专题05 四边形（7大考点）（河北专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 聚焦四边形全考点，融合七巧桌文化传承与矩形折叠等动态探究，精选河北各地二模真题，适配中考二轮复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空/解答|多样|多边形、平行四边形、矩形等7大考点|七巧桌文化情境（第8题）、矩形折叠动态探究（第28题）、多考点综合应用（第42题）|

专题05 四边形 考点概览 考点01多边形的有关计算问题 考点02平行四边形的性质与判定 考点03三角形的中位线 考点04矩形性质与判定 考点05菱形的性质与判定 考点06正方形的性质与判定 考点07四边形背景下的综合问题 多边形的有关计算问题 考点01 1．（2026·河北廊坊·二模）如图，正五边形和正n边形的两条邻边相交，若，则n的值是（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．（2026·河北邯郸·二模）如图，已知点A、B、C、D、E是一个正八边形的五个相邻的顶点，，直线，直线沿方向向左平移，则直线被正八边形的边截得的最长线段的长为_____________．    3．（2026·河北廊坊·二模）如图是一款创意灯饰的几何纹样，整体轮廓为正八边形，图案由中心对称分布的四个全等菱形与四个全等筝形无缝拼接而成．已知该正八边形的边长为2，则筝形的面积为__________． 4．（2026·河北邢台·二模）如图是正边形的一部分及它的一个外角，根据图中所给出的信息，的值是____． 5．（2026·河北保定·二模）如图，正六边形和正五边形的边重合，的延长线与交于点，则的度数是_____________． 6．（2026·河北廊坊·二模）如图，正五边形中，对角线分别与对角线相交于点M，N，的面积与的面积分别记作与，则的值为______． 7．（2026·河北邯郸·二模）如图，正六边形的边长为3，连接，交于点G，连接，点H为的中点，点I，J，K分别是边，，上的动点．连接，，则的最小值为________． 8．（2026·河北石家庄·二模）七巧桌的设计灵感源自宋代黄伯思的《燕几图》，由其演变的七巧板，在西方被称为“唐图”，也叫“东方魔板”，是古代智慧的体现．下图是一张七巧桌，可以看作一个六棱柱，则其俯视图的内角和为_____________度． 9．（2026·河北保定·二模）如图，将沿虚线剪去一个角后，得到四边形，则裁剪前后（     ） A．面积不变 B．周长变小 C．外角和变大 D．外角和变小 平行四边形的性质与判定 考点02 10．（2026·河北保定·二模）将一根质地均匀的细铁丝，裁剪成三段或四段，不可以围成三角形或四边形的是（    ） A． B． C． D． 11．（2026·河北邢台·二模）如图，将平行四边形绕点D逆时针旋转得到四边形，使点A落在对角线上的点M处，点A、M、C、N在一条直线上，若，则B、Q两点间距离为（     ） A． B． C． D． 12．（2026·河北邯郸·二模）如图，，分别是的边，上的点，与相交于点，与相交于点，若，，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 13．（2026·河北保定·二模）甲、乙、丙为了得到下图中“跑到画板外面去的两直线a，b所成的角（锐角）的大小”，设计出如下三个方案： 甲的方案 乙的方案 丙的方案 过直线b上任意一点，作．测度数． 测图中，的度数． 过画板上任意一点M，分别作a，b平行线．测度数． 以上方案可行的是（     ） A．只有甲的方案可行 B．只有乙和丙的方案可行 C．只有丙的方案可行 D．甲、乙、丙的方案均可行 14．（2026·河北廊坊·二模）如图，点E是边上一点（不包含A，D），连接，要求用尺规作，F是边上一点．甲作法：以C为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则．乙作法：以点A为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则．在甲、乙两种作法中，一定正确的是（    ） A．甲、乙都正确 B．只有甲 C．只有乙 D．甲、乙都不正确 15．（2026·河北石家庄·二模）在平面直角坐标系中，在第一象限内，且轴，各顶点坐标如图所示，则的值是_____． 16．（2026·河北石家庄·二模）如图，C是线段的中点，． (1)求证：； (2)连接，若，求的长． 17．（2026·河北廊坊·二模）如图，将平行四边形纸片沿一条直线折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为． (1)求证：； (2)若，，试判断的形状，并说明理由． 三角形的中位线 考点03 18．（2026·河北石家庄·二模）如图，在中，，分别为，的中点，点是线段上的点，且，若，，则的长为（   ） A．1 B．1.5 C．1.6 D．2 19．（2026·河北邢台·二模）如图，在菱形中，，，点，分别在，边上运动，连接，，点，分别为，的中点，则的最小值是________． 20．（2026·河北邢台·二模）如图，在矩形中，，点是边的中点，连接，点是的中点，连接、，若，则_____． 矩形性质与判定 考点04 21．（2026·河北邯郸·二模）如图，在矩形中，，，点为上一点，将矩形沿折叠，使点的对应点恰好落在对角线上，则（    ） A．6 B． C．5 D． 22．（2026·河北石家庄·二模）如图，在矩形中，，，点为边上一点，将翻折，使点落在边上的点处，折痕为．点为边上一点，将翻折，使点落在边上的点处，折痕为，则（     ） A． B．8 C． D． 23．（2026·河北邢台·二模）如图，在矩形中，，，点为的中点，连接，点为直线上一个动点，作射线，过点作，垂足为，连接，则的周长可能是（     ） A． B． C． D． 24．（2026·河北廊坊·二模）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，在矩形中，，点，，则矩形的内部（不含边界）整点的个数为（     ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 25．（2026·河北唐山·二模）如图，在矩形中，，，点E在上，，在矩形内找一点P，使得，则线段的最小值为（     ） A． B． C． D． 26．（2026·河北保定·二模）如图1，M，N分别是矩形的边，上两点，连接，将矩形沿折叠，交于点P，连接并延长交于点Q，将矩形沿折叠得到图2，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 27．（2026·河北廊坊·二模）如图，在四边形中，，，分别是，的中点，连接．若，，，，则的长为__________． 28．（2026·河北石家庄·二模）如图所示，矩形中，，，把一块三角尺的直角顶点置于边上，，三角尺的两条直角边，分别交，两边于点，，连接．设． (1)当平分时，求的值； (2)①当，重合时， ； ②当，不重合时，求的值． (3)设线段的中点为，连接，，则与的数量关系为 ；再取的中点，连接，请直接写出线段的最小值． 29．（2026·河北邢台·二模）嘉琪通过自学和查阅有关资料，发现可以用尺规作图的方法，对任意给定的一个矩形，作出和这个矩形面积相等的正方形．嘉琪运用这种方法，对图1中的矩形，在图2中进行了下面的尺规作图： 第一步：在的延长线上，截取线段； 第二步：作线段的垂直平分线，交于点； 第三步：以点为圆心，以长为半径画弧，交的延长线于点； 第四步：以为边，在边右侧作正方形． 