种情况讨论可得答案． 【详解】（1）解：∵七年级前六个班成绩的众数是唯一的，且六班的成绩与其他班中某班的成绩相同， ∴七年级六班的成绩为95分， ∴七年级前六个班成绩的平均数为（分）， ∵八年级前六个班成绩的平均数与七年级前六个班成绩的平均数相同， ∴八年级前六个班成绩的平均数为90分， ∴． 补全条形统计图略； （2）解：对于七年级：前六个成绩排序为80，85，90，95，95，95，无论加入七年级七班的成绩是多少，最多只有3个成绩不大于89，因此七年级的中位数一定不小于90． 对于八年级：前六个成绩排序为89，89，89，90，90，93， 设八年级七班成绩为y： 若，排序后第4个数据为89，，不可能与七年级中位数相等，不符合要求； 若，排序后为89，89，89，90，90，90，93，第4个数据为90，此时七年级可以取中位数为90（例如七年级七班成绩时，中位数就是90），符合要求． 因此八年级七班成绩的最小值为90． 10．（2026·河北邯郸·二模）化学课上学习酸碱度时，老师带领学生对不同种类的水的值进行测量．老师随机收集了21份水的样本，其中10份海水样本和10份地下水样本，1份因标签掉落，无法确定水的种类，学生分组测量20份样本的值．并将结果绘制成如图所示的折线统计图． 平均数 中位数 众数 最小值 最大值 地下水 7.4 a 7.5 7.1 7.6 海水 8.18 8.2 8.2 b 8.4 (1)地下水值的中位数________，海水值的最小值________； (2)已知未受污染的海水值在之间（包含端点），老师收集的10份样本中，求未受污染的海水所占百分比； (3)小明同学测出标签掉落的样本的值为，他判断该样本大概率是海水样本，你赞同他的观点吗？请利用统计知识说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)赞同他的观点，理由见解析 【分析】（1）根据折线图与中位数的定义求解即可； （2）利用统计表信息列式计算即可； （3）根据统计表样本数据的最大值与最小值以及平均数的意义分析即可． 【详解】（1）解：10份地下水样本数据从小到大排序为：， ∴中位数， 由折线图可得：海水值的最小值． （2）解：未受污染的海水值在之间（包含端点），老师收集的10份样本中，求未受污染的海水所占百分比为：． （3）解：∵样本统计表中，海水值的最大值为，最小值为， 地下水值的最大值为，最小值为， 再结合统计表中的平均数数据可得： 小明同学测出标签掉落的样本的值为，该样本大概率是海水样本，其说法正确． 11．（2026·河北廊坊·二模）在年第届冬季奥林匹克运动会上，我国冰雪健儿勇夺枚金牌、枚银牌、枚铜牌，共枚奖牌，取得我国境外参加冬奥会历史最好成绩．为此，某学校为调查九年级学生对“冬奥会”知识的了解情况，进行了相关测试（百分制），从两班各随机抽取了名学生的成绩，并进行整理和分析．成绩得分用表示，共分成四组： A．． B．．C．．D．． 下面给出了部分信息： 信息一：九年级（1）班名学生的成绩是96，80，96，86，99，98，94，100，89，82； 九年级（2）班名学生的成绩在C组中的数据是94，90，92． 信息二：九年级（2）班抽取的学生成绩扇形统计图： 信息三：九年级两个班抽取的学生的部分统计量： 年级 平均数 中位数 众数 方差 九年级（1）班 92 96 47.4 九年级（2）班 92 94 100 50.4 根据以上信息，回答下列问题： (1)直接写出上述，的值：________，________； (2)九年级两个班共有名学生参加了此次测试，估计两班参加此次测试成绩优秀（）的学生总人数是多少？ (3)学校欲选派成绩更稳定的班级参加下一阶段的测试，你认为学校会选派哪一个班级？请说明理由． 【答案】(1)； (2)人 (3)九年级（1）班的成绩更稳定， 理由见解析 【分析】（1）根据九（2）班C组的百分数求，根据中位数的定义求即可； （2）利用样本估计总体即可； （3）根据方差的意义解答即可． 【详解】（1）解：九年级（2）班C组占的百分比为， ， ； 将九年级（1）班名学生的成绩按照从小到大的顺序排列：80，82，86，89，94，96，96，98，99，100； 位于第和位数据为和， 中位数； （2）解：样本中九年级（2）班测试成绩优秀（）的学生人数为（人）， 估计两班参加此次测试成绩优秀（）的学生总人数是（人）． （3）解：九年级（1）班的成绩更稳定， 理由： ，即九年级（1）班的方差小于九年级（2）班的方差， 九年级（1）班的成绩更稳定． 12．（2026·河北保定·二模）市体育局对甲、乙两运动队的某体育项目进行测试，两队人数相等，测试后统计队员的成绩分别为：7分、8分、9分、10分（满分为10分）．依据测试成绩学校进行了收集和整理，其中部分信息如下： 信息一： 信息二： 甲队成绩统计表 成绩 7分 8分 9分 10分 人数 10 1 m 7 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求m的值和扇形圆心角的度数； (2)补全乙队成绩条形统计图； (3)请从中位数和平均数的角度分析哪个运动队的成绩较好． 【答案】(1)的值为2，的度数为 (2) 补全条形图如图：    (3)乙运动队的成绩较好 【分析】本题考查了统计图表，加权平均数、中位数． （1）先由乙队9分人数和占比求出总人数，即可求出m的值和扇形圆心角的度数； （2）求出乙队7分的人数即可补全图形； （3）分别求出两队的中位数和平均数，再比较即可． 【详解】（1）两队人数为： ， 的值为2，的度数为． （2）乙队7分人数为：． （3）①甲的中位数为：（分）；乙的中位数为：（分）； ②甲队成绩的平均数为：（分）； 乙队成绩的平均数为：（分）； 甲、乙两队成绩的平均数相同，但乙队的中位数比甲队的中位数大 乙运动队的成绩较好． 13．（2026·河北廊坊·二模）某市为选拔主持人参加省级比赛，开展了全市的主持人大赛，赛事分为初赛和决赛两个阶段． (1)初赛由5名专业评委和40名观众评委给每位选手打分（百分制）．对某位选手的打分信息如下： ．专业评委打分：88，90，90，92，95； ．评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 专业评委 91 观众评委 89 90 91 根据以上信息，回答下列问题： ①直接写出表中，的值； ②比赛规定初赛按专业评委平均分占，观众评委平均分占计算选手总分，若选手成绩超过90分，则可直接进入决赛，请通过计算说明该选手能否进入决赛； (2)决赛由5位专业评委打分（百分制），评分规则为：先比较两位选手的平均得分，平均分高者胜出；若平均分相同，则方差小者胜出（方差越小，评委评价越一致）．已知5名评委给甲选手的打分为：91，92，92，93，92．甲选手的平均分和方差运算过程如下： 第一步，计算甲选手的平均分：； 第二步，计算甲选手的方差： ． 已知5名评委给乙选手的打分为：90，93，92，93，92，请通过计算判断甲、乙两位选手谁能最终胜出． 【答案】(1)①，；②该选手可以进入决赛 (2)甲选手最终胜出 【分析】（1）①根据众数和中位数的定义求解即可． ②利用加权平均数求出该选手的成绩，然后和90相比即可得出答案． （2）计算出乙的平均分和方差，然后判断即可得出答案． 【详解】（1）解：①专业评委打分从小到大排列：88，90，90，92，95， ∴，； ②，且， ∴该选手可以进入决赛. （2）解：， ，， ∴甲选手最终胜出． 14．