根据以上过程，解答下列问题： (1)请按照作图过程中的“第四步”，在图2中，用无刻度的直尺和圆规作出正方形．（保留作图痕迹，不写作法） (2)若的长为，的长为（），则 ①如图2，的长是________，的长是________；（用含，的式子表示） ②求证：正方形的面积等于矩形的面积． 30．（2026·河北邯郸·二模）如图1，在矩形中，，，，分别是，的中点，连接．动点从点出发，沿折线向终点运动，连接，设点运动时间为秒（）． (1)当点运动到中点时． ①尺规作图：在图1中，画出线段（保留作图痕迹，不写作图过程）； ②求证：； (2)如图2，当点在边上运动时，过点作于点．若，点的平均速度为，求的值． 菱形的性质与判定 考点05 31．（2026·河北廊坊·二模）如图，菱形的边长为4，，为边上的中点，P为直线上方左侧的一个动点，且满足，则线段长度的最大值是（　　） A． B．4 C． D． 32．（2026·河北邯郸·二模）如图1，由5块图形（图形）拼成矩形（其中①、②是正方形），去掉①号正方形后，其余4块图形（图形）可拼成如图2所示的正方形． 结论I：图1所示的四边形是正方形； 结论II：利用③、④、⑤三块图形可以拼成一个菱形 则（     ） A．I和II都对 B．I和II都不对 C．I不对II对 D．I对II不对 33．（2026·河北保定·二模）如图，菱形的对角线、的长分别为6、8，点P、Q分别在边、上（均不与边的端点重合），连接，请写出一个长的整数值为______． 34．（2026·河北保定·二模）如图，菱形中，对角线，相交于点O，延长至点E使得，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 35．（2026·河北邢台·二模）如图，在菱形中，点、分别是边、上的点，，连接和，的延长线交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 36．（2026·河北石家庄·二模）如图，四边形是平行四边形，，且分别交对角线于点M，N，连接．    (1)求证：； (2)若．求证：四边形是菱形． 正方形的性质与判定 考点06 37．（2026·河北张家口·二模）如图，正方形与平行四边形的一边重合．若平分，则的度数为（     ） A． B． C． D． 38．（2026·河北保定·二模）如图，在正方形中，，E为边上一点，连接，过点C作于点F，记，．当x，y的值变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 39．（2026·河北廊坊·二模）如图，在正方形中，E为的中点，将正方形沿折叠，点A落在点F处，的延长线交于点G，交的延长线于点H，若，则的长为（     ） A． B．1 C． D．2 40．（2026·河北石家庄·二模）小明用正方形制作了一个七巧板如图1所示，又用这副七巧板拼成了一个平行四边形如图2，若正方形的对角线长是2，则该平行四边形的对角线的长是（   ）    A． B． C． D． 41．（2026·河北石家庄·二模）如图，在边长为6正方形中，点分别是边，上的动点，且交于点，则的最小值为___________． 在中，，，， 四边形背景下的综合问题 考点07 42．（2026·河北张家口·二模）综合与实践： 【情境】在纸片折叠的过程中，我们可以发现很多有趣的结论，而这些结论均可借助数学知识予以解释，在数学活动课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展探究性数学实践活动． 【操作】 如图，在矩形纸片中，，，点是线段上的动点，连接，是由沿翻折所得到的图形． 【探究】 (1)在图中，连接，的长为________； (2)在图中，当点落在上时，求的长； 【拓展】 (3)在图中，尺规作图：作，且满足点到、的距离相等（保留作图痕迹，不写作法），此时________； (4)连接、，当最大时，直接写出的值． 43．（2026·河北邯郸·二模）如图，在矩形中，交于点，点是边的中点．将线段绕点顺时针旋转得到，的平分线所在直线交对角线于点．当点与点重合时，停止旋转．设，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当点在线段上时．求的度数及的长； (3)当时，求的值； (4)直接写出点到边距离的最大值与最小值的差． 44．（2026·河北邯郸·二模）【问题背景】如图1，在矩形中，，，经过矩形中心点的直线与，分别交于点，，点，是线段，上的点，，设，连接，，，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)直接写出满足什么条件，四边形为菱形． 【操作探究】 (3)尺规作图：在图2中作出正方形，并求的值（尺规作图需保留作图痕迹，不写作法） 【拓展探究】 (4)如图3，若四边形为矩形，求的最小值． 45．（2026·河北石家庄·二模）在矩形中，，，点在边上，将射线绕点逆时针旋转90°，交延长线于点，以线段，为邻边作矩形．    (1)如图1，连接，求的度数和的值； (2)如图2，当点在射线上时，求线段的长； (3)如图3，当时，在平面内有一动点，满足，连接，，求的最小值．    46．（2026·河北廊坊·二模）综合探究与应用 模型建立 (1)如图1，正方形中，点，，，分别在正方形的四条边上，若，则线段，的数量关系是________； (2)如图2，将边长为的正方形折叠，使得点落在边的中点处，折痕为，点、分别在边、上，则折痕的长为________； 初步探究 (3)如图3，矩形纸片中，．若，则线段和的数量关系为_____________； 迁移应用 (4)如图4，已知点，，的位置如图4所示，求作一点，使得点，，，一定分别在一个长宽比为的矩形的四条边上（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (5)如图5，在平行四边形中，点、分别在边、上，连接与交于点，求当与满足什么关系时，成立． 47．（2026·河北张家口·二模）【实践情境】在数学综合与实践课上，王老师发给每个小组一块表面平整的矩形木板、有一个内角为的直角三角板（说明：仅能作，，的角）、一把无刻度的直尺（说明：仅能作直线）、一个圆规、三支木工笔、小刀和橡皮． 【实践任务】仅利用提供的工具作出木板长边的三等分点． 【小组设计】下面是各小组展示完成实践任务的操作步骤． 甲组：如图1，①利用直角三角板的直角和圆规，以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，过点作于点；②连接，，交于点，利用直角三角板的直角过点作于点，并延长，交于点． 乙组：如图2，连接，在射线上利用圆规作相等的线段，和，连接…… 丙组：如图3，只利用直角三角板便可完成作图，①分别以点A，B为顶点，为底边作角的等腰；②…… 【问题探究】根据上述内容，完成下列探究问题． (1)如图1，求证：为的中点． (2)如图1，求证：． (3)根据乙组的思路在图2中补全图形，边的三等分点从左至右分别为点，．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (4)根据丙组的思路在图3中补全图形，求作一点，使得，请写明作图过程，并说明理由． 试卷第64页，共64页 2/18 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 四边形 考点概览 考点01多边形的有关计算问题 考点02平行四边形的性质与判定 考点03三角形的中位线 考点04矩形性质与判定 考点05菱形的性质与判定 考点06正方形的性质与判定 考点07四边形背景下的综合问题 多边形的有关计算问题 考点01 1．（2026·河北廊坊·二模）如图，正五边形和正n边形的两条邻边相交，若，则n的值是（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据正多边形及多边形内角和可进行求解． 【详解】解：由题意可知：正五边形的每个内角度数为， 由图并根据对顶角相等和四边形内角和为可知：该正n边形的每个内角度数为， ∴， ∴． 2．（2026·河北邯郸·二模）如图，已知点A、B、C、D、E是一个正八边形的五个相邻的顶点，，直线，直线沿方向向左平移，则直线被正八边形的边截得的最长线段的长为_____________．    【答案】 【分析】先确定直线平移时被正八边形截得的最长线段为，再作、垂直于，证四边形为矩形得到，，接着利用正八边形内角推出、为，在直角三角形中利用三角函数求出、的长，最后将三段长度相加，得到的长即为所求． 【详解】解：如图，当直线移动至点处时，被正八边形的边截得的线段最长，即为，过点作于点，过点作于点，    ∴，， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵正八边形每个内角为，即， ∴， 在中，， 同理，， ∴， 即直线被正八边形截得的最长线段长为． 3．（2026·河北廊坊·二模）如图是一款创意灯饰的几何纹样，整体轮廓为正八边形，图案由中心对称分布的四个全等菱形与四个全等筝形无缝拼接而成．已知该正八边形的边长为2，则筝形的面积为__________． 【答案】2 【分析】先延长正八边形各边，补成大正方形，接着减去4个等腰直角三角形，算出，再利用正八边形内角为得菱形夹角，根据边长为2，求得单个菱形面积，4个菱形总面积，最后用八边形总面积减去全部菱形面积得4个筝形总面积，均分得到单个筝形面积为2． 【详解】解：延长线段交延长线于点，交延长线于点，延长线段交延长线于点，交延长线于点，如图： ∵多边形是正八边形， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：，，， ∴四边形是正方形，， ∴， ∴， 过点作交于点，连接，如图： ∵，， ∴， 同理，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题利用补大正方形法快速求正八边形总面积，依托正八边形内角特征锁定菱形夹角，通过整体减局部的割补思想拆分图形，避开复杂边角计算． 4．（2026·河北邢台·二模）如图是正边形的一部分及它的一个外角，根据图中所给出的信息，的值是____． 【答案】 8/八 【分析】根据平角的定义列出关于α的方程，求出正边形的外角度数，再根据多边形的外角和等于即可求出n的值． 【详解】由图可知，α与互为补角， ∴， 解得， ∵多边形的外角和为，且该多边形为正n边形， ∴． 5．（2026·河北保定·二模）如图，正六边形和正五边形的边重合，的延长线与交于点，则的度数是_____________． 【答案】/144度 【分析】利用正多边形的性质求得正五边形的内角的度数及边，然后利用等边对等角及三角形内角和定理求得的度数，再结合邻补角的定义进行计算即可． 【详解】解：∵五边形为正五边形， ∴， ， ∴， ∵的延长线与交于点， ∴， ∴． 故答案为：． 6．（2026·河北廊坊·二模）如图，正五边形中，对角线分别与对角线相交于点M，N，的面积与的面积分别记作与，则的值为______． 【答案】 【分析】由条件可知，因此只要确定相似比即可，然后结合正五边形的性质，利用和相似确定相似比． 【详解】∵五边形是正五边形，设， ， ， 又∵， ∴， ∴ = ， ∴ = ，即= ， 解得或 (不合题意，舍去)， ∴ == ． ， ， ∴ ． 7．（2026·河北邯郸·二模）如图，正六边形的边长为3，连接，交于点G，连接，点H为的中点，点I，J，K分别是边，，上的动点．连接，，则的最小值为________． 【答案】/ 【分析】连接，根据正六边形的性质求出点为正六边形的中心，每个内角的度数为，证明为等边三角形，进而得到，作点关于线段的对称点，连接，则，过点作于点，交于点，当、、三点共线时，有最小值，最小值为，根据平行线间的性质得到，利用求解即可． 【详解】解：连接， 六边形是正六边形， 、， ，交于点G， 点为正六边形的中心， 、， 为等边三角形， ， ， ， ， 作点关于线段的对称点，连接， ， ， 过点作于点，交于点， 当、、三点共线时，有最小值，最小值为， ， 、， ， 是等边三角形， 点是的中点， ， 、， 在中，， ， 即的最小值为． 【点睛】本题考查正六边形的 性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质、解直角三角形，熟练掌握相关性质，正确作出辅助线是解题的关键． 8．（2026·河北石家庄·二模）七巧桌的设计灵感源自宋代黄伯思的《燕几图》，由其演变的七巧板，在西方被称为“唐图”，也叫“东方魔板”，是古代智慧的体现．下图是一张七巧桌，可以看作一个六棱柱，则其俯视图的内角和为_____________度． 【答案】 【分析】边形的内角和（其中为多边形的边数，且，为正整数），先得到俯视图为六边形，再根据多边形内角和公式求解即可． 【详解】解：该六棱柱的俯视图为六边形， 根据多边形的内角和公式可得，其俯视图的内角和为． 9．（2026·河北保定·二模）如图，将沿虚线剪去一个角后，得到四边形，则裁剪前后（     ） A．面积不变 B．周长变小 C．外角和变大 D．外角和变小 【答案】B 【分析】本题考查了三角形面积，构成三角形的三边关系，多边形的外角．结合有关知识对选项逐一分析即可． 【详解】解：选项A，裁剪后的图形减少了一个小三角形的面积，故裁剪后的面积变小了，所以选项A不符合题意； 选项B，如图，裁剪后四边形的周长为，故裁剪后的周长变小了，所以选项B符合题意； 因为任意四边形的外角和均为，故裁剪前后图形的外角和不变，所以选项C，D不符合题意． 平行四边形的性质与判定 考点02 10．（2026·河北保定·二模）将一根质地均匀的细铁丝，裁剪成三段或四段，不可以围成三角形或四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A选项：由图可知，分成三段的长分别为3，4，5，由三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”可得A选项能围成三角形； B选项：由图可知，分成三段的长分别为2，6，4，由三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”可得B选项无法围成三角形； C选项：由图可知，分成四段的长分别为3，3，3，3，可以围成菱形； D选项：由图可知，分成四段的长分别为2，4，2，4，可以围成平行四边形． 11．（2026·河北邢台·二模）如图，将平行四边形绕点D逆时针旋转得到四边形，使点A落在对角线上的点M处，点A、M、C、N在一条直线上，若，则B、Q两点间距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形和旋转的性质，证明，求出和的长，进而发现为等腰三角形；利用旋转角相等推导，通过构造直角三角形利用勾股定理求解的长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ， ∴，，M为，中点， ∴，，， 如图，连接， 由旋转性质可知：，， ∴，，，， ∴， ∵点A，M，C，N在一条直线上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由，得 ， 由，得，即（负值舍去）， ∴，，， ∵ ， ∴是等腰三角形， 过点C作于H， ∴H为中点， ∴， 在中，， ∵旋转角， ∴ ， 过点Q作于点E ，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在中，． 