（2026·河北石家庄·二模）某市一家快餐连锁店的外卖员都是全职骑手．对该快餐连锁店骑手送外卖量的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．随机抽取该快餐连锁店的100名外卖骑手，统计他们30天的平均送外卖量（单位：单），并画出频数分布直方图（数据分成6组：； b.该快餐连锁店的两名外卖骑手甲、乙在这30天的送外卖量（单位：单）如下： 甲 12 12 15 16 17 19 20 21 21 21 23 23 24 24 27 29 32 33 42 47 56 56 56 56 56 58 59 59 60 62 乙 18 23 24 25 25 26 27 28 29 31 34 35 36 38 38 38 39 39 39 39 39 39 39 39 43 43 44 45 46 48 c.甲、乙两名外卖骑手这30天送外卖量的平均数、众数、中位数如下： 平均数 众数 中位数 甲 35.2 56 乙 35.2 38 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中的值； (2)该快餐连锁店共有2000名外卖骑手，为了鼓励工作积极性，决定对这30天送外卖量前400名的外卖骑手发放一次性奖金，请估计甲能否获得这笔奖金； (3)该快餐连锁店提供了两种日工资方案（不考虑其他因素）：方案一规定每日底薪50元，每完成一单外卖提成5元；方案二规定每日底薪100元，外卖的前24单没有提成，从第25单开始，每送一单外卖提成10元． ①若甲、乙两人都选择了方案一，则甲这30日的工资___________乙这30日的工资（填“”“”或“”）； ②为了获得这30天的最高工资，在这两种方案中，甲应选择方案___________，乙应选择方案___________． 【答案】(1) (2)不能 (3)①；②二，一 【分析】本题考查平均数，中位数，众数，解题的关键是熟练掌握平均数，中位数和众数的定义． （1）根据中位数、众数的定义进行解答即可； （2）根据甲的平均数进行解答即可； （3）①根据方案一分别计算出甲乙俩人这30日的工资，比较即可；②根据方案二分别计算出甲乙俩人这30日的工资，与①中方案一比较即可得出结论． 【详解】（1）解：甲在这30天的送外卖量中，排在第15和16的是27和29， 则中位数； 乙在这30天的送外卖量中，39出现的次数最多，出现了8次， 则众数； （2）解：， 由频数分布直方图可知，平均送单量在“”及“”区间的人数共人，占抽样100人的，即这部分人对应前， 而甲的平均值为35.2，落在“”区间，并不在45以上那一组中， 故估计甲不能进入前400名，得不到奖金； （3）解：甲、乙的30天的日平均送单量都是35.2单/天 ， 则这30天甲、乙的总送单量为（单）， 因而二人总工资 (元)， 所以甲的工资 =乙的工资， ②若甲按“方案二”的总收入为(元)， 大于其在“方案一”下的6780元， 因此甲应选“方案二”， 若乙按“方案二”的总收入为(元)， 小于其在“方案一”下的6780元， 因此乙应选“方案一”． 15．（2026·河北保定·二模）某中学为选拔“校园形象代言人”，先后进行了笔试和面试．在笔试中，甲、乙两位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分为分）分别是 ．在面试中，由十位评委对甲、乙同学的表现进行打分，每位评委最高打分，且分数为整数，面试成绩等于各位评委打分之和．对两位同学的面试成绩进行整理、描述和分析后给出了相关信息． ．评委给甲同学打分的扇形统计图 ．评委给乙同学打分的统计表 评委 号 号 号 号 号 号 号 号 号 号 乙分数/分 ．甲、乙两位同学面试成绩汇总表 同学 评委打分的总和 评委打分的中位数 方差 甲 乙 ？ 根据以上信息，回答下列问题： (1)_____； (2)现要求笔试成绩与面试成绩的占比为，已知甲的综合成绩为分，请计算乙同学的综合成绩； (3)通过比较方差，可以判断评委对两位学生面试表现评价的一致性程度．嘉嘉已经计算甲同学面试成绩的方差，下面是他的计算过程： ； 请你计算乙的方差，并推断评委对甲、乙哪位同学的评价更一致； (4)将（1）（2）（3）的信息进行综合分析，你认为选择哪位同学作为“校园形象代言人”更合适，请说明理由． 【答案】(1)8 (2)乙的综合成绩为85.8分 (3)评委对乙同学的评价更一致 (4)选择乙同学作为“校园形象代言人”更合适．理由见解析 【分析】（1）根据中位数的计算方法计算即可； （2）根据综合成绩的计算方法计算即可； （3）根据方差计算公式求解并比较即可； （4）对甲乙两位同学成绩的综合成绩、中位数及方差进行比较分析得出结论. 【详解】（1）解： ， ∵评委对甲打分从低到高第个数都是， ∴评委对甲打分的中位数， 故答案为：； （2）解：乙的综合成绩为：（分）； （3）解： ； ， （4）解：选择乙，理由如下： 因为甲、乙的综合成绩一样，乙同学成绩中位数高于甲同学，且评委对乙同学的评价更一致． 16．（2026·河北石家庄·二模）“赋能，改变生活”，行业的兴起为各行各业带来了前所未有的创新和变革．某科技公司为了了解甲款软件的使用效果，随机抽取10名软件工程师和名各行业普通使用者做评委，对甲款软件的使用效果进行评分（评分用表示，单位：分），并对他们的评分结果进行整理、描述、分析，得到如下部分信息： a．软件工程师评分：82  83  85  88  90  90  90  91  95  96 b．普通使用者的评分整理后分成5组，A组：，B组：，C组：，D组：，E组：，并绘制成如图12的频数分布直方图和扇形统计图． c．评委评分平均数、中位数、众数如下表： 平均数 中位数 众数 软件工程师评分 90 普通使用者评分 91 91 根据以上信息，回答下列问题： (1)_____，_____，_____； (2)b的值位于____组，请补全频数分布直方图； (3)在扇形统计图中，E组所对应的扇形圆心角的度数为_____； (4)为了让使用者对软件有更多的了解，该科技公司再次组织这10名软件工程师和名普通使用者考察乙款软件．已知软件工程师和普通使用者评委对乙款软件打分的平均数分别为87分，92分．若软件工程师打分（取平均数）占，普通使用者打分（平均数）占，确定甲、乙两款软件的最终得分，如果只比较两款软件的最终得分，请通过计算说明哪款软件更受欢迎？ 【答案】(1)40，89，90 (2)C， (3)36 (4)甲款软件更受欢迎 【分析】（1）由C组人数及其所占百分比可得总人数，根据平均数和众数的定义可得、的值； （2）根据中位数的定义及频数分布直方图可得的值位于C组；由各组人数之和等于总人数求出E这组人数，从而补全图形； （3）用乘以E组人数所占比例即可； （4）根据加权平均数的定义求解即可． 【详解】（1）解：， 软件工程师评分平均数， 软件工程师评分中，90出现的次数最多， 所以软件工程师评分众数； （2）解：名各行业普通使用者，则其中位数是第20、21位数的平均数，由频数分布直方图可知，b的值位于C组； （人）， 补全频数分布直方图如图所示； （3）解：E组对应的扇形圆心角的度数为； （4）解：甲款软件最终得分：（分）， 乙款软件最终得分：（分）， ， ∴甲款软件更受欢迎． 列举法求概率 考点03 17．（2026·河北邯郸·二模）一个不透明的袋子中装有4个分别标有化学元素符号H，O，C，N的小球．