12．（2026·河北邯郸·二模）如图，，分别是的边，上的点，与相交于点，与相交于点，若，，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，利用平行四边形对边平行可得平行线间距离相等，从而得出同底等高的三角形面积相等，通过面积割补法将四边形的面积转化为已知三角形面积之和． 【详解】解：连接， 四边形是平行四边形， ， 点A、E、B到直线的距离相等，设为， 、， ， 、， ， 同理得：、， ， 、， ， ． 13．（2026·河北保定·二模）甲、乙、丙为了得到下图中“跑到画板外面去的两直线a，b所成的角（锐角）的大小”，设计出如下三个方案： 甲的方案 乙的方案 丙的方案 过直线b上任意一点，作．测度数． 测图中，的度数． 过画板上任意一点M，分别作a，b平行线．测度数． 以上方案可行的是（     ） A．只有甲的方案可行 B．只有乙和丙的方案可行 C．只有丙的方案可行 D．甲、乙、丙的方案均可行 【答案】D 【分析】根据两直线平行即可判断甲的方案可行，根据外角的性质即可判断乙的方案可行，根据平行四边形的判定和性质即可判断丙的方案可行． 【详解】解：设两直线a，b所成的角（锐角）的大小为， 甲的方案：∵ ∴， 故甲的方案可行； 乙的方案：根据外角的性质得， ∴， 故乙的方案可行； 丙的方案：根据题意可知，所围成的四边形是平行四边形， 根据平行四边形的对角相等，可得， 故丙的方案可行． 综上所述，甲、乙、丙的方案均可行． 14．（2026·河北廊坊·二模）如图，点E是边上一点（不包含A，D），连接，要求用尺规作，F是边上一点．甲作法：以C为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则．乙作法：以点A为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则．在甲、乙两种作法中，一定正确的是（    ） A．甲、乙都正确 B．只有甲 C．只有乙 D．甲、乙都不正确 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，尺规作图，掌握知识点的应用是解题的关键． 通过平行四边形的判定与性质即可判断甲正确；根据以点为圆心，长为半径作弧，交于点，则有两种情况，或，可排除乙． 【详解】解：甲正确，乙不正确 理由： 如图1，∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故甲正确． 如图，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，则有两种情况，或， ∴乙不一定正确， 故选B． 15．（2026·河北石家庄·二模）在平面直角坐标系中，在第一象限内，且轴，各顶点坐标如图所示，则的值是_____． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质对边平行且相等，结合点的坐标即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴． 16．（2026·河北石家庄·二模）如图，C是线段的中点，． (1)求证：； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1) 证明：是线段的中点， ． ， ． 在和中， ． (2)8 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握相关判定定理和性质，是解题的关键： （1）中点得到，平行线的性质，得到，利用证明即可； （2）根据，得到，进而得到四边形为平行四边形，进而得到，即可得出结果． 【详解】（1）略 （2），是线段的中点， ． ， ． 又， ∴四边形是平行四边形， ． 17．（2026·河北廊坊·二模）如图，将平行四边形纸片沿一条直线折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为． (1)求证：； (2)若，，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， 由折叠可得，，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴； (2) 为等腰直角三角形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形． 【分析】（1）由折叠得到，，，然后得到，即可证明出； （2）首先根据平行四边形的性质得到，，然后由全等得到，得到，即可证明出为等腰直角三角形． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，折叠的性质，等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 三角形的中位线 考点03 18．（2026·河北石家庄·二模）如图，在中，，分别为，的中点，点是线段上的点，且，若，，则的长为（   ） A．1 B．1.5 C．1.6 D．2 【答案】B 【分析】根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形的性质求出，计算即可． 【详解】解：∵D、E分别为，的中点，， ∴， ∵， ∵D为的中点，， ∴， ∴． 19．（2026·河北邢台·二模）如图，在菱形中，，，点，分别在，边上运动，连接，，点，分别为，的中点，则的最小值是________． 【答案】 【分析】连接，过点作于点，先解直角三角形，得到，再由三角形中位线定理可得，时，有最小值，有最小值，此时点与重合，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， 在菱形中，， ， 在中，， ， M、N分别为、的中点， 是的中位线， ， 时，有最小值，有最小值，此时点与重合， 的最小值为， 的最小值是． 20．（2026·河北邢台·二模）如图，在矩形中，，点是边的中点，连接，点是的中点，连接、，若，则_____． 【答案】 【分析】过作的平行线分别交于，设，再利用勾股定理得到，结合，利用勾股定理解出即可． 【详解】解：过作的平行线分别交于，设， 点是的中点，且， 为的中位线， ，， 又点是边的中点， ， 又，为矩形， 四边形为矩形， ， ， 又， ，即， 解得，即． 矩形性质与判定 考点04 21．（2026·河北邯郸·二模）如图，在矩形中，，，点为上一点，将矩形沿折叠，使点的对应点恰好落在对角线上，则（    ） A．6 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】根据矩形的性质和勾股定理求出的长，利用折叠的性质得出，，，从而求出的长，最后在中利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 在中，， 由折叠的性质可知：，，， ∴，， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， ∴． 22．（2026·河北石家庄·二模）如图，在矩形中，，，点为边上一点，将翻折，使点落在边上的点处，折痕为．点为边上一点，将翻折，使点落在边上的点处，折痕为，则（     ） A． B．8 C． D． 【答案】A 【分析】利用翻折的性质可得，推出，，设，中，由勾股定理求出，设，在中，由勾股定理求出，由此即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 由翻折的性质可知：，，，， ∴， 在中，， ∴， 设，在中有：， ∴， 设，在中，， ∴， ∴， ∴． 23．（2026·河北邢台·二模）如图，在矩形中，，，点为的中点，连接，点为直线上一个动点，作射线，过点作，垂足为，连接，则的周长可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由矩形的性质得到，求出，由直角三角形斜边中线的性质得到，由勾股定理求出，由三角形三边关系定理得到，即可得到周长范围． 【详解】解：四边形是矩形， ， ∵点为的中点， ， ， ， ， ， ， 由三角形三边关系定理得到：， ， ∴的周长， ∴C符合题意． 24．（2026·河北廊坊·二模）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，在矩形中，，点，，则矩形的内部（不含边界）整点的个数为（     ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】C 【分析】作于点H，证明，求出，进而求出，然后用待定系数法求出直线的解析式为，直线的解析式为，然后分别把代入两个函数解析式，求出的值即可求解． 【详解】解：如图，作于点H， ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴． ∵，， ∴直线的解析式为． 当时，，，此时整点有：； 当时，，，此时整点有：； 当时，，，此时整点有：； 当时，，，此时整点有：； 综上可知，点的个数为：个． 25．（2026·河北唐山·二模）如图，在矩形中，，，点E在上，，在矩形内找一点P，使得，则线段的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，如图所示，在上方作，使得，以点为圆心，以为半径作，连接，过点作于点Q，作于点J，得到点P在上运动，证明四边形是矩形，由解直角三角形的计算得到，由勾股定理得到，当点共线时，的值最小，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，在上方作，使得，以点为圆心，以为半径作，连接，过点作于点Q，作于点J， ∴，此时点P在上运动， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴，， ∴中，，， ∴， ∴，， ∴， 在中， ∵， ∴当点共线时，的值最小，最小值为， 故选：B ． 26．（2026·河北保定·二模）如图1，M，N分别是矩形的边，上两点，连接，将矩形沿折叠，交于点P，连接并延长交于点Q，将矩形沿折叠得到图2，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先补全折叠前的矩形，得，由折叠得，故可得，从而可判断选项A；过点B作交于点E，可得，由折叠的性质得，可得，计算出，故可判断B；由得，即，进一步得出，化简得，可判断选项C；由于点M，N位置不确定，不能得出，故可判断选项D． 【详解】解：如图，补全折叠前的矩形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴，故A选项正确，不符合题意； 过点B作交于点E， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴，故B选项正确，不符合题意； ∵， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， 化简得，故C选项正确，不符合题意； 由于点M，N位置不确定，因此不一定是， ∴不一定是， ∴不一定平行，故D选项错误，符合题意． 27．（2026·河北廊坊·二模）如图，在四边形中，，，分别是，的中点，连接．若，，，，则的长为__________． 【答案】 【分析】过点、、分别作于，于，于，可得，，由及三角形两锐角互余的性质得出，即可证明，得出，设，则，，利用勾股定理求出，即可得出，，利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图，过点、、分别作于，于，于， ∵， ∴， ∴四边形、、都是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设，则，， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴，， ∵， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴． 28．（2026·河北石家庄·二模）如图所示，矩形中，，，把一块三角尺的直角顶点置于边上，，三角尺的两条直角边，分别交，两边于点，，连接．设． (1)当平分时，求的值； (2)①当，重合时， ； ②当，不重合时，求的值． (3)设线段的中点为，连接，，则与的数量关系为 ；再取的中点，连接，请直接写出线段的最小值． 【答案】(1) (2)①；② (3)；的最小值 【分析】（1）由角平分线的性质易得，再分别用勾股定理表示出和，进而建立方程求解； （2）①由即可得解；②参照①思路，构造矩形，过点Q作，垂足为H，证，即可得解； （3）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得出，进而得到点T在的垂直平分线上，很明显当垂直于的垂直平分线上时，有最小值，再参考（2）中思路构造相似求解即可． 【详解】（1）解：在矩形和三角尺中，有． 当平分时，应有，即． 而，， ∴， 解得， 即当平分时，； （2）解：①如图， ∴， 故答案为：； ②过点Q作，垂足为H， 则， ∴四边形为矩形，． 在中，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图， 在中，， 在中，， ∴， ∴点T在的垂直平分线上， 如图，连接，作的垂直平分线，交于点E，交于点F，过O作， 当时，有最小值， ∵，K为中点， ∴， 由辅助线可知四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 在中，，， 设，则， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 即的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、解直角三角形、角平分线的性质、相似三角形的判定和性质、垂直平分线的性质、矩形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 29．（2026·河北邢台·二模）嘉琪通过自学和查阅有关资料，发现可以用尺规作图的方法，对任意给定的一个矩形，作出和这个矩形面积相等的正方形．嘉琪运用这种方法，对图1中的矩形，在图2中进行了下面的尺规作图： 第一步：在的延长线上，截取线段； 第二步：作线段的垂直平分线，交于点； 第三步：以点为圆心，以长为半径画弧，交的延长线于点； 第四步：以为边，在边右侧作正方形． 根据以上过程，解答下列问题： (1)请按照作图过程中的“第四步”，在图2中，用无刻度的直尺和圆规作出正方形．（保留作图痕迹，不写作法） (2)若的长为，的长为（），则 ①如图2，的长是________，的长是________；（用含，的式子表示） ②求证：正方形的面积等于矩形的面积． 