这些小球除元素符号外无其他差别，从袋子中随机摸出两个小球，所标元素能组成“”（一氧化碳）的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先列出所有等可能的结果，再找出符合条件的结果数，利用概率公式计算． 【详解】解：将四个小球分别记为H，O，C，N，随机摸出两个小球，所有等可能的结果为： ，共种， 其中所标元素能组成""的结果只有种，即同时摸到C和O， ， 18．（2026·河北廊坊·二模）在一个不透明的布袋中，装有4个黑球、3个白球、3个黄球、2个红球，从中随机摸出1个球，有两种颜色的球被摸到的概率相同，则这两种颜色分别是（     ） A．黑球和白球 B．黄球和白球 C．黑球和红球 D．红球和白球 【答案】B 【分析】先计算布袋中球的总数量，再分别计算每种颜色球被摸到的概率，比较概率即可得到结果． 【详解】解：布袋中球的总个数为， ∴摸出黑球的概率为，摸出白球的概率，摸出黄球的概率，摸出红球的概率， ∴，即白球和黄球被摸到的概率相同． 19．（2026·河北保定·二模）桌面上放有六张卡片，卡片上分别写着0，1，2中的一个数字，这些卡片除数字外无其他差别，若随机翻开写着数字“1”的卡片的概率是，写着数字“2”的卡片的概率是，则写着数字“0”的卡片有（     ）张 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】先求出数字1和数字2的卡片张数，再用总卡片数减去二者的张数，即可得到数字0的卡片张数． 【详解】解：∵共有6张卡片，随机翻开数字“1”卡片的概率为， ∴数字“1”的卡片张数为； ∵随机翻开数字“2”卡片的概率为， ∴数字“2”的卡片张数为； ∴数字“0”的卡片张数为． 20．（2026·河北石家庄·二模）如图是某校一张餐桌的示意图，学生甲先坐在座位，陪餐老师和学生乙在，，三个座位中随机选择两个座位．则陪餐老师和学生乙坐在正对面的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了古典概型的概率计算，通过列出陪餐老师和学生乙在，，三个座位中随机选择两个座位的所有情况，再利用概率公式即可求解． 【详解】解：陪餐老师和学生乙在，，三个座位中随机选择两个座位， 所有可能的排列如下： 老师，学生乙； 老师，学生乙； 老师，学生乙； 老师，学生乙； 老师，学生乙； 老师，学生乙； 共种等可能的情况， 只有当老师和学生乙坐在和时，才满足正对面的情况，则符合情况的有： 老师，学生乙； 老师，学生乙； 则陪餐老师和学生乙坐在正对面共种情况， ． 21．（2026·河北保定·二模）如图是某通道的部分通行路线示意图，若从入口驾车进入，行至每个岔路口选择前方两条线路的可能性相同，则从口驶出的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据概率所求情况数与总情况数之比求解即可． 【详解】解：由图可知，在每个岔路口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，赛车最终驶出的点共有、、、四个， 所以，最终从点H驶出的概率为． 22．（2026·河北邢台·二模）某体育馆有3个完全相同的入口，分别通往田径训练场，球类训练场和健身训练场．一名运动员从任意一个入口进入的可能性都相等，则他恰好进入田径训练场的概率为____． 【答案】 【详解】解：由题意可知，所有等可能的入口结果共有种，恰好进入田径训练场的结果有种， 根据概率计算公式，可得，恰好进入田径训练场的概率为． 23．（2026·河北邯郸·二模）将一个矩形分割成A，B，C，D，E五个区域，用红、黄、蓝、绿四种不同的颜色分别给这五个区域着色，已着色情况如图所示，若给E区域着色后（颜色可重复使用），使每相邻两个区域的着色都不相同的概率为________． 【答案】 【分析】首先根据图形确定区域相邻的区域有哪些，然后找出这些相邻区域已着的颜色，最后根据概率公式计算满足条件的概率.． 【详解】解：由题意可知，给区域着色共有种等可能的结果，分别为红、黄、蓝、绿 观察图形可知，区域与、、三个区域相邻 已知区域着黄色，区域着蓝色，区域着绿色 要使每相邻两个区域的着色都不相同，区域的颜色不能与、、区域的颜色相同 即区域不能着黄色、蓝色、绿色 所以区域只能着红色，只有种情况 所以使每相邻两个区域的着色都不相同的概率为． 用树状图或列表法求概率 考点04 24．（2026·河北廊坊·二模）某校的科技兴趣小组开发了一款机器狗小游戏，具体如下：如图，在一个正方形中，设点为机器狗的起点，机器狗每次只能从一个顶点移动到另一个顶点（机器狗不会返回前一个顶点），则机器狗从起点开始随机运行2次后恰好停在点的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了画树状图求概率，正确画出树状图是解题的关键． 先根据题意画出树状图，确定机器狗从起点A开始随机运行2次所有等可能结果数以及恰好停在点的结果数，然后再运用概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意画树状图如下： 由树状图可知：机器狗从起点A开始随机运行2次所有等可能结果数为6，恰好停在点的结果数为2，则机器狗从起点开始随机运行2次后恰好停在点的概率为． 故选D． 25．（2026·河北石家庄·二模）甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列表法与树状图、概率公式，画树状图得出所有等可能的结果数以及卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将甲骨文“美”“丽”“山”“河”四张卡片分别记为A，B，C，D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的结果有2种， ∴卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的概率为． 故选：B． 26．（2026·河北石家庄·二模）一个不透明的袋子里有个小球，上面分别标有数字，，，，小球除所标数字不同外，其它完全相同，摇匀后摸出一球，记下数字为，不放回，再摸出一球，记下数字为，若点的坐标为，则点落在双曲线上的概率为________． 【答案】 【分析】通过列表得出所有等可能结果即可，找出落在双曲线上的情况数，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：列表如下： b           a 1 2 1 2 由表知，共有12种等可能结果，横纵坐标之积为2的情况有：，，，，共4种， 所以落在双曲线上的概率为：． 27．（2026·河北石家庄·二模）小亮和爸爸计划乘动车外出旅游．在网上购票时，小亮选定的车厢只剩一排有余座（如图）．若此时C座已售出，其余座位由系统随机分配，则小亮和爸爸相邻而坐的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列表法求概率，熟练掌握列表法求概率是解题的关键． 根据题意，根据列表法求概率即可求解． 【详解】解：列表如下， 共有12种等可能结果，其中符合题意的有4种， 小亮和爸爸相邻而坐的概率是, 故选：C． 28．（2026·河北廊坊·二模）某校开展“古代四大发明”主题研学活动，要求每名同学从造纸术、印刷术、指南针、火药四个主题中，随机选取两个进行探究．嘉琪同学恰好选中“造纸术”和“火药”两个主题的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：将造纸术、印刷术、指南针、火药这四项发明分别记为， 则可画树状图为： 由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中恰好选择“造纸术”和“火药”的结果数有2种， ∴恰好选择“造纸术”和“火药”的概率是． 29．（2026·河北张家口·二模）如图，在的正方形网格中，点，，，，均是格点（网格线的交点）． (1)从，，三点中随机取一点，选中点的概率为__________． (2)从，，三点中随机取两点，以这两点及点，为顶点画四边形，求所画四边形是平行四边形的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）明确总结果数和符合条件的结果数，再用概率公式计算； （2）先列出所有取点的组合情况，再根据平行四边形的判定条件筛选出符合的组合，最后计算概率． 【详解】（1）解：∵从，，三点中随机取一点，一共有3种等可能的结果， ∴选中点的概率． （2）画树状图如下： 由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中符合条件的结果有4种， ∴所画四边形是平行四边形的概率． 30．（2026·河北邢台·二模）晓红同学计划假期去剧场观看经典话剧《茶馆》，她用某购票软件在网上购买门票时，显示只可以购买剧场某区域某排中的席位，如图，网上显示阴影部分的座席已经售出，其余A，B，C，D，E五个席位由系统随机分配． (1)求晓红购买到与过道相邻席位的概率； (2)若晓红的妈妈也一同购票，用画树状图或列表法求晓红和妈妈相邻而坐的概率．（说明：在座位之间有过道不算相邻而坐） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据概率公式计算即可； （2）画出树状图，根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：因为系统是随机分配座位的，所以任何一种座位组合出现的可能性都是相同的，因此晓红购买到与过道相邻席位的概率； （2）解：根据题意画树状图如下： 由树状图可知，共有20种等可能情况数，其中相邻座位的情况数有6种， 则晓红和妈妈相邻而坐的概率是． 31．（2026·河北邯郸·二模）如下是一个数学游戏：将图1的圆周分成相等的8段，棋子从点处开始沿逆时针方向移动．掷一枚如图2的均匀正四面体骰子（四个面上分别写有1，2，3，4），游戏规则如图3． (1)掷第一次骰子，求棋子移动4步的概率及棋子移动6步的概率； (2)求掷二次骰子后，棋子回到点处的概率． 【答案】(1)棋子移动4步的概率为0，棋子移动6步的概率； (2)． 【分析】（1）分析规则得到移动步数朝下数字，即所有可能的移动步数为：6、7、8、9，每种结果概率均为，根据概率公式计算即可； （2）圆周分为8相等段，回到O点等价于两次总步数是8的倍数，列出表格，进而根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：首先分析规则：均匀正四面体四个面数字为1、2、3、4，掷一次只有1个面朝下，剩余3个面朝上，每个面朝下概率相等（均为​），所有数字总和为， 因此移动步数朝下数字，所有可能的移动步数为：6、7、8、9，每种结果概率均为， 则棋子移动4步的概率为0，棋子移动6步的概率； （2）解：圆周分为8相等段，回到O点等价于两次总步数是8的倍数． 列表如下： 6 7 8 9 6 12 13 14 15 7 13 14 15 16 8 14 15 16 17 9 15 16 17 18 根据表格可知掷两次共有种等可能结果，其中8的倍数有3种， ∴棋子回到点处的概率． 概率与统计的综合问题 考点05 32．（2026·河北保定·二模）某学校开展数字创作实践活动，每次任务系统会从“标准创作”和“创意创作”两种任务等级中随机确定一种，且每种创作中有“绘画类”和“文案类”任务，每次只完成其中一种任务．任务等级与创作类型随机分配，每种结果可能性相同． (1)嘉淇参与一次数字创作． ①分配到“标准创作”的概率为______； ②请利用列表或画树状图的方法，求分配的是“创意创作”且任务是“文案类”的概率； (2)为鼓励学生，活动设置创作积分（积分可用于兑换学习资料），完成不同类型的创作，可获得对应积分，具体得分规则如下表： 文案类 绘画类 标准创作 3 4 创意创作 4 5 嘉淇在一周内共完成18次创作任务．系统统计显示，她完成的“绘画类”任务是“文案类”任务次数的2倍，求她在这些“文案类”任务中，能获得的最大得分是多少分？ 【答案】(1)①；② (2)“文案类”任务最大得分是24分 【分析】（1）根据古典概型的概率公式，找到对应的等可能的事件结果数，再套用公式求解即可； （2）根据题意，列方程求出“文案类”的完成任务次数，再根据表格，假设完成的所有“文案类”任务都属于“创意创作文案类”，计算得分即可． 【详解】（1）解：①共有“标准创作”和“创意创作”2种等可能的分配情况，故概率为； ②画树状图如图， 由树状图可得，共有4种等可能的结果，其中分配的是“创意创作”且任务是“文案类”的有1种， ∴分配的是“创意创作”且任务是“文案类”的概率为； （2）解：设“文案类”的个数为x个，则“绘画类”的个数为个， 依题意得， 解得， ∵完成“标准创作文案类”得3分，“创意创作文案类”得4分， ∴当“文案类”都是“创意创作文案类”时，获得最大得分，最大得分是分． 33．（2026·河北唐山·二模）某校开展“共享阅读·向上人生”的读书活动，为了解学生对四类书籍（A体育类，B科技类，C文学类，D艺术类）的喜爱情况，在全校范围内随机抽取若干名学生进行了问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能在这四类书籍中选择一类），并将数据进行统计和整理，绘制了两幅不完整的统计图，根据图中信息，请回答下列问题： (1)本次抽取调查的学生共有__________人，估计该校2000名学生喜爱“B科技类”书籍的人数约为__________人． (2)请将条形统计图补充完整． (3)在活动中，甲、乙、丙三名学生表现优秀，决定从这三名学生中随机选取两名学生参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中甲和乙的概率． 【答案】(1)200，800 (2) 则补全条形统计图为： (3) 【分析】本题考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联，树状图或列表法求解概率，用样本估计总体，正确理解题意是解题的关键． （1）由D艺术类的人数除以占比即可求解本次抽取调查的学生，用2000乘以喜爱“B科技类”的占比即可求解该校2000名学生喜爱“B科技类”书籍的人数； （2）先求出C文学类的人数，即可补全条形统计图； （3）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：本次抽取调查的学生共有（人）， 该校2000名学生喜爱“B科技类”书籍的人数约为：（人）， 故答案为：200，800； （2）解：C文学类的人数为：（人）， （3）解：画树状图如下： 共有6种等可能结果，其中恰好选中甲和乙的结果有2种. （恰好选中甲和乙）． 34．