【答案】(1)解：如图，正方形即为所求； (2)①，； ②证明：∵矩形，的长为，的长为 ∴矩形的面积为； 由（1）可知：，， ∴， ∴正方形的面积为， ∴正方形的面积等于矩形的面积． 【分析】（1）以为圆心，的长为半径画弧，交于点，再以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，即可； （2）①根据作图，列出代数式即可；②求出矩形和正方形的面积即可得证. 【详解】（1）略 （2）解：①由题意，， ∴， ∵作线段的垂直平分线，交于点， ∴，； ②略 30．（2026·河北邯郸·二模）如图1，在矩形中，，，，分别是，的中点，连接．动点从点出发，沿折线向终点运动，连接，设点运动时间为秒（）． (1)当点运动到中点时． ①尺规作图：在图1中，画出线段（保留作图痕迹，不写作图过程）； ②求证：； (2)如图2，当点在边上运动时，过点作于点．若，点的平均速度为，求的值． 【答案】(1)①作图见解析；②证明见解析 (2)或． 【分析】（1）①作线段的垂直平分线，得到中点，连接即可；②当点P运动到中点时，则，结合点M、N分别是中点，，可得，即可证明． （2）当点P在边上时（点P不与点D重合），得出，再根据，，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：①如图，线段即为所求； ②∵矩形， ∴，， 当点P运动到中点时，则， ∵点M、N分别是中点， ∴， ∵， ∴； （2）解：当点P在边上时（点P不与点D重合）， ∵，矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， 则， 解得：或． 菱形的性质与判定 考点05 31．（2026·河北廊坊·二模）如图，菱形的边长为4，，为边上的中点，P为直线上方左侧的一个动点，且满足，则线段长度的最大值是（　　） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的性质、圆周角定理、菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，正确找出点的运动轨迹是解题关键．连接，先证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，则可得，再根据圆周角定理可得点的运动轨迹是以为直径的一段圆弧，取的中点，连接，并延长交于点，则线段长度的最大值是，然后利用勾股定理求出，，由此即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵菱形的边长为4，，为边上的中点， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点的运动轨迹是以为直径的一段圆弧， 如图，取的中点，连接，并延长交于点，则线段长度的最大值是， ∴， ∴， ∴， 即线段长度的最大值是， 故选：C． 32．（2026·河北邯郸·二模）如图1，由5块图形（图形）拼成矩形（其中①、②是正方形），去掉①号正方形后，其余4块图形（图形）可拼成如图2所示的正方形． 结论I：图1所示的四边形是正方形； 结论II：利用③、④、⑤三块图形可以拼成一个菱形 则（     ） A．I和II都对 B．I和II都不对 C．I不对II对 D．I对II不对 【答案】A 【分析】根据题意可得①与②是边长相等的两个正方形，结合两个图中②是同一个图形得出，再根据正方形的判定即可判断结论I；根据正方形的性质得到，，进而推出，将平移至（将图形③平移至图形⑤的右侧），根据平移的性质得到，，则四边形是平行四边形，设正方形的边长为，根据题意可知正方形的面积为，则正方形的边长为，根据勾股定理得到，再根据菱形的判定即可判断结论II，即可得出结论． 【详解】解：如图： 根据题意可得，两个图中⑤是同一个图形， 即，，，， ∵①、②是正方形， ∴，， ∴，， 即①与②是边长相等的两个正方形； 又∵②是正方形，且两个图中②是同一个图形， ∴， ∴， 即， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形，故结论I说法正确； 在正方形中，，， ∵， ∴， ∴， 如图，将平移至（将图形③平移至图形⑤的右侧）， 则， ∴， ∴三点共线， 由平移的性质得，，， ∴四边形是平行四边形； 设正方形的边长为，则正方形的面积为， ∴，， ∴①号正方形的面积为， 根据题意可得，正方形的面积为， ∴正方形的边长为， 即， ∵和是图形③中较长的直角边，且两个图中③是同一个图形， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴利用③、④、⑤三块图形可以拼成一个菱形，故结论II说法正确； 综上，结论I和II都对． 33．（2026·河北保定·二模）如图，菱形的对角线、的长分别为6、8，点P、Q分别在边、上（均不与边的端点重合），连接，请写出一个长的整数值为______． 【答案】5（或填6或7） 【分析】由图可知，当时，取得最小值，当与重合时，取得最大值，先利用菱形的性质：对角线互相平分且垂直，通过勾股定理求出菱形的边长，再利用面积关系求出对应的高，即可求出的长的取值范围，在范围中选择一个整数即可． 【详解】解：如图，设与交于点O， 在菱形中，，，， ∴， ∵， ∴， 当时，即时，取得最小值， ∴， 当与重合时，取得最大值，， ∴，故长的整数值为5或6或7． 34．（2026·河北保定·二模）如图，菱形中，对角线，相交于点O，延长至点E使得，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是菱形， ，， ， 在和中， ，，， ． (2) 【分析】（1）利用菱形的性质、对顶角的性质等找到条件证明即可； （2）利用菱形的性质得到，设，则，在中，由勾股定理得，列方程并解方程即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ∵四边形是菱形， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即：， 解得， ． 35．（2026·河北邢台·二模）如图，在菱形中，点、分别是边、上的点，，连接和，的延长线交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据“”证明即可； （2）设，再证，利用相似比求解边长即可． 【详解】（1）证明：在菱形中，，， 在和中， ， ； （2）解：，， ， 设，则， 又， ， ，即， 整理得：， 解得或（舍去）， ． 36．（2026·河北石家庄·二模）如图，四边形是平行四边形，，且分别交对角线于点M，N，连接．    (1)求证：； (2)若．求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，交于点，证明，推出四边形为平行四边形，得到，即可得证； （2）先证明四边形是菱形，得到，进而得到，即可得证． 【详解】（1）证明：连接，交于点，    ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴； （2）∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 正方形的性质与判定 考点06 37．（2026·河北张家口·二模）如图，正方形与平行四边形的一边重合．若平分，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的性质，平行四边形的性质，角的平分线求解即可； 【详解】解：因为正方形与平行四边形的一边重合， 所以，， 因为平分， 所以， 所以． 