（2026·河北石家庄·二模）2025年8月，成都将举办第12届世界运动会．某校为了让学生了解更多的比赛项目，利用自主选学时间开设了航空运动、浮士德球、地掷球及体育舞蹈四个比赛项目的科普课堂．每位学生必须且只能选某个项目的科普课堂进行学习．该校随机调查了部分学生的学习意愿，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． (1)求本次被调查的学生总人数，并补全条形统计图； (2)在扇形统计图中，求“浮士德球”对应的圆心角度数； (3)在学校组织学生科普学习后，校园小记者随机采访了两位同学，请利用画树状图或列表的方法，求出被采访的两位同学恰好在同一科普课堂学习的概率． 【答案】(1)150人，补全条形统计图，如下： (2) (3) 【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图的知识．用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．也考查了条形统计图和扇形统计图． （1）由选地掷球的人数和所占百分比求出本次调查的学生总人数，即可解决问题； （2）由360度乘以选择“浮士德球”的学生所占的比例即可； （3）列出表格，得出所有等可能的结果数和满足条件的结果数，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：人， 即本次被调查的学生总人数为150人， 选地掷球的学生总人数为人， 补全条形统计图，如下： （2）解： “浮士德球”对应的圆心角度数； （3）解：设航空运动、浮士德球、地掷球及体育舞蹈四个比赛项目的科普课堂分别用A，B，C，D表示， 根据题意，列出表格，如下： A B C D A A，A B，A C，A D，A B A，B B，B C，B D，B C A，C B，C C，C D，C D A，D B，D C，D D，D 一共有16种等可能结果，其中恰好在同一科普课堂学习有4种， 所以被采访的两位同学恰好在同一科普课堂学习的概率为． 35．（2026·河北张家口·二模）4月23日是世界读书日，为贯彻落实好《全国青少年学生读书行动1实施方案》，打造“人人爱读书，人人好读书”的书香校园，实验学校开展以“书香校园－我最喜欢的书籍”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（：政史类，：文学类，：科技类，：艺术类，：其他类）．学校数学兴趣小组对部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，数学兴趣小组绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）． 根据以上信息，解答下列问题： (1)学校此次被调查的学生总人数为_____人，其中喜欢D“艺术类”书籍的学生人数为_____人； (2)在扇形统计图中，“科技类”所对应的圆心角度数是_____度； (3)若该校有4000名学生，请你估计最喜欢阅读“文学类”书籍的学生人数为_____人； (4)学校数学兴趣小组中，甲同学从三类书籍中随机选择一种，乙同学从三类书籍中随机选择一种，则甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为_____． 【答案】(1)100，25 (2)144 (3)800 (4) 【分析】本题考查了列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键． （1）根据A的人数及所占比值求出总人数，总人数减去A、B、C、E的人数，可求D人数即可； （2）360度乘以C所占总人数的比值，即可求出 C“科技类”所对应的圆心角度数； （3）由该校共有学生人数乘以最喜欢阅读“文学类”书籍的学生人数所占的比例即可； （4）画树状图，共有9种等可能的结果，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：人， 即学校此次被调查的学生总人数为100人， 人， 即喜欢D“艺术类”书籍的学生人数为25人； 故答案为：100；25 （2）解：， 即“科技类”所对应的圆心角度数是144度； 故答案为：144 （3）解：人， 即最喜欢阅读“文学类”书籍的学生人数为800人； 故答案为：800 （4）解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的结果有2种， ∴甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为． 故答案为： 36．（2026·河北石家庄·二模）党的十八大以来，习近平总书记对推动全民阅读、建设书香中国高度重视，多次作出重要指示．×××中学在第个“世界读书日”到来之际，对全校名学生阅读课外书的情况进行了解，随机抽取部分学生进行问卷调查，形成了如下调查报告（不完整）： 调查方式 抽样调查 调查对象 ×××中学部分学生 平均每周阅读课外书的时间大约是（只能单选，每项含最小值，不含最大值） A．8小时以上 B．6-8小时 C．4~6小时 D．0~4小时    请解答下列问题： (1)求参与本次抽样调查的学生人数； (2)求图2中扇形A所占百分比； (3)估计该校2000名学生中，平均每周阅读课外书的时间在“小时”人数； (4)在学生众多阅读书籍中，学校推荐阅读书目为四大名著：《三国演义》《红楼梦》《西游记》《水浒传》（分别记为甲、乙、丙、丁），现从这4部名著中选择2部为课外必读书籍，请用列表法或画树状图法中任意一种方法，求《西游记》被选中的概率． 【答案】(1)300 (2) (3)320 (4) 【分析】（1）结合条形统计图和扇形统计图，根据平均每周阅读课外书的时间在“小时”中人数及其所占百分比可得总人数； （2）用扇形A的圆心角除以即可求得扇形A所占百分比； （3）根据扇形统计图求得平均每周阅读课外书的时间在“小时”所占的百分比，用总人数乘以百分比即可求得； （4）画树状图得出所有等可能的结果数和《西游记》被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）在这次调查中一共抽查学生（人）， 即参与本次抽样调查的学生人数为300人． （2）扇形A所占百分比为， 即扇形A所占百分比为． （3）平均每周阅读课外书的时间在“小时”所占的百分比为， ∴（人）， 即该校2000名学生中，平均每周阅读课外书的时间在“小时”人数为320人． （4）画树状图如下：    共有12种等可能的结果，其中《西游记》被选中的结果有6种， ∴《西游记》被选中的概率为． 【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联，求扇形统计图的相关数据，样本估计总体，列表法或画树状图法求概率等，熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解题的关键． 试卷第36页，共36页 2/37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 统计与概率 考点概览 考点01数据的收集与处理 考点02数据的分析 考点03列举法求概率 考点04用树状图或列表法求概率 考点05概率与统计的综合问题 数据的收集与处理 考点01 1．（2026·河北石家庄·二模）某市有近3万名考生参加中考，为了解这些考生的数学成绩，从中抽取600名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是（    ） A．这600名考生是总体的一个样本 B．每位考生的数学成绩是个体 C．近3万名考生是总体 D．600名学生是样本容量 2．（2026·河北邢台·二模）在某校组织的国学知识竞赛中，随机抽取了部分学生的成绩（每名学生的成绩都为整数，满分为分），将收集到的成绩分为四组，甲组：，乙组：，丙组：，丁组：，并绘制了如图所示的不完整的扇形统计图和统计表．在绘制结束后，学校又追加了名学生的成绩，其中在丙组名，在丁组名，增加数据后要进行统计图的修改，下列关于扇形统计图的修改，说法不正确的是（     ） 组别 甲 乙 丙 丁 人数/人 A．丁组的圆心角的度数增加 B．丙组的圆心角的度数增加 C．甲组的圆心角的度数减小 D．乙组的圆心角的度数减小 3．（2026·河北邯郸·二模）某中学为提升学生消防安全意识，开展了“消防知识竞赛”活动，竞赛成绩按从高到低分为A、B、C、D四个等级，活动结束后随机抽取七年级和八年级各50名同学的竞赛成绩进行调查分析．同时绘制了如图1和2所示的两幅不完整的统计图．根据统计图中所给信息，解答下列问题： (1)七年级抽取的学生中成绩为B的有 人，八年级抽取学生的竞赛成绩统计图中 ； (2)嘉嘉和淇淇在抽取学生的竞赛成绩中分别位居七年级和八年级的第26名．通过统计图分析谁的成绩高； (3)该中学七年级有480名同学，八年级有500名同学，请估计七、八年级竞赛成绩为D的总人数． 数据的分析 考点02 4．（2026·河北张家口·二模）如图，园林工人将绿化带上参差不齐的植物修剪平整，在此过程中绿化带上植物高度的平均数与方差均发生变化．关于这两个统计量的变化情况，描述正确的是（   ） A．平均数变小，方差变小 B．平均数变小，方差变大 C．平均数变大，方差变大 D．平均数变大，方差变小 5．（2026·河北保定·二模）如图是某地某月1日－5日的每天最高气温．若该月1日－7日每天最高气温的中位数与前五天每天最高气温的中位数相同，则6日与7日的最高气温可能是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 6．（2026·河北邯郸·二模）4月23日是世界读书日，某校为了解本校学生阅读情况，随机调查了一部分学生最近一周的阅读课外书的情况（次数），并进行了统计，根据调查结果制作了如下的统计图．设抽取的学生中，一周内读课外书3次的学生数有人，下列说法正确的是（    ） A．这组数据的平均数是3 B．这组数据的平均数与无关 C．当时，这组数据的众数为10 D．当时，这组数据的中位数为2 7．（2026·河北张家口·二模）在2，6，，6这一组数中，平均数、中位数、众数至少有两项相等，下列两位同学给出的的值合适的是（    ） 嘉嘉：的值可以为2． 淇淇：的值可以为6． A．只有嘉嘉 B．只有淇淇 C．两人都不合适 D．两人都合适 8．（2026·河北邢台·二模）在某社区文明素养测评活动中，工作人员对居民日常文明表现进行打分，打分统一为1分、2分、3分、4分、5分中的一种．若样本得分的平均数或中位数低于3.5分，则需要在下一阶段对该社区开展文明宣传专项活动．现随机抽取20名居民的测评分数，绘制成了如图所示的条形统计图． (1)求这20名居民测评分数的平均数与中位数，并判断下一步是否需要对该社区开展文明宣传专项活动； (2)工作人员从余下的测评分数中随机再抽取了一个，发现这21名居民测评分数的平均数大于3.5分，求抽取的这名居民的测评分数；与（1）相比，中位数是否发生变化？ 9．（2026·河北廊坊·二模）某中学为了锻炼同学们的身体素质，加强班级的凝聚力和同学们的集体荣誉感，举行了“跑操比赛”．为了解本次比赛情况，将七年级和八年级各七个班的成绩进行调查分析，给出如下信息： 信息一：将成绩（满分100分，成绩均为整数）进行整理，并分别将七年级和八年级前六个班的成绩绘制成如下所示不完整的统计图表； 八年级前六个班“跑操比赛”成绩统计表 班级 一班 二班 三班 四班 五班 六班 成绩（分） 90 89 89 93 90 a 信息二： 七年级前六个班成绩的众数是唯一的，且六班的成绩与其他班中某班的成绩相同； 八年级前六个班成绩的平均数与七年级前六个班成绩的平均数相同． 根据以上信息解答问题： (1)求a的值，并补全条形统计图； (2)将“七年级七班”和“八年级七班”的成绩与前六个班的成绩汇总，发现七年级和八年级成绩的中位数一样，求“八年级七班”成绩的最小值． 10．（2026·河北邯郸·二模）化学课上学习酸碱度时，老师带领学生对不同种类的水的值进行测量．老师随机收集了21份水的样本，其中10份海水样本和10份地下水样本，1份因标签掉落，无法确定水的种类，学生分组测量20份样本的值．并将结果绘制成如图所示的折线统计图． 平均数 中位数 众数 最小值 最大值 地下水 7.4 a 7.5 7.1 7.6 海水 8.18 8.2 8.2 b 8.4 (1)地下水值的中位数________，海水值的最小值________； (2)已知未受污染的海水值在之间（包含端点），老师收集的10份样本中，求未受污染的海水所占百分比； (3)小明同学测出标签掉落的样本的值为，他判断该样本大概率是海水样本，你赞同他的观点吗？请利用统计知识说明理由． 11．（2026·河北廊坊·二模）在年第届冬季奥林匹克运动会上，我国冰雪健儿勇夺枚金牌、枚银牌、枚铜牌，共枚奖牌，取得我国境外参加冬奥会历史最好成绩．为此，某学校为调查九年级学生对“冬奥会”知识的了解情况，进行了相关测试（百分制），从两班各随机抽取了名学生的成绩，并进行整理和分析．成绩得分用表示，共分成四组： A．． B．．C．．D．． 下面给出了部分信息： 信息一：九年级（1）班名学生的成绩是96，80，96，86，99，98，94，100，89，82； 九年级（2）班名学生的成绩在C组中的数据是94，90，92． 信息二：九年级（2）班抽取的学生成绩扇形统计图： 信息三：九年级两个班抽取的学生的部分统计量： 年级 平均数 中位数 众数 方差 九年级（1）班 92 96 47.4 九年级（2）班 92 94 100 50.4 根据以上信息，回答下列问题： (1)直接写出上述，的值：________，________； (2)九年级两个班共有名学生参加了此次测试，估计两班参加此次测试成绩优秀（）的学生总人数是多少？ (3)学校欲选派成绩更稳定的班级参加下一阶段的测试，你认为学校会选派哪一个班级？请说明理由． 12．（2026·河北保定·二模）市体育局对甲、乙两运动队的某体育项目进行测试，两队人数相等，测试后统计队员的成绩分别为：7分、8分、9分、10分（满分为10分）．依据测试成绩学校进行了收集和整理，其中部分信息如下： 信息一： 信息二： 甲队成绩统计表 成绩 7分 8分 9分 10分 人数 10 1 m 7 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求m的值和扇形圆心角的度数； (2)补全乙队成绩条形统计图； (3)请从中位数和平均数的角度分析哪个运动队的成绩较好． 13．（2026·河北廊坊·二模）某市为选拔主持人参加省级比赛，开展了全市的主持人大赛，赛事分为初赛和决赛两个阶段． (1)初赛由5名专业评委和40名观众评委给每位选手打分（百分制）．对某位选手的打分信息如下： ．专业评委打分：88，90，90，92，95； ．