38．（2026·河北保定·二模）如图，在正方形中，，E为边上一点，连接，过点C作于点F，记，．当x，y的值变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，由面积公式得，代入相关数据可得结论． 【详解】解：如图，连接， 由面积公式得， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 39．（2026·河北廊坊·二模）如图，在正方形中，E为的中点，将正方形沿折叠，点A落在点F处，的延长线交于点G，交的延长线于点H，若，则的长为（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】先根据正方形的性质和折叠的性质证得，再通过勾股定理，解得相关线段的长，最后证明即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵E是的中点， ∴， 由折叠可得，， ∴，, 又∵， ∴， ∴； 设，则， ∴，， 在中，，即， 解得， ∴， ∵，， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴． 40．（2026·河北石家庄·二模）小明用正方形制作了一个七巧板如图1所示，又用这副七巧板拼成了一个平行四边形如图2，若正方形的对角线长是2，则该平行四边形的对角线的长是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了七巧板的特点，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握正方形的性质和七巧板的特点． 延长，过点作于点，根据七巧板的特点求出，，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：延长，过点作于点，如图所示：    根据七巧板的特点可知，为等腰直角三角形， ∴为等腰直角三角形， 故选：B． 41．（2026·河北石家庄·二模）如图，在边长为6正方形中，点分别是边，上的动点，且交于点，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】证明，确定P点轨迹是以为直径的圆，设中点为O（圆心），则圆半径，点C到圆O上点的最小距离为：点C到圆心O的距离减去半径，求解即可； 【详解】 解：在正方形中，，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 又， 则，故， 根据“直角对直径”，点P的轨迹是以为直径的圆， 设中点为O（圆心），连接，则圆半径， 点C到圆O上点的最小距离为：点C到圆心O的距离减去半径， 在中，，，， 由勾股定理得： ， 因此的最小值为． 四边形背景下的综合问题 考点07 42．（2026·河北张家口·二模）综合与实践： 【情境】在纸片折叠的过程中，我们可以发现很多有趣的结论，而这些结论均可借助数学知识予以解释，在数学活动课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展探究性数学实践活动． 【操作】 如图，在矩形纸片中，，，点是线段上的动点，连接，是由沿翻折所得到的图形． 【探究】 (1)在图中，连接，的长为________； (2)在图中，当点落在上时，求的长； 【拓展】 (3)在图中，尺规作图：作，且满足点到、的距离相等（保留作图痕迹，不写作法），此时________； (4)连接、，当最大时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)所在图形如图所示： (4) 【分析】（1）根据矩形的性质及勾股定理进行求解即可； （2）由折叠的性质可知：，然后可得，进而根据三角函数可进行求解； （3）先作线段的垂直平分线（分别以点C、点D为圆心，以大于长为半径画弧，上下分别交于一点，这两点所连直线即为线段的垂直平分线 ），然后以点A为圆心，长为半径画弧，交线段的垂直平分线于点Q，再分别以点B、Q为圆心，大于长为半径画弧交于一点，最后连接这个点和点A，交于点P，则问题可求解； （4）由题意易得点Q是以点A为圆心，2为半径的圆弧上运动，要使最大，则需满足与点Q所在圆相切，如图，过点C作，然后可得，进而根据解直角三角形进行求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴； （2）解：由折叠的性质可知：， ∵点落在上，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：所作图形略， 由作图得的垂直平分线也垂直平分， 由线段的垂直平分线的性质可知：， 由折叠可知：，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； （4）解：由折叠可知：，则点Q是以点A为圆心，2为半径的圆弧上运动，如图， 要使最大，则需满足与点Q所在圆相切，如图，过点C作， ∴， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴． 43．（2026·河北邯郸·二模）如图，在矩形中，交于点，点是边的中点．将线段绕点顺时针旋转得到，的平分线所在直线交对角线于点．当点与点重合时，停止旋转．设，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当点在线段上时．求的度数及的长； (3)当时，求的值； (4)直接写出点到边距离的最大值与最小值的差． 【答案】(1)证明：由旋转的性质可知，， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． (2)， (3)2或8 (4) 【分析】（1）证明即可； （2）先得出，，再根据角平分线的定义可得的度数；然后利用勾股定理求出的长，根据即可得； （3）分两种情况：①当点在上，即时，延长交于点，先求出的长，则可得，再在中，利用勾股定理求解即可；②当点在上，即时，设交于点，同情况①的方法求解即可； （4）判断出点的运动轨迹，结合圆的性质求解即可． 【详解】（1）证明：略． （2）解：∵在矩形中，，，点是边的中点， ∴，，， ∴，（等腰三角形的三线合一）， ∴，， ∵是的平分线， ∴， 在中，， 由旋转的性质可知，， ∴． （3）解：由题意可知，，即， ①如图，当点在上，即时，延长交于点， ∵ ∴， ∴，，即， ∴，， ∴，， ∴在中，，即， 解得（符合题设）或（不符合题设，舍去）； ②如图，当点在上，即时，设交于点， 同理可得：，，， ∴，， ∴在中，，即， 解得（符合题设）或（不符合题设，舍去）； 综上，的值为2或8． （4）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴点到边的距离等于， 由旋转的性质可知，， ∴如图，点的运动轨迹是在以点为圆心、长为半径的一段圆弧上， 由圆的性质可知，点到边距离的最小值等于点到边的距离减去半径，即； 当点与点重合，点到边的距离最大，此时过点作于点，连接，交直线于点，则最大值为， 在中，， ∵，， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴点到边距离的最大值为， ∴点到边距离的最大值与最小值的差为． 【点睛】本题的难度在于正确判断出点的运动轨迹． 44．（2026·河北邯郸·二模）【问题背景】如图1，在矩形中，，，经过矩形中心点的直线与，分别交于点，，点，是线段，上的点，，设，连接，，，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)直接写出满足什么条件，四边形为菱形． 