评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 专业评委 91 观众评委 89 90 91 根据以上信息，回答下列问题： ①直接写出表中，的值； ②比赛规定初赛按专业评委平均分占，观众评委平均分占计算选手总分，若选手成绩超过90分，则可直接进入决赛，请通过计算说明该选手能否进入决赛； (2)决赛由5位专业评委打分（百分制），评分规则为：先比较两位选手的平均得分，平均分高者胜出；若平均分相同，则方差小者胜出（方差越小，评委评价越一致）．已知5名评委给甲选手的打分为：91，92，92，93，92．甲选手的平均分和方差运算过程如下： 第一步，计算甲选手的平均分：； 第二步，计算甲选手的方差： ． 已知5名评委给乙选手的打分为：90，93，92，93，92，请通过计算判断甲、乙两位选手谁能最终胜出． 14．（2026·河北石家庄·二模）某市一家快餐连锁店的外卖员都是全职骑手．对该快餐连锁店骑手送外卖量的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．随机抽取该快餐连锁店的100名外卖骑手，统计他们30天的平均送外卖量（单位：单），并画出频数分布直方图（数据分成6组：； b.该快餐连锁店的两名外卖骑手甲、乙在这30天的送外卖量（单位：单）如下： 甲 12 12 15 16 17 19 20 21 21 21 23 23 24 24 27 29 32 33 42 47 56 56 56 56 56 58 59 59 60 62 乙 18 23 24 25 25 26 27 28 29 31 34 35 36 38 38 38 39 39 39 39 39 39 39 39 43 43 44 45 46 48 c.甲、乙两名外卖骑手这30天送外卖量的平均数、众数、中位数如下： 平均数 众数 中位数 甲 35.2 56 乙 35.2 38 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中的值； (2)该快餐连锁店共有2000名外卖骑手，为了鼓励工作积极性，决定对这30天送外卖量前400名的外卖骑手发放一次性奖金，请估计甲能否获得这笔奖金； (3)该快餐连锁店提供了两种日工资方案（不考虑其他因素）：方案一规定每日底薪50元，每完成一单外卖提成5元；方案二规定每日底薪100元，外卖的前24单没有提成，从第25单开始，每送一单外卖提成10元． ①若甲、乙两人都选择了方案一，则甲这30日的工资___________乙这30日的工资（填“”“”或“”）； ②为了获得这30天的最高工资，在这两种方案中，甲应选择方案___________，乙应选择方案___________． 15．（2026·河北保定·二模）某中学为选拔“校园形象代言人”，先后进行了笔试和面试．在笔试中，甲、乙两位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分为分）分别是 ．在面试中，由十位评委对甲、乙同学的表现进行打分，每位评委最高打分，且分数为整数，面试成绩等于各位评委打分之和．对两位同学的面试成绩进行整理、描述和分析后给出了相关信息． ．评委给甲同学打分的扇形统计图 ．评委给乙同学打分的统计表 评委 号 号 号 号 号 号 号 号 号 号 乙分数/分 ．甲、乙两位同学面试成绩汇总表 同学 评委打分的总和 评委打分的中位数 方差 甲 乙 ？ 根据以上信息，回答下列问题： (1)_____； (2)现要求笔试成绩与面试成绩的占比为，已知甲的综合成绩为分，请计算乙同学的综合成绩； (3)通过比较方差，可以判断评委对两位学生面试表现评价的一致性程度．嘉嘉已经计算甲同学面试成绩的方差，下面是他的计算过程： ； 请你计算乙的方差，并推断评委对甲、乙哪位同学的评价更一致； (4)将（1）（2）（3）的信息进行综合分析，你认为选择哪位同学作为“校园形象代言人”更合适，请说明理由． 16．（2026·河北石家庄·二模）“赋能，改变生活”，行业的兴起为各行各业带来了前所未有的创新和变革．某科技公司为了了解甲款软件的使用效果，随机抽取10名软件工程师和名各行业普通使用者做评委，对甲款软件的使用效果进行评分（评分用表示，单位：分），并对他们的评分结果进行整理、描述、分析，得到如下部分信息： a．软件工程师评分：82  83  85  88  90  90  90  91  95  96 b．普通使用者的评分整理后分成5组，A组：，B组：，C组：，D组：，E组：，并绘制成如图12的频数分布直方图和扇形统计图． c．评委评分平均数、中位数、众数如下表： 平均数 中位数 众数 软件工程师评分 90 普通使用者评分 91 91 根据以上信息，回答下列问题： (1)_____，_____，_____； (2)b的值位于____组，请补全频数分布直方图； (3)在扇形统计图中，E组所对应的扇形圆心角的度数为_____； (4)为了让使用者对软件有更多的了解，该科技公司再次组织这10名软件工程师和名普通使用者考察乙款软件．已知软件工程师和普通使用者评委对乙款软件打分的平均数分别为87分，92分．若软件工程师打分（取平均数）占，普通使用者打分（平均数）占，确定甲、乙两款软件的最终得分，如果只比较两款软件的最终得分，请通过计算说明哪款软件更受欢迎？ 列举法求概率 考点03 17．（2026·河北邯郸·二模）一个不透明的袋子中装有4个分别标有化学元素符号H，O，C，N的小球．这些小球除元素符号外无其他差别，从袋子中随机摸出两个小球，所标元素能组成“”（一氧化碳）的概率是（     ） A． B． C． D． 18．（2026·河北廊坊·二模）在一个不透明的布袋中，装有4个黑球、3个白球、3个黄球、2个红球，从中随机摸出1个球，有两种颜色的球被摸到的概率相同，则这两种颜色分别是（     ） A．黑球和白球 B．黄球和白球 C．黑球和红球 D．红球和白球 19．（2026·河北保定·二模）桌面上放有六张卡片，卡片上分别写着0，1，2中的一个数字，这些卡片除数字外无其他差别，若随机翻开写着数字“1”的卡片的概率是，写着数字“2”的卡片的概率是，则写着数字“0”的卡片有（     ）张 A．4 B．3 C．2 D．1 20．（2026·河北石家庄·二模）如图是某校一张餐桌的示意图，学生甲先坐在座位，陪餐老师和学生乙在，，三个座位中随机选择两个座位．则陪餐老师和学生乙坐在正对面的概率是（     ） A． B． C． D． 21．（2026·河北保定·二模）如图是某通道的部分通行路线示意图，若从入口驾车进入，行至每个岔路口选择前方两条线路的可能性相同，则从口驶出的概率是（    ） A． B． C． D． 22．（2026·河北邢台·二模）某体育馆有3个完全相同的入口，分别通往田径训练场，球类训练场和健身训练场．一名运动员从任意一个入口进入的可能性都相等，则他恰好进入田径训练场的概率为____． 23．（2026·河北邯郸·二模）将一个矩形分割成A，B，C，D，E五个区域，用红、黄、蓝、绿四种不同的颜色分别给这五个区域着色，已着色情况如图所示，若给E区域着色后（颜色可重复使用），使每相邻两个区域的着色都不相同的概率为________． 用树状图或列表法求概率 考点04 24．（2026·河北廊坊·二模）某校的科技兴趣小组开发了一款机器狗小游戏，具体如下：如图，在一个正方形中，设点为机器狗的起点，机器狗每次只能从一个顶点移动到另一个顶点（机器狗不会返回前一个顶点），则机器狗从起点开始随机运行2次后恰好停在点的概率为（    ） A． B． C． D． 