【操作探究】 (3)尺规作图：在图2中作出正方形，并求的值（尺规作图需保留作图痕迹，不写作法） 【拓展探究】 (4)如图3，若四边形为矩形，求的最小值． 【答案】(1)证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵，，点为矩形中心， ∴， ∵ ∴． 又， ∴， ∴． ∵， ∴， 即． ∴四边形是平行四边形； (2)当时，四边形为菱形（答案不唯一）； (3)， (4)6 【分析】（1）根据矩形的性质及平行线的性质证明，得到，再根据得到，即可证明四边形是平行四边形； （2）平行四边形为菱形的条件是对角线互相垂直； （3）过点作的垂线，交于，交于；以为圆心，长为半径画弧，分别交于、交于，连接，即得正方形；由作图可知，根据三角函数求出的值即可； （4）根据矩形的性质及垂线段最短作答即可． 【详解】（1）略 （2）解：当时，四边形为菱形； （3）解：由作图可知，，， ∴四边形为正方形，， 在中，，， ∴， ∴； （4）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴求的最小值即求的最小值． 根据垂线段最短可知当即时，有最小值， 即的最小值为6． 45．（2026·河北石家庄·二模）在矩形中，，，点在边上，将射线绕点逆时针旋转90°，交延长线于点，以线段，为邻边作矩形．    (1)如图1，连接，求的度数和的值； (2)如图2，当点在射线上时，求线段的长； (3)如图3，当时，在平面内有一动点，满足，连接，，求的最小值． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】（1）根据矩形的性质得出，，，进而根据正切函数得出，可求出，由矩形和矩形可得，，求出，证明，根据相似三角形的性质即可得出答案； （2）过点作于点，由矩形和矩形可得，，，证明，进而得出，设，则，根据，得出，求出，进而可得出答案； （3）连接，先证明是等边三角形，，得出， 将绕点顺时针旋转120°，与重合，得到，进而求出，，，得出，可得当点，，三点共线时，的值最小，此时为． 【详解】（1）解：∵矩形中，，， ∴，，， ∴， ∴， 由矩形和矩形可得，， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：如答案图1，过点作于点， 由矩形和矩形可得，， ， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； （3）解：如答案图2，连接， ∵矩形中，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， 将绕点顺时针旋转120°，与重合，得到， ∴，，， ∴， ∴当点，，三点共线时，的值最小，此时为．    【点睛】本题考查矩形的性质，三角函数，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，正确理解题意是解题的关键． 46．（2026·河北廊坊·二模）综合探究与应用 模型建立 (1)如图1，正方形中，点，，，分别在正方形的四条边上，若，则线段，的数量关系是________； (2)如图2，将边长为的正方形折叠，使得点落在边的中点处，折痕为，点、分别在边、上，则折痕的长为________； 初步探究 (3)如图3，矩形纸片中，．若，则线段和的数量关系为_____________； 迁移应用 (4)如图4，已知点，，的位置如图4所示，求作一点，使得点，，，一定分别在一个长宽比为的矩形的四条边上（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (5)如图5，在平行四边形中，点、分别在边、上，连接与交于点，求当与满足什么关系时，成立． 【答案】(1) (2) (3) (4)如图所示，点即为所求； (5)当时，成立 【分析】（1）过点作交于点，过点作交于点，设，交于点，首先求出，然后得到四边形和四边形是平行四边形，得到，，证明，得到，等量代换即可得证； （2）连接，由折叠得，，然后根据勾股定理求解即可； （3）过点作于，过点作于，设，交于，则四边形和四边形都是矩形，可得，，导角证明，则可证明，利用相似三角形的性质即可得解； （4）作线段的垂直平分线，交于，过点作垂直且使得，则点即为所求； （5）当时，可证明得到，再证明，得到，由此可得，等量代换即可得证． 【详解】（1）解：如图所示，过点作交于点，过点作交于点，设，交于点， ，，， ， ， ， 四边形是正方形， ，，，， 四边形和四边形是平行四边形，， ，，， ，，， ， ， ； （2）解：如图所示，连接， 点是的中点，， ， 由折叠得，， 由（1）可知，； （3）解：如图所示，过点作于，过点作于，设，交于， 四边形是矩形， ， ，， 四边形和四边形都是矩形， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 又， ∴， ； （4）解：图见答案图， 作线段的垂直平分线，交于，过点作垂直且使得，则点即为所求； 此时，且，分别过，作的平行线，再过点，作的平行线，则，，，必在这个新作的长宽比为的矩形的边上； ，，，， ，， ， ， 四边形和四边形是矩形， ，， 四边形和四边形是矩形， ， ，点，，，分别在矩形的四条边上； （5）解：当时，成立，理由如下： ，， ， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 47．（2026·河北张家口·二模）【实践情境】在数学综合与实践课上，王老师发给每个小组一块表面平整的矩形木板、有一个内角为的直角三角板（说明：仅能作，，的角）、一把无刻度的直尺（说明：仅能作直线）、一个圆规、三支木工笔、小刀和橡皮． 【实践任务】仅利用提供的工具作出木板长边的三等分点． 【小组设计】下面是各小组展示完成实践任务的操作步骤． 甲组：如图1，①利用直角三角板的直角和圆规，以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，过点作于点；②连接，，交于点，利用直角三角板的直角过点作于点，并延长，交于点． 乙组：如图2，连接，在射线上利用圆规作相等的线段，和，连接…… 丙组：如图3，只利用直角三角板便可完成作图，①分别以点A，B为顶点，为底边作角的等腰；②…… 【问题探究】根据上述内容，完成下列探究问题． (1)如图1，求证：为的中点． (2)如图1，求证：． (3)根据乙组的思路在图2中补全图形，边的三等分点从左至右分别为点，．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (4)根据丙组的思路在图3中补全图形，求作一点，使得，请写明作图过程，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】（1）连接，根据作图得到，三线合一得到，即可； （2）证明，得到，证明，得到，进而推出，即可； （3）利用尺规作，即可； （4）利用角过点作于点，交于点，则点即为所求，根据含30度角的直角三角形的性质，结合等角对等边得到，即可． 【详解】（1）证明：如图1，连接． 由作图可知，， ， 为的中点． （2）证明：∵四边形是矩形， ，，． ， ∴， ． ， ， ∴四边形是矩形， ． ， ∴， ， ， ，即． （3）解：如图2，点即为所求． （4）解：如图3，利用角过点作于点，交于点，则点即为所求． 理由：， ． ， ， ． 中，， ∴， ， ． 试卷第64页，共64页 2/65 学科网（北京）股份有限公司 $