25．（2026·河北石家庄·二模）甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（   ） A． B． C． D． 26．（2026·河北石家庄·二模）一个不透明的袋子里有个小球，上面分别标有数字，，，，小球除所标数字不同外，其它完全相同，摇匀后摸出一球，记下数字为，不放回，再摸出一球，记下数字为，若点的坐标为，则点落在双曲线上的概率为________． b           a 1 2 1 2 27．（2026·河北石家庄·二模）小亮和爸爸计划乘动车外出旅游．在网上购票时，小亮选定的车厢只剩一排有余座（如图）．若此时C座已售出，其余座位由系统随机分配，则小亮和爸爸相邻而坐的概率是（    ） A． B． C． D． 28．（2026·河北廊坊·二模）某校开展“古代四大发明”主题研学活动，要求每名同学从造纸术、印刷术、指南针、火药四个主题中，随机选取两个进行探究．嘉琪同学恰好选中“造纸术”和“火药”两个主题的概率为（     ） A． B． C． D． 29．（2026·河北张家口·二模）如图，在的正方形网格中，点，，，，均是格点（网格线的交点）． (1)从，，三点中随机取一点，选中点的概率为__________． (2)从，，三点中随机取两点，以这两点及点，为顶点画四边形，求所画四边形是平行四边形的概率． 30．（2026·河北邢台·二模）晓红同学计划假期去剧场观看经典话剧《茶馆》，她用某购票软件在网上购买门票时，显示只可以购买剧场某区域某排中的席位，如图，网上显示阴影部分的座席已经售出，其余A，B，C，D，E五个席位由系统随机分配． (1)求晓红购买到与过道相邻席位的概率； (2)若晓红的妈妈也一同购票，用画树状图或列表法求晓红和妈妈相邻而坐的概率．（说明：在座位之间有过道不算相邻而坐） 31．（2026·河北邯郸·二模）如下是一个数学游戏：将图1的圆周分成相等的8段，棋子从点处开始沿逆时针方向移动．掷一枚如图2的均匀正四面体骰子（四个面上分别写有1，2，3，4），游戏规则如图3． (1)掷第一次骰子，求棋子移动4步的概率及棋子移动6步的概率； (2)求掷二次骰子后，棋子回到点处的概率． 6 7 8 9 6 12 13 14 15 7 13 14 15 16 8 14 15 16 17 9 15 16 17 18 概率与统计的综合问题 考点05 32．（2026·河北保定·二模）某学校开展数字创作实践活动，每次任务系统会从“标准创作”和“创意创作”两种任务等级中随机确定一种，且每种创作中有“绘画类”和“文案类”任务，每次只完成其中一种任务．任务等级与创作类型随机分配，每种结果可能性相同． (1)嘉淇参与一次数字创作． ①分配到“标准创作”的概率为______； ②请利用列表或画树状图的方法，求分配的是“创意创作”且任务是“文案类”的概率； (2)为鼓励学生，活动设置创作积分（积分可用于兑换学习资料），完成不同类型的创作，可获得对应积分，具体得分规则如下表： 文案类 绘画类 标准创作 3 4 创意创作 4 5 嘉淇在一周内共完成18次创作任务．系统统计显示，她完成的“绘画类”任务是“文案类”任务次数的2倍，求她在这些“文案类”任务中，能获得的最大得分是多少分？ 33．（2026·河北唐山·二模）某校开展“共享阅读·向上人生”的读书活动，为了解学生对四类书籍（A体育类，B科技类，C文学类，D艺术类）的喜爱情况，在全校范围内随机抽取若干名学生进行了问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能在这四类书籍中选择一类），并将数据进行统计和整理，绘制了两幅不完整的统计图，根据图中信息，请回答下列问题： (1)本次抽取调查的学生共有__________人，估计该校2000名学生喜爱“B科技类”书籍的人数约为__________人． (2)请将条形统计图补充完整． (3)在活动中，甲、乙、丙三名学生表现优秀，决定从这三名学生中随机选取两名学生参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中甲和乙的概率． 34．（2026·河北石家庄·二模）2025年8月，成都将举办第12届世界运动会．某校为了让学生了解更多的比赛项目，利用自主选学时间开设了航空运动、浮士德球、地掷球及体育舞蹈四个比赛项目的科普课堂．每位学生必须且只能选某个项目的科普课堂进行学习．该校随机调查了部分学生的学习意愿，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． (1)求本次被调查的学生总人数，并补全条形统计图； (2)在扇形统计图中，求“浮士德球”对应的圆心角度数； (3)在学校组织学生科普学习后，校园小记者随机采访了两位同学，请利用画树状图或列表的方法，求出被采访的两位同学恰好在同一科普课堂学习的概率． A B C D A A，A B，A C，A D，A B A，B B，B C，B D，B C A，C B，C C，C D，C D A，D B，D C，D D，D 35．（2026·河北张家口·二模）4月23日是世界读书日，为贯彻落实好《全国青少年学生读书行动1实施方案》，打造“人人爱读书，人人好读书”的书香校园，实验学校开展以“书香校园－我最喜欢的书籍”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（：政史类，：文学类，：科技类，：艺术类，：其他类）．学校数学兴趣小组对部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，数学兴趣小组绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）． 根据以上信息，解答下列问题： (1)学校此次被调查的学生总人数为_____人，其中喜欢D“艺术类”书籍的学生人数为_____人； (2)在扇形统计图中，“科技类”所对应的圆心角度数是_____度； (3)若该校有4000名学生，请你估计最喜欢阅读“文学类”书籍的学生人数为_____人； (4)学校数学兴趣小组中，甲同学从三类书籍中随机选择一种，乙同学从三类书籍中随机选择一种，则甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为_____． 36．（2026·河北石家庄·二模）党的十八大以来，习近平总书记对推动全民阅读、建设书香中国高度重视，多次作出重要指示．×××中学在第个“世界读书日”到来之际，对全校名学生阅读课外书的情况进行了解，随机抽取部分学生进行问卷调查，形成了如下调查报告（不完整）： 调查方式 抽样调查 调查对象 ×××中学部分学生 平均每周阅读课外书的时间大约是（只能单选，每项含最小值，不含最大值） A．8小时以上 B．6-8小时 C．4~6小时 D．0~4小时    请解答下列问题： (1)求参与本次抽样调查的学生人数； (2)求图2中扇形A所占百分比； (3)估计该校2000名学生中，平均每周阅读课外书的时间在“小时”人数； (4)在学生众多阅读书籍中，学校推荐阅读书目为四大名著：《三国演义》《红楼梦》《西游记》《水浒传》（分别记为甲、乙、丙、丁），现从这4部名著中选择2部为课外必读书籍，请用列表法或画树状图法中任意一种方法，求《西游记》被选中的概率． 试卷第36页，共36页 2/18 学科网（北京）股份有限公司 $